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Campo Magnético
Cátedra de Física Experimental II
Prof. Dr. Víctor H. Ríos
2010
Fisica III -10
Fisica III -10
- Ejemplos de campos magnéticos - Campo magnético producido por una corriente indefinida.- La ley de Biot-Savart.- Aplicación al caso de una corriente rectilínea infinita.- La ley de Ampere y su generalización a varias corrientes.- Aplicación al caso del campo magnético producido por una corriente rectilínea.- Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje.- Campo producido por un solenoide en un punto de su eje.- Fuerza magnética sobre una particula moviéndose en un campo B.- Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo.
Contenidos
APENDICE - Campo magnético producido por un cilindro hueco.- Campo magnético producido por un toroide.- Aplicaciones.
El magnetismo es uno de los aspectos del electromagnetismo, que es una de las interac-ciones fundamentales de la naturaleza (junto con la gravedad, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil).
MAGNETISMO
Las fuerzas magnéticas son producidas por el movi-miento de partículas cargadas, como por ejemplo e-lectrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo.
La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los materiales ferromagnéticos como el hierro. Desde la antigüedad se ha cons-tatado la interacción entre el hierro o minerales como la magnetita con el campo magnético terrestre, de forma que el polo norte de un imán tiende a apuntar al polo sur de otro.
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En 1820 Hans Christian Oersted, descubre que una corriente eléctrica provoca la deflexión de la aguja de una brújula en sus inmediaciones. Fue André-Marie Ampère quien descu-brió la ley que describe la relación entre una corriente eléctrica estacionaria y el campo magnético. Adelantándose a su época, supuso que la causa del magnetismo de los mate-riales se debe a pequeñísimas partículas cargadas en rotación.
Causa del campo magnético
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Campo magnético terrestre
Una brújula apunta en la dirección Norte - Sur por tratarse de una aguja imantada inmersa en el campo magnético terrestre: desde este punto de vista, la Tierra se comporta como un imán gigantesco y tiene polos magnéticos, los cuales, en la actualidad, no coinciden con los polos geográficos.
El Polo Sur Magnético se encuentra a 1800 kilómetros del Polo Norte Geo-gráfico. En consecuencia, una brújula no apunta exac-tamente hacia el Norte geográfico; la diferen-cia, medida en grados, se denomina declina-ción magnética.
Origen del campo magnético terrestre
Se originaría en las corrientes de la región ígnea de la Tierra, como consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctri-camente.
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Magnetosfera Terrestre
La Magnetosfera es una región alrededor de la Tierra en la que el campo magnético terrestre desvía la mayor parte del viento solar formando un escudo protector contra las partículas cargadas de alta energía procedentes del Sol.
Las partículas del viento solar que son detenidas forman los cinturones de Van Allen. En los polos magnéticos, las zonas en las que las líneas del campo magnético terrestre penetran en su interior, parte de las partículas cargadas son conducidas sobre la alta atmósfera produciendo las auroras boreales o australes.
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Magnetismo y su Aplicación en el tren Magnético
El campo magnético es producido por la corriente eléctrica que circula por un conductor. Para deter-minar la expresión del campo magnético produci-do por una corriente se emplean dos leyes: la ley de Biot-Savart y la ley de Ampére.
Principio de levitación
En la figura se muestra la forma en la que se colocan las bobinas en las paredes laterales. Cuando el superconductor pasa a centímetros de estas bobinas a muy altas velocidades, una corriente eléctrica es inducida en la bobina la cual actúa como campo electromagnético temporalmente.
Como resultado de estos campos, existen fuerzas que empujan al superconductor ha-cia arriba , teniendo así la levitación del tren.
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Principio de guía lateral
Las bobinas de levitación están conectadas de frente entre ellas en la parte baja del riel, generando un anillo magnético. Cuando el tren, el cual es un superconductor magnético, se desplaza lateralmente, una corriente es inducida en el anillo, resultando una fuerza repulsiva actuando en las bobinas de levitación de el lado más lejano del tren. Por lo tanto el tren siempre esta situado en el centro de los rieles.
Principio de propulsión
Una fuerza repulsiva y una de atracción son inducidas en-tre los imanes para propulsar al tren (superconductor mag-nético). Las bobinas de propulsión están localizadas el las paredes laterales en ambos lados del riel, las cuales están energizadas por una corriente alterna trifásica de una esta-ción, creando un campo magnético en el riel.
Los superconductores magnéticos son atraídos y empujados por el campo magnético, elevan-do el tren.
