Campos Difusos en Ingeniería Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Sísmica y Sismología: Teoría y AplicacionesTeoría y Aplicaciones

Francisco J. Sánchez SesmaFrancisco J. Sánchez SesmaInvestigador TitularInvestigador Titular

Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias, UNAM

19 de agosto de 2010

ContenidoContenido

1. Coda 1. Coda Ondas con difracción múltiple Ondas con difracción múltiple Ruido Ruido

2.   Difracción (scattering) multiple 2.   Difracción (scattering) multiple Regimen difusivo Regimen difusivo

3.   Equipartición3.   Equipartición Im [función Im [función dede Green] =Green] = correlacionescorrelaciones

4. Ejemplos 4. Ejemplos

5.   Autocorrelación = Im [función de Green 5.   Autocorrelación = Im [función de Green en la fuenteen la fuente]]

6. Los casos de un estrato y un semiespacio6. Los casos de un estrato y un semiespacio

7. 7. ConclusionesConclusiones

Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Campos ‘aleatorios’, Campos difusosCampos ‘aleatorios’, Campos difusos

Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Campos ‘aleatorios’, Campos difusosCampos ‘aleatorios’, Campos difusos

Comunmente se acepta que el ruido obscurece y que no contiene información útil. De hecho, la intuición sugiere que la difracción (scattering) múltiple de las ondas las hace ininteligibles.

Observaciones a distancias entre 150 y 800 km

Regímenes de propagación y decaimiento de la densidad de energía

Teoría de Transferencia Radiativa (RTT)

Originada en astrofísica por Chandrasheckar (1960) y otros.

Fue introducida por Wu (1985) en sismología y desarrollada por Aki, Zeng, Sato, Mayeda, Margerin, Gusev y otros.

Sato H y M Fehler (1998). Wave propagation and scattering in the heterogeneous Earth, Academic Press, Cambridge, Mass.

Dmowska R, H Sato y M Fehler (2008) (Eds) Vol. 50 of Advances in Geophysics, Academic Press, Cambridge, Mass.

SP ,

3D E

E 2D;

E

E

P

S

P

S

y ondas de svelocidade

en2

en 3

3

2

2

Predicción de

RTT para un campo elástico difusivo

Dispersión (Scattering) Múltiple Equipartición

SPAC (SPAC (AAuto uto CCorrelación Eorrelación ESPSPacial )acial )

En 1957 K. Aki mostró que En 1957 K. Aki mostró que el promedio azimuthal del el promedio azimuthal del coeficiente de correlación coeficiente de correlación espacial de un campo espacial de un campo escalar está dado porescalar está dado por

))(

(),,0(),,(

21

0

2

0

cr

Jdr

ckkr(ωr /),cosiexp()),,(

aquí aquí JJ00 = función de Bessel = función de Bessel

de primera especie y orden de primera especie y orden cero. De esta manera se cero. De esta manera se Puede “invertir” Puede “invertir” c(c(ωω).).

2

0

),(21

)( drrKeiiti Aki (1930-2005)

SPACSPACEn este método se buscan las velocidades de las ondas superficiales En este método se buscan las velocidades de las ondas superficiales

para encontrar la estructura. para encontrar la estructura.

Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales para hacer el promedio azimutal.para hacer el promedio azimutal.

Si además el ruido es isótropo, se puede obtener el mismo resultado Si además el ruido es isótropo, se puede obtener el mismo resultado con sólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos con sólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos periodos de tiempo.periodos de tiempo.

Considérese una onda plana:Considérese una onda plana:

))cos(iexp()(),,( 0 krωFru

0cos*

)()()()( ikre

QuPuQuPu

r

P

0cos

*

ikr

BA

BA

euu

uu

Q

x

yCoherencia

SPACSPAC

/r t)(/ cr)(/ cr

t)(/ cr

Promedio de correlaciones

Función de Green

22222022/

)/(2

1),(

41

),(Imcrt

crtHtrG

cr

JrG

La correlación La correlación es una operación entre es una operación entre series de valores para determinar quéseries de valores para determinar qué

tan parecidas son estas entre sí.tan parecidas son estas entre sí.

