Numero 3, 6 Giugno 2011. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

EditorialeÈ passato un altro mese e si avvicina l’estate, ma an-che questa volta per il primo lunedì del mese tornal’appuntamento con CaoStabile!

Le soluzioni dei giochi precedenti le puoi trovare di-rettamente sul nostro sito internet. Inoltre puoi intera-gire con noi tramite il nostro Blog e la pagina Facebook:lasciaci un commento o qualche soluzione alternativa sela trovi!

In questo numero parleremo della forza di gravità,cercheremo di scoprire perché il cielo è nero e cosa siaquesta misteriosa materia oscura di cui probabilmenteavrai sentito parlare qualche volta (spesso a sproposi-to)! La matematica e il matrimonio hanno qualcosa incomune? Scoprilo!

Come al solito non mancherà l’angolo dei giochi, unaiuto agli studenti ed una bella recensione!

Buona lettura e passa a trovarci sul nostro Blog e sul-la pagina Facebook, sapere che apprezzi il nostro sforzoè la ricompensa più gradita!

Il Team CaoStabile

In questo numero:

Quanto è oscuro l’Uni-verso?

La forza di gravità

Perché il cielo è nero?

La matematica e il matri-monio

Chiedi alla Ga’:Equazioni logaritmiche

Pausa caffè:Gli studenti alla festaTartine zola e nociLa divisione del resto

Recensioni:“Perle ai porci”

QUANTO È OSCURO L’UNIVERSO?

Che di notte il cielo sia nero e buio losappiamo bene. E sappiamo altrettantobene che quasi tutti quei puntini che ve-diamo sono stelle lontane da noi almenoqualche anno luce (la distanza che com-pie la luce in un anno, circa 9500 miliardi dikm!). E’ ben noto anche il motivo per cui ilcielo ci appare così nero. Quando il Sole

illumina l’emisfero terrestre a noi oppostol’atmosfera non può diffondere i suoi raggidandoci quella tipica impressione di cieloazzurro che fa tanto primavera. In realtànel nostro universo di cose oscure ve nesono parecchie e non stò certo parlandodel cielo, anzi ciò di cui ti voglio parlarenon è affatto ben chiaro come il motivo

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per cui il cielo notturno è nero.

Avrai di sicuro già sentito parlare del-la gravità. Quella forza (tutt’oggi ancoraalquanto misteriosa) propria della mate-ria che tende a far avvicinare due corpiqualunque in maniera direttamente pro-porzionale al prodotto delle loro masse einversamente proporzionale al quadratodella loro distanza. Che vuol dire? Beh,che più i corpi sono massicci e vicini e piùè intensa la forza che li attrae. In altre pa-role, la Terra attira la mela e la mela attirala Terra, ma poiché la Terra è miliardi di mi-liardi di volte più grande della mela, la me-la cade a Terra, ma la Terra non cade sul-la mela. E fin qui siamo ancora nel campodel “certo che lo so” o “mi sembra ragio-nevole”. Ora proviamo a pensare a tuttol’universo nel suo insieme, quindi pianeti,stelle, galassie, ammassi di galassie e viavia oggetti sempre più grandi e massic-ci, se la gravità funziona come per la Ter-ra e la mela cosa dovrebbe succedere?Sembra abbastanza ovvio che le massepiù grandi dovrebbero attirare le più pic-cole e masse comparabili attirarsi fra loro.Una cosa è però chiara: essendo la gravi-tà una forza puramente attrattiva questadovrebbe portare, in ogni caso, le galas-sie (e tutto ciò che esse contengono) adavvicinarsi le une alle altre o quantome-no allontanarsi decelerando se la loro ve-locità iniziale fosse sufficientemente eleva-ta. Al limite l’universo potrebbe addiritturacollassare su se stesso a causa della forzadi gravità!

