Cap. 1 · PDF fileDr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 3 1.1 Scurt istoric al măsurătorilor terestre

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 1

Cap. 1 Introducere 1.1 Noţiuni privind măsurătorile terestre Măsurătorile terestre – situate printre cele mai vechi ştiinţe dezvoltate de-a lungul istoriei – s-au impus din necesitatea firească a omului , de cunoaştere a mediului în care îşi desfăşoară viaţa şi activitatea. Progresul acestora în timp este strâns legat de dezvoltarea relaţiilor sociale şi economice şi de evoluţia tehnicii în ansamblu. Alături de alte ştiinţe ca: fizica, matematica, astronomia, geologia, oceanografia, vulcanologia, etc., măsurătorile terestre contribuie la aprofundarea cunoaşterii planetei albastre şi a altor corpuri cereşti în special prin studiul formei şi dimensiunilor acestora şi prin măsurarea şi reprezentarea suprafeţelor lor. Domeniul relativ larg al măsurătorilor terestre este alcătuit din câteva ramuri principale: geodezia, topografia, cartografia, fotogrammetria şi teledetecţia, cu caracteristici specifice, în funcţie de obiectul acestora. G e o d e z i a are ca obiect măsurarea şi reprezentarea planetei Pământ şi a câmpului gravitaţional al acestuia , într-un spaţiu tridimensional, în funcţie de timp. Rezultă deci că geodezia surprinde variaţiile temporale ale formei , dimensiunilor şi câmpului gravitaţional ale planetei noastre. Acest tip de studiu se extinde în ultima perioadă şi asupra altor corpuri cereşti care prezintă interes pentru oameni. Ca ştiinţă , geodezia s-a dezvoltat în ultimii 350-400 de ani , în corelaţie cu astronomia , iar în momentul de faţă are câteva direcţii importante ca astronomia geodezică , geodezia cosmică , geodezia inerţială , gravimetria geodezică şi geodezia propriu-zisă. T o p o g r a f i a sau topometria studiază tehnicile de măsurare, de calcul şi de reprezentare sub formă de planuri, a unor porţiuni limitate ale suprafeţei terestre, pentru deservirea unor scopuri economice, ecologice, militare sau de altă natură. Pentru ca reprezentările topografice ale unor zone vecine să se poată racorda, măsurătorile şi calculele topografice se sprijină pe un sistem unitar de puncte de referinţă, creat prin determinări geodezice, numit reţea de sprijin . Aceasta este alcătuită dintr-o mulţime de puncte materializate pe teren în diferite moduri. Topografia are ca direcţii principale topografia generală, care se ocupă de aparatură şi de tehnicile de măsurare şi calcul şi topografia specială, care are secţiuni specifice, dedicate anumitor activităţi(cadastru, lucrări hidrotehnice şi de îmbunătăţiri funciare, construcţii civile şi industriale, căi de comunicaţii, urmărirea comportării construcţiilor şi terenurilor, trasarea pe teren a construcţiilor proiectate, etc.).

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 2 C a r t o g r a f i a are ca obiect studiul metodelor de realizare a reprezentărilor în plan a suprafeţei terestre , în ansamblu sau pe porţiuni , cu un control riguros al deformaţiilor produse prin reprezentare. Deoarece suprafeţele sferică sau elipsoidală , cu care se aproximează forma suprafeţei terestre , nu sunt desfăşurabile , cartografia operează cu aşa-numitele proiecţii cartografice; acestea permit obţinerea unui transfer controlat al punctelor de pe suprafeţele sferice şi elipsoidale pe suprafeţe curbe desfăşurabile , în vederea realizării reprezentărilor plane sub formă de hărţi. F o t o g r a m m e t r i a este un ansamblu de tehnici pentru reprezentarea în plan a suprafeţei terestre , bazat pe imaginile fotografice metrice (fotograme). Imaginile fotografice ale suprafeţei terestre sunt preluate , în general , de la înălţime (din aer sau din cosmos). Stereofoto-grammetria operează cu cupluri de fotograme (imagini ale aceleiaşi porţiuni de teren , preluate din două sau mai multe puncte diferite). Exploatarea stereoscopică a acestor cupluri de fotograme face posibilă reprezentarea reliefului. Obţinerea reprezentărilor plane este posibilă prin examinarea imaginilor fotografice în cadrul unui proces numit fotointerpretare , care conduce la identificarea obiectelor şi la evaluarea dimensiunilor spaţiale ale acestora. T e l e d e t e c ţ i a este o ramură mai recentă a măsurătorilor terestre , care utilizează tehnologii de vârf pentru studiul de la distanţă al suprafeţei şi chiar al subsolului Pământului sau ale altor planete. Dacă în fotogrammetrie informaţia referitoare la suprafaţa studiată este transmisă prin intermediul luminii şi stocată pe pelicula fotografică , în teledetecţie purtătorii de informaţie sunt undele electromagnetice din spectre de frecvenţă diferite de cel al luminii (unde acustice , infra sau supraacustice , unde radio , radar , etc.) , care se stochează pe înregistrări magnetice sau de alt fel. Valorile înregistrate ale intensităţii şi variaţiilor acestor câmpuri electromagnetice purtătoare de informaţii se corelează cu caracteristicile obiectelor sau fenomenelor studiate , în cadrul procesului de calibrare a înregistrărilor , după care aceste înregistrări se pot transforma în imagini neconvenţionale (electronice) ale suprafeţelor studiate. Exploatarea acestor imagini permite obţinerea de reprezentări sub formă de hărţi ale suprafeţei studiate sau determinarea unor caracteristici fizice şi dimensionale ale unor obiecte. Studiul prin teledetecţie al unei zone se poate repeta la intervale mici de timp , astfel că se poate surprinde dinamica modificărilor obiectelor şi fenomenelor , fapt care conferă teledetecţiei un avantaj important. În momentul de faţă , dezvoltarea extraordinară a informaticii şi a tehnologiilor electronice de măsurare dau o nouă dimensiune domeniului măsurătorilor terestre , prin creşterea vitezei , preciziei şi a posibilităţilor de lucru în acest domeniu.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 3 1.1 Scurt istoric al măsurătorilor terestre Începuturile măsurătorilor terestre coboară în timp până în neolitic , fiind legate de teritoriile pe care s-au dezvoltat vechile civilizaţii ale lumii. Deşi nu există dovezi scrise , construcţiile megalitice demonstrează existenţa , în acea perioadă , a unor cunoştinţe de astronomie , de geometrie şi de măsurare. Cele mai vechi dovezi care atestă preocupări ştiinţifice privind măsurătorile terestre provin de la civilizaţiile antice sumeriană , babiloniană, egipteană , greco-romană , indiană şi chineză. Cea mai veche reprezentare topografică a unui teritoriu este realizată pe o plăcuţă de lut , datată la anul 3000 î.H. şi a fost descoperită lângă localitatea Kirkuk din Iraq. Pe această plăcuţă sunt gravate ape curgătoare , munţi , aşezări omeneşti şi inscripţiile pentru punctele cardinale Est şi Vest. De la civilizaţiile sumeriană şi babiloniană provine câte o plăcuţă de lut , una dintre acestea cu harta lumii (Pământul este reprezentat sub forma unui disc) , respectiv cealaltă cu planul oraşului antic Nippur. Cea mai veche hartă păstrată până în prezent este realizată pe pergament şi datează din vremea faraonului Seti I (1304-1290 î.H). Pe această hartă sunt reprezentate două şiruri de munţi între care se află două drumuri , de-a lungul unor văi care duc spre mare şi poziţiile unor exploatări miniere. Cele mai vechi etaloane de lungime cunoscute sunt cel de la Lagoş (Mesopotamia) şi cel egiptean (cotul lui Amenhotep-anul 1550 î.H.). Observaţiile astronomice -legate de eclipsa de lună din anul 4400 îH şi de eclipsa parţială de soare din anul 2700 îH-efectuate în Egiptul Antic sunt atestate documentar. Începutul utilizării acului magnetic este datat în anul 2673 îH, în China şi tot aici au fost descoperite două hărţi reprezentate foarte exact, la scară, pe pânză de mătase, acestea provenind din timpul dinastiei Han(anul 200 îH). Civilizaţia greco-romană a contribuit substanţial la dezvoltarea măsurătorilor terestre încă din secolele VII-VI îH, când şcoala din Milet a adoptat concepţia materialistă asupra fenomenelor naturale. În această perioadă, şcoala lui Pitagora din Samos(540-500 îH) emite teoria sfericităţii Pământului. Această teorie este explicată mai târziu de filosoful Aristotel din Stagira(384-322 îH), elev al lui Platon, prin vestitul exemplu al dispariţiei la orizont al catargului unei corăbii. Ideea heliocentrismului a fost emisă de un discipol al şcolii din Samos, Aristarh(310-230 îH), care în anul 265 îH a realizat şi o determinare a distanţelor Pământ-Lună şi Pământ-Soare. Cu 25 de ani mai târziu va fi

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 4 realizată cea mai renumită măsurătoare a antichităţii, de către Eratostene din Cirene(275-194 îH) şi anume determinarea lungimii meridianului terestru, pe baza mǎsurǎrii a douǎ elemente: distanţa dintre oraşele egiptene Alexandria şi Sienne(Assuan)-situate pe acelaşi meridian terestru- şi a unghiului la centrul Pǎmântului corespunzǎtor acestei distanţe. Rezultatul acestei determinări este remarcabil, pentru epoca respectivă, el diferind doar cu circa 350 km faţă de valoarea acceptată astăzi(40008 km). Introducerea noţiunilor de latitudine şi longitudine, prin împărţirea paralelelor şi meridianelor în grade se datorează geografului Hiparh din Niceea (190-125 îH). Tot acesta a pus bazele proiecţiilor cartografice (proiecţia stereografică) pentru reprezentarea suprafeţelor terestre în plan. O operă geografică foarte importantă a antichităţii a fost realizată de Strabo (63 îH-19 dH) şi se numeşte “Geographica”; aceasta este realizată în 17 volume şi cuprinde numeroase informaţii regionale şi generale. Cel mai mare geograf şi cartograf al antichităţii este însă considerat Claudiu Ptolemeu (90-168 dH), care a realizat “Tratatul de astronomie” şi “Tratatul de geografie matematică”, acesta din urmă fiind însoţit de 27 de hărţi, care constituie primul atlas geografic cunoscut. Ptolemeu introduce noţiunea de proiecţie conică dreaptă şi expune sistemul lumii bazat pe teoria geocentrică, teorie combătută, în sec. XII , de către astronomul arab Al Bitrogi (supranumit Alpetragius), în lucrarea sa “Despre mişcarea corpurilor cereşti” şi, mai târziu, în anul 1510, de către Nicolaus Copernicus (1473-1543), în lucrarea sa “Mic comentariu”. În perioada Evului Mediu are loc o acumulare treptată a cunoştinţelor de matematici, fizică, chimie, etc. , se realizează călătorii şi schimburi de cunoştinţe între diferitele civilizaţii ale globului. O pierdere importantă a acestei perioade este incendiul bibliotecii din Alexandria (anul 640), în urma căruia multe din creaţiile antice sunt pierdute. Această mare pierdere va fi compensată treptat prin înfiinţarea primelor universităţi europene în Bologna (anul 1088), Salerno (anul 1150), Paris (anul 1160), Oxford (1167) şi altele, care vor contribui la o nouă revoluţie ştiinţifică, ce va atinge un apogeu în epoca Renaşterii, după anul 1450. Există mărturii ale evoluţiei continui a măsurătorilor terestre şi în Evul Mediu. Astfel, geograful şi cartograful arab Edrisi (1099-1165) a întocmit un atlas geografic cu 71 de hărţi, însoţit de lucrarea “Recreaţii geografice”, în care sunt cuprinse numeroase informaţii geografice şi istorice referitoare la ţinuturi din Africa şi Asia. În secolele XII-XIII apar “portolanele”-hărţi maritime portugheze, care deşi nu au o bază cartografică ştiinţifică, conţin numeroase informaţii privind porturile, punctele de aprovizionare, duratele de parcurs, etc. , pentru diferite trasee maritime, care

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 5 au rămas multă vreme secrete. Aceste informaţii au fost cuprinse în aşa-numitele “cărţi pilot”, însoţitoare ale acestor hărţi. Renaşterea a adus cu sine o revoluţie spectaculoasă în toate domeniile, astfel că măsurătorile terestre au beneficiat de foarte multe noi descoperiri. Dintre momentele importante ale acestei perioade merită să fie subliniate următoarele: -se face cunoscută teoria heliocentrismului, a lui Nicolaus Copernicus, în anul 1510; -în anul 1552 cartograful flamand Mercator inventează proiecţia cartografică ce-i poartă numele; tot Mercator întocmeşte în anul 1569 harta nautică a lumii, utilizând proiecţia cilindrică proprie; -în anul 1576 germanul Erasmus Habermehl (1538-1606) inventează un aparat pentru măsurarea unghiurilor verticale şi orizontale, precursor al teodolitului; -în anul 1580 italianul Giovani Battista inventează luneta; -în perioada 1576-1580 se pun bazele triangulaţiei prin lucrările danezului Tycho Brahe; triangulaţia va fi dezvoltată mai târziu de Snellius; -se construieşte telescopul, de către G. Galilei, în anul 1609; -se inventează dispozitivul de citire cu vernier, de către Pierre Vernier, în anul 1631; -mecanicul F. Thevenot construieşte nivela torică în anul 1669; în acelaşi an abatele francez J. Picard utilizează un aparat la care luneta este prevăzută cu reticul; -olandezul Brunning inventează mira gradată în anul 1769; -este construit teodolitul de către englezul J. Ramsden, în anul 1770; -în anul 1795, inventatorul francez Alexis Marie Rochon construieste telemetrul optic; -nivela cu lunetă este construită în anul 1806 de către Pierre Egault des Noes; -în anul 1847 sunt puse bazele nivelmentului de precizie, odată cu execuţia nivelmentului la canalul de Suez; -inventarea fotogrammetriei (procedeu pentru ridicarea de relevee topografice prin fotografiere) este realizată în anul 1880 de către francezul Aimé Laussedat (1819-1907); -în anul 1919 inginerul francez G. Poivilliers pune bazele stereofotogrammetriei prin construirea unui aparat de restituţie a imaginilor stereoscopice luate din avion; în acelaşi an ora meridianului zero (Greenwich) este introdusă ca oră universală. Secolul XX a determinat o evoluţie spectaculoasă a măsurătorilor terestre, odată cu devoltarea electronicii şi a zborurilor cosmice. În

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 6 momentul actual acest domeniu beneficiază de tehnologii de vârf, care conduc la o acurateţe deosebită şi la automatizarea lucrărilor. În spaţiul românesc, deşi există relativ puţine izvoare istorice înainte de secolul al XVIII-lea se poate presupune că preocupările în domeniul măsurătorilor terestre au mers în paralel cu cele europene, deoarece în anul 1737 este tipărită la Haga prima hartă a Moldovei realizată de D. Cantemir, iar în Muntenia, Alexandru Ipsilante emite în 1780 Pravilniceasca Condică, în care sunt cuprinse normele referitoare la exercitarea profesiunii de hotarnic. De altfel, în anul 1833, Regulamentul Organic va statuta că lucrările specifice acestei profesiuni trebuie executate de către ingineri. Primul plan al oraşului Iaşi este realizat în anul 1769 şi tot aici, în 1814 este înfiinţată de către Gh. Asachi prima şcoală de ingineri hotarnici, care a scos prima promoţie de absolvenţi în anul 1819. Tot la Iaşi apare primul tratat de topografie în limba română, în anul 1854, autorul său fiind Dimitrie Asachi. În perioada 1872-1892 se execută în Moldova şi Muntenia primele ridicări topografice de anvergură, pentru necesităţile armatei. În anul 1890, sub îndrumarea astronomului C. Căpităneanu se pun bazele triangulaţiei generale a României. Odată cu înfiinţarea Direcţiei Cadastrului (1919), lucrările topografice au vizat o suprafaţă de 10 milioane hectare, ridicată până în anul 1930, când se adoptă în România sistemul de proiecţie stereografic. În anul 1951 se introduce şi sistemul de proiecţie Gauss-Krűger cu elipsoidul de referinţă Krasovski, iar în 1958 ia fiinţă Centrul de fotogrammetrie. După anul 1989 România adoptă tehnologiile moderne cum sunt sistemul de poziţionare globală (GPS), staţiile totale, înregistrările de teledetecţie satelitară şi noile generaţii de calculatoare şi aparate de scanat. Toate acestea, însoţite de programele de calculator specifice conduc la automatizarea unui însemnat segment al domeniului, la creşterea preciziei de măsurare şi a vitezei de prelucrare a datelor, contribuind la modernizarea integrală a măsurătorilor terestre. 1.2 Locul şi importanţa topografiei De la prima reprezentare topografică cunoscută a unui teritoriu şi până astăzi s-au scurs cinci milenii în care topografia a avut o evoluţie continuă. Dat fiind puternicul său caracter aplicativ, în momentul de faţă nu se poate concepe practic nici o lucrare de construcţii, cadastru, etc. care să nu fie însoţită de măsurători topografice. Mai mult, diferite alte activităţi economice şi sociale impun cunoaşterea teritoriului din punct de vedere al

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 7 poziţiei, formei mărimii şi al detaliilor, care pot fi naturale (munti ape, păduri etc.) sau artificiale (drumuri, clădiri, construcţii hidrotehnice etc.). Toate acestea presupun măsurarea şi reprezentarea suprafeţelor de teren sub formă de planuri topografice sau hărţi, care redau la scară redusă atât imaginea de ansamblu cât şi elementele componente ale teritoriului considerat, cu o precizie corespunzătoare cerinţelor. De asemenea, aplicarea pe teren a construcţiilor proiectate de orice tip şi urmărirea în timp a deformaţiilor unor construcţii hidrotehnice, industriale sau civile de mare importanţă impun realizarea de măsurători şi calcule topografice. Prin caracterul său aplicativ, topografia şi-a creat metode speciale de măsurare, calcul şi reprezentare, în funcţie de domeniul vizat, astfel că în momentul de faţă are ramuri specifice, ca de exemplu: topografie pentru lucrări hidrotehnice, topografie cadastrală, topografie minieră, pentru construcţii, silvică etc. În concluzie, lucrările topografice permit schimbul, vânzarea sau transmiterea prin moştenire a proprietăţilor funciare, organizarea şi echiparea suprafeţelor urbane, agricole şi silvice, realizarea şi urmărirea în timp a construcţiilor, deschiderea şi dezvoltarea exploatărilor miniere, inventarierea, utilizarea şi protecţia apelor şi multe altele, care atestă impotanţa sa economică. Din punct de vedere tehnologic şi ştiinţific, topografia contribuie continuu la îmbunătăţirea metodelor de măsurare, a calculului matematic, cu care operează din plin şi a multor domenii ale cunoaşterii.


