CAP. 2 – CALCOLO DELLE PROBABILITA’ 2... · Calcolo delle Probabilità CAP. 2 – CALCOLO DELLE PROBABILITA’ 2.1 Alcuni concetti base Il calcolo delle probabilità, nato nel

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità

CAP. 2 – CALCOLO DELLE PROBABILITA’

2.1 Alcuni concetti base

Il calcolo delle probabilità, nato nel contesto dei giochi d’azzardo, si è sviluppato

teoricamente fino ad assumere un ruolo particolarmente rilevante nell’analisi dei fenomeni collettivi

diventando presupposto essenziale della teoria delle decisioni e della statistica. La teoria delle

probabilità è una disciplina matematica astratta e altamente formalizzata pur conservando il suo

originale e rilevante contenuto empirico; per questa sua particolare natura l’esposizione,

necessariamente sommaria, dei suoi contenuti risulta facilitata dall’introduzione di definizioni

esplicite relative agli aspetti e concetti che ne costituiscono il corpo.

Definizione 1: Si dice esperimento casuale, ogni operazione o attività (fenomeno) il cui risultato

(la cui manifestazione) non può essere previsto con certezza.

Risulta chiaro che il termine esperimento va qui inteso in senso lato, comprendendo in esso,

sia il caso del lancio di un dado, sia il caso dell'estrazione di una pallina da un'urna, sia il caso della

rilevazione dei pesi dei coscritti alla leva, sia quello dell’esito di una operazione chirurgica, sia il

caso della sperimentazione di un nuovo farmaco, sia quello del controllo dei pezzi prodotti da un

certo macchinario ecc.

Definizione 2: Si dice spazio campionario di un esperimento casuale, l'insieme Ω di tutti i

possibili risultati, esaustivi e mutualmente escludentesi, dell'esperimento stesso.

Se l'esperimento casuale consiste nel lancio di una moneta a due facce, lo spazio campionario

è dato da

Ω = T, C = 21 ,ωω

dove T = 1ω è il punto campionario testa e C = 2ω è il punto campionario croce.

In questo esempio si è assunto (come si fa di solito) che gli unici risultati possibili siano T e

C, e che quindi la moneta non possa rimanere in equilibrio sul bordo. Se invece si ipotizza che

anche questo risultato sia possibile, allora lo spazio campionario di questo esperimento casuale è

Ω = T, C, B= 321 ,, ωωω

1

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità dove B è il punto campionario “moneta in equilibrio sul bordo”.

Una situazione analoga al lancio della moneta si ha nel caso in cui l'esperimento casuale sia

l’esito di una operazione di finanziamento di una banca ad una impresa cliente, i cui risultati

possibili sono la restituzione o meno del finanziamento concesso da parte dell’impresa. In tal caso

infatti lo spazio campionario Ω è dato da

Ω = R, NR= 21 ,ωω

dove R è il punto campionario finanziamento restituito e NR il punto campionario finanziamento

non restituito.

Se l'esperimento si svolge attraverso il controllo dei pezzi prodotti da un certo macchinario

avendo come finalità l'accertamento della bontà o difettosità del pezzo prodotto, lo spazio

campionario Ω sarà composto dai soli due elementi (punti campionari) e , dove ω1 ω 2 ω1

rappresenta il pezzo difettoso ed ω il pezzo non difettoso. 2

Se l'esperimento casuale consiste nell'estrazione di un numero al lotto, lo spazio campionario

è dato da

Ω = 1, 2, …, 90= 9021 ,.....,, ωωω

costituito, come è ovvio, da tutti i numeri interi da 1 a 90.

Se l'esperimento consiste nell'estrazione di una pallina da un'urna che ne contiene n identiche

a meno del numero progressivo, da 1 a n, sopra impresso, lo spazio campionario resta definito da

( )ni ,...,ωω,...,,ωωΩ 21=

dove (i=1, 2,...,n) sta ad indicare il punto campionario costituito dalla estrazione della pallina

contrassegnata con il numero i .

ω i

Se l’esperimento casuale consiste nel contare il numero di accessi ad un certo sito internet i

oppure nel contare il numero massimo di battiti cardiaci durante un test di sforzo, lo spazio

campionario è dato da

Ω = 0, 1, 2, …= ,....., 21 ωω .

cioè da tutti i numeri interi non negativi, dato che il numero di difetti è un numero intero e non è

possibile stabilire a priori il numero massimo.

Se l'esperimento casuale consiste nel test di durata di un pneumatico, lo spazio campionario è

costituito da

Ω = 0 - +∞,

2

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità cioè da numeri reali non negativi, dato che la durata è un numero che non può essere negativo (il

tempo, come segnalato nel primo capitolo, viene espresso con una scala di rapporto); si segnala in

proposito che l’estremo superiore pari a +∞ sta ad indicare che non è possibile stabilire la durata

massima che, ovviamente, non potrà essere infinita.

Riepilogando, allora, lo spazio campionario è l’insieme dei risultati possibili dell’esperimento

campionario considerato.

Dagli esempi riportati risulta che lo spazio campionario può essere costituito da un numero

finito di punti campionari (come nel caso del lancio della moneta, dei pezzi buoni/difettosi, delle

palline estratte da un’urna), oppure da un’infinità numerabile di punti campionari (come nel caso

del numero di accessi ad un sito internet), o infine da un’infinità non numerabile di punti

campionari (come nel caso del test di durata di un pneumatico).

Definizione 3: Se lo spazio campionario è costituito da un numero finito o da un’infinità

numerabile di punti campionari, si dice evento ogni sottoinsieme E dello spazio

campionario Ω. Se lo spazio campionario è costituito da un’infinità non numerabile

di punti, non tutti i possibili sottoinsiemi di Ω sono eventi; in questa sede verranno,

comunque, considerati soltanto i cosidetti sottoinsiemi ammissibili di Ω, cioè i

sottoinsiemi che hanno natura di eventi.

Ogni evento sarà pertanto costituito da un insieme di punti campionari. Se, ad esempio, si fa

riferimento al caso dell'estrazione di una pallina da un'urna che ne contiene n, si può pensare di

suddividere l'intero spazio campionario in due sottospazi ed contenenti, rispettivamente, i

punti campionari: a) presentarsi di una pallina contrassegnata da un numero dispari; b) presentarsi

di una pallina contrassegnata con un numero pari.

1Ω 2Ω

L'evento

E = (ω : iω per i pari o dispari) = ( )ni ωωωω ,...,,...,, 21 = Ω

coincide con l'intero spazio e rappresenta l'evento certo; l'evento cioè che certamente si realizzerà

in quanto effettuando l'estrazione è certo che si presenterà una pallina o contrassegnata con un

numero dispari o contrassegnata con un numero pari.

L'evento

E = (ω : ω i per i pari e dispari)

3

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità è un evento che non contiene punti campionari; infatti ogni pallina è contrassegnata o da un

numero dispari o da un numero pari e non esiste pallina contrassegnata da un numero che è dispari e

pari allo stesso tempo.

L'evento così definito viene detto evento impossibile (si tratta dell'evento che non si potrà

mai realizzare) e denotato con il simbolo φ .

Gli eventi Ei = (ωi) , per i = 1,2,…,n, vengono detti eventi elementari in quanto costituiti

da un solo punto campionario.

Sugli eventi si può introdurre un'algebra, cioè un insieme di operazioni che soddisfano certe

proprietà e che generano, come risultato delle operazioni stesse, ancora degli eventi, cioè elementi

che appartengono all’insieme B sui quali è stata introdotta l’algebra e si parla di sistema chiuso

rispetto alle operazioni introdotte. Se il sistema è chiuso rispetto ad un numero finito di operazioni,

si parla di algebra di Boole o, più semplicemente, di algebra o campo, se il sistema è chiuso rispetto

ad un’infità numerabile di operazioni, si parla di algebra di Boole completa o, più semplicemente, di

σ-algebra o σ-campo.

