1

فصل اول

2

. رسیدن از کل به جزء می باشد : قیاسی

r: مثال = 2 ⇒ S = 4

. یعنی از جزء به کل رسیدن : استقراء

بار سکه nپرتاب :مثال

. مهم ترین و کامل ترین مدل ، مدل ریاضی می باشد زیرا بدون خطاست *

: معادالت خطی

ت زیر می باشد، فرم کلی یک معادله خطی به صور

f(x) = y = anx + a x +⋯+ a x + a + a

푎)و푥عضو aiکه در آن ∈ 푅)푅 مجهول و푛 ∈ 푤 می باشد .

. در معادله Xاست با بزرگترین تواندرجۀ هر معادله برابر: نکته

. معادله به تعداد درجه اش می تواند ریشه داشته باشد هر:نکته

را برابر صفر yهمیشه صفر است پس در هر معادله اگر yچون در ریشه ریشه چیست ؟: سئوال

. قرار دهیم نقاط بدست آمده ریشه می باشند

y=0 y=0

y=0

3

ریشه یابی کنید؟: سئوال

y=x2-5x+6

حل:

ퟎ = 풙ퟐ − ퟓ풙 + ퟔ

(풙 − ퟑ)(풙− ퟐ) = ퟎ ⟹ 풙 − ퟑ = ퟎ ⇒ 풙 = ퟑ풙 − ퟐ = ퟎ ⟹ 풙 = ퟐ

�

. بهترین راه حل براي بدست آوردن ریشه ها روش دلتا می باشد*

: درجه معادالت * نکته *

y = a2x2 + a1x به صورتو معادله درجه دوم y =a1x +a0 معادله درجه اول به صورت

. می باشد

푦صفرنمیشود = 푎 푥 + 푎 = 0 ⇒ 푥 =

∗ ولا درجه ∶ 풚 = 풂ퟏ풙 + 풂ퟎ ⇒

풚صفرمیشوداگر풙صفرباشد = 풂ퟏ(ퟎ) + 풂ퟎ ⇒ 퐲 = 퐚ퟎ

4

∗ درجهدوم ∶

풚 = 풂ퟐ풙ퟐ + 풂ퟏ풙 + 풂ퟎ =

⎩⎪⎨

⎪⎧∆> ,풙ퟏퟐریشه0 풙ퟐ =

−풃±√∆ퟐ풂

∆= ퟎریشهퟏ풙ퟏ =−풃ퟐ풂

∆< ریشهنداریم0

�

=∆] :یاد آوري 풃ퟐ − ퟒ풂풄]

: معادله و نامعادله :* نکته*

. است راشماو جواب آن نشان داده می شود = با نماد: معادله

.و جوابها می تواند ناشمارا باشد نشان داده می شود ≤≥ > <با نماد :لهنامعاد

: مثال

풚نامعادله = ퟑ풙 − ퟐ ≥ ퟎ

−∞∞ +

023

푥 ≥23

D =23� + ∞)

معادله Y=3x-2

3x-2=0

푥 =23

퐷 =23

5

. له ایست که توان متغیرها یک باشدمعاد: معادله خطی

. وقتی که توان ها بیش از یک باشد: معادله غیر خطی

3x +2y =7 معادله خطی

3x2+y2=7 معادله غیر خطی

. که بیانگر یک خط مستقیم می باشد معادله خط همان معادله درجه اول است: معادله خط

.شکل بیان می شود 2به معادله خط هر

1 (y-y0 = m (x-x0) که A = (X0 , y0) یک نقطه از خط وm شیب خط می باشد .

푩 = (풙ퟏ, 풚ퟏ),푨 = (풙°, 풚°)که풚 − 풚° =풚ퟏ 풚°풙ퟏ − 풙°

(풙 − 풙°)(2

. دو نقطه از معادله خط هستند

. عبور کند B)1-و3( و A)2و1( نقطه 2له خطی بنویسید که از معاد :مثال

풚 − ퟏ =ퟑ −ퟏ−ퟏ −ퟐ

(풙 − ퟐ)

풚 − ퟏ = ퟐ−ퟑ

(풙 − ퟐ)

풚 =−ퟐퟑ풙 +

ퟒퟑ+ ퟏ

풚 =−ퟐퟑ풙 +

ퟕퟑ

ل و ابتدا دو نقطه دلخواه به معادله آن بدهید آنگاه دو نقطه را رسم بهم وص :نامعادله درجه اول,0)ادامه دهید سپس با قسمت صفر و صفر .را بپذیریدیک طرف خط (0

6

. جوابهاي نامعادله زیر را رسم کنید : مثال

ퟐ풙 + 풚 ≥ ퟏ

حل:

ퟐ풙 + 풚 = ퟏ ⟹ 풚 = −ퟐ풙 + ퟏ

ퟐ풙−چون مساوي دارد روي خط نیز قبول می باشد و + ퟏ ≥ ퟏ است و با انجام عملیات . صفر قسمت باال را دامنه می گیریمصفر و

.زمان بین چند معادله یا نامعادلهعملگري است براي یافتن جوابهاي هم:دستگاه

X y 0 1 1 -1

7

جواب

هم زمان

풙همزمان دو معادله جوابهاي :مثال + 풚 = ퟑ, 풙 − 풚 = ퟐ چیست ؟

풙 + 풚 = ퟑ풙 − 풚 = ퟐ ∗ 풙 풚 ퟑ풙 풚 ퟐ

�

ퟐ풙 ퟓ⟹풙 ퟓퟐ

∗ퟓퟐ+ 퐲 = ퟑ

풚 = ퟑ −ퟓퟐ

풚 =ퟏퟐ

푥ن دو نامعادله جواب همزما: مثال + 푦 ≥ 3, 푥 − 푦 > چیست ؟ 2

풙 + 풚 ≥ ퟑ풙 − 풚 > 2

)نقطه چین روي خط حساب نمی باشد(

X y 0 3 1 2

X y 0 -2 1 -1

X y 0 3 1 2

X y 0 -2 1 -1

8

نید نامعادله زیر را حل ک: مثال

풙ퟏ + 풙ퟐ ≥ ퟏ풙ퟏ + 풙ퟐ = ퟏퟐ퐱ퟏ + 퐱ퟐ ≤ ퟖퟐ퐱ퟏ + 퐱ퟐ = ퟖ퐱ퟏ ≤ ퟑ퐱ퟏ = ퟑ퐱ퟐ ≤ ퟔ퐱ퟐ = ퟔ

�

حل:

풙ퟏ + 풙ퟐ = ퟏ

ퟐ풙ퟏ + 풙ퟐ ≤ ퟖ

풙ퟏ = ퟑو풙ퟐ = ퟔ

) .چ نقطه اشتراکی با یکدیگر ندارندنامعادله جواب ندارد و هی(

X y 0 1 1 0

X y 0 8 4 0

9

فصل دوم

10

بهترین برنامه برنامه ریزي خطی مدل ریاضی براي جستجو وانتخاب: برنامه ریزي خطی با بهینه کردن از میان مجموعه راه هاي ممکن می باشد ، برنامه ریزي خطی )روش انجام کار()max یا min ( متغیر وابسته اي که به صورت خطی با مجموعه اي از متغیرهاي مستقل مرتبط می شود

.ر ارتباط است و با در نظر گرفتن تعدادي محدودیت خطی تشکیل یافته از متغیرهاي مستقل د

)توان ها یک باشد : ( متغیر خطی

متغیرهایی هستند که مقدارشان توسط تصمیم گیرنده انتخاب شده و مقدار :رهاي مستقلمتغی . می گویند برون زاو متغیرهاي وابسته را درون زامتغیرهاي مستقل را .متغیرهاي وابسته ارائه میگردد

معموالً در تابع هدف که اغلب بیانگر مفاهیم اقتصادي مانند سود ، متغیرهاي وابسته :متغیرهاي وابستهمتغیرهاي مستقل در . می باشد و ارائه می گردد ... هزینه ، درآمد ، تولید ، فروش ، مسافت ، زمان و

برنامه ریزي خطی به عنوان متغیرهاي تصمیم شناخته شده که مقدارشان نامشخص و تصمیم گیرنده باید 풙ퟏ)معموالً متغیر این مدل ها با . متغیرها را بعد از حل مدل بدست آورد مقدار این , 풙ퟐ, …풙풉)

