Upload
rodrigo-bueno
View
47
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Fisica 2
Citation preview
Sejam todos bem-vindos! Fsica II
Prof. Dr. Cesar Vanderlei Deimling
Bibliografia:
Plano de Ensino
A engenharia a cincia e a profisso de adquirir e de aplicar os conhecimentos matemticos, tcnicos e cientficos na criao, aperfeioamento e implementao de utilidades, tais como materiais, estruturas, mquinas, aparelhos, sistemas ou processos, que realizem uma determinada funo ou objetivo.
Qual a importncia da Fsica em um curso de Engenharia?
Fsica (do grego antigo, physis, "natureza") a cincia que estuda a natureza e seus fenmenos em seus aspectos mais gerais. Envolve o estudo da matria e energia, alm de suas propriedades, abrangendo a anlise de todas as suas consequncias. Busca a compreenso dos comportamentos naturais do Universo, desde as partculas elementares at o Universo como um todo.
Falkirk wheel (Scotland, UK)
Captulo 13 - Gravitao
A Lei da Gravitao de Newton;
O princpio da Superposio;
A Gravitao nas Proximidades da Terra;
Gravitao no Interior da Terra;
A Energia Potencial Gravitacional;
Planetas e Satlites: As Leis de Kepler;
Satlites: rbitas e Energias;
A Lei da Gravitao de Newton;
Captulo 13 - Gravitao
Geometria (seno, cosseno, tangente, teorema de Pitgoras...);
Vetores (decomposio, montagem, projees, mdulo, vetor unitrio);
Trabalho, Energia cintica, Conservao de energia;
Conservao do momento angular;
Derivadas;
Integrais;
Captulo 13 - Gravitao
Pr-requisitos
Cap. 13 - A Lei da Gravitao de Newton
Newton enunciou a lei da Gravitao da seguinte maneira: Matria atrai matria na razo direta das massas e na razo inversa do quadrado da distncia que separa as massas.
2
21
d
MGMF
G = 6,67x10-11 m3/kg*s2
122
12
2112 r
r
MGMF
2112 FF
12F
21F
12r
2112 FF
Na forma vetorial temos:
12
1212
r
rr
Cap. 13 - A Lei da Gravitao de Newton
G = 6,67x10-11 m3/kg*s2
122
12
2112 r
r
MGMF
1212 rrr
12r
2r1
r
y
x
1M2M
12
12
12
1212
rr
rr
r
rr
kzjyixr 1111
kzjyixr 2222
kzzjyyixxr )()()( 12121212
2
12
2
12
2
1212 )()()( zzyyxxr
Cap. 13 - A Lei da Gravitao de Newton
rr
MGMF
2
2112
r
y
x1M
2M
yF
xF
jsenr
MGMi
r
MGMF cos
2
21
2
2112
G = 6,67x10-11 m3/kg*s2
Exemplo 1: Determinar as componentes da fora conforme o esquema abaixo.
xF yF
Cap. 13 O Princpio da Superposio das Foras
2m
3m
1m
12r
13r13F
12F
resF1
O princpio da superposio de foras usado para determinar a fora resultante em uma partcula devido a uma distribuio de partculas nas vizinhanas.
13121 FFF res
Sistema de 3 partculas:
Sistema de n partculas:
.... 113121 nres FFFF
n
i
ires FF2
11
Para corpos com dimenses finitas: F
FdF
1
23r
jd
MGMi
d
MGMF ABCBresB
2
1
2
2
,
G = 6,67x10-11 m3/kg*s2
Exemplo 2: Determina o mdulo, a direo e o sentido da fora resultante que atua em B conforme o esquema abaixo.
Cap. 13 O Princpio da Superposio das Foras
FBA
FBC
FB,res
rr
MGMF
2
2112
Dados: MA = Mc = 4 kg MB = 6 kg d1 = 2 cm d2 = 2*d1 jFiFF BABCresB
,
NjiF resB 104101 66,
2626, 104101 resBF
NF resB6
, 101,4
BCresB FF
cos,
BAresB FsenF
,BC
BA
F
Ftg
o9,75
rr
MGMF
2
2112
G = 6,67x10-11 m3/kg*s2
Exemplo 13-2) pg. 31: A figura abaixo mostra um arranjo de 5 partculas de massas m1 = 8 kg, m2 = m3 = m4 = m5 = 2 kg; a = 2 cm e = 30. Qual a fora gravitacional resultante que atua sobre a partcula 1?
Na direo do eixo x as foras se anulam!