L’insieme B, che può anche essere definito come spazio degli eventi, è un insieme chiuso

rispetto alle operazioni di negazione e di intersezione (e quindi anche rispetto all’unione e alla

differenza che possono essere derivate dalle precedenti).

Il lettore a conoscenza dei rudimenti della teoria degli insiemi noterà come quanto esposto in

queste note, riguardo agli eventi, non rappresenta alcunché di nuovo o di diverso rispetto al già

conosciuto; in effetti gli eventi possono essere interpretati come insiemi, o meglio, come

sottoinsiemi di un insieme dato rappresentato dallo spazio campionario Ω. Si ha così che l'evento

certo Ω (coincidente con l'intero spazio campionario) non rappresenta altro che l'insieme universale,

mentre l'evento impossibile ø corrisponderà all'insieme vuoto.

4

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità 2.2 Algebra degli eventi

Le operazioni proprie della teoria degli insiemi sono quella di prodotto o intersezione (∩),

quella di somma o unione (∪), quella di complementazione o negazione E e quella di differenza

(-); si tratta delle stesse operazioni che, oltre al concetto di inclusione, verranno qui considerate in

quanto costituenti parte essenziale dell'algebra degli eventi.

Si dice che un evento E1 è incluso nell'evento E

2, e si scrive E

1 ⊆ E

2 se ogni punto

campionario appartenente ad E1 appartiene anche ad E

2. Due eventi E

1 ed E

2 sono, quindi, uguali se

e solo se (sse) contemporaneamente

E1 ⊆ E

2 ed E

1 ⊇ E

2

in questo caso i due eventi saranno costituiti dagli stessi punti campionari.

Si definisce come negazione (complementazione nella teoria degli insiemi) di un evento E, e

si scrive E , l'evento che si realizza quando non si realizza E. L'evento E sarà pertanto, costituito

da tutti i punti campionari di Ω che non appartengono ad E.

Nella figura sottostante vengono proposti graficamente (facendo ricorso ai cosidetti

diagrammi di Venn) il concetto di evento incluso e di evento negato.

Ω

E2

E2

E1

Fig. 4 - Diagrammi di Venn per l’inclusione e la negazione dove il quadrato rappresenta l’intero spazio campionario Ω e E

1 ⊂ E

2 .

L'intersezione tra due eventi E1 ed E

2 è l'evento E

3 = E

1 ∩ E

2 che si realizza quando si

realizzano entrambi gli eventi E1 ed E2 e che resta definito dai punti campionari che appartengono

sia ad E1 sia ad E

2.

5


L'unione tra due eventi E1 ed E

2 è l'evento E

4 = E

1 ∪ E

2 che resta definito da tutti i punti

campionari che appartengono ad E1 o ad E

2 o ad entrambi gli eventi E1 ed E

2 .

La rappresentazione grafica tramite i diagrammi di Venn delle due operazioni (intersezione ed

unione) è riportata nella figura sottostante

Ω Ω

Fig. 5 - Diagrammi di Venn per l’intersezione e l’unione dove il tratteggio vuole evidenziare

rispettivamente, l’evento E3 , nella prima figura e l’evento E4 nella seconda figura.

La differenza fra due eventi E1 ed E2 l'evento E5 = E1- E2 che risulta costituito dai punti

campionari che appartengono ad E1 ma non a E2.

Si noti che una volta introdotte le operazioni di negazione ed intersezione (operazioni base

dell’algebra di Boole) si potrebbe fare a meno d'introdurre le due ulteriori operazioni di unione e di

differenza non essendo queste ultime operazioni concettualmente nuove; infatti:

( )2121 EEEE ∩=∪

( )2121 EEEE ∩=−

La relazione ( )2121 EEEE ∩=∪ e la relazione duale ( )2121 EEEE ∪=∩ non sono altro che

la formulazione tramite la simbologia relativa alla teoria degli insiemi delle leggi di de Morgan, già

incontrate nel precedente capitolo.

L'introduzione di queste due ultime operazioni è giustificata dalla semplificazione, sia formale

sia operativa, che esse comportano.

Due eventi E1 e E

2 si dicono incompatibili se la loro intersezione dà luogo all'evento

impossibile

E2E1

E3

E4

E2E1

6


E1 ∩ E

2 = φ

si tratta di eventi che non hanno elementi (punti campionari) comuni.

A questo punto risulta facile verificare le relazioni seguenti, dove il simbolo ⇒ rappresenta la

relazione di implicazione (dalla prima relazione deriva necessariamente - è implicata - la seconda

relazione):

E1 ⊂ E

2 => E

1 ∩ E

2 = E

1

E1 ⊂ E

2 => E

1 ∪ E

2 = E

2

φ = Ω

=Ω φ

φ ⊂ E ⊂ Ω

E ∩ φ = φ

E ∩ Ω = E

E ∪ φ = E

E ∪ Ω = Ω

E ∩ E = φ

E ∪ E = Ω

E1 ⊂ (E1 ∪ E

2)

(E1 ∩ E

2) ⊂ E

1

E2 ⊂ (E

1 ∪ E

2)

(E1 ∩ E

2) ⊂ E

2

Un ulteriore e rilevante concetto è quello di condizionamento degli eventi. L'evento E1/E

2 (e

si legge l'evento E1 condizionato dall'evento E

2 o, più semplicemente, l'evento E

1 dato E

2) va

analizzato presupponendo già verificato l'evento condizionante E2. Il condizionamento degli eventi

si risolve, praticamente, in una sorta di ridefinizione dello spazio campionario che da Ω si

trasforma nell'evento condizionante, o, ancora meglio, è l'evento condizionante che assume la

natura di spazio campionario di riferimento.

7


E1

E2

Ω

Fig. 6 - Ridefinizione degli spazi per eventi condizionati

Se si considera l'evento condizionato E1/E

2 non solo E2 si trasforma in Ω ma anche l'evento

E1 si trasforma nell'evento E

1 ∩ E

2, in quanto, sapendo che l'evento E

2 si è verificato perdono di

rilevanza tutti i punti campionari che pur appartenendo ad E1 non appartengono ad E

2.

Le operazioni di unione e di intersezione possono, naturalmente, essere applicate anche a k

(>2) eventi. L'intersezione fra k eventi E1,E2,….,Ek fornisce come risultato l'evento E

E = ∩k

ik

1i21 EE...EE

=

=∩∩∩

che contiene tutti i punti campionari ω comuni ai k eventi Ei 1,E2,….,Ek; mentre, l'unione tra gli

stessi k eventi dà come risultato l'evento E

E = E1 ∪ E

2 ∪ ... E

k = ∪ E

k

i 1=i

che contiene tutti i punti campionari iω che appartengono ad almeno uno degli eventi Ei.

Le operazioni di unione e di intersezione soddisfano la proprietà associativa e quella

distributiva

E1 ∩ E

2 ∩ E

3 = (E

1 ∩ E

2) ∩ E

3 = E

1 ∩ (E

2 ∩ E

3)

E1 ∪ E

2 ∪ E

3 = (E

1 ∪ E

2) ∪ E

3 = E

1 ∪ (E

2 ∪ E

3)

E1 ∩ (E

2 ∪ E

3) = (E

1 ∩ E

2) ∪ (E

1 ∩ E

3)

E1 ∪ (E

2 ∩ E

3) = (E

1 ∪ E

2) ∩ (E

1 ∪ E

3)

Le due ultime proprietà (distributive) per k eventi danno

8


E ∩ (E1 ∪ E

2 ∪...∪ E

k) = E ∩ (∪ E

k

i 1=i) = (E ∩ E

i

k

=1∪ i

)

E ∪ (E1 ∩ E

2 ∩...∩ E

k) = E ∪ (∩ E

k

i 1=i ) = (E ∪ E

i

k

=1∩ i

)

Relativamente agli esperimenti casuali più semplici non s'incontrano, usualmente, difficoltà

nell'individuazione e nella successiva enumerazione dei punti campionari che ne costituiscono i

possibili risultati. In esperimenti più complessi possono risultare di notevole ausilio alcune formule

combinatorie (richiamate sinteticamente nell’Appendice 1 al capitolo) che facilitano notevolmente

l'enumerazione dei punti campionari, cioè l'esatta definizione dello spazio campionario.

