1.1 Concepto de estado “sólido” , 131.2 Celdas unitarias y redes de Bravais, 141.3 Algunas estructuras cristalinas simples, 181.4 Planos cristalinos e índices de Miller, 231.5 Espaciamiento de los planos en las

redes cristalinas, 251.6 Clasificación general de los

cristales, 27

Capítulo 2 Análisis cristalográfico con rayos x

2.1 Introducción, 312.2 Física de la difracción de los rayos X: las

ecuaciones de Von Laue, 342.3 Factor de dispersión atómica, 372.4 Factor geométrico de la estructura, 402.5 La red recíproca, 432.6 La condición de Bragg en función de la red

recíproca, 47

Capítulo 3 Dinámica de las redes cristalinas

3.1 Vibraciones elásticas de medios continuos, 513.2 Velocidad de grupo de trenes de ondas

armónicas, 533.3 Movimiento ondulatorio en redes atómicas

unidimensionales, 553.4 Estructuras diatómicas unidimensionales, 623.5 Región de frecuencia prohibida, 653.6 Excitación óptica de vibraciones reticulares

en cristales iónicos, 673.7 Energía de enlace de estructuras cristalinas

iónicas, 69

Capítulo 1 Redes cristalinas y tipos de cristales

Contenido 8

Capitulo 4 Mecánica cuántica, generalidades

4.1 Introducción, 794.2 Radiación del cuerpo negro, 794.3 Efecto fotoeléctrico, 814.4 Calor específico de los sólidos, 834.5 El átom o de Bohr, 844.6 La hipótesis de De Broglie y las propiedades

ondulatorias de la m ateria, 874.7 Mecánica ondulatoria, 874.8 Dependencia del tiem po de la función de onda, 914.9 La partícula libre y el principio de

incertidumbre, 944.10 Una partícula en un pozo de potencial

unidimensional e infinitam ente profundo, 1004.11 Una partícula en un pozo unidimensional

de profundidad finita, 1034.12 El oscilador armónico unidimensional, 1114.13 Oetogonalidad de las funciones propias y

la superposición de estados, 1194.14 Valores esperados y números cuánticos, 1234.15 El átom o de hidrógeno, 1284.16 El espín electrónico, el principio de

exclusión de Pauli y el sistema periódico, 141

Capítulo 5 Mecánica estadística, generalidades5.1 Introducción, 1475.2 La función de distribución y la densidad

de los estados, 1485.3 La distribución Maxwell-Boltzmann, 1535.4 La estadística de Maxwell-Boltzmann para

un gas ideal, 1615.5 Estadística de Fermi-Dirac, 1685.6 La distribución Bose-Einstein, 176

Capítulo 6 Vibraciones reticulares y propiedades térmicas de los cristales

6.1 Cálculos clásicos del calor específicoreticular, 181

6.2 Teoría de Einstein sobre el calor específico, 1836.3 Teoría de Debye sobre el calor específico, 1866.4 El fonón, 1926.5 Expansión térm ica de los sólidos, 1936.6 Conductividad térm ica reticular de los sólidos, 195

Contenido 9

Capítulo 7 Teoría del electrón libre de los metales

7.1 Introducción, 2037.2 La ecuación de Boltzmann y la trayectoria libre media, 2047.3 Conductividad eléctrica de un gas de electrones libres, 2097.4 Conductividad térm ica y efectos term oeléctricos en

sistemas de electrones libres, 2157.5 Procesos de dispersión, 2197.6 El efecto de Hall y otros efectos galvanomagnéticos, 2227.7 Capacidad térm ica de sistemas de electrones libres, 225

Capítulo 8 Teoría cuántica de los electrones en redes periódicas

8.1 Introducción, 2318.2 El teorem a de Bloch, 2328.3 El modelo de Kronig-Penney de un cristal infinito

unidimensional, 2358.4 Cantidad de movimiento del cristal y masa efectiva, 2408.5 Representación de zona reducida; electrones y huecos, 2438.6 La aproximación del electrón libre, 2488.7 La aproximación del enlace firme, 2558.8 Dinámica del electrón en estructuras bidimensionales

y tridimensionales; superficies de energía constante y zonas de Brillouin, 260

8.9 Aisladores, semiconductores y metales, 2698.10 Densidad de la función de estados y cambios de fase en

aleaciones binarias, 273

Capítulo 9 Semiconductores electrónicos uniformes en equilibrio 281

9.1 Semiconductores, 2819.2 Semiconductores intrínsecos y semiconductores

con impurezas, 2849.3 Estadística de huecos y electrones— El caso del

sem iconductor intrínseco, 2889.4 Energía de ionización de centros de impurezas, 2929.5 Estadísticas de los semiconductores con impurezas, 2959.6 El caso de la ionización incom pleta de niveles de impureza

(Tem peratura m uy baja), 3009.7 Conductividad, 3029.8 El efecto de Hall y la magnetorresistencia, 3069.9 Resonancia de ciclotrón y superficies elipsoidales

de energía, 3169.10 Densidad de estados, conductividad y efecto de Hall con

superficies complejas de energía, 3279.11 Mecanismos de dispersión y movilidad de los portadores

de carga, 335

203

Contenido 10

10.1 Introducción, 34710.2 Com portam iento de transporte de los portadores excedentes; las

ecuaciones de continuidad, 34810.3 Algunas soluciones particulares de la ecuación de

continuidad, 36110.4 Movilidad de arrastre y el experim ento de Haynes-Shockley, 37110.5 Recom binación superficial y condiciones de frontera

superficiales, 37410.6 Fotoconductividad de estado estacionario, 37910.7 Fotoconductividad transitoria; tiem po de vida de los

portadores en excedentes, 38310.8 Mecanismos de recom binación; la teoría de recombinación

de Shockley-Read, 390

Capítulo 11 Tecnología de materiales y medición de propiedades >E 401 volumétricas

11.1 Preparación de los materiales semiconductores de altogrado de pureza, 401

11.2 Crecimiento de muestras monocristalinas, 40711.3 Medición de la resistividad volumétrica, 40911.4 Medición del contenido de impurezas y la movilidad mediante

el efecto de Hall, 41111.5 Medición del tiem po de vida de los portadores excedentes, 41211.6 Dislocaciones y otras imperfecciones, 413