Na direo y temos:
ja
mGmj
a
mGmF res
coscos2
51
2
31,1
ja
mGmF res
cos22
31,1
53 mm NjF res 104,6 -6,1
Como:
Cap. 13 O Princpio da Superposio das Foras
Cap. 13 O Princpio da Superposio das Foras
Problema 13-13) pg. 50: A figura abaixo mostra uma cavidade esfrica no interior de uma esfera de chumbo de raio R = 4 cm; a superfcie da cavidade passa pelo centro da esfera e toca o lado direito da esfera. A massa da esfera antes da cavidade ser aberta era de M = 2,95 kg. Com que fora gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,431 kg que se encontra a uma distncia d = 9 cm do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros das esferas e da cavidade?
O problema se resume em calcular a fora gravitacional da esfera macia de chumbo e descontar a contribuio da cavidade, considerando que a mesma fosse composta por chumbo! Como descobrir a massa da cavidade, mc, de raio, r, caso a mesma fosse de chumbo?
c
c
t V
m
V
M
3
4
3
4 33 r
m
R
M c
8
Mmc
22 )(
8
rd
mMG
d
GMmF
NF 91031,8
rR 2
Cap. 13 O Princpio da Superposio das Foras
Problema 13-16) pg. 50: Na figura abaixo uma partcula de massa m1 = 0,67 kg est a uma distncia d = 23 cm de uma das extremidades de uma barra de comprimento L = 3,0 m e massa M = 5 kg. Qual o mdulo da fora gravitacional que a barra exerce sobre a partcula?
Cada elemento dm da barra exercer uma fora gravitacional sobre m1.
dr
dm
L
M
2
1
r
dmGmdF
Para cada dm teremos um valor de r diferente! Dessa maneira precisamos escrever dm em funo de dr.
Integrando temos:
drL
Mdm
dL
d
dL
d
drrL
GMmdr
L
M
r
GmdF 21
2
1
dLd
dLd
L
GMm
ddLL
GMm
rL
GMmF
dL
d
111 111
NdLd
GMmF 10
11
1 100,3)23,03(23,0
67,0)5(1067,6
)(
Cap. 13 Distribuies Contnuas de Massa
Exemplo) Calcule o mdulo da fora gravitacional que atua em uma partcula de massa m, distante de x, devido a presena de um anel de massa M e raio R.
Devido simetria do problema, na direo de y as foras se cancelam aos pares.
cos2r
GmdMdFx
m constante; r constante; cos constante, e por isso a integral torna-se de fcil resoluo.
coscos2
0
2 r
GMmdM
r
GmdF
M
Na direo x negativa temos:
y
dF
dF
r dM
222 Rxr
xr cos
22cos
Rx
x
rx
23
222222
Rx
GMmx
Rx
x
Rx
GMmF
Cap. 13 Distribuies Contnuas de Massa
Exemplo) Calcule o mdulo da fora gravitacional que atua em uma partcula de massa m, distante de z, devido a presena de um disco de massa M e raio R.
cos2h
GmdMdFz
RR
zr
rdr
R
GMmzrdr
R
M
zr
z
zr
GmdF
02
322
2
0
22222
22
)(
222 zrh
zh cos
22cos
rz
z
hz
O Fora Gravitacional est orientado na direo de z negativo.
rdr
dM
dA
dM
R
M
22 rdr
R
MdM 2
2
dF
h
m
dM
22 zru rdrdu 2
uuduu
22 2
12
3
222
0
2221
22
zR
z
R
GMm
zrR
GMmzF
R
Cap. 13 A Gravitao nas Proximidades da Terra
A intensidade da fora gravitacional da Terra sobre uma partcula de massa m, localizada fora da Terra a uma distncia r do centro da Terra :
2r
MmGF
Pela 2a Lei de Newton, temos: gmaF
2r
GMag
acelerao da gravidade
Altitude
(km)
(m/s2) Exemplo
0 9,83 Superfcie mdia da Terra
8,8 9,80 Monte Everest
36,6 9,71 Balo tripulado mais alto
400 8,70 rbita do nibus espacial
35700 0,225 Satlites de comunicao
Massa da Terra: 5,98x1024 kg Raio da Terra: 6,37x106 m
2r
MmGmag
A acelerao da gravidade depende da altura, r. (quanto mais alto menor a acelerao gravitacional)
A acelerao da gravidade depende da massa do planeta, M. (quanto menor a densidade do planeta menor a acelerao gravitacional)
Plor
equadorr
2r
GMag
ag e g so denominadas acelerao gravitacional, porm esta acelerao at agora foi considerada constante (g = 9,8 m/s2) mas na realidade ela varivel de acordo com a localizao do corpo.
1. A massa da Terra no est uniformemente distribuda;
V
M
3. A Terra no uma esfera;
A acelerao em queda livre aumenta a medida que avanamos, no nvel do mar, do equador em direo a um dos plos.