Ovviamente questo è frutto di puro ra-gionamento che va in qualche modo ve-rificato mediante osservazioni ed analisi“sul campo”, anzi, in questo caso “sul tele-scopio”. Tali osservazioni furono effettiva-mente condotte dagli anni 90 in poi pro-prio al fine di confermare questa “con-trazione” dell’universo (in uno dei prossi-mi articoli ti racconto come hanno fattoa scoprirlo). Ciò che, con molto stupo-re e malincuore, si scoprì è che l’univer-so anziché contrarsi sta addirittura acce-lerando la sua espansione! Ma è assurdo!

Qualunque sia la causa, stiamo osservan-do qualcosa di strano dal momento chetutti i nostri modelli prevedono una gravi-tà che faccia in qualche modo da frenoall’espansione dell’universo, non certo daspinta! E’ come se esistesse una forza anti-gravitazionale su larga scala, o dovrem-mo rivedere il nostro concetto di gravitàsu scale molto grandi. Anche Einstein nonriusciva a spiegarselo, tant’è che ipotiz-zo una costante che riflettesse tale feno-meno. Una sorta di “pressione negativa”che tende a controbilanciare la gravità efar accelerare l’espansione dell’universo.Beh, a tale energia venne dato il nome di“Energia Oscura”, nome abbastanza cal-zante dato che compete al nero cosmi-co e ben “oscure” rimangono tutt’oggi lesue origini. L’energia oscura è una sorta dienergia del vuoto molto omogenea (agi-sce ovunque con la stessa intensità) edinteragente solo mediante la sua gravità(non vi sono altre prove della sua interazio-ne con la materia ordinaria), come dire “ilprezzo da pagare per avere tanto spazioa disposizione”.

Rappresentazione artistica dell’Energia Oscura (gli ovalineri) all’interno di regioni di energia ordinaria.

E non è certo finita qui! Alla luce diquesta oscurità, si è provato anche, de-scrivendo ancora la gravità come la co-nosciamo noi, a calcolare la massa deglioggetti del cosmo (in particolare delle ga-lassie) da osservazioni sul loro moto. In al-tre parole, ancora “telescopio alla mano”si è proceduto negli anni a fare una sti-ma della massa delle galassie partendo,in particolare, dalla loro velocità di rota-zione. La terza legge di Keplero ci dice

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che dovremmo aspettarci che tale velo-cità decresca al crescere della distanza(come accade per i pianeti, infatti Giovesi muove molto più lentamente della Ter-ra, ovvero ha un periodo molto maggio-re), ma ancora una volta calare il model-lo teorico nella realtà fornisce inattese sor-prese. Analizzando in particolare i bracciesterni di galassie a spirale (come la no-stra Via Lattea, per intenderci), infatti, siè osservata una velocità che non decre-sce con la distanza, ma rimane pressap-poco costante. Ed ora?! E’ come direche se la massa di una galassia forse so-lo quella che vediamo allora le stelle piùesterne (incluso il nostro Sole) ruoterebbe-ro troppo velocemente e sarebbero giàstate lanciate via miliardi di anni fa!

Velocità di rotazione galattica attesa e rilevata. La diffe-renza puo essere spiegata solo assumendo un “alone”di Materia Oscura attorno alla galassia.

Ancora una volta il termine “oscuro” civiene in soccorso. Infatti, a questo defi-cit di massa è stato assegnato il nome di“Materia Oscura”. Attenzione, non vuoldire che questa massa non c’è! La ma-teria oscura indica un certo tipo (alquan-to esotico) di materia che interagisce so-lo mediante la sua forza di gravità. Cioènon può esser visto con alcun telescopio!E tanto per capirci non stiamo parlando diqualche chilogrammo di massa, né tantomeno di una stella o al limite una galas-sia, stiamo dicendo che il 90 % della ma-teria del cosmo è materia oscura! Pos-siamo vedere il 10 % di ciò che ci circon-da! Beh, effettivamente alquanto bizzarroed imbarazzante per la scienza moderna.Ovviamente anche in questo caso le no-stre idee sono molto vaghe, ma (forse) ri-spetto all’energia oscura siamo un po’ più

vicini alla verità. Infatti, utlizzando sia unsistema di telescopi a terra che diversi sa-telliti spaziali (come Chandra e Hubble),gli studiosi hanno dichiarato di aver osser-vato in una collisione fra galassie (nell’am-masso 1E0657-56, anche noto come “am-masso proiettile”) la maggiore forza gravi-tazionale in un’area relativamente sgom-bra di materia visibile (... ma questa èdavvero un’ altra storia).