Capítulo 12 Teoría de las uniones p-n de los semiconductores 421

12.1 La unión p-n, 42112.2 El potencial de contacto interno de equilibrio, 42412.3 Potenciales y campos en las cercanías de una unión p-n, 42612.4 Modelo m atem ático simplificado de la unión p-n abrupta, 42912.5 Capacitancia de unión; determ inación del potencial interno, 435

m

Capítulo 13 Rectificadores de unión p-n y transistores 439

13.1 Teoría del rectificador de unión p-n, 43913.2 Corrientes y campos en los rectificadores de unión p-n, 44713.3 Rectificadores de unión de tam año finito; efectos de

superficies y terminales óhmicas, 45213.4 Mecanismos físicos de ruptura en las uniones p-n, 45613.5 Técnicas de fabricación de la unión p-n, 46013.6 Transistores de unión p:n-p- y n-p-n, 460

Capítulo 10 Exceso de portadores en semiconductores 347

Contenido 11

Capítulo 14 Uniones p-n a niveles altos de com ente; 479 el rectificare p-i-n,

14.1 Uniones p-n a densidades altas de corriente, 47914.2 El análisis del rectificador p+—i—n+ a niveles

altos de corriente, 48114.3 Rectificadores p—i—n; la caída de voltaje en sentido directo

como una función de la tem peratura, 490

Capítulo 15 Otros dispositivos semiconductores, 495

15.1 El efecto fotovoltaico p-n y las celdas fotovoltaicas deunión p-n, 495

15.2 Otros dispositivos sensibles a la luz; fototransistores, detectoresde partículas y detectores infrarrojos, 502

15.3 Rectificadores controlados p-n-p-n, 50315.4 Diodos túnel, 50615.5 Transistores de efecto de campo o unipolares, 509

CAPITULO 16 CONTACTOS METAL-SEMICONDUCTOR Y SUPERFICIES DE SEMICONDUCTORES, 513

Contactos m etal-sem iconductor en equilibrio, 513 Rectificación por contacto metal-sem iconductor, 517 Estados superficiales y rectificación independiente de las

funciones de trabajo, 520 Potencial, campo y carga en la capa superficial de un

semiconductor, 524 Conductividad superficial, efecto de campo y movilidad

superficial; propiedades de superficies de semiconductores reales, 531

Apéndice a la función & dirac 535

Apéndice b análisis tensorial 537

Indice de nombres 541

Indice de temas 543

16.116.216.3

16.4

16.5

* v

t

CAPITULO

Redes cristalinas y tipos de cristales

1.1 CONCEPTO DE ESTADO “SOLIDO”

Desde un punto de vista general, el término sólido se aplica a substancias elásticas rígidas, es decir, a substancias que tienen un comportamiento elástico no sólo cuando se les somete a fuerzas hidrostáticas, sino también a esfuerzos de ten­sión y cortantes. Por supuesto, existen algunos materiales cuyo comportamiento es tanto elástico como plástico o viscoso, de modo que esta clasificación no es del todo rigurosa. No obstante, se adoptará como criterio de lo que es una substancia sólida, reconociendo que existe un tipo de substancias que, al mismo tiempo, se comporta como sólido y como fluido.

Los materiales que se pueden considerar como sólidos de acuerdo con esta definición, se dividen en dos categorías: los amorfos y los cristalinos. Entre las substancias amorfas, los átomos o moléculas pueden estar enlazados con bastante firmeza entre sí; pero poseen poca o ninguna regularidad o periodicidad geométrica, en la forma en que los átomos están dispuestos o acomodados en el espacio. Estas substancias son casi siempre viscoelásticas y se pueden considerar como líquidos sobreenfriados. En la figura 1.1 se muestra una representación bidimensional de un material amorfo.

* o 0*0• o ** o o o • o *9 o o o • o ** o o o • o ** o o o • o ** o o o • o *9 o o o • o *

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• • • • eCristalino Amorfo

Figura 1.1. Representación esquemática en dos dimensiones, que muestra la diferencia existente entre el arreglo atómico de un sólido cristalino y otro amorfo.

13

Por otro lado, las substancias cristalinas se caracterizan por una periodicidad perfecta (o casi perfecta) en su estructura atómica; esta regularidad de estructura proporciona un cuadro conceptual muy simple de un cristal y facilita la tarea de comprender y calcular sus propiedades físicas. Por esta razón, los sólidos cristalinos se comprenden mejor físicamente que los sólidos y líquidos amorfos. En este libro, el tema se restringirá principalmente a un estudio de las propiedades físicas de los sólidos cristalinos perfectos o casi perfectos. En algunas ocasiones, la presencia de un número relativamente pequeño de imperfecciones tales como átomos de impurezas, vacíos en la red o dislocaciones, en un cristal periódico que sería perfecto a no ser por esta circunstancia, puede producir cambios notables en el comportamiento físico del material. Esta obra se ocupará también de ellos según la importancia que revistan dichos efectos.

Por último, es necesario comprender que las muestras macroscópicas de sólidos cristalinos tales como metales, cerámicas, sales iónicas, etc., no siempre se componen de un solo cristal, sino que a menudo están formados por un conjunto o conglo­merado de pequeñas unidades de cristal —cada una con diferente orientación de cristal— separadas entre sí por “fronteras o límites de grano” que se pueden consi- , derar como regiones definidas de rupturas y dislocaciones reticulares muy grandes. Principalmente se tratarán las propiedades de diferentes tipos de cristales individuales; pero se intentará comprender la naturaleza de las fronteras o límites de granos y señalar las principales formas en que pueden influir en las propiedades físicas de las muestras cristalinas macroscópicas.

14 Redes cristalinas y tipos de cristales

1.2 CELDAS UNITARIAS Y REDES DE BRAVAIS

En la figura 1.2 se describe la estructura reticular de un cristal bidimensional que se utilizará como ejemplo para explicar ciertos términos cristalográficos funda­mentales. En relación con esta figura, se puede seleccionar el paralelogramo ABCD como una celda unitaria de dicha estructura reticular o red, la cual está determinada por los vectores base a y b. Todas las traslaciones del paralelogramo ABCD mediante múltiplos enteros de los vectores a y b a lo largo de las direcciones a y b, darán como resultado su traslación a una región del cristal exactamente igual a la original. Así pues, todo el cristal se puede reproducir sencillamente si se reproduce la super-

Figu?" 1.2. Celdas unitarias y vectores base en una estructura reticular bidimensional.