. نشان داده می شود

.برنامه ریزي خطی از سه قسمت تشکیل شده است مدل هر

تابعی است ریاضی که از متغیرهاي تصمیم تشکیل یافته و بیانگر هدف مدل است ، :تابع هدف )1ان دهنده خواسته ها و آرزوهاي تصمیم گیرنده مانند حداکثر کردن سود و حداقل کردن واین نش

. ز دو حالت زیر نمایش داده می شودکه به یکی ا. هزینه است

تابعهدف ∶ 퐳 = 퐦퐚퐱(퐟(퐱)퐢)

풛 = 퐦퐢퐧(풇(풙)풊)

풊 = (ퟏ,… , 풏)

11

عادله متشکل از متغیرهاي تصمیم که محدودیت هاي عبارتست از یک معادله یا نام :محدودیت )2 . مدل بیان می کندمدل را جهت دستیابی به اهداف

با توجه به مصداق تعیین شده عمدتاً به دو صورت متغیرهاي تصمیم : وضعیت متغیرهاي تصمیم )3

.می باشند

متغیر غیر منفی) متغیر آزاد ب) الف

max )1یا min ریزي خطی به این صورت می باشدشکل کلی مدل برنامه

ퟐ)풔풕

⎩⎪⎨

⎪⎧ 풂ퟏퟏ풙ퟏ + 풂ퟏퟐ풙ퟐ +⋯+ 풂ퟏ풏풙풏 ≤ یا ≥= 풃ퟏ

풂ퟐퟏ풙ퟏ+ 풂풛ퟐ풙ퟐ +⋯풂풛풏풙풏 ≤ یا ≥= 풃ퟐ⋮

풂풎ퟏ풙ퟏ + 풂풎ퟐ풙ퟐ +⋯+ 풂풎풏풙풏 ≤ یا ≥= 풃ퟐ

�

ퟑ)풙품 ≥ ퟎیا풙품 = آزاد

i=(1 , 2 , ... , n)

12

: مورد استفاده در برنامه ریزي خطیتعریف برخی از واژه هاي

در فرهنگ برنامه ریزي خطی منظور از جواب ، جواب نهایی مسئله نیست بلکه مجموعه :جواب )1

. تصاص یابد یک جواب نامیده می شودیر که به متغیرهاي تصمیم اخاز مقاد

. ه در تمام محدودیت ها صدق می کندجوابی است ک :جواب موجه )2

. در تمام محدودیت ها صدق نمی کند جوابی است که :جواب غیر موجه )3

هدف موجه ، به عبارت دیگر جوابی است موجه که به ازاء آن تابع بهترین جواب :جواب بهینه )4

. ر مطلوب ترین وضعیت قرار می گیردد

بدست می آید (<=>)معادله حدي هر محدودیت با جایگزین کردن عالمت :معادله حدي )5

. قع همان حد و مرز منطقه موجه استو در وا

. جه ، منطقه موجه را ایجاد می کندمجموعه جوابهاي مو :منطقه موجه )6

معادالت حدي از تقاطع رهاي تصمیم ناشی داده شده به متغیمقادیر تخصیص :جواب گوشه )7

. نامیده می شود گوشهجواب

13

یک مدل ساده براي تولید

براي تولید هر واحد میز و . یک کارخانه صنایع چوبی دو نوع محصول میز و صندلی تولید می کند : 1 مثال

5به براي تولید هر واحد میز .صندلی به دو نوع چوب بلوط و کاج و میزان متفاوتی از نیروي کار نیاز دارد

چوب فوت 2و براي هر صندلی به نیروي انسانی ، نفر ساعت 4چوب کاج و فوت 2چوب بلوط و فوت

میزان نیروي انسانی در اختیار کارخانه در . نیروي انسانی نیاز است نفر ساعت 2چوب کاج و فوت 3بلوط و

. مربع است فوت 100و 150موجود به ترتیب و میزان چوب بلوط و کاج نفرساعت 80طول هفته

با توجه به . کارخانه می خواهد بداند چه تعداد میز و صندلی تولید و به فروش برساند تا سود او حداکثر گردد

.است واحد 8و 12اینکه سود حاصل از فروش هر میز و صندلی به ترتیب

.یکی از مهم ترین قسمت هاي مدلسازي تعریف متغیرهاست :*نکته*

مـــــــــــنابـــــــــــــــع سود هر واحد نفر ساعت کاج بلوط بعتولیدات و منا

12 4 2 5 میز 8 2 3 2 صندلی

80 100 150 منابع دسترسی

14

حل: ⇓

풙ퟏ = تعدادمیزتولیدي

풙ퟐ = تعدادصندلیتولیدي

1(مرحله اول : تابع هدف

max Z ) =تولیدي تعداد میز × سود هر واحد میز + تعداد صندلی تولیدي × واحد صندلی سود هر(

max Z =12X1 + 8X2تابع هدف

풔풕ퟐ)محدودیتها∶

ퟓ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟏퟓퟎퟐ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ ≤ ퟏퟎퟎퟒ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟖퟎ

�

وضعیتمتغیرها(3 ∶ 풙ퟏ ≥ ퟎ풙ퟐ ≥ ퟎ

:مدل برابر است با

Max Z =12x1+8x2

풔풕 = ퟓ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟏퟓퟎퟐ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ ≤ ퟏퟎퟎퟒ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟖퟎ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

15

اي هر واحد از سه محصول با انجام سه عمل مختلف تشکیل می شوند ، زمانهاي مورد نیاز بر: 2مثال

محصول ظرفیت روزانه عملیات و سود حاصل از فروش هر واحد محصول به شرح زیر می باشد ،یک

. شود maxمدل ریاضی براي تولید بهینه روزانه سه محصول بطوري که سود کل

ظرفیت عمل 3محصول 2محصول 1محصول عمل

1

2

3

2

3

1

4

0

4

3

4

0

530

470

570

ـــــــ 5 3 4 سود هر واحد حل: ⇓

x1= 1تعداد محصول

x2= 2تعداد محصول

x3 = 3تعداد محصول

MaxZ = 4x1 +3x2 +5x3

푠푡 = 2푥 + 4푥 + 3푥 ≤ 5303푥 + 0푥 + 4푥 ≤ 4701푥 + 4푥 = 0푥 ≤ 570

�

푥1, 푥2, 푥3 ≥ 0

16

یایی تولید می کند ، براي اینکه این محصول به تولید برسد می بایست شرکتی سه محصول شیم :3مثال

مرحله تولیدي عبور کند جدول زیر زمان مورد نیاز هر محصول جهت مرحله هاي مختلف و 4 از

چنانچه حداقل تقاضا براي هر محصول ظرفیت زمانی هر مرحله را بر حسب دقیقه در روز نشان می دهد

باشد به 5و 2و 3واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتیب 70و 80و 50 به ترتیب

. منظور حداکثر کردن ظرفیت کل تولیدات مسئله را به صورت یک مدل برنامه ریزي خطی بنویسید

پروسه 1محصول 2محصول 3محصول ظرفیت زمانی430 1 2 1 1 460 2 - 3 2 420 - 4 1 3 440 4 3 5 4

حل: ⇓

ퟏ صولمح = 풙ퟏ

ퟐمحصول = 풙ퟐ

ퟑمحصول = 풙ퟑ

풎풂풙풛 = ퟑ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ + ퟓ풙ퟑ

풔. 풕 =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ퟏ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ + ퟏ풙ퟑ ≤ ퟒퟑퟎퟑ풙ퟏ + ퟎ풙ퟐ + ퟐ풙ퟑ ≤ ퟒퟔퟎퟏ풙ퟏ + ퟒ풙ퟐ = ퟎ풙ퟑ ≤ ퟒퟐퟎퟓ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ + ퟒ풙ퟑ ≤ ퟒퟒퟎ풙ퟏ ≥ ퟓퟎ풙ퟐ ≥ ퟖퟎ풙ퟑ ≥ ퟕퟎ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ, 풙ퟑ ≥ ퟎ