Allora, riassumendo, finora abbiamoavuto a che fare con la gravità, l’abbia-mo studiata e modellata e poi abbiamoprovato a vedere cosa ci aspettavamodal nostro universo. Abbiamo visto che siain termini di energia che di materia le cosenon tornavano e siamo pertanto ricorsi al-le cose “oscure”. In altre parole l’universocontiene una grande quantità di materiae di energia non direttamente osservabili,ma percebili solo tramite la loro influenzagravitazionale. Ovviamente le oscurità dicui ti sto parlando sono intimamente lega-te! Perché? Beh, la celebre equazione diEinstein E = mc2 è sufficiente a dirci che ra-gionare in termini di materia o di energiaè esattamente equivalente.

Distribuzione stimata di materia ordinaria ed oscura nelnostro universo. Solo il 4 % di tutta la materia del cosmoè fatta di atomi come noi.

Ma c’è un’ultima cosa di cui ti voglioparlare e che forse più delle altre deno-ta che le strutture a grande scala del co-smo hanno ancora tanto da nascondere.Anche assumendo l’esistenza della ma-teria e dell’energia oscura alcuni oggettidell’universo, si muovono in modo decisa-mente bizzarro. A circa 2,5 miliardi di anniluce da noi, infatti, c’è un gruppo di ga-

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lassie che si muove lungo la linea di vistache ci unisce all’ammasso di galassie no-to come Idra-Centauro. E questo da do-ve esce? Non è un moto ed una velo-cità (circa 900 km/s!) spiegabile con ladistribuzione di materia a noi nota, quin-di è stata (ovviamente) chiamata “FlussoOscuro”. Qui non sappiamo (ancora) chepesci prendere e per spiegarlo è neces-sario ricorrere a strutture che sono ben aldi la di tutto ciò che noi possiamo vedere(l’universo osservabile), ma che nonostan-te ciò esercitano una influenza significati-va sulla materia che ci circonda. Il flussooscuro è controverso, data la difficoltà ela delicatezza di questo genere di osser-

vazioni. Ci sono molti scettici che pensa-no addirittura che tale moto non sia realema sia solo il frutto di errori statistici nelleosservazioni. Basti pensare che tutti i datiche abbiamo a disposizione non sono suf-ficienti neanche a capire se tale flusso sistia allontanando o avvicinando rispettoa noi!

Ora che abbiamo un’idea di quantecose oscure ci sono ancora nel nostro uni-verso sembra un po’ più legittimo starecon il naso all’insù e gli occhi dietro un te-lescopio, o spingersi sempre al limite perrealizzare missioni spaziali sempre più sofi-sticate, pur di cercar di far un po’ di lucesu tutta questa oscurità.

Pierpaolo Pergola

LA FORZA DI GRAVITÀ

Spesso grandi idee scientifiche (e non)prendono inizio da piccoli dettagli dellavita quotidiana.

Si racconta che un pomeriggio del XVIIsecolo Isaac Newton notò una mela ca-dere dall’albero del suo giardino e di con-seguenza nella sua mente nacquero ledomande che lo portarono a sviluppa-re la teoria della gravitazione universale.“Perché è caduta verso il basso? Nonpoteva muoversi verso l’alto o di lato?”

