Caos Fluidos Flujos

7/22/2019 Caos Fluidos Flujos

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CAOS, FLUIDOS Y FLUJOS

Por Luis Fernando Herrera Daz.Keywords: Caos, Fractales, Mezcla, Mezclado.

RESUMEN

Desde hace aproximadamente 30 aos el mundo de la ciencia se revolucion debido alnacimiento de un nuevo paradigma: a esta forma de ver el mundo se le conoce con el nombre deTeora del Caos. En su corta vida ya ha tocado todas las ramas del conocimiento, incluyendopor supuesto la Ingeniera dice Mora (1998). Es as como muchos de los reconocidosingenieros como Aris en el campo de los reactores qumicos, Froment en catlisis heterognea,Coppens que investiga los fenmenos de difusin y reaccin en las redes que presentan lasZeolitas, Julio Ottino en la mezcla de fluidos, han comenzado a replantear viejos esquemas atravs de esta teora. El presente artculo busca mostrar los principales conceptos en los que se

basa la teora del caos, a travs de ejemplos sencillos y de mostrar principalmente una de susrelaciones con la ingeniera qumica como es el flujo y la mezcla de fluidos.

1. Introduccin:

La forma que ha escogido la ciencia y por tanto la ingeniera para representar un fenmeno, sonlos modelos, los cuales estn construidos por ecuaciones ya sean algebraicas o diferenciales, poresto gran parte de la formacin de los cientficos e ingenieros, est dedicada a la resolucin deecuaciones. Sin embargo existe un problema bajo todo este esquema, primero que no todas lasecuaciones diferenciales tienen solucin analtica, que son en su gran mayora las ecuacionesdiferenciales no lineales, segundo los modelos para representar un fenmeno que ocurre en la

naturaleza, generalmente est construido con este tipo de ecuaciones, finalmente estasecuaciones presentan comportamientos extraos, que van desde el orden hasta el caos, de ah elnombre que recibe la teora que estudia dichos comportamientos.

Un fenmenos que rene todas las caractersticas mencionadas anteriormente es el flujo defluidos, por la coexistencia de comportamientos laminares y turbulentos, el flujo de fluidos es asu vez de gran importancia en ingeniera de alimentos, ya que los procesos que involucran elflujo o mezcla de fluidos se encuentra presente en casi todas las operaciones y en todos losprocesos, como en la produccin de polmeros, pinturas, en la dispersin de agentesemulsificantes, suspensiones, etc.Por otra parte para el ingeniero qumico, el concepto de flujo no es desconocido puesto que seencuentra al estudiar las ecuaciones de Bernoulli y continuidad en los libros de mecnica defluidos como el Crane (1992), la mezcla de fluidos en los procesos de transferencia de masa conlos coeficientes de transferencia en Treybal R. E. (1991), los reactores qumicos, a travs de susidealizaciones como el CSTR o mezcla completa y el PFR sin ningn tipo de mezclado, o lasaproximaciones a travs de los tiempos de residencia en Smith (1981), por nombrar algunos.

La relacin que presenta el flujo de fluidos con el caos no se presenta nicamente con el nmerode Reynolds, puesto que las ecuaciones Navier Stokes encargada de este modelo, presenta lano linealidad y el caos.

Adems Ottino (1994) encuentra que hoy en da el concepto de mezcla no tiene un uso generalen todas las disciplinas, es as como los oceangrafos y geofsicos utilizan el trmino para

expresar remocin, los ingenieros que trabajan en polmeros como composicin, y los deprocesos como agitacin. (Concepto que se tratar en adelante).


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Antes de entrar a dar una idea mejor acerca de qu es el caos, se presenta una pequea muestrade que son los sistemas dinmicos y como se relacionan con los modelos.

2. Sistemas Dinmicos.

Cuando un modelo posee una variable que cambia en el tiempo, se dice que las ecuaciones quelo representan son un sistema dinmico. Dichos sistemas pueden ser discretos si cambian enperiodos de tiempo finitos (aos, meses, das, horas) y pueden ser representados por ecuacionestipo algebraicas como se presenta en la ecuacin 11 o continuo representado por ecuacionesdiferenciales como la ecuacin 2. Dentro de estos ltimos se reconocen los sistemas disipatvoscaracterizados por que no mantienen su volumen en el espacio de fases y los conservativos quecontrario a los anteriores si conservan su volumen en el espacio de fases.

( )XFX 1n =+ [ 1 ]

F(x)t

x=

[ 2 ]

En el lenguaje de los sistemas dinmicos X es un vector compuesto por todas aquellas variablesque cambian en el tiempo y se conoce como el vector de estado, la funcin F(X) es la ley deevolucin que permite el cambio en el tiempo. Adems si se integra un sistema dinmico comola ecuacin 2 se obtiene una funcin denominada flujo, y se denota como: (ver figura 1)

( )Xx = [ 3 ]

De tal forma que se puede hablar de flujo nicamente para el caso de los sistemas dinmicoscontinuos.

1 La funcin F varia segn el sistema de ecuaciones.


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u

b

t(u)

a

(x,t)

0

Figura 1: a) El flujo de una curva. b) El flujo de una coleccin de curvas.

