CANAUX DE TRANSMISSIONS BRUITES

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE TOULOUSE

4ème Année IR

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CANAUX DE TRANSMISSIONS BRUITES

SUPPORT DE COURS ENONCE DE TRAVAUX DIRIGES

Alexandre Boyer [email protected]

http://lesia.insa-toulouse.fr/~a_boyer

Canaux de transmissions bruités Septembre 2011

A. Boyer 2

TABLE DES MATIERES

Introduction..................................................................................................................... 3 A. Caractéristiques des canaux de transmission ............................................................. 6 B. Le bruit et son effet sur les communications numériques........................................ 16 C. Effet du canal sur le débit d’une transmission numérique ....................................... 39 D. Impact du bruit sur un signal modulé ...................................................................... 54 E. Techniques de fiabilisation d’un canal de transmission par codage de canal .......... 68 F. Techniques de fiabilisation d’un canal de transmission sur la couche physique ..... 77 G. Régénération d’un signal ......................................................................................... 88 Conclusion - Planification d’une transmission numérique........................................... 98 Références................................................................................................................... 100 Annexe A – Rappel sur les unités............................................................................... 101 Annexe B – Produits d’intermodulation pour une non-linéarité d’ordre 3................. 103 Annexe C – Spectre d’un signal numérique ............................................................... 106 Annexe D – Démonstration du premier critère de Nyquist et Bande passante de Nyquist ........................................................................................................................ 112 Annexe E – Filtre en cosinus surélevé........................................................................ 114 Annexe F – Fonction d’erreur de Gauss complémentaire ERFC ............................... 117 Annexe G – Glossaire ................................................................................................. 119 Travaux Dirigés .......................................................................................................... 120


A. Boyer 3

Introduction

Le rôle d’un système de télécommunications est de transmettre à distance des informations d’un émetteur à un ou plusieurs récepteurs au travers d’un canal de manière fiable et à coût réduit. Dans un système de transmission numérique, une suite finie de symboles représente l’information. Celle-ci est transmise sur le canal de transmission par un signal « réel » ou analogique. Ce signal peut prendre une infinité de valeurs différentes et est ainsi soumis à différentes formes de perturbations et d’interférences, pouvant conduire à des erreurs d’interprétations du signal recueilli par le récepteur. Le rôle de l’ingénieur en télécommunications est donc de s’assurer que le récepteur pourra recevoir le message émis par l’émetteur sans aucune erreur, par un dimensionnement judicieux du canal de transmission et par la mise en place de techniques le rendant plus robuste.

Rappel historique :

La figure 1 présente un historique de l’évolution des techniques de télécommunications. Contrairement à ce que l’on pourrait croire, les premiers systèmes de télécommunications à être apparus étaient numériques. Il s’agissait des télégraphes optiques de Chappe (1794) et électriques de Morse (1832), dans lesquels l’information était représentée par des impulsions lumineuses ou électriques. C’est ensuite le téléphone de Bell (1876) et les transmissions radio de Marconi (1896) qui ont ouvert l’ère des communications analogiques. Ainsi, les premiers systèmes radio mobiles étaient analogiques. Les premières bases théoriques des communications numériques datent de 1948 (Shannon), mais le numérique est finalement apparu à la fin des années 70 avec des applications telles que le CD audio, les ordinateurs personnels, les GSM… Ces dernières années ont vu une véritable explosion des systèmes et des normes de communication, principalement sans fils. Bien que les premières transmissions radio datent de plus d’un siècle, les systèmes de communication sont restés principalement filaires. Une des principales difficultés était liée aux propriétés non stationnaires du canal radio. Un signal peut suivre plusieurs chemins pour arriver à un récepteur donné, ce qui peut conduire à distordre très fortement le signal reçu. Ainsi, le canal de transmission radio a un impact néfaste sur la qualité du signal transmis. Il est donc essentiel de mettre en place des circuits et des algorithmes permettant de fiabiliser la transmission. Néanmoins, même si des ingénieurs et des chercheurs avaient déjà imaginé des solutions, leur mise en œuvre était difficile voire impossible faute de technologies suffisamment performantes sur lesquels elles pouvaient être implantées. Le « boom » de l’industrie de la microélectronique à partir des années 70 et à l’évolution constante des performances des circuits intégrés a rendu possible le développement récent des systèmes de télécommunications.

1987 - standard GSM

2005 -standard Wimax

1896 - 1e liaison radio

1950 – 1st service de radiotéléphonie

1978 - AdvancedMobile Phone

Service

1956 - 1e liaison téléphonique

transatlantique

1832 - invention du télégraphe

2002 - déploiement du 1e réseau UMTS

1876 - invention du téléphone

1983 - protocole TCP-IP

1860 - 1e liaison télégraphique transatlantique

1948 – Travaux de C. Shannon

2008 – DVB-H en France

2010 – Déploiement 3.9G LTE

Fig. 1 - Historique des techniques de télécommunications


A. Boyer 4

Analogique vs numérique :

Les signaux numériques présentent certains avantages par rapport aux signaux analogiques. Le principal avantage est la vulnérabilité moindre du signal numérique aux perturbations extérieures par rapport à un signal analogique. En effet, il est plus difficile d’entraîner la modification d’un bit dans un signal numérique que de perturber sérieusement un signal analogique de quelques dizaines de millivolts. Le deuxième avantage est qu’il est possible de manipuler un signal numérique et de le soumettre à différents traitements (image, son, vidéo….). Celui-ci peut être compressé pour améliorer le débit d’informations, des codes détecteurs ou correcteurs d’erreur peuvent lui être ajoutés, le rendant plus robuste aux perturbations extérieures. Néanmoins, la mise au point d’un système numérique est plus complexe que celle d’un système analogique au point de vue systèmes électroniques mais aussi au niveau des algorithmes à développer. La complexité se traduit aussi en terme de coût. L’avènement des systèmes numériques s’est ainsi fait en parallèle de celle de l’évolution des circuits intégrés.

Problématique du cours de canaux de transmission bruités

Le rôle de tout système de communication est d’assurer que le récepteur comprenne l’intégralité des messages transmis par l’émetteur, quel que soit la compression, le format ou le type des données, mais aussi les perturbations induites sur le canal de transmission et son effet parasite. La figure 6 présente un schéma général un canal de transmission.

10011 … E(t) R(t) 0 ou 1 ?

source D é cision Support de transmission

Filtre r é cepteur

é chantillonneur

Filtre é metteur

Canal de transmission BRUIT

Fig. 6 - Schéma d’un canal de transmission numérique

Le transfert de l’information nécessite une source de données, traduites dans un système compréhensible par l’émetteur et le récepteur (codage, format, compression préalablement définis). Le canal proprement dit représente le lien ou le support de transport de l’information entre les 2 entités communicantes, mais il comprend aussi les dispositifs en entrée et en sortie du support de transmission qui vont aider à l‘émission, à la réception et à l’extraction correcte des données numériques. Pour envoyer le signal à travers le canal, la source a besoin d’un système d’adaptation (physique pour mettre en forme le signal, logiciel pour le protocole de dialogue). Le signal peut être directement

Fig. 2 – Télégraphe de Morse Fig. 3 - Téléphone de Bell

Fig. 4 – Radio de Marconi Fig. 5 – Claude Shannon


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transmis à travers le canal, la transmission se fait alors sur la même bande de fréquence que le signal à transmettre. On parle alors de transmission en bande de base. Néanmoins, ce type de transmission est rarement réalisé en pratique, notamment pour les transmissions radio. Le signal est alors transmis hors de la bande de base, une modulation permet de transposer le signal en bande de base à des bandes de fréquence bien plus hautes présentant des caractéristiques bien meilleures et permettant un partage du canal radiofréquence entre tous les systèmes de télécommunications.

Une fois le signal transmis, le récepteur récupère à l’autre bout du canal un signal perturbé, déformé et affaibli. De ce signal, il doit extraire l’information numérique originale sans erreur. Un filtrage permet de compenser les effets néfastes du support de transmission. Puisqu’il s’agit d’information numérique et synchrone, le récepteur doit être capable de récupérer l’horloge sur laquelle les bits émis étaient initialement synchronisés. Une fois que le récepteur a reconstruit un signal numérique « propre », il doit l’interpréter et décider de la valeur prise par signal à chaque période.

Néanmoins, le signal transmis est soumis à de nombreuses perturbations externes et internes au canal de transmission. Dans un premier temps, le bruit ambiant peut perturber les communications numériques, en dégradant l’amplitude des symboles reçus ce qui augmente le risque d’erreur d’identification de ces symboles. Des techniques de traitement du signal, de codage et de modulation ont été développées ces dernières années pour améliorer la robustesse des liaisons vis-à-vis du bruit. Néanmoins, le bruit n’est pas la seule source de perturbations, la fonction de transfert du canal introduit une distorsion au signal lors de sa propagation. De plus, dans le cas de communications numériques, l’aspect multi utilisateur doit être pris en compte car le canal de transmission est partagé et des interférences sont à craindre. Par conséquent, les performances des systèmes de communication dépendent des caractéristiques du canal de propagation. En outre, les caractéristiques temporelles du canal tendent à étaler le temps de transmission d’un symbole, augmentant le risque de chevauchement de plusieurs symboles adjacents et limitant le débit de transmission admissible sur ce canal. La tache délicate de l’ingénieur en télécommunication est de trouver des solutions en terme de format de modulation et codage de l’information, pour optimiser ces performances, et donc pour diminuer à la réception la probabilité d’erreur lors de la décision sur les symboles reçus.

Le but de ce cours est de présenter l’origine de toutes les perturbations pouvant affecter la transmission d’un signal entre un émetteur et un récepteur, de déterminer dans quelles conditions un canal va assurer correctement la transmission, et de proposer différentes techniques qui vont permettre de réduire la probabilité d’apparition d’erreurs. Dans ce cours, nous nous intéresserons principalement aux transmissions numériques puisque celles-ci sont majoritairement employées dans les standards de communication. Les objectifs de ce cours sont les suivants :

Présenter l’architecture générale d’un canal de transmission ainsi que les différents types de canaux et leurs caractéristiques.

Présenter l’origine du bruit et son effet sur l’identification des symboles transmis (établir pour un signal binaire le lien entre le rapport signal à bruit et le taux d’erreur binaire).

Présenter les caractéristiques temporelles d’un canal et les limitations posées en terme de débit de données transférées sur le canal.

Définir la capacité d’un canal de transmission, qui caractérise le débit binaire maximum théorique sans erreur.

Déterminer la robustesse au bruit de signaux numériques modulés.

Décrire des techniques de fiabilisation de la transmission d’un signal par codage de canal, filtrage, mise en forme …

Décrire des techniques de régénération du signal.


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A. Caractéristiques des canaux de

transmission

Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps présenter l’architecture générale d’un canal de transmission numérique et décrire brièvement les différents blocs le constituant. Dans un deuxième temps, nous décrirons les principaux supports de transmissions numériques employés de nos jours ainsi que leurs principales caractéristiques.

I. Architecture général d’un canal de transmission

Les systèmes de télécommunication numérique sont basés sur l’architecture présentée à la figure 7. La source primaire d’information peut être soit de type analogique qu’on numérise ensuite (ex. de la voix pour un téléphone mobile) soit directement de type numérique. L’information analogique est ensuite échantillonnée et numérisée à travers un étage de conversion analogique numérique. La taille du message binaire original ainsi produit est en général très importante et contient en outre un grand nombre de redondance. Il subit alors un codage de source, qui a pour but de le mettre dans un format standard d’échange et de réduire sa taille (compression). Le codage source peut aussi comporter une étape de cryptage dans le cas où l’on souhaite sécuriser le transfert des données et leur archivage.

Source analogique

Numérisation source

Codage source

Cryptage

Codage de canal

Modulation

Accès multiple. Mise sur porteuse. Amplification

Source numérique

canalcanalFiltrage. Mise en bande de base. Amplification

faible bruit

Démodulation

Décodage de canal

Décryptage

Décompression source

Conversion N/A

Destinataire analogique

Destinatairenumérique

Préparation à la transmission

Transmission

BRUIT Réception = Reconstruction

du signal

Réception

Reconstitution de la source

Fig. 7 – Architecture général d’un canal de transmission

Un canal de transmission ne se limite pas seulement au support physique du transfert de l’information. Il comprend aussi les dispositifs qui permettent d’adapter le signal à transmettre au canal et de minimiser les erreurs de réception. Ces étapes peuvent être réalisées bien en amont de la transmission proprement dite. La première étape est le codage de canal, qui consiste à ajouter


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volontairement de la redondance au signal afin de le protéger contre les différentes perturbations. On retrouve par exemple l’ajout de codes détecteurs ou correcteurs d’erreurs. Le codage de canal est réalisé uniquement en bande de base.

Une fois que ces symboles ont été ajoutés au signal numérique, celui-ci est modulé afin de transformer le signal informatif en un signal physique capable de transiter sur le canal de transmission utilisé. Le signal est alors transposé de sa bande de base à une bande de fréquence bien plus haute. La technique de modulation est choisie en fonction de la nature du canal, de son utilisation et du débit. Des techniques d’accès multiples ou de multiplexage peuvent être employées afin de partager un même canal entre différents utilisateurs et d’optimiser son utilisation, mais aussi de réduire l’influence des parasites. Suivant la technique employée, le multiplexage peut être effectué dans ou hors bande de base.

Une fois le signal à émettre mis en forme (modulé, filtré, amplifié), il peut être transmis à travers le canal de transmission. A travers ce cours, on supposera que le signal émis est vierge de tout parasite puisque toutes les précautions ont été prises afin d’assurer la qualité du signal émis. Le passage de l’information à travers le canal est critique. Le signal subit l’atténuation et les déformations inhérentes au canal ainsi que les différentes perturbations extérieures qui se couplent sur le canal. Le canal n’est pas le seul responsable de l’ajout de bruit au signal utile puisque l’ensemble des circuits de réception et de régénération du signal ajoute une part non négligeable de bruit. En outre, le bruit n’est pas le seul problème. Le canal présente certains défauts intrinsèques (inertie aux changements temporels, atténuation, …) qui limite la quantité d’information qu’on peut faire passer à travers le canal. A partir de la théorie de l’information (chapitre C), il est possible de prédire les performances limites théoriques d’un canal de transmission.

Le récepteur reçoit le plus souvent un signal faible, bruité et distordu qu’il va falloir reconstruire avant de l’interpréter. La première étape de la réception consiste à filtrer le signal et à l’amplifier afin de l’extraire du bruit ambiant et des interférences. Une étape de démodulation suit afin d’extraire le signal utile et de le ramener en bande de base. Différentes étapes de régénération permettent ensuite de reformer un signal numérique d’une qualité suffisante pour être traité par un circuit électronique. L’opération de décodage de canal suit, afin de vérifier que le signal reçu n’est pas erroné et enlever l’ensemble des symboles rajoutés lors du codage du canal. En cas de détection d’erreur, des demandes de retransmission peuvent être prévues suivant le protocole employé. Le signal numérique qu’on cherchait à transmettre peut enfin être envoyé au destinataire. Si la qualité du canal et les techniques de fiabilisation de la transmission étaient suffisants, le destinataire ne devrait faire aucune erreur d’interprétation et retrouver le signal original.

Exercice - Etat de l’art technologique : la figure ci-dessous présente l’intérieur d’un téléphone portable et un schéma bloc simplifié. Déterminer dans quels blocs sont réalisées les opérations décrites à la figure 7.

Réponse :


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BaseBandDSP

CAN

CNA

Filtre Codage voix

Décodage voix

Codage canal

Décodage canalFiltre Egal.

Mod.

CNA

CNA

CAN

CAN

BaseBand Analog

Récepteur RF

Transmetteur RF PA

Transceiver AntenneRF & IF Analog

Microprocesseur

Mémoires

I

Q

Q

I

Fig. 8 - Téléphone cellulaire éclaté et schéma bloc


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II. Les différents types de canaux de transmission

Une transmission d’information se fait toujours à distance, un support physique assure le lien entre la source et le destinataire. Dans cette partie, nous allons présenter les principaux supports couramment utilisés comme média de transmission.

1. Communication électrique filaire L’information est véhiculée par un « signal électrique », c’est à dire une onde

électromagnétique se propageant à travers un câble métallique. On trouve deux catégories de lignes de transmission utilisées en télécommunications :

câble bifilaire, de bande passante faible et réservé pour les transmissions à bas débit (inférieur à 2 Mbits/s pour le réseau téléphonique). Il s’agit le plus souvent de paires bifilaires torsadées afin de réduire la surface de couplage aux perturbations extérieures.

câble coaxial, de bande passante plus importante et qui permet de réaliser des transmissions avec un débit relativement élevé (jusqu'à 565 Mbits/s sur le réseau téléphonique). Le câble coaxial est notamment utilisé pour connecter les centraux téléphoniques entre lesquels transite un grand nombre de communications. Son avantage par rapport au câble bifilaire est d’être blindé, réduisant ainsi le couplage des perturbations électromagnétiques, et de présenter un milieu de propagation quasi uniforme le long de la ligne.

La principale caractéristique d’un câble est son impédance caractéristique. Celle-ci est définie par les dimensions géométriques de la ligne et le milieu de propagation de l’onde électromagnétique le long de la ligne (constante diélectrique de l’isolant). Cette impédance ne représente pas une impédance au sens classique électrique du terme, il s’agit en fait du rapport du champ électrique sur le champ magnétique de l’onde se propageant dans le câble (équation 1). La valeur de l’impédance caractéristique d’un câble dépend de ses caractéristiques géométriques et du milieu de propagation (permittivité diélectrique de l’isolant séparant les deux conducteurs du câble).

( ) ( )

( )m/A

m/Vc H

EZ =Ω (Équation 1)

La connaissance de l’impédance caractéristique est fondamentale car elle va permettre de déterminer la valeur optimale à donner à la charge terminale Zload de la ligne pour assurer la meilleure transmission du signal. Une ligne est dite adaptée si on vérifie l’égalité suivante : c loadZ Z= . Dans le

cas d’une ligne adaptée, toute l’énergie de l’onde incidente est fournie à la charge terminale. Par contre, toute rupture d’impédance conduit à la réflexion d’une partie de l’onde incidente, à la manière d’un changement de milieu pour une onde lumineuse. L’amplitude de cette onde réfléchie est d’autant plus grande que la désadaptation est importante, comme le montre l’équation 2:

Cload

Cload

inc

refl

ZZ

ZZ

V

V

+−

==Γ (Équation 2)

Où Γ est le coefficient de réflexion, Vinc et Vrefl l’amplitude en tension des ondes incidentes et réfléchies. L’onde présente le long de la ligne de transmission est la combinaison des ondes incidentes et réfléchies.

Que se passe t-il alors si la condition d’adaptation n’est pas respectée ? Pour répondre à cette question, il faut considérer les effets liés à la propagation de l’onde électromagnétique le long du câble, qui vont dépendre du rapport entre la longueur du câble et la longueur d’onde du signal transmis. La longueur d’onde dans le vide d’une onde est liée à sa fréquence par l’équation suivante, où c est la vitesse de la lumière (3.108 m/s) :


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f

c=λ (Équation 3)

Pour de faibles fréquences, la longueur d’onde est largement plus grande que la longueur de la ligne de transmission, l’onde est quasiment constante en tout point de la ligne, quel que soit l’impédance de charge (fig. 9). Par contre, si la longueur d’onde devient inférieure à la longueur de la ligne, l’amplitude de l’onde n’est plus constante le long de la ligne, et présente des minima et maxima régulièrement espacés.

x

V inc

0 L

L << λ

câble

L’amplitude de l’ondeest quasi constante sur

toute la ligne

onde

x

Vinc

0 L

L >> λ

câble

L’amplitude de l’onden’est pas constante le

long de la ligne

onde

Fig. 9 – Propagation d’une onde le long d’une ligne de transmission en fonction de sa longueur d’onde

Si l’adaptation de la ligne n’est pas assurée à chacun de ses terminaux, l’onde va être réfléchie plusieurs fois sur chacun des terminaux, faisant osciller la tension aux bornes de la charge (ringing) comme le montre la figure 10. Les effets sur le signal peuvent être :

Un retard à l’établissement du signal

Des surtensions, sous-tensions et des oscillations pouvant conduire à des erreurs d’interprétation des signaux reçus.

x=0

x

Vincident

Vréfléchi Vload

Câble d’impédance caractéristique Zc

Vin

Iin

Vload

temps

Vin

temps

Si Zload ≠ Zc

Fig. 10 - Effet de la désadaptation d’impédance sur le signal transmis

Exercice – Problème d’adaptation de ligne : soit un câble téléphonique de 1 mètre utilisé pour transmettre un signal binaire de fréquence F. A partir de quelle fréquence F faut-il prendre en compte les effets de propagation de l’onde électromagnétique.

Réponse :


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Un autre paramètre essentiel est l’atténuation du câble liée aux différentes pertes (ex : les

pertes dans le diélectrique). Cette atténuation augmente en général avec la fréquence. Un câble coaxial standard présente des pertes typiques de 0.3 dB/m à 100 MHz et 1 dB/m à 1 GHz. Cette atténuation limite l’utilisation de communications filaires pour de longues distances.

2. Communication optique filaire Les fibres optiques sont des guides pour les ondes électromagnétiques dont les fréquences sont

de l’ordre du spectre visible. La lumière est guidée le long d’une fibre par réflexions multiples. La figure 11 décrit la structure d’une fibre optique ainsi que le principe de la propagation de la lumière le long de la fibre. Les 2 principaux avantages des fibres optiques sont leurs bandes passantes très élevées (plusieurs dizaines de Gbits/s, voire quelques térabits/s) ainsi que leurs faibles atténuations (0.2 dB/km pour une longueur d’onde de 1550 nm). Théoriquement, les débits dans les fibres optiques devraient être infinis, mais ils sont principalement limités par les composants électroniques des étages de transmission et de réception. En outre, contrairement aux communications filaires et radioélectriques, les fibres optiques sont insensibles aux perturbations électromagnétiques externes puisque ces dernières ne peuvent s’y coupler. Inversement, le signal guidé le long de la ligne ne peut sortir que par l’autre bout de la ligne, interdisant toute fuite du signal et assurant une sûreté de transmission très élevée. Elles introduisent très peu de distorsions sur le signal et permettent de réaliser des multiplexages fréquentiels très efficaces. Enfin, elles subissent peu d’échauffement par rapport aux liaisons filaires électriques ce qui améliorent leur fiabilité. Malgré tous ces avantages, les principaux points négatifs concernent la fragilité de fibres et de leurs connecteurs, ainsi que le coût d’installation et d’entretien des réseaux en fibres optiques. Aujourd’hui, la plupart des liaisons transocéaniques sont réalisées par des fibres optiques puisque 80 % des communications longues distances sont effectuées à l’aide des 25 millions de kilomètres de fibres optiques enterrées ou submergées.

Propagation du signal

Cœur (silice, plastique)

Gaine « réfléchissante »

Indice de réfraction n1

Indice de réfraction n2n1 > n2

10 – 200 µmFaisceau de lumière incidente

Fig. 11 – Guidage d’un faisceau lumineux par une fibre optique

Le débit record d’une fibre optique a été obtenu par l’opérateur japonais NTT Docomo, avec 1800 Go/s sur une de distance de 160 km.

Question : Soit une fibre optique de 100 km de long présentant une atténuation de 0.2 dB/km. Quelle est la puissance restante du signal reçu ?

Réponse :


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3. Radio communication Les radiocommunications utilisent la propagation d'une onde

électromagnétique dans l'atmosphère. Ce milieu est généralement réservé aux transmissions par satellite ou par faisceaux hertziens ainsi qu'aux communications mobiles. Le dispositif de base pour transmettre ou recevoir un signal à travers le canal radioélectrique ou hertzien est une antenne. Les lois de propagation à travers ce canal sont déterminées par les équations de Maxwell. Les radiocommunications s’étendent sur un spectre très large (de plusieurs KHz à plusieurs GHz). La figure 12 présente l’occupation du spectre radiofréquence.

Fr é quence (Hz)

100K 1M 10M 100M 1G 10G 100G

Radio AM Radio OC

CB TV VHF

Radio FM RFID

TV UHF

ILS

GSM GPS

DCS UMTS

Radar auto

IEEE 802.11b

VHF 30 - 300MHz

UHF 300 - 3000MHz

SHF 3 - 30GHz

EHF 30 - 300GHz

HF 3 - 30MHz

MF 0.3 - 3MHz

WiMAX

IEEE 802.11c

Fig. 12 – Occupation du spectre radiofréquence

RFID : 13.56MHz, 27.1MHz Radio FM : 88-108MHz TV : 54-72MHz, 76-88MHz, 174-216MHz, 470-806MHz Applications commerciales : 434.3MHz GSM : 890-915MHz (montant), 935-960MHz (descendant) DCS : 1800MHz GPS : 1217.6-1237.6MHz, 1565.4-1585.4MHz UMTS : 1920-1980MHz, 2110-2170MHz Wifi - IEEE 802.11b : 2460MHz Wifi - IEEE 802.11c : 60 GHz Bluetooth : 2400MHz WIMAX (IEEE 802.16) : 2-11 GHz

Type Bande passante Applications Paire torsadée >100KHz Téléphonie, LAN Câble coaxial >100MHz Télévision, LAN Fibre optique >1GHz LAN, WAN

Faisceaux hertziens

Dépend de la fréquence de la

porteuse

Télévision, téléphonie mobile, LAN

Satellites >10MHz GPS, WAN

Tableau 1 - Les différents supports de transmission et applications

L’avantage des radiocommunications par rapport aux autres supports de communication

(fialire, fibre optique) est le faible coût d’installation d’un réseau à grande échelle, puisqu’il ne nécessite pas d’installer des supports physiques entre chaque nœud et terminaux du réseau, il suffit d’installer une antenne. Néanmoins, il présente de nombreux inconvénients. D’abord, il s’agit du mode de transmission le plus soumis aux perturbations extérieures et aux effets néfastes du support de transmission. Par nature, le canal radioélectrique est variable dans le temps, imprédictible et multichemin. Ensuite, les transmissions de données à travers le canal radioélectrique ne peuvent pas être sécurisées et n’importe quelle antenne adaptée à la fréquence de transmission est susceptible de capter le signal. Enfin, le canal radioélectrique subit de très fortes atténuations avec l’éloignement. En


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espace libre (sans obstacles), le modèle de propagation d’une onde ne dépend que de la distance séparant les 2 antennes et de la fréquence. L’équation 4 donne l’expression théorique de l’atténuation de la puissance transportée en espace libre en fonction de la distance et de la fréquence. Néanmoins, dans un environnement réel, le cas idéal de l’espace libre ne peut s’appliquer et on doit utiliser des modèles de propagation plus complexes prenant en compte des réflexions, des diffractions, des diffusions, des atténuations ainsi que la vitesse de déplacement relatif du récepteur par rapport à l’émetteur. De plus, le déplacement du récepteur ou de l’émetteur modifie à chaque instant les caractéristiques du canal de transmission. Enfin, d’autres propriétés peuvent caractériser une antenne, comme sa polarisation. En pratique, des modèles statistiques permettent d’estimer simplement les atténuations en prenant en compte les obstacles dans différents types d’environnement (ville, milieu rural, …). La figure 13 présente les atténuations radio calculées à partir de modèles plus complexes, prenant en compte la nature de l’environnement de propagation (modèle Okumara-Hata ou COST 231).

22

44

×=

=c

dfdnAtténuatio π

λπ (Équation 4)

d : distance en m séparant l’émetteur du récepteur. Cette équation suppose une propagation sans obstacles. f : fréquence du signal en Hz λ : longueur d’onde en m.

Fig. 13 – Atténuation d’un signal radiofréquence à 950 MHz pour différents environnements

Question : Un téléphone mobilé GSM émet à pleine puissance (2 W) à une fréquence de 950 MHz. Le seuil de réception de la station de base du réseau téléphonique est de -102 dBmW. Quelle est l’atténuation maximale que peut subir le signal émis par le téléphone. Quelle est la portée théorique de cet émetteur dans l’hypothèse d’un espace libre ? Dans un milieu rural ? Dans un milieu urbain ?

Réponse :


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Comme dans une liaison filaire les problèmes d’adaptation d’impédance se posent aussi pour les liaisons radiofréquences, en entrée et en sortie des antennes d’émission et de réception. Pour optimiser le transfert, les liaisons entre l’émetteur-récepteur et l’antenne doivent être adaptées autour de leurs fréquences de résonance. L’impédance caractéristique et la fréquence de résonance d’une antenne sont principalement liées à la géométrie et à la disposition de l’antenne dans son environnement.

Cependant, une antenne diffère d’un câble puisque l’onde ne se propage pas le long d’un circuit bien défini mais dans plusieurs directions dans l’espace. Certaines antennes peuvent émettre de manière quasi uniforme dans toutes les directions (on parle d’antenne omnidirectionnelle, comme les antennes fouet), alors que d’autres dans une direction bien précise (antenne directionnelle comme une antenne parabolique). On caractérise cette faculté à concentrer plus ou moins l’émission sur une zone de l’espace par la directivité , ou bien par le gain de l’antenne pour comparer la puissance rayonnée par une antenne donnée dans une direction par rapport à une antenne de référence, le plus souvent omnidirectionnelle. La figure 14 présente un exemple de diagramme de rayonnement d’une antenne. Le choix d’une antenne directive dépend de la couverture désirée de l’espace environnant.

Fig. 14 – Diagramme de rayonnement d’une antenne log périodique

4. Comparaison des portées Les liaisons filaires, optiques et radio subissent des atténuations très différentes. La figure 15

présente une comparaison des atténuations en fonction de la distance séparant l’émetteur du récepteur pour ces 3 types de canaux de transmission. Le canal radio est celui qui présente l’atténuation la plus importante, alors que les fibres optiques constituent le support qui introduit le moins d’atténuation. Néanmoins, les liaisons radiofréquences permettent de construire des réseaux de communication économique et sont les seuls à autoriser la mobilité des émetteurs-récepteurs.

Fig. 15 - Comparaison de l’atténuation du signal pour différents supports de communication


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5. Autres supports de transmission d’information D’autres supports de transmission existent comme les supports de stockage que sont les CD,

les DVD ou les disques durs. Ils représentent eux aussi des moyens de transfert d’information et sont aussi soumis à des contraintes spécifiques en terme de taux d’erreur. Il est important de connaître les caractéristiques d’un support de transmission ainsi que leurs limitations pour le dimensionnement d’un canal de transmission (capacité max. d’information transmise, bande passante), techniques à adopter pour assurer la qualité de service. Enfin, il faut s’assurer des réglementations associées à l’utilisation d’un support.

III. Ce qu’il faut retenir

⇒ Un canal de transmission n’est pas simplement composé du support de transmission, mais aussi de l’ensemble des dispositifs qui permettent d’adapter le signal à transmettre au canal et de minimiser les erreurs de réception.

⇒ Afin de résister aux perturbations induites par le support de transmission, un signal à transmettre subit en général des opérations de codage de source, de codage de canal, de modulation, de mise en forme …. Il subit les opérations inverses en réception.

⇒ Lors de la transmission à travers le canal, le signal subit les atténuations et les déformations propres au canal, ainsi que le bruit provenant de perturbateurs externes. En outre, les émetteurs et récepteurs du canal contribue à générer des perturbations qui dégradent le signal.

⇒ Les défauts du canal de transmission et les perturbations externes vont limiter la quantité d’information qui peut passer à travers le canal et affecter la qualité du signal.

⇒ Un récepteur reçoit en général un signal faible, bruité et distordu. Il doit être en mesure de le reconstruire puis de l’interpréter afin de retrouver le signal d’origine.

⇒ Les transmissions d’informations se font en général par liaison filaire (câble électrique ou fibre optique) ou par liaison hertzienne (ou sans fils). Cette dernière est la plus sensible aux perturbations externes et dont l’environnement de propagation est le plus difficile à modéliser.


A. Boyer 16

B. Le bruit et son effet sur les

communications numériques

Par définition, le bruit est un signal aléatoire superposé au signal utile. Selon l’amplitude du bruit par rapport à celle du signal, le bruit sera à l’origine d’une fluctuation aléatoire de l’amplitude du signal. En outre, le canal introduit une atténuation du signal transmis qui va limiter sa portée.

Dans lors, « l’information » transportée par le signal est dégradée, voire perdue, en présence de bruit. Le but de ce chapitre est de présenter les différentes sources de bruit dans un canal de transmission, de présenter les grandeurs permettant de le caractériser (rapport signal à bruit) et de lier la quantité de bruit à la dégradation d’un signal numérique (relation entre le rapport signal à bruit et le taux d’erreur binaire). A partir de ces critères sur l’amplitude minimale que doit posséder le signal pour éviter une transmission erronée, il sera possible de dimensionner la puissance à émettre dans le canal, les caractéristiques du signal, les gains et les pertes des différents éléments du canal. Un outil nous le permettra : le bilan de liaison.

I. Bruit lié aux équipements électroniques

1. Définition du bruit Les signaux utiles sont souvent mélangés à du bruit . Le bruit est par définition un signal

parasite aléatoire, le plus souvent d’origine thermique. Tout signal de fréquence F dont l’amplitude est inférieure ou égale à celle du bruit, ou sous le seuil de bruit, à la fréquence F ne pourra être différencié du bruit par un dispositif électronique de réception (fig. 16). Le bruit définit donc la limite basse en amplitude permettant la détection d’un signal. Au cours du dimensionnement d’un canal de transmission, il faudra tenir compte du niveau de bruit afin de définir la sensibilité du récepteur. Le bruit peut être caractérisé de plusieurs manières :

par sa densité spectrale de puissance (DSP) (Fig. 16), c'est-à-dire la répartition énergétique en fonction de la fréquence (puissance par hertz). Les télécommunications étant basées sur des transmissions et des réceptions effectuées sur des bandes de spectre étroites, il est nécessaire de déterminer la quantité totale de bruit occupant la bande spectrale du signal utile. La quantité totale de bruit sur une bande de fréquence donnée (par exemple la puissance) est égale à l’intégrale de la DSP sur cette bande de fréquence

par sa fonction de répartition ou densité de probabilité en amplitude (Fig. 17), et aussi par différentes valeurs statistiques comme sa valeur moyenne et sa variance. En effet, comme le bruit est généralement aléatoire (il peut être dans certains cas déterministes mais ses caractéristiques ne sont pas connues), celui est vu comme un signal aléatoire. En appliquant un modèle de distribution du bruit (distribution normale, log normale …), il est possible d’estimer l’amplitude maximale prise par le bruit. Les caractéristiques statistiques du bruit sont généralement données par la valeur moyenne et par l’écart type.