Celdas unitarias y redes de Bravais 15

ficie ABCD que se traslada sobre las direcciones a y b mediante todas las combina­ciones posibles de múltiplos de los vectores base a y b. En otras palabras, cada punto de la red del cristal se puede describir por medio de un vector r tal que

r = /ia + kb, (1.2-1)

en donde h y k son enteros. Evidentemente, este procedimiento se puede ampliar con suma facilidad para determinar celdas unitarias y vectores base en redes crista­linas tridimensionales. Por tanto, se puede llegar a las siguientes definiciones:

Celda unitaria: una región del cristal definida por tres vectores, a, b y c, que al trasladarse por medio de cualquier múltiplo entero de dichos vectores reproduce una región similar del cristal,

Vectores base: conjunto de vectores linealmente independientes a, b, c, que se pueden usar para definir una celda unitaria,

Celda unitaria primitiva: la celda unitaria más pequeña (en volumen) que se puede definir para una red dada,

Vectores base primitivos: conjunto de vectores linealmente independientes que definen una celda unitaria primitiva.

De acuerdo con las anteriores definiciones, en este caso también es evidente que cada punto reticular de una red cristalina tridimensional se puede describir mediante un vector de la forma

r - h& + kb + le (h, k, l enteros) (1.2-2)

Conviene observar que la celda unitaria se puede definir de varias maneras, poi ejemplo, A'B'C ’D ' y A"B"C "D” son otras posibilidades que describen la celda uni­taria ilustrada en la figura 1.2. Estas tres celdas unitarias son de tipo primitivo para esta red y, por ende, existe una ambigüedad correspondiente en la selección de un conjunto de vectores base primitivos. Cualquiera de los vectores (a, b) o (a', b ') podría servir de igual manera. La celda de mayor tamaño EFGH de la misma figura es un ejemplo de una celda unitaria que no es primitiva.

Se puede demostrar que existen 14 formas de acomodar los puntos en las redes cristalinas, de tal modo que todos los puntos de dichas redes tengan exacta­mente el mismo medio circundante. Estas estructuras reticulares conocidas como redes de Bravais se ilustran en la figura 1.3. En el caso de una de estas redes, un observador que ve el cristal desde uno de los puntos de la red, vería exactamente la misma disposición o arreglo de los puntos circundantes de la red, sea cual fuere el punto que haya seleccionado para observar. A primera vista podría parecer que puede existir otra red de Bravais; por ejemplo, en las 14 redes de Bravais de la figura 1.3 no se incluye un arreglo tetragonal centrado en la cara. La razón de ello es que esta estructura tetragonal centrada en la cara equivale a una red tetragonal_ centrada en el cuerpo, en la que el lado de la base de la celda unitaria es l¡\/2 veces su valor correspondiente a la disposición centrada en la cara. La demostración de este postulado, y la pregunta acerca de por qué las estructuras cúbicas centrada en la cara y centrada en el cuerpo son distintas, se le dejan al lector como ejercicio.

Estas 14 redes se pueden agrupar en siete sistemas cristalinos, cada uno de los cuales tiene en común ciertos elementos de simetría característicos. Los elementos de simetría que se han escogido para especificar estos siete sistemas son los si­guientes:

16 Redes cristalinas y tipos de cristales

Cúbica simple Cúbica centrada en la Cúbica centrada en la cara

Tetragonal simple Tetragonal centrada en el cuerpo

Monoclínica Monoclínica Triclínicasimple centrada en la base

Hexagonal

Trigonal

Ortorrómbica Ortorrómbica Ortorrómbica Ortorrómbicasimple centrada en la base centrada en el cuerpo centrada en la cara

Figura 1.3. Las catorce redes de Bravais.

(1) Eje de rotación de orden n: la rotación alrededor de un eje de este tipo a un ángulo de 2tt/n radianes no produce ningún cambio en la estructura reticular. En este caso, n puede tener los valores 1, 2 ,3 ,4 y 6. La simetría rotacional de 5 veces en una red cristalina es imposible.

(2) Plano de simetría: una mitad del cristal reflejada en un [daño semejante que pasa por un punto de la red, reproduce la otra mitad.

Celdas unitarias y redes de Bravais 17

(3) Centro de inversión: un punto de la red alrededor del cual la operación r -* — r (en donde r es un vector a cualquier otro punto de la red) deja a la estructura reticular sin sufrir cambio alguno.

(4) Eje de rotación-inversión: la rotación alrededor de este eje a lit/n radianes {n = 1, 2, 3, 4, 6) seguida de una inversión alrededor de un punto de la red por el que pasa el eje de rotación, no produce ningún cambio en la red.

Existen otras formas posibles de operaciones de simetría; pero se puede demos­trar que todas son equivalentes a combinaciones lineales de estas cuatro. Los siete sistemas cristalinos con sus elementos de simetría representativos y sus características de celda unitaria aparecen en la tabla 1.1. En la figura 1.4 se describe la notación que se emplea para las dimensiones y los ángulos de la celda unitaria.

TABLA 1.1 Los siete sistemas cristalinos

SistemaElemento característico

de simetría*Red de

BravaisCaracterísticas de

la celda unitaria

Triclínico Ninguno Simple a ¥=b jt cO C ^ ß ^ y ^ 9 0 °

Monoclínico Un eje de rotación doble Simple Centrada en

la base

a b =̂= c a = ß = 90° # y

Ortorrómbico Tres ejes de rotación doble mutuamente perpendiculares

Simple Centrada en

la base Centrada en

el cuerpo Centrada en

la cara

a b # ca = ß = y = 90°

Tetragonal Un eje de rotación cuádruple o un eje de rotación-inversión cuádruple

Simple Centrada en

el cuerpo

a = ba. — ß = y = 90°

Cúbico Cuatro ejes de rotación triple (diagonales cúbicas)

Simple Centrada en

el cuerpo Centrada en

la cara

a = b = ca = ß = y = 90°

Hexagonal Un eje de rotación séxtuple Simple a =b =£ c a = 120° ß = y = 90°

Trigonal(Rombohédrico)

Un eje de rotación triple Simple a — b — c a = i3 = y # 9 0 o

*Por supuesto, pueden existir otras propiedades de simetría en casos individuales, aquí se indican sólo los más peculiares de cada sistema cristalino en particular.

18 Redes cristalinas y tipos de cristales

Figura 1.4. Notación de los ángulos y las dimensiones dentro de la celda unitaria.

Conviene recordar que, por lo general, los puntos de la red de una estructura reticular no representan a un solo átomo, sino más bien a un grupo de átomos o molécula. En consecuencia, además de las propiedades de simetría de los puntos reticulares propiamente dichos, se necesita tomar en cuenta las propiedades de sime­tría de las moléculas o grupos de átomos en cada punto reticular alrededor de los puntos de red propiamente dichos, a fin de enumerar totalmente todas las estruc­turas cristalinas posibles. Cuando esto se hace, se descubre que hay 230 patrones repetitivos básicamente diferentes en los que los elementos se pueden acomodar para formar posibles estructuras cristalinas. Las limitaciones de este libro no permiten estudiar y enumerar todas estas posibilidades en detalle. Si el lector desea obtener datos más detallados sobre este tema, convendrá que consulte una de las obras que tratan sobre cristalografía y que se citan al final de este capítulo.