9


2.3 Concetto di Probabilità Definizione 4: Si dice probabilità di un evento, la funzione a valori reali P(E), definita sulla

classe dei sottoinsiemi ammissibili (eventi) dello spazio campionario che soddisfa

specifiche proprietà.

I concetti (primitivi) prova o esperimento casuale, evento e probabilità introdotti sono legati

fra loro dalla seguente frase: "l'esperimento genera l'evento con una certa probabilità". Dove,

naturalmente, la probabilità va intesa come misura applicata agli eventi quando viene condotto un

esperimento casuale.

I tre concetti primitivi sono posti a base della definizione assiomatica di probabilità. Si

tratta di una definizione che non ha sollevato obiezioni sostanziali da parte degli studiosi dopo la

sua formulazione da parte di Kolmogorov. Si tratta infatti di una definizione che si preoccupa di

precisare e chiarire soltanto i contenuti sintattici sui quali è più facile trovare l'accordo. Ma se da un

lato il cosiddetto approccio assiomatico-formale alla probabilità presenta indubbi vantaggi, sia in

termini di accettabilità che di sviluppo della teoria, dall'altro lato il considerare i soli aspetti formali

esclude ogni operatività della definizione stessa in quanto non consente la derivazione numerica

della probabilità nei singoli casi concreti.

Quando si vuol far ricorso alla probabilità per risolvere problemi reali si dovrà, quindi, fare

necessariamente ricorso ad altre definizioni nelle quali l'aspetto semantico viene privilegiato.

Prima di trattare della definizione assiomatica di probabilità conviene, pertanto, introdurre

altre definizioni. Tra le innumerevoli definizioni proposte in letteratura, in questa sede se ne

presentano soltanto tre: la definizione classica, quella frequentista o statistica e la definizione

soggettiva. Si tratta delle tre definizioni non assiomatiche della probabilità più note ed alle quali si

fa più spesso riferimento in pratica; tutte e tre le definizioni soddisfano ai postulati posti a base della

definizione assiomatica di probabilità.

2.3.1 Definizione classica (a priori) della probabilità

La probabilità P(E) di un evento E è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli al

verificarsi dell'evento e il numero n dei casi possibili, purché tutti i casi siano egualmente possibili

En

10


possibilicasideinumerofavorevolicasideinumero

nnEP E ==)(

Esempio 2.1

L’azienda Lance Clothiers produce un’ampia varietà di vestiti da uomo, tra cui camicie. Una

volta prodotte, le camicie vengono ripiegate e impacchettate automaticamente da 10 macchine

designate appositamente a tale scopo e, una volta raccolto il risultato di ciascuna macchina in

cartoni, vengono spedite cliente. A seguito di un’ispezione di routine si scopre che una di queste 10

macchine non è messa a punto adeguatamente e, conseguentemente, crea degli strappi in ogni

camicia sottoposta al processo di ripiegatura e impacchettamento. Appena prima di questa

ispezione, è stata inviata, a 100 clienti diversi, una spedizione di 100 pacchi di camicie tra cui 10

provenienti dal macchinario difettoso. Qual è la probabilità che un cliente riceva il pacco

contenente le camicie difettose?

Poiché ciascun cliente riceverà uno dei 100 pacchi di camicie spediti, lo spazio campionario

dell’esperimento è costituito da 100 elementi (n=100); inoltre, poiché 10 di questi pacchi

contengono le camicie difettose (nE), allora, per la definizione classica di probabilità:

10,010010)( ===

nnEP E ,

dove con E si indica l’evento “pacco contenente camicie difettose”.

Alla definizione classica di probabilità sono state rivolte critiche di varia natura. La prima

critica è di ordine logico e riguarda la circolarità della definizione: affermare che tutti i casi sono

ugualmente possibili significa dire che sono ugualmente probabili (non si può definire un concetto

utilizzando lo stesso concetto).

Altre due critiche riguardano l’operatività della definizione; una volta superato lo scoglio

logico, non sono affatto rare le situazioni reali nelle quali non è possibile procedere

all’enumerazione dei casi favorevoli e dei casi possibili, inoltre, anche nelle situazioni in cui si può

effettuare una tale enumerazione, non è infrequente la circostanza in cui non tutti i casi sono

ugualmente possibili.

Per superare gli inconvenienti operativi cui si andrebbe incontro se si volesse far ricorso alla

definizione classica di probabilità quando le situazioni non lo consentono, è stata introdotta una

diversa definizione di probabilità.

11

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità 2.3.2 Definizione frequentista o statistica (a posteriori) della probabilità

La probabilità di un evento ripetibile E è data dal rapporto tra il numero delle volte in cui

l'evento si è verificato ed il numero delle prove (effettuate tutte nelle stesse condizioni) quando il

numero delle prove stesse tende ad infinito

En

P(E) = n

nE

n ∞→lim

La probabilità secondo questa definizione può essere, pertanto, intesa come una sorta di

idealizzazione della frequenza relativa. Taluni autori ritengono, infatti, che probabilità e frequenza

relativa non siano altro che l'aspetto teorico e quello empirico di uno stesso concetto ed interpretano

la frequenza relativa di un evento come misura approssimata (per n finito) della probabilità.

Anche alla definizione frequentista sono state rivolte critiche di varia natura quale quella

relativa al limite irraggiungibile (+∞) imposto al numero delle prove, ma ad una tale critica si

risponde accettando la frequenza relativa di un numero finito (ma sufficientemente elevato) di prove

come misura approssimata della probabilità. Molto più problematica è la risposta alla critica relativa

alla ripetibilità delle prove (esperimento) in situazioni invariate e, soprattutto, quella che fa

riferimento alle situazioni reali, e non sono affatto infrequenti, nelle quali non è possibile procedere

all’effettuazione di alcuna prova.

Esempio 2.2

La Metric Systems produce circuiti elettronici integrati. Occasionalmente, il processo

produce un circuito difettoso e, saltuariamente, il responsabile per il controllo della qualità

seleziona casualmente 500 circuiti dalla linea di produzione e li ispeziona attentamente.

Nell’ultima ispezione sono stati riscontrati 15 circuiti difettosi (su un totale di 500 ispezionati).

Qual è la probabilità che il processo produca un circuito difettoso?

La selezione casuale di un circuito dalla linea di produzione corrisponde ad una singola

prova di un esperimento, quindi, 500 selezioni rappresentano 500 prove, cioè n = 500. Si Indichi

con E l’evento “produzione di un circuito difettoso”. Poiché E si è manifestato 15 volte, la

probabilità che il processo produca un circuito difettoso, sulla base della definizione frequentista, è

approssimata dalla frequenza relativa di E nelle 500 prove:

03,050015)( ===

nnEP E

12


Una definizione che supera le critiche, sia di ordine logico che operativo, rivolte alla

definizione classica e alla definizione frequentista di probabilità è la definizione sotto riportata.

2.3.3 Definizione soggettiva della probabilità

La probabilità P(E) di un evento E viene definita come il grado di fiducia che un individuo

razionale attribuisce al verificarsi di un evento. La misura (soggettiva) di probabilità si deriva

ponendo l'individuo (razionale) di fronte ad un'operazione di scommessa chiedendo quanto è

disposto a puntare per ricevere 1 nel caso in cui l'evento in questione si realizzi. Si deve sottolineare

che questa affermazione vale solo nel caso di individui con funzione di utilità lineare; ma sulla

funzione di utilità si avrà modo di tornare nel capitolo sucessivo.