Es importante resaltar que dentro de los sistemas dinmicos conservativos se encuentran lossistemas hamiltonianos, los cuales se caracterizan adems por poseer una funcin H(X)denominada funcin de hamilton o hamiltoniano, constante en el tiempo y que se relaciona conX

2 por medio de la ecuacin 43.

1

2

2

1

Xt

X

;Xt

X

=

=

HH[ 4 ]

Un ejemplo tpico de estos sistemas es el caso del pndulo sin rozamiento, como se muestra enla figura 2.

L

Figura 2: Esquema del pndulo sin rozamiento.Las ecuaciones de dicho sistema segn Guckenheimer. J. (1983) son:

[ 5 ]

con el hamiltoniano que en este caso representa la energa del sistema, dado por la ecuacin:

sen1

Lw

w

=

=

[ 6 ]

Integrando el sistema de ecuaciones 5 se obtiene el siguiente diagrama de fases:

( )cos12

2

+=w

H

2

Para el caso deX= {X1,X2}.3H varia segn el sistema de ecuaciones. Adems estos sistemas son muy importantes en los sistemas queinvolucran flujo de fluidos.


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-3

-2

-1

0

1

2

3

-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

w

H = cte

Figura 3: Diagrama de fases para el pndulo sin rozamiento, cada lnea corresponde a una funcin deHamilton que indica la energa del sistema y es igual a una constante.

3. Determinismo y Probabilismo.

En su bsqueda de conocimiento el hombre ha encontrado en las leyes de la fsica el mejorsustento, ya que con ellas ha podido relacionar sucesos del pasado con los que ocurrirn en elfuturo, como el poder predecir un eclipse conociendo la posicin del sol, la luna y la tierra en uninstante pasado; a dichos sistemas se les llama determinsticos, y se caracterizaban por poseerpocos grados de libertad. Uno de sus mayores exponentes fue Laplace (citado por James P.Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard y Robert S. Shaw 1990), quien expres en1776, Una inteligencia que conociera todas las fuerzas que animan a la naturaleza, as comola situacin respectiva de los seres que la componen,... podra abarcar en una sola frmula los

movimientos de los cuerpos ms grandes del universo y los del tomo ms ligero; nada le

resultara incierto y tanto el futuro como el pasado estaran presentes a sus ojos. Por otra parteexistan otros sistemas que posean gran cantidad de grados de libertad como los movimientosatmosfricos que se les consideraban probabilsticos, debido a que solo se poda conocer unestado futuro con cierta seguridad. Sin embargo, otros sistemas anmalos que pareca saltabandel determinismo al probabilismo como el flujo de fluidos debido a la presencia de losregmenes laminar y turbulento.

Sin embargo hace ya varios aos se rompi este viejo paradigma. La primera vez fue en 1927por Heisenberg con el principio de incertidumbre. La segunda, Henri Poincar a finales del sigloXIX, en Green (1996) se recogen muy bien dichos trabajos, pero nadie se preocupara realmentede este fenmeno hasta que Edward Lorenz (1963 a, 1963 b, 1964) meteorlogo del MIT re-descubre el efecto de las condiciones iniciales sobre sistemas de ecuaciones no lineales hacia el

ao 1960. Por otra parte Mandelbrot (1977, 1987) quien trabajaba en el centro deinvestigaciones Thomas J. Watson de la IBM, al estudiar los comportamientos anmalos que sepresentaban en modelos econmicos, llega a reconocer la auto repeticin a cualquier escala yfinalmente al mundo de los fractales. Es as como todos estos aportes permiten el nacimiento dela que hoy se conoce como La Teora del Caos.

La cual ya ha alcanzado tal importancia que J. Gleick (1982) dice El siglo XX ser recordadopor tres cosas: La relatividad, la mecnica cuntica y el Caos, la relatividad que elimina la

ilusin newtoniana del espacio - tiempo absoluto; la teora cuntica que elimina el sueo

newtoniano de los procesos medidos y controlados y el caos que elimina la fantasa laplaciana

de la prediccin determinista.

La teora del caos muestra simplemente algo que desde la fsica de Newton se mantenarelegado: la calidad de la informacin. Por ejemplo cuando se calcula la trayectoria de un objeto


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en el aire nunca se consideran efectos como la velocidad del viento, o la incidencia de lagravedad de la luna, pero qu sucedera si al introducir dichos efectos se obtuvieran resultadostotalmente diferentes?, comportamientos como estos se consideran anmalos y se presentan enmuchos modelos matemticos como los atmosfricos, para los cuales se crea que la falta deprecisin en las predicciones, se solucionara al crear ordenadores mucho ms potentes quepermitieran hacer los clculos con mayor exactitud.Sin embargo, la teora del caos ofrece una explicacin a todos estos comportamientos anmalosque no se haban podido entender a partir de la calidad de informacin y la naturaleza de lasecuaciones. Primero al intentar hacer cualquier medicin siempre se estar sujeto a tener unmargen de error; segundo cuando dicha informacin se alimenta a un sistema dinmico nolineal, el error se incrementa en forma exponencial con cada clculo que se haga 4, de tal formaque despus de cierto periodo de tiempo los resultados que se obtienen estn totalmentedesfasados de lo que realmente sucede, presentando adems un comportamiento aparentementealeatorio. Estas dos causas hacen que a valores extremadamente cercanos de condicionesiniciales, se obtengan respuestas totalmente diferentes. A dicho fenmeno se le conoce con elnombre de sensibilidad a las condiciones iniciales, y se ha recogido en lo que se conoce como elnombre de efecto mariposa, Lorenz (1979) El aleteo de una mariposa en Pekn hoy, puede

causar un huracn en Nueva York el prximo mes

5

.4. Sistemas dinmicos discretos y la ecuacin Cuadrtica.