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ML 100 MLU 002
MLX 01 Interior
Vehículos Experimentales
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Campo magnético producido por una corriente indefinida
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La ley de Biot - Savart
El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magné-tico B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de in-tensidad i.
B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, perpendicular al plano que forman los versores
ur es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, μ0 / 4π = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.
ut es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl.
dlr
iBl
rt∫×= 2
0
4µµ
πµ
i
dB
dlTµ
rrµ
xy
z
rt µµ ,
ldr
iBd rt
20
4µµ
πµ ×=
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Campo magnético producido por una corriente rectilínea
Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.
El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial ut x ur
La unidad del campo magnético en el Sistema Internacional de Unidades es el Tesla, pese a que a menudo se emplea el Gauss. Las unidades del TESLA son:
1 Tesla equivale a 1 V·s·m-2, o lo que es lo mismo, 1 kg·s-2·A-1 = 10.000 Gauss
Unidades
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Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.
Se integra sobre la variable “θ” , expresando las variables “x” y “r” en función del ángulo θ .
⇒
θθµµµµ sensenrtrt ==×
dlr
iBl
rt∫×= 2
0
4µµ
πµ
dxrseniBB ∫
∞
∞−
== 20
4θ
πµ
R = r cos θ
R = x tan θ
∫ ==π
πµθθ
πµ
0
00
24 Ridsen
RiB
Depende de directamente de “i” e inversamente de la distancia “R”
En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético produ-cido por una corriente rectilínea indefi-nida en el punto P.
La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano deter-minado por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o la denominada de la mano derecha.
Sentido del Campo “B” y la corriente “i”
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Fisica III -10 La ley de Ampère
La ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de co-rrientes cuando tienen cierta simetría.
ildBC
0. µ=∫
Bld
iC
x
y
z
Circulación de B
B
B
B
B
ld
ldld
ld
C
ldBdenCirculacióc
.∫=B
Ley de Ampere
idenCirculació 0µ=B
Físico frances Andre Marie Ampere, 20/01/75 - 10/06/1836
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son:
1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circula- ción del campo magnético.
3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.
i1
i2
i3
B
B
ld
ld
)(. 32101
0 iiiildBC
N
jj −+==∫ ∑
=
µµ
Generalización ley de Ampere para varios conductores
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Campo magnético producido por una corriente rectilínea
1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicu-lar al plano determinado por la corriente y el punto.
2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma.
• El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.• El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
∫∫ ∫ ==°=CC C
RBdlBdlBldB π20cos.
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4. Despejamos el módulo del campo magnético B, a partir de la ley de Ampere.
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.
ildBC
0. µ=∫
iRB 02 µπ =RiB
πµ2
0=
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Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje
En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente está arrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer lugar, el cam-po creado por una espira.
En la figura, se muestra una espira circular de radio a, recorrida por una corriente de intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia x de su centro.
Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magné-tico creado por dicho elemento de co-rriente.
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⇒
Los vectores unitarios ut y ur forman 90º en este caso
El vector campo magnético dB tiene dos componentes
* a lo largo del eje de la espira : dB · cos ( 90 - θ ) * perpendicular al eje de la espira : dB · sen ( 90 - θ )
Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está dirigido a lo lar-go del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es constante y θ es constante
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En el centro de la espira x = 0, tenemos
El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha.
Para una espira no es aplicable la ley de Ampère. Sin embargo, como podemos ver si se disponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un campo cuya dirección es cada vez más paralela al eje común de las espiras, a medida que se incrementa su número.
En la situación ideal de un solenoide formado por un número grande de espiras apreta-das, cuya longitud es grande comparada con su diámetro, el campo en el interior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeño. En estas condiciones es aplicable la ley de Ampère, para determinar el campo magnético en el interior del sole-noide
El campo paralelo al eje de la espira es:
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Campo producido por un solenoide en un punto de su eje
Vamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje del solenoide sumando el campo producido por las N espiras.
Solenoide
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Esquemáticamente
En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formado por N espiras iguales de radio a.
Anterior, obtuvimos la expresión del campo magnético de una espira de radio a en un punto P de su eje distante x.
Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.
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El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn = N ·dx / L
Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una espira por el número dn de espiras
Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a = x · tanθ , y teniendo en cuenta que 1 + tan 2θ = 1 / cos 2θ, simplificamos mucho la integral
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Si el solenoide es muy largo comparado con su radio a y si el punto P está situado en el centro, tendremos que θ 1→ π , y θ 2→ 0.