Ovviamente, la responsabile del feno-meno è la forza di gravità, che oltre adattrarre la mela e noi stessi verso la Terra,

regola anche il moto dei pianeti intornoal Sole e in generale di tutti i corpi dota-ti di massa. Vi ricordate cosa si intendeper massa? Si può dire che rappresen-ta la quantità di materia contenuta in uncorpo, ma più precisamente è una misuradella sua inerzia, cioè di quanto sia diffici-le cambiare lo stato di quiete o di motorettilineo uniforme del corpo in questione.

Cosa succede tra due corpi dotati dimassa quando interagiscono tra loro? Siattraggono con una forza direttamenteproporzionale al prodotto delle loro massee inversamente proporzionale al quadra-to della loro distanza reciproca. In terminimatematici, questa forza si scrive come:

F = Gm1m2

d2,

dove G si chiama costante di gravitazioneuniversale.

Ora, supponendo che la massa del-la mela sia m1 e quella della Terra m2,e utilizzando il secondo principio delladinamica:

F = m1a1 ,

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dove a1 è l’accelerazione di cui risente m1

a causa della forza F, troviamo:

Gm1m2

d2= m1a1 ,

cioèa1 = G

m2

d2.

Allo stesso modo si trova:

a2 = Gm1

d2,

e dunque la mela accelera verso la Terra,ma anche la Terra accelera verso la me-la, ma in misura molto minore dal momen-to che la massa della Terra è infinitamentemaggiore!

Inoltre, più i due corpi sono vicini, piùsaranno attratti l’uno dall’altro: se la me-la si trovasse nello spazio insieme ai satelli-ti artificiali, l’attrazione che sentirebbe sa-rebbe molto minore e non cadrebbe sullaTerra, ma le ruoterebbe intorno.

In generale, per un corpo qualsiasi sul-la superficie della Terra si assume d = Rdove R è il raggio della Terra e si chiamaaccelerazione di gravità:

g = GmTerra

R2≈ 9.78

m

s2.

Questa formula ha due importanti conse-guenze: innanzitutto una piuma e un pal-la da bowling a una stessa altezza fissa-ta cadono sulla Terra con la stessa velo-cità, a noi ci sembra di no a causa dieffetti ulteriori dovuti soprattutto alla re-sistenza dell’aria. Sapreste esprimere iltempo di caduta di questi due oggettimatematicamente?

In secondo luogo, quello che noi de-notiamo come peso (Ottavio pesa 50 kg)è più correttamente una forza peso, cioè

P = mg e come tale dovrebbe essere de-finita in N (unità di misura della forza) enon in kg. L’equivoco nasce da comefunzionano le comuni bilance.

Nella tabella riportiamo i valori che g

assume su altri corpi importanti del Siste-ma Solare, come cambia il nostro peso seci spostiamo per esempio su Marte, orache sappiamo che la massa è una pro-prietà intrinseca del nostro corpo e cometale non varia?

CORPO CELESTE g (m/s2)Mercurio 3.70Venere 8.87Marte 3.69Giove 23.12

Saturno 8.96Urano 8.69

Nettuno 11.15Plutone 0.58

Sole 274.00Luna 1.62

Come ultimo commento, una piccolanota storica. Già Keplero e Galileo aveva-no ipotizzato lo stesso concetto, ma unaformulazione completa per la teoria dellagravitazione universale la si deve a New-ton. Keplero formulò le famose tre leggi(che approfondiremo in futuro) basandosisolo su risultati sperimentali (osservazioni altelescopio) e pensando al Sole come un“punto magico” intorno a cui i pianeti ruo-tavano: ancora non sapeva che in quan-to dotata di massa la nostra stella esercitaappunto la forza di attrazione gravitazio-nale. Galileo c’era arrivato molto più vici-no, soprattutto con i suoi studi sulla cadu-ta dei gravi, ma non aveva intuito che leleggi da lui formulate avevano carattereuniversale.

Elisa Maria Alessi

PERCHÉ IL CIELO È NERO?