Cap. 2 Noţiuni de geodezie 2.1 Configuraţia Pământului şi aproximarea formei acestuia Planeta noastră are neregularităţi ale scoarţei, caracterizate prin înălţimi până la 8848m (vârful Everest, Hymalaya) şi adâncimi până la 11033m (fosa Mariane, Oceanul Pacific), faţă de nivelul mărilor deschise. Rezultă că amplitudinea maximă a denivelărilor scoarţei terestre este de 19,881 km, ceea ce reprezintă doar 0,31% din raza ecuatorială a Pământului (6378,136 km). Zona de uscat prezintă altitudini medii care variază între 340m (Europa şi Australia) şi 2263m (Antarctica). Altitudinea medie ponderată a uscatului este de 847,99m, adică 0,0133% din raza terestră. În zona oceanică se întâlnesc adâncimi medii între 3330m (în oceanele Atlantic şi Arctic) şi 4030m (în oceanul Pacific), media globală ponderată fiind de 3796,71m, adică 0,0595% din raza Pământului. Suprafeţele ocupate de uscat şi de oceane sunt respectiv, de 41,29% şi 58,71%. Din elementele prezentate rezultă că suprafaţa planetei noastre nu poate fi exprimată din punct de vedere matematic printr-o relaţie generală, dar dacă se ia în considerare o eroare acceptabilă, aceasta se poate aproxima cu suprafaţa unui corp geometric regulat. Această aproximare creează, pe de o parte, tocmai posibilitatea studiului formei Pământului şi pe de altă parte permite exprimarea coordonatelor punctelor geodezice de pe un anumit teritoriu, într-un sistem unitar. Se cunoşte că încă din antichitate sfera a fost o primă idealizare a formei Pământului. Aproximarea suprafeţei terestre cu suprafaţa unei sfere de rază medie este utilizată şi în momentul de faţă datorită faptului că poziţia unui punct pe sferă se exprimă foarte uşor în raport cu un sistem de axe de coordonate cartezian spaţial având originea în centrul sferei (raza sferei medii utilizate în momentul de faţă în geodezie şi cartografie este de 6367.435 km). După anul 1669, determinările din ce în ce mai precise de lungimi de arce de meridian de 10, efectuate la diferite latitudini pe globul terestru au condus la concluzia că meridianul nu este un cerc (cum este normal în cazul sferei), ci prezintă turtiri în regiunea polilor tereştri Nord şi Sud, cu alte cuvinte meridianul este o elipsă, cu axa mică pe direcţia Polul Nord-Polul Sud şi cu axa mare în planul ecuatorului terestru. Prin rotirea acestei elipse în jurul axei sale mici (linia polilor) ia naştere un corp geometric regulat, elipsoidul de rotaţie, a cărui suprafaţă o aproximează foarte bine pe cea a

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 9 globului terestru, acesta fiind un al doilea tip de idealizare a formei Pământului. Determinările semiaxelor elipsei meridiane a elipsoidului de rotaţie au făcut obiectul măsurătorilor şi calculelor efectuate de-a lungul timpului de către oameni de ştiinţă din diferite ţări, cu scopul de a obţine un sistem de referinţă unic de puncte geodezice pentru reprezentarea suprafeţelor ţărilor respective. Deoarece orice operaţie de măsurare este afectată de erori, rezultatele acestor determinări au diferit în funcţie de numărul şi precizia măsurătorilor şi de algoritmul de calcul utilizat, astfel că la primul Congres al Uniunii Internaţionale de Geodezie şi Geofizică de la Roma, din anul 1924 s-a convenit să se adopte un elipsoid internaţional, care să devină sistem de referinţă unic pentru exprimarea poziţiei punctelor geodezice din diferite ţări. Elipsoidul adoptat a fost cel determinat de Hayford, dar ţările care aveau la vremea respectivă reţele geodezice dezvoltate au continuat să folosească elipsoizii proprii, adoptaţi anterior (de exemplu, în România era utilizat anterior elipsoidul determinat de Bessel). Datorită acestui fapt, între reţelele de puncte geodezice ale ţărilor vecine nu exista concordanţă, ceea ce a dus la situaţia ca pentru acelaşi punct de pe o graniţă oarecare, coordonatele determinate de ţările vecine să difere uneori foarte mult. Acest lucru a împiedicat multă vreme obţinerea unei hărţi unice precise a globului terestru. În prima jumătate a seculului XX, odată cu creşterea traficului aerian şi maritim internaţional s-a pus problema exprimării poziţiei punctelor geodezice de pe Pământ într-un sistem unitar, deci adoptarea unui elipsoid unic, al cărui centru geometric să corespundă şi cu centrul de atracţie al Pământului. Pentru aceasta a fost necesară cunoaşterea caracteristicilor fizice ale planetei noastre, care permit realizarea de legături precise între poziţiile punctelor de pe scoarţa terestră (puncte geodezice reale) şi imaginile acestora pe elipsoidul adoptat. Două dintre caracteristicile fizice ale planetei sunt foarte importante pentru acest scop şi anume viteza de rotaţie a Pământului în jurul axei proprii şi valoarea acceleraţiei gravitaţionale în diferite puncte pe glob. Măsurarea cu precizie a acestor elemente a fost posibilă odată cu realizarea gravimetrelor şi a ceasurilor electronice de precizie. Determinarea potenţialului de atracţie în diferite puncte pe glob a condus la găsirea unei suprafeţe echipotenţiale specifice planetei noastre, numită geoid, care este o idealizare de tip fizic a formei Pământului. Geoidul este o suprafaţă echipotenţială, al cărei potenţial, constant, este dat de atracţia gravitaţională. Geoidul este deci o suprafaţă de nivel a potenţialului gravitaţional, care ar putea fi imaginată ca suprafaţa liniştită a oceanului planetar, care se prelungeşte pe sub continente.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 10 O proprietate importantă a acestei suprafeţe este aceea că direcţia forţei de gravitaţie se confundă cu normala la suprafaţă în orice punct considerat. Acest fapt permite realizarea de legături între măsurătorile geodezice şi topografice efectuate pe suprafaţa reală a Pământului şi geoid, deoarece aparatele topografice utilizează în procesul de măsurare două direcţii importante: verticala locului (direcţia forţei de gravitaţie) şi orizontala locului (tangenta la suprafaţa geoidului în punctul respectiv, perpendiculară pe direcţia forţei gravitaţionale). Dacă Pământul ar fi omogen şi nu ar avea mişcare de rotaţie în jurul axei proprii, geoidul corespunzător unei astfel de situaţii ar avea formă sferică. În realitate, forma geoidului este infuenţată de mişcarea de rotaţie, dar şi de repartiţia neuniformă a continentelor şi oceanelor pe suprafaţa globului terestru. Datorită mişcării de rotaţie, intensitatea potenţialului terestru scade de la cei doi poli către ecuator, determinând o deformare de tip eliptic a Pământului, adică o curbare a suprafeţei acestuia către poli, sau altfel spus distanţa de la suprafaţă până la centrul de atracţie este mai mică la poli decât la Ecuator, deci raza polară este mai mică decât raza ecuatorială, în condiţiile în care potenţialul pe geoid este constant. Astfel se explică faptul că unei diferenţe de potenţial gravitaţional oarecare îi corespunde o distanţă pe verticală mai mare la Ecuator şi mai mică la poli, adică distanţa verticală între două suprafeţe de nivel (cu două potenţiale constante diferite) este mai mică la poli şi mai mare la Ecuator. În condiţii de rotaţie în jurul axei proprii, dacă Pământul ar fi omogen, geoidul ar avea forma unui elipsoid perfect. În realitate masele continentale şi oceanice distribuite diferit, conduc la o variaţie a intensităţii potenţialului, care se manifestă atât de la Nord spre Sud, cât şi de la Est către Vest, iar această variaţie se suprapune cu cea datorată vitezei de rotaţie în jurul axei. Neuniformitatea intensităţii potenţialului este şi mai mare dacă iau în consideraţie forţele cosmice de atracţie, în special cea a Lunii, care conduce la variaţii ale nivelului oceanului planetar terestru (maree), cu amplitudini diurne de până la 19,5 m. Datorită variaţiilor neuniforme ale intensităţii potenţialului terestru, suprafaţa geoidului este uşor ondulată (adică se produce o uşoară deviere a verticalei faţǎ de normala la suprafaţa elipsoidului şi o uşoară turtire ecuatorială a acestuia). Cu toate acestea geoidul are avantajul că se poate utiliza drept suprafaţă de referinţă pentru exprimarea adîncimilor şi altitudinilor şi, în plus este foarte apropiat de un elipsoid de rotaţie. Între centrul geometric al elipsoidului de rotaţie, cu care se aproximează geoidul (elipsoidul de referinţă) şi centrul de atracţie terestru se pot realiza corelaţii, pe baza măsurătorilor gravimetrice.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 11 Astfel punctele geodezice reale de pe scoarţa terestră pot fi transpuse ca imagini pe elipsoidul de referinţă, cunoscând semiaxele elipsei meridiane a acestuia şi câmpul forţelor de atracţie. Pentru exemplificare, în tabelul 2.1 se prezintă parametrii medii ai elipsoidului universal, propus la a XVIII-a Adunare Generală a Asociaţiei Internaţionale de Geodezie, în anul 1983. În anul 1984, ca urmare a utilizării determinărilor efectuate cu ajutorul sistemului satelitar de poziţionare globală (GPS), parametrii elipsoidului de referinţă s-au recalculat şi s-a propus un nou elipsoid mondial de referinţă denumit WGS 84, cu parametri apropiaţi de cei propuşi în anul 1983. Tabel 2.1 Parametrii medii ai elipsoidului de referinţă universal-1983

Nr. crt. Parametri fundamentali Valori Unităţi de masură

1 Raza ecuatorială a Pământului 6378136 m 2 Turtirea polară 1:298.257 - 3 Turtirea ecuatorială 1:90000 -

4 Longitudinea axei mari a elipsei ecuatoriale 150 Vest grad sexagesimal

5 Viteza unghiulară de rotaţie 7.29 10-5 rad/s 6 Gravitatea la ecuator 9.78 m/s2 7 Potenţialul geoidului 62636860 m2/s2

2.2 Sisteme de coordonate carteziene şi geografice Sfera de rază medie şi elipsoidul de rotaţie, cu care se aproximează forma Pământului sunt corpuri care pot fi definite în raport cu un sistem de coordonate carteziene spaţial, Oxyz. Astfel, sfera (fig. 2.1) în raport cu sistemul cartezian care are originea în centrul său geometric are ecuaţia:

(2.1) 02222 =−++ Rzyx

Elipsoidul de rotaţie (fig. 2.2 ), în raport cu sistemul cartezian având originea în centrul geometric al acestuia are ecuaţia:

012

2

2

22

=−++

cz

ayx (2.2)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 12 unde a este semiaxa mare (ecuatorială) şi c-semiaxa mică (polară) ale elipsei meridiane. Cercul meridian, în cazul sferei sau elipsa meridiană în cazul elipsoidului se obţin prin intersecţia acestor corpuri cu un plan care conţine axa Oz a sistemului cartezian (care coincide cu axa polară a Pământului). Prin intersecţia acestor corpuri cu planul care conţine axele Ox şi Oy se obţine cercul ecuatorial. Orice punct, A, de pe suprafaţa sferei sau a elipsoidului reprezintă imaginea unui punct real de pe scoarţa terestră şi are poziţia determinată prin coordonatele carteziene xA, yA, zA (fig.2.1 şi fig. 2.2).

x

z

y

z

y

x

OR

R

a

c

aO

A A

xA

yA

zA

xA

yA

zA

2

1

2

1

S

V V

S

Fig . 2.1 Sfera terestră de rază medie Fig. 2.2 Elipsoidul de referinţă 1-cercul ecuatorial ; 2-cercul meridian; 1-cercul ecuatorial ; 2-elipsa meridiană; xA , yA , zA -coordonate carteziene ale xA , yA , zA -coordonate carteziene ale punctului A pe sfera de rază medie punctului A pe elipsoidul de referinţă Există însă posibilitatea ca poziţia punctului A de pe suprafaţa sferei sau de pe elipsoid să fie exprimată prin două valori unghiulare numite coordonate geografice. În cazul sferei (fig. 2.3) se consideră semicercul meridian de origine, care conţine axele Ox şi Oz şi semicercul meridian care conţine axa Oz şi punctul A. Aceste două semicercuri se intersectează după axa Oz, formând unghiul diedru λa, denumit longitudine geografică astronomică. Normala la sferă în punctul A, trece prin centrul sferei şi formează cu proiecţia sa pe planul ecuatorului unghiul φa, denumit latitudine geografică astronomică. Se poate obseva că orice punct de pe semicercul meridian al punctului A, are aceeaşi longitudine cu cea a punctului A. De asemenea, se poate intui că toate punctele de pe sferă care au coordonatele z egale cu zA, formează pe suprafaţa sferei un cerc al cărui

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 13 plan este paralel cu planul ecuatorului. Normalele la sferă în toate punctele de pe acest cerc (numit şi paralel) formează acelaşi unghi cu proiecţiile lor în planul ecuatorului, deci punctele de pe paralel au aceeaşi latitudine cu cea a punctului A. În cazul elipsoidului (fig. 2.4) se consideră semielipsa meridiană de origine, care conţine axele Ox şi Oz şi semielipsa meridiană a punctului A, care conţine axa Oz şi punctul A. Aceste două semielipse se intersectează dupa axa Oz şi formează unghiul diedru λ, denumit longitudine geografică elipsoidică. Normala la suprafaţa elipsoidului în punctul A, intersectează axa polilor într-un punct diferit de centrul geometric al elipsoidului şi formează cu proiecţia sa pe planul ecuatorului unghiul φ, denumit latitudine geografică elipsoidică. Ca şi în cazul sferei toate punctele situate pe aceeaşi semielipsă meridiană au aceeaşi longitudine şi toate punctele care au aceleaşi coordonate z se situează pe un cerc paralel cu planul ecuatorial, având aceeaşi latitudine.

x

1

V R

4

S

R

O A

R

3

2

y

5

A

zA

z

a

x

V a

1S

c

O

4

zA

z

2

3

y

5

A

A

Fig. 2.3 Coordonate geografice Fig . 2.4 Coordonate geografice astronomice elipsoidice 1-meridianul zero ; 2-meridianul punctului A ; 1-meridianul zero ; 2-meridianul punctului A 3-Ecuator; 4-paralelul punctului A ; 3-Ecuator ; 4-paralelul punctului A ; 5-normala punctului A 5-normala punctului A Trebuie remarcat faptul că două puncte, unul de pe sferă şi celălalt de pe elipsoid, care au aceeaşi coordonată z (în sistemul cartezian spaţial) şi corespund ca imagine aceluiaşi punct de pe suprafaţa fizică a Pământului, nu vor avea latitudinea şi longitudinea astronomice egale cu latitudinea şi longitudinea elipsoidice, datorită faptului că, pe de o parte, normala la sferă în puntul respectiv trece prin centrul sferei iar normala la elipsoid în acest punct nu trece prin centrul său şi, pe de altă parte, între normalele respective

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 14 şi direcţia verticalei locului (sau normalei la geoid) există un unghi denumit deviaţia verticalei.

Diferenţele de latitudini şi longitudini astronomice şi elipsoidice pentru acelaşi punct sunt relativ mici (de ordinul secundelor) însă transformate în diferenţe de distanţe ele sunt mari (chiar de ordinul sutelor de metri). Prin urmare nu trebuie să se confunde aceste două categorii de coordonate geografice, între care există relaţiile de legătură de forma: φ = φa –ξ

λ = λa – η . secφ (2.3) în care : φ este latitudinea elipsoidică ;φa – latitudinea astronomică ;λ – longitudinea elipsoidică ;λa – longitudinea astronomică ;ξ – deviaţia verticalei în planul meridian ;η – deviaţia verticalei în planul primului vertical (plan perpendicular pe planul meridian, care conţine normala la elipsoid în punctul considerat). 2.3 Legătura între sistemul de coordonate cartezian spaţial şi cel geografic elipsoidic Aşa cum s-a arătat, elipsoidul de referinţă pământesc este generat prin rotaţia unei elipse meridiane în jurul axei sale mici, care coincide cu axa polilor geografici ai Pământului. Principalii parametri care caracterizează acest elipsoid sunt : -semiaxa mare (ecuatorială) a elipsei meridiane, notată cu a ; -semiaxa mică (polară) a elipsei meridiane, notată cu c; -turtirea elipsoidului, notată cu α, având expresia:

a

ca −=α (2.4)

- prima excentricitate, notată e, deductibilă din relaţia:

2

222

acae −

= (2.5)

- a doua excentricitate, notată e’ , determinată din relaţia:

2

222

ccae −

=′ (2.6)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 15 - parametrul auxiliar, q, rezultat din expresia:

c

aq2

= (2.7)

- funcţiile fundamentale, W şi V, care pentru un punct de calcul de latitudine φ au expresiile: W2 = 1- e2 sin2φ

V2 = 1+ e,2 cos2φ (2.8) Poziţia unui punct oarecare pe suprafaţa elipsoidului de referintă se poate exprima prin coordonatele carteziene x, y, z sau prin coordonatele geografice elipsoidice φ, λ. Legătura între aceste coordonate pentru un punct oarecare (fig. 2.5) este realizată prin ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de referinţă:

x = N cos φ. cos λ y = N cos φ sin λ z = N(1+e2) sin φ (2.9)

unde : N = a/W = q/V este raza de curbură a primului vertical, iar celelalte elemente au fost arătate mai sus. Ca elipsoid de referinţă se alege acela care are suprafaţa cea mai apropiată de cea a geoidului terestru, motivul fiind reducerea la minimum posibil a deviaţiilor între verticala unui punct de pe geoid şi normala în punctul corespunzător la elipsoid. În cursul timpului, diferiţi geodezi au determinat parametrii elipsoidului de referinţă, cu precizii mai bune sau mai slabe, în funcţie de numărul şi calitatea măsurătorilor geodezice, astronomice şi gravimetrice efectuate în diferite puncte de pe glob. Începând cu anul 1841, cele mai bune precizii au fost obţinute de către Bessel, Clarke, Helmert, Hayford şi Krasovski. Elipsoidul determinat de Krasovski în anul 1940 a fost adoptat ca elipsoid de referinţă pentru România în anul 1951. Acest elipsoid are următorii parametri calculaţi: -semiaxa ecuatorială a=6378245,000m; -semiaxa polară c=6356863,019m; -turtirea α=0,00335233; -prima excentricitate e2=0,00669342; -a doua excentricitate =0,00673853; 2e′ -factorul auxiliar q=6399698,902m.


A

x

V a

S

OxA

c

zA

zA

z

yA y

Fig 2.5 Legătura între coordonatele carteziene şi cele geografice

În prezent aceşti parametri sunt determinaţi cu o precizie mult mai bună datorită introducerii măsurătorilor electronice de distanţe, a programelor geodezice satelitare şi a calculului electronic. 2.4 Legătura între suprafaţa fizică a Pământului şi elipsoidul de referinţă. Reţele geodezice După cum s-a arătat, corpul cu forma cea mai apropiată de cea a Pământului este geoidul, care însă nu permite exprimarea matematică a legăturii dintre poziţiile diferitelor puncte de pe suprafaţa sa . Din acest motiv geoidul este aproximat printr-un elipsoid de referinţă. Măsurătorile însă, se realizează între puncte reale, existente pe suprafaţa fizică(topograficǎ) a planetei noastre. Pentru a corela aceste măsurători prin relaţii matematice este necesar ca toate să fie raportate la suprafaţa geometrică a elipsoidului de referinţă, deci să se găsească imaginile punctelor reale ale scoarţei terestre pe suprafaţa elipsoidului. Acest lucru este complicat deoarece, datorită unor factori ca neuniformitatea reliefului, anomaliile gravitaţionale etc. nu există coincidenţă între verticala punctului real, verticala transpusului acestui punct pe geoid şi normala imaginii punctului real pe elipsoid. Totuşi, acceptând un anumit grad de aproximare şi simplificare există metode care permit determinarea imaginilor punctelor reale de pe scoarţa terestră, pe suprafaţa elipsoidului, ca de exemplu:

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 17 a) Metoda desfăşurării În acest caz se alege un punct fizic (denumit punct fundamental) pentru care se poate considera că imaginile sale pe geoid şi pe elipsoid coincid iar verticala punctului pe geoid este identică cu normala punctului pe elipsoid. Ca date iniţiale se consideră coordonatele geografice elipsoidice ale punctului fundamental şi un azimut determinat în acest punct (azimutul este unghiul dintre meridianul punctului şi o linie geodezică ce trece prin punctul respectiv, măsurat în sens orar). Pornind din punctul fundamental se pot determina coordonatele geodezice ale altor puncte fizice asupra cărora s-au efectuat măsurători, care s-au raportat în prealabil numai la suprafaţa geoidului. Această metodă de realizare a unei reţele de puncte geodezice introduce erori sistematice cu atât mai mari cu cât distanţa punctelor determinate faţă de punctul fundamental este mai mare, motiv pentru care este folosită doar în cazul unor teritorii de întindere mică. b)Metoda proiectării Aceasta (fig.2.6) constă în transpunerea elementelor măsurate între puncte de pe suprafaţa. fizică(unghiuri, direcţii, distanţe), la nivelul elipsoidului, prin aplicarea unor corecţii. În acest fel se obţin imaginile punctelor de pe elipsoid. Pentru aceasta se pot utiliza două procedee:

(E)

(G)

(S)

(N2)(N1)

P1

P2

(V)

(V1) P

P

Fig. 2.6 Transpunerea punctelor de pe suprafaţa fizică, pe elipsoid, prin

metoda proiectării Procedeul Pizzetti- traseul P-P1-P2 ; Procedeul Bruns-Helmert- traseul P-PP

’

(V)-verticala punctului real, P, de pe scoarţa terestră; (V1)-verticala imaginii, P1, a punctului real, pe geoid;

P’şi P2-imagini ale punctului real pe elipsoid, obţinute prin cele două procedee de proiectare b1) Procedeul Pizzetti, care constă în transpunerea punctului real, P, de pe suprafaţa fizică (S) a Pământului, în punctul P1, de pe suprafaţa (G) a geoidului, cu ajutorul verticalei (V). Traseul după care se face proiectarea

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 18 punctului P în P1 nu păstrează direcţia verticalei, ci se curbează datorită anomaliilor gravitaţionale. Punctul P1 de pe geoid se proiectează în continuare pe elipsoid (E) după direcţia normalei (N1) la suprafaţa acestuia, obţinându-se punctul P2, a cărui poziţie poate fi exprimată prin coordonate carteziene sau geografice. Acest procedeu este relativ complicat deoarece presupune determinarea curburii verticalei pentru fiecare punct proiectat pe geoid, fapt care necesită o cantitate mare de măsurători. b2) Procedeul Bruns-Helmert constă în proiectarea directă a punctului real, P, de pe suprafaţa fizică (S), pe suprafaţa elipsoidului (E) după direcţia normalei (N2) la suprafaţa acestuia, obţinându-se punctul P’. Acest procedeu este mai simplu şi practic, fiind foarte utilizat. Indiferent de procedeul utilizat, pe elipsoidul de referinţă se obţin poziţiile imaginilor unor puncte reale, care pe scoarţa terestră sunt materializate cu borne de beton. Aceste puncte sunt dispuse pe teren la distanţe de ordinul 1-30 Km, astfel încât ele constituie vârfurile unei reţele de triunghiuri alăturate, numită reţea de triangulaţie (fig. 2.7).