Considérense dos series Considérense dos series xxii,, yyii donde donde

ii=0,1,2...=0,1,2...NN-1. La correlación -1. La correlación rr con el con el

retraso retraso dd se define como: se define como:

1

0

21

0

2

1

0

)()(

)()()(

N

ii

N

ii

N

idii

myymxx

myymxxdr

Valores medios

Promedios de CorrelacionesPromedios de Correlaciones

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.05

0

0.05

0.1

tiempo (s)

Co

rre

lacio

ne

s

5000

500

100

50

25

Función de Green Pulso de Ricker

r/c

r/c

)iexp(),()iexp(),(),,( ,jjljjll mxmSnxnPtu

x

])cos[exp()(

])cos[exp()()()(,*,,2

,*2*

krmnPSmmS

krnmSPnnPuu

slsl

slslsl

i

ixy

)2(2

)()(22

*ijjiijji BA

Suu xy 2

22

22

02

0 )()(y

)()(

krJqrJ

BkrJqrJ

A

22/=/ βαEE PS

),,(Im8),(),( 2* yxxy ijSji GkEuu

2

2222

22 )(

t

u

xx

u

xx

u i

ji

j

jj

i

El caso vectorial 2D (P-SV)

Suma de ondas planas P y SV:

Correlación :

Equipartición (2D):

Promedio Azimutal:

Finalmente (equipartición)

Formalmente, el mismo resultado en 3D (Sánchez-Sesma y Campillo, 2006)

x

z

r x

y

θP

n

S

m

SP

)];,(Im[)()(

)()(

41

*

QPGQP

QuPuij

ji uu

Promedio de las correlaciones de las fluctuaciones en P y Q

Respuesta impulsiva del sistema entre P y Q

Teorema de Teorema de Fluctuación-disipaciónFluctuación-disipación F

mkT

D (Einstein, 1905)

)];,(Im[)()(

)()(

41

*

QPGQP

QuPuij

ji uu

Promedio de las correlaciones de las fluctuaciones en P y Q

Respuesta impulsiva del sistema entre P y Q

)exp()(),,(, tiRtSRG nn

nnji

donde εn son variables aleatorias independientes

¡ Independiente de los detalles del ¨scattering ¨..!

¡ Independiente de la posición en un espacio completo con ¨iluminación¨ homogénea !

Para un sólido elástico infinito

2Den 2

2

P

S

E

E

Principio de Equipartición para Ondas Elásticas En un regimen difusivo todos los “modos” están

exitados en la misma proporción

3Den 2 3

3

P

S

EE

Margerin, Campillo & van Tiggelen (2001)

50 m apertura

Campillo et al. (1999); Shapiro et al. (2000)

Teorema de Representación de tipo correlaciónTeorema de Representación de tipo correlación

Ar

Br

r Weaver & Lobkis (2004), Wapenaar (2004), Van Manen, Curtis & Robertson (2006)

dSTG

TGG

AliBjl

BljAilBAij

),(),(

),(),(),(Imi2

*

*

rrrr

rrrrrr

3D

2D

EE

P

S

in2

in

3

3

2

2

Equipartición !

),,(Im4),(),( 3* BABA xxxx ijSji GkEuu

P

Q

Fuentes:Fuerzaspuntuales

Receptores

Fluctuacionesde densidad 5%

0 50 100 150 200 250 300-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

GijGij con 50, 100 & 500 fuerzas, 100 difractores con 50, 100 & 500 fuerzas, 100 difractores

G11

G13

G31

G33

R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Ultrasonics without a source: Thermal fluctuation correlations at MHz frequencies, Phys. Rev. Lett. 87, 134301 (2001)

O. I. Lobkis and R. L. Weaver, On the emergence of the Green’s function in the correlations of a diffuse field, J. Acoust. Soc. Am., 110, 3011-3017 (2001)

R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Elastic wave thermal fluctuations, ultrasonic waveforms by correlation of thermal phonons, J. Acoust. Soc. Am., 113, 2611-2621 (2003)

Experimentos con ruido Experimentos con ruido térmicotérmico

(Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

-4500

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

time (microseconds)

Pulse/echo

noiseautocorrelation

(Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)