Vi siete mai chiesti come é possibileche il cielo notturno sia buio nonostante

l’infinità (o quasi) di stelle presenti nell’u-niverso? Quella che potrebbe sembrare

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una domanda banale (si direbbe facile,non c’è il sole) in realtà non lo è.

La domanda prende il nome di para-dosso di Olbers, l’astronomo che la ripro-pose (l’origine è in realtà attribuita a Ke-plero, già nei primi anni del XVII secolo) esi basa su tre presupposti:

1. l’universo ha estensione infinita;

2. l’universo esiste immutabile da untempo infinito;

3. l’universo è omogeneo ed isotro-po nello spazio (ossia le stelle sonodisposte in modo uniforme).

La validità di queste ipotesi può certa-mente essere messa in discussione, ma nediscuteremo più tardi: per ora limitiamocia esaminare il quesito.

La ragione apparentemente più ovviaper cui il cielo dovrebbe apparire nero èche le stelle più lontane paiono meno lu-minose. E questo è verissimo: l’intensità lu-minosa che osserviamo decresce con l’in-verso del quadrato della distanza tra lastella e noi.

Consideriamo d’altra parte quantestelle sono presenti (in media) alla distan-za corrispondente. La superficie della sfe-ra di raggio r concentrica alla terra è pro-porzionale al quadrato del raggio, ossiadella distanza dalla terra: 4πd2. Poiché ab-biamo assunto l’universo isotropo la densi-tà di stelle su questa superficie è costan-te (indichiamola con D), ed il loro numerocresce con il quadrato della distanza.

L’intensità luminosa decresce con il quadrato della di-stanza. I contributi alla luminosità totale sembranodiventare velocemente trascurabili.

In questo modo è facile mostrare che l’in-tensità luminosa I prodotta dalle stelle sitesulla superficie sferica a distanza d osser-vata è indipendente dalla distanza dal-la terra, infatti è data dall’intensità lumi-nosa (media) I0 di ogni stella diviso per ilquadrato della distanza e moltiplicato pernumero di stelle 4πd2D:

I(d) =I0d2· 4πd2D = 4πDI0.

Il numero di stelle in nella porzione di cielo definita da undeterminato angolo solido cresce con l’area, ossia conil quadrato del raggio.

Ma attenzione, questo è solamente il con-tributo dato dalle stelle a distanza d: poi-chè l’intensità luminosa osservata è lasomma di tutte le stelle si dovrebbe avereun’intensità infinita! Se anche trascurassi-mo l’ipotesi di estensione infinita dell’uni-verso, la luminosità sarebbe data da unasomma di contributi paragonabili a quellidel sole, che illuminerebbero la notte.

Considerando il contributo di stelle sempre più distan-ti, questa è l’immagine di cielo che ci potremmoaspettare.

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Sono state proposte differenti soluzionial paradosso, ma ci limiteremo a descri-vere quella data dall’unione della teoriadel Big Bang (la più comune teoria chedescrive formazione dell’universo) con larelatività ristretta.

Secondo la teoria del Big Bang l’uni-verso era inizialmente concentrato in unapiccolissima regione di spazio, e successi-vamente si è espanso con una espansio-ne che dura tutt’oggi. Dal nostro puntodi vista le galassie appaiono allontanar-si con velocità proporzionale alla distanza(cade quindi il presupposto di immutabili-tà dell’universo). A questo punto entra ingioco la teoria della relatività: tra le ipo-tesi su cui si basa vi è un limite alla velo-cità della luce (solitamente indicata conc). Questo comporta alcuni effetti moltoparticolari, tra cui il redshift o spostamen-to verso il rosso. Per descriverlo consideria-mo l’analogo sonoro: quando sentiamo ilfischio di un treno o la sirena di un’ambu-lanza in avvicinamento il suono risulta piùacuto (ossia con una frequenza maggio-re) dello stesso fischio nel caso il treno siallontani: questo fenomeno è noto come

effetto doppler. La luce subisce un effettoanalogo: la frequenza (il colore, per inten-derci) di una sorgente luminosa in allonta-namento risulta più bassa, ossia spostataverso il rosso, ed energia minore.

