Cáncer de Mama

Lizbeth Contreras Figueroa

Especialidad en Teoría Económica Estadística

Cáncer de mama

Descripción del problema:

Los médicos no saben a ciencia cierta si una mastografía sirve de algo para detectar el cáncer de

mama; el problema parece estar en la interpretación radiológica, porque mucho de lo que puede

verse en ella es un área grisácea, que para unos es algo ambiguo, considerado normal y para otros

esa ambigüedad es sospechosa. La verdad es que las mastografías no son tan útiles como cabría

suponer, aunque por intereses económicos se afirme lo contrario.

Se tiene la creencia de que alrededor del 1% de las mujeres de más de 40 años padecen cáncer de

mama. Se dispone de una prueba exploratoria que es la mastografía, que aporta nueva información:

el 80 % de las mujeres con cáncer de mama tendrán mastografías positivas, mientras que sólo el 9.6

% de las mujeres sin cáncer presentarán mastografías positivas. En resumen, tenemos 80% de

positivos verdaderos y 20% de positivos falsos; y tenemos 9.6% de negativos falsos y 90.4% de

negativos verdaderos.

Preguntas a resolver: Dado que a una mujer se le realizaron dos mastografías y dieron resultados positivos (M):

1. Completa los siguientes diagramas

2. ¿Se puede asumir independencia incondicional entre 𝑀1 𝑦 𝑀2, por qué?

3. Dado que se puede suponer independencia condicional entre 𝑀1 𝑦 𝑀2 dado que hay cáncer

resuelve: 𝛼𝑃(𝐶|𝑀1 ∩ 𝑀2)

P(+|C) = ___________ P(+∩C) = ___________

P(C) = ___________ P(+) = ___________

P(-|C) = ___________ P(-∩C) = ___________

P(+|CC) = ___________ P(+∩CC) = ___________

P(CC) = ___________ P(-) = ___________

P(-|CC) = ___________ P(-∩CC) = ___________

P(C|+) = ___________ P(C∩+) = ___________

P(+) = ___________ P(C) = ___________

P(CC|+) = ___________ P(CC∩+) = ___________

P(C|-) = ___________ P(C∩-) = ___________

P(-) = ___________ P(CC) = ___________

P(CC|-) = ___________ P(CC∩-) = ___________



Donde α es una constante de proporcionalidad:

𝛼 = (𝑃(𝐶|𝑀1 ∩ 𝑀2) + 𝑃(𝐶𝑐|𝑀1 ∩ 𝑀2))−1

4. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer cuya mastografía dio positivo, realmente tenga

cáncer?

Planteamiento del problema

Probabilidad de tener cáncer de mama P(C)

𝑃(𝐶) = 0.01

𝑃(𝐶𝑐) = 0.99

Probabilidad condicional

𝑃(+|𝐶) = 0.80

𝑃(−|𝐶) = 0.20

𝑃(+|𝐶𝑐) = 0.096

𝑃(−|𝐶𝑐) = 0.904

Mastografías

𝑀1 = {𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑡𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎}

𝑀2 = {𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑡𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎}

Resolución 1. Completa los siguientes diagramas

P(+|C) = 0.80000 P(+∩C) = 0.00800

P(C) = 0.01000 P(+) = 0.10304

P(-|C) = 0.20000 P(-∩C) = 0.00200

P(+|CC) = 0.09600 P(+∩CC) = 0.09504

P(CC) = 0.99000 P(-) = 0.89696

P(-|CC) = 0.90400 P(-∩CC) = 0.89496

P(C|+) = 0.07764 P(C∩+) = 0.00800

P(+) = 0.10304 P(C) = 0.01000

P(CC|+) = 0.92236 P(CC∩+) = 0.09504

P(C|-) = 0.00223 P(C∩-) = 0.00200

P(-) = 0.89696 P(CC) = 0.99000

P(CC|-) = 0.99777 P(CC∩-) = 0.89496



2. ¿Se puede asumir independencia incondicional entre 𝑀1 𝑦 𝑀2, por qué?

No, puede ser que ambas pruebas dieran positivo y que la paciente si tenga cáncer; por tal

motivo se puede suponer independencia condicional entre M1 y M2 dado que hay cáncer.

3. Dado que se puede suponer independencia condicional entre 𝑀1 𝑦 𝑀2 dado que hay cáncer

resuelve: 𝛼𝑃(𝐶|𝑀1 ∩ 𝑀2)

Donde α es una constante de proporcionalidad:

𝛼 = (𝑃(𝐶|𝑀1 ∩ 𝑀2) + 𝑃(𝐶𝑐|𝑀1 ∩ 𝑀2))−1

𝛼𝑃(𝐶|𝑀1 ∩ 𝑀2) = 𝛼𝑃(𝐶 ∩ 𝑀1 ∩ 𝑀2) = 𝛼𝑃(𝑀1|𝐶) 𝑃(𝑀2|𝐶) 𝑃(𝐶)

4. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer cuya mastografía dio positivo, realmente tenga

cáncer?

𝛼 = (𝑃(𝑀1|𝐶) 𝑃(𝑀2|𝐶) 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝑀1|𝐶𝑐) 𝑃(𝑀2|𝐶𝑐) 𝑃(𝐶𝑐) )−1

𝛼 = ((0.8 ∗ 0.8 ∗ 0.01) + (0.096 ∗ 0.096 ∗ .99 )−1

𝛼 = (0.0064 + 0.00912384)−1

𝛼 = 64.42

𝛼𝑃(𝐶|𝑀1 ∩ 𝑀2) = 64.42 ∗ 0.0064 = 0.4122

Aproximadamente el 41% de las mujeres doblemente diagnosticadas positivamente con

mastografía tendrán realmente cáncer de mama.

Documents

Cáncer de Mama