1.3 ALGUNAS ESTRUCTURAS CRISTALINAS SIMPLES

De acuerdo con la figura 1.3, es evidente que existen tres redes cúbicas posi­bles, es decir, la cúbica simple, la cúbica centrada en el cuerpo y la cúbica centrada en la cara. La celda cúbica unitaria que se ilustra en la figura 1.3 como la red cúbica simple, constituye también la celda unitaria primitiva, dado que contiene el mínimo irreductible de un átomo por cada celda. Este resultado se obtiene obser­vando que en la celda cúbica simple se tienen ocho átomos en los ocho vértices de la celda, donde, cada átomo es compartido en la misma forma por ocho celdas unitarias adyacentes a cada vértice. Por tanto, se puede decir que se tienen 8 átomos en las esquinas y que 1/8 de cada uno de éstos pertenece a esta celda en particular, dando un total de un átomo por celda unitaria. La celda cúbica correspondiente a la estructura cúbica centrada en la cara, contiene 8 átomos en los vértices, compartidos por 8 celdas y 6 átomos centrados en la cara, que son compartidos por dos celdas, lo cual da un total de 8(1/8) + 6(1/2), o bien, 4 átomos dentro de la celda cúbica. En la celda cúbica correspondiente a la estructura cúbica centrada en el cuerpo, se tienen 8 átomos en los vértices compartidos por 8 celdas y un átomo central que pertenece exclusivamente a dicha celda, dando un total de 8(1/8)+ 1 ó 2 átomos dentro de la celda cúbica. Para estructuras simples que contienen átomos de un solo tipo, la celda unitaria primitiva contiene casi siempre un solo átomo y, por tanto, se puede llegar a la conclusión de que la celda cúbica centrada en la cara y la centrada en el cuerpo no son primitivas. En efecto, este es el caso; las celdas primitivas para las estructuras cúbica centrada en la cara y cúbica centrada en el cuerpo, se ilustran

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Algunas estructuras cristalinas simples 19

Figura 1.5. Celdas unitarias primitivas de redes cúbicas centrada en la cara y centrada en el cuerpo.

en la figura 1.5. Cada celda primitiva contiene un solo átomo. Como siempre, estas celdas primitivas no son las únicas que se pueden definir, ya que existen muchas opciones posibles de grupos de vectores base primitivos para cualquiera de las estruc­turas.

La celda primitiva para la estructura cúbica centrada en la cara que se ilustra en la figura 1.5 es, obviamente, un caso especial de una estructura trigonal en la que a = (3 = y = 60°. Para este valor particular de a, la estructura trigonal posee una simetría cúbica y se reduce a la red cúbica centrada en la cara. Por supuesto, se puede hacer caso omiso de la celda cúbica de la red cúbica centrada en la cara y considerar que la estructura sea de tipo trigonal con a = 60°, empleando sólo la celda primitiva de la figura 1.5. Sin embargo, casi siempre conviene considerar la mayor celda cúbica como la base del cristal, en lugar de utilizar la celda primitiva, ya que esto permite representar la estructura reticular en un sistema de coordenadas ortogonales (.x, y, z) —el cual es mucho más simple que un sistema oblicuo— y porque la red tiene todas las propiedades de simetría relacionadas con la estructura cúbica simple. En el caso de la estructura cúbica centrada en el cuerpo, por similares consideraciones, se aconseja usar, siempre que sea posible, la mayor celda cúbica como la base del cristal. No obstante, para ciertos fines será absolutamente necesario emplear la celda primitiva; pero estos casos especiales se señalarán cuando surjan.

Cuando se tienen esferas iguales dentro de un recipiente, el empaquetamiento más cerrado o compacto que se puede lograr es tener una capa en la base en la que cada esfera está rodeada por otras seis adyacentes, con capas exactamente iguales encima de ella, útilizando los intersticios triangulares entre las esferas de la capa inferior para acomodar las que se van agregando en la capa inmediatamente superior. Es obvio que en un arreglo de empaquetamiento compacto cada esfera sólo tiene 12 vecinas adyacentes, seis que la rodean en la misma capa, 3 en la superior y 3 en la inferior. Cualquier estructura que tiene un empaquetamiento compacto en este sen­tido, se caracteriza por la propiedad de que cada átomo tiene 12 vecinos adyacentes y, por lo contrario, no hay otra estructura en la que cada átomo tenga más de 12 vecinos cercanos.

Redes cristalinas y tipos de cristales

ira 1.6. Arreglo de capas de empaquetamiento compacto en las redes cúbica centrada en la cara con empaquetamiento compacto y la hexagonal con empaquetamiento com­pacto. [Tomado con autorización de L. V. Azaroff, Introduction to Solids, Mc­Graw-Hill (i960), página 60.]

Algunas estructuras cristalinas simples 21

Para tener una estructura con esta clase de empaquetamiento compacto, se puede colocar una capa inferior A, luego una segunda capa B —tal como se describió en el párrafo anterior—, después se pone una tercera capa en la que los átomos quedan directamente arriba de los de la capa A, a continuación, la cuarta capa cuyos átomos se ubican directamente arriba de los de la capa B, y así sucesivamente hasta formar un arreglo de capas ABABABAB . . . , como se ilustra en la figura 1.6. Esta estructura tiene una simetría hexagonal y se le conoce con el nombre de estructura hexagonal de empaquetamiento compacto (h.e.c.). De igual modo, se pue­den colocar los átomos de la tercera capa ya no directamente encima de los de la primera, sino en una tercera gama de posiciones como se ilustra en la figura 1.6, formando la tercera capa C cuyos átomos quedan arriba, en una posición diferente a los de las capas A y B. A continuación se agrega la cuarta capa en las posiciones correspondientes a la capa i y se forma una disposición de capas ABCABCABC. . . Esta segunda estructura posible de empaquetamiento compacto es sencillamente, la cúbica centrada en la cara, que es la normal en las capas de empaquetamiento compacto de la estructura diagonal cúbica. De acuerdo con la figura 1.3, se puede ver claramente que cada átomo de la estructura juiblca centrada en la cara tiene sólo 12 vecinos contiguos, a una distancia de >¿2/2 veces el lado del cubo, por lo que la estructura debe ser de empaquetamiento compacto, .Por el -contrario, en la estructura .cúbica centrada_en el cuerpo, cada átomo tiene sólo 8 vecinos adyacentes a una distancia de ^ 3 /2 veces el lado del cubo; si los puntos reticulares de la estructura cúbica centrada en el cuerpo se observaran como si fueran esferas en expansión, éstas tocarían el borde del cubo antes de rozar la diagonal y la estructura resultante no tendría un empaquetamiento- tan compacto.