Una sorgente emette onde luminose spostandosi da si-nistra verso destra: chi la osserva avvicinarsi percepi-rà una frequenza luminosa maggiore, ossia un colorespostato verso le tonalità di blu, mentre chi la ossevaallontanarsi vedrà i colori spostati verso il rosso.

Questa è una delle possibili spiegazionidel buio notturno: l’intensità osservata de-cresce molto più rapidamente di quantoipotizzato nel paradosso.

Sono possibili anche altre spiegazio-ni, ma richiedono ipotesi alternative chesono dal punto di vista fisico menonaturali.

Michele Brambilla

LA MATEMATICA E IL MATRIMONIO

In un villaggio ci sono 10 donzelle in etàda marito e altrettanti baldi giovani pron-ti al matrimonio. Si è deciso di renderetutti contenti e non lasciare nessuno dasolo, in modo che tutti possano avere uncompagno con cui passare il resto dellavita, ma il vecchio sindaco, stanco dei nu-merosi scandali accaduti negli ultimi mesi,che hanno fatto molto mormorare i paesivicini, vorrebbe evitare ogni futura formadi tradimento.

Sfortunatamente, i 20 giovani non han-no ancora scelto il compagno/a della vi-ta, ma hanno delle preferenze sulla per-sona con cui vorrebbero sposarsi e su tut-te le successive scelte nel caso non siano

contraccambiati. Supponiamo, per sem-plicità, che pur di non rimanere da soli ac-cettino di sposare anche la persona dacui sono meno attratti e che siano in gra-do di stilare un elenco ordinato di tutti gliappartenenti al sesso opposto in ordinedecrescente di preferenza. Il problema èche più di una ragazza è innamorata del-lo stesso giovane, che è particolarmentesimpatico e affascinante, così come nontutte le ragazze riscuotono lo stesso suc-cesso! Il giorno del matrimonio è stato fis-sato per l’anno prossimo, ma dopo i primigiorni di furiose liti tra ragazze gelose e ar-roganti giovani troppo convinti della pro-pria bellezza, il sindaco capisce che mai

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si giungerà ad una soluzione del problemasenza il suo intervento. Decide quindi di ri-solvere la situazione nel seguente modo:il primo giorno annuncia pubblicamentenella piazza del villaggio che tutti i ragazzidovranno recarsi dalla loro fanciulla pre-ferita; le ragazze che saranno tanto fortu-nate da avere più di un pretendente po-tranno scegliere il loro favorito, quelle conun solo spasimante dovranno accoglierlonella propria casa, quelle rimaste da soledovranno attendere.

Il secondo giorno tutti i ragazzi che nonsono stati scelti dovranno recarsi dalla lo-ro seconda preferita e di nuovo le ragaz-ze potranno scegliere tra i vari pretenden-ti, eventualmente anche mandando via ilragazzo scelto il giorno precedente, se al-meno uno dei nuovi pretendenti è mag-giormente di loro gradimento. Il proce-dimento si ripete fino a che tutti i ragazziverranno accolti da una ragazza.

Perché, in questo modo, dovrebberoessere tutti soddisfatti? La risposta è sem-

plice: prima di tutto in un numero finito digiorni tutti i ragazzi avranno trovato mo-glie e tutte le ragazze marito, inoltre il sin-daco avrà evitato il rischio di tradimenti econseguenti scandali! Come è possibile?La risposta è semplice: questo semplicealgoritmo garantisce una soluzione stabi-le del problema e la stabilità si può rias-sumere con poche parole. Nel caso, peresempio, un ragazzo, ormai sposato, deci-desse di invitare a cena una ragazza chein origine, nel suo personale ordine inizia-le, occupava una posizione migliore dellasua attuale moglie, questa non accetteràmai, poichè il suo attuale marito, anchese non fosse il preferito, sarà comunque inuna posizione migliore del possibile aman-te. Analogamente, se una giovane spo-sa decidesse di ammaliare un altro ragaz-zo, questo non avrebbe alcun interessea scappare con lei, perché preferirebbecomunque l’attuale mogliettina.