17

از مریض ها انجام می شود به طوري که احتیاج به فرض کنید تحقیقی در مورد گروهی :4مثالمورد dواحد ویتامین 600کالري و حداقل 2000 ی دارند که بایستی حداقلیک رژیم غذای

واحد ویتامین 8کالري و 4داراي 1کسب شود هر واحد از خوراك 2و 1لزوم از دو خوراك d واحد ویتامین 12کالري و 20 داراي 2است و هر واحد خوراكd در ضمن . می باشد

. تومان می باشد 5، 2ان و هزینه هر واحد از خوراك توم 4، 1هزینه هر واحد از خوراك مسئله را به صورت یک برنامه ریزي خطی مدل بندي کنید که ضمن کسب حداقل کالري و

. شود minهزینه dویتامین

)هزینه هر واحد ( قیمت

کالري Dویتامین

1خوراك 4 8 4 2خوراك 20 12 5

ازحداقل مورد نی 2000 600 ـــــــ حل: ⇓

Xj = نشان دهنده مقدار خوراك نوع j می کند براي که فرد خریداري xj : j=1,2

푚푖푛푧 = 4푥 + 5푥

푠. 푡 = 4푥 + 20푥 ≥ 20008푥 + 12푥 ≥ 600

�

푥 , 푥 ≥ 0

18

)در روز ( می باشد کیلوگرم 100 فرض کنید مقدار خوراك مورد نیاز در یک مرغداري : 5 مثال . غذاي ویژه باید شامل موراد زیر باشد

2/1 و حداکثر 8/0کلسیم حداقل

درصد 22پروتئین حداقل

درصد 5الیاف خام حداکثر

: ازعبارتندفرض کنید که اجزاي ترکیبی مواد غذایی که مورد استفاده قرار می گیرند

یک . اي ترکیبی در جدول زیر داده شده است سنگ آهک ، ذرت ، آرد سویا محتواي غذایی این اجز .غذایی با حداقل هزینه تولید شود مدل تهیه کنید که ماده

هزینه هرکیلو الیاف خام پروتئین کلسیم جزء ترکیبی 4/16 0 0 38/0 سنگ آهک

3/86 %2 %9 001/0 ذرت 125 %8 5/0 001/0 آرد سویا

حل: ⇓

مقدارسنگآهک = 푥

مقدارذرت = 푥

آردسویا = 푥

풎풊풏풛 = ퟏퟔ/ퟒ풙ퟏ + ퟖퟔ/ퟑ풙ퟐ + ퟏퟐퟓ풙ퟑ

풔. 풕 =

풙ퟏ + 풙ퟐ + 풙ퟑ = ퟏퟎퟎ%ퟖ ≤ %ퟑퟖ풙ퟏ + ퟎ/ퟎퟎퟏ풙ퟐ + ퟎ/ퟎퟎퟏ풙ퟑ ≤ ퟏ/ퟐ%%ퟗ풙ퟐ +%ퟓ풙ퟐ ≥ %ퟐퟐ%ퟐ풙ퟐ + %ퟖ풙ퟑ ≤ %ퟓ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ, 풙ퟑ ≥ ퟎ

19

زمان تولید براي ساخت هر . محصول به طور متوالی به وسیله یک ماشین ساخته می شود 4 :6مثالکل هزینه تولید هر واحد . اشین بر حسب ساعت در جدول زیر مشخص شده است محصول در هر م

فرض کنید هزینه هر ساعت کار . محصول بر اساس زمانیست که ماشین براي تولید آن مصرف می کند کل ساعاتی که براي تولید تمام . واحد پولی قراردادي است 15و 10 به ترتیب 2و 1ماشین

اگر قیمت ساعت می باشد 380و 500در نظر گرفته شده است 2و 1ي محصوالت روي ماشین ها. واحد پولی قراردادي باشد 45و 55و 70و 65به ترتیب 4و 3و 2و 1فروش هر واحد محصول

. سازد فرموله سازید maxمسئله را به صورت یک مدل برنامه ریزي خطی که کل سود را )1(جدول

4محصول 3ول محص 2محصول 1محصول ماشین1 2 3 4 2 2 3 2 1 2

)2(جدول

ماشین 1محصول 2محصول 3محصول 4محصول ظرفیت موجودهزینه هر ساعت کار

قیمت ماشین500 2 4 3 2 1 10 380 2 1 2 3 2 15 45

20 – 30 -

55 45 – 15 -

70 30 30

65 45 – 20 -

قیمت فروش هر واحد محصول

خالص هر سود 0 10 0 - 5 واحدمحصول حل: ⇓

(풊 = ퟏ, ퟐ, ퟑ, ퟒ)برايیامحصولازتولیدمقدار = 풙풊 Max Z =0풙ퟏ+10풙ퟐ+0풙ퟑ-5풙ퟒ

풔. 풕 = ퟐ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ + ퟒ풙ퟑ + ퟐ풙ퟒ ≤ ퟓퟎퟎퟑ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ + ퟏ풙ퟑ + ퟐ풙ퟒ ≤ ퟑퟖퟎ

� 풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

20

شبانه روزي در ساعات مختلف تعدادي تکنثین به شرح زیر مورد براي یک کارگاه تولیدي : 7مثال .نیاز است

ساعت متوالی کار می کند هدف پیدا کردن کمترین تعداد تکنثین است که نیاز 8 هر تکنثین در روز . فوق را برآورده سازد

فرض کنید هر تکنثین در شروع یکی از . ریزي خطی فرموله کنید مسئله را به صورت یک مدل برنامه . ساعت متوالی کار می کند 8دوره ها شروع به کار نموده و

ساعات شبانه روز حداقل تکنثین مورد نظر

4 6 – 2 8 10 – 6 10 14 – 10 7 18 – 14 12 22 – 18 4 2 - 22

21

: ي تصمیم گیري متغیرها퐱ퟏ = شروع به کار می کنند 2تعداد تکنثین که از ساعت 풙ퟐ = شروع به کار می کنند 6تعداد تکنثین که از ساعت 풙ퟑ = شروع به کار می کنند 10تعداد تکنثین که از ساعت 풙ퟒ =شروع به کار می کنند 14 تعداد تکنثین که از ساعت 풙ퟓ =شروع به کار می کنند 18اد تکنثین که از ساعت تعد 풙ퟔ = شروع به کار می کنند 22تعداد تکنثین که از ساعت

풎풊풏풛 = 풙ퟏ + 풙ퟐ + 풙ퟑ + 풙ퟒ + 풙ퟓ + 풙ퟔ

풔. 풕 =

⎩⎪⎨

⎪⎧풙ퟏ + 풙ퟔ ≥ ퟒ풙ퟏ + 풙ퟐ ≥ ퟖ풙ퟐ + 풙ퟑ ≥ ퟏퟎ풙ퟑ + 풙ퟒ ≥ ퟕ풙ퟒ + 풙ퟓ ≥ ퟏퟐ풙ퟓ + 풙ퟔ ≥ ퟒ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ, 풙ퟑ, 풙ퟒ, 풙ퟓ, 풙ퟔ ≥ ퟎ

X6

X5

X1

X2

X3

X4

X5

X6

شیفت کاري

1شیفت

2شیفت

3شیفت

4شیفت

5شیفت

6شیفت

2 6 10 14 18 22 24 ساعت

22

:فصل سوم

23

روش ترسیمی براي مدلهاي برنامه ریزي خطی :روش ترسیمی حل مسائل برنامه ریزي خطی

براي حل مدلهایی با بیش از دو ، سه متغیر از روش سیمپلکس که در . دو یا سه متغیره قابل انجام است

.استفاده می کنیم فصل بعد بیان می شود

: به دو دلیل حائز اهمیت است روش ترسیمی

.توانایی نمایش بصري و ارائه مملوس مفاهیم و تعاریفی که در فصول بعد بیان می شود )1

کمک به درك آسان فرآیند حل مدلسازي و فهم بسیاري از نکات می باشد در روش ترسیمی )2

.استخراج کردا به دو روش می توان ابتدا باید منطقه موجه را پیدا کرد سپس جواب بهینه ر