EquadorPlo rr
2. A Terra Gira; Ela no um referencial inercial. Existe acelerao centrpeta.
rmr
mvFc
22
Cap. 13 A Gravitao nas Proximidades da Terra
Cap. 13 A Gravitao nas Proximidades da Terra
O princpio da equivalncia compe a base do postulado fundamental da teria da relatividade geral proposta por Eistein, segundo o qual a gravitao e a
acelerao so equivalentes.
Uma casca esfrica uniforme de matria atrai uma partcula que se encontra fora da mesma como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro, o centro de massa!
Uma casca esfrica uniforme de matria no exerce fora gravitacional resultante sobre uma partcula localizada no seu interior
Cap. 13 Gravitao no Interior da Terra
Exemplo 13-4) pg. 35. Calcular a fora gravitacional de uma cpsula que migra em direo ao centro da terra. Considerar a densidade da terra constante.
Calcular a massa da esfera interna posio da cpsula em funo da densidade.
Escrever a equao da fora gravitacional.
F = 4 (G*m*) r/3
Anlogo com a Lei de HooK
Cap. 13 Gravitao no Interior da Terra
Cap. 13 Gravitao no Interior da Terra
r R m
M
r R
Mint
a) Partcula fora da esfera b) Partcula dentro da esfera
3R
rGMmF
Fora gravitacional sobre uma partcula de massa m (a) fora e (b) dentro de uma esfera de massa M com densidade uniforme.
Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional
Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional
A Fora Gravitacional conservativa, pois o trabalho realizado por essa fora no depende da trajetria, apenas do ponto final e inicial.
0sdFW
A toda a fora conservativa podemos associar uma energia potencial!
UsdFW
Considerando o trabalho da fora gravitacional, em um deslocamento
de r1 (ponto inicial) e r2 = (ponto final). Alm do mais =
111
)()( 22
rrr
drrGMmsdrr
GMmsdFW
11
r
GMm
r
GMmW
r
dr
Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional
1
1
UUUr
GMmW
1r
GMmU
1
1r
GMmUU
Por converso, sempre adotaremos U = 0, e dessa forma temos:
r
GMmrU )(
Para mais de duas partculas:
23
32
13
31
12
21
r
mGm
r
mGm
r
mGmU
M = massa da Terra; r = dist. entre o corpo e o centro da Terra.
dr
Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional
Velocidade de Escape: Qual a velocidade mnima que um objeto necessita para atingir o infinito com v = 0?
Da conservao de energia: fi EE
ffii UKUK
GMm
r
GMmmve 02 1
2
1
2
r
GMve
Velocidade de Escape
Fg
v
Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional
Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional
Exemplo13-5) pg. 39 Um asteride , em rota de coliso com a Terra, tem uma velocidade de 12 km/s em relao ao planeta quando est a uma distncia de 10 raios terrestres do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra, determine a velocidade do asteride, vf, quando ele atinge a superfcie da Terra.
Fg 10RT
RT
No podemos usar as equaes da cinemtica pois a acelerao varia!
Pela Conservao da Energia temos:
ffii UKUK
R
GMmmv
R
GMmmv fi 2102
22
21010
10
2
22fi
v
R
GM
R
GMv
R
GMvv if
5
92
)1037,6(5
1098,5)1067,6(912000
6
24112
xxv f
smxv f /106,14
Primeira A Lei das rbitas: Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse descrita.
Cap. 13 As Leis de Kepler
b
a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor Ra = raio do aflio Rb = raio do perilio e = excentricidade F = foco da elpse
Caso a excentricidade seja: e = 1; elipse muito alongada e = 0; circunferncia
pRaae )(
ap RRa 2
Segunda Lei de Kepler: O segmento imaginrio que une o centro do Sol e o centro do planeta varre reas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.
Cap. 13 As Leis de Kepler
111 ,tSA 222 ,tSA
21 AA 21 tt dtd
rdt
rdr
ctedt
dA
2
2
1)(
2
1
cterdt
dA 2
2
1 Do momento angular:
ctesenrmmvrsenL 2vrmprL
Nas situaes em que v perpendicular a r: ppaa rvrv
Terceira lei de Kepler: O perodo do planeta, T, isto , o intervalo de tempo para ele dar uma volta completa em torno do Sol proporcional ao cubo de r, a medida do semi-eixo maior de sua rbita, tambm denominado raio mdio, expressa por:
Cap. 13 As Leis de Kepler
32
2 4 aGM
T
b
T = perodo; a = semi-eixo maior da rbita; M = massa do corpo central em torno do qual o planeta gira (Sol).
G = 6,67 10-11 N.m2/kg2 a constante gravitacional universal.
Partindo da segunda lei de Newton, temos:
maFr
mv
r
GMm 2
2 rm
r
GMm 22
T
2
Exemplos 13-6) pg. 42. O cometa Halley gira em torno do Sol com um perodo de 76 anos; em 1986, chegou sua menor distncia do Sol, Rp, que vale 8,9x10
10m. a) Qual a maior distncia do sol - a distncia do aflio - Ra. b) Qual a excentricidade da rbita do cometa Halley?
