Ecuaciones de Maxwell de campos en una guía de onda

El principal propósito de todo sistema de microondas, es el de llevar información en forma de señales electromagnéticas desde un punto hasta otro. Estas señales pueden ser capturadas y guiadas a través de un tubo metálico. Este medio de conducción de ondas es conocido como "guía de ondas", la cual consiste de un tubo metálico conductor uniforme de sección transversal constante que usualmente tiene forma rectangular o circular. La teoría de propagación en una guía de onda es incorporada en las relaciones matemáticas conocidas como Ecuaciones de Maxwell.

En las guías de onda rectangulares las ecuaciones de Maxwell y de onda se expresarán en coordenadas rectangulares. Suponiendo que las

variaciones en la dirección Z pueden expresarse como donde tenemos las ecuaciones (Ecs. 1) siguientes

Y las ecuaciones para Ez y Hz son (Ecs. 2):

Combinando con las ecuaciones iniciales (Ecs. 1) tenemos (Ecs. 3):

Donde:

Estas ecuaciones dan las relaciones existentes entre los campos interiores de la guía de onda, notándose que si Ez y Hz son ambas cero, todos los Campos dentro de la onda se desvanecerán.

Para la guía de onda rectangular mostrada en la figura las condiciones en los límites son:

Ex=Ez=0 en y=0 e Y=b

Ey=Ez=0 en x=0 y x=a

Figura 1. : Guía de Onda Rectangular

Ondas transversalmente magnéticas en guías rectangulares.

Si se resuelven las ecuaciones 2 (Ecuaciones. en derivadas parciales por la técnica usual de suponer una solución producto, el procedimiento conduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones son conocidas notando que:

Ec. 4

Y las Ecuaciones resultantes son:

Ec. 5

La única forma que se puede cumplir con la Ecuación 5 para todos los valores de x y de y es haciendo cada una de estas funciones igual a una constante por ejemplo, A2, teniéndose así:

Ec. 6

Ec. 7

Cuyas respectivas soluciones son:

Esto da como resultado:

Ec. 8

Donde las constantes C, D, E, F, A y B deben ser escogidas para satisfacer las condiciones en los límites, es decir, Ez=0 cuando x=0, x=a, y=0, Y=b. Y si aplicamos las condiciones se llega a qué:

Haciendo uso de las ecuaciones 3 y poniendo para las frecuencias superiores a alas de corte, se obtienen las siguientes expresiones:

Ecs. 10

Donde:

Ecs. 11

m y n son enteros m=n=1, 2, 3,…

Estas expresiones muestran como cada una de las intensidades de campo eléctrico y magnético varían con x e y. La variación en el tiempo a lo largo del eje de la guía, es decir, en dirección z, se expresa poniendo a cada una

de estas expresiones el factor y tomando entonces su parte real.

De las Ecs. 11 a y b son altura y anchura de la guía, m y n son números enteros, además se nota que si m o n son cero los campos son idénticamente nulos, por lo tanto los mínimos valores de m y n son 1, por lo

que con estos valores se obtienen campos de mayor frecuencia que es

el a mayores valores de m y n se requieren frecuencias mayores para propagarse a lo largo de la guía de onda.

Como por definición:

Entonces: Ec.12

La cual define la constante de propagación para la guía rectangular en ondas TM.

En bajas frecuencias, en las que es pequeño, γ será un número real. La constante de propagación que se encuentra en la teoría de transmisión por

líneas ordinarias es un número complejo, es decir, , siendo α la constante de atenuación (Atenuación por unidad de longitud) y β la constante de fase (Desfasaje por unidad de longitud). Si γ es real, α debe ser cero, y por lo tanto no hay desfasaje a lo largo de la línea, lo cual significa que no hay propagación de onda a lo largo del tubo en bajas frecuencias. Sin embargo, al tomar frecuencias mayores se alcanza un valor de ω que hará la expresión bajo radical de (Ec.12) igual a cero, si se llama a

este valor entonces la constante γ de propagación será imaginaria y

tendrá la forma , si se consideran paredes perfectamente

conductoras entonces para todas las frecuencias, tales que ω > ωc. Donde estas frecuencias:

Ec. 13

Ec. 14

Entonces la frecuencia de corte, aquella bajo la cual no puede haber propagación de onda es:

Ec. 15

Y la longitud correspondiente será:

Ec. 16

Con lo que resulta:

Ec. 17

Lo que indica esta expresión es que la velocidad de propagación de la onda en la guía es mayor que la velocidad de fase en el espacio libre. Al aumentar la frecuencia sobre la de corte, la velocidad de fase disminuye desde un valor infinitamente grande tendiendo a c (velocidad en el espacio libre) cuando la frecuencia crece sin límite.