En la figura 1.7 se muestran las estructuras de NaCl y CsCl. La estructura del NaCl tiene átomos alternantes de Na y C1 en los puntos reticulares de una red cúbica simple. Los átomos de Na quedan en los puntos reticulares de una estructura cúbica centrada en la cara, al igual que los átomos de Cl. La estructura del CsCl es básicamente centrada en el cuerpo y, en ella, los átomos de Cs quedan en las posiciones centradas en el cuerpo y los de Cl en los vértices del cubo (o viceversa). Hay un gran número de cristales iónicos que cristalizan en cualquiera de estas dos formas reticulares.

Figura 1.1. Las estructuras de NaCl y CsCl.

En la figura 1.8 se ilustran las estructuras del diamante y la zincblenda. Las líneas que conectan los átomos de estas estructuras representan los enlaces covalentes de los pares de electrones que están dispuestos tetrahédricamente alrededor de cada átomo. En estas dos estructuras, cada átomo tiene cuatro vecinos contiguos. En el caso del diamante, la estructura se puede considerar como dos redes cúbicas centra­das en la cara que se intercalan una en la otra, desplazándose entre sí a lo largo de la diagonal del cubo en 1/4 de la longitud de dicha diagonal. Por tanto, la red tiene

22 Redes cristalinas y tipos de cristales

Figura 1.8. Estructuras de la zincblenda y el diamante.

Figura 1.9. Diagrama de la estructura reticular de la zincblenda en donde se muestran los contornos de la celda unitaria cúbica.

Planos cristalinos e índices de Miller 23

una simetría cúbica. La descripción anterior de la red del diamante se puede en­tender mejor estudiando la figura 1.9 en donde se muestra cómo la red del diaman­te se puede describir mediante una celda unitaria cúbica. El silicio, el germanio y el estaño ex- (gris) se cristalizan también en la estructura del diamante. La estructura de la zincblenda está íntimamente relacionada con la del diamante. En el caso de la zincblenda, la estructura se puede representar como dos redes cúbicas centradas en la cara que tienen una interpenetración, al igual que el diamante, excepto que una de las redes cúbicas centradas en la cara se compone por completo de átomos de zinc y la obra está constituida totalmente por átomos de S. Por supuesto, esta estructura reticular también tiene simetría cúbica. Los compuestos semiconductores III-V, InSb, GaAs, GaSb, InP, GaP, etc., se cristalizan con esta misma estructura.

Lo “compacto” del empaquetamiento de los átomos en cualquier estructura dada se puede inferir del número de vecinos más cercanos que rodean a cada átomo. Esta cifra, que con frecuencia se denomina número de coordinación del cristal, puede variar de un máximo de 12 en las estructuras de empaquetamiento compacto hasta el 4, en el caso del diamante y la zincblenda, cuyas estructuras son relativa­mente “abiertas” .

1.4 PLANOS CRISTALINOS E INDICES DE MILLER

En un cristal de red periódica regular, con frecuencia es necesario mencionar el sistema de planos dentro del cristal que corren en ciertas direcciones, cortando varios

^conjuntos de átomos. Así pues, las capas con empaquetamiento compacto de las redes cúbicas centradas en la cara y hexagonal con empaquetamiento compacto, forman sistemas muy definidos e importantes de planos cristalinos. La orientación de estos sistemas de planos dentro del cristal se especifica mediante tres números deno­minados índices de Miller, que se pueden determinar como sigue:

(1) Se toma como origen cualquier átomo del cristal y se levantan ejes de coordenadas a partir de dicho átomo en las direcciones de los vectores base.

(2) Se encuentran las intersecciones de un plano que pertenece al sistema, expresándolos como múltiplos enteros de los vectores base a lo largo de los ejes cristalinos.

(3) Se sacan los recíprocos de estos números y se 'reducen a la tríada más pequeña de enteros h, k, l, que tienen la misma relación. De donde, la cantidad (hkl) constituye los índices de Miller de dicho sistema de planos.

Por ejemplo, en la figura 1.10 se muestra un plano cuyas intersecciones son el doble de la distancia reticular a,, tres veces la distancia reticular i y 4 veces la distancia reticular c. Los índices de Miller de la familia a la que pertenece este plano se obtienen sacando los recíprocos de estos números, es decir, 1/2, 1/3, 1/4, y reduciéndolos a la tríada más pequeña posible de enteros que tengan la misma

■•relación. Esto se logra multiplicando cada uno de los recíprocos por doce, que en este caso dan 6 ,4 ,3 . Los índices de Miller se escriben simplemente encerrando estos 'tres números entre paréntesis; en este ejemplo, el plano forma parte de una familia de planos (643) o sea, un plano.

Puede haber un número de sistemas de planos cuyos índices de Miller difieran *por permutación de los números o de signos menos y, sin embargo, ser todos cristalográficamente equivalentes en lo que respecta a densidad de átomos y espa-

24 Redes cristalinas y tipos de cristales

ciamiento interplanar. Por ejemplo, en una red ortogonal, los siguientes planos (hkl), (hkl), (hkl), (hkl), (hkl), (hkl), etc., obtenidos al asignar varias combinaciones de signos menos a los índices de Miller, son equivalentes en este sentido. (Se acostum­bra escribir los signos menos encima y no antes de los índices de Miller.) De igual modo, en una estructura reticular cúbica, todos los planos representados por permu­taciones de los tres índices de Miller entre sí mismos, tales como (hkl), (khl), (íhk), etcétera, al igual que los que se obtienen tomando varias combinaciones de signos me­nos, son cristalográficamente equivalentes. Cuando se hace referencia a un grupo , completo de planos cristalográficamente equivalentes, de los cuales (hkl) es un miem­bro, se acostumbra encerrar los índices de Miller entre llaves, o sea, {hkl}.

Si el plano es paralelo a uno o dos de los vectores a, b,c, una o dos de las intersecciones se localizarán en el infinito; los índices de Miller correspondientes son, por tanto, cero. Por ejemplo, si el plano que se ilustra en la figura 1.10 se hace girar alrededor de la línea AB hasta que queda paralelo a c, las intersecciones se convierten en 2 ,3 , y los índices de Miller son, en consecuencia (320). Si se hace girar más todavía alrededor de una línea perpendicular al plano a y b pasando por el punto A hasta que quede en paralelo a b, las intersecciones serán 2, °°, <», y los índices de Miller son (100). El lector debe conocer a fondo las familias de planos {100} (planos de cara cúbica), {110} y de {111} para las redes cúbicas.