z

y

x

OV

S

Fig 2.7 Reţele de triangulaţie pe glob

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 19 Măsurătorile geodezice efectuate repetat asupra punctelor din această reţea permit determinarea deformaţiilor pe care le suferă în timp scoarţa terestră. În acelaşi timp aceste puncte permit să se facă trecerea la reprezentarea suprafeţei terestre în plan, prin adoptarea unui anumit sistem de proiecţie cartografică. Prin proiecţia cartografică se face legătura între coordonatele geografice elipsoidice ale punctelor de triangulaţie şi coordonatele rectangulare plane ale acestor puncte. Detaliile mai mici de pe teren situate între punctele reţelei de triangulaţie se determină prin măsurători topografice sprijinite pe punctele acesteia şi se reprezintă direct în planul de proiecţie adoptat. Prin urmare măsurătorile geodezice au ca scop practic legarea sistemelor rectangulare plane de reprezentare, cu scoarţa terestră şi cu elipsoidul de referinţă, prin intermediul punctelor de triangulaţie, fapt pentru care această reţea se mai numeşte şi reţea planimetrică de sprijin. Denumirea de reţea de triangulaţie a derivat de la faptul că punctele acesteia au fost determinate prin măsurători efectuate în principal asupra celor trei unghiuri din fiecare triunghi al reţelei. Prin creşterea preciziei la măsurarea distanţelor pe cale electronică, în prezent există astfel de reţele ale căror puncte se determină prin măsurători efectuate în principal asupra laturilor fiecărui triunghi din reţea, acestea fiind denumite reţele de trilateraţie. Reţelele planimetrice de triangulaţie sau trilateraţie sunt reţele de tip internaţional si reţele de stat. Cele internaţionale au ca scopuri studiul dinamicii formei Pământului, racordările reprezentărilor cartografice de ansamblu ale suprafeţei terestre sau elemente de tip global. Reţelele planimetrice de stat au scopuri naţionale de tip ştiinţific, economic, militar etc. şi sunt împărţite în ordine de importanţă. În România există -deşi este veche- o reţea planimetrică ale cărei puncte sunt împărţite în cinci ordine de importanţă (de la I până la V). Fiecare ordin diferă prin: distanţele între puncte, prin forma triunghiurilor şi prin metodele şi preciziile de măsurare şi calcul. Reţelele de ordinul I şi II au aceeaşi destinaţie ca şi reţeaua internaţională şi constituie baza pentru dezvoltarea întregii reţele planimetrice a României. Punctele reţelelor I şi II au distanţe medii de 13-25 Km. Reţelele de ordinul III-V sunt reţele de îndesire care permit sprijinirea ridicărilor topografice de detaliu, având distanţe medii între puncte de 2-8 Km. În zonele aglomerate punctele de ordinul V sunt dispuse la distanţe reduse (sub 1Km). În ultima vreme, prin utilizarea sistemului satelitar de poziţionare globală (GPS), în România s-a creat o reţea de puncte de sprijin de ordinul A şi s-a trecut la crearea staţiilor GPS fixe de referinţă, modificându-se caoncepţia asupra reţelelor de sprijin.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 20 2.5 Problema exprimării poziţiei pe verticală a punctelor. Suprafeţe de nivel şi reţele de nivelment Înălţimea unui punct de pe scoarţa terestră se poate exprima prin energia potenţială a acelui punct în raport cu centrul de atracţie al Pământului. Toate punctele care au acelaşi potenţial formează o suprafaţă echipotenţială sau o suprafaţă de nivel. Suprafaţa medie a oceanului planetar este o suprafaţă echipotenţială denumită suprafaţă de nivel zero (geoid). Prin două puncte cu potenţial diferit vor trece două suprafeţe de nivel diferite. Fiecare dintre aceste suprafeţe reprezintă câte un potenţial constant, care însă depinde de acceleraţia gravitaţională. Deoarece acceleraţia gravitaţională variază în funcţie de latitudine şi adâncime, rezultă că distanţa între aceste două suprafeţe de nivel, măsurată pe verticală în diferite puncte, variază (scade de la ecuator către poli), deci cele două suprafeţe de nivel nu sunt paralele. Distanţele astfel considerate se denumesc cote ortometrice ale punctelor de pe suprafaţa (S2) în raport cu suprafaţa (S1) (fig. 2.8) Materializarea cotei suprafeţei de nivel zero se poate face doar la ţărmul mării unde se marchează printr-un reper nivelul mediu al apei în punctul considerat. Un astfel de reper se numeşte zero fundamental şi este utilizat pentru determinarea cotelor ortometrice ale punctelor de pe uscat pe un teritoriu oarecare (de exemplu pentru o ţară). Deoarece suprafaţa geoidului nu este accesibilă decât la ţărmul mării cota unui punct de pe uscat se va determina prin măsurători executate pe suprafaţa terenului din aproape în aproape, plecând de la punctul zero fundamental (sau de la un punct de cotă cunoscută determinat asemǎnǎtor) până la punctul considerat.

1

2

2

1

h1

h2

(S1)

(S2)

Fig. 2.8 Suprafeţe de nivel Pe teren se măsoară diferenţa geometrică de nivel între punctul cunoscut şi cel necunoscut (fig. 2.9). Cota punctului necunoscut va rezulta prin însumarea cotei punctului cunoscut şi diferenţei de nivel între cele două puncte:

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 21 H1b= H0 + Δh0-1 (2.10)

Cota astfel obţinută este o cotă brută care nu ţine cont de neparalelismul suprafeţelor de nivel şi de efectul curburii şi refracţiei atmosferice, care au afectat măsurătoarea. Prin aplicarea acestor corecţii se obţine cota ortometrică a punctului nou:

H1=H1b +c1 +c2 (2.11) unde c1 este corecţia ortometrică şi c2 corecţia de sfericitate şi refracţie atmosferică. Aceste corecţii se aplică în cazul determinării cotelor punctelor din reţeaua de sprijin pentru nivelment, dar pentru ridicări nivelitice obişnuite, unde distanţele dintre puncte sunt mici se utilizează cotele brute conform reaţiei (2.10), deoarece erorile sunt foarte mici.

0

1

h0-1

H 0

H 1

1

Fig. 2.9 Determinarea cotei unui punct nou

1-suprafaţă de referinţă Reţeaua de puncte de sprijin pentru nivelment este formată din puncte marcate pe teren cu borne de beton, diferite de cele ale reţelelor planimetrice de sprijin. Punctele de sprijin pentru nivelment sunt împărţite în modul următor: -reţele de tip α, numite şi reţele de nivelment geometric geodezic; -reţele de tip β, care îndesesc reţelele de tip α; -reţele de tip local. Reţelele de tip α sunt reţele de nivelment de înaltă precizie împărţite în patru ordine de importanţă (I-IV). Ele constituie baza principală pentru ridicările

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 22 topografice altimetrice şi servesc unor scopuri ştiinţifice ca de exemplu studiul deplasărilor pe verticală ale scoarţei terestre şi determinarea diferenţelor de cotă ale mărilor şi oceanelor. Reţeaua α de ordinul I formează poligoane cu lungimi de 1200-1500Km. Punctele sunt dispuse în lungul căilor ferate sau şoselelor, iar cotele lor se încadrează într-o toleranţă de determinare de + 2mm/Km. Această reţea se leagă de cele ale ţărilor vecine, fiind utilizată pentru studii de ansamblu. Reţeaua α de ordinul II formează poligoane cu lungimi de 500-600 Km sprijinite pe reţeaua de ordinul I. Punctele reţelei sunt dispuse în lungul căilor de transport şi al apelor mari (râuri, fluvii). Cotele acestor puncte sunt determinate cu o toleranţă maximă de + 5mm/Km. Reţeaua α de ordinul III formează poligoane cu perimetrul de 150-200Km şi se sprijină pe reţelele de ordinul I şi II Cotele punctelor au o toleranţă de determinare de + 10mm/Km. Reţeaua α de ordinul IV se sprijină pe reţelele de ordin superior şi formează poligoane sau traverse cu o desfăşurare de 50-100Km. Cotele sunt determinate cu o toleranţă de + 20mm/Km. În reţelele de tip α se includ şi cele pentru nivelment urban, care corespund ca grad de precizie reţelelor de ordin II-IV. Reţelele de nivelment de tip β sunt reţele de îndesire ale celor de tip α şi sunt utilizate pentru lucrări topografice. Reţelele de nivelment locale sunt utilizate pentru lucrări speciale cum sunt cele de urmărirea tasării construcţiilor importante. Aceste reţele în general nu sunt legate de cele de tip α sau β. Reţeaua de puncte de nivelment de sprijin de tip α şi β constituie o bază unitară de exprimare a cotelor pentru tot teritoriul României, în raport cu punctul zero fundamental situat în portul Constanţa, la nivelul geoidului terestru. 2.6 Marcarea şi semnalizarea punctelor reţelelor de sprijin Atât punctele din reţelele de triangulaţie, cât şi cele din reţelele de nivelment au fost marcate pe teren de aşa natură, încât să asigure păstrarea nealteratǎ, în timp, a poziţiei lor. În cazul punctelor de triangulaţie interesează păstrarea poziţiei în plan orizontal a verticalei punctului considerat, iar în cazul punctelor de nivelment este importantă păstrarea intactă a cotei punctului. Aceste cerinţe sunt îndeplinite prin plantarea în sol a unor borne de beton armat şi încastrarea în aceste borne a unor mărci realizate din fontă, care reprezintă punctul matematic. Adâncimea de instalare a bornelor în sol este mai mare decât adâncimea de îngheţ şi depinde de stabilitatea solului. Bornele au

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 23 formă de trunchi de piramidă cu secţiune pătrată, iar dimensiunile acestora depind de clasa de importanţă a punctului şi de condiţiile de instalare. În cazul punctelor de triangulaţie, sub borna de beton, la o anumită adâncime se instalează una sau mai multe borne suplimentare cu mărci din fontă care materializează verticala punctului (fig. 2.10). Acestea permit refacerea bornei superioare în cazul distrugerii sale accidentale.Deasupra bornei inferioare se intercalează un strat de semnalizare din cărbune, cărămidă sau alte materiale deosebite care să atenţioneze despre existenţa reperului suplimentar, care nu trebuie să fie deranjat când se sapǎ. La reţelele de nivelment instalarea bornelor de beton se face astfel încât marca de fontă încastrată în capul bornei să se situeze la o adâncime de 1m sub nivelul terenului iar baza bornei să fie situată sub adâncimea maximă de îngheţ (fig. 2.11). O astfel de amplasare fereşte reperul de variaţiile de temperatură care produc dilatări sau contracţii şi de fenomenul de dislocare datorită îngheţului şi dezgheţului din sol. În terenurile mai slabe, în locul bornei se realizează coloane de beton armat turnate în foraje, executate până la un strat tare sau impermeabil. Punctul matematic (punctul asupra căruia se realizează măsurătorile) este reprezentat de capul semisferic al mărcii de fontă încastrată în corpul bornei de beton (fig. 2.12). Aşa cum s-a afirmat, la punctele reţelelor de triangulaţie interesează stabilitatea verticalei acestora. Deoarece asupra acestor puncte se realizează măsurători unghiulare de la mare distanţă, verticala lor a fost materializată deasupra bornelor prin intermediul unor semnale vizibile. Aceste semnale s-au construit de obicei sub forma unor piramide la sol (fig 2.13) sau piramide cu poduri (fig. 2.14). La partea superioară a acestora se instalează un pop vertical a cărui axă coincide cu verticala punctului marcat la sol. Pe acest pop se instalează un semnal sub forma unui cilindru sau fluture. Piramidele sunt construite din lemn sau metal şi au trei sau patru picioare, având înălţimi de 10-30m. În interiorul oraşelor punctele de triangulaţie se fixează pe terasele acoperiş ale clădirilor înalte şi se semnalizează prin intermediul balizelor cu pilastru (fig. 2.15) iar punctele de nivelment se marchează cu reperi plantaţi în pereţii construcţiilor stabile (fig. 2.16). Trebuie subliniat că în interiorul oraşelor, construcţiile înalte cum sunt clopotniţele bisericilor, coşurile de fum, castelele de apă ,antenele de televiziune sunt utilizate ca puncte de îndesire a reţelei de triangulaţie. Astfel, pentru crucile bisericilor şi pentru paratrăsnetele de pe celelalte construcţii înalte se calculează coordonatele rectangulare. Deşi aceste puncte nu sunt accesibile, ele sunt utilizate pentru ridicări topografice în oraşe, coordonatele lor fiind determinate printr-o metodă specială de

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 24 îndesire a reţelelor de sprijin, numită intersecţie directă sau intersecţie înainte, care nu presupune accesul în punctul respectiv.

1

2

7

8

5

4

3

1

2

7

8

3

5

4

4

4

9

3 Fig. 2.10 Marcarea punctelor din reţelele planimetrice de triangulaţie

a-bornă de suprafaţă ; b-bornă îngropată 1-marcă de fontă cu cap sferic ; 2-bornă de beton armat ; 3- borne suplimentare ; 4-mărci de fontă

suplimentare ; 5-strat de balast ; 6-mortar de ciment ; 7- umplutură de pământ ; 8-groapă de fundaţie ; 9-şanţ de scurgere a apelor pluviale

1

3

2

1

TEMLE

VI

adincime de inghet

2

3

4

5

min. 1m

1m

Fig. 2.11 Reper fundamental Fig. 2.12 Marcă de fontă pentru de nivelment reperi 1-marcă de fontă cu punctul matematic; 1-corpul mărcii; 2-punctul matematic; 2-marcă suplimentară;3-bornă de beton armat 3-bornă de beton armat; 4-capac; 5-şanţ de scrgere a apelor pluviale


82

13

6

7

5

4

1

2

3

4

5 6

7

Fig. 2.13 Piramidă la sol Fig. 2.14 Piramidă cu poduri 1- bornă superioară; 2- bornă suplimentară 1- bornă ; 2- picior ; 3- contravântuire;

3- punct matematic; 4- pop ; 5- fluture ; 4- poduri ; 5- pop ; 6- cilindru; 7- pilastru 6- contrafişă ; 7- rigidizare ; 8- picior

4

3

2

1

1

2

3

Fig. 2.15 Baliză cu pilastru Fig. 2.16 Reper de perete pentru nivelment

1- terasă acoperiş ; 2- pilastru de beton ; 1- punct matematic ; 2- coada reperului ; 3- perete 3- pop ; 4- fluture


Cap. 3 Noţiuni de cartografie 3.1 Elemente privind proiecţiile cartografice Cartografia studiază modalităţile de reprezentare a suprafeţei Pământului în plan, de obţinere a planurilor şi hărţilor şi de multiplicare a acestora . Deoarece suprafaţa sferoidală a Pământului nu este desfăşurabilă în plan, se recurge la proiecţia cartografică, adică o modalitate de transpunere a detaliilor scoarţei terestre, de pe sferă sau elipsoid, pe suprafeţe curbe, care prin desfăşurare permit obţinerea planurilor şi hărţilor. Această transpunere are loc după relaţiile cartografiei matematice, astfel încât pentru toate punctele să existe o legătură între coordonatele geografice de pe sferă sau elipsoid şi cele rectangulare din planul proiecţiei iar deformaţiile rezultate la reprezentare să fie cât mai mici şi să poată fi evaluate. Din punct de vedere al tipului de deformare, proiecţiile cartografice sunt: -proiecţii conforme, la care unghiurile între aliniamente rezultate în reprezentarea în plan sunt egale cu cele dintre aliniamentele corespondente din teren; -proiecţii echivalente, la care se păstrează raportul dintre suprafeţele din reprezentare şi cele din teren, dar forma suprafeţei se modifică prin proiecţie; -proiecţii arbitrare, la care se modifică şi unghiurile şi suprafeţele, dar se menţine echivalenţa unor distanţe. În funcţie de suprafaţa desfăşurabilă pe care se face proiecţia se deosebesc: a) Proiecţii conice, la care se utilizează suprafaţa laterală a unui con situat tangent sau secant la sfera terestră. Prin desfăşurarea conului meridianele rezultă sub forma unor drepte convergente iar paralelele rezultă ca arce de cerc concentrice (fig. 3.1). Aceste proiecţii pot fi normale, oblice sau transversale, după cum înălţimea conului şi axa polilor tereştri coincid, formează un unghi oarecare sau sunt perpendiculare. b) Proiecţii cilindrice, la care suprafaţa de proiecţie este un cilindru tangent la sfera sau la elipsoidul terestru. Prin desfăşurarea cilindrului se obţine planul proiecţiei. Aceste proiecţii sunt normale, oblice sau transversale, după cum axa polilor tereştri şi axul cilindrului coincid, formează un unghi oarecare sau sunt pependiculare (fig. 3.2) c) Proiecţii azimutale sau zenitale, la care suprafaţa Pământului este proiectată pe un plan care este tangent sau secant la sfera sau elipsoidul

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 27 terestru într-un punct oarecare numit centrul proiecţiei. Aceste proiecţii se împart la rândul lor în: - proiecţii azimutale ortografice, la care dreptele de proiecţie sunt paralele între ele (fig. 3.3a); - proiecţii azimutale centrale, la care dreptele de proiecţie sunt razele sferei sau elipsoidului (fig. 3.3b); - proiecţii azimutale stereografice, la care dreptele de proiecţie pornesc dintr-un punct diametral opus centrului proiecţiei (fig. 3.3c)

P'

P

P'

P1

P

Fig. 3.1 Proiecţie conică normală Fig. 3.2 Proiecţie cilindrică normală

a. b. c.

Fig. 3.3 Proiecţie azimutală pe plan tangent a- ortografică ; b- centrală ; c- stereografică

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 28 3.2 Proiecţii cartografice utilizate în România În România se utlizează în mod curent două proiecţii cartografice: a) Proiecţia Gauss-Krüger Aceasta este o proiecţie cilindrică transversală de tip conform care a fost adoptată de majoritatea ţărilor lumii, datorită avantajelor sale referitoare la reprezentarea în mod unitar a întregului Pământ. În această proiecţie punctele de pe suprafţa fizică a Pământului se consideră că sunt deja reprezentate pe elipsoidul de referinţă. Suprafaţa elipsoidului este împărţită prin meridiane trasate la diferenţe de longitudine de 60, în 60 de fuse, începând cu meridianul de 1800, opus meridianului zero (Greenwich). Prin mijlocul fiecărui fus trece un meridian numit meridian axial. Se consideră un semicilindru eliptic al cărui ax este perpendicular pe axa polilor Pământului. Acest semicilindru este poziţionat astfel încât să fie tangent la elipsoidul de referinţă de-a lungul meridianului axial al unui fus (fig 3.4). Punctele fusului respectiv se proiectează spre exterior pe suprafaţa semicilindrului, după care acesta se desfăşoară. Rezultă astfel imaginea în plan a fusului, în care meridianul axial şi Ecuatorul sunt proiectate ca două drepte perpendiculare care constituie axele Ox şi Oy ale sistemului rectangular plan corespunzător acestui fus. Fiecare fus desfăşurat va avea propriul sistem rectangular plan de axe de coordonate.

24°27°

30°

x=N

y=E

1

2

0

meridian axial

3

4

Fig. 3.4 Proiecţia cilindrică transversală Gauss-Krüger

1- Ecuator ; 2- fusul nr. 35 cu meridianele marginale de 240 şi 300 ;3- fusul nr. 35 cu meridianele marginale de 240 şi 300 proiectat pe semicilindru; 4- imaginea fusului nr. 35 de pe semicilindru

desfăşurată în plan Dacă se procedează în mod asemănător pentru fiecare fus în parte se vor obţine 60 de imagini în plan care redau suprafaţa întregului Pământ. Cele

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 29 60 de fuse sunt numerotate cu cifre arabe de la vest la est: fusul din dreapta meridianului de 1800 are numărul 1 iar cel din stânga are numărul 60, astfel că fusele de lângă meridianul Greenwich sunt numerotate cu 30 şi 31. Suprafaţa României este cuprinsă în fusele 34 şi 35 cu meridianele axiale de 210 şi 270 longitudine estică (fig.3.5). În acest sistem de proiecţie distanţele în lungul meridianului axial nu suferă deformaţii dar cele de la marginea fusului sunt deformate; la latitudinea de 450 deformaţia în marginea fusului este de 0,67m pentru o distanţă de 1Km. Pentru un fus oarecare, între coordonatele geografice φ şi λ ale unui punct de pe elipsoid şi coordonatele x şi y ale punctului respectiv pe suprafaţa desfăşurată a fusului (coordonate rectangulare plane) există o corespondenţă de forma: x = f1(φ, λ,a,c)

y = f2(φ, λ,a,c) ( 3.1) unde a şi c sunt semiaxele elipsei meridiane a elipsoidului de referinţă.