Como se indic anteriormente la forma que poseen los sistemas dinmicos discretos est dadapor la ecuacin 1, en ingeniera de alimentos se encuentran ecuaciones que presentan esta formaen operaciones como la adsorcin en un arreglo de cascada a contracorriente como se muestraen la figura 4, para la cual el balance de soluto para cada etapa esta dado por la ecuacin 7.

Figura 4: Cascada a contracorriente de varias etapas.

Yn+2Yn+1YnY2

X2R0RsX0

E1EsY1

n+1 Np1 2 n

ENp+1EsYNp+1

RNpRsXNp

X1 Xn

[ 7 ]nNPn AXAXX =

NP

m

Y ++

11

Donde:

A = Rs/mEs.m=Yn+1/Xn+1.R = Flujo de disolvente que no se difunde en la fase R.E = Flujo de disolvente que no se difunde en la fase E.

4Se dice que el incremento en el error es exponencial debido a la relacin que existe entre las ecuaciones lineales y

las no lineales dada a travs del teorema de Hartman-Grobman (ver Guckenheimer J. (1986), pag 13), el cual diceque si los valores propios de la linealizacin de un sistema en un puntoXson diferentes de cero o imaginarios puros,

entonces la linealizacin del sistema es topologicamente equivalente en alguna vecindad del punto de equilibrio X.

Partiendo de dicha equivalencia y sabiendo que la solucin de un sistema lineal dado como: AXX

=dt

d es igual a

, se puede ver que tomando dos condiciones iniciales distintas, sus flujos se separaran en forma

exponencial.

( ) 0A

0 XXXtet =,

5 El efecto mariposa, aun cuando es una exageracin recoge muy bien el concepto de desviacin a las condicionesiniciales.


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X = Concentracin de A en la fase R.Y = Concentracin de A en la fase E.

Un sistema dinmico discreto que presenta muy bien todos los fenmenos que conducen al caos,y que se encuentra en casi todos los libros de sistemas dinmicos y caos, es la ecuacincuadrtica (Ecuacin 8), o conocida tambin como la ecuacin logstica, cuyos usos varandesde la modelacin de poblacin de plagas por entomologos hasta el cambio de frecuencia quepresentan algunos genes por genetistas.

( )nn1n X1XX =+ [ 8 ]

Para demostrar el carcter catico de esta ecuacin se toman varios valores de , dos valoresiniciales Xo(1), Xo(2) y se evoluciona el sistema hasta X100. (Figura 5) Cuando toma el valor de2 y Xo(1) = 0.2 y Xo(2) = 0.8 (Figura 5 a) se encuentra al poco tiempo que los dos resultadosconvergen a una respuesta X100 = 0.5, se habla entonces de que existe un punto fijo atractor en0.5 pues todos los valores iniciales que se tomen conducirn finalmente a l. Si se aumenta =

3.2 y con fines demostrativos se toman Xo (1) = 0.2 y Xo(2) = 0.200001, se observa que latendencia oscila entre dos valores 0.513 y 0.799. (Figura 5 b)

Cuando se encuentra que un valor se repite despus de cierto tiempo se le llama un puntoperidico, cuyo periodo es definido por el nmero de puntos que estn en el ciclo. Se puedeobservar adems que para los valores de = 2 y = 3.2 el periodo cambia de 1 a 2, a este tipode cambio se le conoce con el nombre de duplicacin de periodo.

Si es 3.5 se presenta una nueva duplicacin de periodo cuyos valores son 0.500, 0.875, 0.383,0.827 (Figura 5 c). Si es 3.63 se duplica nuevamente el periodo y los valores son 0.305, 0.769,0.643, 0.833, 0.505, 0.907 (Figura 5 d). Se observa, como sera lgico pensar que al tener lasdos condiciones iniciales bastante cerca, la respuesta final es la misma. Sin embargo en la

medida en que se acerca a cuatro el sistema duplica sus periodos rpidamente hasta que alllegar a cuatro donde la periodicidad se pierde. Los resultados en cada iteracin se diferenciancada vez mas hasta llegar el momento en que pareciera que cada resultado no tuviera que vernada con el anterior, sino que fuesen colocados simplemente al azar, se dice entonces que elsistema es aperidico, si se toman valores de Xo(1) de 0.2 y Xo(2) = 0.2000000001 (mil vecesms cercanos que los anteriores) se encuentra que X100(1) = 0.8755 y X100(2) = 0.2587 los cualesestn separados por una diferencia del 70 %. Si un sistema se comporta de esta manera se diceentonces que es catico (Figura 5 e).