Los índices de una dirección dentro de un cristal se pueden expresar como un conjunto de enteros que tienen la misma relación que los componentes de un vector en esa dirección, expresados como múltiplos de los vectores base a, b, c. Por tanto, el índice de dirección de un vector ha + kb + lc es, en todo caso, [hkl). Los parén­tesis cuadrados que encierran las tres cifras señalan los tres índices de dirección. Por supuesto, las direcciones con distintos índices direccionales pueden ser cristalográ­ficamente diferentes en la misma forma que los planos cristalinos con distintos índices de Miller; sobre todo las normales a los planos cristalográficamente equiva­lentes también deben tener direcciones cristalográficamente equivalentes. El conjunto completo de direcciones cristalográficamente equivalentes de las cuales [hkl] es un miembro, se expresa encerrando los índices de dirección en la siguiente forma: (hkl). En cristales cúbicos, una dirección con índices direccionales [hkl\ es normal a un plano cuyos índices de Miller son (hkl); pero, por lo general, esto no se aplica a otros sistemas. Esta es otra de las razones aceptables para relacionar las redes cúbicas centradas en el cuerpo y la centrada en la cara con estructuras cúbicas más que con celdas unitarias primitivas. El comprobar este resultado queda como ejercicio para el lector.

La posición de los puntos de una celda unitaria se especifica en función de las partes fracciónales de las magnitudes de los vectores de base a lo largo de las direcciones de coordenadas correspondientes, tomando siempre como origen el átomo

Espaciamiento de los planos en las redes cristalinas 25

de un vértice. Por ejemplo, las coordenadas del punto central de una celda unitaria son (1/2, 1/2,1/2) y las coordenadas de los centros de las caras son (1/2, 1/2, 0), (0, 1/2, 1/2), (1/2, 0, 1/2), (1/2, 1/2, 1), (1, 1/2, 1/2) y (1/2, 1, 1/2).

1.5 ESPACIAMIENTO DE LOS PLANOS EN LAS REDES CRISTALINAS

De acuerdo con la figura 1.10, se podría pensar que el espaciamiento existente entre los planos vecinos del sistema (hkl) sería simplemente igual a la longitud de la normal al plano definida por las intersecciones dadas y el origen. Sin embargo, generalmente no es así y la razón es que al determinar la ubicación de un plano (hkl) desde ciertas distancias de intersección, el origen se podría tomar como cual­quier punto reticular del cristal, por lo qu'e un plano (hkl) debe pasar por cada punto reticular del cristal. Esto se ilustra gráficamente en la figura 1.11 para el caso de un conjunto de “planos” en una estructura reticular bidimensional. El sistema de planos es el que determinan las intersecciones 3a y 2b a lo largo de los ejes, a y b, respectivamente. En consecuencia, lös índices de Miller son (23) (o bien, (230) si se piensa que los planos son paralelos a un eje c que sale del plano de la hoja de papel en un cristal tridimensional). Los planos que están delineados con líneas más gruesas son los que se determinan "por medio de las distancias de intersección (3a, 2b) y el origen se escoge en O. No obstante, el origen podría haberse escogido en el punto reticular número “ 1” , en cuyo caso se habrían definido los planos de trazo más ligero marcados con “ 1”, utilizando el mismo conjunto de distancias de intersección. De igual manera, el origen se podría haber ubicado en los puntos reticulares 2, 3, 4 ó 5, en cuyo caso, usando todavía el mismo conjunto de distancias de intersección, el conjunto de planos números 2, 3, 4 y 5 habrían quedado definidos. Sin embargo, ahora se tiene un plano de esta familia que pasa por cada átomo del cristal, entre

u K Í )

(3 z ~)\ VsW.

-i- i3~ c

h. 2 £'

Figura 1.11. Una representación de todas las líneas (23) dentro de una red bidimensional.Si existe uij eie c- normal al nlano del papel, este sistema de líneas se puede consi­derar como los trazos de planos (230) (que son normales a la página) en el plano del papel. Observe que sólo se tiene una línea (o plano) del sistema que pasa por cada punto reticular.

los cuales se intercalan 5 planos adicionales entre cada par de planos originales de trazo grueso. Ahora se ve que las intersecciones de los planos adyacentes a lo largo de los ejes a y b difieren, respectivamente, en a¡2 y b/3. Para un -conjunto de ín­dices de Miller (h k ) estas intersecciones diferirán en a/h y b/k.

Para demostrarlo, véase primero el área OACB de la figura 1.11. Se tienen los puntos reticulares hk que pertenecen a esta área, ya que consiste en hk celdas unitarias que tienen cada una de ellas un solo punto reticular. La región ABCD, que obviamente equivale en superficie a OACB (ambas se pueden tomar como superposi­ciones de dos triángulos congruentes a OAB) por tanto, también tiene hk puntos reticulares. Esta superficie también contiene sólo hk planos reticulares (6 en el ejem­plo anterior), uno por cada uno de los puntos reticulares hk dentro del área. Se observará que cada plano puede cortar sólo un punto reticular dentro de ABCD, excepción hecha de los planos que cortan los puntos reticulares de las fronteras, que pueden pasar por dos puntos reticulares, de los cuales un medio o un cuarto pueden pertenecer a ABCD, dependiendo de que dichos puntos reticulares así intersecados representen átomos laterales o de vértices. En consecuencia, en ABCD hay hk planos del sistema que se intersecan con el eje b dentro de una distancia hb, siendo la diferencia que hay entre las intersecciones b de los planos adyacentes, hb/hk = b/k. De la misma manera, en el área ABEC que también es igual en superficie a OACB y que contiene también hk puntos reticulares y hk planos, se observa que se tienen hk que cortan el eje a en una distancia ka, en donde la diferencia existente entre las in­tersecciones a de los planos adyacentes del sistema es a/h. Para simplificar los conceptos geométricos, este resultado se obtuvo para un cristal bidimensional (o para planos paralelos al eje c de un cristal tridimensional). Sin embargo este mismo argumento se puede ampliar en una forma muy directa para un conjunto de planos (hkl) de un cristal tridimensional teniendo como resultado el hecho de que las distancias entre las intersecciones entre los ejes y los planos adyacentes de un sistema con índices de Miller (hkl) a lo largo de los ejes a-, b- y c- son, respectivamente, a/h, b/k y c/l. El desarrollo de la exposición para un cristal tridimensional queda de ejercicio para que el lector lo resuelva.