A. Boyer 17

Densité spectrale de puissance (W/Hz ou dBW/Hz)

Seuil de bruit

Signal détectable

Signal non détectable

Fréquence

n0

df∫=f

dfnN 00Puissance du bruit :

Fig. 16 – Représentation de la densité spectrale de puissance du bruit et d’un signal, et détection d’un signal au dessus du seuil de bruit

Temps

Moyenne

Amplitude du bruit (x)

2σ

Densité de probabilité p(x)


σ = écart-type

Fig. 17 –Caractérisation statistique du bruit

2. Bruit Johnson Toute résistance, même si elle n’est pas parcourue par un courant, produit à ses bornes une

tension de bruit appelée bruit Johnson. Ce bruit est produit par l’agitation thermique aléatoire des électrons. Ce bruit possède un spectre plat, c’est à dire que la puissance du bruit est constante avec la fréquence. On parle alors de bruit blanc. Son amplitude dépend de la valeur de la résistance et de la température ambiante. La tension efficace de bruit aux bornes d’une résistance R peut se calculer à l’aide de l’équation 5, la densité spectrale de bruit à l’aide de l’équation 6.

4 TRbruitV k B= (Équation 5)

24 TR ( / )bruitDSP k V Hz= (Équation 6)

R = résistance du conducteur (Ohm) k=1.38x10-23 Joule/°K, constante de Boltzmann T= température du matériau (°K) B=largeur de bande (Hz)

Comme le bruit est un phénomène aléatoire, l’amplitude du bruit Johnson est imprévisible

mais suit une loi gaussienne.

3. Bruit de grenaille Un courant électrique peut être comparé à un flux de charges discrètes de charges constantes.

Contrairement à l’écoulement d’un fluide, un courant est composé d’éléments finis qui connaissent des fluctuations statistiques. La fluctuation du courant est donnée par l’équation 7 :

2bruitI qIB= (Équation 7)


A. Boyer 18

q=1.6x10-19 C charge d’un électron I= amplitude du courant continu (A) B=largeur de bande (Hz)

Les fluctuations relatives du courant sont d’autant plus importantes que le courant est faible.

Comme le bruit Johnson, il s’agit d’un bruit blanc gaussien. Cette formule est particulièrement valable dans une jonction PN, mais surestime le bruit de grenaille dans un conducteur métallique.

4. Bruit en 1/f ou bruit de scintillement Alors que les bruits Johnson et de grenaille sont des phénomènes irréductibles liés à des

phénomènes physiques, les composants réels ont une source de bruit supplémentaire ayant plusieurs origines liées à leur fabrication (nature du matériau, résistif par exemple). Ainsi, les résistances sont affectées de variations de résistance proportionnelles au courant qui les traversent produisant des fluctuations de tension à leurs bornes. Le spectre de ce bruit suit à peu près une loi en 1/f, sa densité de puissance est donc divisée par 10 à chaque décade de fréquence. On appelle aussi ce bruit le bruit rose.

5. Bruit thermique Comme nous venons de le voir, le bruit est essentiellement d’origine thermique et son

amplitude dépend de la fréquence. Il est beaucoup plus important en basse fréquence qu’en haute fréquence à cause du bruit de scintillement, mais il a tendance à se stabiliser en haute fréquence. En considérant que le bruit est constant sur la bande de fréquence visée (ce qui est généralement le cas puisque les bandes de fréquence allouées aux transmissions sont limitées), la formule suivante est proposée afin de déterminer de manière simple l’amplitude du bruit d’origine thermique aux bornes d’un dispositif de réception.

( ) ( )kTBlog10dBWN = (Équation 8)

N : amplitude du bruit k : constante de Boltzmann (k=1.38e-23 J/K) T : température (K) B : bande de fréquence (Hz)

La formule précédente permet d’évaluer le seuil ou plancher de bruit dû à l’agitation

thermique ambiante.

Question : calculer la densité spectrale du bruit à température ambiante (27°c) à l’aide de la formule précédente.

Réponse :

6. Bruit d’un circuit actif et facteur de bruit Les circuits actifs sont constitués de nombreux éléments capables de générer du bruit

(transistors, diodes…). Ainsi, les amplificateurs introduisent une part non négligeable de bruit dans les récepteurs. Un modèle équivalent de bruit ramené en entrée est donné pour représenter le bruit d’un amplificateur. Il contient :

Une manière courante de caractériser le bruit interne par un système électronique est le facteur de bruit ou Noise Figure. Celui-ci est égal au rapport entre la puissance de bruit mesuré en sortie sur la


A. Boyer 19

puissance de bruit mesuré en entrée d’un système électronique (équation 9). Il indique donc la quantité de bruit ajouté par le système électronique.

( ) ( ) ( )dBNdBmNdBNFN

NNF inout

in

out −=⇒= (Équation 9)

Lorsque plusieurs systèmes électroniques sont cascadés, le facteur de bruit du système complet va dépendre des facteurs de bruit NFi de tous les éléments et de leurs gains Gi. Il peut se calculer à partir de la relation de Friis (équation 10).

1e élément 2e élément Ne élément

G1

NF1

G2

NF2

GN

NFN

NoutNin

12121

3

1

21 ...

1...

11

−

−++

−+

−+==

N

N

in

out

GGG

NF

GG

NF

G

NFNF

N

NNF (Équation 10)

Remarque : les circuits passifs génèrent aussi du bruit. En effet, une résistance génère du bruit Johnson. Le facteur de bruit d’un dispositif passif est lié à son atténuation L par la formule ci-dessous.

LNFpassif

1= (Équation 11)

7. Bruit d’une antenne Dans un système de transmission radio, les performances en termes de sensibilité du récepteur

dépendent non seulement de celles des circuits électroniques, mais aussi de l’antenne qui contribue à ajouter du bruit au signal. L’antenne possède une résistance de perte et présente donc une source de tension de bruit de Johnson, qui dépend fortement de la température de l’antenne. Une antenne est aussi une source de bruit à cause de sa fonction première : capturer des ondes électromagnétiques. En effet, une antenne est susceptible de capter l’ensemble des signaux parasites produits par son environnement (interférences électromagnétiques, bruit thermique).

8. Autres sources de bruit Les sources de bruit sont très nombreuses. On peut trouver par exemple les rayonnements

cosmiques qui sont des événements localisés et de haute énergie. Certains circuits peuvent être sensibles aux vibrations et aux sons comme les détecteurs. Plusieurs techniques existent pour rejeter le bruit :

moyenne du signal puisque le bruit est de nature aléatoire

réduction de la bande passante

filtrage

techniques de conception de circuits dits faible bruit

La figure 18 présente un exemple de mesure à l’analyseur de spectre du bruit aux bornes d’une résistance.


A. Boyer 20

Fig. 18 – Mesure du bruit aux bornes d’une résistance

Question : Commenter la mesure de la figure 18.

Réponse :

II. Distorsions non linéaires des circuits électron iques

Les circuits électroniques actifs sont souvent modélisés par des lois linéaires, alors que leur comportement est purement non linéaire. Celui-ci est négligé afin de faciliter la prédiction de leur comportement (par ex, en utilisant des fonctions de transfert). Ces effets liés au comportement intrinsèque des composants et à leurs imperfections vont dégrader les performances du système en modifiant certains paramètres tels que le gain des étages d’amplification ou en créant des signaux parasites. Les effets non linéaires sont difficiles à modéliser et, en général, ils sont modélisés à l’aide de série de développement limité à l’ordre 2 ou 3. Les lois non linéaires apparaissent alors comme des polynômes d’ordre 2 ou 3 (ces calculs sont présentés à l’annexe B), enrichissant le spectre du signal de sortie de nouvelles composantes spectrales. On dit alors que les signaux d’entrée et de sortie de dispositifs non linéaires ne sont plus isomorphes. On distingue plus particulièrement deux types de distorsions :

La distorsion harmonique

La distorsion d’intermodulation


A. Boyer 21

1. Distorsions harmoniques La distorsion harmonique est due, en cas d’excitation par une sinusoïdale pure de fréquence

fo, à la création de composantes aux fréquences harmoniques k×fo, où k est un entier. Le spectre en sortie du dispositif non linéaire est enrichi en nouvelles composantes spectrales. Pour caractériser la distorsion spectrale, on utilise les notions de taux de distorsion. Le taux de distorsion de l’harmonique k , notée dk, prend en compte l’apparition de nouvelles composantes spectrales :

( )1

% kk

Aamplitude harmonique kd

amplitude du fondamental A= = (Équation 12)

Le taux de distorsion harmonique global d caractérise la distorsion totale du signal. Il s’agit

du rapport des valeurs efficaces du signal de sortie sans la composante fondamentale sur celui avec fondamentales :

∑∑

∑∞+

=

∞+

=

+∞

= −==

1

2

2

1

1

2

2

2

1

kk

kk

kk

A

A

A

Ad (Équation 13)

La distorsion apparaît dès que les signaux ont des amplitudes importantes et que les approximations linéaires ne sont plus valables. Les distorsions harmoniques apparaissent principalement dans les étages d’amplification des émetteurs-récepteurs. Le gain de tout amplificateur est considéré comme constant tant que l’amplitude du signal d’entrée reste faible. L’entrée et la sortie de l’amplificateur sont alors reliées par une loi linéaire et les signaux d’entrée et de sortie sont isomorphes. Cependant, dès que l’amplitude du signal d’entrée est suffisamment élevée pour sortir du domaine linéaire, le gain n’est plus constant et diminue. On parle de compression de gain. Dès lors, le signal de sortie subit une distorsion d’amplitude.

Pour caractériser la plage d’amplitude du signal d’entrée sur laquelle le gain peut être considéré comme constant, on définit le point de compression à 1 dB; il s’agit de la plage d’amplitude du signal d’entrée pour laquelle la relation suivante est vérifiée :

1 0 1dBG G dB= − (Équation 14)

où Go est le gain en zone linéaire. Le point à 1dB correspond à la puissance à fournir en entrée

pour que le gain réel de l’amplificateur s’écarte de 1dB du gain linéaire. L’annexe B présente un calcul qui fait apparaître cette compression de gain dans un système non linéaire d’ordre 3. La figure 19 illustre la notion de point de compression à 1dB. La seule façon de limiter la distorsion du signal de sortie est de limiter l’amplitude du signal en entrée pour s’assurer que le circuit reste dans la zone de fonctionnement linéaire. On peut aussi filtrer le signal distordu afin de ne conserver que la composante de fréquence fondamentale. Puissance sortie

1dBm

Caractéristique idéale

Point de compression à 1dB

Puissance entrée

Pe

PsZone de fonctionnement non linéaireDistorsion

Fig. 19 - Illustration de la distorsion d’un signal provoqué par le comportement non linéaire d’un amplificateur


A. Boyer 22

2. Distorsions d’intermodulation La distorsion d’intermodulation est liée à l’existence de produits d’intermodulation . Ceux-ci

apparaissent lorsqu’un signal d’entrée constituée d’une combinaison linéaire de termes sinusoïdaux de fréquences différentes fi, fj, … passe à travers un dispositif non linéaire. Le signal de sortie est alors composé, en plus des composantes harmoniques initiales, de termes d’intermodulation dont les fréquences sont égales à des combinaisons linéaires des fréquences initiales ji fnfmF ×±×= .

Ces distorsions sont très gênantes car elles génèrent des signaux parasites dans la bande utile. Néanmoins, cette propriété est mise à profit dans les circuits mélangeurs des modulateurs/démodulateurs pour la transposition de fréquences. L’annexe B présente le calcul du signal de sortie pour un système non linéaire d’ordre 3. La figure 20 présente le spectre du signal de sortie d’un amplificateur. Le signal d’entrée correspond à la somme de 2 sinusoïdes de fréquences 200 et 250MHz. On remarque que le signal présente de nombreux produits d’intermodulation.

Fig. 20 - Signal de sortie d’un amplificateur non idéal et produits d’intermodulation

On peut remarquer que les produits les plus gênants sont ceux d’ordre 3 (2F1-F2 et 2F2-F1). En effet, si les fréquences F1 et F2 sont très proches, les produits d’ordre 3 peuvent parasiter le signal utile si ils apparaissent dans la bande passante du récepteur. Pour caractériser les dégradations apportées par les produits d’intermodulation, on utilise la distorsion d’intermodulation IM3 , qui est égale au rapport de l’amplitude des signaux de produit d’ordre sur celle des signaux initiaux. Ce rapport est exprimé en dBc, c pour carrier, c'est-à-dire « par rapport à la porteuse ». Des valeurs comprises entre 20 et 40 dB peuvent être considérées comme acceptables.

13

2 1 2

20 log ( )F

F F

VIM dBc

V −

= ×

(Équation 15)

Question : D’après l’exemple de la figure 20, calculer la valeur IM3 ?

Réponse :,

F1 F2

2F2-F1 2F1-F2 2F1+F2 2F2+F1

∆f=50MHz

∆f ∆f


A. Boyer 23

3. Bruit de phase des oscillateurs locaux des récep teurs Bien que ses effets soient moindres, une autre source de bruit liée aux défauts des circuits

électroniques du récepteur est le bruit de phase. Celui-ci est lié à l’instabilité des oscillateurs locaux (OL) du récepteur. Ceux-ci sont souvent des oscillateurs contrôlés en tension montés à l’intérieur d’une boucle à verrouillage de phase (PLL) et subissent en permanence une variation aléatoire de leur fréquence de fonctionnement. Au niveau du spectre, le bruit de phase se traduit par une large bande de bruit situé au pied de la porteuse, comme le montre la figure 21.

fréquence

signal

fréquence

signal oscillateur peu bruyant oscillateur bruyant

bruit de phase seui l de

bruit

Fig. 21 - Bruit de phase

Ces oscillateurs locaux sont utilisés dans les

circuits de réception pour ramener le signal modulé en bande de base. Si l’OL est bruyant, son bruit va se superposer au signal utile des canaux adjacents et être ramené dans la bande passante du récepteur. Le bruit de phase est très perturbateur car ses effets sont cumulatifs. Il n’existe pas de contre mesures permettant de réduire son effet, le seul moyen est d’améliorer la pureté spectrale de l’OL à sa conception. Voila pourquoi des gabarits très stricts sont imposés aux oscillateurs locaux dans les applications radio, comme celui de la norme GSM présenté figure 22.

Fig. 22 - Gabarit fréquentiel imposé par la norme GSM

Le bruit de phase est le plus souvent exprimé en dBc/Hz. Il s’agit du rapport de la puissance du bruit sur une bande passante de 1Hz sur la puissance de la porteuse. Cette bande est choisie en s’écartant de 10KHz de la porteuse. Une valeur typique de bruit de phase est de -120dBc/Hz.

Porteuse Fp fréquence

puissance

10KHz

1HzBruit de phase

Fig. 23 - Calcul du bruit de phase


A. Boyer 24

4. Autres sources de perturbations D’autres sources de perturbations liées à l’électronique du récepteur existent et ont déjà été

étudiées les années précédentes : on trouve par exemple les résidus de spectres non supprimés par les filtres anti-repliement. Ceux-ci sont utilisés pour limiter la largeur de bande d’un signal à échantillonner. Si celle-ci ne respecte pas le théorème d’échantillonnage de Shannon, un phénomène de repliement de spectre peut avoir lieu et entraîner une distorsion du signal transmis. Les erreurs de quantification sont une source de dégradation du signal inévitable dans toute chaîne de conversion analogique numérique et qui réduisent les performances du système en terme de rapport signal sur bruit.

III. Atténuation du canal de transmission

1. Affaiblissement Par définition, l’affaiblissement ou l’atténuation est le rapport de la puissance à la sortie du

système Ps sur la puissance à son entrée Pe. On le calcule de la manière suivante :

10 log ( )s

e

PA dB

P

= ×

(Équation 16)

1ln ( )

2s

e

PA Np

P

=

(Équation 17)

Suivant la base choisie pour le logarithme, le gain ou l’affaiblissement sont exprimés en décibel (dB) ou en néper (Np). Même si le néper est mathématiquement plus naturel que le décibel (dans la théorie des lignes, l’atténuation suit une loi exponentielle), l’usage du décibel est plus répandu. On passe d’une unité à l’autre à l’aide des 2 formules suivantes :

1 20 log( ) 8.68Np e dB dB= × = (Équation 18)

11 ln(10) 0.115

20dB Np Np= × = (Équation 19)

Pour la conversion en dB, reportez vous à l’annexe A.

2. Communications filaires Les câbles, s’ils ne sont pas blindés, peuvent coupler un grand nombre de perturbations

électromagnétiques qui se superposent au signal utile et réduisent le rapport signal à bruit. De plus, les ruptures d’adaptation existant le long d’un câble ont tendance à ralentir et déformer le signal. L’atténuation d’un câble réduit non seulement l’amplitude du signal et mais contribue aussi à l’étaler dans le temps. Un autre problème se pose dans le cas de câbles placés à proximité les uns des autres : la diaphonie. Elle est due à la proximité de chacun des câbles qui fait se coupler mutuellement les 2 signaux présents sur chacun des 2 câbles (création de couplages inductifs et capacitifs entre les câbles). Si une ligne sensible est placée trop près d’une ligne sur laquelle un signal rapide est véhiculé, le signal rapide se couplera sur la ligne sensible par diaphonie et parasitera le signal sensible.

3. Affaiblissement de parcours en propagation hertz ienne Un canal radio représente le médium le plus soumis aux perturbations. Dans la réalité, un

espace libre dégagé de tout obstacle et aux propriétés uniformes est un cas purement idéal. Considérons d’abord une propagation en espace libre. Lorsqu’une onde électromagnétique se propage et s’éloigne de la source, la puissance qu’elle transporte par unité de surface décroît avec la distance. L’atténuation en fonction de la distance d et de la fréquence f est donnée par :


A. Boyer 25

22

44

×=

=c

dfdnAtténuatio π

λπ (Équation 20)

Supposons qu’on est une liaison radiofréquence entre un émetteur E et un récepteur R. La puissance rayonnée par l’antenne de l’émetteur dépend de la puissance électrique Pe et du gain de l’antenne Ge. La puissance électrique reçue Pr dépend de la puissance transportée par l’onde électromagnétique et le gain de l’antenne réceptrice Gr. Le rapport entre la puissance électrique reçue et la puissance électrique émise est donnée par la formule de Friis :

22

44

×=

=

c

df

GG

d

GG

P

P rere

e

r

πλ

π (Équation 21)

Dans le prochain chapitre, nous détaillerons les différents phénomènes physiques qui affectent

la propagation et altèrent les caractéristiques temporelles du signal.

4. Brouillage ou interférences Le terme brouillage ou interférences signifie qu’un signal parasite de puissance non

négligeable émis à la même fréquence que le signal utile peut perturber la transmission sur le canal, en dégradant le rapport signal à bruit ou en introduisant des distorsions. On trouve 2 types d’interférences :

L’interférence due à la présence simultanée d’autres utilisateurs soit sur le même canal de transmission (mauvais duplex, interférences entre utilisateurs), soit sur des canaux adjacents (la largeur de bande du canal adjacent ne respecte pas les contraintes fixées).

Le brouillage intentionnel (activité militaire, volonté de perturber une communication gênante). La technique revient à placer à proximité de l’utilisateur une source haute puissance et de la faire émettre à la fréquence du canal. Seules les communications radio peuvent être brouillées, les communications par fibre optique restent inviolables.

Dans les réseaux cellulaires, le brouillage entre cellules adjacentes émettant sur une même

sous bande est inévitable. On parle d’interférence co-canal. Celui-ci est dû à la réutilisation des fréquences allouées par un opérateur dans des cellules voisines, comme le montre la figure 24. Des règles de réutilisation de fréquence sont dès lors requises ainsi qu’un dimensionnement judicieux des puissances des émetteurs.

Les canaux émettant sur des bandes de fréquences voisines ou adjacentes peuvent aussi se perturber. En effet, les signaux sont rarement bornés en fréquence, alors que les bandes de fréquence allouées le sont. Un filtrage efficace est nécessaire pour couper toute émission hors bande et éviter des phénomènes de blocage de canaux adjacents. Cependant, les défauts des circuits et des filtres (bruit de phase, distorsions non linéaires, produits d’intermodulation) limitent l’efficacité du filtrage en produisant un grand nombre d’harmoniques hors bande.

Signal

Interférences

InterférencesInterférences

f1f1

f1f1

f1 f2 fk

Fréquence

Bande allouée àun opérateur

Sous bande

Fig. 24 - Interférence co-canal dans un réseau cellulaire


A. Boyer 26

IV. Modélisation du bruit dans un canal de transmis sion

Un modèle de canal reste une vision simplifiée de la réalité, sa modélisation complète pourrait atteindre une très grande complexité (par exemple un réseau cellulaire dans un milieu urbain). Dans ce cours, on prend la notion de canal au sens large du terme, c'est-à-dire qu’on y inclut le médium de transmission mais aussi les équipements de transmission et de réception. Voici quelques définitions :

Canal discret : l’ensemble des symboles reçus après le passage dans le canal est fini. L’information est donc numérique.

Canal à temps discret : l’échelle des temps est discrète.

Canal sans mémoire : le symbole reçu à un instant donné dépend uniquement du symbole émis au même instant t (en considérant le retard de transmission nul). Si le canal a une mémoire, la sortie dépend aussi des symboles présents en t’, t’<t.

Canal stationnaire : ses caractéristiques sont fixes au cours du temps. Une fibre optique est un canal stationnaire, ses caractéristiques étant quasi invariantes au cours du temps, alors qu’une liaison radio correspond à un canal non stationnaire puisque ses caractéristiques dépendent de nombreux facteurs tels que les objets environnants, les conditions atmosphériques ou les perturbations électromagnétiques.

Canal sélectif : le signal à transmettre a des composantes fréquentielles qui sont atténuées différemment par le canal de propagation. Il introduit donc une distorsion dans le signal transmis.

Nous allons maintenant présenter quelques modèles simples de canaux de transmission

prenant en compte l’ajout de bruit par le canal. Dans le chapitre suivant, nous verrons comment inclure les effets temporels induit par le canal. Des modèles bien plus complexes existent (par exemple pour le canal radioélectrique), mais ils ne sont pas traités dans ce cours.

1. Canal binaire symétrique ou BSC Il s’agit d’un canal discret binaire sans mémoire. Ce canal est qualifié de symétrique car la

probabilité qu’un 1 devienne un 0 en sortie est égale à celle qu’un 0 devienne un 1. p est la probabilité d’erreur. La figure 25 illustre le modèle de ce canal.

0 0

entrée sortie

1 1

p

p

1-p

1-p

0 0

entrée sortie

1 1

p

p

1-p

1-p

Valeur pris par le signal

+V-V

Densité de probabilité

Probabilité que le symbole émis soit ‘0’

Probabilité que le symbole émis soit ‘1’

On décide que la valeur reçue est un ‘0’

On décide que la valeur reçue est un ‘1’

Interférences entre symboles

Fig. 25 - Canal binaire symétrique

Même si ce modèle de canal reste simpliste, il permet d’évaluer rapidement les performances d’un système numérique en termes de taux d’erreur binaire.


A. Boyer 27

2. Bruit blanc gaussien et canal à bruit blanc gaus sien additif (Additive White Gaussian Noise AWGN) Le bruit blanc gaussien est un modèle de bruit largement utilisé dans de nombreux domaines.

En effet, lorsqu’un phénomène correspond à la somme d’un grand nombre de variables aléatoires, il est possible de démontrer par le théorème de la limite centrale que la distribution statistique de ce phénomène suit une distribution gaussienne. Dans le domaine fréquentiel, un bruit blanc présente une DSP constante en fonction de la fréquence. Un bruit gaussien suit une distribution gaussienne, caractérisée par une moyenne µ et une variance σ². La densité de probabilité est donnée par l’équation 22. La figure 26 illustre la représentation temporelle d’un bruit gaussien et la distribution statistique qui peut en être extrait, dont la densité de probabilité suit une distribution gaussienne. La représentation temporelle ne permet pas d’extraire d’informations sur le signal en raison de sa nature aléatoire (pas de période par exemple), mais la distribution permet d’extraire des éléments statistiques sur la nature du bruit.

( ) ( )

−−=2

2

2exp

2

1

σµ

πσx

xp (Équation 22)

Temps

Moyenne


2σ

Densité de probabilité p(x)


Fig. 26 – Représentation temporelle d’un bruit gaussien et distribution statistique de son amplitude

Un canal AWGN est non discret et sans mémoire qui représente parfaitement une liaison radio

en vue directe dont le bruit est principalement d’origine thermique. Le bruit additif est dans ce cas un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance σ². Comme il s’agit d’un bruit blanc, la densité spectrale de bruit est constante avec la fréquence, ce qui représente une hypothèse simplificatrice des calculs et mais qui reste valide si on considère des bandes de fréquence étroites. La figure 27 illustre le modèle général d’un canal AWGN. Le canal est caractérisé par une fonction de transfert ou une réponse impulsionnelle, qui décrivent le comportement soit fréquentiel soit temporel du canal (voir chapitre suivant). Les perturbations externes et le bruit se couplent au canal et sont ajoutés au signal transmis.

Signal numérique émis Signal numérique

reçu

Bruit et perturbations

Canal de transmission

Filtre linéaire

++

1 0 0 1

Fig. 27 - Modèle général d’un canal de transmission à bruit additif


A. Boyer 28

3. Canal de Rayleigh Dans les liaisons radiomobiles, les canaux de transmission évoluent en fonction du temps à

cause des déplacements aléatoires des entités communicantes et l’existence d’obstacles entre l’émetteur et le récepteur. Il peut en résulter que le signal émis suit plusieurs trajets avant d’arriver au récepteur, conduisant à une variabilité importante du signal reçu due à l’addition de plusieurs signaux déphasés. Lorsque le débit de transmission est suffisamment faible, chaque symbole ne se superpose qu’avec lui-même, au moins sur une portion significative de sa durée. Un canal de Rayleigh permet de prendre en compte ces effets : réflexions multiples, évanouissements, fluctuations à grande et petite échelle et effet Doppler. L’amplitude et la phase du signal reçu apparaissent comme des variables aléatoires qui suivent une loi de Rayleigh (équation 23). Ce modèle est particulièrement adapté à une représentation statistique d’un canal radiomobile.

−=2

2

2

2

2exp)(

σσxx

xp (Équation 23)

V. Rapport signal sur bruit

1. Définition Connaître la puissance du bruit N n’a un intérêt que si on peut la comparer à celle du signal Ps

et en déduire son impact sur la dégradation du signal. C’est pourquoi on utilise généralement un rapport de puissance appelé rapport signal sur bruit (Signal Noise Ratio) :

N

PSNR nomS= (Équation 24)

Le rapport signal sur bruit se rapporte toujours au niveau nominal du signal. Le plus souvent, celui-ci est exprimé en dB (équation 25). Voir Annexe A pour les conversions entre les échelles linéaires et les échelles logarithmiques (dB).

( )

×=

N

PdBSNR nomSlog10 (Équation 25)

Celui-ci va donc permettre d’apprécier la qualité d’un signal et déterminer la sensibilité d’un dispositif pour une densité spectrale du bruit donnée. Le rapport signal à bruit est une donnée surtout intéressante pour des signaux analogiques, puisqu’il va permettre d’estimer la dégradation subit par ce dernier. En effet, plus le rapport signal à bruit est faible, plus le signal est dégradé par le bruit et plus il sera difficile de supprimer l’influence du bruit sur le signal. Il est nécessaire de garantir un rapport signal à bruit important pour s’assurer que le signal reçu reste une « copie fidèle » du signal transmis. Ci-dessous, voici 4 exemples de contraintes en terme de SNR, les 3 premières correspondent à des transmissions analogiques, la dernière à une transmission numérique.

Exemple de SNR :

Téléphonie classique : SNR ≥ 50dB (B=3.1 KHz), bruit à peine perceptible, bruit à 30dB très gênant.

Transmission de musique : SNR ≥ 47dB (B=15 KHz), plus sévère que les exigences en téléphonie puisque largeur de bande plus grande.

Transmission de télévision : SNR ≥ 52dB (B=5 MHz)

Système GSM : SNR ≥ 8dB (B=200KHz), le bruit thermique étant de -120dBm à 290°K, le premier étage d’amplification ajoutant un bruit de 10dB, la sensibilité du récepteur est de -


A. Boyer 29

102dBm (63pW) ! Cette sensibilité permet de garantir un taux d’erreur binaire d’au plus 1 pour 100 bits.

Remarque : dans le cas de signaux modulés, on parle aussi de rapport carrier on noise C/N, où C représente la puissance de la porteuse.

2. Cas d’un signal numérique - Rapport signal à bru it par bit Les signaux numériques sont sensibles au bruit, mais ne sont pas aussi sensibles que les

signaux analogiques. Contrairement à un signal analogique, la qualité d’un signal numérique ne se mesure pas à la distorsion du signal, mais à la possibilité pour un circuit digital de détecter correctement l’état binaire transmis. Alors que la principale contrainte d’une communication analogique est le rapport signal à bruit qui est directement relié à la distorsion du signal, celle d’une communication numérique est le taux d’erreur binaire .

Alors que les exigences en termes de rapport signal à bruit pour les transmissions analogiques sont très élevées (plusieurs dizaines de dB !), celles-ci sont beaucoup plus faibles pour des communications numériques. Les niveaux de bruit nécessaires pour induire une erreur binaire doivent être très grand et du même ordre que l’amplitude du signal. En général, il est possible de recevoir un signal numérique avec une qualité acceptable avec un rapport signal à bruit légèrement négatif (nous le verrons par la suite) !

Ainsi, le rapport signal sur bruit n’est pas la meilleure métrique pour qualifier la qualité d’un signal numérique. On préfère employer un rapport signal à bruit normalisé appelé rapport signal à bruit par bit noté Eb/No. Il s’agit du rapport entre l’énergie véhiculée par un bit Eb et la densité spectrale en puissance du bruit No. Comme nous le verrons plus tard, cette grandeur est directement reliée au taux d’erreur binaire, et fixer une contrainte en termes de taux d’erreur binaire revient à fixer une contrainte sur le rapport Eb/No. Intuitivement, on sent que la dégradation d’un signal numérique, en l’occurrence une erreur d’interprétation de bits, va dépendre du rapport entre l’énergie transportée par un bit et celle du bruit.

Décortiquons maintenant les deux termes de ce rapport. Eb représente l’énergie transportée par

un bit. L’énergie par unité de temps s’appelle la puissance. Dans le cas d’un signal binaire, l’énergie par bit (en J/bit) est donc reliée à la puissance moyenne du signal S (en W) par le débit binaire Fb (en bit/s) comme le montre l’équation 26. On remarque que l’énergie par bit est inversement proportionnelle du débit binaire.

bb F

SE = (Équation 26)

N0 représente la densité spectrale de bruit, c'est-à-dire la puissance N transportée par le bruit sur une bande de fréquence de largeur B. Son unité est W/Hz, ce qui est équivalent à une énergie.

B

NN =0 (Équation 27)

En combinant les 2 équations précédentes, on peut relier le rapport signal à bruit et le rapport Eb/No par l’équation suivante :

bo

bb

o

b

F

B

N

S

N

E

B

F

N

E

N

S ×=⇔×= (Équation 28)

S : puissance du signal (W) N : puissance du bruit (W) Eb : énergie par bit (W.s/bit) No : densité spectrale de bruit (W/Hz) Fb : débit binaire (bits/s)

B : bande passante du canal de transmission (Hz)


A. Boyer 30

Remarque : le rapport Eb/No dépend non seulement des puissances du signal et du bruit, mais aussi des propriétés du signal telles que le débit binaire, la modulation (comme nous le verrons, la bande passante nécessaire pour transporter un signal dépend du type de modulation employée). Le rapport Eb/No prend donc en compte l’effet de d’autres paramètres influents sur la robustesse d’une communication numérique. Ce rapport est donc un paramètre plus intéressant pour comparer des systèmes de communication différents.

3. Résolution en amplitude Le bruit qui se superpose au signal transmis sur un canal vient dégrader sa qualité. Dans le cas

d’un signal numérique où les différents symboles sont représentés par des amplitudes différentes, plus le nombre de symboles possible est grand, plus il devient difficile de les différencier en présence de bruit. Ainsi, comme la puissance du signal est limitée, pour un niveau de bruit donné, il existera une limite en nombre de symboles pour assurer une transmission numérique. Dans l’hypothèse d’un bruit additif blanc gaussien et pour un rapport signal sur bruit S/N donné, Shannon a pu montrer que pour conserver une probabilité d’erreur d’interprétation des symboles quasi nulle, le nombre maximal d’états Nmax est donné par l’équation 29.

max 1S

NN

= + (Équation 29)

Néanmoins, il est impossible d’assurer une probabilité d’erreur nulle puisque cela signifierait qu’une erreur est un événement impossible. En présence de bruit aléatoire et pour un dispositif de transmission donné, une erreur est un événement toujours possible. On peut donc en déduire une quantité maximale de décision par moments, c’est-à-dire un nombre maximal de bits pour représenter les symboles à transmettre :

max 2

1( ) log 1

2m

SD bits D

N ≤ = +

(Équation 30)

VI. Taux d’erreur binaire d’un signal bruité

1. Définition Alors que la qualité d’un signal analogique est dégradée par toute distorsion ou atténuation

non linéaire créé par le canal de transmission, la qualité d’un signal numérique ne sera réduite que si les effets négatifs du canal conduisent le récepteur à confondre plusieurs symboles ou bits dans le cas d’un signal binaire. Afin de quantifier la dégradation subie par un signal numérique ou de spécifier la qualité que doit atteindre une transmission numérique, on utilise la notion de taux d’erreur binaire ou Bit Error Rate (BER). Il s’agit du taux d’erreur mesuré à la réception d’une transmission numérique, et se calcule à l’aide de l’équation 31.