E nel villaggio vissero tutti felici econtenti!

Michela Chessa

CHIEDI ALLA GA’RUBRICA DI AIUTO AGLI STUDENTI

- EQUAZIONI LOGARITMICHE -

Nelle mie varie attività di insegnante,in classe e non, spesso mi sono ritrovataad aiutare ragazzi che hanno litigato conla matematica fin dalle elementari e cheproprio non ne vogliono sapere di fare pa-ce con questa materia. Fino a quandonon arrivano esponenziali e logaritmi. Du-rante questi ultimi anni ho sviluppato del-le piccole tecniche di sopravvivenza perevitare che le lacune accumulate impe-discano di arrivare alla tanto desideratasufficienza. Quando racconto questi truc-chetti a coloro che con la matematicasono sempre andati d’accordo mi sentoprendere in giro come se avessi scoper-to l’acqua calda... e in effetti è così, visto per raccontare delle piccole banalità.

Ma non potete immaginare quante voltemi sono sentita dire dai ragazzi “ma per-ché il mio professore non ce le dice questecose?!”.

Innanzitutto il punto di partenza: per ri-solvere un’equazione logaritmica sarà ne-cessario avere un log a primo membro euno al secondo membro, con la stessabase e senza nessun numero né segnomeno davanti. Cioè stiamo cercando diarrivare a

log(...) = log(...)

per poi poter togliere i logaritmi egua-gliando i due argomenti.

• TRUCCO N.1: IL MENO

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Indicando con Log il logaritmo in base 10,consideriamo l’equazione

Log(x+ 5)− Log(x− 5) = Log(2) .

Dopo aver determinato che le condizio-ni di esistenza ci danno come ammissibi-li le x > 5, ci apprestiamo ad utilizzare leproprietà dei logaritmi. Sappiamo che

log(a)− log(b) = log (a/b)

e quindi otteniamo

Log

(x+ 5

x− 5

)= Log(2)

con la conseguente equazione fraziona-ria, che qui non risolviamo,

x+ 5

x− 5= 2 .

Ora ripartiamo dall’inizio e prima di utiliz-zare le proprietà dei logaritmi spostiamoa secondo membro il logaritmo di segnonegativo, cioè

Log(x+ 5) = Log(x− 5) + Log(2) .

La proprietà da utilizzare è ora

log(a) + log(b) = log (ab)

con la conseguente equazione intera

x+ 5 = 2(x− 5) .

Considerate le C.E. scritte prima, le dueequazioni sono equivalenti, quindi è indif-ferente risolvere l’esercizio nel primo o nelsecondo modo, ma sapendo per espe-rienza come reagiscono alcuni studentidavanti alle equazioni frazionarie...

• TRUCCO N.2: FRAZIONI

Consideriamo l’equazione

1

3Log(x) = 2Log(2)

di dominio x > 0. Conoscendo laproprietà

n · log(x) = log(xn)

possiamo scrivere

Log(x

13

)= Log

(22)

e quindix

13 = 22 ,

cioè3√x = 4 .

Bene, oltre ai logaritmi ci mancavano pu-re i radicali!!Proviamo un modo alternativo: primadi applicare la proprietà, facciamo ildenominatore comune tra i due membri

1

3Log(x) =

6Log(2)

3

da cui otteniamo

Log(x) = 6Log(2)

e infineLog(x) = Log(26) .

E la soluzione è servita.

Gabriella Pina

PAUSA CAFFÈRUBRICA DI ENIGMI E GIOCHI MATEMATICI

- GLI STUDENTI ALLA FESTA -

Tre studenti hanno preso il massimo dei vo-ti in chimica per tutto il semestre. La se-ra prima dell’esame finale vanno ad una

festa in un altro Stato, e tornano quan-do l’esame è già finito. Si giustificano conil professore dicendo di aver bucato unagomma, e chiedono il permesso di potersostenere l’esame.