El espaciamiento real d que hay entre los planos adyacentes se puede calcular tomando cualquier punto reticular como origen, levantando ejes en las direcciones

_c_

26 Redes cristalinas y tipos de cristales

bk

Figura 1.12. Angulos direccionales de la normal al plano {hkl).

Gasificación general de los cristales 27

a-, b- y c-, y encontrando la distancia perpendicular existente entre este origen y el plano cuyas intersecciones con el eje son a/h, b/k. y c/l. En relación con la fi­gura 1.12, es obvio que

a b e /ici\d = OP = - eos a = - eos p = - eos y, (1-5-1)h k l

en donde a,@,y son los ángulos que hay entre la normal al plano y los ejes a-, b- y c-, respectivamente. No obstante, si n es el vector unitario normal al plano, se tiene que n • a = a eos a, etc., y

i , , "J± , Ü -C (1.5-2) h k l

En una red ortogonal, tomando el eje de la coordenada x a lo largo de a, el eje y sobre b y el eje z sobre c, la ecuación del plano (hkl) cuyas intersecciones con los

-ejes son a/h, b/k, c/l, es

hx k y Iz ...f < x , y , z ) - - + - g + - = l . (1.« )

Si f(x, y , z) = constante es la ecuación de una superficie, entonces \ f es un vector normál a dicha superficie y la unidad normal n está dada por

Y f (h/a)ix + ( k/b) iy + ( l /c) iz n ^

"=wr— w y ~1—V a2 + b 2 + c2

y el espaciamiento d que hay entre los planos adyacentes (hkl) es simplemente

d = ., 1 ...., (1.5-5)h K - ta 2 + b2 + cf

de acuerdo con (1.5-2). En este punto conviene observar que a, b y c no son vectores unitarios, en este ejemplo, a = a\x , b = biy y c = ciz , en donde ix , iy e iz son la tríada usual de vectores unitarios a lo largo de las direcciones x-, y- y z-, respectivamente. En estructuras reticulares no ortogonales, el problema de encontrar el espaciamiento existente entre planos adyacentes en términos explícitos de los espaciamientos y los ángulos reticulares se hace más complejo y no se estudiará en esta obra, aunque las expresiones generales (1.5-1) y (1.5-2) son correctas tanto para sistemas ortogonales como para los no ortogonales.

1.6 CLASIFICACION GENERAL DE LOS CRISTALES

Para darle al lector una imagen inicial amplia de las propiedades y las caracterís­ticas de varios tipos de materiales cristalinos, se hará un repaso breve de algunas de las características más sobresalientes de varias clases de cristales. Por supuesto, se pueden

clasificar en muchas formas, por ejemplo, según sus redes cristalinas, propiedades eléctricas, propiedades mecánicas o características químicas. Sin embargo, para el estudio que nos ocupa, es más conveniente adoptar un esquema de clasificación basado en el tipo de interacción que hace que los átomos del cristal se mantengan unidos. De acuerdo con este esquema de clasificación, los sólidos se subdividen en cuatro categorías generales: iónicos, covalentes, metálicos y moleculares. Cada una de estas clases se examinará en lo particular, aunque se reconoce que no son absoluta­mente distintos y que algunos cristales pueden posser, al mismo tiempo, caracte­rísticas relacionadas con más de una de estas clases generales.

Los iónicos son cristales en los que los electrones de valencia se transfieren de un átomo a otro, dando como resultado que el cristal esté compuesto de iones positivos y negativos. La fuente de energía cohesiva que mantiene unido al cristal es la intersección electrostática de estos iones. La configuración electrónica de los iones es esencialmente la de un gas inerte, en donde la distribución de carga de cada ion es esféricamente simétrica. Los compuestos químicos que contienen átomos muy electropositivos y electronegativos, por ejemplo, NaCl, KBr, LiF, tienden a formar cristales iónicos en estado sólido. Casi siempre los cristales iónicos tienen energías de enlace relativamente altas y, como resultado, se caracterizan por puntos de fusión y ebullición más o menos elevado. También se caracterizan por ser malos conductores eléctricos a temperaturas normales y casi siempre son transparentes a la luz visible en tanto que muestran un solo pico de reflexión óptico característico en la región lejana infrarroja del espectro. Los cristales son a menudo muy solubles en disolventes ionizantes tales como el agua, y sus soluciones se disocian fácilmente en iones libres. Casi siempre los cristales iónicos se cristalizan en estructuras de empaquetamiento relativamente compacto como las del NaCl y el CsCl.

Los cristales covalentes son aquellos en los que varios átomos comparten equi­tativamente los electrones de valencia en lugar de transferirlos de unos a otros, como sucede en los cristales iónicos. De donde, no se tiene una carga neta asociada con ningún átomo del cristal. A menudo los elementos de las columnas III, IV y V de la tabla periódica forman combinaciones covalentes. Un ejemplo típico de cristal cova- lente lo tenemos en el diamante, en el que cada átomo de carbono comparte sus cuatro electrones de valencia con sus cuatro vecinos más cercanos formando enlaces covalentes de pares de electrones. Los espins de los electrones de estos enlaces de par de electrones son antiparalelos. Estos enlaces covalentes de pares de electrones del diamante son idénticos a las uniones carbono-carbono que se encuentran tan frecuentemente en los compuestos orgánicos. Tienen una naturaleza muy direccional, es decir, los electrones tienden a concentrarse a lo largo de las líneas que unen a los átomos adyacentes y estas líneas tienden a ubicarse tetrahédricamente alrededor de cualquier átomo. Esta disposición tetrahédrica natural de los enlaces covalentes se satisface en las estructuras del diamante y la zincblenda y se ha descubierto que los cristales covalentes tienen a menudo estas estructuras. Por lo general, los cristales covalentes son materiales duros, quebradizos y de energías de enlace bastante eleva­das, con puntos de fusión y ebullición elevados. Son semiconductores típicos cuya conductividad eléctrica es muy sensible a la presencia de pequeñas cantidades de átomos de impurezas y aumenta al incrementarse la temperatura a niveles lo suficien­temente elevados. Son transparentes a la radiación de longitudes de onda largas y opacos a longitudes de onda más cortas, con una transición abrupta que se produce a una longitud de onda característica y que casi siempre se localiza en la región visible o infrarroja cercana.