Craiova

21°

44°

45°

24°

Drobeta

Oradea

Timisoara

Arad

47°

Cluj

Satu Mare

48°

Baia Mare

Galati

Bucuresti

27°

BrasovFagaras

Suceava

Iasi

Constanta

21°

27°

ridian axial34

meridian axialfus 35

24°

fusul 34 fusul 35

Fig. 3.5 Poziţia suprafeţei României în proiecţia cilindrică transversală Gauss-Krüger

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 30 b) Proiecţia stereografică pe plan secant unic –1970 Această proiecţie azimutală, oblică, conformă este utilizată în România începând cu anul 1973 pentru scopuri economice. Punctul central al proiecţiei este ales aproximativ la mijlocul teritoriului României (la nord de oraşul Făgăraş) având coordonatele geografice φ = 460 şi λ = 250, iar planul de proiecţie intersectează elipsoidul de referinţă la adâncimea de 3189.478 m faţă de punctul de tangenţă. Prin această intersecţie rezultă aproximativ un cerc a cărui rază este de 201,718Km, de-a lungul căruia deformaţiile prin proiecţie de pe elipsoid pe planul secant sunt nule. În interiorul acestui cerc distanţele proiectate suferă deformaţii negative iar în exterior deformaţii pozitive faţă de valorile reale (fig. 3.6). Sistemul cartezian al proiecţiei are originea în punctul central, axa Ox pe direcţia Nord a meridianului de 250 longitudine estică iar axa Oy pe direcţia Est a paralelei de 460 latitudine nordică (fig. 3.7). Coordonatele rectangulare plane ale originii sistemului sunt x0 = 500.000m şi y0 = 500.000m, alese astfel ca toate punctele de pe teritoriul ţării să aibă coordonate pozitive. Adâncimea planului secant, deci în consecinţă, raza cercului de deformaţie nulă s-a ales astfel încât în centrul proiecţiei, deformaţiile specifice la proiecţia distanţelor de pe elipsoid pe plan să fie de – 0,25 m/Km iar în zona graniţelor să fie de +0,215 m/km, adică deformaţiile negative cu cele pozitive să se echilibreze pe ansamblul suprafeţei ţării. Această proiecţie prezintă deformaţii mai mici decât cea cilindrică transversală, iar relaţiile de trecere de la elipsoid la plan sunt mai uşor de aplicat, astfel că ea se foloseşte în România pentru obţinerea planurilor şi hărţilor topografice şi de interes economic.

O

z

XNord

diametrul cercului deformatiilor nule

imaginea pe sfera a punctului real de la Nord de Fagaras(punct detangenta)

punct de vedere al proiectiei STEREO 70

centrul(originea)proiectiei STEREO 70

adâncimea de taiere(secanta)a planului STEREO 70

planulproiectiei STEREO 70(plan secant)

deformatie negativa la proiectia unei distante de pe sfera pe plan(în interiorul cercului deformatiilor nule)

h

deformatie pozitiva la proiectia unei distante de pe sfera pe plan(în afara cercului deformatiei nule)

201.718 km

201.718 km

x

y

sistemul rectangular spatial Oxyz al sferei terestre

fascicul de directii de proiectie a punctelor de pe sfera pe planul STEREO 70

axa Ox din planul proiectiei STEREO 70

Fig. 3.6 Proiecţia stereografică pe plan secant unic-1970


Craiova

46°

21°

44°

45°

22°

23°24°

Drobeta

Oradea

Timisoara

Arad

47°Cluj

Satu Mare

48°

Baia Mare

Galati

26°25°

Bucuresti

27°

BrasovFagaras

Suceava

Iasi

28°

Constanta29°

21°

27°

y=500000m

ϕ=46°

x=50

0000

m

λ=25°

Y

XNord

EstO

cercul deformatiilor nule-r=201,718km

Fig. 3.7 Sistemul rectangular plan şi cercul deformaţiilor nule

la proiecţia Stereo 70 3.3 Hărţi şi planuri topografice Hărţile sunt reprezentări convenţionale asemenea, reduse la o scară anume, ale unor suprafeţe terestre, pe foi de hârtie. Dacă suprafeţele de reprezentat sunt foarte mari, atunci este necesar să se ia în consideraţie curbura Pământului, iar pentru obţinerea reprezentării se utilizează o proiecţie cartografică. În acest caz reprezentarea va fi o hartă. Dacă însă suprafeţele de reprezentat sunt reduse, atunci reprezentarea lor în plan se poate realiza prin proiectante paralele verticale (o proiecţie geometrică obişnuită). În acest caz nu se ţine seama de curbura Pământului şi se obţin planuri topografice. Considerând o foaie de hârtie de mărime obişnuită, prin proiecţie geometrică clasică se poate reprezenta pe aceasta o suprafaţă de teren egală cu cea a foii de hârtie. În acest caz scara de reprezentare este 1:1, adică distanţele orizontale de pe teren s-au reprezentat cu aceeaşi mărime pe plan, rezultând toate detaliile de pe suprafaţa respectivă. Dacă pe aceeaşi foaie de hârtie se doreşte reprezentarea unei suprafeţe de patru ori mai mare, atunci distanţele orizontale din teren trebuie să fie reduse de două ori; scara de

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 32 reprezentare este deci 1:2. În acest caz unele detalii mici din teren nu mai pot fi reprezentate pe foaia de hârtie datorită limitărilor impuse de grosimea liniilor şi de claritatea desenului. Dacă scara de reprezentare se alege de exemplu 1:5000, atunci distanţele din teren se vor reduce de 5000 de ori iar suprafaţa de teren reprezentată va fi de 5000x5000=25000000 de ori mai mare decât a foii de hârtie. Pe foaia de hârtie se pot reprezenta clar, detalii care au dimensiuni minime de 0,5mm, adică în teren au dimensiuni de 0,5mm x 5000 = 2500mm =2,5m. Rezultă că la scara 1:5000 nu pot fi reprezentate detalii cu dimensiuni reale mai mici de 2,5m. Cu cât reducerea distanţelor este mai importantă, cu atât detaliile din teren posibil de reprezentat pe foaia de hârtie vor avea dimensiuni mai mari, astfel că la scara 1:1.000.000 detaliile cele mai mici vor avea dimensiuni reale de 0,5mmx1.000.000 = 500m. Scara de reprezentare a unei hărţi se defineşte deci ca un raport (constant pentru o hartă dată) între distanţa reprezentată şi distanţa reală corespunzătoare:

Dd

N=

1 sau 1:N =d:D (3.2)

unde N este numitorul scării, d- distanţa reprezentată în planul hărţii şi D- distanţa corespunzătoare de pe teren. Hărţile se întocmesc de obicei la scări care au valoarea N rotundă (1:100, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000..........1:1.000.000). Dacă numitorul scării este mic scara este mare iar dacă numitorul este mare scara este mică, deoarece, de exemplu 1:100 > 1:1000. De obicei scara unei hărţi este prezentată pe foia de hârtie sub formă numerică (de exemplu 1:1000) şi sub formă grafică simplă. Scara grafică simplă (fig.3.8) este o reprezentare a scării numerice, sub forma unei axe cu o origine. În stânga originii se reprezintă la scara dată o distanţă rotundă reală, împărţită în diviziuni având de asemenea valori rotunde. În dreapta originii este reprezentată aceeaşi distanţă de mai multe ori.

1 Km 750 m 500 m 250 m 0 1 Km 2 Km

1:25.000

Fig. 3.8 Scara grafică simplă

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 33 Partea din stânga originii se numeşte talonul scării grafice. Scara grafică este utilizată la determinarea pe hartă a distanţelor cu ajutorul compasului distanţier. 3.3.1 Conţinutul unei hărţi

Reprezentarea unei hărţi se realizează pe foi de hârtie cu format

dreptunghiular, astfel încât latura din stânga reprezintă direcţia locală Nord – Sud a proiecţiei respective. Reprezentarea propriu-zisă este limitată în stânga şi în dreapta de traseele a două meridiane, iar partea superioară şi cea inferioară de traseele a două paralele. La exteriorul zonei desenate este trasat cadrul geografic al hărţii (fig. 3.9) format din două linii paralele între care se află spaţii albe şi spaţii negre. Lungimea unui spaţiu alb sau negru de pe laturile stânga şi dreapta ale hărţii reprezintă lungimea unui arc de meridian, corespunzător unui unghi de 1’ latitudine. Lungimea unui spaţiu alb sau negru de pe laturile superioară şi inferioară ale hărţii reprezintă lungimea unui arc de paralel, corespunzător unui unghi de 1’ longitudine. Lungimile arcelor de paralel şi de meridian, corespunzătoare unui unghi de 1’ sunt diferite, astfel că spaţiile albe şi negre de pe laturile stânga-dreapta ale cadrului geografic au lungimi diferite faţă de cele de pe laturile superioară-inferioară. Dacă se unesc imaginar capetele segmentelor negre şi albe de pe laterale se obţin paralelii de pe zona reprezentată, la diferenţe de 1’ pe latitudine, iar prin unirea capetelor segmentelor negre şi albe de pe părţile superioară şi inferioară se obţin meridianele zonei respective, la diferenţe de 1’ pe longitudine. În colţurile cadrului geografic sunt înscrise latitudinile şi longitudinile minime şi maxime ale zonei reprezentate, în grade şi minute sexagesimale. Cadrul geografic permite determinarea coordonatelor geografice (latitudinea, φ şi longitudinea, λ) pentru oricare punct de pe suprafaţa reprezentată, în modul următor (vezi fig. 3.9): din punctul respectiv se coboară perpendiculare pe latura inferioară şi pe cea din stânga, ale cadrului geografic, determinându-se astfel latitudinea, φ0 şi longitudinea, λ0 ale capetelor de segment alb sau negru, intersectate de perpendiculare. În continuare se măsoară lungimile segmentelor de cadru corespunzătoare unui minut de latitudine (l2) şi longitudine (l4) şi distanţele de la capetele segmentelor intersectate până la perpendicularele respective, pe latitudine (l1) şi pe longitudine (l3).


A

l4

l3

l1

l2

ΔϕA

ΔλA

ϕ0

ϕA

λ0 λA45°10' 45°10'

45°13'45°13'25°30' 25°34'

25°30' 25°34'

1

2 Fig. 3.9 Cadrul geografic al hărţii

1- paralele ; 2- meridiane Coordonatele geografice ale punctului respectiv (punctul A din figură) vor fi:

2

1'00 1

ll

AA ⋅+=Δ+= ϕϕϕϕ

4

3'00 1

ll

AA ⋅+=Δ+= λλλλ (3.3)

Peste zona care cuprinde reprezentarea propriu-zisă a hărţii este suprapusă o reţea de pătrate trasate cu linii de culoare neagră. Laturile acestei reţele sunt paralele cu axele Ox şi Oy ale sistemului cartezian, considerate în centrul sistemului de proiecţie ales, dar nu sunt paralele cu marginile reprezentării care sunt meridiane şi paralele ale zonei. Latura unui pătrat reprezintă pe teren o distanţă de 1 Km. Pe marginea reprezentării sunt

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 35 înscrise, în cifre, coordonatele liniilor reţelei de pătrate faţă de originea sistemului cartezian al centrului de proiecţie, în Km (fig. 3.10). Reţeaua de pătrate a hărţii permite determinarea coordonatelor carteziene plane ale unui punct A, de pe hartă astfel (fig. 3.10): din punctul respectiv se coboară perpendiculare pe laturile din stânga şi de jos ale pătratului în care se află punctul A. Coordonatele colţului din stânga jos al pătratului, x0 şi y0 se pot citi direct pe marginea reprezentării hărţii. În continuare se măsoară distanţele d1 şi d2, între colţul stânga jos şi picioarele perpendicularelor coborâte din punctul A. Aceste distanţe vor reprezenta diferenţele de coordonate:

Δ xA = d1 . N şi Δ yA = d2 . N (3.4)

unde N este numitorul scării hărţii.

A

x(km)

x0

y0

y (km)580 585 590

570

575

A

d2d1

y0

x0

565

Fig. 3.10 Reţeaua rectangulară a hărţii

Coordonatele rectangulare ale punctului A vor fi: xA = x0 + Δ xA

yA = y0 + Δ yA (3.5) În exteriorul cadrului hărţii sunt înscrise cu cifre şi litere informaţii privitoare la hartă şi la zona de teren reprezentată. La partea superioară este înscrisă numerotarea hărţii şi numele localităţii principale din zona reprezentată. La partea inferioară sunt înscrise scara hărţii sub formă

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 36 numerică şi grafică, valoarea convergenţei medii a meridianelor, anul execuţiei hărţii şi altele. 3.3.2 Reprezentarea detaliilor de suprafaţă şi de relief pe hărţi Pe zona de reprezentare propriu-zisă a hărţii se regăsesc sub formă micşorată (la scara hărţii) detaliile vizibile de pe teren. Aceste detalii sunt constituite din: traseele cursurilor de apă, lacurile naturale sau artificale, traseele şoselelor, orice tip de construcţie, localităţi etc. În general, dacă proiecţia în plan a detaliului respectiv este suficient de mare, atunci prin reducerea la scară a dimensiunilor acestuia rezultă un contur care poate fi reprezentat pe plan printr-o linie închisă sau deschisă. În acest caz detaliul respectiv este trasat pe plan prin conturul său real redus la scara hărţii. Dacă detaliul din teren are dimensiuni mici, atunci prin reducerea la scară a conturului său rezultă un punct, deci detaliul nu poate fi reprezentat la scara planului. În acest caz în punctul respectiv se desenează pe hartă un simbol cartografic care reprezintă obiectul respectiv. Acest simbol se numeşte semn convenţional specific. La realizarea hărţilor se utilizează mai multe tipuri de semne convenţionale standardizate, care se regăsesc în atlasul de semne convenţionale, astfel că fiecare tip de detaliu din teren are un semn convenţional caracteristic. Pe lângă conturul detaliilor mari şi semnele convenţionale ale detaliilor mici, pe suprafaţa hărţii apar şi inscripţii formate din cifre şi litere, care dau unele explicaţii referitoare la detaliile reprezentate, ca de exemplu denumirile localităţilor, denumirile cursurilor de apă, cotele unor puncte importante, dimensiuni importante etc. La multe dintre hărţi se utilizează şi culori pentru a înlesni recunoaşterea unor detalii. Spre exemplu, pentru reprezentarea zonelor ocupate de apă (cursuri de apă, lacuri, mări) se utilizează culoarea albastră. Deşi harta este o reprezentare în plan, formele de relief ale terenului se pot desena prin intermediul unor semne convenţionale speciale numite curbe de nivel. Curbele de nivel sunt linii închise desenate cu culoarea sepia (maro) care au o semnificaţie fizică: fiecare linie reprezintă punctele de pe teren care au aceeaşi altitudine. Pe hartă se reprezintă de obicei curbe de nivel ale punctelor cu altitudini de valoare rotundă, care diferă cu un anumit interval tot de valoare rotundă, numit echidistanţă. Se consideră o formă de relief (de exemplu o colină), planul de proiecţie situat la nivelul mării şi mai multe plane paralele cu planul de

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 37 proiecţie, situate la altitudini crescătoare cu un interval constant, E. Prin intersecţia între forma de relief şi aceste planuri se obţin contururi închise (fig.3.11) care, pot fi proiectate pe planul de proiecţie, rezultând curbele de nivel. Pe fiecare curbă de nivel se înscrie valoarea altitudinii planului orizontal, care prin intersecţie cu terenul a generat curba respectivă. În acest mod se obţin contururi închise incluse unul în celălalt (care nu se intersectează). Dacă se studiază atent forma în plan a acestor contururi şi altitudinile pe care le reprezintă se obţin informaţii despre tipul formei de relief şi înclinarea terenului în zona respectivă. Curbele de nivel se desenează pe hartă prin suprapunere peste detaliile plane reprezentate şi permit să se determine cu o precizie suficient de bună cota unui punct oarecare de pe zona reprezentată. Această operaţie decurge în modul următor: dacă punctul este situat chiar pe traseul unei curbe de nivel de pe hartă, atunci altitudinea acestuia va fi egală cu altitudinea reprezentată de curba de nivel respectivă, valoare care se citeşte pe traseul curbei respective sau se calculează faţă de valoarea înscrisă pe o curbă vecină. Dacă punctul nu este situat pe o curbă de nivel, atunci acesta se va situa automat între două curbe de nivel vecine ale căror altituduni diferă prin valoarea constantă, E (echidistanţa).

Z5Z4

Z3Z2

Z1

E

E

E

E

Z2Z1 Z3 Z4 Z5

Z4

Fig. 3.11 Semnificaţia fizică a curbelor de nivel

În această situaţie, cota punctului oarecare, A se va determina în maniera următoare (fig. 3.12): prin punctul respectiv se trasează pe hartă o dreaptă aproximativ normală la curbele de nivel vecine, care reprezintă cotele z1 şi z2 = z1 + E şi care încadrează acest punct. Se măsoară cu o riglă distanţele l1 şi l2 iar altitudinea punctului a se va calcula cu relaţia:

21

1211

)(ll

zzlzzA +−⋅

+= (3.6)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 38 unde z2 –z1 = E este echidistanţa planelor care au generat curbele de nivel(echidistanţa curbelor de nivel).

1

2

A

Z1

ZA

Z2

1 A 2 Z1

Z2

Z

D

Fig. 3.12 Determinarea altitudinii unui punct cu ajutorul curbelor de nivel Panta terenului în lungul aliniamentului 1-2 se poate calcula cu relaţia:

Nll

zztgp⋅+

−==

)( 21

1212 α (3.7)

unde N este numitorul scării hărţii iar α este unghiul de înclinare a aliniamentului 1-2 faţă de orizontală. 3.3.3 Numerotarea foilor de hartă În cazul unui teritoriu de întindere mare, reprezentarea acestuia nu se poate realiza pe o singură foaie de hârtie deoarece suprafaţa acesteia ar trebui să fie prea mare iar utilizarea sa foarte dificilă. De obicei, pentru întocmirea hărţilor se utilizează foi de hârtie cu formatul de aproximativ 40x50cm. Rezultă deci că teritoriul respectiv se împarte în suprafeţe mai mici, aproximativ egale, care la scara aleasă se pot reprezenta pe o foaie de hârtie cu formatul dat mai sus. Pentru a crea o ordonare a suprafeţelor reprezentate şi pentru a recunoaşte sistemul de proiecţie utilizat, aceste suprafeţe parţiale şi hărţile lor primesc fiecare în parte o denumire (sau o numerotare). Considerăm ca exemplu împărţirea sferei terestre prin meridiane trasate din 60 în 60, în proiecţia cilindrică transversală Gauss- Krüger în care, aşa cum s-a arătat , rezultă 60 fuse terestre numerotate 1...60.


AA

2

KLM

NO

P

U

BCD

U

4

5

13

Fig. 3.13 Împărţirea sferei terestre în trapeze în proiecţia Gauss- Krüger

1- meridianul zero ; 2- Ecuator ; 3- fuse de 60 pe longitudine ; 4- zone de 40 pe latitudine ; 5- trapezul L-35

Peste reţeaua de meridiane se suprapune o reţea de paralele trasate din 40 în 40 latitudine începând de la Ecuator către cei doi poli tereştri. Se formează astfel zone de 40 latitudine notate cu literele mari ale alfabetului latin, începând de la Ecuator către cei doi poli (fig. 3.13). Suprafaţa Pământului este astfel împărţită în trapeze curbilinii care primesc drept denumire litera zonei de latitudine şi numărul fusului ( ex. L- 35). Teritoriul corespunzător unui trapez curbiliniu astfel obţinut se poate reprezenta sub formă de hartă pe o foaie de hârtie de format obişnuit la scara 1:1.000.000. Pentru a întocmi harta emisferei nordice a Pământului la scara 1:1.000.000 sunt necesare: 60 fuse x 22 zone = 1320 trapeze, deci 1320 foi de hârtie de format obişnuit. Suprafaţa României este cuprinsă în trapezele K-34, K-35, L-34, L-35, M-34, M-35, deci pentru harta României la scara 1:1.000.000 sunt necesare 6 foi de hârtie. Pentru a realiza harta României la scara 1:500.000, teritoriul fiecărui trapez de scară 1:1.000.000 se împarte în 4 suprafeţe aproximativ egale (fig. 3.14) notate cu denumirea trapezului la care se adaugă literele mari ale alfabetului A, B, C, D. Rezultă că pentru suprafaţa ţării sunt necesare 6 x 4 = 24 foi de hârtie pentru a obţine harta la scara 1:500.000. Acestea vor fi notate K-34-A.......M-35-D.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 40 Pentru harta României la scara 1:200.000, suprafaţa fiecărui trapez de scară 1:1.000.000 se împarte în 36 de părţi egale, caz în care vor fi necesare 6x36=216 foi de hartă notate K-34-I........M-35-XXXVI (fig. 3.15).

L-35-A L-35-B

L-35-DL-35-C

L-35-I L-35-VI

L-35-XXXVIL-35-XXXI

Fig. 3.14 Hărţi la scara 1:500000 Fig. 3.15 Hărţi la scara 1:200000 pentru trapezul L-35 pentru trapezul L-35 Pentru harta României la scara 1:100.000 trapezele K-34......M-36(de scară 1:1.000.000) se împart fiecare în 144 părţi egale, care vor fi reprezentate pe foi de hârtie de format obişnuit. În acest caz vor fi necesare 6x144=864 foi de hârtie iar hărţile astfel obţinute vor fi numite K-34-1.......M-35-144 (fig. 3.16). Hărţile la scara 1:50.000 se obţin prin împărţirea suprafeţelor corespunzătoare fiecărui trapez reprezentat la scara 1:100.000 în 4 părţi egale notate A, B, C, D. În acest caz trapezul terestru L-35, de exemplu, va fi reprezentat la scara 1:50.000 pe 144x4=576 foi de hârtie. Hărţile obţinute astfel se notează-pentru trapezul L-35- de la L-35-1-A.......L-35-144-D.