( )reçusbitsdetotalnombre

erronésbitsdenombreBER =% (Équation 31)

Plus la contrainte sur la qualité de service d’une transmission est élevée, plus le BER est faible. Par exemple, la norme GSM spécifie un BER < 1 % pour une puissance reçue > -102 dBm.

Remarque : le BER n’est pas la seule métrique utilisée pour qualifier la qualité d’un signal

numérique. On retrouve aussi le Frame Error Rate (FER) ainsi que le Block Error Rate (BLER) qui indique respectivement la probabilité d’erreur par trame et la probabilité d’erreur par blocs de données.


A. Boyer 31

2. Taux d’erreur binaire théorique d’un signal bina ire sur un canal AWGN Nous allons maintenant relier la probabilité d’apparition d’erreur binaire en fonction du

rapport signal à bruit. Plaçons-nous dans le cas d’un signal binaire et d’un canal AWGN. On appelle f(x) la densité de probabilité du bruit, qui suit une distribution gaussienne, de moyenne nulle et d’écart type σ. Supposons que les 2 états binaires sont représentés par deux niveaux de tension notés a0 et a1. On appelle A l’amplitude du signal. L’émission des états ‘0’ et ‘1’ sont équiprobables. Ce signal bruité est appliqué en entrée d’un récepteur binaire, présentant un seuil de décision notée λ0. Supposons de

plus que ce seuil de décision est tel que 2

100

aa +=λ . Une erreur binaire apparaît si le récepteur

interprète mal un bit incident. Deux cas peuvent se présenter :

un état ‘0’ est transmis, mais le bruit est suffisant pour que l’amplitude du signal appliquée en entrée du récepteur dépasse le seuil de décision.

un état ‘1’ est transmis, mais le bruit est suffisant pour que l’amplitude du signal appliquée en entrée du récepteur soit inférieure au seuil de décision.

temps

Amplitude Vin du signal binaire reçu

a0

a1

A

Récepteur (seuil de

décision λ0)λ0

Etat binaire transmis a :

0 01

Etat de sortie d :

d = ‘0’ si Vin < λ0

d= ‘1’ si Vin > λ0

Fig. 28 – Modèle de la décision d’un récepteur binaire

Connaissant les probabilités d’apparition des symboles 0 et 1 et sachant que le bruit suit une distribution gaussienne, on peut déterminer la distribution de l’amplitude du signal d’entrée. Celle-ci est la somme des distributions de l’amplitude dans le cas où un état ‘0’ est transmis (noté f(x/a0)) et dans le cas où un état ‘1’ est transmis (noté f(x/a1)) (Fig. 29).

( ) ( )

−−=

2

20

0 2exp

2

1/

σπσax

axf (Équation 32)

( ) ( )

−−=

2

21

1 2exp

2

1/

σπσax

axf (Équation 33)

Vin


a0 a1

2σ 2σ

λ0

f(x/a0) f(x/a1)

Fig. 29 - Densité de probabilité de l’amplitude du signal en entrée du récepteur binaire

Calculons la probabilité d’apparition d’une erreur :


A. Boyer 32

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫∫∞−

∞+

+=

===+====0

0

10

10

/2

1/

2

1

/0.0/1.1λ

λ

dxaxfdxaxfP

aadPdPaadPdPP

err

err

En analysant l’équation précédente et en exploitant les propriétés de symétrie d’une fonction gaussienne, on peut écrire :

( ) ( )

( )

−−=

−=

+=

∫

∫

∫∫

+

+

−

+∞−

∞−

0

0

0

0

0

02

2

1

2exp

2

11

2

1

12

1

/2

1

2

1

A

err

A

A

err

A

A

err

dxx

P

dxxfP

dxaxfdxxfP

σσπ

Comme le seuil est placé de manière symétrique par rapport à a0 et a1, on peut faire intervenir A, qui correspond à l’amplitude du signal.

Vin


a0 a1λ0


a0 a1λ0

+2σ 2σ


2σPerr

λ0-A0/2

201 aa

A−=

Vin

Vinλ0λ0-A/2

Fig. 30 - Calcul du taux d’erreur binaire dans le cas d’un signal binaire traversant un canal AWGN

En effectuant le changement de variable suivant : σ2

xu = , on peut écrire l’équation

suivante :

( )

−−= ∫

+σ

π

2

0

2

0

exp2

12

1A

err duuP

En se reportant à l’annexe E, on remarque que la fonction erfc apparaît dans l’équation précédente, qui peut s’écrire sous la forme ci-dessous :

=σ22

1 AerfcPerr (Équation 34)

Modifions cette équation pour faire apparaître le rapport signal à bruit par bit Eb/No :


A. Boyer 33

Energie du signal : bTA

E2

2

= , où Tb est la période binaire. L’énergie par bit est donc de :

2

2AEb =

Energie du bruit : bTN 2σ= . Pour chaque période binaire, l’énergie du bruit est donc de : 2

0 σ=N

L’équation 34 peut donc s’écrire sous la forme suivante :

=

02

1

N

EerfcP b

err (Équation 35)

Le taux d’erreur binaire BER est similaire à la probabilité d’apparition d’erreur binaire, donc le BER est relié au rapport signal à bruit par bit par l’équation 36 pour un signal binaire. Cette relation est particulièrement importante pour le dimensionnement d’un canal de transmission car il permet de définir une limite en terme de rapport signal à bruit à partir d’une contrainte donnée sur le taux d’erreur binaire maximale. Cette formule reste cependant théorique mais donne une bonne estimation du taux d’erreur binaire pour un rapport signal à bruit donné. Comme nous le verrons par la suite, cette relation n’est valable que pour un signal binaire et évolue avec le type de modulation, le codage canal le filtrage …

×=

o

b

N

Eerfc

2

1BER (Équation 36)

La figure 31 présente le taux d’erreur binaire en fonction du rapport signal à bruit dans le cas d’un signal binaire. On remarque que plus le rapport signal à bruit augmente, plus le taux d’erreur binaire diminue. Un fait surprenant est que même si le rapport signal sur bruit est négatif, le taux d’erreur binaire n’est pas égal à 1. Dans cet exemple, pour Eb/No = 0 dB, le taux d’erreur binaire est de 8 %. Même si ce taux d’erreur est supérieur aux spécifications usuelles des systèmes de communications numériques, moins de 1 bit sur 10 risque d’être altéré alors que le signal a un niveau plus faible que le bruit. Il faut cependant rappeler que l’information dans un signal numérique n’est pas portée par la forme du signal. Il peut être distordu et l’information sera conservée intacte tant qu’il est possible de reconnaître le bon état binaire transporté.

Fig. 31 – Taux d’erreur binaire en fonction du rapport signal à bruit dans le cas d’un canal AWNG et d’un signal binaire


A. Boyer 34

Question : Soit un signal binaire de débit = 12 Kbits/s. Le signal en bande de base présente une bande passante de 25 KHz. Calculer le rapport signal à bruit nécessaire pour garantir un BER < 0.1 %.

Réponse :

VII. Bilan de liaison

Nous venons d’établir une relation entre le rapport signal à bruit (l’amplitude du signal reçu) et la probabilité d’apparition d’erreur binaire. La quantité d’erreurs induites dans un signal binaire est donc dépendante de la puissance du signal reçu et du seuil de bruit du récepteur (nous avons pour l’instant ignoré les effets temporels du canal qui sont une autre source d’erreurs. Nous les aborderons dans le prochain chapitre). Si nous cherchons à réaliser un canal de transmission numérique et assurer une transmission avec un minimum d’erreur, nous pouvons déterminer la puissance minimale à transmettre au récepteur, à condition de connaître le seuil de bruit et la nature du bruit présent. Pour cela, nous allons introduire un outil adapté au dimensionnement en puissance du canal : le bilan de liaison.

1. Définition Le bilan de liaison (ou link budget en anglais) est un outil fondamental pour dimensionner les

puissances à mettre en jeu dans un canal de transmission. Le bilan de liaison fait la somme de la puissance émise et de tous les gains et les pertes rencontrés jusqu'au récepteur, ainsi que les marges ajoutées par le concepteur, fournissant la puissance reçue par le récepteur. Celle-ci doit être supérieure au seuil de réception, lié au niveau de bruit du récepteur et du rapport signal à bruit minimal pour assurer une détection du signal et une qualité de service suffisante (donnée par exemple sous la forme d’une contrainte en terme de BER).

La figure ci-dessous présente un schéma général d’un canal de transmission. Une puissance électrique Pe est mise en entrée de l’émetteur, qui va se charger de mettre en forme le signal et de l’adapter au medium de propagation. Les différents éléments constituant l’émetteur vont soit amplifier le signal avec un gain Ge au signal (apporté par exemple par des amplificateurs ou par les dispositifs de conversion du signal électrique comme les antennes, qui peuvent focaliser l’onde électromagnétique produite dans une direction privilégiée), soit apporter une perte notée Le (L pour Loss) (par exemple, les pertes liées aux câbles). La puissance en sortie de l’émetteur tient donc compte du gain Ge et des pertes Le. Cette puissance traverse le medium de propagation (câbles, fibre optique, espace libre pour une communication hertzienne) qui va introduire une perte de propagation Lp. Celle-ci dépend des caractéristiques du milieu et dans la distance séparant l’émetteur du récepteur. La puissance du signal en entrée du récepteur sera donc égale à la puissance en sortie de l’émetteur moins la perte de propagation liée au medium de propagation. Enfin, les différents éléments constituant le récepteur introduisent soit un gain Gr soit une perte Lr. La puissance en sortie du récepteur est donc égale à la puissance reçue amplifiée par le gain Gr et diminuée par la perte Lr. La probabilité d’apparition d’erreur dépendra donc du rapport entre la puissance Pr et le bruit superposé au signal reçu.


A. Boyer 35

Puissance en entrée de

l’émetteur PeEmetteur

Medium de propagation

Puissance en sortie du

récepteur PrRécepteur

Gain Ge

Perte Le

Gain Gr

Perte Lr

Perte de propagation Lp

Bruit

≤Erreur

binaire ?

Fig. 32 – Schéma général d’un canal de transmission et bilan de puissance

En exprimant les différentes puissances, gains et pertes en dB, il est possible de déterminer la puissance reçue à l’aide de l’équation suivante et donc d’établir un bilan de liaison.

rrpeeer LGLGLPP −+−+−= (Équation 37)

Le bilan de liaison se présente généralement sous la forme d’un tableau où on va calculer introduit la puissance mise en entrée du canal par l’émetteur (à partir de la puissance d’entrée, des gains et des pertes de l’émetteur), le seuil de réception du récepteur (à partir du seuil de bruit, du bruit ajouté par le récepteur, des gains et des pertes du récepteur), et déterminer la perte de propagation maximale. De cette perte et à partir d’un modèle de propagation, il est possible d’estimer la séparation maximale entre l’émetteur et le récepteur. Le bilan va aussi permettre aussi d’ajuster certains éléments du canal de transmission, telle que la puissance d’émission, les gains à ajouter, les pertes maximales autorisées sur l’émetteur ou le récepteur … Cet outil simple va aider le concepteur à dimensionner les différents éléments du canal.

2. Sensibilité d’un récepteur Une des principales contraintes d’un récepteur concerne sa sensibilité ou seuil de réception,

c'est-à-dire le niveau de puissance minimal du signal d’entrée pour que celui-ci soit détecté. La sensibilité d’un récepteur dépend non seulement du niveau de bruit en entrée du signal, mais aussi du rapport signal à bruit minimal à respecter pour une application donnée et des marges que le concepteur juge nécessaire pour compenser un certain nombre de pertes additionnelles probables et d’incertitudes. La sensibilité d’un récepteur peut se calculer à l’aide de la formule suivante :

( ) esmpertesSNRbruitdeseuildBWésensibilit argmin +++= (Équation 38)

Seuil de bruitSNRmin

Niveau de puissance

Marges supplémentaires

signal

Seuil de sensibilité

Fig. 33 - Seuil de sensibilité d’un signal

Dans le cas d’une transmission numérique, le rapport signal à bruit est exprimé en terme de

rapport signal à bruit par bit, qui est directement relié au taux d’erreur binaire. Dans le cas d’un bruit thermique et d’un signal binaire, la sensibilité d’un récepteur peut s’écrire :

( ) ( ) ( ) pertesFNEkTdBWésensibilit bob +++= log10/log10 (Équation 39)

k : constante de Boltzmann (1.38e-23 J.K-1) T : température (K) Eb/No : rapport signal à bruit par bit (dB)


A. Boyer 36

Fb : débit binaire (Bits/s)

Question : La norme de télécommunication mobile 2G appelée DCS 1800 impose les caractéristiques suivantes au récepteur :

un taux d’erreur binaire < 2 %, ce qui impose un Eb/No > 4.9 dB

la bande allouée à un canal est de 200 KHz

le débit binaire est de 270.83 Kbits/s

le bruit ajouté par le récepteur sur le signal reçu doit être inférieur à 9 dB

l’atténuation du récepteur sur le signal doit être inférieure à 3 dB

En se plaçant à température ambiante (27°c) et en considérant un signal binaire, calculer la sensibilité en dBm d’un téléphoné mobile DCS 1800.

Réponse :

3. Exemple de bilan de liaison Appliquons un bilan de liaison à une application de téléphonie mobile, sur la liaison

descendante entre une station mobile et GSM et un téléphone portable. On donne les contraintes suivantes :

La station de base est composée par des antennes directives de gain = 14 dB. La puissance maximale de l’émetteur est d’abord fixée à 42 dBm. Les coupleurs et les câbles induisent des pertes respectives de 3 et 3.5 dB.

On suppose qu’on transmet un signal binaire, dont le débit binaire est égal à 270 Kbits/s. Une bande passante de 200 KHz est utilisée.

La station mobile est composée d’une seule antenne omnidirectionnelle (gain 0 dB). Les pertes sont principalement dues à la proximité d’un corps humain et sont évaluées à 3 dB.

On suppose que le bruit est uniquement d’origine thermique (T°c = 25°c). Le récepteur présente un noise figure de 5 dB.

Le cahier des charges indiquent que des marges de bruit et d’environnement respectivement de 3 et 8 dB doivent être ajoutées.

On souhaite déterminer la perte de propagation maximale autorisée pour garantir un taux d’erreur binaire inférieur à 1 %. Pour cela, le rapport Eb/No minimal est égal à 5 dB.


A. Boyer 37

Tx Coupleur Alimentation

Rx

Station mobile

BTSeP

MSrP

cLBTSfL BTSG

MSfL

MSG

pL

Station de base

La puissance reçue par la station mobile peut se calculer à partir de la puissance de l’émetteur en cumulant les gains et les pertes présents dans le canal :

MSBTSBTSMS fMSpBTSfcer LGLGLLPP −+−+−−= (Équation 40)

Le tableau ci-dessous présente le bilan de liaison de ce lien radio. Bilan de la liaison descendante

Puissance entrée de l’émetteur

PE BTS 42 dBm

Pertes coupleur Lc 3 dB Pertes câbles Lf BTS 3.5 dB Gain antenne GBTS 14 dB

Emetteur (station de base)

Puissance émise PE = PE BTS- Lc - Lf BTS +GBTS 49.5 dBm Eb/No Eb/No 5 dB Débit binaire Fb 270 Kbits/s Bande passante B 200 KHz Rapport signal à bruit SNR = Eb/No + 10log(Fb)-

10log(B) 6.3 dB

Densité de bruit No = 10log(kT) -174 dBm/Hz Noise figure NF 5 dB Seuil de bruit N = No + 10log(B)+NF -116 dBm Gain antenne GMS 0 dB Pertes Lf MS 3 dB

Récepteur (station mobile)

Puissance minimum reçue en entrée du récepteur

PR = N+SNR+Lf MS-GMS -106.7 dBm

Marge de bruit Mb 3 dB Marges

Marge d’environnement Me 8 dB Pertes de propagation maximale LP max = PE - PR – Mb - Me 145.2 dB La perte de propagation hertzienne maximale est de 145.2 dB. Connaissant le modèle de

propagation adapté à l’environnement, il est possible de déterminer la distance de séparation maximale entre la station de base et la station mobile (en d’autres termes, la portée de la cellule). Par exemple, en supposant une propagation en espace libre, la séparation maximale est de 478 km ! Cependant, ce modèle est irréaliste dans le cas d’une propagation typique dans un réseau cellulaire, où de nombreux obstacles induisent de fortes atténuations. Dans un milieu urbain, la séparation maximale serait environ égale à 4 km.

Supposons qu’on cherche à accroître la couverture de cette cellule en conservant une qualité de service constante (Eb/No constant) et une puissance d’émission constante. Il est nécessaire d’augmenter la perte de propagation maximale. D’après le bilan de liaison, on peut identifier les paramètres qui permettraient d’accroître la perte de propagation maximale. Par exemple, en augmentant l’ensemble des gains ou réduisant les différentes pertes.


A. Boyer 38

VIII. Ce qu’il faut retenir

⇒ Le bruit est un signal aléatoire souvent d’origine thermique, qui fixe le seuil minimum de réception des systèmes électroniques. Le bruit couplé à un signal dépend de la bande passante du signal.

⇒ Tout système électronique présente des défauts qui dégradent le signal en lui ajoutant du bruit et en le distordant par des effets non linéaires.

⇒ On caractérise l’ajout de bruit par un système électronique par le facteur de bruit ou noise figure.

⇒ Le rapport signal à bruit définit le rapport minimum à respecter entre la puissance du signal sur la puissance du bruit afin de garantir une réception de qualité du signal.

⇒ Le signal est aussi affecté par les défauts du support de transmission et les interférences provenant des autres canaux de transmission.

⇒ Les perturbations affectant le canal conduisent à affaiblir le signal et à le distordre.

⇒ Les signaux numériques sont plus robustes au bruit que les signaux analogiques, on préfère employer le rapport signal à bruit par bit noté Eb/No.

⇒ On mesure la qualité d’un signal analogique par le rapport signal sur bruit, celle d’un signal numérique par le taux d’erreur binaire (Bit Error Rate BER).

⇒ Dans le cas d’un système de réception d’un signal numérique, le taux d’erreur binaire est lié au rapport signal à bruit par bit.

⇒ Un bilan de liaison est un bilan de puissance dans un canal de transmission, faisant apparaître les puissances mises en jeu, les contraintes en terme de seuil de réception, les gains et les pertes sur l’ensemble du canal. C’est un outil indispensable pour dimensionner un canal de transmission.


A. Boyer 39

C. Effet du canal sur le débit d’une

transmission numérique

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes concentrés sur la dégradation du rapport signal de l’amplitude du signal transmis, lié à l’atténuation et au bruit apportée par le canal. Cependant, nous avons ignoré les caractéristiques temporelles du canal. Celles-ci sont liées à un grand nombre d’effets et leur modélisation reste complexe. Le canal de transmission va modifier la forme temporelle du signal, qui va s’étaler dans le temps. Dans le cas d’un signal numérique, les symboles transmis sont émis périodiquement. Si cette période est du même ordre que la constante de temps de la réponse du canal, des symboles adjacents risquent de se superposer et d’induire des erreurs d’interprétation des symboles. Cet effet est appelé interférence intersymboles. Les caractéristiques temporelles du canal vont donc limiter le débit de transmission.

Le but de chapitre est de présenter le phénomène d’interférence intersymboles et de déterminer la limite de débit de transmission de symboles électriques sur un canal. Les conditions permettant d’annuler théoriquement le risque d’interférences intersymboles seront aussi présentées. Enfin, la notion de capacité d’un canal de transmission sera introduite, qui fixera une limite théorique du débit binaire.

I. Caractéristiques temporelles d’un canal de transmission

1. Retard de transmission Le temps mis par une information pour parvenir de la source au destinataire peut être un

élément d’appréciation de la qualité de transmission. Il est dû essentiellement au temps de propagation des ondes électromagnétiques sur un fil ou dans l’espace libre, mais dans certains cas de transmission de données, il peut aussi être dû à des retards de commutation (commutation par blocs). L’équation 41 donne l’expression de la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu homogène et sans pertes, l’équation 42 permet de calculer le retard dans une ligne.

rr

cv

µε ×= 0 (Équation 41)

co = vitesse de la lumière dans le vide = 3e8 m/s εr = constante diélectrique relative (par exemple 1 dans l’air, 11.6 dans le silicium) µr = perméabilité magnétique relative (= 1 dans les matériaux non magnétiques) v = vitesse de propagation du signal

v

LT

d= (Équation 42)

Td = retard L = longueur de la ligne

Le retard n’est pas critique dans une communication unilatérale (ex : télévision, fax, …), mais

le devient dès qu’une réponse est attendue dans l’autre sens (ex : conversation téléphonique). Pour des raisons physiologiques, le retard dans une conversation téléphonique devient sensible dès qu’il atteint 150ms et très pénible dès qu’il dépasse 400ms.


A. Boyer 40

Question : Quel est le retard introduit par une ligne téléphonique entre 2 personnes situées à 1000 km ? Celui dans le cas d’une liaison par satellite géostationnaire ?

Réponse :

2. Transmission conforme – Distorsions linéaires Même si la transmission conforme ne concerne que les transmissions analogiques, nous allons

quand même aborder ce point. Dans le cas d’une transmission analogique, l’information est contenue dans la forme du signal qui doit être sauvegardée à tout prix. Pour une transmission conforme, le signal reçu ne doit différer du signal émis que :

Par un facteur d’affaiblissement constant

Par un retard constant

Il en résulte que l’affaiblissement de la transmission est une constante indépendante de la

fréquence et que le déphasage doit être une fonction linéaire de la fréquence. Si les 2 conditions précédentes ne peuvent pas être satisfaites, des distorsions linéaires pourront apparaître. On parle en particulier de :

Distorsion d’affaiblissement si l’affaiblissement varie avec la fréquence

Distorsion de phase si le déphasage ne varie pas linéairement avec la fréquence, c'est-à-dire si le temps de propagation n’est pas constant.

Ainsi, l’effet de distorsions linéaires sur un signal sinusoïdal émis n’a pas de conséquence puisqu’en réception on récupère un signal sinusoïdal. Cependant tout autre signal voit sa forme et son spectre modifiés. Toutefois, aucune nouvelle composante fréquentielle n’apparaît, contrairement aux cas de distorsions non linéaires.

Remarque : distorsion de phase

Soit un signal dont le spectre est composé de 2 harmoniques de fréquences F1 et F2. Supposons que ce signal passe à travers un filtre qui ajoute un déphasage à chacune des harmoniques et par conséquent un retard ou temps de propagation au signal. Pour ne pas déformer le signal, il faut que le retard des 2 harmoniques soit identique. Pour un signal de période T et de fréquence f, déphasage Ф et temps de propagation τ sont liés par la relation suivante :

2 2T

fτ

π π ωΦ Φ Φ= × = = (Équation 43)

Si on veut que le retard soit indépendant de la fréquence, il faut que le déphasage soit une fonction linéaire de la fréquence, autrement dit un déphasage linéaire.

, tan2 2

k f ksi k f cons te

fτ

π π×Φ = × = = =


A. Boyer 41

Cependant, pour une transmission numérique, la conformité n’est pas nécessaire ! En effet, le signal reçu étant échantillonné et régénéré avant que l’information numérique en soit extraite, la seule condition est que l’interférence entre symboles ou moments soit nulle.

3. Propagation multi-trajet dans un canal hertzien Un canal hertzien est le médium le plus soumis aux perturbations. En pratique, un espace libre

dégagé de tout obstacle et aux propriétés uniformes est un cas purement idéal. Dans un canal hertzien réel, l’onde incidente peut subir les effets suivants :

Des réflexions multiples qui deviennent complexes aux fréquences radio UHF car les irrégularités des obstacles sont à l’origine de différences de phase entre les différents rayons réfléchies. Ces réflexions multiples créent différents trajets, de longueurs variées, entre l’émetteur et le récepteur entraînant un étalement temporel. On parle de propagation multi trajet .

Des diffusions, c'est-à-dire des réflexions pour lesquelles il n’existe aucune direction privilégiée. Elles sont provoquées par exemple par des gouttelettes d’eau en suspension

Des diffractions qui interviennent dès que les dimensions des obstacles deviennent comparables à la longueur d’onde. Ce problème est majeur pour les ondes UHF.

Des absorptions par l’eau et les gaz de l’atmosphère, l’atténuation variant avec la fréquence

En raison des réflexions, réfractions et diffusions des ondes électromagnétiques dans des

environnements contenant de nombreux obstacles (milieu indoor par exemple), le signal transmis atteint souvent le récepteur par plusieurs chemins, créant le phénomène d’atténuation multitrajet (ou multipath fading). Les différentes composantes du signal provenant des chemins directs et indirects se recombinent avec des amplitudes, des phases et des instants d’arrivée différents, et produisent une version distordue du signal original. Lorsque la transmission se fait sur un canal à bande étroite, l’enveloppe du signal reçu subit de fortes fluctuations d’amplitude. On parle d’évanouissement rapide ou sélectif, décrit par la figure 34. Dans le cas d’un canal à bande large, une série d’impulsions atténuées et retardées apparaissent pour chaque impulsion transmise, à la manière d’un écho.

transmission Diffusion / diffraction

réflexion

temps

Signal reçu

seuilTrajets multiples

fréquence

Fonction de transfert

seuil

fade

Impulsion

fade

Fig. 34 - Phénomène de trajets multiples et évanouissement rapide d’un signal radio

Leurs causes sont multiples, elles sont liées aux trajets multiples empruntés par les ondes, mais

aussi à l’effet Doppler résultant du déplacement du mobile par rapport à l’émetteur. Ces 2 phénomènes créent des interférences entre les signaux incidents qui peuvent devenir constructives ou destructives. Dans ce cas, une perte très importante voire totale du signal est à craindre pendant des durées qui vont de quelques µs à quelques secondes. Parallèlement, cela se traduit par un évanouissement affectant quelques bandes de fréquence étroites. De plus, contrairement aux liaisons filaires et par fibre optique, une liaison radio est un canal dont les caractéristiques ne sont pas stationnaires dans le temps. Par


A. Boyer 42

conséquent, ce phénomène est un des problèmes les plus sérieux en télécommunications car les atténuations sont importantes, difficile à modéliser et à combattre efficacement.

Les figures ci-dessous présentent plusieurs exemples de réponses impulsionnelles mesurées en milieu indoor ou en environnement urbain. On voit clairement l’étalement temporel de la réponse, qui peut atteindre plusieurs centaines de ns en milieu indoor, plus dizaines de µs en milieu urbain, et l’apparition de nombreux échos de l’impulsion initial.

Fig. 35 – Exemples de réponses impulsionnelles mesurées en milieu indoor (H. Hashemi, « The Indoor

Radio Propagation channel », Proceedings IEEE, vol. 81, no 3, July 1993)

Fig. 36 – Exemple de réponses impulsionnelles mesurées en milieu urbain (J. B. Andersen, T. S. Rappaport, S. Yoshida, « Propagation Measurements and Models for Wireless Communications

Channels», IEEE Communications Magazine, January 1995)

4. Modélisation de la réponse temporel d’un canal d e transmission La réponse temporelle d’un canal réelle reste complexe, souvent aléatoire et non stationnaire.

Il est possible de les modéliser en un point donné de l’espace par un filtre linéaire variable dans le temps, caractérisé par une réponse impulsionnelle h(t) dont les coefficients varient dans le temps (Fig. 37). Le canal peut aussi être modélisé par sa fonction de transfert H(f).

Signal numérique émis x(t)

Signal numérique reçu y(t)

Bruit et perturbations n(t)

Canal de transmission

++

1 0 0 1

Réponse impulsionnelle h(t)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )∑−

=

−=

∗=1

0

expN

kkkk tjtttath

txthty

θδ

Fig. 37 – Modèle mathématique d’un canal de transmission


A. Boyer 43

II. Interférences inter symbole – diagramme de l’oe il

1. Définition Le phénomène d’interférence intersymbole (ISI ou IES) consiste en un chevauchement

partiel entre les symboles adjacents, comme le montre la figure 38. La valeur du symbole reçu à l’instant T est perturbée par les symboles reçus précédemment. Le symbole reçu peut alors être confondu avec un autre et introduire des erreurs d’interprétation par le récepteur. L’interférence inter symbole est la principale source d’erreur binaire dans les communications numériques.

temps temps

Signal à émettre

Signal reçu

transmission

Fig. 38 - Etalement d’un signal numérique après transmission

Pour améliorer la fiabilité d’une communication numérique, il convient de minimiser le risque

d’apparition d’IES. Comme nous le verrons dans les chapitre C et F, la théorie de l’information prévoit que ces interférences apparaissent si les conditions de Nyquist ne sont pas respectées. Si ces conditions sont respectées, la probabilité qu’il existe de l’interférence inter-symbole tend vers 0.

2. Condition d’apparition d’interférences intersymb oles Il est possible de savoir si un canal pourra présenter un risque important d’apparition

d’interférence inter symbole en étudiant sa réponse impulsionnelle discrète. Soit le canal de transmission décrit à la figure 39, présentant un filtre émetteur, un support de transmission puis un filtre récepteur.

Filtreémetteur

Filtrerécepteur++

Support de transmission

x(t)

n(t)

z(t) y(t)

Fig. 39 – Modèle de canal de transmission

Supposons qu’un émetteur transmette une séquence binaire ai sous la forme d’un signal x(t),

où s(t) représente la réponse impulsionnelle du filtre émetteur et Ts la période des symboles binaires :

( ) ( )∑ −=i

Si iTtsatx (Équation 44)

Le signal est ensuite transmis à travers le canal de transmission, caractérisé par une réponse impulsionnelle c(t) et qui ajoute un bruit n(t). Le signal en entrée du récepteur z(t) peut s’écrire sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )tntctxtz += * (Équation 45)

Ce signal passe ensuite à travers un filtre de réception, dont la réponse impulsionnelle est notée r(t). Le signal en sortie du filtre de réception peut s’écrire :

( ) ( ) ( )tztrty *= (Équation 46)

( ) ( ) ( )twiTtpatyi

Si +−=∑ (Équation 47)


A. Boyer 44

où w(t) représente le bruit en sortie du filtre et p(t) la réponse impulsionnelle du système composé du canal et des filtres d’émission et de réception. Finalement, le signal de sortie est échantillonné de manière synchrone avec l’émetteur tous les ti = i.Ts et peut s’écrire :

( ) ( ) ( )( ) ( )iik

Skii twTkipapaty +−+= ∑∞

≠

0 (Équation 48)

Le premier terme représente la contribution du ieme symbole transmis, c'est-à-dire celui qu’on cherche à recevoir sans erreurs. Le second terme représente l’effet résiduel des symboles précédemment transmis sur le décodage du ieme symbole. Cet effet est appelé interférence inter symboles. En l’absence de bruit et d’IES, on ne récupèrerait que le premier terme et aucune erreur d’interprétation ne serait possible.

Plaçons nous dans le cas où le rapport signal à bruit est important, le terme w(ti) peut être négligé. Intéressons nous aux conditions sur la réponse impulsionnelle p(t) qui permettent d’annuler l’IES.

Remarque : Pour qu’il n’y ait pas d’IES, il faut que les symboles ne chevauchent pas. Une première

condition simple pour annuler l’IES est d’avoir un support de transmission dont la durée de transmission (c’est à dire la durée de la réponse impulsionnelle) est inférieure à la période binaire. Cependant, cette condition est rarement rencontrée dans les systèmes de transmission. Ainsi, en raison des longueurs des câbles téléphoniques et des désadaptations, l’IES s’étale sur plusieurs millisecondes. Dans le cas d’un débit de symboles de 2400 Bauds, l’IES s’étale sur plusieurs dizaines de symboles.

A partir de l’équation 48, il est possible d’énoncer la condition sur p(t) pour laquelle l’IES

s’annule. Cette condition est appelée critère de Nyquist en temps :

( )( ) ( ) ( ) ...3,2,00

0SSSS TTTtpourtp

kipour

kipourpTkip ==⇔

≠=

=− (Équation 49)

Si cette condition est vérifiée, le signal en sortie du filtre de réception

s’écrit : ( ) ( )0paty ii = . Cette condition indique que tous les symboles doivent s’annuler aux instants

d’échantillonnage des autres symboles. Le filtre p(t), qui représente le canal en entier (filtre d’émission, support de transmission, filtre de réception) est dit canal de Nyquist s’il vérifie cette condition.

La figure 40 illustre la condition de Nyquist d’apparition d’interférences intersymbole. A l’instant d’échantillonnage suivant le retour à ‘0’ de l’impulsion, le signal reçu qui a traversé le canal 2 est bien revenu à l’état 0, le risque de confondre ce symbole avec un autre est quasi nul. Cependant, dans le cas du canal 1, le signal n’est pas encore revenu à 0 et son état se situe sur une zone indéterminée. En présence de bruit supplémentaire, cet état pourra être interprété par la récepteur comme un ‘1’ logique, provoquant une erreur binaire.


A. Boyer 45

temps

Impulsion élémentaire

Transmission àtravers canal 1

Tm

Tm Tm

Risque d’ISE

Tm Tm

≠0

=0

Pas d’ISE

Transmission àtravers canal 2

‘1’

‘0’

Indéterminé

‘1’

‘0’

Indéterminé

Fig. 40 - Condition d’apparition d’IES – Annulation du signal reçu aux instants d’échantillonnage

3. Diagramme de l’oeil Cette condition d’annulation de l’IES est facilement vérifiable à l’aide d’un diagramme de

l’œil. Le diagramme de l’œil est un outil graphique permettant de visualiser la présence d’IES affectant une communication et de qualifier la qualité du signal numérique reçu. Le principe consiste à envoyer à travers un canal de transmission une série de symbole (binaire) connu, de mesurer la réponse à la sortie de canal et de superposer les tracés du signal reçu sur un multiple de la durée du symbole. On réalise donc la superposition des intervalles [i×Ts; (i+1)×Ts]. Ce type de diagramme peut être généré à l’aide d’un oscilloscope synchronisé sur le débit du signal. La ressemblance du résultat graphique avec un œil a donné le nom à ce diagramme. La figure 41 donne un exemple de signal binaire et le diagramme de l’œil en résultant.