Anche alla definizione soggettiva di probabilità sono state rivolte critiche. La prima riguarda

proprio la soggettività insita nella stessa definizione, la seconda è relativa alla difficoltà di

traduzione in un valore numerico significativo del grado di fiducia.

Alla prima critica si risponde osservando che qualunque probabilità deve essere intesa in

senso condizionato, cioè condizionatamente allo stato di informazione dell’individuo (razionale);

pertanto, anche se apparentemente due individui diversi attribuiscono una diversa misura di

probabilità ad uno stesso evento, gli stessi individui si riferiscono a due diversi eventi essendo

diverso lo stato di informazione su cui basano l’esplicitazione del proprio grado di fiducia.

Alla seconda critica si risponde che, nonostante alcune difficoltà operative, alla misura di

probabilità si perviene, come già sottolineato, attraverso l’attivazione di un processo relativamente

semplice (almeno sul piano concettuale) che è quello di porre l’individuo di fronte ad una

operazione di scommessa.

Le tre definizioni introdotte, cui si può far ricorso per addivenire ad una valutazione numerica

della probabilità, non sono necessarie per lo sviluppo del calcolo delle probabilità bastando a tal

fine la definizione assiomatica, ed a questa definizione si farà riferimento negli sviluppi teorici che

seguono. Alle tre definizioni non assiomatiche si farà, di volta in volta, riferimento nelle

esemplificazioni delle argomentazioni teoriche.

2.3.4 Definizione assiomatica di probabilità

Gli assiomi o postulati di base del Calcolo delle probabilità sono sei: il primo riguarda il

concetto primitivo di evento, gli altri cinque il concetto primitivo di probabilità.

13


Assioma 1 - Gli eventi formano un’algebra di Boole completa.

Assioma 2 - La misura di probabilità di un evento P(E) è unica.

Assioma 3 - La misura della probabilità di un evento è sempre non negativa

P(E) ≥ 0

Assioma 4 - La probabilità dell’evento certo è uguale a 1

P(Ω) = 1

Assioma 5 - Se due eventi E1 ed E2 sono incompatibili, cioè se la loro intersezione è

l’evento impossibile, allora la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle probabilità dei

singoli eventi (principio delle probabilità totali per eventi incompatibili)

P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) per E1 ∩ E2 = φ

Assioma 6 - La probabilità dell’evento condizionato E1/E2 è pari alla probabilità

dell’intersezione dei due eventi rapportata alla probabilità dell’evento condizionante supposta

maggiore di 0

P(E1/E2) = )P(E

)EP(E

2

21 ∩ per P(E2) > 0

L’ultima relazione può essere riscritta (principio delle probabilità composte) come:

P(E1 ∩ E2) = P(E2) • P(E1/E2) = P(E2∩E1) = P(E1) • P(E2/E1)

In realtà, sapendo che si è realizzato un certo evento E1, non è detto che questo modifichi

necessariamente la probabilità di realizzarsi di un altro evento E2, può accadere cioè che

P(E1 / E2) = P(E1)

in tal caso si avrà anche (principio delle probabilità composte per eventi indipendenti)

P(E1 ∩ E2) = P(E1) P(E2)

ed i due eventi E1 ed E2 si dicono indipendenti statisticamente (o indipendenti stocasticamente,

o indipendenti in probabilità).

Più in generale, k eventi E1, E2, ... , Ek si dicono statisticamente (o stocasticamente o

probabilisticamente) indipendenti se

14


)E...EP(Ek21 iii ∩∩∩ = )P(E...)P(E)P(E

k21 iii ⋅⋅⋅

per ogni sottoinsieme di eventi per s = 2, 3, 4, ... ,k . Ad esempio i tre eventi Esiii ,E,,EE

21 1, E2 ed

E3 sono statisticamente indipendenti se valgono le relazioni

P(E1 ∩ E2) = P(E1) • P(E2)

P(E1∩ E3) = P(E1) • P(E3)

P(E2∩ E3) = P(E2) • P(E3)

P(E1∩ E2∩ E3) = P(E1) • P(E2) • P(E3)

Si deve sottolineare in proposito che le prime tre relazioni (indipendenze doppie) non

implicano la quarta (indipendenza tripla). Così come la quarta relazione non implica le prime tre.

Avendo definito la probabilità come funzione da applicare agli eventi dove, come precisato,

l'evento è un qualunque sottoinsieme dello spazio campionario Ω, cioè un elemento dell’insieme B

(Algebra di Boole completa costruita su Ω), risulta facile dimostrare le relazioni (teoremi)

seguenti:

P(E) ≤ 1 P(E))EP( −= 1

P(φ ) = 0

E1 ⊂ E2 => P(E1) < P(E2)

P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2)

L'ultima relazione, detta anche (impropriamente) principio delle probabilità totali, per k

eventi diventa

( ) ( ) ( ) ( ) ∩∪ …k

ii

khjihjijijiii EEEEPEEPEPP

1

1k

1i

1E=

+

=

−++∩∩ΣΣΣ+∩ΣΣ−Σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

e si riduce al postulato delle probabilità totali (Assioma 5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∪

k

iiEP

1

= ∑=

k

ii )P(E

1

quando i k eventi Ei sono tra loro incompatibili.

15


La probabilità per eventi condizionati o, più semplicemente, la probabilità condizionata

P(E1/E

2) soddisfa ai primi cinque assiomi; infatti gli eventi condizionati formano un’algebra di

Boole, inoltre

P(E1/E) ≥ 0

P(E/E) = 1

P(E1 ∪ E

2 ∪ .../E) = P(E

1/E) + P(E

2/E) +....

se gli eventi E1, E

2,... sono incompatibili.

Inoltre

E1 ⊂ E

2 => P(E1/E) ≤ P(E

2/E)

P( 1E /E) = 1 - P(E1/E)

P(E1 ∪ E

2/E) = P(E

1/E) + P(E

2/E) - P(E

1 ∩ E

2/E)

Il principio delle probabilità composte può riguardare anche un numero qualsiasi di eventi

E1, E

2, E

3,..., si avrà allora

P(E1 ∩ E

2 ∩ E

3 ∩...) = P(E

1).P(E

2/E

1).P(E

3/E

1 ∩ E

2) ...

Esempio 2.3

La società IMA produce componenti meccaniche in grande quantità per un cliente. Siccome i

limiti di tolleranza specificati dal cliente sono piuttosto severi, la produzione di queste componenti

è stata affidata a due macchinisti esperti, A e B. Al termine di ogni giornata tutte le parti prodotte

sono ispezionate e classificate come “buone” (G - good) o “difettose” (D).

La seguente tabella riporta i dati relativi alla produzione di ieri:

Macchinista

Condizioni A B Totale

G 80 88 168

D 20 12 32

Totale 100 100 200

16


Quindi le parti sono state classificate in base alla condizione (buona / difettosa) e in base al

macchinista preposto al processo produttivo.

I) Si determinino le seguenti probabilità: P(A), dove A è l’evento “parte prodotta dal

macchinista A”; P(B), dove B è l’evento “parte prodotta dal macchinista B”; P(G),

dove G è l’evento “parte prodotta secondo le specifiche di tolleranza del cliente”;

P(D), dove D è l’evento “parte difettosa”.

1602003284020016850020010050,0200/100)(

,/P(D),/P(G),/P(B)

AP

========

II) Si determinino le probabilità congiunte dei vari eventi:

06,0200/12)(44,0200/88)(10,0200/20)(40,0200/80)(

==∩==∩==∩==∩

DBPGBPDAPGAP

III) Si determinino le probabilità condizionate dei vari eventi:

( ) ( ) 80,050,040,0

)(==

∩=

APGAPAGP

( ) ( ) 625,016,010,0

)(==

∩=

DPDAPDAP

( ) ( ) 20,050,010,0

)(==

∩=

APDAPADP

( ) ( ) 524,084,044,0

)(==

∩=

GPGBPGBP

( ) ( ) 88,050,044,0

)(==

∩=

BPGBPBGP

( ) ( ) 00,016,000,0

)(==

∩=

DPGDPDGP

IV) Infine, si cerchi di capire se la condizione (buona / difettosa) di una parte prodotta è

indipendente dal macchinista che la produce.