L-35-1 L-35-12

L-35-133 L-35-144

Fig. 3.16 Hărţi la scara 1:100000 pentru trapezul L-35

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 41 Dacă trapezele corespunzătoare scării 1:50.000 se împart la rândul lor în 4 părţi notate a, b, c, d se obţin suprafeţe care pot fi reprezentate pe o foaie de hârtie de format obişnuit la scara 1:25.000. În acest caz trapezul terestru L-35, de exemplu se va putea reprezenta pe 144x4x4=2304 hărţi la scara 1:25.000 notate L-35-1-A-a..........L-35-144-D-d. Pentru obţinerea hărţilor la scara 1:10.000, fiecare suprafaţă corespunzătoare hărţilor la scara 1:25.000 se împarte în 4 părţi notate 1, 2, 3, 4. În acest caz reprezentarea trapezului terestru L-35 la scara 1:10.000 se va putea face pe 144x4x4x4=9216 foi de hârtie de format obişnuit, iar hărţile obţinute se denumesc L-35-1-A-a-1..........L-35-144-D-d-4. Rezultă că cele 6 trapeze terestre pe care se află suprafaţa României se pot reprezenta la scara 1:10.000 pe 6x9216=55296 foi de hârtie de format obişnuit. Denumirile hărţilor, aşa cum s-a arătat mai sus sunt valabile în proiecţia Gauss-Krüger, dar pentru ţara noastră se păstrează aceeaşi numerotare a hărţilor şi în planul proiecţiei stereografice pe plan secant 1970, cu excepţia hărţilor la scări mai mari de 1:10.000.


Cap. 4 Noţiuni privind erorile de măsurare în topografie 4.1 Tipuri de măsurători În topografie se execută măsurători asupra a două tipuri de mărimi fizice şi anume distanţele şi unghiurile. În practică valoarea numerică a unei mărimi măsurate este cunoscută numai aproximativ, indiferent de calitatea măsurătorii efectuate, deoarece erorile de măsurare nu se pot înlătura. În funcţie de modul de determinare a valorii numerice a unei mărimi fizice există trei tipuri de măsurători: 1. Măsurători directe -sunt acele măsurători la care valoarea mărimii măsurate rezultă direct şi independent din compararea acestei mărimi cu una asemănătoare. De exemplu măsurarea distanţei între două puncte situate pe teren, cu ajutorul unei rulete este o măsurătoare de tip direct. 2. Măsurători indirecte -presupun măsurarea directă a unor mărimi care sunt legate printr-o relaţie fizico-matematică de mărimea a cărei valoare se doreşte a fi determinată. Spre exemplu, dacă se doreşte determinarea proiecţiei, D, în plan orizontal, a distanţei înclinate, L, între două puncte situate pe teren în pantă, este necesar să se măsoare în mod direct valoarea L a distanţei înclinate şi unghiul de înclinare, faţa de orizontală, φ sau faţa de verticală, V, a segmentului cuprins între cele două puncte. În acest caz valoarea căutată, D va rezulta din relaţia sa geometrică cu cele două elemente măsurate:

D = L cos φ (4.1) sau

D = L sin V (4.2) În mod asemănător, viteza rectilinie uniformă a unui mobil se poate determina prin măsurarea directă a spaţiului parcurs şi a timpului necesar şi prin efectuarea raportului celor două valori. 3. Măsurători condiţionate -reprezintă un caz particular al măsurătorilor directe, în care mai multe mărimi de aceeaşi natură sunt măsurate direct şi independent, dar între ele există o relaţie de condiţionare. Un exemplu concludent în acest sens îl constituie cazul măsurării celor trei unghiuri într-un triunghi situat în plan orizontal. După măsurarea directă şi independentă a acestora, suma lor trebuie să satiafacă condiţia de egalitate cu valoarea a două unghiuri drepte (1800 sau 200g). În general, rezultatul unei măsurători depinde de condiţiile obiective şi subiective în care se desfăşoară aceasta, adică de metoda de măsurare, de condiţiile naturale (temperatură, presiune etc.), calitatea aparaturii şi de operatorul care o execută. Dacă se efectuează mai multe măsurători asupra

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 43 aceleiaşi mărimi şi condiţiile arătate mai sus nu se modifică, aceste măsurători au acelaşi grad de încredere şi se numesc măsurători de aceeaşi precizie. Dacă la efectuarea şirului de măsurători se modifică unul din factorii enumeraţi atunci rezultatele vor avea grade diferite de încredere iar măsurătorile sunt de precizii diferite. Indiferent de situaţie, rezultatele unui şir de măsurători asupra aceleiaşi mărimi sunt în general diferite, datorită erorilor acestui proces. 4.2 Tipuri de erori de măsurare Calitatea rezultatului, xi al unei măsurători se apreciază în funcţie de abaterea, ε a acestuia faţă de valoarea reală, X a mărimii măsurate. Această abatere dată de:

ε = xi – X (4.3) se numeşte eroare absolută a rezultatului măsurătorii. Cu cât eroarea absolută este mai mică cu atât măsurătoarea este mai precisă. În măsurătorile obişnuite, valoarea reală a mărimii nu se cunoaşte, deci nici eroarea absolută a rezultatului nu este cunoscută. Chiar dacă erorile absolute nu pot fi definite prin valoarea lor, studiul rezultatelor unui şir de măsurători permite aprecierea –cu un anumit grad de certitudine- a mărimii acestora. În funcţie de mărimea erorilor şi de modul lor de producere se deosebesc: 1. Erori grave- acestea conduc la rezultate foarte diferite faţă de majoritatea rezultatelor din şirul de măsurători. Ele se produc datorită unor cauze subiective cum sunt de exemplu greşelile de citire sau cele de scriere a rezultatului. În general rezultatele afectate de erori grave se elimină din şirul respectiv. 2. Erori sistematice- sunt generate de cauze obiective cum ar fi de exemplu, metoda de măsurare utilizată, etalonarea aparatului de măsură, temperatura diferită în momentul măsurării faţa de cel al etalonării etc. Aceste erori conduc la rezultate deplasate în acelaşi sens şi cu valori apropiate faţă de valoarea reală a mărimii măsurate. Deoarece condiţiile care au generat aceste erori pot fi evaluate, erorile sistematice pot fi în general eliminate prin aplicarea unor corecţii la rezultatele măsurătorilor. 3. Erori aleatoare- rezultă datorită unor factori obiectivi sau subiectivi imposibil de evaluat în timpul măsurătorii, dar aceste erori au valori foarte reduse. Ele nu pot fi eliminate şi afectează rezultatul măsurării, constituind subiectul operaţiilor de compensare. Deoarece erorile în procesul de măsurare sunt inevitabile, o singură măsurătoare aspra unei mărimi nu permite să se aprecieze gradul de calitate al rezultatului. Din acest motiv, pentru măsurătorile pretenţioase se execută mai multe măsurători (un şir)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 44 asupra mărimii. Dintr-un şir de n măsurători asupra unei mărimi reale X, rezultă valorile determinate x1 ,x2,......,xn. Se pot deci scrie n ecuaţii ale erorilor absolute de forma εi = xi – X, iar numărul necunoscutelor este n + 1, deoarece mărimea X este necunoscută. Rezultă că problema daterminării valorii reale X este nerezolvabilă, însă datorită faptului că erorile aleatoare rezultate din observaţii se supun unor legi cunoscute, există posibilitatea determinării unei valori acceptabile, apropiată de valoarea reală, şi , a preciziei acesteia. 4.3 Estimaţii ale adevăratei valori a unei mărimi măsurate Se consideră o mărime a cărei valoare reală este X şi un şir de n valori ale măsurătorilor efectuate asupra acestei mărimi, având rezultatele x1, x2,......xn. Se consideră că au fost eliminate rezultatele care au conţinut erori grave, iar erorile sistematice au fost corectate, deci cele n valori sunt afectate doar de erori aleatoare. Deoarece valoarea reală, X nu poate fi determinată cu certitudine se procedează la estimarea acesteia, adică la găsirea unei valori foarte apropiate, prin pelucrarea rezultatelor măsurătorilor. Această estimare se poate face în două moduri: a) Printr-o valoare unică dată de o funcţie f(x1, x2,.....xn) a rezultatelor din şirul de măsurători. În acest caz estimaţia se numeşte punctuală. b) Prin determinarea unui interval (a – Δx, a + Δx) în care valoarea reală să se găsească cu o probabilitate P, numită nivel de încredere. În acest caz este vorba de o estimare printr-un interval de încredere. În măsurătorile topografice se utilizează în mod frecvent estimaţia punctuală a adevăratei valori a mărimii măsurate, prin media aritmetică a şirului de măsurători. Astfel, pentru măsurători de egală precizie, valoarea estimată este media aritmetică a şirului de măsurători:

in x

nnxxxxX Σ⋅=

+++=≈

1.....21 (4.4)

În teoria erorilor se spune că această estimaţie este nedeplasată, adică valoarea x coincide cu media teoretică a şirului, şi, consistentă, ceea ce înseamnă că aceasta tinde către valoarea reală X, în cazul când numărul n de măsurători creşte. În cazul când măsurătorile efectuate au precizii diferite, atunci fiecăreia i se atribuie o pondere p1, p2,......,pn, iar estimaţia punctuală a adevăratei valori se va exprima prin media ponderată:


i

ii

n

nn

ppx

ppppxpxpxxX

Σ⋅Σ

=++

⋅++⋅+⋅=≈

..........

21

2211 (4.5)

Această estimaţie punctuală are aceleaşi proprietăţi ca şi precedenta iar valoarea determinată nu depinde de ponderi ci de raportul acestora. Aşa cum s-a arătat, erorile absolute nu pot fi cunoscute deoarece nu se cunoaşte valoarea reală ci doar estimarea acesteia. În legătură cu media aritmetică se pot însă defini erorile aparente, ca diferenţă între valorile rezultate din măsurători xi şi valoarea estimaţiei punctuale (media aritmetică), x :

v1 = x1 - x v2 = x2 - x

................... (4.6) vn = xn - x

Erorile aparente sunt asemănătoare cu cele aleatoare şi au două proprietăţi importante: -suma lor algebrică este nulă:

Σ vi = Σ(xi - x ) = Σ xi – n. x = n. x – n. x =0 (4.7)

-suma pătratelor erorilor aparente admite ca minim valoarea de referinţă, adică media aritmetică :

Σ vi

2 = Σ(xi – x )2 = (x1 - x )2 + (x2 - x )2 +........+ (xn - x )2 = min (4.8) După derivarea expresiei (4.8) şi egalarea cu zero se obţine:

-2(x1 - x ) – 2(x2 - x ) -....-2 (xn - x ) = -2.Σ xi + 2.n. x = 0 (4.9)

de unde:

ixn

x Σ⋅=1 (4.10)

4.4 Repartiţia normală a erorilor aparente Studiul efectuat de C.F.Gauss asupra erorilor de observaţie aleatoare a condus la concluzia că acestea sunt caracterizate de o funcţie de repartiţie.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 46 Dacă pentru un şir suficient de lung de măsurători, x1, x2, ......xn se reprezintă –într-un sistem cartezian- pe axa absciselor valorile erorilor, iar pe axa ordonatelor numărul de măsurători în care au rezultat aceleaşi valori ale erorilor respective (sau probabilităţile de apariţie a acestor erori) se obţine o mulţime de puncte care sunt dispuse sub o curbă asemănătoare celei din fig. 4.1. Aceasta se numeşte curba repartiţiei normale a erorilor, a lui Gauss. Dacă se consideră valoarea medie a celor n măsurători, x şi erorile aparente de forma (4.6), atunci funcţia care defineşte această curbă este de forma:

2

2)(21

21)( σ

πσ

iv

i evp⋅−

⋅⋅= (4.11)

Această funcţie are un maxim pentru vi=0 şi puncte de inflexiune pentru vi= ±σ. Factorul σ se numeşte factor de precizie sau eroarea medie pătratică a unei singure măsurători şi a fost definit de Bessel pentru măsurători directe de aceeaşi precizie sub forma:

1

2

−±=

nviΣσ (4.12)

0

P(vi)

+vi-vi Fig. 4.1 Curba Gauss de repartiţie normală a erorilor aparente

Cu cât factorul σ este mai mic, cu atât maximul curbei este mai mare, ceea ce înseamnă că precizia estimaţiei este mai mare (fig. 4.2).


+vi+vi-vi

P(vi)

Fig. 4.2 Forma curbei Gauss în funcţie de factorul de precizie

Forma curbei lui Gauss conduce la câteva concluzii importante: -măsurătorile cu erori negative sunt la fel de frecvente ca şi cele cu erori pozitive; -măsurătorile cu erori mici sunt mai frecvente decât cele cu erori mari; -practic, erorile maxime nu pot depăşi o anumită limită; -media aritmetică a erorilor tinde la zero pentru un număr mare de măsurători. Funcţia p(vi) permite stabilirea unui interval de forma (-λσ, +λσ) în care o anumită eroare se poate situa, cu un grad de probabilitate P. În tabelul 4.1 se dau câteva valori ale limitelor de interval şi probabilitatea ca eroarea să fie în acest interval. Tabel 4.1

Valoare interval ±0.67σ ±1σ ±1.96σ ±2σ ±2.58σ ±3σ

Probabilitate(%) 50.00 68.30 95.00 95.40 99.00 99.70 Din tabelul 4.1 rezultă că se poate realiza o estimare a valorii unei erori printr-un interval de încredere. Spre exemplu, se poate estima că la un grad de încredere P=50% eroarea unei măsurători va fi cuprinsă în intervalul (-

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 48 0,67σ, +0,67σ). Valoarea +0,67σ se numeşte eroarea probabilă iar valoarea +1.σ se numşte eroarea medie a măsurătorii. 4.5 Eroarea medie a mediei aritmetice S-a arătat că pentru un şir de măsurători de aceeaşi precizie x1, x2,......xn estimarea punctuală presupune găsirea unei valori y=f(xx, x2,....xn), considerată ca valoare probabilă a rezultatului măsurătorii. Considerând că erorile măsurătorilor raportate la estimarea punctuală prin media aritmetică, x sunt v1, v2,....vn, atunci conform legii lui Gauss a propagării erorilor, eroarea medie pătratică a estimaţiei punctuale (deci a mediei aritmetice) are forma:

nnnvi

x

σσ ±=−⋅

±=)1(

2Σ (4.13)

unde σ este eroarea medie pătratică a unei măsurători iar n- numărul de măsurători din şir. Cu ajutorul valorii

xσ se poate stabili un interval de forma ( xx σλ ⋅− ,

xx σλ ⋅+ ) în care valoarea estimată a rezultatelor măsurătorii se află cu un grad de probabilitate P. Valoarea λ care caracterizează intervalul poate fi aleasă astfel încât să se obţină o limită minimă de încredere sau, una tolerabilă, a valorii estimate faţă de valoarea reală a mărimii măsurate. Trebuie specificat că erorile observaţiilor nu au repartiţie normală pentru orice tip de măsurători, deci există şi alte tipuri de repartiţie pentru care relaţiile de mai sus nu mai sunt valabile. Spre exemplu, erorile datorate centrării limbului, la măsurarea unghiurilor orizontale cu ajutorul tahimetrelor, urmează o lege de distribuţie parabolică.


Cap. 5 Topografia generală 5.1 Obiectul şi importanţa Topografia este o ştiinţă cu un puternic caracter aplicativ, care s-a dezvoltat din necesitatea unei cunoaşteri detaliate şi a unei utilizări optime a suprafeţelor de teren. Cuvântul topografie are origine greacă (topos=loc şi graphein=a desena) şi defineşte chiar obiectul acestei ştiinţe: măsurarea şi desenarea unui loc oarecare, a unei suprafeţe de teren oarecare, adică obţinerea planului topografic al acelei suprafeţe. Se ştie că în limitele orizontului observabil al unui om, curbura Pământului nu se poate sesiza. Deoarece în topografie se operează în aceste limite, nu se ia în considerare curbura Pămâtului, iar suprafeţele măsurate se consideră că au fundament orizontal. Altfel spus, pentru a obţine planul topografic al unui loc, măsurătorile se realizează astfel încât să se obţină o imagine- proiectată prin drepte paralele verticale- a locului respectiv, pe planul orizontal tangent la sfera terestră într-un punct central din zona respectivă. Dar topografia nu vizează numai obţinerea imaginii plane a terenului, ci şi pe cea a reliefului din zona respectivă, adică se studiază şi se reprezintă, de asemenea, dispoziţia pe verticală a detaliilor. Topografia are două secţiuni importante: - topografia generală are un pronunţat caracter teoretic; ea vizează studiul metodelor de măsurare şi calculul pentru determinarea elementelor necesare la realizarea planului topografic şi, de asemenea, studiul din punct de vedere constructiv al aparaturii de măsură utilizate; - topografia specială are un pronunţat caracter aplicativ, specific unui sector economic oarecare, în care lucrările topografice sunt utilizate; în acest sens se poate vorbi de topografie cadastrală, minieră, silvică, militară etc. Din punct de vedere economic topografia are o impotanţă foarte mare. Măsurarea suprafeţelor pentru sectorul de cadastru permite schimbul, vânzarea şi transmiterea prin moştenire a proprietăţilor funciare şi de asemenea, stabilirea impozitelor. Amenajarea terenurilor pentru agricultură presupune cunoaşterea configuraţiei topografice a acestora. În domeniul construcţiilor de orice fel topografia este necesară pentru realizarea proiectelor, pentru trasarea pe teren a poziţiei şi apoi pentru urmărirea deplasărilor pe orizontală şi pe verticală a construcţiilor. Această enumerare ar putea continua cu multe domenii ale activităţii economice şi ştiinţifice, în care topografia este aplicată.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 50 5.2 Elemente topografice cu care se operează în măsurători şi calcule Topografia operează cu noţiuni de geometrie plană şi în spaţiu, trigonometrie, geometrie analitică şi altele. Din punct de vedere fizic măsurătorile topografice vizează două mărimi fizice ale Sistemului Internaţional de unităţi de măsură: lungimi şi unghiuri. Lungimea este o mărime fizică fundamentală şi are ca unitate de măsură metrul cu multiplii şi submultiplii lui. Unghiul plan este o mărime suplimentară a Sistemului Internaţional de unităţi de măsură, a cărui unitate de măsură este radianul. Cu toate acestea în multe domenii se operează cu gradul sexagesimal sau cu cel centezimal şi, submultiplii acestora, aşa cum se procedează şi în topografie. Din punct de vedere dimensional aceste unităţi se definesc în modul următor: - metrul este lungimea egală cu 1650763,73 lungimi de undă în vid ale radiaţiei emise la tranziţia atomului de kripton 86 între nivelele energetice 2p10 şi 5d5; - radianul este unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc, care delimitează pe circumferinţa cercului un arc a cărui lungime este egală cu raza acelui cerc; - gradul sexagesimal este unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc, care delimitează pe circumferinţă un arc egal cu 1/360 din lungimea cercului; - gradul centezimal este unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc, care delimitează pe circumferinţă un arc egal cu 1/400 din lungimea cercului. Măsurătorile topografice se realizează pe suprafaţa fizică (reală) a Pământului, numită suprafaţă topografică, care, ca orice suprafaţă, este formată dintr-o infinitate de puncte.Dar pentru a măsura un element, acesta trebuie definit prin anumite puncte care îi sunt caracteristice. Spre exemplu, dacă se consideră un segment de dreaptă, pe suprafaţa terenului acesta va fi definit prin două puncte: capetele sale, care vor fi marcate pe teren cu ajutorul unor obiecte înfipte în sol (de exemplu ţăruşi, borne de beton sau altele). În mod asemănător, un unghi plan este definit prin intersecţia a două direcţii oarecare. Prin urmare caracterizarea sa se va putea realiza cu ajutorul a cel puţin 3 puncte: pentru vârful unghiului un punct şi pentru definirea celor două laturi ale sale câte un punct. Efectuarea măsurătorilor pe teren presupune ca aceste puncte să fie materializate cu ţăruşi, deci sǎ fie vizibile. În calculele topografice se operează şi cu elemente geometrice caracteristice suprafeţei de teren, dar care nu pot fi materializate, ci numai intuite. În continuare se explică fiecare din elementele topografice cu care se operează în procesul de măsurare şi cel de calcul.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 51 a) Punctul topografic- este un punct materializat pe suprafaţa terenului cu ajutorul unui obiect plantat în sol, care poate fi o bornă de beton, cum este cazul punctelor din reţelele de sprijin despre care s-a explicat anterior, sau printr-un ţăruş de lemn sau metal. Deoarece aceste obiecte sunt mai mari decât punctul propriu-zis, acesta se materializează cu o marcă semisferică la borna de beton (vezi fig. 2.12) sau prin înfigerea unui cui subţire în cazul ţăruşului de lemn. În cazul ţăruşului de metal se practică o mică scobitură în capul acestuia, cu ajutorul unui poanson. Marcarea se realizează, de obicei, doar pentru punctele topografice de sprijin. Punctele de detaliu sunt materializate prin elementele constructive de pe teren (spre exemplu colţul unei clădiri este materializat de muchia respectivei clădiri). În secţiune verticală prin teren, punctul marcat se reprezintă ca în fig.5.1.