Cap. 13 As Leis de Kepler
Com base no perodo do cometa obtemos o semi-eixo maior, a. 32
2 4 aGM
T
mTGM
a s 123
1
2
2301131
2
2
107,24
)60)60(24)365(76)(1099,1(1067,6
4
ap RRa 2 mRaR pa121012 103,51092,8)107,2(22
A excentricidade:
pRaae )( a
Rae
p 97,0e
rbita bastante alongada.
Cap. 13 Satlites: rbitas e Energias
Considerando o planeta uma esfera de raio R, determine a velocidade de orbita para uma trajetria
circular de raio r, de um satlite de massa m.
Da segunda lei de Newton, temos:
r
mv
r
GMm 2
2
r
GMv
A Velocidade de orbita para uma trajetria circular no depende da massa do satlite!
Cap. 13 Satlites: rbitas e Energia
Considerando as energias em uma rbita circular:
r
GMv
r
GMmU
2
2mvK
r
GMmK
2
r
GMmE
2
r
Energia Mecnica para uma rbita circular.
Para rbitas elpticas temos:
a
GMmE
2
UKE
Cap. 13 Satlites: rbitas e Energias
Problema 13-68) pg. 54
Duas pequenas espaonaves, ambas de massa m = 2000 kg, esto em rbita circular
em torno da Terra a uma h = 400 km acima da superfcie. Kirk, o comandante de
uma das naves chega a qualquer ponto fixo da rbita 90 s antes de Picard, o
comandante da segunda nave. a) Determinar o perodo e a velocidade das naves.
r
GMv
32
2 4 rGM
T
365
2411
23
2
)1037,6104()1098,5)(1067,6(
4)(
4
T
T
RhGM
T
min3,921054,5 3 sT
)1037,6104(
)1098,5(1067,665
2411
v
smv /1068,7 3
Cap. 13 Satlites: rbitas e Energias
Problema 13-68) pg. 54 (Continuao) Duas pequenas espaonaves, ambas de massa m = 2000 kg, esto em rbita circular em torno da Terra a uma
h = 400 km acima da superfcie. Kirk, o comandante de uma das naves chega a qualquer ponto fixo da rbita
90 s antes de Picard, o comandante da segunda nave. a) Determinar o perodo e a velocidade das naves.
No ponto P da figura abaixo, Picard dispara um retrofoguete instantneo na direo
tangencial orbita, reduzindo a velocidade em 1 %. Depois do disparo a nave
assume uma rbita elptica. Determine; c) a energia cintica e a energia potencial
imediatamente aps o disparo. Na rbita elptica de Picard, quais so: d) a energia
total, e) o semi-eixo maior a e f) o perodo orbital? g) Quantos segundos Picard
chega antes de Kirk no ponto P.
2
2mvK c) Energia Cintica: JK 10
23
1078,52
)1068,7)99,0((2000
c) Energia Potencial: r
GMmU JU 11
65
2411
1018,1)1037,6104(
2000)1098,5(1067,6
d) Energia Total: JE 101110 1002,61018,11078,5 UKE
e) O semi-eixo maior:
a
GMmE
2 m
E
GMma 61063,6
2
Cap. 13 Satlites: rbitas e Energias
Problema 13-68) pg. 54 (Continuao) Duas pequenas espaonaves, ambas de massa m = 2000 kg, esto em rbita circular em torno da Terra a uma
h = 400 km acima da superfcie. Kirk, o comandante de uma das naves chega a qualquer ponto fixo da rbita
90 s antes de Picard, o comandante da segunda nave. a) Determinar o perodo e a velocidade das naves.
No ponto P da figura abaixo, Picard dispara um retrofoguete instantneo na direo
tangencial orbita, reduzindo a velocidade em 1 %. Depois do disparo a nave
assume uma rbita elptica. Determine; c) a energia cintica e a energia potencial
imediatamente aps o disparo. Na rbita elptica de Picard, quais so: d) a energia
total, e) o semi-eixo maior a e f) o perodo orbital? g) Quantos segundos Picard
chega antes de Kirk no ponto P.
f) Perodo:
c) O Tempo que Picard chega antes que Kirk ao completar uma volta ::
33 1037,51054,5 ec TTT
32
2 4 aGM
T
sT 31037,5
sT 170
st 8090170
Cap. 13 Gravitao
Lista de Exerccios:
1, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 17, 21, 24, 25, 29, 32, 33, 37, 38, 49, 54, 61, 65, 68, 89, 97, 99, 103.
Referncias HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Fsica: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. TIPLER, P. A.; Fsica para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Fsica: Eletromagnetismo. 12a ed. So Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2.