Campos

7/21/2019 Campos

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CAMPOS

En física, un campo es cualquier magnitud física que queda en función del espacioo el tiempo.

Dicha magnitud, de forma general, será una magnitud tensorial

Ejemplo: en hidrostática, el campo de presiones en el seno de un líquido incompresible(no se deforma a compresión) como puede ser el agua pero sin resistencia a lacialladura (cortante).

En el campo gra!itatorio terrestre, en unpunto, cu"o !ector de posición es r, elmódulo de la presión (#a) es:

r= xi e i p x i e i= p0 g x03− x3

$%& : altura de la superficie libre del líquido

#%: presión en '%&

ρ: densidad del liquido

g: aceleración de la gra!edad

En este caso el campo sólo depende del !ector de posición, es decir es función del punto.

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CAMPOSEjemplo: en hidrostática, el campo de presiones en el seno de un líquido incompresible(no se deforma a compresión) como puede ser el agua pero sin resistencia a lacialladura (cortante).

En el campo gra!itatorio terrestre, en un punto, cu"o !ector deposición es r, el VECTOR de la presión (#a) es perpendicular alos planos que pasan por el punto:

p x ie i , n j=g x03− x3 n j p0

$%& : altura de la superficie libre del líquido

#%: presión en '%&


g: aceleración de la gra!edadn

j: !ector normal al plano j, que pasa por el

punto de !ector posición r

π j

π1

n1

n j

p x ie i , n j

En este caso el campo depende del !ector de posición, " de la ona del entorno del puntoconsiderado

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CAMPOSEste ejemplo es un caso particular de campos en medios continuos que dependen del punto" su entorno.

p x ie i , n j=T xi e i n j p0$%

& : altura de la superficie libre del líquido

#%: presión en '%&


g: aceleración de la gra!edadn

j: !ector normal al plano j, que pasa por el

punto de !ector posición r

ampo tensorial de dimensión & orden función de las coordenadas del punto o del!ector de posición (tensor de dimensión &orden *)

Así por tanto quedan generalizados los campos a campos

tensoriales.

+e !a a generaliar aquello que se !io en los primeros cursos de física:os gradientes, di!ergencias, circulación, potenciales, etc - lo son de campos

escalares

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Dierencial de una unci!nEste ejemplo es un caso particular de campos en medios continuos que dependen del punto" su entorno.

tan =m=f ' x0 y=mxn= f ' x0 xn

f x0= f ' x0 x0n⇒

n=f x0−f ' x0 x0⇒

y= f ' x0 x− x0 f x0 y− f x0= f ' x0 x

β

"

'

si x0⇒{ xdx

y− f x0=dy=df x

0}⇒ dy=df x0=f ' x0dx

/eneraliando:

dy=df x= f ' xdx

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Deri"ada direccional # gradienteEn el caso de que la función de lugar a una superficie. 0ómo será la pendiente de unarecta tangente a un punto #('

%, "

%,

%) de la superficie1 a recta debe ser elegida seg2n una

dirección del plano '" " su pendiente es la deri!ada direccional

Du=limh0

z x0i y

0 jh aib j − z x

0i y

0 j

h

Du=limh0

z x0h a , y0hb− z x0, y0

h

+ea un punto # de la superficie de ecuación (', ")(campo escalar en el plano)

u=a , b !ector unitario(su dirección es la de la deri!ada)

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gh= z x0h a , y

0hb

x= x0h a

y= y0h b

⇒g h= z x h, y h

3tra e'presión más 4e'presi!a es aquella que lle!a la concepto de gradiente " su significado

a función ('%5ha, "

%5hb) para un punto # " una dirección (a, b) sólo es función de h por lo

que se pude hacer g(h)('%5ha, "%5hb) quedando:

Du= limh0

z x0h a , y0hb− z x0, y0h

Du=limh0

g h− g 0h =g ' h

uego la deri!ada direccional es la

deri!ada de la función g(h), siendo 'e ", a su !e, funciones de h sepuede usar la regla de la cadena:

Du=g ' h= g

x

x

h g

y

y

h

Du=g ' h= z

x

x

h z

y

y

h

Deri"ada direccional # gradiente

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Du= z

x

x

h z

y

y

h

x

h=

x0ha

h =a y

h=

y0hb

h =b

⇒ Du= z

x a z

y b

+iendo Du el producto escalar de los

!ectores gradiente " !ector unitario

Du= z

x

z

y ab= ∇ z ·u


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uando Du es má'ima

Du= ∇ z ·u=∇ z cos

+ignificado geom6trico del gradiente:0En qu6 dirección se da la má'ima pendiente a la que nos asomamos desde elpunto #1

" esto es así si cos(β)*, es má'imo

max Du=∇ zEl módulo del gradiente es la má'ima pendiente "

para que cos(β)* u tiene que tener la dirección

del gradiente

u∥ ∇ z

+i lo que se quiere es denotarcuando la pendiente es negati!aentonces la dirección que ha"que dar es

− ∇ z


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El concepto de diferencial en una función dependiente de una !ariable, aquíse generalia. la diferencial de la función es:


dz= z

x dx z

y dy= z

x

z

y dx

dy = ∇ z ·dx

dy #ara apro'imarse al !alor de la función en otro punto pró'imo:

z x , y= z x

0, y

0

x dx

z x0,

y0

y dy z x0, y0

/eneralice al caso de que el n2mero de !ariables sea n: '*, -, '

i, - '

n

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0ómo sería el gradiente de una función !ectorial1 por ejemplo dedimensión con dos !ariables (campo !ectorial)


+e tendría el gradiente para cada una de las componentes dado una matri.+E 789EE8;< E /9<D3 DE ;E8+39

v x , y = ∇ v dxdy

v x0, y0=

v

x

x

v x

y v y

x

v y

y dxdy

v x0, y0

/eneralice al caso de que el n2mero de !ariables sea n: '*, -, '

i, - '

n " de

un !ector de dimensión m.

v x , y =v x x , yiv y x , y j

∇ v= v

x x

v x

y

v y

x

v y

y a apro'imación desde !('%, "%) a otro !ector !(',"):

+e puede generaliar a tensores de cualquier orden.

+u diferencial es d v=dv x

dv y = ∇ v

dxdy

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