8 8 1 0 1

h

d Fig. 5.1 Puncte topografice marcate pe teren

b) Distanţa înclinată- este o distanţă rectilinie între două puncte marcate pe teren (fig. 5.2). Practic, suprafaţa terenului - datorită complexităţii sale - nu este nici plană şi nici orizontală.

101L101-102

L101-102

102

d

h

Fig. 5.2 Distanţa înclinată între două puncte ale terenului

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 52 Măsurarea unei distanţe înclinate se poate realiza fie la nivelul solului, între ţăruşii din capetele segmentului fie la o anumită înălţime, paralel cu terenul, între verticalele celor două puncte. c) Distanţa orizontală (distanţa redusă la orizont)- este proiecţia unei distanţe înclinate pe planul orizontal de proiecţie (fig. 5.3). Această distanţă nu poate fi măsurată direct pe teren, dar valoarea sa este necesară pentru reprezentarea în proiecţie pe plan orizontal, deci pentru obţinerea planurilor topografice. Valoarea sa se poate calcula dacă se cunoaşte distanţa înclinată între cele două puncte şi înclinarea terenului pe direcţia respectivă. d) Unghiul vertical plan (unghiul vertical)- este un unghi care exprimă înclinarea unui segment (aliniament) de pe teren, deci înclinarea terenului pe direcţia aliniamentului respectiv. Considerăm două puncte topografice şi aliniamentul dintre ele. Verticala unui punct se materializează cu un fir cu plumb. Prin acelaşi punct se consideră un plan orizontal.

L 1 0 1 -1 0 2

D 1 0 1 -1 0 2

1 0 1

1 0 2h

d

Fig. 5.3 Distanţa redusă la orizont între două puncte ale terenului

Se pot defini două unghiuri situate în planul vertical care conţine aliniamentul (fig. 5.4): - unghiul vertical zenital, V101-102, dintre verticala firului cu plumb şi aliniament; - unghiul vertical de pantă, φ101-102, dintre proiecţia aliniamentului pe planul orizontal şi aliniament.


101

L101-102

102

V101-102

V102-101h

d

Fig. 5.4 Unghiurile verticale zenital şi de pantă ale unui aliniament Aşa cum se observă în fig. 5.4, unghiul vertical (zenital sau de pantă) se măsoară într-un capăt al aliniamentului sau în celălalt capăt, în funcţie de sensul în care este privit aliniamentul. Unghiul vertical (zenital sau de pantă) este utilizat în topografie pentru calculul distanţelor reduse la orizont şi al diferenţelor de nivel între două puncte. Aparatele topografice de fabricaţie mai recentă măsoară unghiuri verticale zenitale, dar există şi aparate mai vechi care măsoară unghiuri de pantă. e) Unghiul orizontal plan (unghiul orizontal) este unghiul care se poate măsura între proiecţiile pe planul orizontal, a două aliniamente oarecare, concurente, de pe suprafaţa terenului. Se consideră un sistem cartezian spaţial Oxyz şi o porţiune de teren pe suprafaţa căreia s-au trasat două aliniamente concurente 1-2 şi 1-3 (fig. 5.5). Punctele 1, 2, 3 se proiectează pe planul orizontal xOy prin drepte proiectante verticale şi se obţin segmentele orizontale 1’-2’ şi 1’-3’. Acestea formează unghiul orizontal α care este de fapt unghiul orizontal al aliniamentelor reale 1-2 şi 1-3. Se observă că proiectantele verticale determină două planuri verticale care se intersectează după dreapta 1-1’ , care este de fapt verticala punctului de intersecţie al aliniamentelor. Unghiul orizontal α este şi unghiul diedru al acestor două plane verticale. Se atrage atenţia că nu trebuie confundat unghiul orizontal α, cu cel format de aliniamentele reale pe teren(care este un unghi din planul oarecare format de aceste aliniamente).


Z

X

Y

1'

3'

13

2'

2

Fig. 5.5 Unghiul orizontal a două aliniamente concurente

Un caz special de unghiuri orizontale este cel al unghiurilor de orientare sau mai simplu al orientărilor. Se ştie că meridianele converg către polii geografici Nord şi Sud ai Pământului şi deci direcţia nordului geografic într-un anumit punct va fi dată de direcţia meridianului care trece prin acel punct. Unghiul orizontal pe care îl formează proiecţiile pe planul orizontal ale unui segment (aliniament) de pe teren şi a meridianului ce trece printr-un capăt al segmentului- acest unghi fiind măsurat spre dreapta, de la direcţia meridianului până la direcţia segmentului- se numeşte orientare geografică sau azimut. Deoarece meridianele converg, rezultă că orientarea unor segmente nu poate fi exprimată unitar pentru un anumit teritoriu. Din acest motiv se aplică convenţia ca pentru teritoriul respectiv să se considere un anumit meridian ca direcţie de referinţă către Nord. Aşa cum s-a arătat la proiecţia stereografică pe planul secant unic 1970, în cazul României se consideră ca meridian de referinţă cel cu longitudinea de 250 Est care împarte teritoriul ţării în două părţi aproximativ egale. Pe acest meridian s-a ales axa Ox a sistemului rectangular plan al proiecţiei stereografice, iar originea este situată în apropierea oraşului Făgăraş (vezi fig. 3.7). Pentru oricare segment de pe suprafaţa României, orientarea se va determina în raport cu meridianul centrului de proiecţie, adică în raport cu axa Ox a sistemului rectangular plan. În acest caz orientarea segmentului se numeşte orientare topografică şi reprezintă unghiul orizontal pe care îl formează o paralelă la axa Ox a sistemului de proiecţie, trasată prin capătul proiecţiei segmentului şi

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 55 proiecţia orizontală a acestuia, unghiul fiind măsurat totdeauna în sens orar, de la direcţia paralelei la proiecţia segmentului. În fig. 5.6 se prezintă orientarea topografică şi orientarea geografică (azimutul) pentru un aliniament oarecare 1-2. Dacă în locul direcţiei nordului geografic se consideră direcţia nordului magnetic, dată de acul busolei, atunci se vorbeşte de orientarea magnetică a unui segment. Deoarece polii magnetici ai Pământului îşi schimbă poziţia în timp, nici orientarea magnetică nu va avea o valoare constantă pentru un segment dat. În lucrările topografice, prin orientare se va înţelege deci orientarea topografică, la care direcţia Nord este dată de meridianul centrului proiecţiei. Un segment oarecare poate avea două unghiuri de orientare, după cum direcţia Nord se consideră într-un capăt sau în celălalt al segmentului. Aceste două unghiuri diferă între ele cu 1800 (200g) şi se numesc orientare directă şi orientare inversă a segmentului considerat (fig.5.7). Dacă unul din cele două unghiuri este considerat orientare directă, atunci celălalt va fi orientare inversă pentru acel segment. O orientare poate avea valori cuprinse în intervalul 0-400g (0-3600).

Craiova

Drobeta

Oradea

Timisoara

Arad

Cluj

Satu Mare Baia

Mare

Galati

25°

Bucuresti

27°

BrasovFagaras

Suceava

Iasi

Constanta

27°

y=500000m

ϕ=46°

x=50

0000

m

λ=25°

Y

XNord

EstO

12

N

directia acului busolei in punctul 1(Nord magnetic in punctul 1)

meridian prin capatul segmentului (Nord geografic in punctul 1)

orientare topografica?1-2

orientare magnetica1-2

orientare geografica(azimuA1-2

paralela la axa Ox a centrului proiprin capatul segmentului 1-2(Nord topografic in punctul 1)

Fig. 5.6 Orientarea geografică, magnetică şi topografică,

ale aliniamentului 1-2


Este important de reţinut că orientarea topografică a unui segment nu poate fi măsurată pe teren, deoarece direcţia axei Ox nu se poate determina decât pe traseul meridianului din centrul de proiecţie. Valoarea orientării topografice rezultă prin calcul, dacă se cunosc coordonatele punctelor din capetele segmentului, în planul de proiecţie orizontal.

x

N

θ1-2

y1 y2

x1

x2

1

2 θ2-1

y

N N

Fig. 5.7 Orientarea directă şi inversă a unui aliniament

Din fig. 5.7, considerând coordonatele punctelor: x1, y1 pentru punctul 1 şi x2, y2 pentru punctul 2, orientările directă şi inversă se vor calcula în grade centezimale cu relaţiile:

gg kxxyyarctgk

xyarctg 200200200200

12

12

21

2121 ⋅+

−−

⋅=⋅+⋅=−

−− ππ

θΔΔ , k=0,1,2

(5.1) şi

gg kxxyyarctgk

xyarctg 200200200200

21

21

12

1212 ⋅+

−−

⋅=⋅+ΔΔ

⋅=−

−− ππ

θ , k=0,1,2

(5.2)

Deoarece sistemul topografic de axe rectangulare are axa Ox pe direcţia Nord, deci este inversat faţă de sistemul matematic, pentru a păstra definiţiile cunoscute ale funcţiilor trigonometrice se va proceda şi la inversarea cercului trigonometric, care devine astfel cerc topografic (fig. 5.8), iar unitatea de măsură pentru unghiuri va fi gradul centezimal. Astfel cercul topografic este caracterizat prin: - axa Ox pe direcţia Nord şi axa Oy pe direcţia Est; - sensul de măsurare a unghiurilor spre dreapta începând de la axa Ox; - numerotarea cadranelor se face spre dreapta;

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 57 - cercul are 400 grade centezimale (g), iar submultiplii gradului centezimal sunt minutul centezimal (c) şi secunda centezimală (cc); (1g = 100c ; 1c = 100cc).

θ

x

Cadran I

Cadran IICadran III

Cadran IV

y100

200

300

0N= 180°= 200g

= 44g 88c 99cc = 44,8899g = 0,7051289003 rad ==40,400910° =40°24´ 3"sin (44,8899g) = sin (40°24´3") = 0,6481319961cos (44,8899g) = cos (40°24´3") = 0,7615280137tg (44,8899g) = tg (40°24´3") = 0,8510940956

Fig. 5.8 Cercul topografic

f) Diferenţa de nivel între două puncte topografice – este distanţa măsurată pe verticală între două planuri orizontale care conţin, fiecare, câte unul din cele două puncte (fig. 5.9). În cazul în care valoarea diferenţei de nivel nu depăşaşte 3-4m, iar distanţa dintre puncte nu este prea mare (maximum 100-150m) se poate realiza o măsurare directă cu ajutorul unor aparate topografice speciale numite nivelmetre. Când diferenţa de nivel este mai mare, aceasta se poate calcula indirect, după ce pe teren s-a măsurat distanţa înclinată dintre cele două puncte şi unghiul vertical al segmentului determinat de punctele respective.

Z

X

Y

ZB

A

B

ZAΔzA-B

Fig. 5.9 Diferenţa de nivel între două puncte

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 58 g) Altitudinea unui punct – este distanţa verticală între punctul respectiv şi planul orizontal de referinţă situat la nivelul mării (planul zero). 5.3 Generalităţi privind planimetria, altimetria şi tahimetria În capitolul 2 s-a arătat că pe suprafaţa Pământului există două tipuri de reţele de sprijin: reţelele de triangulaţie (reţele planimetrice ) şi reţele de nivelment. Reţelele planimetrice sunt formate din puncte ale căror coordonate rectangulare au fost calculate în raport cu sistemul de axe carteziene pentru un anumit plan de proiecţie, ca de exemplu cel stereografic. O parte a topografiei, numită planimetrie se referă la determinarea coordonatelor rectangulare plane (x,y) ale unor puncte de îndesire a reţelei planimetrice de sprijin şi ale punctelor de detaliu care vor fi reprezentate pe planurile topografice. Această operaţie este posibilă dacă se porneşte de la punctele reţelelor planimetrice de sprijin ale căror coordonate se cunosc, utilizându-se totodată şi rezultatele măsurătorilor efectuate pe teren asupra unghiurilor orizontale şi verticale şi asupra distanţelor înclinate ale aliniamentelor de legătură. În principiu pentru a determina coordonatele rectangulare plane x101, y101 ale unui punct nou de pe teren, notat 101, sunt necesare minimum două puncte de coordonate cunoscute, cu care să se facă legătura către punctul nou. Să presupunem că cele două puncte de sprijin sunt 22 (x22 ,y22) şi 51 (x51, y51), iar situaţia de pe teren se prezintă ca în fig. 5.10. Pe teren se măsoară: distanţa inclinată L22-51 cu ajutorul unei rulete, unghiul orizontal α22 între aliniamentele 22-51 şi 22-101 şi unghiul vertical V22-101 al aliniamentului 22-101, cu ajutorul unui teodolit.

2222

51

101

101

θ22−101θ22−51

D22-101

Z

L22-101

Z

22

51

Y

XV22-101

Fig. 5.10 Determinarea planimetrică a unui punct nou

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 59 Cu aceste elemente se calculează în continuare: - orientarea aliniamentului 22-51 cu ajutorul coordonatelor punctelor 22 şi 51:

gg kxxyyarctgk

xyarctg 200200200200

2251

2251

5122

51225122 ⋅+

−−

⋅=⋅+ΔΔ

⋅=−

−− ππ

θ

(5.3) - distanţa redusă la orizont între punctele 22 şi 101:

D22-101 = L22-101 sin V22-101 (5.4) - orientarea aliniamentului 22-101:

θ22-101 = θ22-51 + α22 (5.5) - diferenţa între coordonatele punctului 101 şi ale punctului 22 (sau coordonatele relative ale punctului 101 în raport cu punctul 22) conform fig. 5.11:

Δx22-101 = D22-101 cos θ22-101Δy22-101 = D22-101 sin θ22-101 (5.6)

x22

x

y22

22

y101

θ22-101

N

x101 101

51

Δy22-101

Δx22-101

y

θ22-51

22

D22-101200g−θ22-101

Δx22-101=D22-101 cos(200g-θ22-101)=−D22-101 cos θ22-101

Δy22-101=D22-101 sin(200g-θ22-101)=+D22-101 sin θ22-101

Nota : se observa ca desi coordonatele relative sunt lungimi, ele primesc semne algebrice, date de valoarea functiilor trigonometrice sin si cos in cadranul in care se afla unghiul de orientare, astfel:-cadranul I : +Δx , +Δy ;-cadranul II : -Δx , +Δy (cazul din figura);-cadranul III : -Δx , -Δy ;-cadranul IV : +Δx , -Δy ;

N

Fig. 5.11 Calculul coordonatelor relative ale punctului nou

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 60 - calculul coordonatelor rectangulare plane ale punctului 101:

X101 = X22 + Δx22-101 Y101 = Y22 + Δy22-101 (5.7)

Situaţia se complică atunci când numărul de puncte de detaliu este foarte mare iar numărul punctelor din reţeaua planimetrică de sprijin este redus. O altă parte a topografiei, denumită altimetrie (nivelment) se referă la metodele de măsurare şi calcul necesare în scopul determinării poziţiei pe verticală a punctelor în raport cu nivelul fundamental de referinţă (altitudinile punctelor sau coordonatele Z). În principiu este necesar un singur punct de altitudine cunoscută, din reţeaua de sprijin de nivelment, pentru a determina altitudinea unui punct nou. Fie un punct din reţeaua de sprijin notat 150, de altitudine cunoscută, Z150 şi un punct nou, 501. Pe teren se măsoară înălţimile h1 şi h2 (fig. 5.12), de la cele două puncte până la un plan orizontal, creat cu ajutorul unui aparat topografic special numit nivelmetru, pe două rigle de lemn gradate (mire topografice) fixate vertical pe puncte. Cu elementele cunoscute se calculează apoi: - diferenţa de nivel între punctele 150-501:

Δz150-501 = h1 – h2 (5.8)

- altitudinea punctului nou, 501:

Z501 = Z150 + Δz150-501 (5.9)

z

(x,y)

h1

h2

150

501z501

z150

Δz150-501

Fig. 5.12 Determinarea diferenţei de nivel între douǎ puncte

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 61 Dacă punctele de sprijin sunt rare iar cele de detaliu sunt numeroase se aplică metode de îndesire a reţelei de sprijin de nivelment şi diferite procedee de determinare a altitudinilor punctelor de detaliu. A treia parte a topografiei- tahimetria- vizează metodele şi aparatele care permit determinarea simultană a poziţiei în plan orizontal şi pe verticală a punctelor. Se realizează astfel o reuniune a planimetriei şi nivelmentului într-o singură operaţie de măsurare. În acest scop se utilizează un tip special de aparat de măsură numit tahimetru, care poate măsura unghiuri orizontale şi verticale dar şi distanţe. Distanţele sunt măsurate pe cale indirectă (optic sau electronic). Acest tip de aparat s-a perfecţionat permanent, astfel că în momentul de faţă există tahimetre electronice care au posibilitatea ca printr-o singură măsurătoare să determine elementele necesare şi să calculeze şi să afişeze direct coordonatele punctului măsurat. Rapiditatea execuţiei măsurătorilor şi precizia din ce în ce mai mare impun acest tip de aparat într-o gamă largă de operaţii topografice.


Cap. 6 Măsurarea pe teren a distanţelor 6.1 Măsurarea directă a distanţelor Măsurarea directă a umei distanţe presupune compararea acesteia cu lungimea unui instrument de măsură destinat acestui scop. Cele mai utilizate instrumente pentru măsurarea directă a distanţelor în lucrările topografice sunt panglicile de otel, ruletele şi firele invar. Panglica topografică de oţel cu lungimea de 50m (fig. 6.1) este realizată dintr-o bandă cu lăţimea de 18-20mm şi grosimea de 0,4-0,6mm. Etalonarea sa este realizată la temperatura de 200C şi forţa de întindere de 29,43 N/mm2. Eroarea tolerată de etalonare este de +6mm. Reperii decimetrici ai panglicii se realizează prin perforare cu găuri de diametru redus (2-3mm). iar diviziunile metrilor se marchează pe ambele feţe, în dublu sens, cu plăci metalice din alamă. Reperele jumătăţilor de metru se marchează prin nituire. La ambele capete panglica topografică este prevăzută cu inele de întindere cu diametru de 33+1mm realizate din bronz, pe corpul cărora sunt realizaţi reperii de capăt. Corecţia de alungire datorită modificării temperaturii este de 11,5μm/m 10C.

0

2 m

Fig. 6.1 Panglica topografică

Firul invar este un instrument foarte precis pentru măsurarea distanţelor. El este realizat dintr-un aliaj fier-nichel (64% fier şi 36% nichel) şi are un coeficient de dilatare termică foarte redus. Lungimea obişnuită a firului este de 24m. La măsurare firul este întins între două trepiede iar la capete i se aplică tensiuni de întindere de 100 N. Pentru măsurarea directă a diferenţelor de nivel se utilizează mirele topografice. Acestea sunt rigle gradate centimetric cu lungimi de 2-4m, realizate din lemn. Ele sunt prevăzute cu saboţi metalici în capete şi cu nivelă sferică cu bulă de aer pentru verticalizare. Gradarea se realizează ca în fig. 6.2.


12

11

10

9

Fig. 6.2 Modul de gradare a mirelor topografice obişnuite

La măsurătorile de nivelment de precizie se utilizează mire speciale cu bandă invar. Pentru măsurarea directă a lungimii unor aliniamente este necesar ca acestea să fie marcate pe teren prin jaloane iar terenul să fie curat şi relativ uniform din punct de vedere al pantelor. 6.2 Corecţii aplicate la măsurarea directă a distanţelor În cazul când la măsurători condiţiile în care este utilizată panglica topografică diferă faţă de cele de la etalonare, se produc erori sistematice care afecteză exactitatea rezultatelor. Pentru eliminarea acestor erori , în timpul măsurătorilor se pot utiliza ca instrumente auxiliare termometrul pentru determinarea temperaturii şi dinamometrul pentru stabilirea forţelor de întindere a panglicii. Corecţiile aplicate rezultatelor în acest caz sunt: a) Corecţia de etalonare, Ce:

0LLEC ee ⋅−= (6.1)

b) Corecţia de alungire datorită temperaturii, Ct:

Ct = α(t-to) L (6.2) c) Corecţia de alungire datorită tensiunii, Cf :

SLFFKC f ⋅−⋅= )( 0 (6.3)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 64 În relaţiile de mai sus L este distanţa măsurată pe teren; Lo- lungimea panglicii topografice; α- coeficient de dilatare termică; t- temperatura în timpul măsurării; t0- temperatura la etalonare (200C); K - coeficient de elasticitate al panglicii; F- forţa de întindere în timpul măsurătorii; F0- forţa de întindere la etalonare; s – secţiunea transversală a panglicii topografice. 6.3 Măsurarea optică a distanţelor Măsurarea pe cale optică a distanţelor în topografie a avut la bază câteva invenţii importante realizate de-a lungul timpului. Astfel în anul 1669 J. Picard construieşte prima lunetă prevăzută cu reticul, iar cu 100 de ani mai târziu C. Brunning inventează mira gradată. Primul telemetru este construit în anul 1795 de către A. M. Rochon. În acest mod s-au pus bazele transformării teodolitului inventat de J. Ramsden în anul 1770, într-un aparat capabil să măsoare distanţele pe cale optică, adică tahimetrul. În principiu, luneta stadimetrică a tahimetrului se compune dintr-un tub metalic prevăzut la extremităţi cu două sisteme de lentile: obiectivul la un capăt şi ocularul la celălalt capăt. Între obiectiv şi ocular este fixată o plachetă circulară de cristal, numită reticul, pe care sunt trasate câteva linii foarte subţiri: un diametru orizontal şi unul vertical numite fire reticulare şi două linii orizontale mai scurte situate la egală distanţă faţă de diametrul orizontal, numite fire stadimetrice (fig. 6.3).