Existe un rango continuo entre las propiedades covalente e iónica; un cristal dado puede tener naturaleza tanto covalente como iónica y sus electrones de va­lencia se transfieren en parte y se comparten parcialmente. En la tabla 1.2, los cristales de la primera columna se componen de átomos de la columna IV del

28 Redes cristalinas y tipos de cristales

Clasificación general de los cristales 29

TABLA 1.2.Cristales covalentes y iónicos

Covalentes (Grupo IV)

CompuestosIII-V

CompuestosII-VI

Compuestos'(iónicos)

I-VII

C (diamante) BN BeO LiFBP BeS LiClA1N MgO NaF

Si A1P MgS NaClGaP CaO KFAlAs CaS KC1

ZnS LiBrGe GaAs CaSe KBr

InP ZnSe NalAISb CdS RbClGaSb CdSe RbBrIn As ZnTe KF

a-Sn InSb CdTe RblCsBr

sistema periódico y forman cristales completamente covalentes. Los compuestos de la cuarta columna de la tabla son de “I y VII” y están constituidos de átomos muy electropositivos y electronegativos y los cristales de estos compuestos son muy ióni­cos. La segunda y la tercera columnas contienen compuestos (II-VI y III-V) que son intermedios entre estos dos extremos y tienen naturaleza tanto iónica como cova- lente. Por supuesto, los compuestos III-V son un poco más covalentes que los com­puestos II-VI. Los compuestos intermetálicos III-V forman, a pesar de su carácter ligeramente iónico, una serie de semiconductores cuyas propiedades son similares en muchas formas a las de los materiales correspondientes del grupo IV.

Los elementos metálicos en estado libre forman cristales metálicos en los que están presentes electrones libres. El hecho de que haya tales electrones libres explica la elevada conductividad eléctrica y térmica de los metales. A su vez, a esta elevada conductividad eléctrica se deben directamente los elevados coeficientes de reflexión y absorción ópticas que son las propiedades ópticas más típicas de los metales. Las propiedades eléctricas y térmicas de los metales que se deben a la existencia de los electrones libres, se pueden explicar fácilmente si se supone que el cristal metálico es un recipiente lleno de un “gas ideal de electrones libres” . La energía de enlace de metales “ideales” tales como los metales alcalinos, se originan en la interacción del gas de electrones libres con iones positivos de la red, aunque para muchos otros metales esta imagen es mucho más compleja. Las energías de enlace reales de los cristales metálicos pueden ser muy bajas, como sucede en el caso de los metales alcalinos, que tienen puntos de ebullición y fusión relativamente bajos o muy eleva­dos, como el tungsteno, cuyo punto de fusión es muy alto.

Los cristales moleculares son aquellos en los que el enlace entre átomos o las moléculas no es iónico ni covalente, sino que se origina exclusivamente en fuerzas dipolares existentes entre los átomos o las moléculas del cristal. A pesar de que un átomo o una molécula no tiene un momento dipolar promedio, por lo general tendrá un momento dipolar instantáneo y fluctuante que se origina en las posiciones instantá­

neas de los electrones dentro de sus órbitas. Este momento dipolar instantáneo es la fuente de un campo dipolar electrostático que, a su vez, puede inducir un mo­mento dipolar en otro átomo u otra molécula. La interacción existente entre el mo­mento dipolar original y el inducido es de atracción y puede servir para unir un cristal en ausencia de un enlace de tipo iónico y covalente. Las fuerzas de enlace que se originan en interacciones dipolares fluctuantes de esta naturaleza se conocen con el nombre de fuerzas de van der Waals. Casi siempre, estas fuerzas son muy débiles y la energía de enlace que originan disminuye según 1/r6, en donde r es la distancia entre los dipolos. Entonces, los cristales moleculares se caracterizan por energías de enlace reducidas y, en consecuencia, por puntos de fusión y ebullición bajos; por lo general son conductores eléctricos deficientes. Los cristales de com­puestos orgánicos generalmente pertenecen a esta clase, como es el caso de los gases inertes He, Ne, A, etc., en estado sólido.

30 Redes cristalinas y tipos de cristales

EJERCICIOS

' 1. Demuestre geométricamente que la estructura tetragonal centrada en la cara es equiva­lente a una red tetragonal centrada en el cuerpo en la que el lado de la base de la celda unitaria es 1/\J2 veces la magnitud que tiene para la disposición centrada en la cara. ¿Por qué son distintas las estructuras cúbicas centrada en la cara y la centrada en el cuerpo?

•/ 2. Demuestre que la proporción máxima de espacio que se puede llenar con esferas sólidas acomodadas en varias estructuras es la siguiente para cada arreglo:

Cúbica simple •77-/6,Cúbica centrada en el cuerpo 77^3 /8 ,Cúbica centrada en la cara 77 V ^/Ó ,Hexagonal con empaquetamiento compacto 7t\^ 2 /6 ,Estructura del diamante 77 \ / 3/16.

3. Analice desde el punto de vista físico el porqué un cristal real no puede tener un eje de un múltiplo de cinco de simetría rotativa.

4. (a) Dibuje los bosquejos que ilustren los planos (100), (110) y (111) para una celda unitaria cúbica.

(b) ¿Cuántos planos equivalentes {100'}, {110} y {111} existen en un cristal cúbico? Considere que los planos (hkl) y (hkl) son idénticos.

5. (a) ¿Cuántos planos, equivalentes {123} existen en un cristal cúbico?(b) ¿Cuántos planos equivalentes {.111} existen en un cristal ortorrómbico?(e) ¿Cuántos planos equivalentes {123} existen en un cristal ortorrómbico? En todos

estos pasos se considerará que los planos {hkl) y {hkl) son idénticos.6. Demuestre que en un cristal cúbico la dirección \hkl\ es normal al plano {hkl).7. Demuestre que las intersecciones entre los ejes y los planos adyacentes {hkl) a lo largo

de los ejes, a-, b- y c- dentro de una estructura tridimensional son a/h, b/k y c/l, respectiva­mente, utilizando una extensión de los métodos que se usaron en el caso bidimensional de la sección 1.5.

8. Demuestre que para las fuerzas de van der Waals, la energía de interacción de los átomos y las moléculas desciende en la forma 1/r6, en donde r es la distancia que hay entre los átomos o las moléculas interactuantes. Nota: principie teniendo en cuenta la energía potencial de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo.

9. De acuerdo con los resultados de la teoría electromagnética de Maxwell para ondas planas, demuestre que en. el caso de un conductor muy bueno (ff->-°°, K O = conductividad,K = constante dieléctrica) se debe esperar un alto grado de reflectividad superficial y una gran absorción interna.