بررسی نقاط گوشه منطقه موجه)الف

رسم تابع هدف به ازاء یک ( روش آزمون و خطا )ب

) Zمقادیر فرضی براي

؟با استفاده از روش ترسیمی نقطه بهینه مدل زیر را بدست آورید :مثال

بررسی نقاط گوشه منطقه موجه )الف :حل

풎풂풙풁 = ퟏퟐ풙ퟏ + ퟖ풙ퟐ

풔. 풕 =ퟓ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟏퟓퟎퟐ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ ≤ ퟏퟎퟎퟒ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟖퟎ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

24

.دالت را مساوي صفر قرار می دهیمابتدا نامعا

.صفر و صفر می دهیم تا ببینیم کجاي خط قبول می شود

5풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ = ퟏퟓퟎ 2풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ = ퟏퟎퟎ 4풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ = ퟖퟎ

در تابع هدف قرار )منطقه موجه را ( براي یافتن نقطه بهینه نقاط گوشه تابع هدف را : نقطه بهینه . تولید کند نقطه بهینه است را Zمی دهیم ، نقطه اي که بیشترین مقدار

X1 X2 0 75

30 0

X1 X2 0 ퟑퟑ/ퟑ

50 0

X1 X2 0 40

20 0

نقطھ بھینھ X1 = (Bو X2) = ( 5و 30(

300 =Z*

25

−ퟐ ퟐ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ = ퟏퟎퟎퟒ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ = ퟖퟎ

�

−ퟒ풙ퟏ − ퟔ풙ퟐ = −ퟐퟎퟎ4풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ = ퟖퟎ

�

−ퟒ풙ퟐ = −ퟏퟐퟎ ⇒ 풙ퟐ = ퟑퟎ

ퟐ풙ퟏ + ퟑ풙ퟐ = ퟏퟎퟎ

ퟐ풙ퟏ + ퟑ(ퟑퟎ) = ퟏퟎퟎ푩 = (ퟓ, ퟑퟎ)

ퟐ풙ퟏ = ퟏퟎퟎ− ퟗퟎ

ퟐ풙ퟏ = ퟏퟎ

풙ퟏ = ퟓ

Z=(12x1+8x2) نام نقطه نقطه گوشه Z=0

Z=266/4

Z=300 Z*

Z=240

) 0و 0( ) 0و 3/33(

) 5و 30( ) 20و 0(

O

A

B

C

موازي آن را لحاظ کنید آخرین تابع هدف را رسم کنید و خطاهاي :روش آزمون و خطا) ب خطی که از منطقه موجه خارج می شود همان نقطه ، نقطه بهینه است

Z=120با فرض اینکه

12x1+8x2=120

X2 X1 15 0

0 10

26

4

3

4 8

: حاالت مختلف در منطقه موجه

ه به صورت کلی منطقه موجه می تواند در یک مسأله ترسیمی یک سطح ، یک پاره خط ، یا یک نقط .باشدیک خط مثال براي زمانیکه منطقه موجه.که آنها را توضیح می دهیم.باشد

maxz =12x1 +36x2

풔풕풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟖퟑ풙ퟏ + ퟒ풙ퟐ ≥ ퟎ풙ퟏ − 풙ퟐ = ퟎ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

.باشد یک نقطهبراي زمانیکه منطقه موجه مثال

min z = 2x1 + x2

퐬퐭 ퟔퟎ퐱ퟏ + ퟐퟎ퐱ퟐ = ퟏퟐퟎퟐퟎ퐱ퟏ + ퟐퟎ퐱ퟐ = ퟖퟎ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

A

6

4

2 4

27

:حالتهاي خاص در برنامه ریزي خطی

عدم وجود جواب موجه ) 1

� منطقه موجه نامحدود ) 21)جواببهینهنامحدود2)جواببهینهمحدود

چندگانه جواب بهینه) 3

تبهگنمسأله ) 4

1حالت

:عدم وجود جواب موجه) 1

퐦퐚퐱풁 = ퟒ풙ퟏ + 풙ퟐ

풔. 풕풙ퟏ + 풙ퟐ ≤ ퟑퟐ풙ퟏ − 풙ퟐ ≤ ퟑ

풙ퟏ ≥ ퟒ�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

منطقه موجه وجود ندارد

28

Z * = 4000

B

محدود نامحدود X1

Z * Z *

2حالت

: منطقه موجه نامحدود

ب الف

퐦퐚퐱퐳 = ퟔ퐱ퟏ + ퟐ퐱ퟐ

풔. 풕 ퟐ풙ퟏ − 풙ퟐ ≤ ퟐ풙ퟏ ≤ ퟒ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

퐦퐚퐱퐳 = ퟔ퐱ퟏ − ퟐ퐱ퟐ

풔. 풕 ퟐ풙ퟏ − 풙ퟐ ≤ ퟐ풙ퟏ ≤ ퟒ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

3حالت

:جواب بهینه چندگانه

퐦퐚퐱퐳 = ퟏퟎ풙ퟏ − ퟐ퐱ퟐ

풔풕 ퟏퟎ풙ퟏ − ퟔ풙ퟐ ≤ ퟐퟓퟎퟎퟓ풙ퟏ + ퟏퟎ풙ퟐ ≤ ퟐퟎퟎퟎ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

29

4 حالت

:تبهگنمسأله

퐦퐚퐱퐳 = ퟑ풙ퟏ − ퟗ퐱ퟐ

풔. 풕 풙ퟏ − ퟒ풙ퟐ ≤ ퟖ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟒ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

.یک معادله حدي از آن گذشته باشد نقطه اي است که گوشه بیش از تبهگننقطه

محدودیت زائد محدودیتی است که تأثیري در ایجاد منطقه موجه : محدودیت هاي زائد و مؤثر . جب تغییر در منطقه موجه نمی گرددنداشته و وجود یا عدم وجود آن مو

퐦퐚퐱퐳 = ퟔ풙ퟏ − ퟏퟐ퐱ퟐ

풔. 풕풙ퟏ − ퟐ풙ퟐ ≤ ퟏퟎퟐ풙ퟏ − ퟓ풙ퟐ ≤ ퟐퟎ풙ퟏ + 풙ퟐ ≤ ퟏퟓ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ

: یتهاي الزام آور و غیر الزام آورمحدود

. محدودیت الزام آور محدودیتی است که نقطه بهینه بر روي معادله حدي آن قرار گرفته است

تبهگن نقطه

زائد

30

:ارمهچل صف

31

نها براي حل مسأله برنامه ریزي خطی دو یا همان طور که در فصل هاي گذشته گفته شد روش ترسیمی ت

بنابراین اکنون روشی را بیان می کنیم که براي مدلهاي . حداکثر سه متغیري مورد استفاده قرار می گیرد

در حقیقت الگوریتم هر ( بیش از دو متغیره کارا باشد روش سیمپلکس بر الگوریتمی بنا شده است

مجموعه قدم هایی که به چنین .)اري باشد الگوریتم گفته می شود فرآیند حلی را که قدم به قدم و تکر

سمپیلکس نامیده می شود براي درك فرآیندي به طور نظام گرا در هر دفعه تکرار می شود یک تکرار

. بهتر روش سمپلکس جا دارد که روش حذفی گاوس جردن را بیان کنیم

"حل دستگاه "

풍ퟏ풍ퟐ

풙 + ퟐ풚 = ퟕퟐ풙 − ퟑ풚 = ퟓ

�

풙 + ퟐ풚 = ퟕ

ퟎ − ퟕ풚 = −ퟗ ⇒ 풚 =ퟗퟕ

�

풙 + ퟐퟗퟕ

= ퟕ ⇒ 풙 = ퟕ −ퟏퟖퟕ

풙 =ퟒퟗ − ퟏퟖ

ퟕ⇒ 풙 =

ퟑퟏퟕ

در روش حذفی گاوس باید با عملیات سطري مقدماتی ضرائب زیر قطر اصلی را صفر کنیم آن گاه به . را محاسبه می کنیم xnمعادله آخر روش برگشتی از

32

x1تا زمانی که در معادله اول ... را می یابیم و xn-1را در معادله یکی مانده به آخر قرار داده و xnآنگاه

را بیابیم حال سئوال دانشجویان این است که اعمال سطري مقدماتی چیست که هیچ تأثیري بر جواب