3 2

145

6

Fig. 6.3 Luneta stadimetrică

1- obiectiv ; 2- axa geometrică şi optică ; 3- ocular ; 4- reticul ; 5- fire stadimetrice; 6- fire reticulare

Dacă se uneşte centrul optic al obiectivului cu punctul de intersecţie al celor două diametre perpendiculare ale reticulului şi cu centrul optic al ocularului se obţine axa optică a lunetei care trebuie să se confunde cu axa geometrică a acesteia. O astfel de lunetă face parte din construcţia unui tahimetru clasic.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 65 Să presupunem un teren orizontal şi două puncte A şi B între care se măsoară distanţa pe cale optică. Luneta stadimetrică se fixează orizontal pe verticala punctului A, iar pe verticala punctului B se va fixa o miră topografică (fig. 6.4). Se observă că în situaţia când distanţa F între reticul şi obiectiv este reglată astfel încât imaginea mirei topografice să fie văzută clar în planul reticulului, atunci punctele 1’,O’,2’ ale acestuia vor avea drept corespondente pe miră punctele 1, 0’’’, 2, situate, faţă de punctul B la înălţimile L1, L0, L2 , citite pe diviziunile mirei.

H

L2

L0

L1

DA-B

D1FP

K1

OO'''O'

2'

1'

A B

1'

2'O' h

2

1

O''

Fig. 6.4 Măsurarea optică (stadimetrică) a distanţelor orizontale

Conform teoriei lentilelor rezultă că:

PFD111

1

=+ (6.4)

unde D1 este distanţa de la obiectiv la miră; P- distanţa focală principală; F- distanţa focală conjugată a obiectivului. Distanţa verticală, h, între cele două fire stadimetrice 1’ şi 2’ ale reticulului şi distanţa orizontală, K1, între obiectiv şi axul mecanic vertical al tahimetrului pe care este montată luneta se cunosc ca elemente constructive. Din diferenţa lecturilor efectuate pe miră rezultă:

H = L2 – L1 (6.5)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 66 În fig. 6.4 se vede că triunghiurile 1’-2’-0 şi 1-2-0 sunt asemenea. Din raportul laturilor rezultă:

HhFD ⋅=1 (6.6)

unde distanţa focală conjugată, F se poate exprima din relaţia (6.4) sub forma:

PDDPF−⋅

=1

1 (6.7)

Substituind valoarea F din relaţia 6.6 cu cea din relaţia 6.7 rezultă distanţa între obiectivul lunetei şi mira topografică:

PHhPD +⋅=1 (6.8)

În continuare distanţa între punctele A şi B se scrie ca:

111 KPHhPKDDAB ++⋅=+= (6.9)

Elementele constructive P şi h ale lunetei se aleg astfel încât raportul

KhP= să fie o valoare rotundă (de obicei K = 100). De asemenea, în

construcţia lunetelor stadimetrice apare o lentilă suplimentară, plasată între obiectiv şi ocular, numită lentilă analatică. Această lentilă permite deplasarea focarului principal O” în interiorul lunetei, astfel încât acesta să se situeze pe axul vertical al tahimetrului, deci pe verticala punctului A. Rezultă astfel P + K1 ≈ 0 şi distanţa între punctele A şi B de forma:

HKHhPDAB ⋅=⋅= (6.10)

Deoarece mira topografică se aşează întotdeauna vertical, rezultă că relaţia (6.10) este valabilă doar în cazul măsurării distanţelor în plan orizontal (deci cu luneta la orizontală). Dacă este necesară măsurarea unei distanţe înclinate, atunci luneta trebuie să fie fixată paralel cu aliniamentul de pe teren, deci mira topografică, situată pe verticală va forma cu axul optic al lunetei un unghi

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 67 egal cu unghiul vertical zenital al aliniamentului de măsurat (fig. 6.5). În această situaţie diferenţa H =L2 – L1 a lecturilor de pe mira verticală se va proiecta pe direcţia perpendiculară la axa optică a lunetei, în punctul B’, de unde rezultă:

H’= (L2 – L1) cosφAB = (L2 – L1) sin VAB = H sin VAB (6.11)

Distanţa înclinată, LAB va fi deci:

LAB= KH’ =KH sin VAB = K(L2 – L1) sin VAB (6.12)

iar distanţa orizontală DAB va fi în acest caz:

DAB = LAB sin VAB = KH sin2 VAB = K(L2 – L1) sin2 VAB (6. 13)

Rezultă, deci, că pe teren înclinat, pentru măsurarea optică a unei distanţe este necesar să se măsoare şi unghiul vertical zenital, deci axa optică a lunetei trebuie să fie paralelă cu aliniamentul de măsurat. Acest lucru este posibil dacă citirea mijlocie de pe miră, L0 este egală cu înălţimea I, de amplasare a aparatului deasupra punctului A, staţionat.

A

B

VA-B

VA-B

ϕA-B L1 L0=I L2

B'

A'

ILA-B

LA-B

DA-B

Fig. 6.5 Măsurarea optică a distanţelor înclinate

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 68 Trebuie specificat faptul că unele aparate topografice optice nu utilizează principiul stadimetric pentru măsurarea optică a distanţelor, ci principiul telemetric. La aceste aparate nu mai este necesară mira topografică, deoarece distanţa se determină prin coincidenţa a două semiimagini ale unui obiect vizat. 6.4 Măsurarea electronică a distanţelor Ultimele generaţii de tahimetre electronice sunt dotate cu dispozitive electrooptice pentru măsurarea distanţelor, care prezintă avantaje în privinţa rapidităţii şi a preciziei cu care se efectuează măsurătorile. La ultimele tipuri de tahimetre, dispozitivele electronice pentru măsurarea distanţelor sunt încorporate în aparat. În principiu, măsurarea distanţelor pe cale electronică se realizează în modul următor (fig.6.6): generatorul electronic G, produce o oscilaţie electrică de o anumită frecvenţă care este apoi modulată de către modulatorul M, şi transmisă emiţătorului E, care o emite de-a lungul distanţei de măsurat. În celălalt capăt al segmentului de măsurat este instalat un reflector RR, care întoarce unda electromagnetică în direcţie opusă. Unda reflectată este recepţionată de către receptorul, R, situat alături de emiţător. De la receptor, unda reflectată este transmisă la indicatorul diferenţei de fază F, care determină diferenţa de fază între unda emisă şi cea recepţionată precum şi timpul parcurs în dublu sens al undei. Rezultatul comparaţiei este transmis calculatorului electronic C, care apoi afişează rezultatul măsurării pe afişajul A

RR

D

AG

C

M

F

E

R

2 1

Fig.6.6 Schema de principiu a dispozitivului electronic de măsurare a

distanţelor 1- undă directă ; 2- undă reflectată ; D-distanţa măsurată

În momentul de faţă, cele mai utilizate dispozitive electronice de acest gen sunt de tip fazic (cu emisie continuă) cu frecvenţa de modulaţie fixă sau variabilă. Distanţa este calculată cu relaţia:

222λ

πϕλ

⋅⋅Δ

+⋅= ND (6.14)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 69 unde N este numărul de perioade complete consumate între momentul emisiei şi cel al recepţiei; λ -lungimea de undă a emisiei electromagnetice modulate; Δφ - diferenţa de fază între unda emisă şi cea recepţionată, care depinde proporţional de timpul de parcurs al undei. La valoarea D rezultată din relaţia 6.14 se aplică corecţii legate de natura constructivă a dispozitivului electronic şi a reflectorului şi de condiţii meteorologice (temperatura şi presiunea). Dispozitivele electronice permit măsurarea distanţelor de ordinul a 1-20 Km, cu o eroare absolută de 2-10 mm.


Cap. 7 Măsurarea pe teren a unghiurilor orizontale şi verticale 7.1 Principiul măsurării umghiurilor Se ştie că un unghi plan este format de două drepte concurente situate în planul respectiv. Punctul de concurenţă este vârful unghiului iar cele două drepte sunt laturile acestuia , laturi ce determină întotdeauna planul unghiului. Dacă laturile unghiului au o poziţie oarecare în spaţiu, atunci şi planul unghiului va fi un plan oarecare în spaţiu. Un unghi poate fi măsurat în planul său utilizând un raportor circular sau semicircular, în modul următor (fig. 7.1): se suprapune planul raportorului (realizat de obicei dintr-un material transparent) peste planul unghiului astfel încât centrul cercului raportorului să coincidă cu vârful unghiului. Laturile unghiului vor intersecta circumferinţa gradată a raportorului în două puncte diferite. În aceste puncte se efectuează citirile diviziunilor de pe raportor C1 şi C2. Diferenţa acestor citiri va fi valoarea unghiului măsurat(presupunând cǎ raportorul este gradat în sens orar):

α = C2 – C1 (+400g) (7.1)

0

100300

200

α

C1

C2

Fig. 7.1 Măsurarea unghiurilor cu ajutorul cercului gradat(raportorului)

Valoarea α trebuie să fie pozitivă şi mai mică de 400g (2π rad).

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 71 În situaţia în care diviziunea zero a raportorului se aşează între laturile unghiului, atunci C2 < C1 şi valoarea α conform relaţiei (7.1) rezultă negativă. În astfel de cazuri la rezultatul obţinut se adaugă 400g (2π rad.). Metoda de măsurare descrisă mai sus se numeşte metoda diferenţei citirilor. Pentru a evita calculul diferenţei se procedează astfel: se roteşte raportorul astfel încât diviziunea zero să se suprapună pe latura din stânga a unghiului, deci C1 = 0, iar citirea C2 corespunzătoare laturii din dreapta va fi tocmai valoarea unghiului: α = C2. Această metodă se numeşte metoda zeroului în coincidenţă (pe latura din stânga a unghiului). În cazul în care laturile unghiului au o poziţie oarecare în spaţiu, se poate imagina proiecţia acestui unghi pe un plan particular, care este planul orizontal, deci se poate discuta despre o valoare în plan orizontal a acestui unghi, valoare care este diferită faţă de cea măsurată în planul spaţial al unghiului. Acest caz este foarte frecvent în măsurătorile topografice, unde aliniamentele au poziţii oarecare, dar se măsoară valoarea proiecţiei unghiului pe plan orizontal. Să ne imaginăm că suprafaţa terenului este un plan înclinat oarecare, iar pe acest plan sunt două aliniamente concurente, PA şi PB care formează unghiul plan β. Considerăm sistemul spaţial Oxyz, astfel ca axa Oz să treacă prin vârful P al unghiului. Proiecţiile OA” şi OB” ale laturilor PA şi PB ale unghiului de pe teren, formează în planul orizontal xOy unghiul α care se numeşte unghiul orizontal al aliniamentelor de pe teren (fig. 7.2). Măsurarea acestuia se realizează astfel: deasupra punctului P se fixează un cerc gradat în poziţie orizontală astfel ca centrul lui să fie pe verticala lui P (axa Oz). Proiecţiile aliniamentelor din teren pe planul cercului, P’A’ şi P’B’, determină citirile C1 şi C2 a căror diferenţă reprezintă tocmai unghiul orizontal α. Acest principiu de măsurare a unghiurilor orizontale este utilizat la aparatele topografice, prevăzute cu cerc gradat care poate fi adus la poziţia orizontală şi fixat cu centrul său pe verticala punctului de intersecţie a aliniamentelor de pe teren. În fig. 7.2 se observă că aliniamentele de pe teren (laturile unghiului) PA şi PB au unghiuri diferite faţă de verticala punctului P. Să presupunem că rotim sistemul cartezian în jurul axei Oz astfel încât punctul A să fie conţinut în planul vertical xOz iar A” să fie situat pe axa Ox. Pentru a măsura înclinarea aliniamentului PA faţă de verticală (axa Oz) se fixează un cerc gradat cu centrul P1 la înălţimea h faţă de vârful P, astfel încât cercul să fie situat în planul vertical xOz (fig. 7.3), iar gradaţia zero să fie pe axa Oz. Prin centrul cercului se consideră direcţia P1-A1


α0 X

Y

Z

B''

B

B'

A'

A

A''

α

β

P

P'

C1

C2

C2-C1=α

Fig.7.2 Principiul de măsurare a unghiului orizontal a două aliniamente paralelă cu aliniamentul din teren PA. Direcţia axei Oz determină pe cercul gradat citirea C1=0, iar direcţia P1-A1 citirea C2 care este egală cu valoarea unghiului de înclinare V, a acesteia faţă de verticală, deci şi al aliniamentului PA de pe teren. Acest procedeu de măsurare este utilizat la aparatele prevăzute cu cerc vertical gradat.

0 X

Y

Z

B''

B

A1

A

A''

h

h

VP-A

VP-AC1=0

C2

P

Fig. 7.3 Principiul de măsurare a unghiului vertical zenital al unui aliniament

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 73 7.2 Teodolitul 7.2.1 Schema simplificată şi părţile constructive ale teodolitului Teodolitul sau goniometrul este un aparat topografic destinat măsurării unghiurilor orizontale şi verticale direct pe teren. Din punct de vedere constructiv acest aparat este un complex mecanic-optic (la ultimile variante şi electronic) realizat cu o fineţe deosebită, astfel încât să poată asigura precizii de măsurare a unghiurilor de 8x10-7 radiani (5x10-5gon ) sau chiar mai mari. În principiu un teodolit este alcătuit din câteva subansamble caracteristice, importante, care sunt (fig. 7.4): 1) Ambaza- este partea inferioară a aparatului care permite fixarea acestuia pe trepied prin intermediul unui şurub special (şurub pompă). În corpul ambazei se fixează pivotul părţii superioare a aparatului, care se poate roti în jurul acestuia. O funcţie importantă a ambazei este aceea de a permite calarea aparatului, cu ajutorul a trei şuruburi care produc înclinarea părţii superioare a ambazei faţă de partea sa inferioară fixată pe trepied.

7

1

2

6

3

5

8

4

Fig. 7.4 Schema de principiu a teodolitului 1- ambază ; 2- limb ; 3- alidadă ; 4- eclimetru ; 5- lunetă

6- nivelă torică ; 7- şurub de calare ; 8- ax orizontal 2)Cercul orizontal gradat (limbul) - permite măsurarea unghiurilor orizontale între aliniamente concurente de pe teren. Pentru măsurare este necesar ca cercul să fie orizontalizat prin operaţia de calare. Limbul poate fi

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 74 realizat din metal sau din sticlă de cristal şi este gradat în unităţi centezimale sau sexagesimale. 3) Alidada- este formată dintr-un disc metalic prevăzut cu un pivot coaxial cu limbul. Alidada acoperă cercul orizontal gradat, iar pe faţa sa superioară este prevăzută cu două braţe verticale care susţin axul lunetei şi al cercului vertical gradat. Tot pe corpul alidadei sunt susţinute componentele auxiliare ale teodolitului. 4) Cercul vertical gradat(eclimetrul)- permite măsurarea unghiurilor verticale. Pentru aceasta este necesar ca eclimetrul să fie adus în plan vertical prin operaţia de calare. Din punct de vedere constructiv el este fixat pe o axă de rotaţie orizontală sprijinită pe cele două braţe ale alidadei, astfel încât planul eclimetrului este perpendicular pe planul cercului gradat orizontal. Cercul vertical este realizat din acelaşi material ca şi cel orizontal şi gradat la fel. 5) Luneta- este un dispozitiv optic de tip cilindric, care permite vizarea la distanţă a punctelor topografice. Constructiv, se aseamănă cu luneta descrisă la punctul 6.3, cu deosebirea că reticulul său nu este prevăzut cu fire stadimetrice. Luneta este fixată pe axul orizontal pe care se află şi eclimetrul, deci se poate roti în jurul acestui ax odată cu eclimetrul. 6) Componente auxiliare- acestea sunt elemente constructive care permit reglajul aparatului, calarea sa, efectuarea citirilor valorilor unghiulare pe cele două cercuri gradate şi altele. Printre aceste componente, cele mai importante sunt nivelele cu bulă de aer utilizate la calarea aparatului şi microscopul pentru efectuarea citirilor pe cercurile gradate. În afară de acestea teodolitul este echipat cu şuruburi de blocare a mişcărilor, şuruburi pentru rotiri fine în jurul axelor verticală şi orizontală, şurub repetitor sau reiterator etc. Nivelele cu bulă de aer sunt de două tipuri: nivele torice şi nivele sferice (fig. 7.5). Nivela torică este utilizată pentru aducerea la orizontală a suprafeţei limbului (calarea). Această nivelă este formată dintr-o fiolă de sticlă curbată, în formă de tor, în care s-a introdus lichid şi s-a lăsat un mic spaţiu cu aer. Fiola de sticlă este fixată într-o montură metalică prevăzută cu un şurub de rectificare. Pe suprafaţa superioară a fiolei sunt trasate diviziuni simetrice faţă de jumătatea lungimii torului (punctul 0 din fig. 7.5). Nivela torică este astfel reglată încât tangenta sa în punctul 0 (directricea D-D) să fie paralelă cu discul alidadei, cu cercul orizontal gradat şi cu faţa superioară a ambazei.


D DD D

OO

a) b)

Fig. 7.5 Nivela cu bulă de aer

a- nivelă torică ; b- nivelă sferică Tangenta D-D este orizontală atunci când bula de aer este perfect centrată faţă de punctul 0. La nivela sferică fiola de sticlă are formă cilindrică, iar partea superioară este sferică. Reperul trasat pe această suprafaţă este un cerc în interiorul căruia se situează bula de aer când tangenta D-D este orizontală. Sensibilitatea (precizia de orizontalizare) unei nivele torice este mai mare decât a unei nivele sferice. 7.2.2 Dispozitive de citire a valorilor unghiulare pe limb şi eclimetru Teodolitele utilizate în prezent sunt dotate cu două tipuri de dispozitive de citire a diviziunilor pe cercurile gradate: -dispozitive de tip optic (microscop); -dispozitive electronice cu afişaj numeric. Microscoapele sunt sisteme optice complexe care permit citirea pe ambele cercuri gradate. În funcţie de precizia dispozitivului, există trei tipuri de microscoape: cu reper, cu scăriţă (vernier optic) şi cu coincidenţă (cu şurub micrometric). Câmpul vizual al microscopului este împărţit în două zone, una corespunzătoare cercului vertical, inscripţionată cu litera V şi cealaltă corespunzătoare cercului orizontal, inscripţionată cu literele Hz. Microscopul cu reper (fig. 7.6a) are în centrul câmpului vizual o linie verticală (reperul). Cercurile orizontal şi vertical, ale teodolitelor dotate cu un astfel de microscop, sunt divezate în 400g şi fiecare grad este divizat în 10 părţi de câte un decigrad (1dg=10c). În câmpul vizual apar imaginile diviziunilor din câte o porţiune a cercului orizontal şi vertical. Citirile se execuă de la stânga spre dreapta până la linia verticală a reperului. Se citesc direct numărul de grade şi zeci de minute la care se adaugă un număr de 0...9 minute apreciat de către observator.


V

Hz

00 10 20 30 5040 9060 8070 100

00 2010 30 40 50 60 70 80 90 100233

101

103 104

221 222

V

Hz

V=103g 62c

Hz=221g 73c

V=101g 73c 80cc

Hz=233g 37c 50cca) b)

Fig. 7.6 Dispozitive pentru citirea valorilor unghiulare la teodolite

a- cu reper ; b- cu scăriţă Microscopul cu scăriţă (fig. 7.6 b) are în câmpul vizual două scale gradate în 100 diviziuni, câte una pentru fiecare cerc. Teodolitele cu un astfel de microscop au cercurile divizate în 400g. Lungimea arcului corespunzător la 1g este egală cu lungimea scalei gradate. Imaginile diviziunilor de pe cercuri se suprapun cu imaginile scalelor gradate. Se citeşte direct numărul de grade de pe diviziunea cercului observată în câmpul vizual (apare o singură diviziune a cercului). Tot direct se citeşte numărul de diviziuni întregi cuprins între capătul 0 al scalei şi linia diviziunii cercului. Acest număr reprezintă minute centezimale. În continuare se apreciază de către observator fracţiunea de diviziune rămasă până la diviziunea cercului. Aceasta reprezintă numărul de secunde centezimale. Suma celor trei valori reprezintă citirea. Microscopul cu coincidenţă şi şurub micrometric face parte din construcţia teodolitelor de înaltă precizie. Există multe tipuri constructive, dintre care cel mai perfecţionat este prevăzut cu citire seminumerică (fig. 7.7).