Fig. 41 - Tracé d’un diagramme de l’œil

Le diagramme est un outil graphique très intéressant car sa lecture fournit des informations sur

les performances du canal de transmission :

L’ouverture verticale ou la hauteur de l’œil donne la marge en terme de bruit sur les niveaux. Plus l’ouverture est faible, plus la présence de bruit pourra causer une erreur de décision sur le niveau.

L’ouverture horizontale ou la largeur de l’œil donne la marge en terme d’écart temporel entre l’instant d’échantillonnage idéal et tout autre temps d’échantillonnage. L’instant d’échantillonnage idéal, c'est-à-dire le moment où la probabilité d’erreur est minimisée, se situe à l’instant où l’œil présente sa plus grande ouverture.


A. Boyer 46

La pente de fermeture ou d’ouverture donne la sensibilité aux erreurs temporelles.

De manière générale, plus l’œil est fermé, plus l’effet de l’IES est grave. En pratique, le

diagramme de l’œil permet :

D’ajuster un égaliseur afin d’annuler l’IES

D’ajuster l’horloge locale du régénérateur afin d’échantillonner le signal reçu au moment où l’IES s’annule

De contrôler la qualité du signal reçu durant la réception

La figure 42 présente un exemple de diagramme de l’œil pour un signal binaire faiblement

bruité. La figure 43 présente le digramme de l’œil obtenu pour un signal bruité et trop rapide par rapport à la bande passante du canal.

Fig. 42 - Diagramme de l’œil d’un signal peu bruité

Fig. 43 - Diagramme de l’œil d’un signal bruité et rapide

Question : À partir des figures 42 et 43, dire dans quel cas on a un fort risque d’IES et indiquer quel est l’instant idéal pour échantillonner le signal.

Réponse :

T

T


A. Boyer 47

III. Limite théorique du débit de transmission de s ymboles électriques

Si il est en principe possible de transmettre n’importe quel type et n’importe quelle quantité d’information à travers un canal quelconque, à condition d’y mettre le temps, et de mettre en œuvre des méthodes de traitement de signal (modulation, codage), le débit d’information transmissible en « temps réel » à travers un canal donné est strictement limité par ses caractéristiques propres. Dans le cas d’une transmission numérique, le récepteur doit pouvoir distinguer deux symboles électriques successifs pour interpréter correctement le contenu du signal. Le canal doit donc disposer d’une certaine résolution en amplitude afin de distinguer deux états adjacents. Le bruit de fond va fixer la limite à la résolution en amplitude. Le récepteur dispose aussi d’une certaine résolution temporelle. Celles-ci sont prévues dans le cadre de la théorie de l’information définie par Shannon.

Avant d’établir la limite théorique de débit de transmission de symboles électriques, il est nécessaire de présenter quelques éléments de théorie de l’information.

1. Quelques éléments de la théorie de l’information Le but de ce cours n’est pas de présenter de manière exhaustive la théorie de l’information,

mais de comprendre ce qu’elle apporte comme contraintes pour celui qui cherche à dimensionner un canal. La théorie de l’information a été proposée par Claude Shannon en 1948, qui cherchait à évaluer les performances optimales des systèmes de télécommunications en présence de perturbations de nature aléatoire. Ses travaux ont mis en évidence plusieurs résultats fondamentaux que nous pouvons résumer ainsi :

Shannon montre qu’il est possible de transmettre une information sans erreur quel que soit les perturbations ou le bruit de fond existants, à condition d’employer une représentation appropriée de l’information, c'est-à-dire en utilisant un codage approprié. Même si Shannon ne propose pas de codage permettant d’atteindre cette condition, il démontre que de tels codes existent et permettent de se rapprocher des conditions de transmission sans erreur.

Shannon fournit ensuite un ensemble de grandeurs permettant de quantifier l’information contenue dans un message.

Shannon donne une contrainte sur le débit d’informations transmises en fonction des caractéristiques du canal, et donne ainsi des limitations sur la bande passante du canal

Enfin, il donne une contrainte sur le nombre de valeurs différentes prise par un signal en fonction du rapport signal sur bruit.

2. Calcul de la quantité d’information d’un message binaire Quantifier l’information contenue dans un message n’est pas trivial car l’information est une

notion abstraite. L’information peut se définir ainsi : elle représente « l’effet de surprise » que possède un message. Il convient maintenant de mettre en équations cette définition.

Nous nous intéressons ici à l’information véhiculée par une source discrète ou numérique. Soit un message de k caractères appartenant à un alphabet composé de n caractères. L’information que contient un caractère dépend de sa probabilité d’apparition P. On peut calculer la quantité d’information I (exprimée en Shannon) contenu dans un caractère par la formule suivante :


A. Boyer 48

( ) ( ) ( )( )

lnlog

lnn

PI sh P

n= − = − (Équation 50)

Nous allons nous placer dans le cas particulier de messages binaires. La quantité précédente devient :

( ) ( ) ( )2

lnlog

ln 2

PI sh P= − = − (Équation 51)

Ainsi, si P=1, la quantité d’information est nulle puisqu’on annule l’effet de surprise de l’apparition de ce caractère. Plus la probabilité d’apparition d’un caractère est faible, plus la quantité d’information est grande. Pour calculer la quantité d’information totale d’un message binaire, on utilise la notion de quantité d’information moyenne d’une source Itot :

( )21

logn

tot i ii

I kP P=

= −∑ (Équation 52)

La quantité d’information moyenne par caractère émis par la source est définie par l’entropie de la source notée H :

( )21

( / ) logn

i ii

H sh caractère P P=

= −∑ (Équation 53)

L’entropie sera maximum si le message est purement aléatoire, c'est-à-dire quand l’effet de surprise sera maximal. Pour traduire l’écart entre l’entropie d’une source et l’entropie maximale possible, on définit la redondance d’une source à l’aide de l’équation 54. Il s’agit d’une notion fondamentale pour le codage de source, nous y reviendrons.

max

(%) 1H

RH

= − (Équation 54)

3. Cadence de transmission de l’information dans un canal

Rappel : notion de symbole ou de moment

On appelle moment l’intervalle de temps pendant lequel le symbole électrique codant l’information est physiquement transmis sur le canal. Le symbole peut être un potentiel électrique (par exemple les niveaux électriques haut ou bas représentant 2 états binaires), un état de phase ou de fréquence pour un signal modulé … Lorsqu’un signal binaire est transmis, le symbole transmis est un bit et le moment correspond à la période binaire. Un symbole peut aussi être codé par plusieurs bits. Par exemple, supposons que l’information transmise soit représentée par 4 niveaux de tension possibles. Dans ce cas, ces 4 niveaux peuvent être codés par 2 bits. Le moment est donc égal à la durée de 2 bits. Cette technique permet de transmettre plusieurs bits à l’aide d’un seul symbole.

La cadence de transmission de l’information dépend du nombre de symboles émis par unité de

temps. On définit le débit de moments •

M comme le nombre de symboles par unité de temps et il s’exprime en bauds. Dans une transmission numérique, chaque symbole reste constant durant une durée constante TM appelée la durée des moments. On calcule le débit de moments à l’aide de l’équation 55, qui est relié à la vitesse de variation des signaux sur un canal.

( )MT

BdM1=

• (Équation 55)

Dans le cas d’une information numérique, un symbole est codé à l’aide d’un certain nombre de bits. Le choix de ce nombre peut se calculer à l’aide de la quantité de décision D, qui dépend de la taille n de l’alphabet employé. Il faut par exemple 8 bits pour définir 256 niveaux de gris sur une image noir et blanc.


A. Boyer 49

( )2( ) logD bits n= (Équation 56)

Le débit binaire de la source ou débit de la source est donc le produit du débit de moments (le nombre de symbole par unité de temps) par la quantité de décision (le nombre de bits pour coder un symbole).

( ) ( )MT

nDMsbitsD 2log

/ =×=••

(Équation 57)

Plus le débit binaire sera important et plus la quantité d’information transmise sera importante.

Néanmoins, tout canal réel est limité à une valeur maximale de débit, appelée capacité du canal. La connaissance de cette capacité est fondamentale car elle va fixer des contraintes sur la bande passante du canal de transmission et sur le rapport signal à bruit minimal à respecter.

4. Premier critère de Nyquist - Résolution dans le temps Nous allons considérer un canal de transmission sans bruit, nous ne nous intéressons qu’à son

effet temporel et sa limite à transmettre rapidement un signal. Tout canal de transmission possède une certaine inertie et il n’est pas possible de faire varier les paramètres d’un signal (électrique, lumineux) à une vitesse infinie. On peut assimiler un canal à un filtre passe-bas. De manière empirique, elle est limitée au moins par le temps de montée du signal Tr, ce qui va imposer une limite inférieure à la durée des moments TM, comme le montre la figure 44.

rrm T

MTT1

maxmin =⇔=•

(Équation 58)

Signal émis

Signal reçu

Tr=TM

Tr = temps de montée

TM = durée d’un moment

temps

Fig. 44 - Limitation temporelle de l’établissement d’un signal sur un canal

Si on ne respecte pas la condition précédente, il est possible que deux symboles consécutifs soient confondus, créant alors une interférence intersymbole. Le temps de montée d’un signal transmis dans un canal est lié à la bande passante de ce canal. Le canal de transmission doit donc présenter une bande passante minimale pour faire passer un signal sans risques d’interférences intersymboles.

Reprenons le critère de Nyquist pour déterminer cette condition sur la bande passante du canal. A partir de l’équation 48, le critère de Nyquist présenté à l’équation 49 peut aussi être énoncé dans le domaine fréquentiel en appliquant une transformée de Fourier sur la réponse impusionnelle discrète du canal de transmission. Le signal reçu échantillonné tous les t = Ts peut être vu comme un peigne de Dirac. La transformée de Fourier de l’égalité de l’équation 48 peut alors s’écrire :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )01

:

000

pT

kfkp

TFourierdeeTransformé

pkTtkppTkip

k SS

kS

kS

=

−

=−=−

∑

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

δ

δδ


A. Boyer 50

( ) SSk

TpT

kfP 0=

−∑

+∞

−∞= (Équation 59)

La figure 45 présente une allure du spectre de la réponse impulsionnelle discrète du canal. Le

spectre présente le spectre de la réponse impulsionnelle du canal P(f), répété infiniment tous

lesS

S TF

1= , où Fs est la fréquence d’échantillonnage du signal reçu. B représente la bande passante

du canal de transmission.

fréquence0

P(f)

ST

1

ST

2

ST

2−ST

1−2B

P(f-FS)P(f-FS)P(f+2FS) P(f-2FS)

Fig. 45 – Spectre de la réponse impulsionnelle discrète du canal de transmission

L’égalité de l’équation 59 n’est respectée que si le spectre est constant quelque soit la fréquence. Cette égalité ne peut être respectée que si toutes les répétitions de P(f) se chevauchent les unes les autres. Il est possible de montrer que cette condition peut être réalisé si :

BFT

B SS

221 <⇔> (Équation 60)

Cette condition est similaire à la condition de Nyquist, mais vue dans le domaine fréquentiel. Cette condition fixe la bande passante minimale que doit présenter un canal de transmission pour faire passer sans erreurs un message binaire avec un débit de symboles donné, ou inversement, le débit de symbole maximal pour un canal de bande passante donné.

On peut montrer que pour un canal idéal représenté par un filtre passe bas de largeur de bande B, le temps de montée et la largeur de bande et le temps de montée sont liés par la relation suivante (cf. annexe D) :

0.5rB T× = (Équation 61)

Cette condition permet d’énoncer le théorème de Nyquist (1928) : « Pour un canal passe-bas idéal de largeur de bande B, le passage dans le canal n’amène

aucune interférence entre moments si et seulement si : »

BTT

MMrM

×===≤••

211

min

max (Équation 62)

Ce théorème a surtout un intérêt théorique puisqu’il considère un canal passe-bas idéal, ce qui

est loin d’être représentatif d’un canal réel. Cependant, ce théorème donne une limite absolue à la rapidité d’une transmission dans un canal réel. Ainsi, en pratique, on prend souvent comme limite minimale pour la période d’un symbole la relation suivante : min 2M rT T= × .

En pratique, on retrouve la relation suivante pour un canal réel : 0.35 0.4rB T ou× = (Équation 63)

Cette relation permet d’énoncer le critère de Nyquist élargi :

BTT

MrM

×=×

=≤•

25.12

11

min

(Équation 64)


A. Boyer 51

Cette relation empirique donne une limite en terme de débit dans les canaux de transmission usuels plus réaliste que celui prévu par le théorème de Nyquist. Elle signifie qu’on peut transmettre 1.25 Bd par Hertz de largeur de bande ou, inversement, qu’il faut consacrer 0.8Hz à chaque symbole que l’on souhaite transmettre. Le critère de Nyquist et le critère de Nyquist élargi fournissent des formules simples pour déterminer la bande passante nécessaire à donner à un canal de transmission pour autoriser un débit binaire donné. Le critère de Nyquist est aussi appelé critère de Nyquist en fréquence et permet de déterminer si une transmission numérique en bande de base peut se faire sans IES.

Remarque : canal passe-bande

Nous avons considéré un canal passe-bas, qui représente une transmission dite en bande de base. Mais que se passe t-il lorsque le signal est modulé et transposé en fréquence (voir chapitre suivant sur les modulations) ? Le signal est alors transposé autour d’une fréquence porteuse avec deux bandes latérales identiques « à gauche et à droite » de la fréquence porteuse. La bande passante occupée est alors égale à 2*B. Comment se fait-il que les bandes passantes des versions bande de base et modulée du signal soit différente alors que le débit de symboles reste inchangé ? Il ne faut pas oublier que la bande passante est toujours mesurée sur l’axe positif des fréquences. Si on observe le spectre du signal en bande de base, celui-ci occupe la bande [-B ; +B]. La largeur de la bande occupée est donc égale à 2*B ! Si on souhaite conserver les 2 bandes latérales du signal, la bande passante du canal devra donc être deux fois plus grande que celle du canal d’une transmission en bande de base. On peut remarquer que certaines modulations permettent de supprimer une des bandes latérales.

Pour résumer, le critère de Nyquist fixe une limite au débit de symboles transmis en fonction

de la bande passante du canal. La bande passante du canal doit donc être choisie pour satisfaire au critère de Nyquist lorsqu’on cherche à transmettre un débit de symboles donné. Dans le cas où l’on transmet un signal binaire (un bit est alors un symbole élémentaire), le débit binaire ne pourra jamais être supérieur à 2 fois la bande passante (ou 1.25 fois la bande passante dans le cadre du critère élargi).

Cela pose un très gros souci à l’ingénieur télécom qui cherche à transmettre le débit le plus grand possible sur la bande passante la plus étroite possible. La solution est fournie par le codage. Par exemple, en codant les symboles transmis par plusieurs bits. Si un symbole est codé par N bits, alors le débit binaire maximale pouvant être transmis dans un canal idéal de bande passante B est égal à 2*N*B. Pour accroître le débit binaire dans le cas d’une transmission à bande passante limitée, il suffit donc d’accroître le nombre de symboles possibles pour augmenter le nombre de bits représenté par un symbole.

Ce nombre est bien entendu limité par la quantité de bruit qui se superpose au signal reçu. Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, le bruit limite la résolution en amplitude du canal, c'est-à-dire la capacité de différencier plusieurs symboles. La performance d’un canal en terme de débit binaire dépend donc de sa bande passante et de sa résolution en amplitude. Cette performance s’appelle capacité d’un canal.

IV. Capacité d’un canal de transmission

Supposons qu’on dispose du canal de transmission comme celui présenté à la figure 46. Celui-ci présente une bande passante finie B et est soumis à diverses perturbations, qu’on modélise comme un bruit blanc gaussien (canal AWGN). Le récepteur au bout du canal impose une contrainte sur le rapport signal sur bruit.

Canal de transmission idéal de largeur de bande B

Bruit additif blanc et gaussien

sortie

S/N


A. Boyer 52

Fig. 46 - Canal de transmission bruité

Comme nous l’avons vu dans les deux paragraphes précédents, il nous faut vérifier les deux

conditions suivantes :

le débit de moments doit respecter le critère de Nyquist pour annuler l’interférence intersymbole

la quantité de décision par moments doit respecter l’inégalité donnée par la résolution en amplitude du canal, afin de différencier les différentes valeurs prises par un symbole.

A partir de ces deux conditions, il est possible de déduire la capacité C du canal, c’est à dire le

débit binaire maximal que peut transmettre le canal. Celle-ci est donnée par l’équation 65.

( )

+×=×==••

N

S1logBMDDs/bitsC 2maxmaxmmaxm (Équation 65)

Cette capacité définit la limite maximum pour le débit binaire que peut supporter le canal, quel que soit le codage canal employé. Une transmission binaire peut se faire théoriquement avec une probabilité d’erreur quasi nulle si le débit binaire respecte la condition suivante :

CD m ≤•

(Équation 66)

Si cette condition n’est pas respectée, un risque d’apparition d’interférences entre symboles est à craindre. Cependant, en pratique, on constate que la probabilité d’erreur ne peut pas tendre totalement vers 0 et il n’est pas possible de la réduire autant qu’on le voudrait. Dans le cas d’une transmission numérique, même en respectant la condition précédente, plus la contrainte en terme de taux d’erreur binaire est faible, plus il faudra réduire le débit binaire.

Question : Discuter de l’interchangeabilité de la largeur de bande B et du rapport S/N.

Réponse :

V. Ce qu’il faut retenir

⇒ Les caractéristiques du canal conduisent à affecter les caractéristiques temporelles du signal transmis, en le retardant, en l’étalant dans le temps, voire à faire apparaître de multiples versions d’un même symbole dans le temps (propagation multitrajets).


A. Boyer 53

⇒ Le comportement temporel d’un canal stationnaire peut être modélisé par sa réponse impulsionnelle, son comportement fréquentiel par sa fonction de transfert.

⇒ Dans le cas d’un signal numérique, ces effets peuvent conduire à des interférences inter symboles, c'est-à-dire le chevauchement des symboles successifs, et donc à des erreurs d’interprétation.

⇒ Le diagramme de l’œil est un outil graphique qui permet de mesurer la dégradation en amplitude et temporelle apportée par le canal.

⇒ Théoriquement, il est possible d’annuler l’interférence intersymbole d’un canal s’il s’agit d’un canal de Nyquist, c’est àdire que sa réponse impulsionnelle respecte le critère de Nyquist dans le temps.

⇒ Dans le cadre de la théorie de l’information, le théorème de Nyquist définit le débit de moments maximal admissible dans un canal idéal.

⇒ Le débit de données transmissibles en temps réel à travers un canal de transmission est limité par ses caractéristiques propres. Le récepteur doit être en mesure de distinguer deux symboles successifs. Il doit disposer d’une résolution suffisante en amplitude (liée au bruit) et en temps (lié à l’inertie du canal).

⇒ La capacité d’un canal définit le débit binaire maximal que peut transmettre un canal afin de garantir une interférence inter symboles quasi nulle. La capacité dépend de la bande passante du canal et du rapport signal à bruit.


A. Boyer 54

D. Impact du bruit sur un signal modulé

La transmission de l’information sur de longues distances se fait généralement à l’aide de signaux modulés. La modulation permet d’adapter les caractéristiques du signal au medium de transmission. Jusque-là, nous avons présenté l’effet du bruit et des caractéristiques du canal sur l’apparition d’erreur dans le cadre d’un signal binaire émis en bande de base, sans aucune modulation. Dans ce chapitre, nous allons déterminer quelle est l’influence de la modulation sur la robustesse au bruit. En outre, comme les bandes de fréquence allouées aux télécommunications sont étroites, il est important de se poser la question de l’occupation spectrale d’un signal modulé. La bande passante étant une « ressource rare », celle-ci constituera une limite pour le débit de transmission. Selon la technique de modulation employée, nous verrons qu’il sera possible d’utiliser cette ressource fréquentielle efficacement, c'est-à-dire transmettre un débit binaire plus important pour une bande passante donnée.

I. Modulation et démodulation

1. Définition La transmission des signaux se fait habituellement dans leurs bandes de fréquences initiales.

On parle de transmission en bande de base. Parfois, la transmission en bande de base n’est pas optimale voire impossible car le canal présente de mauvaises caractéristiques à ces fréquence (bruit important, antennes d’émission/réception trop larges …) ou il est impossible de partager le canal entre plusieurs utilisateurs sans que ceux-ci interfèrent. Dans ce cas, une modulation est nécessaire car elle permet de transposer le signal initial de la bande de base à une bande de fréquence plus haute, sans modifier le contenu informatif du message, comme le décrit la figure 47 (dans ce qui suit, seul la partie positive de l’axe des fréquences est représenté). Le signal informatif est appelé signal modulant, il modifie en temps réel une ou plusieurs caractéristiques (amplitude, fréquence, phase) d’un autre signal simple appelé porteuse. La porteuse est en général un signal sinusoïdal. Le signal résultant de la modulation est appelé signal modulé. L’opération inverse de la modulation est appelée démodulation.

Fréquence

Transposition de fréquence

Modulation

Signal en bande de base

Signal modulé

0 +Fsignal Fporteuse-Fsignal

Fig. 47 - Modulation et transposition de fréquence

De nombreuses techniques de modulation existent, beaucoup ont été mise au point ces dernières années avec le développement des systèmes de télécommunication mobiles. Plusieurs critères permettent de sélectionner une technique de modulation. Les modulations se différencient par leurs occupations spectrales et par la puissance à émettre, ainsi que par leur capacité à minimiser la probabilité d’erreur. L’objectif de l’ingénieur concevant un système de transmission est de réduire l’occupation spectrale, la puissance d’émission et la probabilité d’erreur. La modulation choisie doit en plus être résistante vis-à-vis des défauts du canal de transmission. En outre, le coût du système de


A. Boyer 55

modulation/démodulation ne doit pas être négligé. En effet, plus on cherchera à optimiser le contenu spectral ou la puissance à émettre, plus les systèmes à réaliser seront complexes et par conséquent coûteux.

2. Opération de transposition de fréquence La modulation et la démodulation sont basées sur une opération non linéaire, généralement

une multiplication, entre le modulant et la porteuse (Fig. 48 et 49).

UM

UP

UE

FréquenceFPFM FP-FM FP+FM

Multiplieur

Modulation

FréquenceFP

Modulation

F1 F2 FP-F2 FP+F2

FP-F1 FP+F1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )[ ]ttA

tU

ttttA

tU

ttAtUtUtU

MPPME

MPPME

PMPME

ωωωω

ωωωω

ωω

−++=

−++=

==

coscos2

coscos2

coscos)()(

Modulant

Porteuse

Signal modulé

Bandes latérales

Bandes latérales

Fig. 48 - Principe de la transposition de fréquence par multiplication de deux signaux

UE

UP

UR

FréquenceFPFM FP-FM FP+FM

Multiplieur

Démodulation

FréquenceFPF1 F2 FP-F2 FP+F2

FP-F1 FP+F1

2FP-FM 2FP+FM

filtrage

filtrage

Démodulation

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( )( )tAt

At

AtU

ttA

ttA

tU

ttA

ttA

tU

tttA

tU

tUtUtU

MPPMMD

MPPMPPMPPMD

PMPPPMD

PMPPMD

PED

ωωωωω

ωωωωωωωωωω

ωωωωωω

ωωωωω

−+++=

+−+−+−+++=

−++=

×−++=

=

2cos4

2cos4

cos2

cos2cos4

cos2cos4

coscos2

coscos2

coscoscos2

)()(

Porteuse

Signal modulé

Signal démodulé

Fig. 49 - Principe de la démodulation

3. Les différentes types de modulations On distingue deux types de modulations : les modulations analogiques et les modulations

numériques. Dans une modulation analogique, le signal modulant est un signal analogique, un ou


A. Boyer 56

plusieurs paramètres de la porteuse sont modifiés de manière continue. Dans une modulation numérique, le signal modulant est un signal numérique synchrone, qui a subi un échantillonnage et une quantification. La porteuse voit ses propriétés modifiées à chaque période binaire du signal modulant et prendre un ensemble fini de valeurs. Les grandeurs usuellement modifiées pour réaliser une modulation sont :

L’amplitude

La fréquence

La phase

La durée

Le tableau 2 décrit les modulations couramment employées. Forme de la

porteuse Paramètre

modulé Type de modulation

Amplitude AM (mod. d’amplitude), SSB ou BLU (mod. à

bande de base unique) Fréquence FM (mod. de fréquence)

Sinusoïde

Phase ФM (mod. de phase) Amplitude PAM (mod. d’impulsions en amplitude) Fréquence PFM (mod. d’impulsions en fréquence)

Phase PPM (mod. d’impulsions en position)

Modulation analogique

Impulsions

Durée PWM (Pulse Width Modulation)

Amplitude ASK (mod. d’amplitude discrète), OOK (mod.

tout ou rien) Fréquence FSK (Frequency Shift Key)

Sinusoïde

Phase PSK (Phase Shift Key) PCM (Pulse Coded Modulation

DPCM (Differential Pulse Coded Modulation) ∆M (Delta Modulation)

Modulation numérique

Signal d’horloge

code

A∆M (Adaptative Delta Modulation) Tableau 2 – Exemples de modulation analogique et numérique

Les modulations analogiques sont fortement altérées par le bruit et les distorsions introduites par le canal. Les modulations numériques étant bien plus robustes que les modulations analogiques, elles sont massivement employées dans les systèmes de télécommunications modernes. La figure 50 décrit le principe des 3 principaux types de modulations numériques :

en amplitude (Amplitude Shift Key ou ASK), l’amplitude varie à chaque période de bit ( ) ( ) 1ou0B,tsinBtS p =×= ω

en fréquence (Frequency Shift Key ou FSK), la fréquence varie à chaque période de bit ( ) ( )( ) 1B,tBsinAtS mp0 ±=∗×+×= ωω

en phase (Phase Shift Key), la phase varie à chaque période de bit ( ) ( ) 1ou0B,BtsinAtS p0 =×+×= πω


A. Boyer 57

10 1 0 1 1

ASK

FSK

PSK

porteuse

modulant

État binaire

Amplitude

Signal modulé

A1A0 A1 A0 A1 A1

Fréquence

Signal modulé

F1F0 F1 F0 F1 F1

Phase

Signal modulé

φ 1φ0 φ 1 φ 0 φ 1 φ 1

Fig. 50 - Principe d’une modulation numérique

Question : Parmi ces 3 modulations, laquelle semble la plus avantageuse pour une communication numérique ?

Réponse :

4. Efficacité spectrale Si aucun filtrage n’est appliqué lors de la modulation, le spectre d’un signal modulé est une

version transposée du signal de bande de base autour de la fréquence porteuse. Si on considère une modulation numérique, le signal modulant occupe une large bande de fréquence (voir annexe C). Son spectre de bande de base est composé d’un lobe principal dont la largeur est égale au débit binaire et d’une infinité de lobes secondaires dont l’amplitude décroît avec la fréquence. Afin de réduire l’occupation spectrale d’un signal numérique modulé, il est possible de filtrer le signal modulant de manière à ne garder que le lobe principal. D’après le théorème de Nyquist, si la bande passante utilisée


A. Boyer 58

est supérieure à la moitié du débit de symboles, il est théoriquement possible de transmettre sans erreur le signal… A condition que le filtre employé respecte le critère de Nyquist. Nous reviendrons sur les aspects filtrage dans le chapitre F. En général, la bande passante sera égale au débit de symbole afin de ne conserver que le lobe principal du spectre du signal, qui contient la majeure partie du signal.

On définit l’efficacité spectrale η d’une modulation comme le rapport entre le débit binaire

transmis par le signal modulé sur la bande passante utilisée. Ainsi, pour une modulation BPSK, l’efficacité spectrale est de 1 bit/s/Hz. Cela signifie que pour transmettre un bit par seconde, une bande passante de 1 Hz est nécessaire.

( )B

DHz/s/bits b=η (Équation 67)

Db : débit de la source B : bande passante nécessaire au canal

5. Exemple : modulation BPSK La figure 51 présente le principe de la modulation PSK ou BPSK (Binary Phase Shift Key). Le

déphasage de la porteuse prend comme état 0 et π en fonction de l’état binaire du modulant.

10 1 0 1 1

porteuse

modulant

BPSK

0 0π π π π

Fig. 51 – Modulation BPSK

Comme il s’agit d’un signal binaire modulé en fréquence, la bande passante occupée en bande de base est égale à la fréquence symbole (c’est-à-dire le débit binaire). Après transposition de fréquence, la bande de fréquence occupée est égale à 2 fois la fréquence symbole. La figure ci-dessous présente un signal BPSK dans les domaines temporels et fréquentiels. Le débit binaire est égal à Db = 100 Kbits/s et la fréquence de la porteuse est égale à 1 MHz. Le spectre du signal modulé est centré sur de la fréquence porteuse. Autour de celle-ci, on trouve 2 lobes principaux suivis de lobes secondaires d’amplitude décroissante. L’énergie de ce signal est principalement concentrée sur les lobes principaux, qui occupent une bande de 200 KHz de large. D’après le théorème de Nyquist, il est théoriquement possible de transmettre sans erreur ce signal si la bande passante (en bande de base) est supérieure au débit de symboles divisé par 2. En bande de base, on peut utiliser une bande passante B égale au débit binaire Fb pour conserver l’énergie du lobe principal. Si on considère le signal modulé, il faut une bande passante B égale à deux fois le débit binaire Fb pour conserver l’énergie des deux lobes principaux. Si on n’en conserve qu’un, on peut utiliser une bande passante B égale au débit binaire Fb.


A. Boyer 59

1 symbole

Saut de phase

Lobe principal

Lobes secondaires

B = 2Fs = 200 KHz

Fig. 52 – Signal modulé en BPSK (domaine temporel à gauche, spectre à droite)

II. Modulation M-aire

1. Principe Dans la plupart des systèmes de télécommunications, la bande de fréquence allouée est faible

au regard du débit souhaité. Afin d’augmenter le débit sans pour autant augmenter la bande passante, des modulations à plusieurs états ou modulations M-Aire ont été développées. Le principe de cette modulation est d’associer à chaque groupe de M symboles binaires de durée Tb un symbole complexe de durée Ts :

( )MlogTT 2bS ×= (Équation 68)

Avec le cas particulier M = 2, on retrouve une modulation binaire à 2 états comme nous venons de les voir (ASK, BPSK, FSK). Plus M sera grand, plus l’efficacité spectrale η sera grande. Ainsi, si on choisit une forte valeur de M, pour un débit de source donné, on diminuera le nombre de symboles à envoyer et donc la bande passante nécessaire. Inversement, pour une bande passante donnée, le débit de symboles reste constant mais le débit binaire augmente avec la valeur de M.

En pratique, il est possible de créer une modulation numérique M-aire en créant des signaux à M états, c'est-à-dire en donnant plus de 2 états possibles au signal modulant. De nombreuses modulations M-aires sont basées sur un modulateur I/Q. Nous allons en présenter le principe.

2. Concept de canaux I et Q Comment faire une modulation à partir de plusieurs symboles binaires ? La solution consiste à

utiliser une famille de fonctions indépendantes et orthogonales qui transporte chacune un bit puis de les combiner. Expliquons-nous …

Un signal modulé est un vecteur, dont on fait varier l’amplitude et la phase. Il est possible de représenter ce vecteur dans un repère (x ;y), qui utilise un ensemble de 2 vecteurs de base φi = (0 ;1) et φj = (1 ;0) qui sont orthogonales entre elles. Mathématiquement, l’orthogonalité entre 2 vecteurs est vérifié si :

( ) ( )∫∞+

∞− =

=on

jisidttt ji sin0

1ϕϕ (Équation 69)

Un exemple intéressant de vecteurs orthogonaux est la paire formée par les fonctions cosinus et sinus, qui vérifient la condition précédente. C’est cette base de vecteurs qui est utilisée dans les systèmes de télécommunications comme porteuses dans les modulations M-aires. Appelons I (pour In phase) le vecteur donné par la fonction cosinus et Q (pour Quadrature) celui donné par la fonction


A. Boyer 60

sinus. Comme le montre la figure ci-dessous, on peut représenter n’importe quel signal modulé d’amplitude A et de phase φ à l’aide d’une combinaison linéaire des vecteurs I et Q (fc est la fréquence de la porteuse.