. دستگاه نمی گذارد

.جاي دو معادله را عوض کردی توان م)الف

.در عددي مخالف صفر ضرب کرد می توان یک معادله را)ب

.نموددیگري جمع با عدد ومی توان یک معادله رادرعددي مخالف صفر ضرب کرد)ج

ایجاد رویه عمومی و هماهنگ ر ادبیات پژوهش عملیاتی به منظورفرمی است که د : فرم استاندارد

. ه می شوددر حل مسئله به کار گرفت

: ویژگی هاي فرم استاندارد

.باشد maxتابع هدف مسله باید به صورت )1

.نمام محدودیتها به صورت کوچکتر یا مساوي باشد)2

.همه متغیرها غیرمنفی باشد)3

33

:مقدمات و ساختار الگوریتم سیمپلکس

ت شروع می کند ، مبدأ مختصات و نقاط دیگري که از سیمپلکس عمدتاً عملیات خود را از مبدأ مختصامحل تقاطع سایر معادالت حدي به وجود می آید نقاط گوشه نامیده می شوند جواب حاصل از نقاط

.نامیده می شود) جواب گوشه ( قطه گوشه ن

هدفکه مقدار تابع ) گوشه موجه ( سیمپلکس بعد از شروع از مبدأ مختصات به یک نقطه گوشه مجاور آن کار تا رسیدن به نقطه موجه که از نقاط موجه اطرافش بهتر باشد .را بهبود می بخشد حرکت می کند

. قطه موجه را نقطه بهینه می نامندادامه می یابد این ن

. نقطه گوشه موجه که از نقاط گوشه موجه اطرافش بهتر باشد نقطه بهینه است هر:قضیه

معادالت ساده تر از نامعادالت است ، لذا براي تبدیل نامعادالت به از آنجا که عملیات با *نکته * ,풙ퟏمعادالت متغیرهاي برابر ساز این وظیفه را بر عهده دارند مثالً 풙ퟐ ≤ ퟕ باید مبلغی بهش اضافه ،

x1 + x2 + S = 7 :پسشود 7کنیم که مساوي

Si مثبت متغیرهاي برابر ساز متغیرهایی هستند که با مقادیر غیر منفی که عمدتاً آن ها را با Si مقدارت اضافه کردن نشان می دهیم که به سمت چپ معادله شما اضافه یا کم می شود که اگر در حال

.نامند باشدمتغیر کمکی می

غیرهایی هستند که داراي مقدار غیر صفر بوده و متغیر متغیرهاي اساسی در روش سیمپلکس مت *نکته * .متغیرهایی با مقدار صفر می باشندغیر اساسی

ر باشد جواب اساسی متغیر غیر صف nهر جواب بدست آمده در حل دستگاه معادله داراي *نکته * .خوانده می شود

34

: جدول سیمپلکس

اعداد سمت حداکثر ها Z1 x1 x2 ... xn s1 s2 ... sn راست

شماره سطر

متغیر اساسی

چه متغیري خروجی

؟است

0 1

2 جواب

. مسله. . . . . .

1 . . … … 0 0 … 0 0 . . … … … … … … 0 . . … … … … … … 0 . . … … … … … … 0 . . … … … … … … 0 . . … … … … … … 0 . . … … … … … … . . . … … … … … … . . . … … … … … … 0 . . … … … … … …

ضرائب متغیرھا

0 1 2 3 4 5 6 . .

M

Z 0 1 . . .

n متغیر اساسی

35

به روش سیمپلکس حل کنید؟: مثال

퐦퐚퐱퐙 =퐱ퟏ + ퟑ퐱ퟐ

퐒. 퐭

퐱ퟏ ≤ ퟗ퐱ퟐ ≤ ퟕ

ퟐ퐱ퟏ + 퐱ퟐ ≤ ퟐퟐ퐱ퟏ + ퟒ퐱ퟐ ≤ ퟑퟐ

�

퐱ퟏ, 퐱ퟐ ≥ ퟎ لح : ⇓ تبدیل به فرم استاندارد

풎풂풙풁 − 풙ퟏ − ퟑ풙ퟐ = ퟎ

풔. 풕

풙ퟏ + 풔ퟏ = ퟗ풙ퟐ + 풔ퟐ = ퟕ

ퟐ풙ퟏ + 풙ퟐ + 풔ퟑ = ퟐퟐ풙ퟏ + ퟒ풙ퟐ + 풔ퟒ = ퟑퟐ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ, 풔ퟏ, 풔ퟐ, 풔ퟑ, 풔ퟒ ≥ ퟎ

36

풁∗ = ퟐퟔ푺ퟏ∗ = ퟏ푺ퟐ

∗ = ퟏ

풙ퟐ∗ = ퟔ푿ퟏ∗ = ퟖ

حداکثر ها

اعداد سمت راست

S4

S3

S2

S1

X2

X1

Z1

شماره

سطرمتغیر اساسی

∞ 0

7 22

8

- 9 7

22 32

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

3 - 0 1 1 4

1 - 1 0 2 1

1 0 0 0 0

0 1 2 3 4

Z s1 s2

s3 s4

∞

0 9

5/7 4

21 9 7

15 4

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

3 0 1

1 - 4 -

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

1 - 1 0 2 1

1 0 0 0 0

0 1 2 3 4

Z s1

x2

s3 s4

- 25/1

7 1

1 -

25 5 7 7 4

1 - 0

2 - 1 1

0 0 0 1 0

1 - 4 1 7

4 -

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 1 2 3 4

Z s1

x2

s3 x1

- - - - -

26

1

6

1

8

−

−

−

−

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

2

3

4

Z

s1

x2

s2

x1

37

ما باید یک متغیر ورودي مشخص کنیم و یک متغیر خروجی یعنی یک متغیر غیر اساسی وارد *نکته *

. شود) جایگزین ( تغیر اساسی خارج و یک م

کوچکترین عدد منفی پیدا می شود وارد می شود و براي خروجی ستون سمت راست را بر اي ورودي بر

مقدار را داشته کوچکترین عددي که .و در ستون حداکثرها قرار می دهیمستون متغیر ورودي تقسیم

. باشد متغیر خروجی

. ال و پائین صفر باشد همیشه ضرائب متغیرهاي اساسی را چک کنید باید خودشان یک و با *نکته *

همیشه باید ستون ورودي و سطر خروجی با هم برخورد می کنند نقطه لوال نام دارد جایی که *نکته *

نقطه لوال یک شود و باال و پائین آن صفر شود البته فقط با عملیات سطري مقدماتی

: فرم هاي غیر استاندارد

باشد minتابع هدف ) 1

. رت بزرگتر و یا مساوي باشد محدودیت ها به صو) 2

) آزاد در عالمت ( متغیرهاي تصمیم بتوانند مقادیر منفیرا نیز بپذیرند ) 3

: ین مشکل به صورت زیر عمل می کنیمبراي رفع ا

تابع هدف را در یک یعنی اینکه حداکثر کردن می شود Z–مد نظر باشد آنگاه Zاگر حداقل کردن )الف

انتقال بده مثل قبل منفی ضرب و به یک سمت

38

که در و یا مساوي باشد مشکلی به وجود می آید و آن مشکل این است بزرگتر مساوي ≤اگر محدودیتها )ب

شده است و -1قیدها کم شوند لذا ضریب متغیر اساسی شما ها افزوده می شوند باید از این گونه Siزمانی که

.غیر اساسی باشدمذکور نمی تواند مت Siاین غیر ممکن است یعنی

39

: تکنیک پیشنهاد می شود دوبراي رفع این مشکل

اي نیک دو مرحله تک) 2 بزرگ Mتکنیک ) 1

: بزرگ Mتکنیک ) 1

می افزاییم که به این Riدر این حالت چون متغیر اساسی در یک یا چند قید نداریم لذا در هر قید یک . ب بزرگتر شدن منطقه موجه می گرددموجمتغیر مصنوعی متغیر ،

در آن ضرب کرده و بزرگ Mحال براي اینکه این متغیر مصنوعی را از دور خارج کنیم یک ضریب به MRiکردن باشد به عالوه minاز تابع هدف کم و اگر MRiباشد منهاي maxاگر تابع هدف