El campo B vale entonces
El solenoide – Cálculo de B usando la Ley de Ampère
Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère.
Suposición
El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino cerrado y en el segundo miembro, el término i se refiere a la intensidad que atraviesa dicho camino cerrado.
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Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la suma de cuatro con-tribuciones, una por cada lado.
Examinaremos, ahora cada una de las contri-buciones a la circulación:
1. La contribución a la circulación del lado AB es cero ya que bien B y dl son perpendiculares o bien, B es nulo en el exterior del solenoide.
2. Lo mismo ocurre en el lado CD.
3. En el lado DA la contribución es cero, ya que el campo en el exterior al solenoide es cero.
4. El campo es constante y paralelo al lado BC, la contribución a la circulación es Bx, siendo x la longitud de dicho lado.
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La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente:
Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá N x / L espiras. Como cada espira trasporta una corriente de intensidad i, la corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD es N x i / L.
La ley de Ampère se escribe para el solenoide.
Para visualizar las líneas líneas del campo del campo magnético, se emplean limaduras de hierro. Este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado por parte del experimentador.
⇒
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Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo
Intensidad de la corriente
La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S del conductor en la unidad de tiempo. El significado de flujo másico y flujo de carga o inten-sidad es:
Movimiento de cargas dentro de un conductor
Sea n el número de partículas por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de cada partícula.
La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud v t.
Carga Q = ( número de partículas por unidad de volumen n ).( carga de cada partícula q ). ( volumen del cilindro S v t )
Q = n q S v t
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Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica:
i = n q v S
La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que es el producto de los siguientes términos:
Número de partículas por unidad de volumen, n.
La carga de cada partícula, q.
El área de la sección normal, S.
La velocidad media de las partículas, v.
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Fuerza magnética
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm = q· v x B
El resultado de un producto vectorial es un vector de
* módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido q v B senθ
* dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B.
* y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos.
Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial v x B , la fuerza magnetica es la esquematizada en la figura.
Fuerza magnética sobre la carga positiva debida a B
Fm = q· v x B
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Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo
Hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el movimiento que produce
En la fig.8, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.
Calculemos la fuerza sobre todos los portadores ( n S L ) de carga contenidos en la longitud L del conductor.
El vector unitario ut = v / v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.
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En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no es constante, se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl
* Las componentes de dicha fuerza dFx y dFy
* Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula * Finalmente, se calculará por integración las componentes de la fuerza total F
Apéndice
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Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo de un cilindro hueco.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente recti-línea indefinida uniformemente distribuida en su sec-ción y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b.
1. El campo magnético en el punto P es perpendi-cular al plano determinado por el eje de la corrien-te cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P.
2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea.
B·2π r
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3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes.
r < a Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r < a es cero. Aplicando la ley de Ampère
B·2π r = μ0 . 0 B = 0⇒
a < r < b Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio a < r < b es una parte de la intensidad total i.
Si la corriente i está uniformemente distribuida en la sección π b2 - π a2. La corriente que atraviesa la circunferencia de radio r es la que pasa por la sección pintada de color rojo, cuya área es π r2 - π a2.
Aplicando la ley de Ampère ⇒
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r > b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r > b es la intensidad i.
El módulo del campo magnético B en un punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
⇒
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Campo magnético producido por un toroide
Aplicamos la ley de Ampère para determinar el campo producido por un toroide de radio medio R.
Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide.
1. Las líneas de campo magnético que en el solenoide son segmentos rectos se transforman en circunfe- rencias concéntricas en el solenoide. El campo mag- nético es tangente en cada punto a dichas circunfe- rencias. El sentido de dicho campo viene determinado por la regla de la mano derecha. 2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, cuyo centro está en el eje del toroide, y situa- da en su plano meridiano. * El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r.
* El campo magnético B tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia. Toroide
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
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Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes.
Fuera del toroide (r < R)
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) es cero.
Aplicando la ley de Ampère
B·2π r = μ0 ·0 B = 0⇒
Dentro del toroide
Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino ce-rrado ( la circunferencia de color azul de la figura) la in-tensidad será Ni, siendo N el número de espiras e i la intensidad que circula por cada espira.
B·2π r = μ0 Ni ⇒
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Fuera del toroide ( r > R )
Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia de color azul de la figura) trans-portando intensidades de sentidos opuestos .
La intensidad neta es Ni – Ni = 0, y B = 0 en todos los puntos del camino cerrado.
El campo magnético está completamente confinado en el interior del toroide !!!!!!
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FIN