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[ 9 ]

Donde:

X es proporcional a la cantidad de presas.Y es proporcional a la cantidad de predadores.A, B, C, D son constantes del sistema.

Tomando como especie depredadora los linces y la depredada los conejos, si en un determinadomomento se incrementa el nmero de linces, estos aumentaran su consumo de conejos hasta queal disminuir el alimento los linces empiezan a morir, permitiendo as el crecimiento de conejos,de tal forma que en un tiempo futuro, existir un equilibrio dinmico entre la cantidad de lincesy de conejos. A esta forma de estabilidad se le conoce con el nombre de ciclo limite (ver BriggsJ. y Peat F.D. 1994).

Con el fin de ilustrar el ciclo limite para este sistema, se tomo como condicin inicial X 0 = 19,Y0 = 30 y los parmetros A = 0.1, B = 0.05, C = 0.1, D = 1, obteniendo de esta forma la figura 7.

Ciclo limite

0

4

8

12

16

20

24

28

32

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

X

Figura 7: Ciclo limite para el sistema depredador - presa. El punto indica la condicin inicial.

Cuando una bifurcacin ocurre de punto fijo a ciclo limite es llamada bifurcacin de Hopf.Dicho tipo de bifurcaciones se presenta en sistemas de ecuaciones como los de Van Der Pol,utilizada en circuitos elctricos, como lo presenta Guckenheimer J. (1983).

Ante este fenmeno "el Caos", surge un sentimiento de desconsuelo, ya que a pesar de tener lasecuaciones y sus condiciones iniciales, no podemos conocer exactamente un estado futuro.

El sistema de ecuaciones estudiado por Edward Lorenz (Sparrow 1982) que permiti despertar

el fenmeno del caos, lo obtuvo al intentar modelar el comportamiento atmosfrico debido auna diferencia de temperaturas (ecuacin 9).

Sin embargo al analizar el sistema partiendo de mltiples estados iniciales reconoce sunaturaleza globalmente estable, es decir que aun cuando cambios mnimos en las condicionesiniciales dan discrepancias grandes en los valores finales de iteracin, stos siempre seencuentran en una regin del espacio de fases, como si fuera un imn que recogiera todas lastrayectorias a una sola regin, por tal razn se denomin atractor y como dicha figurapresentaba formas extraas se denomin finalmente atractor extrao6.

6Dicho nombre fue utilizado por primera ves segn James Gleick (1988) (pag 141) en Ruelle David y

Takens Floris (1971).


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[ 9 ]

( )

bZXYdtdZ

XZYsXdt

dY

XYdt

dX

=

=

=

Figura 8: Atractor extrao de Lorenz.

Donde:

Xes proporcional a la velocidad de ascenso del aire.Yes proporcional a la diferencia de temperaturas entre el aire que asciende y el que desciende.

Zes proporcional a la desviacin del gradiente lineal de temperatura.tes el tiempo. =10, s = 28, b = 8/3 son constantes propias del sistema.

El hecho que dichos sistemas presentan estabilidad global, permiti dar nuevas esperanzas anuestra capacidad de predecir el comportamiento futuro. Por tal razn el tratamiento de lossistemas dinmicos ha virado de conocer un estado futuro a partir de una ecuacin diferencialbajo ciertas condiciones iniciales, al estudio cualitativo de la ecuacin a travs del flujo y lasregiones estables e inestables.


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ZXZdt

dZ

YXdtdY

ZYdt

dX

7.52.0

2.0

+=

+=

=[ 10 ]

Figura 9: Atractor de Rssler. Es otro atractor extrao, el cual se ha encontrado en el flujo de fluidos yalgunas cinticas de reaccin.

5. Fractales.

Dentro del lenguaje del caos adems del concepto de atractor extrao7, surge la palabra fractal,cuyo concepto fue creado por Beniot Mandelbrot (1977, 1987. Los fractales se pueden describircomo las figuras que resultan de la evolucin de un sistema dinmico catico.

Dichas figuras poseen dos caractersticas principalmente, la primera es la auto-similitud (verFigura 10) es decir que a cualquier tamao de escala se encontrara la misma figura siempre, y lasegunda que poseen dimensin no entera.

a

b

Figura 10: Un rbol fractal. (a) Todo el rbol, (b) la parte derecha del rbol interno ampliada. Se puedeobservar la auto similitud al comparar las a y b, sta ltima con un mayor grado de acercamiento

Para introducir el concepto de dimensin no entera, es bueno comenzar por definir el concepto

de dimensin. Si se le pregunta a una persona por cuantas dimensiones tiene un cuadrado,instantneamente responde que dos. Al pedirle una explicacin al porque de su respuestaagrega, el cuadrado tiene dos dimensiones por que tiene largo y ancho, y a partir de estarespuesta considera que ya todo esta dicho acerca del tema. Lo que sucede realmente es quenunca se piensa en que significa el largo y el ancho realmente.Cuando se asigna largo, alto y ancho a un objeto o a una figura, lo que realmente se estaconstruyendo es una estructura vectorial con tres vectores linealmente independientes, los cualespermiten definir un espacio a travs de su combinacin lineal. En el caso del cuadrado puedendefinir dos vectores X1 = {1,0} y X2 = {0,1} a los que se les conoce como largo y ancho.Finalmente se puede definir la dimensin como el numero de vectores linealmente