Se esiste indipendenza tra queste categorie, allora gli eventi “la parte è buona” e “la parte è

stata prodotta da A” sono statisticamente indipendenti. E’, dunque, necessario valutare la

relazione che sussiste tra e )( AGP ∩ )()( APGP ⋅ .

17


Dai precedenti calcoli risulta

40,0200/80)( ==∩ AGP

42,050,084,0)()(50,0200/100)(84,0200/168)(

=⋅=⋅====

APGPAPGP

Siccome ⇒⋅≠∩ )()()( APGPAGP A e G non sono statisticamente indipendenti, quindi il

macchinista preposto al processo di produzione influenza la condizione buona o difettosa della

parte prodotta.

Alla stessa conclusione si perviene considerando le relazioni tra )( GAP e , dal

momento che

)(AP

80,0100/80)( ==GAP e

)()(50,0200/100)(

APGAPAP

≠⇒

==

Dai dati riportati in tabella e dai precedenti calcoli possono essere verificate anche le

seguenti ulteriori relazioni:

che confermano la dipendenza statistica tra operatore preposto al processo produttivo e risultato

dello stesso.

)()(

)()(

)()(

BPBDP

BPGBP

APDAP

≠

≠

≠

Esempio 2.4

L’azienda Sigma fornisce materiali per la costruzione di case e attualmente ha un contratto

con uno dei suoi clienti per evadere un ordine entro il 31 luglio. Al momento sussiste una certa

incertezza in merito al fatto che l’azienda riesca a rispettare il termine imposto dal contratto,

poiché non sa se riceverà le materie prime necessarie dal suo fornitore entro la metà di luglio.

Considerando che adesso siamo al 1° luglio, come può essere stimata l’incertezza in questa

situazione?

Sia A l’evento che la Sigma riesca a rispettare la scadenza contrattuale del 31 luglio e B

l’evento che riceva le materie prime entro il 15 luglio dal fornitore. All’inizio di luglio l’azienda

stima che la probabilità di ottenere le materie prime in tempo è pari a P(B) = 2/3; inoltre, se le

materie prime sono consegnate per tempo, allora la probabilità di terminare i lavori per la fine del

mese è stimata in P(A/B) = ¾. Quindi, applicando il principio delle probabilità composte, si ottiene

18


50,03/24/3)()()( =⋅==∩ BPBAPBAP

Esiste, quindi, una probabilità del 50% che l’azienda Sigma ottenga le materie prime in

tempo e riesca a consegnare il materiale al cliente per la fine di luglio.

Può essere interessante procedere al calcolo di ulteriori probabilità. Indichiamo con

B l’evento che le materie prime non arrivino in tempo; quindi, P( B ) = 1-2/3 =1/3. Supponendo

che la probabilità di terminare i lavori entro il 31 luglio, dato che i fornitori non hanno consegnato

entro il 15 le materie prime necessarie sia stimata in P(A/ B ) = 1/5. Di conseguenza, applicando di

nuovo il principio delle probabilità composte, si ottiene

0667,03/15/1)()()( =⋅==∩ BPBAPBAP ,

cioè la probabilità che il materiale non arrivi in tempo, ma i lavori siano ugualmente ultimati per

la scadenza contrattuale è pari al 6,67%.

A questo punto, al management dell’azienda può essere utile conoscere la probabilità di

terminare i lavori entro il 31 luglio, indipendentemente dal fatto che le materie prime siano

consegnate entro la metà del mese. Poiché B e B sono due eventi incompatibili (o si verifica l’uno o

si verifica l’altro), allora per il principio delle probabilità totali per eventi incompatibili, otteniamo

5667,00667,050,0)()()( =+=∩+= BAPBAPAP ∩

Quindi, c’è una probabilità del 56,67% che la società Sigma riesca a rispettare i termini di

esecuzione del contratto.

19


2.4 Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes rappresenta, come già accennato nel primo capitolo, un elemento teorico

fondamentale per la Teoria statistica delle decisioni. Esso consente, infatti, al soggetto decisore di

revisionare le informazioni a priori che lo stesso possiede sul fenomeno oggetto di studio attraverso

le ulteriori informazioni acquisite tramite esperimenti campionari, in modo da ottenere informazioni

(a posteriori) più complete e, quindi, più utili per il processo decisionale.

Si consideri una partizione dello spazio campionario Ω in k eventi E1, E2, ... , E

i, ... , E

k; i k

eventi sono necessari ed incompatibili, tali cioè da rispettare le condizioni Ei ∩ Ej = φ per i ≠ j = 1,

2, ...,k e ∪ = Ω. Se E è un evento appartenente ad Ω si ha k

iiE

1=

E = E ∩ Ω = E ∩ (∪ ) = (E ∩ Ek

iiE

1=∪

k

1i=i)

e, per l'incompatibilità degli eventi Ei, anche

P(E) = P [ (E ∩ Ei 1

k

=∪ i)] = P(E ∩ E

i

k

=∑

1i).

Inoltre, valendo le relazioni

P(E ∩ Ej) = P(Ej)P(E/ Ej) = P(Ej ∩ E) = P(E) P(Ej /E)

si avrà

P(Ej /E) = ∑

=

⋅

⋅= k

iii

jjjj

EEPEP

EEPEPP(E)

))P(E/EP(E

1

)/()(

)/()(

che viene detta formula di Bayes ed assume una rilevanza particolare quando i k eventi Ei possono

essere interpretati come possibili “cause” dell'evento E. In tale contesto, P(Ej /E) viene detta

probabilità a posteriori della causa Ej; mentre, P(Ej) rappresenta la probabilità a priori della

stessa causa e P(E/ Ej) è detta probabilità probativa o verosimiglianza dell'evento E.

20


Ω

E

E5

E4E3

E2

E1

Fig. 7 - Partizione dello spazio campionario Ω in cinque eventi E1, E2, E3, E4 ed E5

La formula di Bayes esprime in maniera molto semplice il processo di apprendimento

dall'esperienza in contesti non deterministici.

Della realtà si possiede una conoscenza probabilistica, che viene espressa in termini di

probabilità (a priori) P(Ej), queste probabilità si trasformano, al verificarsi dell'evento E

(acquisizione di ulteriori informazioni), nelle probabilità (a posteriori) P(Ej /E).

Le probabilità condizionate si usano, quindi, per riassegnare le probabilità agli eventi una

volta che siano state acquisite ulteriori informazioni relative ad una realizzazione parziale di un

esperimento casuale.

Si consideri il caso in cui un soggetto debba assumere una decisione d’investimento di breve

periodo; si supponga, inoltre, che gli eventi E1, E2,…., Ek rappresentino tutti i possibili stati tra loro

incompatibili che il mercato finanziario può assumere nell’arco di una settimana. Si supponga,

infine, che il soggetto decisore non conosca la quotazione odierna X del MIB30. Se il soggetto è

impossibilitato a procurarsi il valore odierno del MIB30, allora egli sceglierà l’investimento più

opportuno sulla base delle sole informazioni a priori che possiede relativamente agli eventi E1,

E2,…., Ek, vale a dire le probabilità soggettive P(E1), P(E2), …, P(Ek), che dipenderanno

dall’andamento degli ultimi giorni del MIB30, nonché da altre considerazioni soggettive

sull’andamento economico e sociale del sistema.