Autocorrelacion de ruido

Pulso / ecos

Campillo & PaulCampillo & PaulScienceScience (2003) (2003)

Origen oceánico del ruido sísmicoOrigen oceánico del ruido sísmico

Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones

Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones

Estabilidad de los mapas: 2 conjuntos diferentes de registros

Tras el origenTras el origen

del ruidodel ruido sísmicosísmico

Tras el origenTras el origendel ruido sísmicodel ruido sísmico

Distribución isotrópica de fuentes:Correlación cruzada simétrica

Distribución anisotrópica de fuentes:Correlación cruzada asimétrica

Origen aparente del ruido Promedio de la altura de olas

invierno

verano

Datos sísmicos de la Misión Appolo 17

(from Larose, 2005)Larose et al (2006)

Ruido inducido Vasconcelos Ruido inducido Vasconcelos et al. et al. ((EOSEOS 2008) 2008)

),,(Im4),(),( 3* BABA xxxx ijSji GkEuu

El promedio de las correlaciones es proporcional a Im[Gij(xA,xB)]

)],(Im[4)()()( 1*2AAAAA xxxxx mmSmm GkEuuE

Densidad de Energía en el punto xA

Si fuente y receptor coinciden xA = xB

Auto-correlación

Sánchez-Sesma et al, WAVE MOTION (2008)

dnnnikr

nnniqr

rG nmmn

jjnm

jj

ABAmn )(

)exp()exp(

16)],(Im[ 332xx

SPmn EEAGAE

33

214

)],(Im[

xx

A partir del Teoremade Representación

Semiespacio. Problema SH antiplanoSemiespacio. Problema SH antiplano

)'()(i4

1),( )2(

0)2(

022 krHkrHG BA xx

)()(4

1)],(Im[ ,

0022 krJkrJG BA xx

)2(1),( 0 zkJEzE

Auto-correlación

Auto-correlación

Estrato 2D. Ondas SH antiplanasEstrato 2D. Ondas SH antiplanas

z

x

h

...})3(2)2(2)(21{2

1)]0,0(Im[ 00022

JJJG

/2h

0

22

1-22

)/(-

)/-()2()]0,0(Im[

nn

nf

nfHG

Fuente y receptor

Estrato 2D. Ondas SH antiplanasEstrato 2D. Ondas SH antiplanas

022

122

)/(

)/()2()]0,0(Im[

nn

nf

nfHG

...})3(2)2(2)(2)0({21

Re)]0,0(Im[ )2(0

)2(0

)2(0

)2(022

HHHHG

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

Frequency [Hz]

No

rma

lize

d A

mp

litu

de

s

G22

(0,0,)

Transfer Function

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [sec]

No

n C

au

sal R

esp

on

se

F-1{ixIm[G(0,0; ω)]}

s

Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de RayleighSemiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh

Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de RayleighSemiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh

Semiespacio Elástico 3DSemiespacio Elástico 3D

Este resultado en 3D muestra dos formasen las cuales la equipartición puede ocurrir: (1) à la Maxwell o (2) à la Weaver

Perton et al (2009) – JASA

COMO CONSECUENCIA DE LA IDENTIDAD Energía función de Green

SPkk EEGAEEE )],(Im[321 xx

]Im[

]Im[

]Im[

3323

23

2222

22

1121

21

GAuE

GAuE

GAuE

]Im[]Im[]Im[

33

22112

2

23

21

3

1

GGG

VH

u

u

EE

0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

freq [Hz]

Im[G

ree

n fu

nct

ion

s]

Im[G33]

Im[G22] =Im[G11]

Estrato sobre semiespacio

Im[Gij(0,0)]

Solución 3D

frec [Hz]

H/V

0.47Hz

?

10-2

10-1

100

101

10-1

100

101

102

Frec [Hz]

H/V ~ √ Im[G11]/Im[G33]

0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

freq [Hz]

Im[G

ree

n fu

nctio

ns]

Im[G22] =Im[G11]

Im[G33] ¡ efecto 3D !