7

Ruelle fisico que estableci la necesidad de la existencia de los atractores extraos, los describi comofractales aun cuando no sabia que dichas figuras existieran. (ver numeral 8. Flujo de fluidos a travs delcaos)


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independientes, con los cuales se puede crear un espacio. De acuerdo a esta definicin losvalores que pueden asignarse a la dimensin son siempre enteros positivos.

Una ves comprendido el concepto de dimensin, se puede introducir la nocin de dimensinfractal, a travs del conjunto de Cantor. Este consiste en tomar una lnea recta de longitud 1,dividirla en tres partes cada una de 1/3 y posteriormente eliminar el segmento interior. Estesistema se aplica posteriormente a cada uno de los dos fragmentos restantes y as sucesivamentehasta el infinito ver figura 11.

n=0n=1

n=2 n=3 n=4

Figura 11: Conjunto de cantor.

Se demostr matemticamente que la cantidad de puntos que aparecen en la iteracin n = esla misma que la que tendra una lnea normal. Surgi entonces la duda, qu dimensin tiene enconjunto de puntos de la iteracin n = ?, si por un lado es casi una lnea que tiene dimensinuno y por otro esta constituida de puntos cuya dimensin es cero. Para resolver dicha preguntaMandelbrot propuso calcular una dimensin de la siguiente manera, se divide la figura en partes y se cuenta cuantas de esas divisiones estn siendo ocupadas por la figura (N), de talforma que la dimensin fractalse calcula como:


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[ 11 ]

Donde;N es el nmero de partes que quedan de la figura original. es el nmero de partes en los que se divide la figura original.

Calculando la dimensin fractal para el conjunto de cantor se tiene entonces lo siguiente, sedivide la figura en 3 partes, luego = 3, de las cuales solo dos son ocupadas por una lnea rectaes decir N = 2 como se ve en la figura 12. Es as como la dimensin fractal del conjunto decantor es

Es decir no es un punto de dimensin cero ni es una lnea de dimensin uno.

Figura 12: Calculo de la dimensin fractal para el conjunto de Cantor. = 3 y N = 2.

Finalmente se puede entender el concepto de la dimensin fractal como una forma de cuantificarel grado de irregularidad, escabrosidad de un objeto, que se encuentra construido en un espaciode dimensin n.

Pero cual es la importancia de los fractales?. Al ver la distribucin de poros en una partcula, seencuentra que no todos ellos tienen el mismo tamao, que no son perfectamente cilndricos yque existen poros dentro de poros y estos a su vez dentro de otros, indicando que ms queparecerse a un cilindro, (geometra que se tomaba como base para algunos modelos), tienecaractersticas fractales. En la actualidad Coppens y Froment (1995 a,b,c) ya han presentado

modelos de poro fractal en partculas catalticas con el fin de calcular la tortuosidad mxima dela pastilla cataltica. En el campo de los fluidos Beniot Mandel Brot encontr que la turbulenciatambin tiene caractersticas fractales, ya que en el flujo se presentan remolinos dentro deremolinos. (ver Mora Antonio 1998).

6. Que produce el flujo y mezclado?

Un flujo puede ser inducido de diferentes formas; por diferencia de presin, diferencia detemperatura, o por la accin de un esfuerzo cortante. Por otra parte el mezclado se puedeentender como resultado del estiramiento y plegamiento de lneas de materia.

Una forma de visualizarlo es imaginando el movimiento que describe la esencia que un

panadero agrega a la masa; inicialmente el panadero hace un charco de esencia en la masa,luego amasa la harina estirndola y doblndola sobre si misma, creando lneas de esenciadenominadas lneas de materia que en cada estirado y doblado disminuyen su espesor, a medidaque se mezclan hasta ser imperceptibles al ojo humano, se dice entonces que la esencia estatotalmente mezclada con la harina.

Dicho proceso ha resultado ser lo bastante complejo como para poder atacarlo desde el punto devista terico, por tal razn la ciencia y la ingeniera han tenido que hacer desarrollosexperimentales que permitan un acercamiento estadstico al fenmeno. Sin embargo, dice Ottino(1994) esto particulariza el estudio de manera tal que no se pueden sacar conclusiones de ndolegeneral.

7. Acercamientos a la mezcla de fluidos.

logD =

logN

63.03log

2log==D


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Las bases estadsticas se fundamentan en el anlisis para dos componentes, uno en mayorproporcin que el otro y ambos con igual tamao de partcula, de manera tal que una mezclaperfecta siguen una distribucin binomial, la cual se expresa como una funcin de probabilidaddada en la ecuacin 12. (por la presencia de solo dos tipos de partculas). Si se comparanentonces los dos primeros momentos estadsticos8 (la media y la varianza ecuacin 13) de ladistribucin binomial y los de una mezcla cualquiera se puede estimar el grado de mezcladoobtenido.