Porteuse I

Signal moduléAmplitude A

Phase φ

AI

AQ

( ) ( ) ( ) ( )( )

=+=

+=

+=+=

I

QQI

QI

cQcIc

A

AetAAA

QAIAts

tfAtfAtfAts

arctan

2sin2cos2cos

22 ϕ

ππϕπ

Fig. 53 – Représentation vectorielle d’un signal modulé à partir des vecteurs I et Q

L’amplitude et la phase prises par le signal modulé va donc dépendre uniquement de l’amplitude prise par les porteuses I et Q. La figure ci-dessous présente le schéma général d’un modulateur I/Q. Il est composé de trois blocs :

le traitement en bande de base, qui traite les bits du signal modulant et produit 2 signaux modulant pour les canaux I et Q.

la multiplication par les porteuses I et Q. Celles-ci sont issues d’un oscillateur local qui fournit une porteuse sinusoïdale à la fréquence porteuse, qui est ensuite déphasée.

le signal modulé est issu de l’addition des canaux I et Q

Oscillateur local

0°

90°

0°

90°

Porteuse

I

QTraitement bande de base

Signal binaire ++

( )tfCπ2cos

Signal modulé(amplitude et /ou phase)

Canal Q

Canal I

Fig. 54 – Schéma général d’un modulateur I/Q

3. Exemple : modulation QPSK a. Principe De manière générale, un signal modulé en phase M-aire peut s’exprimer de la manière

suivante :

( ) ( ) [ ]1;02

,2cos −∈=+= MietM

itfAts iicPi

πθθπ (Équation 70)

si(t) : le signal modulé à l’instant t, qui transmet un symbole i. Il existe M symboles possibles Ap : amplitude constante du signal modulé en phase fc : fréquence porteuse θi : l’angle de la modulation pour le symbole i


A. Boyer 61

Dans le cas d’une modulation 4-PSK, M = 4 et [ ]3;02

∈×= ieti

i

πθ . Le problème de cette

forme est que les signaux I et Q doivent prendre 3 états d’amplitude possibles : -1, 0 et +1. Une solution pour réduire le nombre d’états d’amplitude est de déphaser l’angle d’amplitude 45° :

[ ]3;042

∈+×= ieti

i

ππθ . C’est ce qui est fait pour une modulation QPSK. L’expression du signal

modulé devient :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )QI

iQ

iIts

itfA

itfAts

itfA

itfAts

i

cPcPi

cPcPi

2

2

2

2

4

12sin

4

12cos

4

12sin2sin

4

12cos2cos

4

122cos

422cos

±−±=

+−

+=

+−

+=

++=

++=

ππ

ππππ

πππππ

(Équation 71)

Le signal modulé en QPSK correspond donc à la combinaison des signaux I et Q multipliés par +/- √2/2 en fonction du symbole transmis. Ce dernier correspond aux 4 états de phase de la modulation et est codé par 2 bits. La figure 55 présente le principe de construction du signal QPSK. La correspondance entre les bits du signal binaire et la phase du signal modulé est :

11 π/4 ( QI2

2

2

2 ++ )

01 3 π/4 ( QI2

2

2

2 +− )

00 5 π/4 ( QI2

2

2

2 −− )

10 7π/4 ( QI2

2

2

2 −+ )

1001 11

Porteuse I

Signal I modulé

Porteuse Q

Symbole

Signal Q modulé

2

π

+1

-1 +1

-1

+1

+1

Signal I+Q modulé

4

3π4

7π4

π

Fig. 55 - Modulation QPSK

b. Modulateur/démodulateur I/Q en QPSK La plupart des modulations M-aire telles que QPSK (ou d’autres telle que la M-QAM) sont

obtenues à partir du modulateur I/Q. Celui-ci consiste à séparer le flux binaire en entrée en 2 flux parallèle et de les multiplier par deux porteuses de même fréquence mais en quadrature. En les recombinant, on obtient un signal modulé en phase. La figure ci-dessous présente le modulateur I/Q pour une modulation QPSK.


A. Boyer 62

Oscillateur local0°

90°

0°

90°

Porteuse

I

QDEMUX

Signal binaire

[ ]1,1,1,1,1,1 +−−++−

[ ]1,1,1 −+−

[ ]1,1,1 +−+

( )tfCπ2cos

( )tfCπ2cos±

Signal QPSK

( )

++×4

122cos2

ππ itfC

( )tfCπ2sin

( )tfCπ2sin±

+

_

Fig. 56 – Schéma de principe d’un modulateur I/Q pour une modulation QPSK

La figure ci-dessous présente le schéma de principe du démodulateur I/Q. Le principe est inversé. En multipliant le signal modulé par les signaux I et Q, il est possible de récupérer les états binaires ayant servi à la modulation.

Oscillateur local

0°

90°

0°

90°

Porteuse

I

Q

MUXFlux « binaire »

Signal QPSK

( )iCP tfA θπ +2cos

iPA θcos

2

( )tfCπ2cos

( )tfCπ2sin

iPA θsin

2

Fig. 57 – Schéma de principe d’un démodulateur I/Q pour une modulation QPSK

c. Occupation spectrale Soit Tb la durée d’un bit, avec Tb = 1/Fb. La durée d’un symbole ou moment est égal à 2Tb et

le débit de moment égal à Fb/2. Le spectre du signal modulé en QPSK va donc être celui d’un signal numérique dont le débit est égal à Fb/2. Par exemple, la figure 58 présente le profil temporel d’un signal modulé en QPSK ainsi que l’évolution de la phase dans le temps. Le débit de symbole est de 1 MBauds, le débit binaire est donc de 2 Mbits/s, la fréquence de la porteuse est de 10 MHz. La figure 59 présente le spectre en bande de base du signal en sortie du modulateur IQ.

Fig. 58 - Profil temporel d’un signal modulé en QPSK (gauche) et phase (droite) (débit de symbole = 1 MBauds, fréquence porteuse = 10 MHz)


A. Boyer 63

Fig. 59 - Spectre en bande de base d’un signal modulé en QPSK

Le spectre présente un lobe principal centré sur 10 MHz et de largeur 2 MHz (2 fois le débit de symbole). C’est là qu’est concentré la plus grande partie de l’énergie du signal. En filtrant ce signal de manière à ne garder qu’une bande latérale du lobe principal, on peut transmettre ce signal modulé sur une bande fréquentielle de largeur 1 MHz.

L’efficacité spectrale d’une modulation QPSK est donc égale à : 21

/2 ==MHz

sMbitsQPSKη .

C’est le double de celle d’une modulation BPSK. On pourrait montrer que l’efficacité spectrale d’une modulation M-aire est égale à :

NaireM MN 2, ==−η (Équation 72)

Ce qui se comprend intuitivement puisqu’on fait passer N bits par symbole. Plus on accroît le nombre de symboles M, meilleure est l’efficacité spectrale. Pour un canal à bande passante donnée, le débit binaire augmentera avec M. Cela fournit à l’ingénieur télécom une solution pour accroître le débit d’une transmission sur un canal à bande limitée. Cependant, le bruit présent sur le canal va limiter le nombre de symbole (résolution en amplitude).

III. Filtrage d’un signal modulé– Pulse shaping

En pratique, il est nécessaire de filtrer le signal modulé afin de réduire son occupation spectrale. Un filtre passe bas d’ordre élevé est appliqué directement sur le signal de bande de base avant modulation. En général, seul le premier lobe est conservé puisque celui-ci contient la majeure partie de l’énergie du signal. De nombreux types de filtre existent pour limiter la bande passante du signal modulé. Un filtre courant est le filtre à cosinus surélevé (cf annexe E). Comme ce filtre modifie le spectre du signal modulé, la réponse temporelle est aussi affectée. On parle aussi de filtre de pulse shaping. Le choix du filtre est critique car il ne doit pas dégrader la réponse temporelle et introduire des interférences intersymboles. Nous y reviendrons au chapitre F.

La figure 60 présente l’occupation spectrale du signal issu du modulateur IQ après passage dans un filtre à cosinus surélevé, avec un coefficient de raidissement r de 0.7. Les lobes secondaires ont été considérablement atténués (40 dB sur le canal adjacent) et on ne distingue plus que le lobe principal.


A. Boyer 64

Fig. 60 - Spectre en bande de base d’un signal modulé en QPSK puis filtré par un filtre à cosinus raidi (r=0.7)

L’ajout d’un filtre modifie la forme temporelle du signal et le ralentit, comme le montre la figure 61 qui compare le signal en sortie du modulateur IQ et celui en sortie du filtre (ces 2 signaux présentent un décalage d’une période, qui correspond au temps de traitement du filtre). Le filtre à cosinus raidi permet d’éviter l’apparition d’interférences intersymboles. En effet, les symboles peuvent être distingués à chaque période, comme le montre le diagramme de l’œil de la figure 62.

Fig. 61 - Comparaison du signal en bande de base avant et après filtre en cosinus raidi

Fig. 62 - Diagramme de l’œil du signal de bande de base avant et après filtre en cosinus raidi


A. Boyer 65

IV. Diagramme de constellations

La plupart du temps, la représentation temporelle des modulations M-aire est complexe et il devient difficile de distinguer 2 symboles différents. Une nouvelle représentation appelée diagramme de constellation peut alors être employée pour simplifier la représentation d’une modulation M-aire. Dans ce diagramme, les états pris par la porteuse sont placés dans un plan polaire. Chaque état associé à un symbole apparaît comme un point avec une amplitude et une phase données. Comme nous l’avons vu précédemment, les modulations M-aire sont généralement crées à l’aide d’un modulateur I/Q, le signal modulé étant une combinaison linéaire des signaux I et Q. Les axes x et y du diagramme de constellation sont donc appelés I et Q. La figure 63 présente deux exemples de diagramme de constellation, le premier pour une modulation QPSK, le deuxième pour une modulation QAM-16.

Porteuse I

Porteuse Q

11

10

01

00

symbole

Porteuse I

Porteuse Q

0000 0100

11001000

01010001

11011001

0110 0010

10101110

00110111

10111111

+1

+1

-1

-1

+3

+3

-3

-3

symbole

Fig. 63 – Constellation d’une modulation QPSK (gauche) et 16-QAM (droite)

Le diagramme de constellation est un outil graphique très approprié pour évaluer qualitativement la dégradation du signal modulé et le risque d’apparition d’erreur binaire. En l’absence de toute forme de bruit et de distorsion due au canal, les états reçus apparaissent comme des points sur le diagramme. Cependant, dès que le signal est perturbé, il fluctue en amplitude ou en phase et les états apparaissent comme des taches. Si ces taches deviennent larges, plus le taux d’erreur binaire augmente. La figure 64 présente un exemple de diagramme de constellation provenant de la mesure d’un signal modulé en 16-QAM. Dans le diagramme de constellation, chaque état du signal reçu apparaît dans une des 16 taches, une erreur de modulation (en amplitude ou en phase) est donc présente. Dans cet exemple, le rapport signal à bruit est grand (25 dB), d’après la figure 65, le taux d’erreur binaire théorique est négligeable.

Fig. 64 – Diagramme de constellation d’un signal modulé en 16-QAM

V. Effet de la modulation sur le taux d’erreur bina ire

Bien qu’augmenter le nombre d’états dans une modulation M-aire permette d’augmenter l’efficacité spectrale, cela rend aussi le système moins robuste face au bruit et aux distorsions du canal. En effet, plus il y a de symboles différents, moins il devient simple de les distinguer car la distance entre les états diminue. Pour un bruit donné, à mesure qu’on augmentera le nombre d’états, on augmentera aussi le taux d’erreur binaire.

Dans le cadre d’un canal AWGN, il est possible de déterminer la relation théorique entre le taux d’erreur binaire et le rapport signal à bruit par bit, en utilisant le même type de raisonnement mathématique qui nous a permis d’établir cette relation dans le cas d’un signal binaire. Nous ne


A. Boyer 66

démontrerons pas les calculs pour des signaux modulés, nous nous contenterons de donner les résultats, en supposant qu’aucun codage source n’est utilisé et que les démodulations sont synchrones.

Le tableau ci-dessous donne les expressions théoriques pour les modulations abordées dans ce chapitre.

Type de modulation BER = f(Eb/No)

ASK binaire

=

No

EerfcBER b

42

1

FSK binaire

=

No

EerfcBER b

22

1

BPSK

=

No

EerfcBER b

2

1

QPSK

=

No

EerfcBER b

2

1

Ces résultats montrent que la modulation de phase est théoriquement plus robuste au bruit que

les modulations d’amplitude et de fréquence. Il est intéressant de noter que la modulation QPSK est aussi robuste que la modulation BPSK, en raison de l’utilisation de 2 porteuses en quadrature. La figure 65 compare les taux d’erreur binaire des modulations FSK, QPSK, et de 2 autres modulations courants : 16-QAM et 64-QAM. Même utilisées à débit constant, l’effet du bruit sera bien plus important pour des modulations avec de un grand nombre d’états.

Fig. 65 – Taux d’erreur binaire en fonction du rapport signal sur bruit pour 4 types de modulations à débit constant


A. Boyer 67

VI. Ce qu’il faut retenir

⇒ La modulation est une opération de transformation du signal permettant de faciliter le transfert de l’information sur le medium de transmission.

⇒ Une modulation numérique utilise un modulant numérique. Les modulations de fréquence et de phase sont plus robustes au bruit que les modulations en amplitude.

⇒ L’efficacité spectrale d’une modulation représente le rapport entre le débit binaire transmis sur la bande passante utilisée.

⇒ Le signal en bande de base est généralement mis en forme et filtré afin de réduire la bande spectrale occupée par le signal modulé. Les filtres de mise en forme ne doivent pas introduire d’interférences intersymboles.

⇒ En codant les symboles transmis par plusieurs bits, l’efficacité spectrale d’une modulation s’accroît.

⇒ Le taux d’erreur binaire d’un signal numérique dépend du type de modulation employé.


A. Boyer 68

E. Techniques de fiabilisation d’un canal

de transmission par codage de canal

Les canaux réels présentent différents défauts : ils déforment les signaux transmis (distorsions) et ajoutent des perturbations indésirables (bruit). Dans le chapitre précédent, nous avons appris à déterminer les performances théoriques d’un canal. En pratique, il est cependant difficile de les atteindre et les performances réellement atteintes peuvent ne pas être suffisamment satisfaisante pour l’application envisagée. Afin d’optimiser les performances des canaux de transmission, différentes techniques peuvent être mises en place afin de réduire l’effet du bruit, des perturbations ou des distorsions et augmenter le débit du canal jusqu’à se rapprocher de sa capacité maximale. Il est possible de modifier « physiquement » le signal ou bien modifier son contenu en employant un codage appelé codage de canal qui le rendra plus robuste aux perturbations. Ces deux types de techniques peuvent être réalisés simultanément, mais ne font pas appel aux mêmes procédés.

Tout système de communication peut être modélisé en utilisant le modèle ISO / OSI (International Standard Organization / Open Systems Interconnections) (ISO 7498), présenté à la figure 66. Ce modèle décrit les fonctionnalités nécessaires à l’interconnexion au sein d’un réseau de systèmes communicants.

La problématique de fiabilisation du canal de transmission est traitée dans les couches les plus basses : la couche physique et la couche liaison de données. Les deux chapitres suivants traitent des techniques mises en œuvre dans ces deux couches pour fiabiliser le canal. Ce chapitre traite des techniques de codage de canal, mise en œuvre dans la couche liaison de données.

Physique

Liaison de données

Réseau

Transport

Session

Présentation

Application

Numéro de couche

1

2

3

4

5

6

7

Support de transmission

Fig. 66 – Modèle ISO/OSI

I. Couche liaison de données

La couche liaison de données a pour but d’assurer la communication des données entre 2 entités communicantes. Elle assure une mise en forme des données qui permet de vérifier la validité du message, par l’encapsulation des données dans des trames et par l’ajout de codes détecteurs ou correcteurs d’erreurs. Elle est subdivisée en 2 sous couches (fig. 67) :

Sous couche Medium Access Control (MAC) : cette sous couche gère l’acceptation des messages vers les couches plus élevées. Elle est responsable de la mise en trame du message (encapsulation/décapsulation des données), du codage des trames, de l’arbitrage de l’accès au support de transmission, de la détection et de la signalisation des erreurs, et de l’acquittement des messages reçus


A. Boyer 69

Sous couche Logical Link Control (LLC) : elle est dédiée au filtrage des messages, à la notification des surcharges (plusieurs messages reçus simultanément qui peuvent être écrasés) et gère la procédure de recouvrement des erreurs détectées par la couche MAC.

1. Physique

2. Liaison de données

3. Réseau

4. Transport

5. Session

6. Présentation

7. Application

Logic Link Control (LLC)

Medium Access Control (MAC)

Fig. 67 – Couche liaison de données

II. Codage de source

Le codage sert à adapter au mieux l’information à transmettre aux caractéristiques du canal. On distingue deux types de codage :

Le codage de source, qui sert réduire la taille du message à transmettre

Le codage de canal, qui sert à réduire les effets des distorsions induites par le canal et des perturbations externes sur le message à transmettre

Le codage de source modifie d’une manière prédéfinie le contenu du message initial.

L’opération de décodage en réception permettra de retrouver le contenu initial du message. Le codage de source sert à compresser le message, c'est-à-dire réduire sa taille et optimiser la quantité d’information à envoyer. Une autre utilité est de crypter l’information et d’améliorer la sécurité de la transmission. La source peut être considérée comme un ensemble de messages ou de mots appartenant à un ensemble de M messages possibles. Chaque message est une suite ordonnée de caractères parmi les n caractères disponibles. L’opération de codage de source n’a de sens que si le codage est déchiffrable, c'est-à-dire si il est :

Défini : deux messages différents ne doivent pas être représentés par le même mot

Séparable : on peut placer sans ambiguïté la coupure entre chaque mot.

Si tous les mots ont la même longueur, ils commencent ou se terminent par le même caractère spécial qu’on ne peut trouver qu’en début ou en fin de mot, alors le code peut être séparable. Un code est dit irréductible si il vérifie la règle du préfixe, c'est-à-dire qu’un mot ne peut pas être le début d’un autre mot. Un code irréductible est forcément séparable, mais la réciproque est fausse.

Question : Soit une source binaire comprenant M=4 messages et n=2 caractères. Quels sont les codes déchiffrables ?

Messages Code 1 Code 2 Code 3 Code 4 Code 5 Code 6 a 00 00 0 0 0 1 b 01 01 1 10 01 01 c 00 10 00 110 011 001 d 11 11 11 111 0111 0001

Réponse :


A. Boyer 70

On définit la longueur moyenne L des messages de la source comme le nombre moyen de caractères par message. On peut la calculer en connaissant la probabilité d’apparition Pi et la longueur Li en caractères du message i, à l’aide de l’équation suivante 73.

( )1

M

i ii

L caractères P L=

= ×∑ (Équation 73)

Le codage de source consiste à représenter les différents messages de façon à minimiser L. Cependant, Shannon a montré qu’il existe une limite inférieure à cette longueur. Elle est donnée à l’aide du premier théorème de Shannon ou théorème de codage de source qui s’applique uniquement aux sources sans mémoire :

( )min2log

HL L

n≥ = (Équation 74)

On peut définir l’efficacité η d’un code déchiffrable pour une source sans mémoire à l’aide de l’équation 75. On peut aussi définir la redondance d’un code (équation 76). Le but du codage est d’augmenter l’efficacité du codage ou de diminuer sa redondance.

( ) min%L

Lη =

(Équation 75)

( )% 1R η= − (Équation 76)

Cependant, le codage de source doit se faire en connaissant le débit de moments qu’on souhaite faire passer à travers le canal. En effet, la vitesse à laquelle la source transmet des données à l’étage d’émission des moments dans le canal ne doit pas être trop importante si on cherche à faire une transmission en continu ou transmission en temps réel, comme le montre la figure 68.

SourceSourceInformation EmetteurEmetteurCanal

Codage source Codage canal

Modulation, …

•

cD mD•

Fig. 68 - Transmission en temps réel

Si •

CD représente le débit de caractères fournit par la source et mD•

le débit de moments émis

à travers le canal, pour réaliser une transmission en temps réel, il faut vérifier la condition énoncée dans l’équation 77. Si cette inégalité n’est pas respectée, la source devra fournir les données de manière discontinue de manière à ce que l’émetteur puisse émettre toutes les données fournies par la source sans en perdre.

mc DD••

≤ (Équation 77)

III. Codage/décodage d’un canal – Codes correcteur d’erreur

On désigne par codage de canal la transformation à appliquer aux symboles à transmettre pour les protéger des perturbations rencontrées durant la transmission. Contrairement au codage de source, le codage de canal consiste à ajouter de la redondance au message à transmettre, comme l’ajout code détecteur ou correcteur d’erreur pour les transmissions numériques. Il existe 2 stratégies de codage de canal :

Détection d’erreurs dans le message reçu et demande de retransmission à l’aide d’un meilleur protocole (Automatic Repeat reQuest). Cette technique nécessite une voie de retour


A. Boyer 71

(si cela est autorisé) et créé des risques de congestion du canal si la perturbation est trop forte.

Détection d’erreurs et correction en réception (Forward Error Coding). Cette technique introduit de la redondance dans le message initial, mais les circuits et les algorithmes à implémenter sont plus complexes.

Cette dernière technique est couramment employée dans la plupart des systèmes de

télécommunications numériques. Elle consiste à ajouter en fin de trames plusieurs bits, appelés bits de redondance, dépendants du contenu d’une ou plusieurs trames afin de les protéger contre les erreurs de décisions du récepteur. En réception, un traitement de ces bits supplémentaires permet de détecter les erreurs voire pour certains codes de restaurer les symboles d’origine. La gestion de la détection d’erreur est décrite dans le protocole de la transmission.

L’ajout d’un code correcteur d’erreur est limité par la capacité du canal. En effet, des séquences trop longues ne peuvent pas être ajoutées sans réduire le débit de données utiles. Pour quantifier la redondance ajoutée à un message, on emploie le terme de rendement de code ou taux de codage R :

codeMessage

K bits

Message codé

N bitscode

Message

K bits

Message codé

N bits

On définit parfois un code de la manière suivante : pour le code ci-dessus, on parle de code (k,n,t), avec k le nombre de bits du message à coder, n le nombre de bits du message codé et t le nombre de bits erronés qui pourront être détectés ou corrigés.

Quelques définitions :

Un code est dit systématique si on retrouve dans le message codé le message non codé à l’identique. Dans le cas où le message initial est de longueur K bits et la longueur du message codé est de N bits, les N-K bits sont des bits de parité. Dans ce cas, le rendement est élevé, supérieur en général à 0.7. En pratique, on parle d’un faible rendement s’il est inférieur à 0.4.

Le codage entraîne un surdébit qui se traduit soit par une diminution du débit utile soit par une augmentation du débit transmis sur le canal et par conséquent d’une augmentation de la bande passante ou de la puissance émise pour accroître la capacité. On peut lier le débit avant codage Dc avec le débit après codage Db à l’aide du rendement, comme le montre l’équation 78.

R

DD b

C =•

(Équation 78)

Même si le codage de canal augmente la redondance et diminue le débit utile d’information, il améliore globalement le système de transmission puisqu’il apporte une protection au message transmis. Afin de quantifier cette amélioration, on utilise le gain de codage, qui représente la différence en dB entre les rapports signal/bruit respectifs du système codé et non codé qui permettent d’atteindre le même taux d’erreur. Comme le montre la figure 69, pour une limite en terme de taux d’erreur binaire, la contrainte en terme de rapport signal sur bruit sera plus faible pour un message auquel on a ajouté un code correcteur d’erreur (message 2) par rapport au message non codé (message 1). Le gain de codage représente la différence de rapport signal à bruit entre ces 2 techniques pour atteindre la même performance en terme de taux d’erreur binaire.

Eb/No

Taux d’erreur binaire

12

Gain de codage

Fig. 69 - Gain de codage

KR

N=


A. Boyer 72

Un code est dit linéaire si la transformation entre le message d’origine et le message codé est linéaire. Ainsi, toute combinaison linéaire de mots de code reste un mot de code. Il est possible d’utiliser plusieurs codes différents pour un même message. On parle de code concaténé en série quand on met en œuvre successivement 2 codes ou davantage. L’idée directrice de la conception d’un code est d’espacer au maximum les mots codés afin qu’un nombre limité d’erreurs dues au canal de transmission puisse transformer le mot initial en un mot qui n’appartient pas au code. Le récepteur pourra détecter les erreurs en vérifiant si le mot appartient ou non au code et les corriger en prenant le mot de code le plus proche du mot reçu. On distingue 2 types de codes : les codes en blocs et les codes convolutifs. Nous allons voir leurs différences dans la prochaine partie.

Exemple : le bus CAN

Le bus CAN (Controller Area Network) (norme IEC 11898) est couramment employé dans l’automobile afin d’interconnecter les différents contrôleurs électroniques présents dans un véhicule et multiplexer les différentes requêtes sur un même bus série. La transmission physique peut s’effectuer sur une paire torsadée, sur une fibre optique, par liaison infrarouge ou par liaison radio. La figure 71 présente le format des trames de données du protocole CAN.

Fig. 70 – Systèmes électroniques embarquées dans une automobile

Identificateur

Champ de contrôle

Données CRC

Début de trame

Fin de trame

12 bits 6 bits 0 – 8 octets 16 bits1 bit 9 bits

Fig. 71 - Format d’une trame dans le protocole CAN

Le protocole CAN intègre plusieurs mécanismes de gestion des erreurs (code correcteur

d’erreurs, surveillance permanente du bus par l’ensemble des stations, gestion automatique des conflits). Toutes ces techniques permettent de réduire la probabilité d’erreur à 4.6e-11 !

IV. Code en blocs

Le principe d’un code en blocs consiste à découper le flux d’information en plusieurs blocs de K symboles, auxquels on ajoute N symboles de code associé. Chaque bloc est ainsi transformé en un nouveau bloc de K+N symboles. Chaque bloc reste indépendant des autres blocs. L’information n’est pas traitée de manière continue puisqu’il sera nécessaire de bufferiser les K symboles reçus avant de les envoyer avec les N symboles supplémentaires de codage. L’information en entrée est traitée par paquet.

Question : bits de parité :

Soit l’information binaire initiale : 100110100001avec les blocs originaux (K=3) : 100-110-100-001. On ajoute dans chaque bloc un ‘0’ ou un ‘1’ de manière à toujours obtenir un nombre pair de ‘1’ dans chaque bloc. On obtient les blocs codés suivants (N+K = 4) : 1001-1100-1001-0011

Calculer le rendement de ce code. Pourquoi est-ce un code détecteur d’erreur ? Est-ce un code correcteur d’erreur ?

Réponse :


A. Boyer 73

V. Code convolutif

Un codeur convolutif traite l’information de manière continue. Les N bits ajoutés par le codeur ont été déterminé à partir des K bits présents en entrée, mais dépendent aussi des G-1 groupes de K bits précédents. G correspond à la longueur de contrainte du code. Le code dépend alors de l’échantillon présent et d’un certain nombre d’échantillons précédents, créant une forte corrélation entre plusieurs paquets d’information. Ainsi, si un paquet parmi les G paquets utilisés pour le codage est altéré, cette forte corrélation réduit la probabilité d’erreur. Cette technique offre donc un moyen de protection puissant pour les données à transmettre dans des milieux très bruités comme une liaison satellite. La figure 72 présente un exemple de codeur utilisé pour la DVB (Digital Video Broadcasting) ou télévision numérique.

Fig. 72 - Exemple de codeur convolutif

Chaque bit entrant va générer 2 bits sortant qui seront liés aux 6 bits précédents. Le bit 1 de sortie est un "OU exclusif" entre les bits 1,2,3,4 et 7 tandis que le bit 2 de sortie est un "OU exclusif" des bits 1,3,4,6 et 7. En observant les bits précédemment reçus, on pourra deviner la valeur la plus probable du bit reçu. Un décodeur de Viterbi réalise l’opération de décodage. Cependant, cette technique double la longueur du message à transmettre ! Une astuce pour réduire la longueur du message réside dans le poinçonnage des bits du message. Cette opération consiste à ne pas transmettre tous les bits du message, permettant ainsi d’améliorer le rendement du codage. Le décodeur rajoutera un ‘0’ là où il considère qu’un bit a été supprimé. Même si des erreurs sont délibérément introduites dans le code à transmettre, la grande robustesse du code convolutif permet de retrouver la valeur la plus probable du bit supprimé.


A. Boyer 74

VI. Exemple de codes

1. Codage de Gray Lorsqu’un récepteur fait une erreur sur un symbole, il confond généralement ce symbole avec

son plus proche voisin. Un codage de Gray code des symboles voisins par des mots ne différant que d’un bit. Ainsi, une confusion d’un des deux symboles n’introduira une erreur que sur un seul bit. Le codage de Gray peut se construire de la manière suivante :

Soit une suite d’entiers appartenant à l’intervalle [0,N-1]. Ils peuvent être codés sur k bits bi

tels que 1 2 1kN − = − . Pour un entier n donné de cet intervalle, le code de Gray 1 2 0...k ka a a− − du mot

binaire naturel 1 2 0...k kb b b− − s’écrit :

[ ]1 1

1 0, 2k k

i i i

a b

a b b i k− −

+

== ⊕ ∀ ∈ −

Exemple : Codage de Gray de nombre entier naturel

Nombre entier Codage binaire classique Codage de Gray 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 1110 6 0110 1100 7 0111 0100

2. Codage de Reed Solomon Le codage de Reed Solomon est un code en bloc détecteur et correcteur d’erreur. Celui-ci est

notamment utilisé dans la norme DVB. Il est noté RS(188,204,t=8).

Question : Que signifie la notation RS(188,204,t=8) ?

Réponse :

Ce code consiste à ajouter des octets redondants valant soit la somme soit la somme pondérée

des différents octets présents dans le message. Pour comprendre ce code, appliquons le à un message composé de 3 octets, par exemple le suivant : 12 15 34. On ajoute 2 octets de redondances. Le premier est égal à la somme des 3 octets, le second à la somme pondéré par le rang de chaque octet des 3 octets :

Premier octet de redondance : 12+15+34 = 51

Deuxième octet de redondance : 12×1+15×2+34×3 = 114

Codage de Gray

bk- ak-


A. Boyer 75

Le message codé devient donc : 12 15 34 51 114. Imaginons qu’on transmette ce message, qu’un des octets ait été perturbé et qu’on récupère le message suivant : 18 15 34 51 114. Si on refait la somme des 3 octets et la somme pondérée, on peut détecter une erreur :

18+15+34 = 57 18×1+15×2+34×3 = 120 La différence des sommes simples (celle reçue et celle recalculée) donne la valeur de l’erreur :

57-51 = 6. Celle des différences pondérées divisées par l’erreur donne le rang de l’erreur : 120 114

16

− = . Il s’agit donc du premier octet qui est défectueux et l’erreur est de +6. Bien entendu, si

une erreur affecte un des octets de redondance, l’erreur ne pourra pas être détectée, sauf si on ajoute une redondance à la redondance.

VII. Entrelacement - Brassage

Tous les codes correcteurs d’erreurs ont une limite en terme de correction. Une des choses les plus difficiles à corriger est une longue suite de bits erronés. Afin d’éviter ce genre d’événement, il est possible de répartir les bits d’un paquet à émettre sur plusieurs paquets. On appelle cette technique l’ entrelacement. Elle est répandue dans des applications diverses : téléphonie mobile, compact disques, DVB... Le principe de l’entrelacement utilisé est décrit par la figure 73. L’exemple suivant va nous aider à mieux comprendre l’intérêt de l’entrelacement des données. On suppose qu’un octet code une lettre et qu’un mot de 5 lettres correspond à un paquet.

Le tableau 3 présente une partie du message à émettre. Celui-ci subit une opération d’entrelacement et est envoyé à travers le canal de transmission (les – correspondent aux lettres des paquets précédents qu’on a pas fait apparaître dans l’exemple). Quatre erreurs viennent alors affecter le message reçu. Ces 4 erreurs se suivent et empêchent toute correction simple d’un des paquets (3 erreurs !). Mais après désentrelacement, ces erreurs sont convenablement réparties sur chacun des paquets ; 4 paquets sont affectés d’une seule erreur et une méthode de correction simple permettra de récupérer le message original. Sans entrelacement, cette méthode serait restée inefficace.

Message original carte niche vieux poule tasse route verre

Entrelacement s---- na--- vir--- pict- toehe rauue voslx

Réception du message – 4 fautes

s---- na--- vir--- pict- toehe raXXX Xoslx

Désentrelacement carte nichX vieXx poXle tasse route Xerre

Tableau 3 – Répartition des erreurs à l’aide d’un entrelacement

Une autre technique proche de l’entrelacement est le brassage. Cette technique permet

d’éviter de longues suites de ‘0’ et de ‘1’ qui vont créer une ou plusieurs raies spectrales à forte énergie, et de répartir uniformément l’énergie sur le spectre du canal. Dans les chapitres suivants, nous verrons que cette technique s’apparente à ajouter au signal de la diversité fréquentielle. Ainsi, même sans présence de signal en entrée, un flux digital est transmis, ce qui facilite la synchronisation de l’horloge du récepteur nécessaire à la récupération des données. Cette technique est utilisée par exemple dans la DVB. La figure 74 présente un schéma de principe du circuit utilisé en DVB pour brasser des données à l’aide d’un générateur pseudo-aléatoire. C’est le même circuit qui est utilisé pour « débrasser » les données.

Fig. 73 - Principe de l’entrelacement

entr

elac

emen

t


A. Boyer 76

151413121110987654321 151413121110987654321

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 11 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1

ANDAND

++

++enable

Données

Données brassées

Registre à décalage

Générateur pseudo-aléatoire

Fig. 74 - Principe du brassage utilisé en DVB

VIII. Ce qu’il faut retenir

⇒ Afin de se protéger contre le bruit, les perturbations externes et les effets parasites du canal de transmission, le canal peut être rendu plus robuste à l’aide de techniques spéciales implémentées sur les émetteurs et les récepteurs. Elles aident à augmenter la capacité et la rapprocher des limites théoriques.

⇒ Les techniques qui modifient le contenu d’un signal numérique pour rendre le canal plus robuste face au bruit sont qualifiées de codage de canal.

⇒ Les techniques de codage de canal sont assurées par la couche liaison de données dans le cadre du modèle ISO/OSI.

⇒ La technique de codage de canal la plus courante est l’ajout de codes détecteur/correcteur d’erreurs.

⇒ Dans le cas d’un code détecteur d’erreurs, le récepteur demande généralement une retransmission des données. Dans le cas d’un code correcteur d’erreurs, le message initial pourra être retrouvé à condition que peu de bits soient erronés. Le nombre maximal de bits erronés dépend des performances du code.

⇒ D’autres techniques courantes de codage de canal visent à mélanger l’ordre des bits dans un message binaire (entrelacement) ou à introduire des bits supplémentaires pour ajouter de la diversité fréquentielle au signal (brassage).


A. Boyer 77

F. Techniques de fiabilisation d’un canal

de transmission sur la couche physique

Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’il était possible de rendre un canal de transmission robuste par codage du message à transmettre. Il est aussi possible d’accroître la fiabilité d’une transmission en agissant sur le signal électrique à transmettre. Cela se traduit par des techniques de mise en forme du signal, de filtrage du signal reçu, de modulations, d’égalisation, d’accès multiples ou d’ajout de diversité. Ces techniques concernent les couches physiques des systèmes de transmission (fig. 66).