. تابع هدف می افزاییم

؟زرگ حل کنیدب Mمسئله زیر را به روش : مثال

퐦퐚퐱퐙 = ퟑ퐱ퟏ + ퟐ퐱ퟐ

퐬. 퐭 ퟐ퐱ퟏ + 퐱ퟐ ≤ ퟒ퐱ퟏ + ퟐ퐱ퟐ ≥ ퟔ

�

퐱ퟏ, 퐱ퟐ ≥ ퟎ

حل:مسئله استاندارد کردن

풎풂풙풁 = ퟑ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ −푴푹

⇒ 풎풂풙풁 − ퟑ풙ퟏ − ퟐ풙ퟐ +푴푹 = ퟎ

풔. 풕 ퟐ풙ퟏ + 풙ퟐ + 풔ퟏ = ퟒ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ − 풔ퟐ + 푹 = ퟔ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ, 풔ퟏ, 풔ퟐ ≥ ퟎ, 푹 ≥ ퟎ

40

. صفر کنیم Zرا در سطر Mبزرگ قبل از اینکه سراغ سیمپلکس برویم باید ضریب mدر *نکته *

. ی آید منفی است در متغیر است در متغیر اساسی نم S2چون ضریب *

اعداد سمت حداکثر ها Z x1 x2 s1 s2 R راست

شماره متغیر اساسی سطر

- - -

- 4 6

M 0 0 2 - 3 - 1

0 0 1 1 2 0

1 1 - 0 2 1 0

0

1

2

Z

s1

R

- 4 3

M 6 - 4

6

0 +M 0 M 2 -2 - M 3 -1 1

0 0 1 1 2 0 1 1 - 0 2 1 0

0 1 2

Z S1

R

- ퟐퟑ 6

6 1 3

M+1 1 - 0 0 2 - 1 −ퟏퟐ ퟏ

ퟐ 1 0 ퟑퟐ 0

ퟏퟐ −

ퟏퟐ 0 1 ퟏ

ퟐ 0

0 1 2

풛 s1

풙ퟐ

- 2 -

ퟕퟏퟑ ퟐퟑ

ퟐퟐퟑ

(푴+ퟏퟑ) −

ퟏퟑ ퟒ

ퟑ 0 0 1

−ퟏퟑ ퟏ

ퟑ ퟐퟑ 0 ퟏ 0

ퟐퟑ −

ퟐퟑ −

ퟏퟑ 1 0 0

0 1 2

Z X1 x2

- - -

8 2

M 0 2 0 1 1 1 - 1 2 0 3 0 0 0 1 1 2 0

0 1 2

Z S2 X2

풙ퟏ ∗= ퟎ풔ퟏ ∗= ퟎ

풙ퟐ ∗= ퟒ 풔ퟏ ∗= ퟐ Z *=8

41

سطرلوالجدید = سطرلوالجدولقبل

عددلوال

تکراراول = ퟎퟏퟐퟎ − ퟏퟏퟏퟔퟐ

= ퟎퟏퟐퟏퟎ

−ퟏퟐퟏퟐퟑ

تکراردوم =ퟎ ퟑퟐ ퟎퟏ

ퟏퟐ −

ퟏퟐ ퟏ

ퟑퟐ

= ퟎퟏퟎퟐퟑퟏퟑ−ퟏퟑퟐퟑ

تکرارسوم =ퟎퟏퟎ ퟐퟑ

ퟏퟑ

−ퟏퟑ ퟐퟑ

ퟏퟑ

= [ퟎퟑퟎퟐퟏ − ퟏퟐ]

42

:روش دو مرحله اي یا دو فازي

وش دو بزرگ در محاسبات کامپیوتري از ثبات کمتري برخوردار است لذا ر Mاز آنجا که روش .یریم که در دو گام صورت می پذیردمرحله اي را بکار می گ

))از تابع هدف مصنوعی با استفاده(( پیدا کردن جواب موجه ابتدایی )1

퐦퐢퐧 풘 = (푹ퟏ +푹ퟐ +⋯+푹풏)

) با استفاده از تابع هدف اصلی مسأله ( پیدا کردن جواب بهینه مساله )2

مسأله از یک تابع هدف که از مجموع متغیرهاي مصنوعی موجود در در مرحله اول براي حل

در پایان مرحله اول . محدودیتها تشکیل یافته است به جاي تابع هدف اصلی استفاده می شود

به صفر می رسد و متغیرهاي مصنوعی از ستون متغیرهاي اساسی جدول سیمپلکس wمقدار

ي آن تابع ع هدف مصنوعی را بردارید و به جاحذف می شوند آنگاه در مرحله دوم سطر تاب

. هدف اصلی را قرار دهید

؟ حل کنید دو فازيمسئله زیر را با روش :مثال

퐦퐚퐱퐙 = ퟑ퐱ퟏ + ퟐ퐱ퟐ

퐬. 퐭 ퟐ퐱ퟏ + 퐱ퟐ ≤ ퟒ퐱ퟏ + ퟐ퐱ퟐ ≥ ퟔ

�

퐱ퟏ, 퐱ퟐ ≥ ퟎ

43

حــل:

Max - W + R = 0⇒Max-W= -RMin W = R ⇒ است

풔. 풕 ퟐ풙ퟏ + 풙ퟐ + 푺ퟏퟒ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ − 푺ퟐ + 푹 = ퟔ

�

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ, 푺ퟏ, 푺ퟐ ≥ ퟎ, 푹 ≥ ퟎ

1از ـــف

W X1 X2 S1 S2 R سطر متغیر اساسیاعداد سمت راست

هاحداکثر

W S1 R

° 1 - ° ° ° ° 1 - 4 6

- - -

1 ° 2 1 1 ° ° 2 ° 1 2 ° 1 - 1

W S1

X2

° 1 - 1 - 2 - ° 1 ° 6 - - 4 3

1 ° 2 1 1 ° ° 4 2 ° 1 2 ° 1 - 1 6

W S

X2

° 1 - ° ° ° ° ° ° - - -

1 ° ퟑퟐ ° 1 ퟏ

ퟐ ° 1

2 ° ퟏퟐ 1 ° -ퟏ

ퟐ 1 3

44

2فــاز

풎풂풙풁 = ퟑ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ⇛풎풂풙풁 − ퟑ풙ퟐ − ퟐ풙ퟐ = ퟎ

اعداد سمت Z X1 X2 S1 S2 سطر متغیر اساسی حداکثرها راست

Z ° 1+ 3 - 2 - ° ° ° - S1 1 ° ퟑ

ퟐ ° 1 ퟏퟐ 1 -

X2 2 ° ퟏퟐ

1 ° -ퟏퟐ

3 -

Z ° 1 2 - ° ° 1 - 6 - S1 1 ° ퟑ

ퟐ ° 1 ퟏ

ퟐ 1 ퟐ

ퟑ

X2 2 ° ퟏퟐ

1 ° -ퟏퟐ

3 6

Z ° 1 ° ° ퟒ

ퟑ -ퟏ

ퟑ ퟕ

ퟏퟑ

-

S1 1 ° 1 ° ퟐퟑ

ퟏퟑ

ퟐퟑ

ퟐ

X2 2 ° ° 1 -ퟏퟑ

-ퟐퟑ

ퟐퟐퟑ

-

Z ° 1 1 ° 2 ° 8 - S1 1 ° 3 ° 2 1 2 -

X2 2 ° 2 1 1 ° 4 -

풙ퟏ∗ = ퟎ풔ퟏ∗ = ퟎ

Z*=8

풙ퟐ∗ = ퟒ풔ퟐ∗ = ퟐ

45

: متغیرهاي آزاد در عالمت

در عالمت در مسأله وجود داشته باشد به تبع بخشی از منطقه موجه در حل مسئله اگر حالت آزاد و در صورتی که جواب بهینه می گیرند حذفمسأله که در ربع هاي دوم ، سوم ، و چهارم قرار

. امکان پذیر نخواهد بود در این منطه باشد ، دستیابی به جواب آن

. باشد آزاد در عالمت xj: از تغییر متغیر به جاي متغیرهاي آزاد استفاده می کنیم مثالً براي رفع این مشکل