[ 12 ]

[ 13 ]

Donde:Pes la probabilidad de tener una mezcla de composicinx.b es el nmero de partculas del componente en menor proporcin.n es el nmero de partculas totales en la mezcla.

p fraccin total de las partculas en menor proporcin dentro de la mezcla.x esta definida como (b/n).

Bajo este marco de trabajo nacen tres conceptos importantes en la mezcla de fluidos:Uniformidad de mezclado, entendida como el grado de homogeneidad que presenta la mezcla enconjunto. Sin embargo a pesar de que una mezcla se vea a simple vista homognea, si seobserva bajo un microscopio se podr encontrar pequeas islas como se ve en la figura 13.Nacen pues dos conceptos que son Escala de Segregacin, la cual mide que tan grandes sonestas islas y laIntensidad de Segregacin indica la medida de la desviacin de la concentracinentre una isla y el total de la mezcla. Sin embargo dichas medidas tienen un problemaintrnseco: la escala del examen. Si se toma una mezcla que a la vista sea homognea y se pasa atravs de un microscopio, se encuentra que dicha homogeneidad se pierde y aparecern islas, eislas dentro de estas mismas segn se contine aumentando la escala de examen (ver Figura 13).La pregunta seria entonces, Qu grado de examen se debe utilizar para analizar una mezcla?.Todo depender entonces de la razn por la cual se mezcla, es decir; si se necesita por ejemplouna pintura, el grado de mezclado que se requiere como mnimo es el que a simple vista permitaver la pintura totalmente homognea, as sea que a menor escala (microscopio por ejemplo)aparezcan islas. Por otro lado, si la mezcla se utiliza para la proteccin de rayos ultravioleta (uv)como es el caso de los polmeros, aunque aparentemente este homognea a simple vista, permiteel paso de los uv. Por tal razn un buen grado de mezclado se dar en el momento en que laspartculas de protector estn tan unidas que un rayo uv no pueda pasar entre ellas.

8 Los momentos de una variable aleatoria X, son los valores esperados de ciertas funciones de X. Estos

forman una coleccin de medidas descriptivas que caracterizan la distribucin de probabilidad de X. Detal forma que el primer momento es conocido como la media, el segundo como la varianza, el tercermomento es la asimetra, etc.

( )( )

( )( )

( )n

p

ppbbn

xxnb

=

1

1!!

!nP

p= 2


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Isla

Figura 13: Uniformidad de la mezcla y escala del examen.

Pese a esos problemas intrnsecos, existen trabajos basados en el acercamiento estadstico comolos de Best y Tomfohrde (1959) que desarrolla un mtodo para medir la dispersin del negro dehumo en polietileno, Weldenbaum (1958): que caracteriza la distribucin de un slido en unlquido por medio de la varianza o la media, y Lacey (1954) que define un ndice de mezcladobasado nicamente en la estadstica.

Al buscar una aproximacin terica a la mezcla de fluidos se deben tener en cuenta, primero lanaturaleza del fluido y segundo el movimiento que este desarrolla, es decir el flujo. Dichosconceptos estn relacionados de la siguiente manera:El estudio de los fluidos se basa principalmente en su reologa, es decir la relacin que existeentre la aplicacin de un esfuerzo cortante y la velocidad de deformacin. Cuando un esfuerzocortante acta sobre un fluido, este se deforma como se presenta en la figura 13; se puede tenerentonces una medida de su deformacin, midiendo el grado de desplazamiento en x y surelacin con la distancia eny. Dicha relacin se designa como ()(ecuacin 14).

x

Figura 14: Concepto de gama ():Cuando se somete un cuerpo a un esfuerzo cortante, este hace que unaparte del cuerpo se desplace con mayor rapidez que otra, lo cual ocasiona una deformacin, dichadeformacin es necesaria para llevar un buen proceso de mezcla.

[ 14 ]y

x; =

y

x

d

d

=

Cuando la relacin entre el esfuerzo cortante y la variacin de la deformacin con el tiempo eslineal, se dice que el fluido es newtoniano (ecuacin 159) y la constante de proporcionalidad esconocida como la viscosidad ().

dydvx =yx

[ 15 ]

El flujo de fluidos se rige por la ecuacin de transferencia de momentum, la cual resulta de unbalance de fuerzas sobre un elemento diferencial de fluido como se explica en Bird R. Byron,Stewart Warren E., Lightfoot Edin N. (1964) y cuya ecuacin es (ecuacin 1610):

9La variacin de gama con respecto al tiempo se puede escribir como:( ) ( )

dy

dv

dy

dtdxd

dt

dydxd x=

( ) gPt

++=

+

vvv

10Donde:

= yi i

i xss ( )

==

k i i

ikk x

div en coordenadas rectangulares.


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[ 16 ]

Para un fluido newtoniano la ecuacin 15 se puede escribir como (Bird R. Byron, StewartWarren E., Lightfoot Edin N. 1964) 1711 :

( ) ( ) gPt2 ++=

+

vvvv [ 17 ]

Donde: es la viscosidad del fluido. es la densidad del fluido.