Se, invece, il decisore ha la possibilità di procurarsi ulteriori informazioni su X (ad esempio

collegandosi via Internet con la Borsa Valori di Milano), può sfruttare questa informazione

aggiuntiva per riaggiornare, sulla base della formula di Bayes, le probabilità a priori che egli aveva

attribuito agli eventi E1, E2,…., Ek, ottenendo così le probabilità a posteriori )( XEP i .

Esempio 2.5

Da un controllo di qualità effettuato sul processo produttivo dell’azienda Alfa risulta che il

40% delle parti difettose prodotte è dovuto a errori meccanici, mentre il restante 60% è dovuto ad

21

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità errori umani. Si sa, inoltre, che i difetti causati da errori meccanici possono essere rilevati, in

occasione di un’ispezione di qualità, con un tasso di accuratezza del 90%, tasso che scende al 50%

per i difetti risultanti da errori umani. Si supponga che a seguito di un’ispezione di qualità sia stato

trovato un pezzo difettoso. Qual è la probabilità che tale difetto sia stato causato da un errore

meccanico?

Se si assume che:

P(Em) = 0,40 è la probabilità (a priori) che una parte difettosa sia causata da un errore

meccanico;

P(Eu) = 0,60 è la probabilità (a priori) che una parte difettosa sia causata da errore umano;

P(D/Em) = 0,90 è la probabilità di presenza di una parte difettosa causata da errore

meccanico;

P(D/Eu) = 0,50 è la probabilità di presenza di una parte difettosa causata da errore umano;

P(Em/D) = ? la probabilità che la parte difettosa rilevata al controllo sia stata provocata da

errore meccanico.

Applicando il Teorema di Bayes si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 55,050,060,090,040,0

90,040,0)()()(

)(=

⋅+⋅⋅

=⋅+⋅

⋅=

∩=

uumm

mmmm EDPEPEDPEP

EDPEPDP

DEPDEP

Quindi, la probabilità che il pezzo difettoso sia stato causato da errore meccanico è pari al

55%. Di conseguenza, la probabilità che un pezzo difettoso sia stato causato da errore umano è

pari al 45% (=1- 0,55).

La seguente tabella mostra le fasi dell’applicazione del Teorema di Bayes:

Causa

Ei

Prob. a priori

P(Ei)

Prob.

condizionate

P(D/Ei)

Prob. congiunte

P(Ei) (D/Ei)

Prob.a

posteriori

P(Ei/D)

Meccanica m 0,40 0,90 0,36 0,55

Umana u 0,60 0,50 0,30 0,45

Totale 1,00 0,66* 1,00

* Probabilità marginale

Esempio 2.6

Attualmente un’azienda che produce parti elettroniche dispone di 4 macchinari: A1, A2, A3,

A4, ognuno con una capacità produttiva di 10.000 pezzi a settimana. In linea generale, si può

ritenere che quanto più un macchinario è nuovo tanto più basso è il numero di parti difettose che lo

22

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità stesso produce. Un controllo effettuato dall’azienda rivela i seguenti tassi di parti difettose prodotte

da ciascuna macchina: 0% per A1 poiché è nuova; 1% per A2 che è stata acquistata un anno fa; 5%

per A3 che è stata acquistata due anni fa; 10% per A4 che è operativa già da tre anni. Al termine

del quarto anno di attività ogni macchinario viene rimpiazzato con uno nuovo. Per effettuare un

controllo aggiuntivo, il responsabile della produzione seleziona casualmente un pezzo già pronto

per la spedizione al cliente. Tale pezzo risulta difettoso: qual è la probabilità che il pezzo estratto

casualmente sia stato prodotto dalla macchina A2, dato che risulta essere difettoso?

Si ponga:

P(D) = probabilità che sia osservata una parte difettosa

P(Ai) = probabilità che una parte sia prodotta dal macchinario i-esimo

P(D/Ai) = probabilità condizionata che sia selezionata casualmente una parte difettosa, dato

che è stata prodotta dal macchinario i-esimo.

In base ai dati del problema risulta:

P(D/A1) =0,00

P(D/A2) = 0,01

P(D/A3) = 0,05

P(D/A4) = 0,10

Inoltre, poiché ciascuna macchina produce lo stesso numero di parti elettroniche, la

probabilità a priori che il campione estratto provenga da una delle 4 macchine è sempre uguale al

25%, cioè:

P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 0,25

Quindi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )040,010,025,005,025,001,025,000,025,0

)()()()( 44332211

=⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅= ADPAPADPAPADPAPADPAPDP

A questo punto si può applicare il Teorema di Bayes per determinare la probabilità a

posteriori che il campione estratto provenga dal macchinario A2, essendo noto che è difettoso:

( ) ( ) ( )( ) %25,60625,0

04,001,025,022

2 ==⋅

==DP

ADPAPDAP

La seguente tabella mostra il dettaglio dei passaggi svolti:

23


Causa

Ai

Prob.a priori

P(Ai)

Prob.condizionate

P(D/Ai)

Prob.congiunte

P(Ai) P(D/Ai)

Prob.a posteriori

P(Ai/D)

A1 0,25 0,00 0,0000 0,0000

A2 0,25 0,01 0,0025 0,0625

A3 0,25 0,05 0,0125 0,3125

A4 0,25 0,10 0,0250 0,6250

Totali 1,00 0,0400* 1,0000

* Probabilità marginale

E’ interessante confrontare l’elenco delle probabilità a priori con quello delle probabilità a

posteriori, per valutare l’effetto provocato dall’impiego dell’informazione aggiuntiva (dato

campionario) sul risultato del problema. Effettivamente si possono notare delle differenze notevoli:

dopo che la probabilità a priori è stata modificata dall’informazione campionaria, la probabilità

che una parte difettosa venga prodotta dalla macchina A4 cresce notevolmente dal 25% al 62,5%,

mentre la probabilità che una parte difettosa provenga dalla macchina A1 scende dal 25% allo 0%.

Fatto questo del tutto ragionevole se si tiene conto della circostanzac che il numero di difetti

dipende dall’età del macchinario.

Dopo la sommaria indicazione delle operazioni proprie del calcolo delle probabilità e dopo

aver precisato che la tripletta (Ω, B, P(.)) [dove: Ω è lo spazio campionario (cioè l’insieme di tutti i

punti campionari ,..., 21 ωω possibili risultati di un esperimento casuale), B è l’algebra di Boole

completa costruita su Ω e P(.) è una funzione definita su B che gode di particolari proprietà], viene

detta spazio di probabilità o spazio probabilistico, si può procedere all'introduzione di due

ulteriori concetti che possono essere ritenuti fondamentali nello sviluppo sia del calcolo delle

probabilità sia della statistica. Il primo concetto è quello di "variabile casuale", il secondo è quello

di "funzione di distribuzione".

24

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità 2.5 Variabili casuali Definizione 5: Si dice variabile casuale, una funzione X (.) a valori reali definita sullo spazio

campionario Ω; cioè ogni funzione che, soddisfacendo ad opportune condizioni

(tali da preservare la struttura di B), associa ad ogni punto dello spazio campionario

un numero reale.

In termini più rigorosi, la funzione univoca X(ω ) definita su Ω è una variabile casuale (o

variabile stocastica, o variabile aleatoria o numero aleatorio) se vale la relazione A =

B)(X/ ∈≤Ω∈ xωω cioè se l’insieme A, costituito da tutti gli eventi elementari ω per i quali il

valore assunto dalla funzione X( ) è minore od uguale ad un numero reale qualsiasi x, è un

elemento di B, cioè un evento appartenente all’algebra.

ω

Le variabili casuali si distinguono in:

a) discrete, se il rango della funzione è costituito da un numero finito o da un'infinità

numerabile di numeri reali;

b) continue, se il rango della funzione è costituito da un insieme continuo (e quindi non

numerabile) di numeri reali.