I. Couche physique

La couche physique définit la façon dont le signal est transmis. Elle assure le transfert physique des données binaires entre les différents systèmes communicants d’un réseau en fonction des propriétés du support de transmission (électriques, électroniques, optiques …). Cette couche a pour missions principales de garantir la représentation correct des bits (niveaux électriques, timing…), synchroniser les bits avec une horloge système pour garantir un échantillonnage correct, et définir le support de transmission. La couche physique peut être subdivisée en 3 sous couches (fig. 75) :

Sous couche Medium Dependent Interface (MDI) : connectique avec le support de transmission

Sous couche Physical Medium Attach (PMA) : définit les caractéristiques physiques des émetteurs et récepteurs

Physical Signalling (PLS) : codage/décodage des bits (niveaux électriques associés aux bits), bit timing, synchronisation des bits

2. Liaison de données

1. Physique

3. Réseau

4. Transport

5. Session

6. Présentation

7. Application

Physical Medium Attach (PMA)

Medium Dependent Interface (MDI)

Physical Signalling (PLS)

Fig. 75 – Couche physique

II. Mise en forme électrique – code en ligne – coda ge bande de base

Le codage de canal se traduit aussi par la mise en forme électrique du signal numérique, qui consiste à faire la correspondance entre les symboles du message et les impulsions électriques qui seront physiquement transmises sur le canal. Cela s’apparente à une modulation en bande de base. Le choix du code en ligne se fait selon certains critères, notamment celui d’assurer la compatibilité


A. Boyer 78

entre le débit à transmettre et la bande passante du milieu de transmission. En choisissant la méthode de codage appropriée, on peut donner certaines caractéristiques avantageuses au signal :

modification de l’occupation spectrale (meilleure adaptation au support de transmission, notamment la suppression de la composante continue, de la porteuse et de bandes de fréquences superflues afin d’améliorer le rendement énergétique)

synchronisation de l’horloge du récepteur sur le flux numérique reçu

utilisation de la redondance intrinsèque du code pour la détection des erreurs La sélection d'une méthode de codage consiste à rechercher le meilleur compromis entre

certains des avantages cités auparavant et la dégradation du rapport signal à bruit. Ce compromis dépend avant tout du support de transmission. Les codes peuvent être à symboles indépendants dans le cas où l’apparition de chaque symbole est équiprobable et décorrélée de l’apparition des autres.

1. Code NRZ (Non Return to Zero) binaire Deux niveaux de tension différents de 0 sont utilisés pour coder chacun des états binaires. Le

plus souvent, on choisit une tension négative pour le bit ‘0’. Il n’y a jamais de passage à la tension nulle, on dit qu’il n’y a pas de transitions. La version la plus simple est le code NRZ-L (Level). Pour chaque période de bit Tb, la valeur du signal Sk pour chaque bit bk est calculée de la manière suivante :

'1'

'0 'k k

k k

S V si b

S V si b

= + == − =

Il s’agit donc d’un signal rectangulaire de largeur Tb. La figure 76 présente un exemple de chronogramme d’un code NRZ accompagné de sa transformée de Fourier. La période de bit Tb est de 10ns, donc la fréquence de bit ou de rythme Fb est de 100MHz. En annexe C, l’expression théorique d’un signal binaire codé en NRZ est démontrée.

Fig. 76 - Code NRZ (chronogramme et densité spectrale de puissance)

L’énergie d’un signal codé en NRZ est principalement situé sur la bande [0;Fb], qui contient le lobe principal du spectre. Une composante continue existe, ce qui peut être pénalisant en terme de rendement énergétique si le canal bloque la composante continue (exemple des antennes), puisque de de l’énergie est consommée pour rien. De plus, aucune raie n’est présente à la fréquence de bits Fb, ce qui rend difficile la récupération d’un signal d’horloge de synchronisation de la réception du signal (démodulation synchrone). Le fait qu’il n’y ait pas de raies en Fb provient du fait qu’il n’y a pas forcément de transition tous les Tb.

2. Code RZ (Return to Zero) binaire Dans le code RZ, le niveau ‘0’ est codé par un signal nul. Il s’agit d’un signal rectangulaire

d’amplitude +V, unipolaire et de largeur [0;λTb], suivi d’un retour à 0 pendant l’intervalle [λTb ;Tb]. Λ est un nombre compris entre 0 et 1.


A. Boyer 79

[ ][ ]

0;'1'

0 ;

0 '0 '

b

k k

b b

k k

V t TS si b

t T T

S si b

λλ

+ ∀ ∈= =∀ ∈

= =

La figure 77 présente un exemple de chronogramme d’un code RZ et de sa transformée de Fourier. Le message binaire est le même que dans l’exemple précédent, la fréquence de rythme est similaire. On prend dans cet exemple λ=0.5.

Fig. 77 - Code RZ (chronogramme et densité spectrale de puissance)

Ce codage entraîne toujours l’apparition d’une composante continue. Pour λ=0.5, le codage

RZ permet de récupérer une raie à la fréquence de commutation des bits ce qui va faciliter la récupération du rythme de la transmission en réception. Néanmoins, l’apparition de cette raie suppose la stationnarité des éléments binaires, c'est-à-dire une séquence équilibrée de ‘0’ et de ‘1’. Si une longue suite de ‘0’ apparaît dans le message, le signal transmis reste nul pendant un long laps de temps. L’amplitude de la raie à Fb décroît alors fortement et la puissance du signal recueilli peut devenir insuffisante pour assurer la récupération du rythme. Le récepteur peut alors perd sa synchronisation.

3. Code binaire biphase (code Manchester) La règle du codage est la suivante.

0;2

'1'

;2

0;2

'0 '

;2

b

k k

bb

b

k k

bb

TV t

S si bT

V t T

TV t

S si bT

V t T

+ ∀ ∈ = =

− ∀ ∈

− ∀ ∈ = =

+ ∀ ∈

La figure 78 présente un exemple de chronogramme d’un code Manchester et de sa transformée de Fourier. Le message binaire est le même que dans l’exemple précédent, la fréquence de rythme est similaire.


A. Boyer 80

Fig. 78 - Code Manchester (chronogramme et densité spectrale de puissance)

Cette fois, le spectre du code Manchester ne contient pas de composante continue, ce qui pouvait se prévoir de manière statistique. On peut ainsi transmettre sur le même canal une tension d’alimentation continue et le signal informatif sans perturber ce dernier. Puisqu’il y a toujours des transitions tous les Tb, on peut récupérer une raie à Fb et reconstituer le signal d’horloge à l’aide d’un filtre sélectif centré sur Fb. Cependant, par rapport au code NRZ, l’occupation spectrale du code Manchester est plus large [0 ;2×Fb]. Le codage Manchester est notamment utilisé dans la norme Ethernet.

4. Code bipolaire RZ ou Alternate Marked Inversion Contrairement aux codes en ligne précédents, ce code n’est pas à symboles indépendants. Il

permet d’ajouter une corrélation entre les symboles transmis, alors qu’il n’en existait aucune dans la source du message, où tous les symboles étaient indépendants. L’ajout d’une certaine corrélation entre les symboles ajoute une redondance à l’information sans avoir à ajouter de bits supplémentaires. La règle du codage est la suivante.

0;2

'1', var 1 1.

;2

0 '0 '

b

k k

bb

k k

TnV t

S si b n ie alternativement de àT

nV t T

S si b

∀ ∈ = = + − − ∀ ∈

= =

La figure 79 présente un exemple de chronogramme d’un code AMI et de sa transformée de Fourier. Le message binaire est le même que dans l’exemple précédent, la fréquence de rythme est similaire.

Fig. 79 - Code AMI (chronogramme et densité spectrale de puissance)

Ce codage présente plusieurs intérêts :


A. Boyer 81

Il permet une détection d’erreur en contrôlant la somme des symboles, sans avoir à ajouter de bits redondants

La composante continue est nulle

Par contre, aucune raie à Fb n’est présente. Cependant, on peut néanmoins récupérer l’horloge bit. Si on effectue un redressement double alternance, on retrouve un codage RZ qui présente une raie à Fb. Mais des problèmes de perte de synchronisation peuvent apparaître. D’autres méthodes à symboles dépendants ne présentant pas ce problème ont été imaginées (code HDBn) mais nous ne les traiterons pas.

III. Filtrage et pulse shapping

1. Filtrage La fonction filtrage est présente en différents endroits d’un émetteur et d’un récepteur afin d

réduire la bande passante du signal, cela pour 2 raisons :

limiter l’occupation spectrale du signal et transmettre sur un canal à bande étroite sans perturber les canaux adjacents

bloquer les signaux indésirables (signaux hors bande) et limiter le bruit (dans le cas d’un bruit blanc, son amplitude en puissance est directement proportionnelle à la bade passante du canal)

La réponse des filtres peut être caractérisée soit dans le domaine fréquentiel par la fonction de

transfert, soit dans le domaine temporel par la réponse impulsionnelle. Ces filtres peuvent être analogiques (à base de composants passifs RLC) ou digitaux (filtres FIR ou IIR synthétisés par des composants digitaux de traitement de signal).

Les filtres doivent cependant ne pas introduire trop d’atténuation sur la bande passante et ne pas distordre le signal transmis ou reçu. De plus, en réduisant l’occupation spectrale d’un signal numérique, ces fronts ralentissent et le risque d’apparition d’interférences intersymboles s’accroît. Il convient de s’assurer que ces filtres respectent le critère de Nyquist dans le temps. En d’autre terme, le filtre ne doit pas dégrader le signal numérique à l’instant où celui-ci est échantillonné pour détecter son état binaire.

La figure ci-dessous indique les positions typiques des filtres dans un canal de transmission (toutes ne sont pas représentées). Le filtre de mise en forme (pulse shaping) est un filtre passe-bas appliqué sur le signal en bande de base avant la modulation. Il permet de réduire l’occupation spectrale du signal modulé (voir annexe C pour le spectre d’un signal numérique). Comme il ralentit et étale le signal numérique, il est nécessaire de s’assurer qu’il n’introduit pas d’interférences intersymboles. En entrée et en sortie du medium de transmission, on trouve des filtres passe bande centrés sur la bande passante du canal. Ils servent à supprimer le bruit hors bande. Enfin, on trouve aussi un filtre de mise en forme en sortie de l’étage de démodulation afin d’annuler l’interférence intersymbole.

Signal binaire bande de base Traitement

bande de base

Mise en forme

Modulation

amplification

Suppression du bruit hors bande

DémodulationTraitement bande de base

amplification

Medium de transmission

Suppression du bruit hors bande

Signal binaire bande de base

EMETTEUR

RECEPTEUR

Mise en forme

Fig. 80 – Positions typiques du filtrage dans un canal de transmission


A. Boyer 82

2. Pulse shaping – Filtre à cosinus surélevé L’interférence intersymbole est un effet inévitable dans les communications filaires et

hertziennes, lié à leurs caractéristiques. La solution immédiate pour s’en prémunir est de ralentir le débit su signal transmis. En effet, comme le canal de transmission tend à étaler dans le temps chaque symbole transmis, on réduit ainsi le risque de recouvrement de symboles adjacents. Cependant, que faire pour réduire l’interférence intersymbole s’il n’est pas possible de réduire le débit ?

La solution réside dans la mise en forme du signal binaire (pulse shaping). Considérons un signal formé d’impulsions. Le principe est de s’assurer qu’à l’instant de l’échantillonnage du signal reçu pour déterminer l’état binaire transporté, l’interférence intersymbole s’annule. Ailleurs, même si les symboles se recouvrent, cela n’a pas d’importance. Pour cela, on va « tailler » la forme temporelle des impulsions de manière à ce que :

elles occupent une bande de fréquence étroite

une impulsion s’annule au moment où on échantillonne une autre impulsion

Pourquoi une impulsion de forme rectangulaire n’est pas souhaitable ? Parce que son spectre

tend à occuper une bande fréquentielle très large, proche d’une fonction sinus cardinal (voir annexe C). Une première forme temporelle qui pourrait parfaitement convenir est justement un sinus cardinal. La transformée de Fourier d’un sinus cardinal est une fonction porte, donc le spectre de ce signal est à bande limitée : sa bande passante est égale au débit de symbole divisé par 2, qui est la bande passante de Nyquist (voir annexe D) ! En outre, la fonction sinc respecte le critère de Nyquist dans le temps, puisqu’elle s’annule régulièrement dans le temps. Si on synchronise l’échantillonnage des symboles sur les zéros de la fonction sinc, alors un symbole ne peut plus interférer avec les symboles suivants. Cependant, en pratique, ce type de mise en forme est très délicate à mettre en œuvre. Ensuite, les temps de montée et de descente de la fonction sinc sont grands. Si une erreur temporelle affecte l’instant d’échantillonnage, alors il y aura interférence intersymbole.

Une autre classe de forme temporelle très largement utilisée est celle des fonctions en cosinus

surélevé (ou raidi) (voir annexe E). Cette fonction est une modification de la fonction sinc :

( )2

21

cos

sin

−

=

S

S

S

T

rt

T

rt

T

tctf

π

(Équation 79)

Ts : période symbole r : facteur de roll-off

Elle est caractérisée par le facteur de roll-off qui permet d’ajuster la bande passante et de se

rapprocher de la bande passante de Nyquist. Pour un facteur de roll-off de 0 %, la bande passante est égale à la bande passante de Nyquist (on obtient alors une fonction sinc). Pour un facteur de roll-off de 100 %, la bande passante est égale à 2 fois la bande passante de Nyquist. Les 2 figures ci-dessous comparent la réponse temporelle et le spectre d’une impulsion passée à travers un filtre en cosinus surélevé de facteur de roll-off = 0, 0.5 ou 1. Le débit de symbole est de 500 Kbauds. Plus on augmente le facteur de roll-off, moins l’impulsion s’étale et plus le risque d’interférences intersymboles diminue. Par contre, l’occupation spectrale s’élargit. On appelle l’excès de bande passante la bande passante supplémentaire occupée par le signal par rapport à la bande passante de Nyquist BNyquist. On peut montrer que l’excès de bande passante Wo est égal à :

SNyquist FrBrW ×=×=0 (Équation 80)


A. Boyer 83

Fig. 81 – Réponse temporelle d’une impulsion passée à travers un filtre en cosinus surélevé

Bande passante de Nyquist

Excès de bande passante

Fig. 82 – Spectre d’une impulsion passée à travers un filtre en cosinus surélevé

En pratique, le facteur de roll-off est compris entre 0.2 et 0.4. En pratique, ce type de filtre n’est pas implémenté directement. On préfère le dispatcher en 2 filtres en racine de cosinus surélevé, placés sur l’émetteur et le récepteur. La réponse globale des 2 filtres est équivalente à un filtre en cosinus surélevé, mais le résultat est meilleur.

IV. Accès multiples

Les accès multiples ou multiplexage sont un moyen courant pour transmettre simultanément les messages provenant de plusieurs sources sur un même canal, permettant à une même ressource d’être partagée entre plusieurs utilisateurs. Outre l’optimisation de l’utilisation du canal de transmission, les techniques d’accès multiples offrent certains avantages en terme de fiabilisation de la transmission. Afin qu’un accès multiple fonctionne, il est nécessaire de définir d’une part le principe de l’allocation de la ressource à une demande de communication et d’autre part le principe de partage de la ressource. Cette gestion est assurée par une couche basse des protocoles de communication, appelée Medium Access Control (MAC) dans le cas de réseaux locaux. Le but de cette couche est de définir la méthode d’accès au canal de transmission afin de « se faire entendre et comprendre des autres ». Elle reste néanmoins indépendante de la couche physique dont le rôle est d’interfacer le système de communication au canal de transmission.

Un canal bidirectionnel est déjà un canal partagé entre 2 utilisateurs, qui ont une liaison en mode duplex. Cependant, le partage est limité à 2 utilisateurs au maximum. Afin d’assurer un partage entre plus d’utilisateurs, des méthodes d’accès déterministes ont été développées. Elles consistent à allouer une fraction de la ressource à des utilisateurs pour la durée de la communication. Chaque


A. Boyer 84

ressource est alors isolée des autres en assurant l’orthogonalité entre les différents sous-canaux, ce qui évite toute interférence entre les utilisateurs. Il existe trois types de partage de canal de transmission, qui sont résumées sur la figure 83.

Remarque : la propriété d’orthogonalité indique si deux entités (signaux, codes, …) sont

séparables, c’est à dire qu’en leur appliquant une opération donnée, on trouve un résultat nul. Ainsi, deux droites orthogonales ont un produit scalaire nul.

Util

isa

teur

1

Util

isa

teur

2

Util

isa

teu

r 3

Util

isa

teur

N

fréquence

tem

ps…

U

tilis

ate

ur 1

Util

isa

teur

2

Util

isa

teu

r 3

Util

isa

teur

N

fréqu

ence

temps

…

Utilisateur 1

fréquence

temps

Utilisateur 2

Utilisateur 3

Utilisateur N

…

FDMA TDMA CDMA Fig. 83 - Les différentes méthodes d’accès multiples déterministes

Frequency Division Multiple Access (FDMA) : les utilisateurs se partagent le canal dans le domaine fréquentiel et émettent sur un sous-canal donné. Les canaux adjacents ne se recouvrent jamais grâce à l’utilisation d’intervalle de garde entre chaque voie, les rendant ainsi orthogonales. Les différents utilisateurs n’ont pas besoin d’être synchronisés entre eux ce qui rend cette technique simple à mettre en œuvre par rapport aux autres. De plus, c’est la seule technique de multiplexage qui peut être employée avec des signaux analogiques. Cependant, cette technique présente un des inconvénients majeurs des communications radio, celui des évanouissements sélectifs. Une bande de fréquence étroite peut subir pendant une durée assez longue une forte atténuation. Pour y remédier, il est possible d’introduire des sauts de fréquence (frequency hoping) suivant un motif prédéfini. Ainsi, l’utilisateur change régulièrement de bande de fréquence, réduisant la durée pendant laquelle il est susceptible de subir un évanouissement sélectif. De plus, afin d’éviter que chaque canal adjacent ne se recouvre à cause des élargissements de spectre que peuvent subir les signaux, les émetteurs doivent être munis de filtres très sélectifs. Ceux-ci doivent remplir des conditions très strictes au niveau de leur spectre d’émission. Enfin, la gestion de l’allocation de la ressource n’est pas optimale. En effet, dans le cas où peu d’utilisateurs communiquent, une partie des canaux reste alors inutilisée.

Time Domain Multiple Acces (TDMA) : les utilisateurs se partagent le même canal fréquentiel dans le domaine temporel, qui est découpée en intervalles de durée fixe appelés Time Slots (fig. 84). L’émission est donc discontinue et se fait par rafales (bursts). Cette technique ne peut s’appliquer qu’à des communications numériques synchrones, dont les messages ont été découpés en trames, et nécessitent de nombreux signaux de contrôle. Les trames des différents utilisateurs ne doivent pas interférer entre eux, d’où l’ajout d’intervalles de garde entre chaque bursts, rendant chaque voie orthogonale aux autres. La capacité de chaque utilisateur diminue à mesure que leur nombre augmente. Cependant, il permet une gestion plus souple de l’allocation de la ressource car la ressource sera toujours entièrement utilisée. Néanmoins, le TDMA comme le FDMA émettent sur des bandes étroites déterminées et souffrent du phénomène d’évanouissements sélectifs dus à la propagation multi trajets des signaux. Cette technique est très utilisée en télécommunication, et est utilisée avec le FDMA en téléphonie mobile (GSM).


A. Boyer 85

Fig. 84 – Partage du canal par TDMA

Code Division Multiple Access (CDMA) : il s’agit d’une méthode d’étalement de spectre obtenue soit par saut de fréquence soit par modulation d’un signal à débit plus élevé (Direct Sequence Spread Spectrum), s’appliquant uniquement aux communications numériques. Le système de gestion permet à plusieurs utilisateurs d’émettre en même temps sur toute la bande de fréquence. Mais pour que le destinataire sépare le message qui lui est attribué des autres, chaque utilisateur émet avec un code qui lui est propre. Ce code est une séquence pseudo-aléatoire unique et orthogonale aux autres codes. Elle va permettre de gérer les sauts de fréquence et d’éliminer le bruit binaire dû aux autres communications. Ainsi, seul le signal ayant le même code que le destinataire sera desétalé. L’utilisateur partage donc la même bande que les autres utilisateurs. Cette technique est parfois surprenante car le signal détecté est en général sous le niveau de bruit, puisqu’il se retrouve noyé avec les autres signaux émis dans un signal aléatoire sur l’unique bande de fréquence allouée. La figure 85 illustre le processus d’étalement/desétalement de spectre employé en CDMA. Elle permet d’obtenir une très bonne efficacité spectrale et de combattre très efficacement les évanouissements sélectifs grâce une bande de fréquence plus large. Cependant, comme plusieurs utilisateurs émettent sur la même bande de fréquence, ils contribuent à dégrader les performances en augmentant le bruit de fond. Il s’agit là du principal facteur limitant de cette technique. De plus, elle requiert d’importantes capacités de calcul et donc l’utilisation de composants coûteux. Le CDMA a été initialement développé au Etats-Unis et a servi en téléphonie mobile et en télécommunications spatiales (GPS). Ce système a subi plusieurs évolutions et connaît aujourd’hui un succès important comme avec le Wide-CDMA (W-CDMA) pour la téléphonie 3G.

Bruit de fond

Interférences

Autres utilisateurs

Fig. 85 – Principe du processus étalement/desétalement de spectre employé en CDMA


A. Boyer 86

V. Diversité

Comme nous l’avons vu, la plupart des systèmes de transmission est soumise à des problèmes de propagation multi-trajet, qui provoque des évanouissements sélectifs de très fortes valeurs. En général, la durée de ces évanouissements est en général grande devant la période du signal binaire. Si un signal subit un évanouissement sélectif, de nombreuses techniques servant à fiabiliser la transmission, telle que l’ajout de codes correcteur d’erreurs deviennent inefficaces.

Il existe un moyen pour remédier à ce problème : proposer différents chemins de transmission à un même signal. Cela peut consister à « éparpiller » l’information dans le message à transmettre (par exemple entrelacement des données) ou bien de le transmettre/recevoir par différents canaux. En télécommunications, on dit qu’on ajoute de la diversité aux chemins de propagation. Il s’agit de transmettre simultanément un message sur plusieurs canaux totalement indépendants qui présenteront des caractéristiques différentes. La diversité peut se présenter sous différentes formes :

diversité fréquentielle : l’information est transmise sur différentes porteuses suffisamment espacées en fréquence pour qu’elles ne subissent pas le même évanouissement sélectif. Il est cependant nécessaire de disposer d’un canal avec une bande de fréquence suffisamment large pour que les porteuses restent éloignées et soient affectées d’une manière différente par la sélectivité du canal

diversité temporel : l’information est transmise sur une seule et même porteuse mais plusieurs fois à des instants différents. Cependant, un délai est nécessaire pour récupérer et décoder toute l’information. Ce délai peut devenir inadmissible dans le cas d’applications temps réel (voix, vidéo). L’entrelacement vu précédemment ajoute de la diversité temporelle.

diversité spatial ou de réception : dans le cas de radiocommunications, plusieurs antennes sont utilisées au niveau de l’émetteur et du récepteur. Celles-ci sont espacées d’un multiple de λ/4 ou λ/2 pour optimiser la diversité.

Remarque : Une méthode de diversité qui connaît un très grand succès ces dernières années est la

modulation Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM), qui ajoute de la diversité fréquentielle. Il s’agit d’une modulation multi-porteuses qui va permettre d’adapter l’information à transmettre au canal. Le principe de l’OFDM est décrit par la figure 86.

Fig. 86 – Principe de la modulation OFDM

Elle consiste à séparer l’information à transmettre en N blocs et à les transmettre en parallèle

sur N porteuses différentes et orthogonales (des multiples d’une fréquence fondamentale). Si les


A. Boyer 87

fréquences de ces N porteuses sont suffisamment éloignées, elles ne seront pas atténuées de la même façon par le canal. Si toutes les porteuses sont émises avec la même puissance, la mesure de l’amplitude de chacune des porteuses par le récepteur permet de déterminer la fonction de transfert du canal et d’apporter une correction pour égaliser ou compenser l’effet du canal. Des séquences de bits spéciales sont envoyées périodiquement pour déterminer les facteurs de correction à apporter. L’opération employée pour générer le signal OFDM est classique puisqu’il s’agit d’une transformé de Fourier rapide (FFT) inverse. De même, l’opération de démodulation emploie une FFT. Le développement ces dernières années des circuits de Digital Signal Processing a aidé à la réalisation technique de l’OFDM.

Cette technique permet de lutter efficacement contre le phénomène d’évanouissement sélectif puisqu’elle permet non seulement d’égaliser le canal, mais en plus de détecter quelles sont les bandes qui subissent un évanouissement sélectif. Une fois ces bandes détectées, celles-ci ne seront plus utilisées. Cependant, l’OFDM est très sensible au décalage en fréquence des porteuses, qui peut faire perdre l’orthogonalité. Cela pose de fortes contraintes sur les oscillateurs locaux des émetteurs et des récepteurs, ainsi que sur l’effet Doppler maximal. Néanmoins, si l’évanouissement sélectif causé par le canal annule une des porteuses, alors une partie du signal informatif est définitivement perdue. Ainsi, dans la modulation Coded OFDM (COFDM), les données sont brassées et elles se retrouvent éparpillées dans les différents blocs. Grâce à ses avantages, la modulation OFDM est utilisée dans de nombreux systèmes de communication : DVB, radio numérique (DAB), Wimax, WiFi, Hiperlan 2, ADSL.

VI. Ce qu’il faut retenir

⇒ Une transmission peut être fiabilisée en modifiant de manière adéquate les propriétés physiques du signal.

⇒ La mise en forme électrique d’un signal numérique ou code en ligne permet de modifier son occupation spectrale, améliorer la synchronisation du récepteur ou d’ajouter de la redondance afin de détecter d’éventuelles erreurs.

⇒ Le filtrage est utilisé dans l’émetteur et le récepteur pour supprimer les signaux indésirables et réduire l’occupation spectrale du signal transmis.

⇒ Afin de réduire l’interférence intersymbole, il est possible de mettre en forme le signal en bande de base à l’aide d’un filtre dit de pulse shaping. Les filtres à cosinus raidi sont couramment employés pour la remise en forme des signaux. Ils offrent un bon compromis entre réduction de l’interférence intersymbole et diminution de l’occupation spectrale

⇒ Les techniques d’accès multiples sont courantes en télécommunications afin de partager le canal entre plusieurs utilisateurs. Le canal peut être partagé en fréquence, dans le temps ou selon des codes. Ces techniques offrent différents avantages en termes d’optimisation de l’utilisation du canal et de robustesse face au bruit.

⇒ L’ajout de diversité consiste à diversifier les canaux empruntés par le signal (plusieurs fréquences, à différents instants, plusieurs chemins de propagation) et ainsi le rendre plus robuste face au bruit.


A. Boyer 88

G. Régénération d’un signal

La régénération d’un signal a pour objet la récupération aussi fidèle que possible des

symboles émis par le récepteur, après que ce signal ait été affaibli, déformé et perturbé par son passage à travers le canal de transmission. Son rôle est de débarrasser le signal des perturbations et des distorsions qui l’affectent, notamment à l’aide de filtres et d’égaliseurs, puis de l’interpréter en fonction des valeurs que peut prendre le signal. En outre, dans le cas d’une transmission synchrone, le signal reçu doit être échantillonné à des instants précis afin de retrouver le flux binaire original. Cela nécessite de reconstituer avec précision l’horloge de cadencement du message transmis. La qualité de service, c'est-à-dire la capacité du système de réception à délivrer des messages avec le minimum d’erreurs, dépend des caractéristiques du récepteur et de sa capacité à reconstituer fidèlement le signal malgré les effets parasites du canal de transmission.

I. Structure d’un régénérateur synchrone

La figure 87 présente la structure classique d’un régénérateur synchrone dans un récepteur sous la forme d’un schéma bloc. Le régénérateur va reconstituer à partir du signal reçu un signal binaire aussi fidèlement que possible du flux binaire transmis. Le signal n’a sans doute pas été transmis directement en bande de base et il a certainement été multiplexé, modulé et filtré. La « tête RF » ou « RF front end receiver » est le premier élément de la chaîne de réception et va assurer l’amplification, le filtrage, la démodulation et le démultiplexage du signal reçu afin d’extraire le signal de bande de base. Cependant, en raison des effets parasites du canal (dispersion temporelle, bruit) et des filtres de l’émetteur visant à réduire l’occupation spectrale du signal, le signal de bande de base reçu est déformé et le risque d’interférences inter symbole est très élevé.

Signal RF reçu

Affaiblis, déformés, perturbés

Filtre de réception

Egaliseur

Amplification

Démodulation

Extraction horloge

filtre

Oscillateur local

échantillonneur

Décision

Mise en forme

Fb=1/Tb

Signal binaire reconstitué

Bande de base ∫

T

dt0

Corrélateur

Fig. 87 - Schéma-bloc d’un régénérateur synchrone

Le régénérateur est composé de plusieurs circuits digitaux qui vont réduire les interférences inter symboles et ainsi le taux d’erreur binaire :

Filtre de réception : de manière générale, les filtres de réception vont supprimer les interférences hors bande et réduire l’interférence inter symboles.

Egaliseur : un égaliseur est un filtre de réception particulier qui vise à compenser les effets parasites du canal et annuler l’IES.


A. Boyer 89

Corrélateur : les messages binaires sont parfois codés (CDMA par exemple). Certains codes possèdent des propriétés de corrélation. En exploitant ces propriétés, il est possible d’améliorer la détection du signal pour un SNR donné. La corrélation consiste en général à multiplier le signal reçu par le code original puis à l’intégrer dans le temps sur une période donnée. S’il existe une corrélation entre le code initial et le code qui nous a servi à multiplier, alors il existe une forte corrélation entre ces signaux et le résultat de l’intégration donnera un signal de forte amplitude. Sinon, la corrélation sera faible et le résultat de l’intégration quasi nul.

Détection : une fois le signal binaire reconstitué, il est nécessaire de l’interpréter, c'est-à-dire reconnaître la valeur prise par chaque symbole parmi les M valeurs possibles. Un détecteur à seuil effectue cette opération de discrimination, le choix des valeurs des seuils est faite afin de minimiser la probabilité d’erreur.

Echantillonnage : les signaux digitaux doivent être échantillonnés à chaque période, et à des instants précis de chaque période, là où l’influence du bruit et de l’IES sera minimale.

Extraction de l’horloge : les signaux digitaux sont généralement transmis sans l’horloge de cadencement du flux binaire. Or, celle-ci est indispensable pour échantillonner correctement le signal reçu. Le récepteur connaît certes par défaut la fréquence du signal binaire reçu, donc il est capable de générer un signal d’horloge de même fréquence. Cependant, celui-ci doit aussi être en phase avec le signal reçu. L’extraction de l’horloge va permettre de synchroniser l’horloge créée par un oscillateur local sur le signal binaire reçu.

II. Egalisation

Comme nous l’avons vu dans les chapitres précédents, la transmission d’un signal numérique à travers le système constitué par le canal de transmission et les filtres d’émission et de réception conduit à l’ajout de bruit (dégradation du rapport signal à bruit) et à une déformation due aux limitations de la bande passante du canal et à sa dispersion (qui provoque le phénomène d’interférences inter symboles). La présence inévitable de bruit et d’interférences inter symboles introduit des erreurs dans le dispositif de décision. La conception des filtres d’émission et de réception vise à réduire le bruit et l’IES.

Dans la plupart des systèmes de télécommunications, le rapport signal à bruit reste suffisamment élevé pour que le fonctionnement soit plus limité par l’IES que par le bruit. Un égaliseur est un filtre dont le butest d’annuler l’IES provoqué par le canal en annulant ses effets parasites. Les critères de Nyquist fixent les conditions pour lesquelles l’interférence intersymbole peut être éliminée (équations 31 et 43). Si la réponse impulsionnelle ou la réponse fréquentielle d’un filtre ou d’un canal respecte les critères de Nyquist, l’IES peut être annulé. L’égaliseur est donc conçu afin que l’ensemble canal de transmission + égaliseur forme un filtre de Nyquist.

1. Principe de l’égalisation En principe, si le canal est parfaitement connue, il est possible en théorie de minimiser voire

d’annuler l’IES à l’aide de filtre d’émission et de réception, de telle sorte que la chaîne complète de transmission forme un canal de Nyquist. En pratique, on ne connaît que très rarement les caractéristiques du canal, tout au plus que les caractéristiques moyennes. L’exemple type est le canal hertzien, qui est fortement non stationnaire. En outre, il peut exister des imperfections dans les filtres. Ces différents effets conduisent à maintenir une IES résiduelle et variable dans le temps qu’il faut compenser. L’égaliseur va se charger de cette opération.

En bande de base, si les filtres d’émission et de réception forment un filtre de Nyquist, le rôle de l’égaliseur sera de compenser l’effet du canal :

( ) ( ) [ ]BBsurfC

fE ,1 −= (Équation 81)


A. Boyer 90

où E(f) représente la fonction de transfert de l’égaliseur et B la bande passante du canal. Les parties qui suivent décrivent de manière succincte quelques structures classiques

d’égaliseurs. Pour plus de détails, vous pouvez vous reporter à des ouvrages spécialisés, certains vous sont donnés dans les références.

a. Egaliseur transverse ou linéaire Les égaliseurs transverses sont les plus simples à mettre en œuvre. Il s’agit de simples filtres

numériques linéaires à réponse impulsionnelle finie (FIR) (fig. 88). Ce sont des filtres non récursifs qui présentent l’avantage de ne pas présenter de boucles de contre réaction et donc d’être toujours stables. Leur fonction de transfert est calculée à partir de celle du canal pour annuler l’IES réponse impulsionnelle du canal est parfaitement connue, il est possible de déterminer une réponse impulsionnelle pour l’égaliseur de manière à donner une forme idéale à l’impulsion en sortie du filtre égaliseur, comme le montre la figure 89.

Malgré leur simplicité, les égaliseurs transverses sont peu efficaces puisque la fonction de transfert du canal doit être parfaitement connue, stationnaire et causal (échantillons nuls pour n<0), ce qui est rarement le cas en pratique.

T T T

b0 b1 bn-1 bn

+

x[n]

y[n]

Fig. 88 - Structure d’un égaliseur transverse

t

x[n]

-1 0 1 2 N N+1

…t

y[n]

-1 0 1 2 N N+1

…

Egaliseur transverse

1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0....210

....