استفاده ''xi = xi' – xi به جاي آن از تغییر متغیر

.نیم می ک

حل کنید؟متغیر آزاد در عالمت به روش سیمپلکس:مثال

퐦퐚퐱퐙 = ퟒ퐱ퟏ + 퐱ퟐ

퐬. 퐭 퐱ퟏ +ퟒ퐱ퟐ ≤ ퟒ퐱ퟏ − ퟐ퐱ퟐ ≤ ퟔ

�

x1و x2آزاد در عالمت

حل مشکل

퐱)که ퟏ, 퐱 ퟏ, 퐱 ퟐ, 퐱 ퟐ)퐱ퟐ 퐱ퟐ 퐱ퟐ

퐱ퟏ 퐱ퟏ 퐱ퟏ

لذا ∶ 풎풂풙풁 = ퟒ(풙ퟏ − 풙ퟏ ) + (풙ퟐ − 풙ퟐ )

풔. 풕풙ퟏ − 풙ퟏ" + ퟒ 풙ퟐ − 풙ퟐ" ≤ ퟒ풙ퟏ − 풙ퟏ" − ퟐ 풙ퟐ" − 풙ퟐ" ≤ ퟔ

�

퐱ퟏ, 퐱ퟏ" , 퐱ퟐ, 퐱ퟐ" ≥ ퟎ

46

اعداد سمت حداکثر ها راست

S2 S1 풙ퟐ" 풙ퟐ′ 풙ퟏ" 풙ퟏ′ Z

شماره متغیر اساسی سطر

-

4

6

0

4

6

0 0 1 1 - 4 4 - 1

0 1 4 - 4 1 - 1 0

1 0 2 2 - 1 - 1 0

0

1

2

Z

풙ퟏ

S2

-

- ퟏퟑ

16

4

2

0 4 15 - 15 0 0 1

0 1 4 - 4 1 - 1 0

1 1 - 6 6 - 0 0 0

0

1

2

Z

풙ퟏ

풙ퟐ

-

-

-

21

ퟏퟔퟑ ퟏퟑ

0 0 1 1 - 4 4 - 1

0 1 4 - 4 1 - 1 0

1 0 2 2 - 1 - 1 0

0

1

2

Z

풙ퟏ 풙ퟏ

جواببهینه ⇒ 풙ퟏ∗ ⟹ 퐱ퟏ − 풙ퟏ" =ퟏퟔퟑ− ퟎ =

ퟏퟔퟑ

풙ퟐ∗ ⟹풙ퟐ − 풙ퟐ" = ퟎ−ퟏퟑ= −

ퟏퟑ

풁∗ = ퟐퟏ

47

X2

X1 0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

B

: حالتهاي خاص در روش سیمپلکس

هرگاه ضریب یک متغیر غیر اساسی در سطر صفر جدول نهایی صفر باشد نشانه چندگانه بودن . جواب بهینه یک برنامه ریزي خطی است

نقاط گوشه موجه می باشد به این ترتیب تنها می ا که عملیات سیمپلکس فقط در جستجوي از آنجصفر مقدار توان نقاط گوشه بهینه را یافت به این منظور با ورود متغییر غیر اساسی که در سطر

ادامه می صفر دارد در هر تکرار می توان یک جواب گوشه بهینه بدست آورد این کار را آنقدر . گوشه پیدا شود دهیم تا تمام جوابهاي بهینه مربوط به نقاط

: مسله زیر را که تابع هدف آن بامحدودیت اول موازي است را در نظر بگیرید :مثال

퐦퐚퐱풛 = ퟏퟎ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ풎풂풙풛 − ퟏퟎ풙ퟏ − ퟐퟎ풙ퟐ = ퟎ

풔. 풕 ퟐ풙ퟏ + ퟒ풙ퟐ ≤ ퟏퟐퟐ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ ≤ ퟖ

میکنیم ستانداردا معادلهرا⟹

بهصورتسمپلکس풔. 풕 ퟑ풙ퟏ + ퟒ풙ퟐ + 풔ퟏ = ퟏퟐ

ퟐ풙ퟏ + ퟐ풙ퟐ + 풔ퟐ = ퟖ��

풙ퟏ, 풙ퟐ ≥ ퟎ풙ퟏ, 풙ퟐ, 풔ퟏ, 풔ퟐ ≥ ퟎ

ퟐ퐱ퟏ + ퟒ퐱ퟐ = ퟏퟐ

ퟐ퐱ퟏ + ퟐ퐱ퟐ = ퟖ )جواب بهینه چندگانه

X1 X2

0 3 6 0

X1 X2

0 4 4 0

48

ناظر جدول حداکثر ها با شکل

اعداد سمت راست

S2

S1

X2

X1

Z

متغیرهاي شماره سطر اساسی

1جدول )Oنقطه (

-

0

0

0

20 - 10 - 1 0 Z

3 12 0 1 4 2 0 1 S1

4 8 1 0 2 2 0 2 S2

2جدول )بهینه Aنقطه (

- 60 0 5 0 0 1 0

Z

6 3 0 ퟏퟒ 1 ퟏ

ퟐ 0 1 X2

2 2 1 - ퟏ

ퟐ 0 1 0 2 S2

3جدول ) Bنقطه (

- 60 0 5 0 0 1 0 Z

4 - 2 - ퟏퟐ

ퟏퟐ 1 0 0 1 X2

2 2

1 − ퟏퟐ

1 0 0 2 X1

4جدول )Aنقطه (

- 60 0 5 0 0 1 0 Z

- 3 0 ퟏퟒ

1 ퟏퟐ

0 1 X2

- 2 1 - ퟏퟐ

0 1 0 2 S2

49

مـسـائـل

برنامه ریزي خطی: فصل دوم

تولید D وC و B و Aتلویزیون یک شرکت تولیدي وسایل صوتی و تصویري ، چهار نوع : 1تمرین دستگاه از 20کارخانه اول قادر است روزانه . ي در اختیار دارد این شرکت فقط دو کارخانه تولید. می کند

همچنین . تولید نماید Dدستگاه را از نوع 45و Cدستگاه از نوع B ،30دستگاه از نوع A ،50نوع 25و Cدستگاه از نوع B ،20دستگاه از نوع A ،35دستگاه از نوع 60می تواند روزانه 2کارخانه شماره

تومان و براي کارخانه دو 000/800هزینه عملیاتی کارخانه یک روزانه . تولید نماید Dدستگاه را از نوع دستگاه از نوع A ،170دستگاه از نوع 180اگر این شرکت در هر هفته . می باشد تومان 000/100روزانه

B ،160 دستگاه از نوعC دستگاه را از نوع 130وD ه باشد هر یک از دو کارخانه چند روز سفارش داشتدر هفته می بایست کار کند تا سفارش هاي مورد نظر را با حداقل هزینه ساخته شوند ، مدل برنامه ریزي خطی

. این مسئله را بنویسید

براي راه اندازي یک ترن دیزل به یک راننده ، یک نگهبان ، دو نظافتچی ، چهار کمک مکانیک : 2تمرین اریم در حالی که براي راه اندازي یک ترن برقی یک راننده ، دو نگهبان ، یک نظافتچی ، سه کمک نیاز د

نگهبان ، 114راننده ، 84ترن برقی ، 35ترن دیزل ، 60ایستگاه راه آهن محلی ، . مکانیک مورد نیاز است ند راه اندازي شود ، مدل با هدف حداکثر تعداد ترنی که می توا. کمک مکانیک دارد 309نظافتچی و 250

.برنامه ریزي خطی این مسئله را بنویسید

یک فروشنده لبنیات می خواهد پنیر تولیدي خود را با تبلیغ این مطلب که متوان با مصرف نان و : 3تمرین ند چنین رژیم غذایی سالمی ، روزانه نیازم. پنیر در ضمن داشتن یک رژیم غذایی سالم الغر شد ، افزایش دهد

جزئیات غذایی براي رژیم غذایی کامل . گرم هیدروکربن می باشد 240گرم چربی ، 68گرم پروتئین ، 72 .نان و پنیر در جدول زیر داده شده است

50

10میزان کالري در هر اونس غذا 10گرم در اونس غذا

پروتئین چربی هیدروکربن ذاغ

یک وعده کامل نان و پنیر

10 0

5./ 8

2 6

40 100

یک موسسه دامداري مایل است با توجه به مواد موجود ، خوراك مورد نیاز دامهاي خود را با : 4تمرین بر حسب تعداد واحد عنصر ( مغذي موجود در هر کیلو گرم از این مواد میزان عناصر . حداقل هزینه تامین نماید