9 80

909

15 214

citire grade

citire zeci de minute

citire unitati de minute

citire zeci de secunde

reper fix(citire unitati de secunde)

coincidenta diviziuni

3

citire efectuata pe dispozitiv:Hz=214g 39c 84cc

Fig. 7.7 Microscop cu coincidenţă şi şurub micrometric

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 77 La teodolitele electronice citirea valorilor unghiulare se realizează automat, iar valorile unghiulare sunt prezentate sub formă numerică pe afişaje cu cristale lichide. 7.2.3 Anexele teodolitului La lucrări executate pe teren teodolitul este utilizat împreună cu unele elemente anexe, care permit realizarea unor operaţii premergătoare procesului efectiv de măsurare. Cele mai importante anexe sunt: a) Cutia aparatului – permite transportul aparatului la punctele de lucru şi îl fereşte de şocuri. b) Trepiedul – permite fixarea rigidă a teodolitului în punctul de staţie, la o înălţime oarecare convenabilă operatorului. Pentru aceasta picioarele trepiedului sunt telescopice şi sunt echipate cu saboţi metalici pentru a fi înfipţi în sol. c) Firul cu plumb – permite centrarea aparatului pe verticala punctului de staţie. În locul firului cu plumb unele aparate sunt prevăzute cu dispozitive optice de centrare sau dispozitive laser. d) Busola sau declinatorul – permite orientarea lunetei teodolitului pe direcţia Nord magnetic şi măsurarea unghiurilor orizontale faţă de această direcţie. e) Mira topografică – constituie un semnal portabil cu care se materializează verticala punctelor care nu pot fi observate direct. Pentru lucrări mai complexe se utilizează şi alte tipuri de anexe cu destinaţii specifice fiecărui tip de lucrare. 7.2.4 Axe şi mişcări ale teodolitului Din punct de vedere constructiv, teodolitul are trei axe importante care sunt concurente într-un punct, M, numit punctul mecanic al aparatului (fig.7.8). Axa verticală V-V, numită axă principală este perpendiculară pe planul limbului în centrul acestuia. Pentru a fixa diviziunea zero a limbului pe o anumită direcţie, acesta poate fi rotit faţă de axa V-V, însă în timpul mărsurătorilor el rămâne blocat în raport cu ambaza. Partea superioară a aparatului (alidada) se roteşte complet în jurul axei verticale V-V independent de limb. Axa orizontală H-H, numită şi axă secundară este prin construcţie perpendiculară pe axa principală şi pe planul cercului vertical, în centrul acestuia; cercul vertical şi luneta sunt fixate rigid şi se pot roti simultan şi complet în raport cu axa H-H.


H

O

V

H

O

V

M

Fig. 7.8 Axele teodolitului Axa optică a lunetei, O-O, identică cu axa geometrică a acesteia, este prin construcţie perpendiculară pe axa H-H. Direcţia de vizare este identică cu axa O-O iar sensul vizei este de la ocular către obiectivul lunetei. În funcţie de acest sens există două poziţii în care se pot executa măsurători: -poziţia I – în această poziţie cercul vertical este situat în stânga lunetei; -poziţia a II-a – în această poziţie cercul vertical este situat în dreapta lunetei. Dacă se consideră că aparatul este fixat în poziţie de măsurare şi se vizează acelaşi punct în poziţia I şi apoi în poziţia a II-a , valorile unghiulare citite pe cercul orizontal şi pe cel vertical vor fi VI , HzI, VII, HzII. În ipoteza că aparatul şi măsurătorile sunt perfecte, între valorile citite în cele două poziţii de măsurare există relaţiile: VI = 400 g – VII

200±= III HzHz (7.2) În procesul de măsurare a unghiurilor orizontale dispozitivele de citire pentru cercul orizontal se mişcă pc circumferinţa sa (prin rotirea alidadei în jurul axului vertical), iar cercul orizontal rămâne pe loc. Această mişcare se numeşte mişcare înregistratoare. La măsurarea unghiurilor verticale dispozitivul de citire rămâne pe loc iar cercul vertical se roteşte simultan cu luneta pentru a stabili o înclinare oarecare. Această mişcare se numeşte mişcare în plan vertical.

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 79 Trebuie menţionat faptul că valorile unghiulare utilizate în calcul sunt cele citite în poziţia I, iar cele determinate în poziţia a II-a a aparatului sunt utilizate pentru corecţia unor erori datorate imperfecţiunilor de execuţie şi reglaj ale teodolitului. 7.3 Operaţii premergătoare efectuării citirilor pe limb şi eclimetru Pentru realizarea unor măsurători corecte este necesar să se respecte principiile descrise la punctul 7.1, ceea ce impune efectuearea unor operaţii pregătitoare care constau în: -fixarea pe trepied a teodolitului; -centrarea aparatului în punctul de staţie; -calarea; -efectuarea vizelor pentru fiecare punct măsurat. Trepiedul se reglează la o înălţime convenabilă operatorului şi se fixează pe sol deasupra punctului de staţie, iar teodolitul se instalează pe trepied prin intermediul şurubului pompă. Firul cu plumb este suspendat pe cârligul şurubului pompă pentru materializarea axei verticale a aparatului. Centrarea aparatului în punctul de staţie presupune deplasarea laterală a trepiedului şi/sau aparatului astfel încât verticala firului cu plumb să coincidă cu verticala punctului de staţie. Definitivarea centrării se realizează prin schimbarea poziţiei aparatului pe trepied în limitele a 1-2cm. La aparatele cu dispozitiv optic de centrare nu mai este necesar firul cu plumb, iar precizia operaţiei de centrare creşte. Calarea teodolitului presupune aducerea limbului în plan orizontal, operaţie care reclamă utilizarea celor trei şuruburi de calare ale ambazei şi a nivelei torice. Calarea se realizează în două faze succesive (fig. 7.9): -în prima fază se roteşte partea superioară a aparatului(alidada) astfel ca fiola nivelei torice să ajungă pe o direcţie paralelă cu dreapta care uneşte oricare două, din cele trei şuruburi de calare ale ambazei; cele două şuruburi se rotesc simultan în direcţii opuse până când bula de aer a nivelei torice ajunge în poziţie centrală, deci directricea torului este orizontală; -în faza a doua, partea superioară a aparatului se roteşte astfel ca fiola nivelei torice să ajungă pe pe o direcţie perpendiculară faţă de cea ocupată în prima fază; se roteşte apoi numai al treilea şurub de calare într-un sens sau în cel opus până când bula de aer a nivelei ajunge în poziţie centrală.


faza 2

faza 1

S2S1

S3axul vertical al aparatului nivela

torica

Fig.7.9 Operaţia de calare a teodolitului În continuare aparatul trebuie să rămână calat , deci bula de aer a nivelei să se menţină în poziţie centrală., indiferent de poziţia în care se roteşte partea superioară a aparatului(alidada). Dacă operaţia de calare nu a reuşit, cele două faze ale calării se repetă. În cazul în care calarea nu se realizează, chiar dacă operaţia s-a repetat, atunci este posibil ca : -fixarea trepiedului la sol sau a aparatului pe trepied să nu fie suficient de rigide; - nivela torică să fie dereglată; -aparatul să aibă axul vertical deranjat datorită unor şocuri. În prima situaţie se repetă instalarea aparatului în staţie, refăcându-se centrarea acestuia. În a doua situaţie este necesară rectificarea poziţiei nivelei torice, operaţie care presupune readucerea directricei torului paralelă cu planul cercului orizontal, operaţie ce se poate realiza de către topografii experimentaţi. În ultima situaţie se recomandă să se apeleze la ateliere de specialitate. Aducerea limbului în plan orizontal presupune şi fixarea în plan vertical a eclimetrului, dată fiind construcţia teodolitului. Centrarea şi calarea teodolitului sunt două operaţii de care depinde foarte mult precizia de măsurare a unghiurilor, dar la fel de important este modul în care se realizează vizarea punctelor măsurate. Vizarea corectă presupune direcţionarea lunetei către punctul măsurat, punerea la punct a imaginii(reglarea distanţei de vizare) şi aducerea punctului central al reticulului lunetei în coincidenţă cu punctul măsurat, prin utilizarea dispozitivelor de mişcare fină orizontală şi verticală ale aparatului (operaţia de punctare). În situaţia când punctul măsurat este

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 81 vizibil atunci punctarea se face chiar pe borna sau pe ţărusul care materializează punctul respectiv (fig. 7.10).

a b

Fig. 7.10 Vizarea directă a unui punct a – imagine pusă la punct ; b- punctare

Dacă punctul măsurat nu este vizibil, acesta este semnalizat cu un semnal permanent sau cu un semnal mobil (jalon sau miră topografică) aşezat pe verticala punctului respectiv. În această situaţie punctarea se face pe verticala semnalului, care trebuie să fie aceeaşi cu verticala punctului (fig. 7.11).

a b c

Fig. 7.11 Punctarea pe verticala punctului vizat

a- pe mira topografică ; b- pe o baliză ; c- pe o turlă de biserică 7.4 Procedee de măsurare a unghiurilor orizontale În funcţie de precizia urmărită, măsurarea unui unghi orizontal se poate realiza cu un aparat şi cu un procedeu, corespunzătoare. Aşa cum s-a precizat, teodolitele oferă în mod obişnuit precizii de 0,5cc-1c, dar în procesul de măsurare intervin erori datorate imperfecţiunilor

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 82 de centrare şi calare a aparatului, de centrare a semnalelor şi de efectuare a vizelor, la care se adaugă şi erorile de citire ale operatorului. În procesul de măsurare a unghiurilor orizontale se utilizează trei procedee: a) Procedeul simplu al diferenţei citirilor constă în efectuarea unei singure citiri pe limb pentru fiecare dintre direcţiile corespunzătoare laturilor unghiului măsurat. Să presupunem că se măsoară unghiul orizontal, A, format de aliniamentele concurente 20-22 şi 20-101(fig. 7.12). Pe teren se staţionează punctul 20. Deasupra acestui punct se centrează şi se calează teodolitul. În continuare se vizează punctul 22 şi se efectuează citirea Hz22 pe limb. Se roteşte apoi alidada şi se vizează punctul 101 pentru care se efectuează citirea Hz101 pe limb.

101

22

300

100

2000 A

20

Hz22

Hz101

Fig. 7.12 Procedeul diferenţei citirilor

Pentru calculul unghiului se face diferenţa între citirea pe latura din dreapta, Hz101 şi citirea pe latura din stânga, Hz22 , ale unghiului. Sunt două situaţii posibile: - dacă Hz101> Hz22, atunci unghiul se va calcula cu:

A = Hz101 – Hz22 (7.3)

- dacă Hz101< Hz22, atunci unghiul se va calcula cu:

A = Hz101– H z22 + 400g (7.4)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 83 deoarece valoarea unui unghi trebuie să fie pozitivă şi cuprinsă în intervalul 0-400g . În relaţia (7.4) s-a presupus că limbul este gradat centezimal. Un caz particular al acestui procedeu este cel în care citirea pe latura din stânga a unghiului (în cazul de mai sus Hz22) este zero. În această situaţie valoarea unghiului va fi chiar valoarea citirii pe latura din dreapta:

A=Hz101- Hz22 = Hz101 – 0 = Hz101 (7.5)

Diviziunea zero a limbului poate fi poziţionată pe o anumită direcţie prin rotirea limbului în jurul axului vertical, cu ajutorul unui mecanism care face parte din construcţia teodolitului (mecanism repetitor sau reiterator.). Cazul particular descris mai sus poartă denumirea de procedeu al zeroului în coincidenţă. În cazul în care în punctul de staţie sunt mai multe aliniamente concurente, atunci unul dintre acestea este considerat ca direcţie de referinţă, faţă de care se măsoară unghiurile orizontale ale celorlalte. Pentru fiecare dintre aliniamente se repetă operaţia de vizare şi de citire pe limb (fig. 7.13). Unghiul orizontal pentru fiecare dintre aliniamente se determină prin diferenţa între citirea pe direcţia respectivă şi citirea pe direcţia de referinţă: A501 = Hz501- Hz22 (+400g)

.................................................. (7.6) A505 = Hz505- Hz22 (+400g)

Hz20-50

1 501

502

503

505 504

22

A501

A502

A503

A504A505

Hz20-22

Hz20-22

Hz20-22

Hz20-22

Hz20-22

20

Fig. 7.13 Măsurarea unghiurilor orizontale pentru mai multe aliniamente

concurente b) Procedeul repetiţiei constă în măsurarea unui unghi orizontal de n ori. O măsurătoare din cele n, luată separat se aseamănă cu cea realizată prin procedeul simplu, dar înlănţuirea repetiţiilor are ceva particular: să presupunem că se măsoară unghiul orizontal, A , între aliniamentale

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 84 concurente 20-22 şi 20-101 (fig. 7.14); după centrarea şi calarea teodolitului în punctul de staţie 20 se vizează latura din stânga (deci punctul 22) şi se citeşte pe limb Hz0. Se vizează apoi latura din dreapta (deci punctul 101) şi se face citirea Hz1, după care, prin acţionarea pâghiei repetitoare se fixează limbul de alidadă. Pentru măsurătoarea următoare alidada se roteşte spre stânga (simultan cu limbul care este blocat) şi se vizează din nou punctul 22. Lectura pe limb va fi în acest caz identică cu cea efectuată pe latura din dreapta la măsurătoarea precedentă, deci Hz1. După vizarea punctului 22 se acţionează din nou pârghia repetitoare, pentru deblocarea limbului şi, se roteşte alidada spre latura din dreapta pentru vizarea punctului 101 şi se efectuează citirea Hz2, după care se acţionează iarăşi pârghia repetitoare. Operaţiile descrise se repetă până când se realizează n măsurători ale unghiului. Valoarea unghiului va fi calculată ca medie aritmetică a celor n valori rezultate:

A1 = Hz1 - Hz0 (+400) A2 = Hz2 - Hz1 (+400) A3 =Hz3 - Hz2 (+400) (7.7)

........................................... An = Hzn - Hzn-1 (+400)

şi deci:

nkHzHz

nAAAA nn )400(...... 021 ⋅+−

=+++

= (7.8)

Valoarea (k.400) din relaţia (7.8) arată că la cele n măsurători s-a înregistrat de k ori situaţia de calcul descrisă în relaţia (7.4), adică citirea pe latura din dreapta a unghiului a fost mai mică decât cea pe latura din stânga. c) Procedeul reiteraţiei sau al seriilor complete presupune măsurarea unui unghi orizontal de n ori, în ambele poziţii ale lunetei aparatului, cu condiţia ca de fiecare dată originea de măsurare pe limb în poziţia I a lunetei (deci citirea pe direcţia laturii din stânga a unghiului) să fie o valoare stabilită anterior. Prima origine de măsurare este 0g iar intervalul dintre origini pentru n serii complete va fi dat de relaţia : Δα=200g /n .Fiecare semiserie de măsurători trebuie să se încheie cu o citire suplimentară pe prima direcţie vizată(închiderea turului de orizont), cu scopul verificării . Valoarea finală a unghiului va fi media aritmetică a celor 2n măsurători.


101

20

22

Hz0

Hz1Hz2

Hzn-1

Hz1Hz2

Hz3

Hzn

AnA1 A2

Fig. 7.14 Măsurarea unui unghi orizontal prin metoda repetiţiei

Să presupunem că se măsoară unghiul orizontal, A, dintre aliniamentele 20-22 şi 20-101 (fig. 7.15) în 2 serii complete. Intervalul între originile de măsurare calculat este de Δα=200g /2=100g iar numărul de măsurători este 4=2seriix2poziţii ale lunetei.

A1 A2 A3 A4

Hz1

Hz2

Hz3

Hz4

0 200100 300

20

22

101 Fig. 7.15 Măsurarea unui unghi orizontal prin metoda reiteraţiei

La prima măsurare se vizează punctul 22, cu luneta aparatului în prima poziţie, după care se aduce diviziunea zero a limbului pe direcţia respectivă, cu ajutorul şurubului reiterator al teodolitului, deci citirea pe limb va fi CI=0. Se roteşte aparatul spre dreapta, se vizează punctul 101 şi se citeşte pe limb valoarea Hz1. Se închide apoi turul de orizont printr-o citire suplimentară CI

’=0 pe direcţia către punctul 22. În continuare se întoarce luneta aparatului în poziţia a doua şi se vizează din nou punctul 22, cu citirea pe limb CII

’=200, se roteşte apoi luneta spre stânga, pe direcţia

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 86 punctului 101, efectuându-se citirea Hz2 pe limb. Se roteşte aparatul spre latura din stânga, se vizează punctul 22 şi se efectuează citirea pe limb CII=200g (în ipoteza că aparatul şi punctarea sunt perfecte). Măsurătoarea astfel efectuată se numeşte serie completă (adică s-a utilizat aparatul cu luneta în ambele poziţii pentru măsurarea aceluiaşi unghi). Pentru următoarea serie se vizează din nou punctul 22 şi se roteşte limbul astfel ca citirea să fie CIII=100g, cu condiţia ca luneta să se afle în prima poziţie. Pe latura din dreapta se va citi valoarea Hz3 şi citirea de închidere a turului de orizont va fi CIII

’=100g . Se roteşte din nou luneta peste cap şi se fac citirile CIV

’=300g ,pentru latura din stânga, Hz4 pentru latura din dreapta şi din nou CIV=300g pentru latura din stânga. Valorile unghiului pentru cele două serii complete de măsurători vor fi:

A1 = Hz1 - 0 = Hz1

A2 = Hz2 - 200 (+400) (7.9) A3 = Hz3 - 100g (+400) A4 = Hz4 - 300g (+400)

iar valoarea rezultată va fi:

4

4321 AAAAA +++= (7.10)

Ultimele două procedee descrise permit obţinerea unor precizii sporite la măsurarea unghiurilor orizontale, prin eliminarea unor erori ale instrumentelui datorate imperfecţiunilor de divizare a limbului, de centrare a acestuia pe axa verticală a aparatului şi de colimaţie orizontală a lunetei (axa optică şi cea geometrică ale lunetei nu coincid). Aceste procedee se aplică pentru măsurători efectuate la îndesirea punctelor de sprijin pentru efectuarea ridicărilor topografice, dar şi în situaţii speciale (de exemplu la măsurători pentru urmărirea deplasării în plan a construcţiilor mari). Când numărul de serii complete de observaţii unghiulare este n, numărul de măsurători va fi 2n, iar intervalul unghiular dintre originile fiecărei serii de observaţii se va calcula cu relaţia Δα=200g/n. 7.5 Procedee de măsurare a unghiurilor verticale S-a arătat că teodolitul permite măsurarea unghiurilor verticale cu ajutorul cercului vertical gradat (eclimetru). De fapt se măsoară înclinaţia faţă de verticală a axului geometric al lunetei, deoarece rotirea acesteia în jurul axului orizontal se face simultan cu cea a eclimetrului. Pentru a măsura înclinarea generală a terenului pe direcţia unui aliniament este necesar ca luneta să fie rotită astfel încât axa sa geometrică să fie

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 87 paralelă cu suprafaţa terenului pe direcţia respectivă. Acest lucru se realizează în maniera următoare (fig. 7.16):

L0

V22-101

22

101

ha

ha

Fig. 7.16 Măsurarea unghiului vertical al unui aliniament

Presupunând că se măsoară înclinarea terenului pe direcţia de la punctul 22 către 101, se va staţiona cu aparatul în punctul 22, iar verticala punctului 101 va fi semnalizată cu ajutorul unei mire topografice. După instalarea aparatului, se măsoară înălţimea, ha de amplasare a acestuia deasupra punctului de staţie. Înalţimea aparatului este distanţa verticală între capătul ţăruşului cu care este marcat punctul 22 şi axul de rotaţie al lunetei, care este şi axul cercului vertical. Se vizează apoi verticala punctului 101, rotind luneta astfel încât punctul central al reticulului să se suprapună cu diviziunea mirei topografice situată la o înălţime faţă de sol egală cu cea a aparatului. Unghiul faţă de verticală al axului lunetei, V22-101 va fi acelaşi cu unghiul de înclinare a terenului pe direcţia 22-101. Pentru măsurarea unghiului vertical se efectuează o singură citire pe eclimetru deoarece, în cazul când luneta este în direcţia verticalei, citirea este cunoscută (0g sau 400g). Pentru cazul arătat mai sus presupunem că în poziţia I a lunetei (cercul vertical în stânga) s-a efectuat citirea CI, iar pentru poziţia II a lunetei (cercul vertical în dreapta) s-a efectuat citirea CII. În acest caz unghiul vertical va rezulta ca medie aritmetică a valorilor obţinute din cele două măsurători (o serie completă):

V1 = CI - 0g = CI V2 = 400g - CII

2400

221

10122III CCVVV −+

=+

=− (7.11)

Dr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 88 Se observă că în prima poziţie a lunetei citirea pe cercul vertical este chiar valoarea unghiului, caz asemănător cu procedeul zeroului în coincidenţă la măsurarea unghiurilor orizontale.

Documents

Cap. 1 · PDF fileDr. Ing. Adrian Popia - Topografie pag 3 1.1 Scurt istoric al măsurătorilor terestre