01....211111

10....201000

210

210

210

=−++−+−+−=

=−++−+−+==−++−+−+=

NNxbNxbNxbNxbNy

Nxbxbxbxby

Nxbxbxbxby

N

N

N

Fig. 89 - Calcul des coefficients d’un égaliseur transverse

b. Egaliseur zero forcing Un égaliseur à zero forcing cherche à compenser exactement la fonction de transfert du canal,

afin d’annuler complètement l’IES. La fonction de transfert du filtre égaliseur est alors l’inverse de celle du canal, comme le montre l’équation 82. A partir de la transformée en Z, on peut en déduire la réponse impulsionnelle du filtre, connaissant celle du canal. M représente l’ordre du filtre et R un retard afin de prendre en compte une partie non causale de la réponse du canal.


A. Boyer 91

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑−

=

−=−⇔=1

0

1 M

i

RninciezC

zE δ (Équation 82)

Ce filtre présente néanmoins plusieurs défauts. Le premier concerne le risque d’instabilité. En effet, si C(z) présente des zéros de module supérieur à 1, alors E(z) possède des pôles instables. En outre, comme les canaux ont généralement des comportements de type passe bas, ce type d’égaliseur est généralement un filtre de type passe haut. Si le bruit est large bande, alors il s’ensuit une nette dégradation du rapport signal à bruit en sortie du filtre. Enfin, ce type d’égaliseur est statique et n’est pas utilisable pour un canal non stationnaire. Il nécessite une estimation préalable de la réponse impulsionnelle du canal.

c. Egaliseur à maximum de vraisemblance La présence d’IES est caractéristique d’une mémoire dans le signal lié à un canal imparfait.

Comme il existe une interdépendance entre les symboles reçus, il est possible de reconstituer la séquence de symboles transmis en maximisant la vraisemblance d’apparition du symbole. Cela se fait en général en utilisant un algorithme de Viterbi. Celui-ci permet de sélectionner dans un treillis le chemin de métrique le plus faible.

L’algorithme de Viterbi ne peut s’applique que sur un signal avec un bruit blanc superposé. L’égaliseur à maximum de vraisemblance est sans doute celui qui affiche les meilleures performances, mais c’est aussi le plus complexe. Il ne s’applique qu’à des séquences binaires courtes. Comme les autres égaliseurs, il nécessite aussi une estimation préalable de la réponse impulsionnelle du canal.

d. Egaliseur adaptatif Tous les égaliseurs précédents souffrent du défaut de considérer le canal stationnaire. En

pratique, les paramètres de l’égaliseur peuvent être remis à jour régulièrement, grâce à l’utilisation de séquence d’apprentissage. Mais la période de remise à jour doit être suffisamment faible et rien n’empêche le canal de se modifier entre deux remises à jour.

Les égaliseurs adaptatifs résolvent le double problème de méconnaissance du canal et d’évolution dans le temps du canal. Les égaliseurs adaptatifs basés sur l’algorithme de gradient stochastique sont parmi simples au niveau implémentation, stable et peu couteux. Cette approche vise à minimiser l’erreur quadratique entre les séquences d’entrée et de sortie de l’égaliseur, les coefficients du filtre étant modifiés au cours du temps. Néanmoins, les performances de ce type d’égaliseur peuvent être limitées dans le cas de variations brutales du canal.

Il existe beaucoup d’autres techniques d’égalisation beaucoup plus avancées parmi lesquelles les égaliseurs récursifs à retour de décision et les égaliseurs autodidactes.

2. Estimation du canal En pratique, les caractéristiques du canal ne sont jamais parfaitement connues, ce qui peut

limiter l’efficacité de certaines méthodes d’égalisation, qui supposent un canal stationnaire et requièrent une estimation de la fonction de transfert ou la réponse impulsionnelle du canal.

Il est alors nécessaire de réactualiser régulièrement l’estimation de la fonction de transfert du canal et remettre à jour les paramètres de l’égaliseur. En pratique, la plupart des systèmes de télécommunications émettent sous la forme de bursts (ou de manière intermittente), ce qui autorise l’insertion de trames supplémentaires et spécifiques entre chaque burst. Ces séquences, appelées séquences d’apprentissage, sont connues par le système et vont permettre d’identifier la fonction de transfert du canal à un instant T. Elles doivent présenter de fortes propriétés d’autocorrélation (proche d’un Dirac). En effet, si on appelle d(t) la séquence d’apprentissage, le signal reçu peut s’écrire sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )tntctdty += *

Si le bruit est négligeable, après intercorrélation du signal reçu avec la séquence d’apprentissage, on obtient :


A. Boyer 92

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tctRtctdtdtdtytR dyd **** =−=−=

où Rd(t) est la fonction d’autocorrélation de la séquence d(t). Si celle-ci est proche d’un Dirac, on obtient alors :

( ) ( )tctRyd ≈

En réalisant l’intercorrélation entre la séquence d’apprentissage et le signal reçu, il est possible de déterminer la réponse impulsionnelle du canal. En général, la séquence d’apprentissage doit être assez courte pour ne pas pénaliser le débit de données utiles, et ne présente pas une fonction d’autocorrélation aussi idéale, ce qui limite l’identification du canal.

Exemple : Dans le cas du GSM, chaque trame de données ou slot contient une séquence

d’apprentissage de 26 bits, appelée Constant Amplitude Zero AutoCorrelation (CAZAC). En tout, huit séquences CASAC différentes peuvent être utilisées afin de réduire les interférences entre cellules proches fonctionnant à la même fréquence.

… …

GSM – trame TDMA

1 slot = 156 bits = 577 µs

données donnéesséquence

apprentissagepériode de garde

58 bits 58 bits26 bits

Fig. 90 - Exemple de séquence d’apprentissage : séquence CAZAC pour le GSM

III. Synchronisation

La synchronisation d’un récepteur sur un émetteur est un problème crucial dans la récupération du message numérique. Le problème de synchronisation se pose en deux endroits du récepteur :

la démodulation synchrone

l’échantillonnage

Dans les parties qui suivent, nous allons d’abord décrire les problèmes liés à la perte de synchronisation, puis nous décrirons succinctement la manière dont on put conserver cette synchronisation.

1. Démodulation synchrone La plupart des systèmes de télécommunication utilise des démodulateurs synchrones ou

cohérents. La figure 91 présente le schéma de principe d’un démodulateur d’amplitude cohérent. UR(t) correspond à un signal modulé en amplitude avec un indice de modulation m. Le signal modulant est un signal sinusoïdal de fréquence ωm et d’amplitude 1. La porteuse est un signal sinusoïdal de fréquence ωP et d’amplitude AP. La démodulation cohérente consiste à multiplier le signal reçu avec un signal identique en fréquence et en phase au signal porteur afin de transposer en fréquence le


A. Boyer 93

signal. Après un filtrage passe bas, seul le signal de bande de base est conservé. Le principal avantage de la démodulation cohérente est de réduire l’influence du bruit sur le signal démodulé. Grace au filtrage, seul le bruit superposé au signal modulé est ramené en bande de base.

UR

UP

US UD(t)

Reconstitution porteuse

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]ttBmA

ttBmA

tBA

tU

ttBmA

ttBmA

tBAtU

tBttmA

tAtU

tBtUtU

MMPP

MMPP

PP

S

PMPP

PMPP

PPS

PMPMPP

PPS

PRS

ωωωωωωω

ωωωωωωω

ωωωωωω

ω

cos2cos4

cos2cos4

2cos12

coscos2

coscos2

cos

coscoscos2

cos

cos

2

++++−++=

++−+=

×

++−+=

×=

( ) ( ) ( )( )tmBA

tBmABA

tUfiltrageAprès MP

MPP

S ωω cos12

cos22

: +=+= (Équation 83)

Fig. 91 - Démodulateur d’amplitude cohérent

Néanmoins, la démodulation synchrone nécessite de pouvoir reconstituer la porteuse sans erreur de phase. Tout déphasage entre la porteuse reconstituée et la porteuse originale dégradera le signal démodulé, comme le montre la démonstration ci-dessous. Reprenons l’exemple précédent de signal modulé en amplitude. Supposons que la porteuse reconstruite par le récepteur présente un décalage de phase φ(t) avec le signal reçu, ce décalage pouvant varier dans le temps. En notant φ ce déphasage, on récupère après filtrage le signal suivant :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]ϕωϕωωϕωϕωωϕϕω

ϕωωωϕωωωϕωω

ϕωωωωωω

+++++−++−+++=

++++−++=

+×

++−+=

ttBmA

ttBmA

tBA

tU

ttBmA

ttBmA

ttBAtU

tBttmA

tAtU

MMPP

MMPP

PP

S

PMPP

PMPP

PPPS

PMPMPP

PPS

cos2cos4

cos2cos4

cos2cos2

coscos2

coscos2

coscos

coscoscos2

cos

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )tmtBA

tU

tBmABA

tU

ttBmABA

tUfiltrageAprès

MP

S

MPP

S

MMPP

S

ωϕ

ϕωϕ

ϕωϕωϕ

cos1cos2

coscos2

cos2

coscos4

cos2

:

+=

+=

++−+=

(Équation 84)

L’amplitude du signal démodulé dépend du décalage de phase entre la porteuse reconstituée et le signal reçu, conduisant à modifier l’enveloppe du signal reçu et à le dégrader. La seule manière de retrouver le signal d’origine est soit d’avoir un décalage de phase constant. Dans le cas où ce déphasage est nul, on retrouve le signal de l’équation 83.

Cet exemple pourrait s’appliquer à tout type de démodulation et démontre l’importance de la synchronisation du récepteur sur la porteuse du signal reçu pour que la démodulation n’introduise pas d’erreurs.


A. Boyer 94

2. Echantillonnage synchrone Comme nous l’avons vu dans les chapitres précédents, l’échantillonnage doit se faire à des

instants précis, là où l’influence de l’IES est la plus faible. Il est donc indispensable que le rythme du signal binaire de bande de base soit récupéré correctement.

Si le récepteur est parfaitement synchroniser avec la porteuse et avec le flux binaire, le signal reçu et échantillonné peut s’écrire sous la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( )tnkTtpakTytyk

k +−== ∑ (Équation 85)

où p(t) représente la réponse impulsionnelle des signaux en entrée du récepteur, T la période du signal binaire, ak l’amplitude prise par chaque symbole et n(t) le bruit additionnel. En présence d’un asynchronisme entre la porteuse reconstituée par le récepteur et la porteuse du signal, une erreur de

démodulation notée )(tie ξ− apparaît qui vient modifier l’enveloppe du signal reçu, où ξ(t) représente l’erreur de phase. En présence d’un asynchronisme entre le rythme du signal reçu et l’horloge binaire reconstitué, un retard noté T.ετ = , où ε une fraction de cette période. Le signal reçu et échantillonné en présence de ces asynchronismes peut s’écrire sous la forme :

( ) ( ) ( )tnkTtpaekTyk

kti +−−= ∑− τξ )( (Équation 86)

Les systèmes de synchronisation doivent donc correctement récupérer la porteuse afin d’annuler l’erreur de phase, et correctement récupérer le rythme afin d’annuler le retard sur les instants d’échantillonnage optimaux.

De nombreuses structures existent pour correctement récupérer la synchronisation avec un signal, qui sortent du cadre de ce cours. En pratique, le signal est reconstitué à partir d’un oscillateur local, la fréquence du signal étant à priori connu. Afin d’être en phase ou en rythme avec le signal reçu, l’oscillateur local est asservi par un système analogique ou numérique, qui corrige en temps réel la phase de l’oscillateur local en fonction des décalages de phase avec le signal reçu. Ce type d’asservissement est assuré par une boucle à verrouillage de phase ou Phase Locked Loop (PLL).

IV. Décision – Récepteur optimal

Le signal obtenu en sortie d’un canal de transmission est une version déformée, déphasée et perturbée par du bruit, du signal émis. Le problème du récepteur est de démoduler le signal reçu puis de décider de l’affectation des symboles reçus à l’un des symboles composant l’alphabet de départ. Cette étape est appelée décision. Celle-ci doit être effectuée de manière à minimiser le risque de mauvaise détection du signal. Ainsi, dans chaque récepteur, une règle de décision est élaborée, ainsi qu’une structure du récepteur. Des performances en termes de taux d’erreur binaire seront associées à cette règle et à cette structure, dans le cadre d’un canal et d’un bruit donné. Si la règle de décision et la structure du récepteur permettent de minimiser le risque d’erreur, on parle de récepteur optimal.

Dans cette partie, nous allons chercher à déterminer la règle de décision optimale dans le cas d’un signal binaire (ou un signal BPSK) traversant un canal AWGN, puis nous déterminerons les performances en terme de taux d’erreur binaire. Ce type de raisonnement pourra être étendu à des signaux à M états, mais cela dépasse le cadre de ce cours.

1. Seuil de décision pour un signal binaire travers ant un canal AWGN La figure 92 décrit le positionnement du problème. Un signal x(t) émis en bande de base

traverse un canal AWGN caractérisé par un bruit blanc gaussien d’écart type σ et arrive en entrée du récepteur. Après avoir été filtré, égalisé et échantillonné avec une période Te (on suppose que le récepteur est parfaitement synchronisé avec le signal reçu), le signal yk arrive en entrée d’un comparateur à seuil, qui va déterminer quel est l’état binaire pris par le symbole reçu. Le but du problème est de déterminer le seuil λ0 du comparateur à seuil qui va minimiser l’erreur d’interprétation du message binaire. A cause du bruit ajouté par le canal, la probabilité d’une erreur d’interprétation n’est pas nulle.


A. Boyer 95

égaliseurComparateur

à seuil λ0

Canal AWGN

z(t) y(t) yk dk

( ) ( ) ( ) ( )tntctxtz += *

1

0

=⇒>=⇒<

kk

kk

dy

dy

λλ

Te

Fig. 92 - Détection d’un signal binaire traversant un canal AWGN

Le signal en entrée du comparateur peut s’écrire :

'1'

'0',

1

0

====

+=kk

kkkkk xsiaa

xsiaaoùnay

Comme le bruit est de type gaussien, la densité de probabilité du bruit peut s’écrire à l’aide de la fonction suivante :

( ) ( )

−−=

2

20

2exp

2

1

σσπxx

xf (Équation 87)

On peut en déduire la densité de probabilité de l’amplitude prise par le signal yk (fig. 93).

y


a0 a1

2σ 2σ

λ0 ?

Fig. 93 - Densité de probabilité de l’amplitude pris par le signal en entrée de l’étage de décision

Une erreur se déclare dans les 2 cas suivants :

ak = a0 et dk = 1, en terme de probabilité cela s’écrit :

( ) ( )∫+∞

===λ

dxaxfaadP 00 //1 , où ( ) ( )

−−=

2

20

0 2exp

2

1/

σσπax

axf

ak = a1 et dk = 0, en terme de probabilité cela s’écrit : ( ) ( )∫∞−

===λ

dxaxfaadP 11 //0 , où

( ) ( )

−−=

2

21

1 2exp

2

1/

σσπax

axf

La probabilité d’apparition d’une erreur peut donc s’écrire sous la forme suivante : ( ) ( ) ( ) ( )10 /0.0/1.1 aadPdPaadPdPPerr ===+==== (Équation 88)


A. Boyer 96

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫∫

∫∫

∞−∞−

∞−

+∞

=+

−==

=+==

00

0

0

10

10

/.0/1.1

/.0/.1

λλ

λ

λ

dxaxfdPdxaxfdPP

dxaxfdPdxaxfdPP

err

err

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∞−

=−=+==0

01 /.1/.01λ

dxaxfdPaxfdPdPPerr (Équation 89)

Nous cherchons à déterminer λ0 pour minimiser l’erreur, c'est-à-dire ( ) 00 =λλd

dPerr . Cela est

possible si le contenu de l’intégrale est annulé. ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( )2

20

21

2100

2

200

21022

2

210

2

200

10

00

01

21

0log

2

1

1

0log

2exp

2exp

/

/

1

0

0/.1/.0

σσλ

λλσ

σλ

σλ

λλ

aaaa

dP

dP

aadP

dP

a

a

axf

axf

dP

dP

axfdPaxfdP

−+

−=

==

−−−=

==

−−

−−

===

===

==−=

( )( )

==

−+

+=

1

0log

2 210

210

0 dP

dP

aa

aa σλ (Équation 90)

Si les 2 états binaires sont équiprobables, on détermine le seuil de décision suivant :

2

100

aa +=λ (Équation 91)

Ce résultat assez intuitif montre que le récepteur optimal possède le seuil de décision à mi distance entre les amplitudes liées aux 2 états binaires.

V. Ce qu’il faut retenir

⇒ Après le passage à travers le canal, le récepteur a pour rôle de régénérer le signal.

⇒ Cela correspond à supprimer les perturbations et distorsions qui affectent le signal (filtrage et égalisation), puis de l’interpréter correctement (décision). Dans le cas d’un signal numérique synchrone, le récepteur doit se synchroniser sur le signal reçu.

⇒ Dans la plupart des transmissions numériques, l’interférence inter symboles est plus problématique que le bruit. L’émetteur et le récepteur contiennent des filtres qui doivent limiter l’interférence inter symboles.

⇒ Les critères de Nyquist définissent les conditions d’annulation de l’interférence inter symboles dans un filtre ou dans un canal.


A. Boyer 97

⇒ Un égaliseur est un bloc du récepteur spécifiquement dédié à l’annulation de l’interférence inter symboles, en compense l’effet du canal.

⇒ La plupart des égaliseurs font appel à des séquences d’apprentissage incluses dans les trames transmises. Elles permettent d’estimer régulièrement la réponse impulsionnelle du canal pour remettre à jour les propriétés de l’égaliseur.

⇒ La synchronisation de la démodulation avec la porteuse et de l’échantillonnage avec le signal binaire reçu sont requises pour éviter les erreurs d’interprétation du signal. Le récepteur doit être capable de récupérer la phase et le rythme du signal reçu.

⇒ Le seuil de décision d’un récepteur est choisi afin de minimiser le taux d’erreur binaire. Dans le cas d’un canal AWGN, il est possible de déterminer les performances en terme de taux d’erreur binaire connaissant le rapport signal à bruit.


A. Boyer 98

La figure 94 fournit une vue générale d’un canal de transmission ainsi qu’un récapitulatif des

principales contraintes qu’il doit respecter pour qu’un message numérique soit transmis sans erreur.

Information numérique

Codage source

Codage canal

K messages dans un alphabet de no caractères

K messages dans un alphabet de n caractères

Signal électrique

M moments

Débit Dc

Débit Dm

Débit d’info. H

Canal de capacité C

Bruit, perturbations,

distorsions

Larg

eur

de

band

e B

c

Rapport signal sur

bruit S/N ou Eb/No

RégénérationAnnulation IES, filtrage, synchronisation, décision

Décodage canal

Décodage source

Destinataire

Adaptation au canal

Amélioration rendement Canal de transmission

. .

c mD D C≤ ≤Transmission en

temps réel Annulation IES

ModulationCouche physique

Optimisation Largeur de bande Bm

BBm ≤

DémodulationMise en bande de base

Condition largeur de bande

Condition débit

Taux d’erreur binaire BER = f(Eb/No)

+×=N

S1logBC 2C

Condition de Nyquist sur le canal et les filtres pour annuler l’IES

Fig. 94 - Vue générale d’un canal de transmission bruité et des contraintes associées pour limiter l’apparition d’erreur de transmission

Pour réaliser une liaison numérique sans erreurs, les données suivantes sont nécessaires planifier la transmission :

Le taux d’erreur binaire maximal, qui permet de déterminer le rapport signal à bruit minimal et donc le seuil de sensibilité du récepteur

Le débit binaire de la source

La fonction de transfert du canal. S’il s’agit d’une transmission analogique, il faut se demander si le canal va introduire uniquement des distorsions linéaires. Dans le cas d’une transmission numérique, est-ce que des interférences inter-symboles sont à craindre ?

Conclusion - Planification d’une transmission numérique


A. Boyer 99

La bande passante du canal et la bande de fréquence allouée pour la transmission (ainsi que les tolérances d’émission sur les canaux adjacents)

La densité spectrale de bruit No, le rapport signal sur bruit minimal au niveau du récepteur S/N ou le rapport signal à bruit par bit Eb/No. Rappelons que celui-ci dépend de la spécification en terme de taux d’erreur binaire, de la modulation employée et des techniques de codage de source et de canal.

La puissance d’émission disponible et tolérable (réglementation des émissions)

Une fois ces données connues, il est nécessaire de :

Déterminer le débit binaire et le nombre de bits utilisés pour coder les différents symboles. Ils dépendent de la largeur de bande et de la probabilité d’erreur

Déterminer la forme des signaux élémentaires, les modulations et le filtrage associé, afin de fixer l’encombrement spectral (efficacité spectrale)

Concevoir les différents étages du récepteur pour minimiser l’effet du bruit et des interférences inter symboles (filtrage, égalisation, synchronisation, décision)

Dans le cas d’une transmission numérique, vérifier si le taux d’erreurs binaires est acceptable, ajouter du codage canal et une marge de bruit si nécessaire

Le respect des conditions de Nyquist et de la capacité maximale d’un canal permet en théorie

d’annuler l’interférence inter symboles. Mais dans un canal réel, différentes techniques doivent être mises en jeu afin de minimiser le taux d’erreur. Au niveau de l’émetteur, on peut :

Ajouter des codes détecteur/correcteur d’erreur, entrelacer les données

Réaliser un codage en ligne (modulations, mise en forme électrique) adapté au canal

Filtrer le signal

Pratiquer des accès multiples (son intérêt reste l’optimisation de l’utilisation du canal)

Ajouter de la diversité

Au niveau du récepteur, la réduction des erreurs d’interprétations des données est

principalement assurée par l’égaliseur qui compense les effets parasites du canal. Il est nécessaire de soigner la conception du régénérateur (synchronisation, amplification, filtrage, décision).


A. Boyer 100

Références

⇒ Geneviève Baudoin, « Radiocommunications Numériques – Tome 1 : Principes, Modélisation et simulation », Dunod collection Technique et Ingénierie, ISBN 978-2-10-050514-2, 2002.

⇒ Yvon Mori, « Electronique pour le Traitement du Signal – Volume IV – Techniques de Modulation », Hermès Science, ISBN 2-7462-1342-7, 2006

⇒ Yvon Mori, « Electronique pour le Traitement du Signal – Volume V – Théorie de l’Information et du Codage », Hermès Science, ISBN 2-7462-1343-5, 2006

⇒ Guillaume Vivier, Khaldoun Al Agha, Guy Pujolle, Bruno Vidal « Réseaux de mobiles & Réseaux sans fil », Eyrolles, 2-212-11018-9, 2001.

⇒ Xavier Lagrange, Philippe Godlewski, Sami Tabbane, « Réseaux GSM-DCS – Des Principes à la Norme, 4e édition revue et augmentée », Hermes Sciences collection Réseaux et Télécommunications, ISBN 2746200287, 1999.

⇒ H. Holma, A. Toskala, « WCDMA for UMTS – HSPA Evolution and LTE – 4th Edition», Wiley, 2007, 550 pp

⇒ P. Degauque, A. Zeddam, « Compatibilité Electromagnétique 2 – Des Concepts de Base aux Applications », Hermes Science, ISBN 978-2-7462-1664-8, 2007

⇒ Lawrence E. Larson, « RF and Microwave Circuit Design for Wireless Communications », Artech House Publisher, ISBN 0-89006-818-6, 1997

⇒ D. Paret, « Réseaux Multiplexés pour Systèmes Embarqués », Dunod, série EEA, ISBN 2-10-005267-5, 2005


A. Boyer 101

Annexe A – Rappel sur les unités

Pour le dimensionnement d’un canal, on doit prendre en compte l’ensemble des gains et des pertes présentes sur le canal, afin de déterminer la puissance minimale à mettre en entrée de l’émetteur pour que le récepteur détecte un signal. On parle alors d’un bilan de puissance. Afin de faire ce bilan, on préfère utiliser des unités en dB afin de remplacer multiplication et division par des additions et des soustractions. Le passage en dB correspond au rapport d’une grandeur (puissance, tension …) avec une grandeur de référence, placé sur une échelle logarithmique (équations 92 et 93). Dans le cas où il s’agit d’un rapport de puissance, on utilise l’équation 92. Dans le cas où il s’agit d’un rapport en tension, on utilise l’équation 93.

( ) ( )

==

0

1log10log10P

PxdBX (Équation 92)

( ) ( )

==

0

1log20log20V

VxdBX (Équation 93)

L’intérêt d’une représentation logarithmique réside dans la possibilité d’additionner les affaiblissements et les gains au lieu de multiplier les rapports de puissance. De plus, elle permet de représenter une très grande dynamique au niveau des amplitudes.

En pratique, on indique parfois l’unité des grandeurs du rapport. Il n’est pas rare de trouver des dBV, des dBmW, des dBV/m … Il s’agit toujours de nombres sans unité, mais correspondant à un rapport entre 2 grandeurs exprimées dans l’unité qui est ajoutée au dB. Par exemple, les équations 94 et 95 donnent les formules de calcul de rapports exprimés en dBV et dBW.

( ) 20 log1

VV dBV

V = ×

(Équation 94)

( )

×=

W

PdBWP

1log10 (Équation 95)

1

0.1

0.01

0.001

10

100

1000

Volts

0

-20

-40

-60

20

40

60

dBV

1

0.1

0.01

0.001

10

100

1000

Watts

0

-10

-20

-30

10

20

30

dBW

En télécommunications, les signaux reçus sont en général très faibles et les microvolts (µV) et milliwatts (mW) sont les unités les plus courantes. Il est courant de rencontrer des rapports exprimés en dBµV et dBmW ou dBm (équations 96 et 97).


A. Boyer 102

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 120120log2010

log20

1log20

6+=+=

×=

×=

− dBVVVVV

VVdBµVV

µV

µVVdBµVV

(Équation 96)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 3030log1010

log10

1log10

3+=+=

×=

×=

− dBWPWPW

WPdBmP

mW

mWPdBmP

(Équation 97)

1

0.1

0.01

0.001

Volts

60

40

20

0

80

100

120

dBµV

1

0.1

0.01

0.001

10

100

1000

mW

0

-10

-20

-30

10

20

30

dBm

0.0001

0.00001

0.000001


A. Boyer 103

Annexe B – Produits d’intermodulation

pour une non-linéarité d’ordre 3

Pour expliquer l’apparition de ces produits d’intermodulation, on peut représenter la fonction de transfert du système (par exemple un mélangeur) par un polynôme du 3e ordre (on se limite à cet ordre pour diminuer la complexité du calcul) :

2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( )

es e eV t V t V t V tα α α= + + (Équation 98)

où Ve et Vs sont respectivement les tensions d’entrée et de sortie du système, α1 est le gain linéaire du système. Supposons le cas simplifié suivant : le signal d’entrée est constitué de 2 porteuses sinusoïdales. Le signal de sortie devient :

( ) ( ) ( )2 3

1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1( ) cos cos cos cos cos cossV t A t A t A t A t A t A tα ω ω α ω ω α ω ω= + + + + + (Équation 99)

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 2

1

1 1 1 2 1

1 2 1 22 21 22 2 1 2

3 3

1 1 2 2

23 2 2 1 2 1 2

22 1 1

( ) cos cos

cos cos1 cos2 1 cos22

2 2 2

3cos cos3 3cos cos34 4

3 3 3cos cos(2 ) cos(2 )

2 4 4

3cos

2

sV t A t A t

t tt tA A A A

A At t t t

A A t t t

A A

α ω ω

ω ω ω ωω ωα

ω ω ω ω

α ω ω ω ω ω

ω

= +

+ + − + ++ + +

+ + +

+ + + − + +

+ 2 1 2 1

3 3cos(2 ) cos(2 )

4 4t t tω ω ω ω

+ − + +

(Équation 100)

Ce développement fait apparaître plusieurs raies à différentes fréquences harmoniques et non harmoniques. Le tableau 4 présente les amplitudes des raies jusqu’à l’ordre 3.

Fréquence 1ω 1

3 23 3 1 2

1 1 1

3 3cos

4 4

A A AA t

α αα ω

+ + Ordre 1

Fréquence 2ω 2

3 23 3 2 1

1 2 2

3 3cos

4 4

A A AA t

α αα ω

+ +

Ordre 2 Fréquence 1 2ω ω± ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 2 1 2cos cosA A t A A tα ω ω α ω ω+ + −

Fréquence 1 22ω ω± ( ) ( )2 2

3 1 2 3 1 21 2 1 2

3 3cos 2 cos 2

4 4

A A A At t

α αω ω ω ω+ + − Ordre 3

Fréquence 2 12ω ω± ( ) ( )

2 23 2 1 3 2 1

2 1 2 1

3 3cos 2 cos 2

4 4

A A A At t

α αω ω ω ω+ + −

….. Tableau 4 - Amplitudes des différentes composantes spectrales d’un signal résultant du produit

d’intermodulation de deux signaux sinusoïdaux

Prenons le cas d’un amplificateur de tension de gain 10. La figure 95 présente sa caractéristique de gain. Il présente une forte saturation à partir de 0.7V.


A. Boyer 104

Fig. 95- Caractéristique d’un amplificateur réel

Cette caractéristique peut être approximée par le polynôme d’ordre 3 suivant : 2 38.86 4.48 5.94

in inout inV V V V= + −

On suppose qu’on fasse passer à travers cet amplificateur un signal composé de la somme de 2 sinusoïdes parfaites de fréquences F1 = 200 et F2 = 250MHz et d’amplitude 0.9V. La figure 96 présente le spectre du signal en entrée, il contient 2 Diracs à 200 et 250MHz. La figure 97 présente le spectre du signal de sortie sur lequel apparaît de très nombreux signaux parasites, prouvant que le signal a subi de nombreuses distorsions.

Fig. 96 - Signal en entrée de l’amplificateur

On voit que les produits les plus gênants sont ceux d’ordre 3 (2F1-F2 et 2F2-F1). En effet, si les fréquences F1 et F2 sont très proches (ce qui peut être le cas par exemple sur les bandes GSM, qui contiennent des canaux adjacents séparés de 200KHz), les produits apparaîtront très près des fréquences fondamentales et pourront parasiter le signal. De plus, ces formules permettent de mieux comprendre le phénomène de compression de gain typique d’un amplificateur. Celui-ci peut être aussi modélisé à l’aide d’un polynôme d’ordre 3.

∆f=50MHz


A. Boyer 105

Fig. 97 - Signal en sortie de l’amplificateur et produits d’intermodulation

Supposons cette fois qu’une seule harmonique de fréquence ω et d’amplitude A soit en entrée. Le gain de la fréquence harmonique s’écrit donc :

23

1

3

4

Aαα + Équation 101

L’amplitude de la composante fondamentale est donc modifiée par le terme du troisième

ordre, engendrant alors une distorsion d’amplitude. Pour les forts signaux, le terme 2

33

4

Aα vient

modifier le gain. Comme α3 est généralement négatif, le gain est réduit, correspondant à une compression ou une saturation de la puissance en sortie. Dans l’exemple ci-dessus, l’amplitude de chacune des 2 fréquences fondamentales était de 0.9V. Le gain linéaire de cet amplificateur est de 10. Or, en sortie, les raies des fréquences fondamentales sont 3.5V, le gain n’est donc plus que de 4. On peut donc en conclure que le signal a subi une importante distorsion d’amplitude en plus de l’apparition de nouvelles harmoniques.

F1 F2

2F2-F1 2F1-F2 2F1+F2 2F2+F1

∆f=50MHz

∆f ∆f


A. Boyer 106

Annexe C – Spectre d’un signal

numérique

Nous allons déterminer dans cette annexe l’expression théorique des spectres de signaux numériques par l’utilisation de la transformée de Fourier. Qu’est qu’un signal numérique ? Nous aborderons différentes formes, plus ou moins théoriques. Nous appelons signal numérique un signal à impulsions rectangulaires dont les niveaux de tension représentent soit un ‘0’ soit un ‘1’ logique.

I. Rappel - Transformée de Fourier et spectre

La transformée de Fourier est un outil mathématique qui permet de déterminer l’expression d’un signal périodique dans le domaine fréquentiel. Elle est basée sur le concept de série de Fourier, à la base de l’analyse harmonique des signaux : toute fonction périodique de période T0 (ou de fréquence f0) en l’exprimant sous la forme d’une suite de fonctions sinusoïdales sur des fréquences multiples (ou harmoniques) de la fréquence fondamentale f0 :

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∞

=

∞

=

∞

==++=

00

00

000 2exp2sin2cos

nn

nn

nn tnfjCtnfbtnfaatf πππ Équation 102

La transformée de Fourier permet de calculer les valeurs des coefficients de la série.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫∫∫

−

−=

===

0

0

000

00

0

000

0000

0

2exp2

1

2cos2

2sin21

T

T

n

T

n

T

n

T

dttnfjtfT

C

dttnftfT

bdttnftfT

adttfT

a

π

ππ Équation 103

Le spectre est la représentation graphique dans un repère cartésien des valeurs des coefficients de la série, avec les fréquences harmonique n.f0 en abscisse. Dans la représentation spectrale d’un signal, on trace généralement soit l’amplitude |Cn| soit la phase φn d’une harmonique :

( ) ( )∑∞

=++=

100 2cos

nnn tnfCCtf ϕπ Équation 104

=+=

n

nnnnn a

bbaC arctan22 ϕ Équation 105

Si la fonction n’est pas périodique, il est quand même possible d’utiliser la transformée de Fourier en considérant cette fonction non périodique comme une fonction périodique de période infinie. La fonction n’est plus représentée par une série de Fourier sur un ensemble de fréquences discrètes, mais par une intégration sur toutes les fréquences. L’expression dans le domaine fréquentiel F(f) d’une fonction f(t) est déterminée par la transformée de Fourier TF :

( ) ( )( ) ( ) ( )dtftjtftfTFfF π2exp∫+∞

∞−

== Équation 106

Une fonction non périodique f(t) peut être considérée comme la somme d’un nombre infini de fonctions harmoniques exp(-j2πft), chacune ayant un poids en amplitude et en phase donnée par le


A. Boyer 107

spectre de F(f).La transformée de Fourier inverse TF-1 permet de déterminer l’expression dans le domaine temporelle f(t) d’une fonction exprimée dans le domaine fréquentielle.