ه در روز مورد نیاز است ، و هزینه هر یک از مواد در مقداري از این عناصر مغذي ک) غذایی در ماده موجود .مسئله را در قالب یک مدل برنامه ریزي خطی فرموله کنید .جدول ذیل آمده است

حداقل احتیاجات یونجه مواد آلی ذرت عناصر مغذي روزانه

قندها پروتئین

ویتامین ها

90 30 10

20 80 20

40 60 40

200 180 150

ـــــــــــ 15 18 21 قیمت

R1یک طرح تولیدي محصول شیمیایی متوان با استفاده از دو روش مختلف و با ترکیب مواد خام : 5تمرین

تن 2می تواند R2تن از 5و R1تن از 7روش اول با ترکیب . را حاصل نما ید Q2و Q1محصوالت R2و

تن از 5می تواند R2تن از 8و R1تن از 5با ترکیب روش دوم . در یک روز تولید کند Q2تن از 6و Q1از

Q1 تن از 4وQ2 تن از 350مقدار . در یک روز تولید کندR1 تن از 400وR2 جهت استفاده در این طرح

به علت . تن است 120تن و 100به ترتیب Q2و Q1حداقل تقاضا نیز براي محصوالت . موجود است

51

تومان است در حالی که سود روش دوم 3000ود خالص روزانه حاصل از روش اول اختالف در دو روش ، س

.با فرض اینکه در این طرح ، تغییر از یک روش به روش دیگر به راحتی میسر است .تومان در روز است 4000

.مسئله را به صورت یک برنامه ریزي خطی بیان کنید

اندازه مختلف دریافت 3انی اخیرا سفارشی براي الوار در یک شرکت تولید کننده مصالح ساختم: 6تمرین بنابراین شرکت باید الوارها . متري است 25کرده است طول الوار موجود در شرکت همگی داراي استاندارد

این شرکت مایل است بداند الوارها استاندارد را با چه . استاندارد را به اندازه هاي سفارش شده برش دهد مسئله را به صورت .بزند تا تعداد کل تخته هاي الوار مورد نیاز براي تامین سفارش حداقل گردد الگویی برش

.یک برنامه ریزي خطی بیان کنید

ضایعات متری 7 متری 9 متری 10 شماره الگو 5 ــــ ــــ 2 1 6 ــــ 1 1 2 1 2 ــــ 1 3 2 2 1 ــــ 4 ــــ 1 2 ــــ 5 4 3 ــــ ــــ 6

شیفت تقسیم 3هر روز به . کاري کارگران یک کارخانه تولیدي به صورت شیفتی می باشد هبرنام: 7تمرین شده و هر شیفت به دو دوره تقسیم شده است ، ساعت شروع کار هر کارگر ، ابتداي دوره بوده و هر کارگر

سرکار باشد جدول زیر نشان دهنده حداقل کارگران مورد نیاز هر دوره ) یک شیفت ( بایستی در دوره متوالی . می باشد

کارگر شرکت مایل است بداند در ابتدای ھر دوره چند

سرکار باشند تا ضمن تامین نیاز ، از حداقل کارگران

مسئله را به صورت یک برنامه ریزي خطی . استفاده شده باشد

.بیان کنید نمودار را رسم کنید

داقل کارگران ح دوره ساعات شبانھ روز مورد نیاز

1 صبح 10صبح ـــ 6 7 2 عصر 2صبح ـــ 10 6 3 عصر 6عصر ـــ 2 6 4 شب 10عصر ـــ 6 8 5 صبح 2شب ـــ 10 5 6 صبح 6صبح ـــ 2 4

52

روش ترسیمی برنامه ریزي خطی: سومفصل

. مسئله برنامه ریزي خطی زیر را به روش ترسمی حل کنید : 1تمرین

Max z = x1 + x2

S.t x1 + 2x2 ≤ 2

2x1 + x2 ≤ 2

X1 , X2 ≥ 0

. مسئله برنامه ریزي خطی زیر را به روش ترسمی حل کنید : 2تمرین

Max z = 5x1 + x2

S.t x1 ≤ 6

x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 + 4x2 ≤ 24

X1 , X2 ≥ 0

زیر را به روش ترسمی حل کنید و معین کنید چه حالت مسئله برنامه ریزي خطی : 3تمرین .خاصی در آن است

Max z = 2x1 + x2

S.t 4x1 + 3x2 ≤ 12

4x1 + x2 ≤ 8

4x1 - x2 ≤ 8

X1 , X2 ≥ 0

53

مسئله برنامه ریزي خطی زیر را به روش ترسمی حل کنید و معین کنید چه حالت : 4تمرین . ر آن استخاصی د

Max z = 2x1 + x2

S.t x1 – x2 ≤ 10

2 x1 - x2 ≤ 4

X1 , X2 ≥ 0

مسئله برنامه ریزي خطی زیر را به روش ترسمی حل کنید و معین کنید چه حالت : 5تمرین .خاصی در آن است

Max z = 4x1 + 6x2

S.t 6x1 + 4x2 ≤ 24

X1 ≤ 3

5x1 + 10x2 ≤ 40

X1 , X2 ≥ 0

مسئله برنامه ریزي خطی زیر را به روش ترسمی حل کنید و معین کنید چه حالت : 6تمرین .خاصی در آن است

Max z = 4x1 + 14x2

S.t 2x1 + 7x2 ≤ 21

7x1 + 2x2 ≤ 21

X1 , X2 ≥ 0

یر را به روش ترسمی حل کنید و معین کنید چه حالت مسئله برنامه ریزي خطی ز : 7تمرین .خاصی در آن است

Max z = 10x1 + 20x2 S.t 10x1 + 6x2 ≤ 2400 x1 + 2x2 ≤ 400 X1 , X2 ≥ 0

54

سـکـلـپـمـسی : چهارمفصل

. مسئله را به روش سیمپلکس حل کنید : 1تمرین

Max z = 3x1 + 2x2

S.t 2x1 + 4x2 ≤ 22

-x1 + 4x2 ≤ 10

4x1 - 2x2 ≤ 14

X1 – 3x2 ≤ 1

X1 , X2 ≥ 0

.بزرگ حل کنید M سیمپلکس مسئله را به روش: 2تمرین

Max z = 10x1 + 5x2

S.t 2x1 + x2 ≤ 10

X1 = 4

x1 + 4x2 ≤ 20

X1 , X2 ≥ 0

.حل کنید متغیر آزاد در عالمت سیمپلکس مسئله را به روش: 3تمرین

Max z = x1 + 2x2

S.t 2x1 + x2 ≥ 6

x1 + x2 ≤ 8

, x1 X2 ≥ 0ر عالمتآزاد د

55

. حل کنید )فازي 2( دو مرحله اي مسئله را به روش سیمپلکس: 4تمرین

Max z = -x1 + 2x2 – 3x3

S.t x1 + x2 + x3 = 6

-x1 + x2 +2x3 = 4

2x2 - 3x3 = 10

x3 ≤ 2

X1 , X2 , X3 ≥ 0

.مسئله را به روش سیمپلکس حل کنید: 5تمرین

Max z = 10x1 + 30x2

S.t x1 + 2x2 ≤ 60

2x1 + x2 ≤ 40

X1 , X2 ≥ 0

.بزرگ حل کنید Mمسئله را به روش سیمپلکس : 6تمرین

Max z = x1 + 2x2 – 3x3

S.t x1 + 2x2 + 3x3 = 15

2x1 + x2 +5x3 = 20

X1 + 2x2+ x3 = 10

X1 , X2 , X3 ≥ 0

.حل کنید متغیر آزاد در عالمت مسئله را به روش سیمپلکس : 7تمرین

Max z = 9x1 + 18x2

S.t 6x1 + 3x2 ≥ 18

2x1 + 2x2 ≤ 16

, x1 X2 ≥ 0آزاد در عالمت

56

. حل کنید )فازي 2( دو مرحله اي مسئله را به روش سیمپلکس: 8تمرین

Max z = 4x1 + x2

S.t 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 3

X1 , X2 ≥ 0