Como la longitud de onda en la guía es λ = v/f, entonces será más larga que la correspondiente en el espacio libre, siendo esta:

Ec. 18

Las ecuaciones de las ondas transversalmente eléctricas (Ez=0) pueden obtenerse de una manera similar a las ondas magnéticamente transversales, por lo que al hacer el respectivo desarrollo, se encuentran las siguientes expresiones (Ec. 19)

Hz=C cosBx∗Ay

Hx=( jB

h2 )CBsenBx∗cos Ay

Hy=( jB

h2 )CAcosBx∗Sen Ay

Ex=( jωμ

h2 )CAcosBx∗Sen Ay

Ey=(− j ωμ

h2 )CBsenBx∗cos Ay

Siendo B=mπa

y A=nπb

En las que se ha supuesto γ= jB, lo que resulta cierto para frecuencias superiores a las de corte.

Para las ondas TE las expresiones de B , fc , λ c , v y λ son idénticas a las ondas TM, sin embargo, e las ondas TE m y n pueden ser cero pero no simultáneamente, sin dar lugar a que se anule la onda, como consecuencia el orden inferior de la onda TE en guías rectangulares es la onda TE10 la cual tiene la menor frecuencia de corte.

Donde los subíndices m y n representan el numero de variaciones del campo a lo largo de las coordenadas x e y respectivamente.

Por razones prácticas en l mayoría de experimentación con guías rectangulares se emplea la onda dominante TE10 siendo los campos para esta onda (Ecs. 20)

Hz=C cos ( π xa )

Hx=( jBaCπ ) sen( π x

a )Ey=(− j μω aC

π )cos ( π xa )

Ex=Hy=0

Y las expresiones para B , fc , λ c ,h son (Ecs 21):

B=√( (ω2 με )−( πa )2)

fc= C2a

h=πa

Para la onda TE10 la frecuencia de corte es aquella frecuencia para la que la media longitud de onda correspondiente (en el vacio) es igual a la anchura de la guía “a”.

IMPEDANCIAS DE ONDA

En las guías de onda es importante la impedancia de onda que se ve en la dirección de propagación, es decir, a lo largo del eje z.

Tendiéndose que una onda TM de una guía rectangular lo siguiente:

( ExHy )=−( Ey

Hx )=√ (Ex2+Ey2 )( Hx2+Hy2 )

= Bωε

Por tanto Zxy=Zyx= βωε

=Zz Ec. 22

Donde:

Zz=( EtransHtrans )=√ ( Ex2+Ey2)

(Hx2+Hy2 )Ec.23

Siendo esta la razón entre las intensidades de campo eléctrico transversal al campo magnético transversal.

La impedancia de onda en la dirección de propagación es constante en toda la sección transversal de la guía, y es la misma para diferentes formas de guías.

Sabiendo que:

β=√ ((ω2με )−h2)

Donde:

h2=A2−B2

Y que la pulsación de corte ωc se ha definido par la frecuencia que hace:

ωc2 με=h2 Ec.24

Resulta que B puede expresarse en función de la frecuencia de corte por:

β=ω √με∗√1−(ωc2

ω2 )De la ecuación 22 la impedancia de onda en la dirección de Z para ondas TM es:

Zz(TM )=√ με∗√1−(ωc2

ω2 ) Ec. 25

Así la impedancia de onda para ondas TM depende de la frecuencia intrínseca del dieléctrico y de la razón de la frecuencia de corte.

De una forma similar se obtiene que la impedancia de onda para las ondas TE sea:

Zz (TE )=ωμB

= √με

√1−(ωc2

ω2 )Resumiendo:

Las guías de onda pueden teóricamente propagar un número infinito de tipos de ondas electromagnéticas diferentes. Cada tipo generalmente llamado modo, tiene su propia configuración de campo eléctrico y magnético. Cada modo, tiene su propia configuración de campo eléctrico y magnético. Cada modo tiene también una frecuencia crítica (cut off frecuency) por debajo de la cual ya no se propaga la energía a través de la guía de onda. La frecuencia de corte de la guía, para cada modo, está determinada por las dimensiones de la guía. Una guía de onda se usa normalmente dentro de una región de frecuencias en donde únicamente puede propagar el modo más bajo (con la frecuencia de corte).