P es la presin. g es la gravedad.v es el componente de la velocidad sea en x, y, o z. es el esfuerzo cortante.

Otros trabajos que poseen el mismo enfoque terico son Taylor (1934) donde se hace un anlisisde la mezcla como el estiramiento de gotas. Browthman, Wollan, Feldman (1945) proponencinticas de rea nterfacial y Eckart (1948) que estudia la mezcla por temperatura en los

ocanos.

8. Flujo de fluidos a travs del caos.

A partir del surgimiento de esta teora han aparecido trabajos que buscan una aproximacin atravs de esta teora, debido a que presentan esa transicin entre el orden (laminar) y el caos(turbulencia).

En la dcada de los cuarenta Landau12 imaginaba el camino a la turbulencia como una secuenciade bifurcaciones, mas tarde en l948 Eberhard Hopf (1948) basado en esta idea, crea un modelomatemtico en el cual las bifurcaciones que conducen a la turbulencia son dinmicas. Susecuencia consista bsicamente en la siguiente serie de pasos: a) a velocidades bajas de flujo seencontraba un punto fijo, es decir que si se alteraba en algo el flujo rpidamente ste regresaba asu velocidad normal, b) al aumentar la velocidad ocurra una bifurcacin a un ciclo limite, c) alcontinuar aumentando se encontraba un toro de 3 dimensiones, d) si se segua aumentando lavelocidad aparecan toros de mayor dimensin. Harry Swinney y Jerry Gollut diez aosdespus estudian el flujo dentro de dos cilindros concntricos13 con el fin de corroborar las ideasde Landau y Hopf, encontrando que la secuencia de bifurcaciones que propona Hopf no eracorrecta, ya que al llegar a un toro de tres dimensiones y seguir aumentando la velocidad, ste sedescompona en una dinmica ms compleja en la que continuamente se creaban y destruantoros de tamaos mas pequeos. Por otra parte las ideas de Landau estaban cimentadas en la deacumulacin de ritmos competidores, algo como pequeos sonidos que separados tiene un ritmopero que al unirlos son solo ruido ininteligible. En 1971 David Ruelle junto con Floris Takens

proponen que con solo tres movimientos independientes se puede generar la turbulencia queintentaba explicar Landau con su idea de acumular frecuencias. Ruelle propone adems que elmovimiento desarrollado en la turbulencia debe estar encerrado en el espacio de fases por unatractor extrao. Dicho atractor deba tener sin embargo una caracterstica muy importante, puescomo una rbita podra estar encerrada en una regin del espacio de fases, sin nunca repetirse ynunca cruzarse a si misma, para producir esto ellos concluyeron que debera ser una lneainfinitamente larga pero encerrada en una regin finita. Lo que ellos no saban era que msadelante un da de 1975 Mandelbrot creara la palabra fractal. En 1974 despus de que Gollub y

11Donde:

= en coordenadas rectangulares.

i i2

2

i2

x

ss

12 Cientfico Ruso quien gana el premio Nobel por sus estudios en el helio super fluido.13 G.I Taylor haba estudiado ya este mecanismo de flujo en 1923, encontrando las corrientes denominadas Couette-Taylor.


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Swinney se renen con Ruelle, concluyen que las ideas de Landau eran equivocadas yaceptando las de Ruelle. Mas adelante con la confirmacin de la existencia de atractoresextraos las ideas de Ruelle toman mayor solidez.

9. Estudios.

Dentro de los estudios que se llevan a cabo en el campo de flujo de fluidos se presentanprincipalmente dos ramas; por un lado el fenmeno de la turbulencia y por el otro la mezcla defluidos.Dentro de la turbulencia uno de los estudios que ms llama la atencin es la turbulenciaanormal, es decir turbulencia que se presenta a bajas velocidades. Para analizar este fenmenoG, Ahlers y R.P Behringer (1978) tomaron un fluido y lo colocaron entre dos placas paralelas,induciendo un flujo por diferencia de temperaturas entre las placas (ver figura 15a); dichomovimiento consista en la formacin de rodillos debido a la ascensin de fluido de menordensidad y el descenso de otro de mayor densidad.

Para visualizar flujo utilizaron rayos de luz que pasaban a travs de los cilindros como indica la

figura, de forma tal que los rodillos actuaran como lentes, teniendo as un patrn de lneas clarasy oscuras, que indicaban la posicin de cada uno de los rodillos. De esta forma en rgimenturbulento las lneas claras y oscuras (ver figura 15b) se rompan o unan, movindoseerrticamente. A este tipo de turbulencia donde siempre subsiste una organizacin se llamaturbulencia de fase; lo que G, Ahlers y R.P Behringer descubrieron fue que cuando el fluidotiene nmero de Prandtl (NPr ecuacin 18) cercano a la unidad dicha turbulencia aparece avelocidades de flujo muy baja, lo cual rompe con el esquema de que solo a velocidades altas seproduce turbulencia.