Definizione 6: Si dice funzione di distribuzione (o funzione di ripartizione, o funzione delle

probabilità cumulate) della variabile casuale X, la funzione F(x) definita dalla

relazione

F(x) = P (X ≤ x)

dove: x rappresenta un numero reale qualunque; P (X ≤ x) misura la probabilità con

cui la variabile casuale X può assumere un valore inferiore od uguale al numero

reale x.

La funzione di distribuzione non rappresenta altro che la probabilità dell’evento A definito in

precedenza; infatti:

P(A) = [ ] [ ] )()()(/ xXPxXPxXP ≤=≤=≤Ω∈ ωωω .

Se con x1, x

2,...,x

k, si indicano le possibili determinazioni distinte, ordinate in modo crescente,

di una certa variabile casuale discreta X e con p1, p

2,...,p

k, le probabilità rispettive, si avrà

25


F(xi) = P(X ≤ xi) = P(X = xj

i

=∑

1j) = p

j

i

=∑

1j

dove pj = P(X = xj).

La funzione f(xi) che deriva dalla relazione f(xi) = F(xi) - F(xi-1) viene detta funzione di

massa di probabilità e, ovviamente, fornisce la probabilità che l’entità variabile X ha di assumere

la specifica determinazione xi ; infatti

F(xi) - F(xi-1) = P (X ≤ xi) - P (X ≤ xi-1) = P(X = xi) per i = 1, 2, ... , k .

Nel caso in cui la variabile X sia continua, e la F(x) sia una funzione assolutamente continua

(si supporrà, da ora in poi e per tutte le F(x) che tale condizione sia soddisfatta), esisterà la derivata

f(x) = dxxFd )(

Si ricorda in proposito che le funzioni assolutamente continue sono funzioni continue e

derivabili (quasi ovunque).

La funzione f(x) così definita viene detta funzione di densità di probabilità o più

semplicemente funzione di densità. Si avrà quindi anche f(y) dy = F(x); inoltre ∫ ∞−

X

f(x) dx = dF(x)= dxxXxP +≤≤

rappresenta la probabilità con cui una variabile casuale continua X assume valori all'interno

dell'intervallino infinitesimo x − x+dx.

Va rilevato che le funzioni di distribuzione, e quindi le corrispondenti (corrispondenza

biunivoca) funzioni di massa di probabilità, nel discreto, di densità di probabilità, nel continuo, che

identificano completamente le variabili casuali cui si riferiscono, sono caratterizzate da specifici

valori (entità di riferimento) dette parametri. Per evidenziare tale fatto, si usa la notazione

F(x; θ1;θ2,...,θµ) ; f(x; θ1;θ2,...,θµ)

dove i simboli θ1;θ2,...,θµ indicano i parametri caratteristici della funzione (modello probabilistico).

Ripercorrendo il processo che ha portato alla definizione della funzione di distribuzione, della

funzione di massa e di densità di probabilità, risulta immediata l’individuazione delle proprietà che

tali funzioni soddisfano.

26


Si supponga che la variabile casuale discreta X possa assumere le determinazioni x1, x2,..., xi,

... , xk, (dove: xi< xi+1 e k può anche tendere al valore +∞) e che la variabile casuale continua X

risulti definita nell’intervallo dell’asse reale a⎯b (dove: a < b, a può tendere al valore -∞ e b

tendere al valore +∞), allora la funzione di distribuzione F(x):

1. assume valori nell’intervallo unitario

0 ≤ F(x) ≤ 1

2. il limite sinistro assume valore zero

F(x) = 0 limx→−∞

3. il limite destro assume valore uno

F(x) = 1 limx→+∞

4. è monotona non decrescente

5. è continua a destra nel caso discreto (i punti di discontinuità si collocano in

corrispondenza dei valori x1, x

2,..., assunti dalla variabile) ed è assolutamente continua (continua e

derivabile quasi ovunque) nel caso continuo.

La funzione di massa di probabilità f(xi) , essendo una probabilità gode delle proprietà già

considerate relativamente a tale entità, inoltre

∑=

=k

ii )f(x

11.

La funzione di densità f(x) soddisfa le condizioni

f(x) ≥ 0

∫ =b

adxxf 1)(

Da quanto è stato detto, risulta che una variabile casuale rimane individuata completamente

dalla sua funzione di distribuzione (o di massa o di densità di probabilità) e che essa rappresenta

una formalizzazione astratta (modello) dell'insieme delle possibili manifestazioni di un certo

fenomeno avente natura aleatoria.

27


2.6 Valore atteso e momenti di variabili casuali

Per particolari esigenze scientifiche ed operative si può essere interessati all’effettuazione di

una rappresentazione sintetica delle manifestazioni di un certo fenomeno mediante indici

caratteristici. Può, cioè, risultare conveniente, o sufficiente, descrivere una variabile casuale con

degli indici caratteristici, anziché procedere ad una sua rappresentazione completa mediante la

funzione di distribuzione, la funzione di massa o la funzione di densità di probabilità.

Un modo di pervenire alla sintesi di una variabile casuale X è quello di procedere al calcolo

del valore atteso E(.) di particolari trasformazioni Y = g(X) della variabile casuale stessa. In questa

sede si considerano solo le trasformazioni che portano alla definizione di una nuova variabile

casuale Y; se, ad es., X è una v.c. continua con funzione di densità f(x), anche Y =g(X) è una

variabile casuale, discreta o continua, la cui funzione di densità f(y) o di massa di probabilità f(yi)

potrà essere derivata attraverso appropriate trasformazioni della funzione di densità f(x).

Definizione 7: Si definisce valore atteso di una trasformazione g(X) di una variabile casuale X ,

con funzione di distribuzione F(x) , la quantità definita dalla relazione

( )[ ] ( ) ( )∑=

=k

iii xfxgXgE

1 nel discreto

( )[ ] ( ) ( )∫= dxxfxgXgE nel continuo

dove è la funzione di massa di probabilità della variabile casuale discreta X che assume il

valore x

( )ixf

i con probabilità , per i = 1, 2, ..., k ; mentre ( )ixf ( )xf è la funzione di densità di

probabilità della variabile casuale continua X , definita nell’intervallo a⎯b.

Si può osservare come l’operatore valore atteso non richieda la derivazione della funzione di

densità o di massa di probabilità della variabile casuale trasformata Y = g(X) e goda della proprietà

di linearità; infatti, per qualunque variabile X, con funzione f(xi) nel discreto, f(x) nel continuo, date

due costanti a , b e due trasformazioni g1 (X) e g2(X) ancora variabili casuali

[ ] [ ])()()()( 2121 XgEbXgEaXbgXagE +=+

come si può verificare facilmente osservando le relazioni sotto riportate

28


]

]

[ ] =+=+ ∑=

)()()()()(1

2121 i

k

iii xfxbgxagXbgXagE

[ ] [ )()()()()()( 211 1

21 XgEbXgEaxfxgbxfxgak

i

k

iiiii +=+= ∑ ∑

= =

nel discreto e

E [ ] [ ] =+=+ ∫ dxxfxbgxagXbgXagb

a

)()()()()( 2121

[ ] [ )()()()()()( 2121 XgEbXgEadxxfxgbdxxfxgab

a

b

a+=+= ∫∫

nel continuo.

Esempio 2.7

Una compagnia d’investimenti sta considerando se investire in un progetto di estrazione

mineraria in Canada oppure in una spedizione di trivellazione del petrolio in Alaska. Un’analisi

preliminare mostra che l’investimento nel progetto di estrazione mineraria genererà un profitto

netto di 1.000.000$, nell’ipotesi in cui venga trovato l’oro; altrimenti la compagnia perderà

800.000$. D’altra parte, la compagnia otterrà un profitto netto di 1.500.000$ o una perdita di

1.000.000$ nell’affare petrolifero, a seconda che venga scoperto o meno il petrolio. Supponendo

che un geologo abbia stimato una probabilità del 70% che sia scoperto l’oro e una probabilità del

50% che sia scoperto il petrolio e assumendo che entrambi i progetti richiedono lo stesso

ammontare di capitale iniziale e che solo uno dei due progetti può essere intrapreso, qual è

l’investimento più conveniente per la compagnia?