( ) ( )( ) ( ) ( )dfftjfFfFTFtf π2exp1 −== ∫+∞

∞−

− Équation 107

On ne détaillera pas l’ensemble des propriétés de la transformée de Fourier, ni les méthodes numériques permettant de déterminer la transformée de Fourier sur des signaux complexes (transformée de Fourier discrète DFT, transformée de Fourier rapide FFT). On mentionnera juste pour la suite que lorsqu’il n’est pas possible de calculer la transformée de Fourier d’un signal, il est possible de déterminer sa densité spectrale de puissance par le calcul de la transformée de Fourier de son autocorrélation.

II. Transformée de Fourier d’une suite d’impulsion idéale (Dirac)

La transmission d’un signal binaire rapide peut être considérée comme une impulsion courte. Si on néglige la durée de cette impulsion, on peut la modéliser par un Dirac δ(x) défini de la manière suivante :

( ) =∞

=−on

atsiat

sin0δ Équation 108

Il s’agit d’un rectangle infiniment fin centrée sur l’abscisse a. La fonction est normalisée de

telle manière que sa surface = 1 : ( ) 1=−∫+∞

∞−

dtatδ . Une propriété intéressante de la fonction Dirac

est que si on l’a multiplie à une fonction f(t) et qu’on l’intègre le produit, on obtient la valeur f(a) :

( ) ( ) ( )afdtattf =−∫+∞

∞−

δ . En utilisant cette propriété, on peut déterminer la TF de la fonction Dirac :

( ) ( ) ( ) 102exp2exp ==∫+∞

∞−

fjdtftjt ππδ Équation 109

Le spectre d’une impulsion élémentaire est donc infini. Il possède de l’énergie quelque soit la fréquence. Il s’agit bien évidemment d’un cas limite purement théorique.

III. Transformée de Fourier d’une impulsion rectang ulaire

Une fonction rectangle constitue une meilleure représentation d’une impulsion binaire, puisqu’il représente une impulsion de durée non nulle. Soit une impulsion rectangulaire de durée T centrée sur t = 0 et d’amplitude P0. On suppose que ses temps de montée et de descente sont nuls. L’expression théorique du spectre se calcule :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+

−

+∞

∞−

==2/

2/

0 2exp2expT

T

dtftjtfPdtftjtffF ππ

( ) ( )f

fTPTfj

Tfj

fj

PfF

ππππ

πsin

22exp

22exp

200 =

−−

=

( ) ( )fTcTPfF πsin0= Équation 110


A. Boyer 108

La figure ci-dessous présente le spectre d’une impulsion rectangulaire d’amplitude 1 et de durée T = 1 µs. Le spectre a la forme d’un sinus cardinal, s’annulant tous les f = 1/T. Le spectre d’une impulsion rectangulaire est donc infini, avec un lobe principal et un ensemble de lobes secondaires qui s’atténuent au fur et à mesure que la fréquence augmente. Comme la majeure partie de l’énergie du signal se trouve dans le lobe principal, il est possible de réduire l’occupation spectrale de ce signal en filtrant tous les lobes secondaires. En bande de base, la bande passante de ce signal est égale à 1/T. Après transposition de fréquence, sa bande passante double.

Fig. 98 – Signal rectangulaire (à gauche) et représentation spectrale (à droite)

IV. Impulsion en sinus cardinal

Il est intéressant de remarquer que la transformée de Fourier d’une fonction sinus cardinal donne une fonction rectangulaire. Imaginons qu’on donne aux impulsions binaire une forme temporelle en sinus cardinal (une impulsion « en forme de cloche » de durée T entourée d’oscillations amorties). Soit T la durée de l’impulsion, c'est-à-dire la largeur du lobe principal. L’occupation spectrale de ce signal est à bande limitée, compris entre f = -1/2T et f = 1/2T. Une impulsion en sinus cardinal présente l’occupation spectrale minimale, sa bande passante est égale à la bande passante de Nyquist (voir annexe D). La figure ci-dessous compare les spectres des impulsions rectanguaires et en sinus cardinal.

temps0

T

temps0

T

fréquence0

2/T

T/2-T/2

T/2-T/2

1/T-1/T

fréquence0

2/T

1/T-1/T

TF

Impulsion rectangulaire

Impulsion sinc

Fig. 99 – Comparaison entre les spectres d’impulsions rectangulaire et sinus cardinal

Cette comparaison est intéressante car elle met en lumière le dilemme qui se pose dans le

choix de la forme temporelle du signal binaire. Afin d’accroître le débit binaire et réduire l’interférence intersymbole lié à l’effet d’étalement temporel du canal de transmission, il vaut mieux privilégier une impulsion rapide. De ce point de vue, l’impulsion rectangulaire est idéale, alors que l’impulsion en sinus cardinal tend à s’étaler sur une période égale à plusieurs fois la durée de l’impulsion. On peut remarquer qu’elle satisfait au critère de Nyquist dans le temps puisqu’elle


A. Boyer 109

s’annule régulièrement. Si on est capable de garantir que l’instant d’échantillonnage du signal binaire se fait à l’instant précis où les impulsions précédentes s’annulent, l’interférence intersymbole s’annule aussi. Mais cette condition reste difficile à assurer en pratique.

Parallèlement, les communications se font sur des canaux à bande étroite et il est nécessaire de veiller à ce que le spectre du signal transmis n’occupe pas une bande de fréquence trop large. De ce point de vue, l’impulsion en sinus cardinal est idéale puisqu’elle occupe la plus petite bande passante possible. Par contre, l’impulsion rectangulaire occupe une bande beaucoup plus large, théoriquement infini. En pratique, celle-ci peut être limité à 2 fois la bande passante de Nyquist par filtrage.

Il n’existe pas de forme temporelle idéale à donner à une impulsion. Plus celle-ci sera rapide et plus elle occupera une bande passante large. Inversement, plus elle sera à bande étroite et plus elle aura tendance à s’étaler dans le temps. En pratique, les formes temporelles sont « taillées » à l’aide de filtres de mise en forme, généralement en cosinus surélevé (voir annexe E) afin de minimiser l’interférence intersymbole et l’occupation spectrale.

V. Spectre d’un signal carré périodique

Un signal binaire se présente sous la forme d’une suite d’impulsions électriques, généralement synchronisées sur une horloge de référence. Intéressons-nous à un signal carré périodique, qui représente un signal binaire présentant une succession d’états logiques ‘0’ et ‘1’. Ce signal ne transporte aucune information.

Soit un signal carré de période T formé d’impulsions rectangulaires de durée τ avec des temps de montée et de descente nuls. Comme il s’agit d’un signal carré, τ = T/2. Le signal est périodique et peut donc être représenté par une série de Fourier dont les coefficients peuvent se calculer de la manière suivante :

2

2sin

:sin

2π

π

τπ

τπτ

n

n

ACcarrésignal

Tn

Tn

T

AC nn

=⇒

= Équation 111

La figure ci-dessous présente le spectre d’un signal carré de période 100 ns. On voit que toutes les harmoniques de rang pair sont nulles. L’occupation spectrale du signal est très large. L’amplitude des harmoniques diminue au fur et à mesure que leur rang n augmente et donc avec la fréquence au rythme d’une division par 10 par décade.

Période T = 100 ns, rapport cyclique = 50 %,

Tr = Tf = 0 ns

Fig. 100 – Spectre d’un signal carré de 100 ns de période (Tr = Tf = 0)

Cependant, les signaux réels mettent un certain temps pour s’établir, donc il existe toujours un temps de montée ou de descente non nul. Dans le cas où les temps de montée Tr et de descente Tf sont non nuls et égaux, les coefficients de la série de Fourier se calcule :


A. Boyer 110

T

tn

T

tn

n

n

ACcarrésignal

T

tn

T

tn

Tn

Tn

T

AC

r

r

nr

r

n

π

π

π

π

π

π

τπ

τπτ

=⇒

=sin

2

2sin

:sinsin

2 Équation 112

La figure ci-dessous présente le spectre d’un signal carré de période 100 ns avec des temps de montée et de descente de 2 ns. Toutes les harmoniques de rang pair sont nulles. L’occupation spectrale du signal reste large. L’amplitude des harmoniques diminue toujours avec une division par 10 par décade tant que la fréquence est très inférieure à 1/Tr. Au-delà, l’amplitude du spectre diminue plus fortement qu’un signal carré à temps de montée/descente nul. Le spectre s’annule autour des multiples de la fréquence 1/Tr. On pourrait montrer que la bande passante de ce signal, où se trouve la majeure partie de l’énergie, est environ égale à 1/πTr

Période T = 100 ns, rapport cyclique = 50 %,

Tr = Tf = 2 ns

Fig. 101 – Spectre d’un signal carré de 100 ns de période (Tr = Tf = 2 ns)

VI. Spectre d’un signal binaire aléatoire avec un c ode en ligne

Un signal binaire informatif est aléatoire, donc non périodique. Bien que le spectre d’un signal carré donne une idée de celui du signal binaire informatif et de son occupation spectrale, il ne nous donne pas l’expression exacte du spectre. D’autant plus que, comme nous l’avons vu au chapitre F, la mise en forme électrique (codage en ligne) modifie la forme du signal et donc son spectre. En outre, si les symboles transmis sont codés par plusieurs bits, la modélisation par un signal à 2 états n’est plus valable. Essayons d’établir une forme générale du spectre d’un signal binaire, quelque soit son contenu, le nombre de bits transmis par symbole et le codage en ligne employé.

Soit un signal informatif a(t) pouvant prendre les M états logiques et de période symbole T = n.Tb, où Tb est la durée d’un bit et n le nombre de bits codant les symboles, tel que M= 2n.

( ) ( )∑∞

=−=

1ii iTtata δ Équation 113

Soit la fonction g(t) qui définit la forme temporelle des symboles. On note s(t) le signal électrique lié au signal informatif. Celui-ci peut être vu comme le signal de sortie d’un filtre de réponse impulsionnelle g(t) ayant a(t) comme signal d’entrée. Le signal s(t) peut s’exprimer :

( ) ( ) ( )tatgts ∗= Équation 114

Pour passer dans le domaine fréquentiel, on peut utiliser la transformée de Fourier : ( ) ( )( ) ( ) ( )fAfGtsTFfS .== Équation 115

Comme le signal informatif a(t) est aléatoire et imprévisible, il n’est pas possible de calculer sa transformée de Fourier. On ne peut donc pas passer par cette méthode pour déterminer le spectre du signal s(t). Néanmoins, on peut toujours déterminer la densité spectrale de puissance de a(t), notée Φa(f) à partir du calcul de son autocorrélation Ra(τ) :


A. Boyer 111

( ) ( )( )

( ) ( )∫+

−∞>−+=

=Φ2/

2/

* ).(1

limT

TTa

aa

tataT

R

RTFf

ττ

τ Équation 116

L’intérêt réside dans le fait que la DSP de a(t) dépend des propriétés statistiques de a(t). L’approche statistique convient parfaitement à l’étude des signaux aléatoires. Dans le cas d’un code à symbole indépendant (canal sans mémoire) et dont l’apparition est équiprobable, la DSP de a(t) peut se calculer de la manière suivante :

( ) ∑+∞

−∞=

−+=Φi

aaa T

if

T

m

Tf δσ

2

22

Équation 117

Où σa² est la variance du signal a(t) et ma sa valeur moyenne. Ainsi, il devient possible de calculer la DSP du signal transmis s(t) :

( ) ( ) ( )ffGf aS Φ=Φ 2 Équation 118

Prenons l’exemple d’un signal binaire codé en NRZ. Les impulsions ont une forme

rectangulaire, de durée T = Tb. Les signaux peuvent prendre comme valeur +V si le bit transmis = ‘1’ et –V si le bit = ‘0’. L’amplitude prise par le signal a(t) est égale à +/- V. En supposant que les apparitions des bits ‘0’ et ‘1’ soient équiprobables et indépendants, la moyenne du signal ma = 0 et sa

variance σa² = V². La mise en forme du signal est rectangulaire donc : ( ) ( )bb fTcTfG πsin= . La

DSP du signal binaire NRZ est donc :

( ) ( ) ( )ffGf aS Φ=Φ 2

( )2

222

2 sinsin

=

=Φ

b

bb

b

a

b

bbS fT

fTTV

TfT

fTTf

ππσ

ππ

Équation 119

Cette expression peut être comparée au tracé de la FFT d’un signal NRZ présenté au chapitre F. On retrouve dans cette expression les propriétés d’un signal NRZ. Le signal contient une composante continue non nulle et s’annule pour f = 1/Tb, rendant la synchronisation du récepteur sur ce signal difficile.


A. Boyer 112

Annexe D – Démonstration du premier

critère de Nyquist et Bande passante de

Nyquist

Soit un canal idéal, on peut le représenter par un filtre passe bas de largeur de bande B. Il s’agit d’un filtre passe bas idéalement sélectif, qui coupe tout ce qui ne se trouve pas dans la bande de fréquence [-B ;B]. Sa fonction de transfert est égale à la fonction porte, sa réponse dans le domaine temporelle peut se calculer en utilisant la transformée de Fourier inverse. La réponse impulsionnelle de ce canal est un sinus cardinal.

( )2

sin 2( ) ( ) ( ) 2

2

TF

B

BtC f f c t B

Bt

ππ

= Π ⇒ = × Équation 120

Nyquist cherchait à déterminer quel était le débit de symbole maximal qu’on pouvait faire passer à travers ce canal. Supposons qu’on transmette des impulsions de durée très courte, suffisamment courte pour les représenter par une fonction de type Dirac δ(t). Notons e(t) = δ(t) le signal d’entrée du canal composé d’une impulsion. Le signal en sortie du canal s(t) se calcule :

( ) ( ) ( )tetcts ∗=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

−=−= ττδτπτττ dtBcBdtects 2sin2

( ) ( )BtcBts π2sin2=

Le signal en sortie de ce canal a donc la forme d’un sinus cardinal, et s’annule pour les temps multiples de 1/2B (Fig 102). L’abscisse t = 0 correspond à l’instant où le signal est transmis.

On voit que le signal s’étale dans le temps en raison des multiples rebonds de la fonction sinc. Pour éviter tout chevauchement entre symboles consécutifs, après transmission d’un symbole, il serait nécessaire d’attendre que ces rebonds se soient fortement atténués avant d’en transmettre un autre. Plus on attendra et plus le débit de symbole sera limité, mais moins il y aura de risque d’interférence intersymbole. Cependant, si on décide de transmettre un autre symbole à t = 1/2B, on le transmet au moment où le symbole précédent n’a plus d’influence sur ce nouveau symbole. Si on en transmet encore un autre après un temps t = 1/2B, les 2 symboles précédents n’auront pas d’influence non plus. Et ainsi de suite. On peut donc en déduire une condition sur le débit de symbole maximal qui peut traverser un canal idéal. La durée d’un symbole Ts doit respecter l’inégalité suivante :

BTS 2

1≥ Équation 121

Pour éviter toute erreur de transmission dans un canal idéal, le débit de symbole doit respecter l’inégalité suivante :

BM 2≤°

Équation 122

C(f)

f0 B


A. Boyer 113

Fig. 102 – Réponse impulsionnelle d’un canal idéal de bande passante B - Sinus cardinal

Inversement, si on cherche à transmettre un débit de symbole donné à travers un canal passe-bas idéal, sa bande passante B doit être telle que :

BM ≤

°

2 Équation 123

Cette valeur est la bande passante minimale du canal. On l’appelle bande passante de Nyquist.

0 1/2B 1/B


A. Boyer 114

Annexe E – Filtre en cosinus surélevé

Les signaux à émettre ou reçus doivent généralement être filtrés afin de les remettre en forme, supprimer des composantes fréquentielles parasites et de réduire leur occupation spectrale pour ne pas perturber ou bloquer des canaux voisins. Néanmoins, l’ajout d’un filtre conduit à modifier la forme des signaux et à les étaler dans le temps. En effet, la plupart des filtres utilisés pour limiter l’occupation spectrale d’un signal sont de type passe-bas. Ceux-ci contribuent à ralentir les temps de montée et de descente des signaux binaires. Il convient donc de s’assurer que le filtre ne va pas générer des interférences intersymboles, notamment si la réponse impulsionnelle de ce filtre s’étale sur plusieurs période binaire.

Pour qu’un filtre ne produise pas d’IES, celui-ci doit respecter le critère temporel de Nyquist (cf. chapitre C). Ainsi, sa réponse impulsionnelle doit s’annuler à chaque instant d’échantillonnage du signal. Une famille de filtres couramment employée pour limiter l’occupation spectrale des signaux et qui respecte les critères de Nyquist est appelée filtre en cosinus surélevé (raised cosinus). L’équation suivante donne la forme temporelle d’une impulsion rectangulaire idéale passée à travers un filtre en cosinus surélevé.

( )2

21

cos

sin

−

=

S

S

S

T

rt

T

rt

T

tctf

π

(Équation 124)

Ts est la durée de l’impulsion (donc du symbole transmis) et r est le facteur de raidissement (roll-off) excès de bande, compris entre 0 et 1. Il caractérise la raideur de la pente du filtre passe-bas et l’excès de bande passante. La figure ci-dessous présente sa réponse spectrale en bande de base et l’expression du spectre.

Fig. 103 - Réponse fréquentielle d’un filtre à cosinus surélevé

.

1

.

2

.

2.

, 0.5 (1 )

( ) 0, 0.5 (1 )

0.5 (1 )cos

2

M

M

T si f f r M

C f si f f r M

f r MT

r M

π

≤ = × −= ≥ = × +

− × − ×

°M est le débit de symbole = 1/Ts

Le facteur de roll-off est lié aux caractéristiques de la réponse fréquentielle par :

M/2

F1 F2

r=0.25

Canal idéal


A. Boyer 115

S

S

T

TF

r

2

12

12 −

= Équation 125

S

S

T

FT

r

2

12

11−

= Équation 126

Ainsi, plus r est faible, plus la coupure est raide et plus F2 est faible. Un faible coefficient r

permet de limiter efficacement la bande passante du signal. Pour un coefficient r de 0.25, on a une

fréquence.

1 0.4F M= , où F1 représente la largeur de bande du canal.

Qu’en est-il de sa réponse impulsionnelle ? L’équation 127 donne l’expression de la réponse impulsionnelle du filtre à cosinus surélevé, où p(0) est l’amplitude de l’impulsion en entrée du filtre à cosinus surélevé.

( ) ( )2

..21

..cos

sin0

−

=

S

S

S

T

tr

T

tr

T

tcptp

π

Équation 127

La figure 104 montre la réponse impulsionnelle de ce filtre pour 3 valeurs différentes de coefficient de raidissement. La durée d’un symbole est de 2 µs. Il apparaît clairement que ce filtre satisfait aux critères de Nyquist puisque la réponse impulsionnelle s’annule à chaque multiple de la période d’échantillonnage. Néanmoins, suivant la valeur de r, la réponse présente des oscillations plus ou moins importantes. Une valeur de r proche de 1 tend à réduire rapidement les oscillations et donc à ne quasiment par induire d’IES, au détriment d’une plus grande occupation spectrale.

Fig. 104 - Réponse impulsionnelle d’un filtre à cosinus surélevé pour différentes valeurs de coefficient de raidissement

La figure ci-dessous présente le spectre d’une impulsion passée au travers d’un filtre en cosinus surélevé. On voit clairement que plus r se rapproche de 0, plus la réponse spectrale se rapproche de celle d’un canal passe-bas idéal dont la bande passante est égale à la bande passante de Nyquist. Plus r se rapproche de 1 et plus la bande spectrale occupée s’accroît. On exprime cet accroissement à l’aide de l’excès de bande passante donné par :

°×=×=−= MrBrFFW Nyquist120 (Équation 128)


A. Boyer 116

Bande passante de Nyquist

Excès de bande passante

Fig. 105 – Spectre d’une impulsion passée à travers un filtre en cosinus surélevé

Les réponses fréquentielles et impulsionnelles montrent qu’il existe une valeur optimale de r,

qui permet de trouver un bon compromis entre occupation spectrale et qualité du signal transmis. En pratique, on trouve r compris entre 0.2 et 0.4.


A. Boyer 117

Annexe F – Fonction d’erreur de Gauss

complémentaire ERFC

Le calcul de la probabilité d’erreur implique la connaissance de la distribution statistique de la perturbation. Un modèle couramment utilisé car suffisamment réaliste est la distribution de Gauss, dont la densité de probabilité est :

( ) ( )

−−=2

2

2

xexp

2

1xf

σµ

σπ (Équation 129)

où σ est l’écart type et µ est la valeur moyenne. La probabilité d’erreur, c'est-à-dire que la variable aléatoire x dépasse un seuil a, peut se calculer comme :

( ) ∫∫ ∞−

+∞−==≥=

a

aerr dx)x(f1dx)x(faxPP (Équation 130)

Une loi de probabilité est dite normale et centrée si µ=0 et si l’écart type σ=1, son intégrale entre -∞ et +∞ est égale à 1. Celle-ci s’écrit :

( )

−=

2

xexp

2

1xf

2

π (Équation 131)

La fonction d’erreur de Gauss notée erf(z) est une fonction commune en analyse et correspond à la probabilité qu’une variable normale centrée réduite prenne une valeur dans l’intervalle [-z ;+z]. Elle s’écrit donc :

( ) ( )dxxexp2

zerfz

0

2

∫ −=π

(Équation 132)

Cette fonction n’est pas calculable par simple intégration, mais est fourni dans des tables et est définie dans la plupart des logiciels de calculs numériques (Matlab, Scilab) et tableurs (Excel). La fonction d’erreur de Gauss complémentaire erfc(z) se calcule à l’aide de l’équation suivante :

( ) ( ) ( )dxxzerfzerfcz∫

∞+−=−= 2exp

21

π (Équation 133)

Gc

f(x)

x0 a


A. Boyer 118

Fig. 106 – Tracés de la fonction erfc(x), échelle des abscisses linéaire en haut, en dB en bas


A. Boyer 119

Annexe G – Glossaire

3GPP 3rd Generation Partnership Project AWGN Additive White Gaussian Noise BER Bit Error Rate CDMA Code Division Multiple Access DCS (DCS1800) Digital Cellular System DAB Digital Audio Broadcasting DSP Densité Spectrale de Puissance DVB Digital Video Broadcasting Eb/No Rapport signal à bruit par bit EHF Extra High Frequency FDMA Frequency Division Multiple Access FFT Fast Fourier Transform FSK Frequency Shift Key GSM Global System for Mobile communications HF High Frequency IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IES ou ISI Interférence Entre Symboles, Inter Symbol Interference ILS Instrument Landing System LTE (3.9G) Long Term Evolution MAC Medium Access Control MF Medium Frequency OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing PLL Phase Locked Loop PSK Phase Shift Key QAM Quadrature Amplitude Modulation QPSK Quadrature Phase Shift Key RFID Radio Frequency Identificator SHF Super High Frequency SNR Signal-to-Noise Ratio TDMA Time Division Multiple Access UHF Ultra High Frequency UMTS Universal Mobile Telecommunications System VCO Voltage Controlled Oscillator VHF Very High Frequency W-CDMA Wide Code Division Multiple Access


A. Boyer 120

Travaux Dirigés


A. Boyer 121

NOTIONS DE BASE

1. BRUIT DE FOND Calculer le niveau absolu de bruit thermique obtenu pour une température ambiante de 25° C,

dans le cas :

d’une voie téléphonique

d’une transmission de musique

d’une transmission de télévision

Quelle est la puissance minimale que doit avoir le signal transmis pour assurer un rapport

signal à bruit d’au moins 50 dB ?

2. DISTORSION DE SIGNAUX SINUSOÏDAUX PAR UN OPERATEUR QUADRATIQUE

Déterminer les taux de distorsion harmonique, la forme temporelle et le spectre du signal de sortie d’un opérateur quadratique, lorsque le signal d’entrée est :

purement sinusoïdal

la somme de 2 termes sinusoïdaux

A quelles applications pourraient servir un opérateur quadratique

3. MESURE DE L’ INFORMATION - IMAGE TV Une image TV haute résolution en noir et blanc comporte environ 2 106 pixels et 256 niveaux

de gris. La fréquence de renouvellement est de 32 images par seconde. On suppose que les pixels sont indépendants les uns des autres et que les niveaux de gris sont équiprobables.

1. Evaluer le débit d’information de cette émission de télévision. 2. Quelle est la bande passante nécessaire pour transmettre le signal binaire en bande de base ?

afin d’assurer une réception de qualité ?

4. MULTIPLEX PCM Cinq signaux de télémétrie d'une largeur de bande de 1 kHz doivent être transmis en multiplex

PCM. L'erreur maximale tolérée sur la quantification est de 0,5% de leur valeur crête. Ils sont échantillonnés à 20% au-dessus de la fréquence de Nyquist. La synchronisation et le tramage demandent un supplément de bits de 0,5%. Déterminer le débit minimal de la liaison et la bande passante requise pour la transmission du signal multiplexé.

5. CANAL AVEC BRUIT BLANC ADDITIF GAUSSIEN Un signal analogique de 4 kHz de largeur de bande est échantillonné à 1,25 fois la fréquence

de Nyquist, chaque échantillon étant quantifié sur 256 niveaux équiprobables. On suppose que les échantillons sont statistiquement indépendants.


A. Boyer 122

1. Quel est le débit binaire issu de la source ? 2. Peut-on transmettre sans erreur le signal sur un canal à bruit blanc additif gaussien centré de

10 kHz de bande passante et présentant un rapport signal sur bruit de 20 dB ? 3. Calculer le SNR requis pour assurer une transmission sans erreur dans les conditions

précédentes. 4. Calculer la bande passante requise pour acheminer sans erreur les signaux de la source

considérée sur un canal avec bruit blanc additif gaussien centré de SNR 20 dB.

6. FILTRE A COSINUS SURELEVE Soit un canal de bande passante égal à 36 MHz. On transmet un signal modulé en QPSK. 1. Calculer le débit de symbole maximal (en bande de base et après transposition de

fréquence). 2. Calculer le débit de symbole maximal si le signal de bande de base est mis en forme à l’aide

d’un filtre en sinc. 3. Calculer le débit de symbole maximal si le signal de bande de base est mis en forme à l’aide

d’un filtre à cosinus surélevé de facteur de raidissement r = 0.3. 4. Dans les 3 cas, calculer le débit binaire.

7. DIAPHONIE DANS UN DEMODULATEUR I/Q On considère une modulation QPSK. On s’intéresse à l’effet d’une désynchronisation entre le

signal modulé reçu et la porteuse reconstituée par le récepteur. 1. En reprenant le modulateur I/Q présenté à la figure 57, proposez le schéma de principe d’un

démodulateur I/Q. Calculer les expressions théoriques des signaux modulés et démodulés. 2. Soit φ(t) le déphasage instantané entre le signal modulé reçu et la porteuse reconstituée par

le récepteur. Quel est l’impact sur les signaux démodulés ? 3. On note distorsion le rapport entre le signal parasite généré par le déphasage sur le signal

voulu. Quelle est la tolérance sur le déphasage pour que la distorsion soit inférieure à -40 dB ?

8. SENSIBILITE D ’UN RECEPTEUR RADIO Un récepteur radio dédié à une application de communication radio numérique vient d’être

développé. Cette application transmet un signal binaire de débit = 1 Mbits/s et utilise une bande passante de 2.5 MHz. Pour garantir une qualité de service suffisante, le rapport signal à bruit par bit Eb/No > 2 dB. Pour obtenir une couverture radio suffisante, le récepteur doit pouvoir mesurer des signaux d’au moins -107 dBm (puissance mesurée en sortie de l’antenne).

La figure ci-dessous décrit l’architecture simplifiée de l’étage « front end » de réception. Les caractéristiques de chaque étage vous sont aussi fournies.

LNAantenne câble

mixer

OL

G1 = -3 dB

G2 = 20 dB

NF2 = 10 dB

G3 = -10 dB

NF3 = 6 dB

Seuil de sensibilité ?


A. Boyer 123

1. Calculer le facteur de bruit du récepteur. 2. Calculer le seuil de sensibilité en sortie du récepteur. 3. Est-ce que ce récepteur répond à la spécification attendue en terme de sensibilité ? 4. Que faudrait-il faire pour respecter la spécification en terme de sensibilité ?

9. BILAN DE LIAISON On reprend le récepteur de l’exercice précédent. On considère une liaison entre un émetteur de

puissance égale à 20 dBm. Le gain de l’étage d’émission est de 10 dB. L’ensemble des pertes de l’émetteur est d’environ 2 dB. Le signal transmis est modulé en QPSK.

Déterminer la perte de propagation maximale pour assurer un taux d’erreur binaire supérieur à 1 %.

10. CARACTERISATION DU TAUX D ’ERREUR BINAIRE D ’UNE INTERFACE RADIO

Les ingénieurs d’une compagnie de fabrication de téléphone mobile viennent de développer un prototype de circuit récepteur GPRS (General Packet Radio Service). Ce prototype doit subir une batterie de tests afin de vérifier ces performances, dont un test de sensibilité. Il s’agit de vérifier que le récepteur est capable de recevoir correctement les données en présence jusqu’à une valeur limite de rapport signal sur bruit. Les spécifications de l’étage d’émission réception sont les suivantes :

taux d’erreur : BER < 0.1 %

modulation : QPSK

Fréquence bande descendante : 1805 – 1850 MHz

largeur d’une sous bande : 200 KHz

débit binaire maximal : 171 Kbits/s

Le test est effectué en utilisant un testeur de communication radio, capable de générer un

signal RF avec un niveau de puissance précis, de récupérer le flux binaire capté et régénérer par le système sous test et de mesurer le nombre d’erreurs binaires. Dans un premier temps, le niveau de bruit est mesuré sur l’ensemble de la bande descendante. Dans un deuxième temps, durant 100 ms, une séquence binaire aléatoire est générée au rythme binaire maximal. Le flux binaire récupéré par le récepteur et la puissance du signal en entrée du récepteur sont envoyés à l’appareil de test, permettant de mesurer le nombre d’erreurs pour un rapport signal sur bruit donné. Ce test est effectué sur chaque sous bande de la bande descendante. L’équipe de test s’est intéressée à 3 sous bandes qu’on appelle A, B et C, sur lesquelles ils obtiennent les résultats suivants :

sous bande A B C SNR (dB) 6.1 5.2 8 nombre d’erreurs 15 34 45

1. Expliquer sous forme d’un schéma le protocole de mesure. Indiquer quelles sont les

grandeurs mesurées. 2. Commentez les résultats obtenus.


A. Boyer 124

11. INTERNET HAUT DEBIT PAR LIAISON TELEPHONIQUE Il y a quelques années, le réseau téléphonique classique appelé Réseau Téléphonique

Commuté (RTC) était employé pour accéder à Internet. Cependant, les débits étaient limités dans le meilleur des cas à 56 Kbits/s, interdisant tout accès en haut débit. Cette situation faisait craindre le pire aux opérateurs téléphoniques pour leur avenir puisque, au même moment, des opérateurs concurrents investissaient sur des techniques alternatives (fibres optiques, satellites). Pourtant, les opérateurs téléphoniques ont gagné la bataille de l’Internet haut débit en continuant à transmettre sur les câbles à paires cuivrées, grâce à une famille de techniques appelée xDSL (x Digital Subscriber Line).

Dans cet exercice, nous allons analyser les techniques d’accès à Internet par le réseau RTC et par les techniques de type xDSL.

Centre LocalCentre Local

Centre Local

Centre Local

Centre LocalCentre Local

Centre à autonomie d’acheminement

RTC

Voies multiplexées

Boucle locale

Lignes analogiques

Voix

[0 – 4 KHz]

1. Pourquoi un signal numérique à 56 Kbits/s ne peut pas être transmis directement en bande de base sur le réseau RTC ? Pourquoi un modem analogique est-il requis ?

2. Quel est le débit binaire maximal qu’on peut atteindre si on emploie une modulation de type FSK, pour laquelle un ‘0’ est transmis par une fréquence F et un ‘1’ par une fréquence 2F ? Si on emploie une modulation de type QAM64 ?

3. Proposer une solution permettant d’augmenter le débit binaire en continuant à utiliser le réseau téléphonique. Quel problème apparaît pour une utilisation de type échange de données ?

4. Une première modulation imaginée pour l’ADSL est la modulation CAP (Carrierless Amplitude Phase modulation). Celle-ci est proche d’une modulation m-QAM, mais elle est entièrement numérique. Si on utilise une modulation de type 512-CAP, quel est le débit binaire maximal théorique ?

5. Quelles sont les conséquences de l’ajout de bruit sur le signal ? Comment maintenir une qualité de service constante ?

6. Pour surmonter les problèmes de la modulation CAP, une autre modulation appelée Discrete Multi-Tone a été proposée. Elle est aussi basée sur une modulation m-QAM, mais la bande allouée est subdivisée en canaux de 4.3 KHz de largeur, 250 sous-canaux sont réservés au signal ADSL. Si une modulation de type QAM sur 15 bits est employée, quel est le débit maximal théorique ? Quel est l’avantage de cette technique de modulation par rapport à la modulation CAP en terme de robustesse au bruit ?

12. SIGNAUX BLOQUANTS ET PRODUIT D ’ INTERMODULATION On cherche à dimensionner la plage de linéarité d’un récepteur dans le cadre d’une application Bluetooth. Les caractéristiques de ce récepteur sont les suivantes :

• F0 = 2400 – 2483.5 MHz


A. Boyer 125

• Largeur de canal = 1 MHz • Niveau de sensibilité de référence < -70 dBm • SNR > 10 dB • Gain récepteur = 10 dB

La figure ci-dessous décrit le gabarit fréquentiel du spectre du signal reçu, défini par la norme Bluetooth. Il définit le niveau maximal pris par les signaux bloquants.

1. Pourquoi les signaux bloquants sont un problème pour la qualité du signal reçu ? Quel phénomène se produit lorsqu’un signal bloquant interfère avec le signal désiré ?

2. Quelle est la situation pire cas en terme de réception ? 3. Calculer la distorsion d’ordre 3 IM3 nécessaire pour garantir une bonne réception même

dans le pire cas.

Documents

CANAUX DE TRANSMISSIONS BRUITES