En 1981 E.D Siggia y A. Zippelius proponen que la inestabilidad de los rodillos es debida a lapresencia de flujos transversales entre ellos, en 1986 Alain Pocheau y sus colaboradores,

inducen un flujo transversal en un fluido con NPr lejano a la unidad, con el fin de corroborar lasideas de E.D Siggia y A. Zippelius, encontrando una respuesta afirmativa. Actualmente seestudia este fenmeno en los gases, donde el flujo transversal es creado aparentemente por lainestabilidad propia del sistema.

[ 18 ]

k

CpN =Pr

Donde:Cp Capacidad calorfica.Viscosidad.kconductividad trmica.

a

b


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Figura 15: a)Rodillos formados por el flujo entre dos placas a diferente temperatura. b) Esquema de las regionesclaras y oscuras, que indican la posicin de los cilindros. Si ocurre turbulencia dichas lneas se rompen o se unen conmovimientos errticos.

En el campo de la mezcla de fluidos en rgimen laminar, proceso de importancia en elprocesamiento de polmeros, Ottino ha intentado aproximaciones a travs de los sistemasdinmicos.

l argumenta que en toda mezcla existen de tres zonas; la primera la regin activa de mezclacaracterizada por movimientos rpidos con cruce de componentes, por lo cual es la regin quemayor aporte hace al proceso; las regiones estancadas caracterizadas por estar separadas de laregin principal por lneas de corriente, movimientos lentos y su carcter difcil de predecir perocon formas geomtricas conocidas que deben tener los mezcladores para minimizar suexistencia y regiones aisladas las cuales se diferencian de las anteriores por que estn separadasde los limites, no se pueden identificar por velocidades bajas de flujo, poseen mezclado internodisminuyendo la eficiencia global del mezclado.

La principal relacin que establece Ottino (D. V. Khakar, H. Rising. J. M. Ottino 1986) radicaen el estudio de puntos peridicos, elpticos e hiperblicos, que producen las ecuacionesdiferenciales y su relacin con las regiones aisladas de flujo. (Figura 16).

Punto El tico

Punto hiperblico

Figura 16: Variedades que se presentan en un esquema de mezcla.

Por otra parte tambin estudia las variedades, entendidas como espacios geomtricos suaves(lneas, superficies, slidos, ver figura 17) dentro de los cuales se mueven los flujos producidospor las ecuaciones de Navier - Stokes.

b

a

Figura 17: a) Son Variedades b) No son Variedades.

Su trabajo como lo indica Ottino (1994) en busca dar respuesta a las siguientes preguntas: Cuales son los mecanismos dominantes del mezclado? Qu caractersticas del mezclado pueden predecirse computacionalmente? Cuales son las mejores formas de definir y medir un material bien mezclado?

Se pueden predecir lasRegiones aisladas?, Puede asegurarse su ausencia?


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Sin el uso de modelos detallados de flujo: Hay tcnicas capaces permitir una visualizacinde las regiones de flujo?.

LasRegiones aisladas pueden tener un uso practico como por ejemplo crear regin dedescarga controlada dentro del mezclado?.

10. Estudios y perspectivas en Colombia.

Esta teora ha marcado tan fuertemente el mundo de la ciencia y sus aplicaciones que algunos lacomparan con la teora de la Relatividad o la Mecnica Cuntica. Es as como actualmente enpases desarrollados se llevan a cabo trabajos basados en este nuevo paradigma en todas lasreas de la ingeniera de alimentos, como termodinmica, transferencia de masa y energa,cintica qumica, catlisis, etc. Actualmente en Colombia las universidades que poseen gruposinteresados en el estudio de la teora del Caos son: La Universidad de los Andes a travs delgrupo dirigido por el doctor Philippe Binder en el estudio del caos cuntico, la UniversidadNacional sede Bogot en diferentes grupos, en la Facultad de fsica con el grupo de sistemashamiltonianos y complejidad dirigido por el profesor Diogenes Campos en el estudio de caosclsico y cuntico, el Departamento de qumica con los trabajos en reacciones oscilantes

dirigidos por el profesor Daniel Barragn y Alfredo Gmez , en ingeniera civil se encuentranlos ingenieros Pervys Rengifo y Carlos Velazco quienes estudian las aplicaciones de losfractales en su ramo, en ingeniera elctrica se encuentra el profesor Hernando Daz quienestudia el control de los sistemas caticos y el control en sistemas caticos y en ingeniera dealimentos los trabajos de tesis de Antonio Mora titulado Aproximacin a la ciencia de laingeniera de alimentos desde la teora del caos y la geometra fractal dirigido por el Ph.D.ingeniero Luis Carballo, actualmente se adelanta el trabajo de tesis del ingeniero Luis Herreratitulado Acercamiento a la mezcla de fluidos a travs de los sistemas dinmicos y la teora delcaos dirigido por el Ph.D. ingeniero Alfonso Conde.

Como se ha visto a travs de los ltimos aos el impacto de esta teora ha causado es deber delingeniero conocer por lo menos la forma como dicha teora afecta su rama del conocimiento,

para no quedar atrapado en la historia de la ingeniera de alimentos.

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