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Il professore accetta, ma li manda intre aule separate. L’esame consiste di duedomande, scritte su due lati del foglio, dasvolgere necessariamente secondo l’ordi-ne indicato. La prima domanda, alla qua-le gli studenti rispondono correttamente,vale 5 punti. Quando girano il foglio trova-

no la seconda domanda, che vale ben 95punti: “Quale delle quattro gomme avetebucato?”.

Qual è la probabilità che gli studentirispondano allo stesso modo?

Michele Brambilla

- TARTINE ZOLA E NOCI -Immaginate di trovarvi ad un quiz televisi-vo. Davanti a voi ci sono tre porte e dietroad ogni porta un possibile premio. Dietroa due delle tre porte il premio è una tar-tina gongorzola e noci, mentre dietro larimanente una Maserati.

Il gioco funziona così: voi scegliete unaporta, dopodichè il presentatore rivela

una delle due porte con la tartina e vilascia la possibilità di cambiare la vostrascelta.

Ipotizzando che preferiate vincere laMaserati rispetto alla rimanente tartina algongorzola e noci, vi conviene restaresulla vostra scelta iniziale o cambiare?

Michele Brambilla

- LA DIVISIONE DEL RESTO -

Tre amici al bar, al momento di pagare ilconto, mettono ognuno 10 euro; il came-riere prende i 30 euro e dopo un po’ tornacon 5 euro di resto.

I tre decidono di riprendersi 1 eurociascuno e di lasciare 2 euro di mancia.

A questo punto però la situazione èla seguente: ciascuno ha messo 9 euro;questa cifra moltiplicata per 3 fa 27 e som-mata ai 2 euro di mancia fa 29 e non 30.Com’è possibile?

Marco Sansottera

RECENSIONISCELTI DA NOI

- “PERLE AI PORCI” -

Il conto alla rovescia è agli sgoccio-li e a tirare un sospiro di sollievo non so-no solo gli studenti. Dopo un anno disopravvivenza in mezzo agli adolescenti,arriva anche per gli insegnanti il momen-to di tirare il fiato: quale periodo miglio-re per leggere “Perle ai porci” di Gian-marco Perboni?! Questo è lo pseudoni-

mo utilizzato da un professore di ingle-se e tedesco con esperienza ventenna-le nella scuola, che ha scritto un libro ilcui sottotitolo ne spiega chiaramente ilcontenuto: “Diario di un anno in catte-dra. Da carogna”. L’ironia con cui Per-boni descrive la situazione della scuola inItalia è evidente, se qualcuno avesse deidubbi, nell’epilogo del libro, ma nel blog

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http://profperboni.blogspot.com/ com-paiono comunque post che criticano ladurezza dell’autore nei confronti della mis-sione dell’insegnamento. Eppure Perbonidescrive, con un’ottima dose dell’ironiagià citata sopra, situazioni reali: sono in-numerevoli le volte in cui quest’anno misono sentita ripetere le parole “sindromeda burnout”, counselling, competenze einterdisciplinarietà. Finalmente qualcunoè riuscito a usarle per strapparmi una ri-sata! Parlando di comicità, però, il branodel libro che mi ha davvero fatto ridere di

gusto è quello in cui vengono trascritte levarie traduzioni dei ragazzi dello slogan-tormentone di qualche anno fa “Life isNow”. Non riesco a tenerlo per me e vianticipo che è stata tirata in ballo anchela neve... Ma non fraintendetemi, questolibro non è uno stupidario degli studenti,rappresenta un modo intelligente per mo-strare cosa non funziona nella vita di tutti igiorni di un insegnante: la troppa burocra-zia, la minaccia dei ricorsi in tribunale, glistipendi bassi e il precariato a vita. Giustoper citarne alcuni.

Gabriella Pina

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