En general existen dos tipos de modos: el modo “transversal eléctrico” (modo TE) y el” transversal magnético” (modo TM).

El modo TE caracteriza porque el campo eléctrico es, en todas partes, perpendicular a la dirección de propagación. Lo mismo sucede con el campo magnético en un modo TM. Un caso particular es el modo TEM, en el cual tanto el campo eléctrico como el magnético son perpendiculares a la dirección de propagación. Este modo se da cuando la propagación es en el aire y en líneas coaxiales. A los modos se les distingue con índices, por ejemplo TEmn, en donde m y n indican el número de variaciones de las semiondas dentro del campo eléctrico en dos direcciones principales. La configuración del campo para el modo más bajo en una guía rectangular se muestra en la figura 1. La máxima intensidad del campo eléctrico se encuentra en el medio y dentro de la guía de onda en las paredes transversales el campo es nulo.

El campo eléctrico carece de componentes en las direcciones X y Y.

Figura 2: Campos eléctricos y magnéticosen una guía de onda rectangular.

Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos para los modos TE y TM.

Figura 2: Distintos modos transversales eléctricos que varían en función de m y n.

Figura 3: Distintos modos transversales eléctricos que varían en función de m y n.

Figura 4: Distintos modos transversales magnéticos que varían en función de m y n.

Bocinas

Una bocina electromagnética es una antena que se utiliza de forma generalizada a frecuencias de microondas, por sus características de gran ancho de banda y por su facilidad de construcción y diseño. Dependiendo de la guía de onda a la cual se adapten pueden ser Bocinas Rectangulares o Cónicas

Bocinas rectangulares

Se utiliza como antena individual, en forma de agrupaciones, o como alimentador primario de reflectores o lentes. Una bocina se alimenta a partir de una guía de onda que propaga uno o varios modos. Las dimensiones van aumentando progresivamente hasta que la apertura equivalente tenga unas dimensiones suficientes para conseguir la directividad deseada.

Bocina de Plano H Bocina de Plano E Bocina Piramidal

Figura 5. Bocinas Rectangulares

Campos en la apertura

La distribución de campos boca de guía rectangular en el modo fundamental TE10 es

Ec.26

En las bocinas de plano E se aumentan las dimensiones verticales de la apertura Figura 6.

Figura 6. Bocina de plano EPara aumentar la directividad, se puede aumentar las dimensiones verticales de la apertura, apareciendo una diferencia de fase (Figura 7) en la bocina de plano E.

Figura 7. Diferencia de Fase

La diferencia de fase tiene un comportamiento proporcional al cuadrado de la distancia. La distribución de campos en las bocinas de plano E será el mismo que la boca de guía rectangular con un término de fase adicional

Ec. 27

Bocina de plano H

Si se aumentan las dimensiones en el plano horizontal, la bocina se denomina de plano H (Figura 8), en este caso el error de fase cuadrático depende de la posición x. La distribución de amplitudes es la misma del modo fundamental de la guía de ondas.Los campos transversales en la guía correspondientes al campo TE10

Figura 8: Bocina de plano H

Ec. 28

Bocina Piramidal

En una bocina de forma piramidal aumentan las dimensiones horizontales y verticales de la bocina, el error de fase aparece en ambos planos.

Ec. 29

Figura 9: Bocina Piramidal

En la tabla 1 se comparan las distribuciones de campos en las bocinas.

Bocina de plano E

Bocina de plano H

Bocina Piramidal

Tabla 1 Comparación de los campos.

El máximo error de fase en el extremo de la bocina con respecto al centro

En las bocinas se puede aproximar la constante de propagación por la del espacio libre

Ec. 30

Los parámetros s, t son las diferencias en longitudes de onda entre el centro de la bocina y los extremos de los cortes x, y.

Figura 10. Graficas de los campos de apertura

Figura 11. Distribución del campo Ey

Campos radiados por las bocinas

Los campos radiados en una apertura rectangular son proporcionales a las transformadas de Fourier de la distribución de campos en la apertura

Para calcular los campos se pueden calcular las siguientes integrales normalizadas (cambio de variable x’=ax/2)

Las funciones a integrar son las funciones coseno y uniforme, con errores cuadráticos de fase proporcionales a −2π sx2. En los extremos se tendrá el error máximo de fase. El parámetro t es la diferencia en longitudes de onda de LH y R. El parámetro s es la diferencia en longitudes de onda de LE y R.Si los errores de fase son pequeños los diagramas serán proporcionales a las transformadas de las funciones uniforme y coseno. Si el error cuadrático aumenta los diagramas se modifican, con un efecto de relleno de los nulos.