Estrato sobre semi-espacio

Resultados de un experimento en Texcoco

La coda y el ruido sísmicos califican como campos difusivos

La técnica SPAC de Aki (1957) es el antecedente de la recuperación de la función de Green (o respuesta impulsiva)

Con iluminación de fondo y equipartición: se demuestra que:

Si P y Q coinciden se obtienen interesantes resultados sobre la densidad de energía en un campo difusivo que son útiles para visualizar el medio y establecer las características de su respuesta dinámica.

)()(

)()(),(Im

*

QP

QuPuQPG ji

ij uu

ConclusionesConclusiones

Reflexiones finalesReflexiones finalesLa idea del Universo en el siglo XIX era un ejemplo de orden. Laplace La idea del Universo en el siglo XIX era un ejemplo de orden. Laplace postulaba que el futuro era previsible si se conociesen en un momento dado postulaba que el futuro era previsible si se conociesen en un momento dado las posiciones y veloci- dades de todas las partículas. Unas pocas leyes las posiciones y veloci- dades de todas las partículas. Unas pocas leyes permitían explicar el mundo.permitían explicar el mundo.

En el siglo XX Heisenberg alteró el sueño determinista con su principio de En el siglo XX Heisenberg alteró el sueño determinista con su principio de incertidumbre. No se conocerían posiciones solamente probabilidades.incertidumbre. No se conocerían posiciones solamente probabilidades.

Poincaré, en una visionaria anticipación de la teoría del caos, demostró que Poincaré, en una visionaria anticipación de la teoría del caos, demostró que aun las más pequeñas incertidumbres en las condiciones iniciales pueden aun las más pequeñas incertidumbres en las condiciones iniciales pueden hacer que los sistemas evolucionen de manera impredecible. hacer que los sistemas evolucionen de manera impredecible.

Reflexiones finalesReflexiones finales

A partir del artículo seminal de Albert Einstein en 1905 sobre el movimiento browniano A partir del artículo seminal de Albert Einstein en 1905 sobre el movimiento browniano se ha establecido que la respuesta determinista de un sistema está relacionada con las se ha establecido que la respuesta determinista de un sistema está relacionada con las fluctuaciones térmicas. Esto se ha generalizado a una gran variedad de problemas.fluctuaciones térmicas. Esto se ha generalizado a una gran variedad de problemas.

Se ha descubierto recientemente que las fluctuaciones pueden servir para sintetizar Se ha descubierto recientemente que las fluctuaciones pueden servir para sintetizar ondas deterministas generadas por una fuente puntual.ondas deterministas generadas por una fuente puntual.

Precisamente la correlación cruzada de las fluctuaciones observadas en el campo Precisamente la correlación cruzada de las fluctuaciones observadas en el campo acústico entre dos puntos permite establecer el tiempo de viaje de las ondas entre acústico entre dos puntos permite establecer el tiempo de viaje de las ondas entre esos puntos. Esto abre las puertas al uso de fuentes virtuales.esos puntos. Esto abre las puertas al uso de fuentes virtuales.

En muchas aplicaciones la extracción de la respuesta de En muchas aplicaciones la extracción de la respuesta de un sistema a partir del ruido es robusta aun cuando las un sistema a partir del ruido es robusta aun cuando las fuentes de ruido son limitadas y con distribución irregular. fuentes de ruido son limitadas y con distribución irregular. Tal vez esto se debe a la estabilidad de la propagación de Tal vez esto se debe a la estabilidad de la propagación de ondas.ondas.

Nuestra idea del Universo ha pasado de ser determinsta a Nuestra idea del Universo ha pasado de ser determinsta a aceptar el azar, pero no de manera simplista; los campos aceptar el azar, pero no de manera simplista; los campos generados por fuentes aleatorias pueden ser usados para generados por fuentes aleatorias pueden ser usados para visualizar y monitorear sistemas que incluyen el subsuelo visualizar y monitorear sistemas que incluyen el subsuelo hasta estructuras como edificios, presas y puentes.hasta estructuras como edificios, presas y puentes.

El azar no está opuesto al determinismo; es ya una nueva El azar no está opuesto al determinismo; es ya una nueva via de acceso a la respuesta determinista del mundo físicovia de acceso a la respuesta determinista del mundo físico..

Reflexiones finalesReflexiones finales

¡ Gracias por su atención !