En las siguientes gráficas universales se representan las transformadas de Fourier de las funciones con error cuadrático para diversas diferencias de camino entre el centro y el extremo. Los primeros ceros de los diagramas aparecen en u=π en la distribución uniforme y u=1.5π.

Figura 11. Diagramas de radiación de las bocinas

Los diagramas de radiación de las bocinas en formato de curvas de nivel

Figura 12. Transformada de los campos en la bocina con errores de fase s=1/8,t=1/8

Figura 13. Transformada de los campos en la bocinacon errores de fase s=3/8,t=1/4

Las bocinas sectoriales tienen diagramas en forma de abanico mientras que las piramidales tienen diagramas tipo pincel.

Figura 13. Diagramas de radiación

Bocinas Óptimas

La directividad de las bocinas depende del área de la apertura y del producto de las eficiencias.Por otra parte las dimensiones están relacionadas con los errores de fase mediante las relaciones

Si la longitud de la bocina se mantiene constante, la Directividad crecerá proporcionalmente a la raíz cuadrada del parámetro t, s.La representación gráfica de la función eficiencia por dicha raíz cuadrada permite observar que existe un punto óptimo, que es t=3/8, s=1/4 que coincide con diferencias de fase de 135º en el plano H y 90º en el plano E, equivalentes a diferencias de camino de 3λ/8en el plano H, y λ/4 en el E. La diferencia de óptimos es debida a la mayor atenuación del módulo del campo en la distribución coseno.

A) Bocinas plano H óptimas

B) Bocinas plano H óptimasFigura 14. Caminos de Bocinas Óptimas

Bocinas Cónicas

Las guías de onda circulares, que propagan el modo fundamental TE11, alimentan a las bocinas cónicas.

Figura 15 Bocinas Cónicas

Estas antenas se pueden analizar como aperturas, suponiendo que la distribución de los campos es aproximadamente la misma que los modos de las guías rectangulares o circulares.

Campos de apertura

La distribución de campos en una bocina cónica tiene la misma forma que el modo fundamental en la guía, y al igual que en las bocinas piramidales aparece un error cuadrático de fase debido a la diferencia de caminos recorridos por las ondas.

Figura 16. Campos de apertura Bocina Cónica

Para el cálculo del diagrama es necesario determinar el campo en la diagonal

Figura 17.

Las funciones transformadas son:

En las siguientes gráficas se muestran los diagramas normalizados en función del error máximo de fase para la componente copolar y contrapolar o cruzada, en función del máximo error de fase.

Figura 17. Diagramas de la polarización de referencia a 45º

Figura 18. Diagramas de la polarización cruzada a 45º

Los diagramas copolares y de polarización cruzada, para un error s=1/8 se muestran en las siguientes figuras, en función del parámetro u

Figura 19. Los diagramas copolares y de polarización cruzada,

Referencias Bibliográficas

1) A. D. Olver, P. J. B. Clarricoats, A. A. Kishk and L. Shafai, “Microwave Horns and Feeds”, IEE Electromagnetic Waves, Series, Volumen 39, 1994. ISBN América: 0 7803 1115 9.

2) C. del Río, R. Gonzalo and M. Sorolla, “High Purity Gaussian Beam Excitation by Optimal Horn Antenna”, Procceedings of ISAP’96. Chiba, Japón.

3) Eduardo Pérez Martínez, Roberto De La Rosa Lira. Fuentes y Prácticas para equipos de Microondas. Universidad Autónoma Metropolitana de Izatapalapa.

http://148.206.53.231/UAM7611.PDF

4) Miguel Ferrando, Alejandro Valero, Departamento de Comunicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. Bocinas

http://www.upv.es/antenas/Documentos_PDF/Notas_clase/Bocinas.pdf

5) “Antenas”, Ángel Cardama y otros. Edicions UPC 1993 en VII Curso Superior de Telecomunicación Militar Antenas de Apertura.

http://www.gr.ssr.upm.es/docencia/grado/antenas/Curso0809/Ant0809-4.pdf