In questo caso si assume che il criterio di scelta della compagnia sia il maggior valore atteso

in termini monetari, cioè la compagnia troverà più conveniente l’investimento che presenta il più

alto valore atteso.

Il valore atteso dei due progetti è dato, in base alla precedente definizione, da:

- Progetto di estrazione mineraria X:

( )∑=

=⋅−⋅=+=⋅=1

01100 $000.46030,0000.80070,0000.000.1)()()(

iii xpxxpxxpxXE ,

dove con xi si indica il risultato dell’evento “successo” (x0) o “insuccesso” (x1) del progetto e con

p(xi) le rispettive probabilità. La seguente tabella riassume quanto detto:

29


Evento Probabilità P(xi) Risultato xi Valore Atteso

Successo 0,70 1.000.000 700.000

Insuccesso 0,30 -800.000 -240.000

Valore Atteso del progetto “estrazione mineraria” 460.000

- Progettazione di trivellazione petrolifera Y:

( )∑=

=⋅−⋅=+=⋅=1

01100 $000.25050,0000.000.150,0000.500.1)()()(

iii ypyypyypyYE ,

dove con yi si indica il risultato dell’evento “successo” (y0) e “insuccesso” (y1) del progetto e con

p(yi) le relative probabilità. La seguente tabella riassume quanto detto:

Evento Probabilità P(yi) Risultato yi Valore Atteso

Successo 0,50 1.500.000 750.000

Insuccesso 0,50 -1.000.000 -500.000

Valore Atteso del progetto “trivellazione petrolifera” 250.000

In conclusione, poiché il progetto relativo all’estrazione mineraria presenta un profitto atteso

maggiore, la decisione ottima per la compagnia d’investimento è investire in tale affare piuttosto

che in quello relativo alla trivellazione petrolifera.

Esempio 2.8

L’azienda Gamma sta pensando di acquistare un nuovo macchinario, che dovrebbe

consentire una notevole riduzione dei costi di produzione rispetto al macchinario attualmente

impiegato. La nuova macchina costa 10.000 euro e ci si attende un risparmio di circa 0,50

euro/ora; quindi. Il risparmio complessivo R è dato da XR 50,0000.10 +−= , dove X indica il

numero di ore-macchina impiegate. Il management non conosce ancora l’ammontare esatto di ore

durante le quali il macchinario sarà in funzione, dunque esprime la sua incertezza in termini della

seguente distribuzione di probabilità

30


Ore d’uso Probabilità

10.000 0,10

20.000 0,30

30.000 0,50

40.000 0,10

In base ai dati a disposizione, è conveniente per l’azienda acquistare il macchinario?

Il management dovrebbe decidere per l’acquisto del nuovo macchinario nell’ipotesi in cui il

risparmio atteso dello stesso sia positivo:

[ ]( )

000.3000.13000.10000.4010,0000.3050,0000.2030,0000.1010,050,0000.10

)(50,0000.10)(50,0000.10

)50,0()000.10()50,0000.10()(

=+−=⋅+⋅+⋅+⋅+−=

+−=

+−=+−=+−=

∑ ii XXPXE

XEEXERE

Poiché il risparmio atteso assume un valore positivo di 3.000 euro, l’azienda dovrebbe

acquistare il nuovo macchinario.

Finora abbiamo considerato il caso più semplice in cui g(X) = X: in questo caso particolare,

come sarà puntualizzato in seguito, il valore atteso viene anche detto momento primo rispetto

all’origine o media aritmetica della v.c. X.

Momenti rispetto all’origine

Ponendo g(X) = Xr per r = 0, 1, 2 , ... si ha

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

∫

∑=b

a

r

k

iii

rr

r

continuoneldxxfx

discretonelxfxXEXgE

)(

)()()( 1µ

che viene detto momento r-esimo rispetto all’origine o momento di ordine r rispetto all’origine.

Da rilevare che il momento di ordine 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

===

∫

∑=

b

a

k

ii

continuoneldxxf

discretonelxfXE

1)(

1)()( 1

00µ

31

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità è assolutamente non significativo risultando, almeno nelle condizioni qui prefigurate, sempre

uguale ad uno per qualunque variabile casuale.

Particolare rilevanza assume il momento di ordine uno.

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

====

∫

∑=b

a

k

iii

dxxxf

xfxXEXgE

)(

)()()( 11µµ

che viene detto anche media aritmetica della variabile casuale ed è l’indice sintetico (indice

caratteristico) più utilizzato per mettere in evidenza quanto c’è di tipico nella variabile casuale. Altri

momenti di un certo rilievo sono il momento secondo 2µ , il momento terzo 3µ ed il momento

quarto 4µ che evidenziano, come si avrà modo di sottolineare nelle righe successive, la loro

rilevanza in contesti diversi di sintesi delle variabili casuali.

Esempio 2.9

Indicando con X la domanda per una particolare marca di detersivo in un supermercato e

con f(x) la rispettiva probabilità secondo il seguente schema

X 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,10 0,10 0,05

Si determini la domanda media.

∑ =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅=x

xfxXE 40,305,0710,0610,0520,0425,0315,0210,010)()(

Momenti rispetto alla media o momenti centrali

Ponendo g(X) = , per r = 0, 1, ... , dove rX )( µ− )(1 XE== µµ è il momento primo

rispetto all’origine (media aritmetica) della variabile casuale X , si avrà

[ ] [ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=−==

∫

∑=b

a

r

k

ii

rir

r

continuoneldxxfx

discretonelxfxXEXgE

)()(

)()()()( 1

µ

µµµ

che viene detto momento centrale r-esimo o momento di ordine r rispetto alla media (aritmetica).

Oltre al momento di ordine zero, non presenta alcuna rilevanza anche il momento di ordine

uno; infatti

32


[ ] [ ] 0)()()()(1 =−=−=−== µµµµµ EXEXEXgE

dove non si è più proceduto, essendo fatto ormai acquisito, alla esplicitazione del valore atteso in

termini di sommatoria o di integrale.

La trasformazione g(X) = )( µ−X si risolve con una traslazione dell’origine nel punto medio.

La variabile casuale trasformata si indica usualmente con il simbolo )( µ−= XS x e viene detta

variabile casuale scarto. Qualunque variabile casuale scarto ha, pertanto, il momento primo

sempre uguale a zero; cioè la media aritmetica di una qualunque variabile casuale scarto è uguale a

zero.

Il momento centrale di ordine due

[ ] [ ]=−== 22 )()( µµ XEXgE

=−+=−+= )(2)()()2( 2222 XEEXEXXE µµµµ 22

222

2 2 σµµµµµ =−=−+=

viene denominato varianza ed assume una rilevanza tutta particolare in quanto è l’indice più

utilizzato per sintetizzare la variabilità di una variabile casuale. Da sottolineare che il momento

centrale di ordine due 2µ , cioè la varianza , è uguale al momento secondo rispetto all’origine

meno il quadrato del momento primo rispetto all’origine

2σ

(µ 2 ) )( 2µ

212

2 µµσ −=

Essendo la media (aritmetica) e la varianza gli indici caratteristici più utilizzati per

sintetizzare in un solo valore, rispettivamente, la tipicità e la variabilità di una variabile casuale, si

incontrano spesso situazioni in cui interessa valutare l’effetto sulla media e sulla varianza di

particolari trasformazioni di variabili casuali. Interessa, ad esempio, in molti contesti di ricerca

procedere ad una trasformazione lineare (cambiamento del sistema di riferimento che si risolve

nella traslazione dell’origine e nel cambiamento dell’unità di misura con cui è espressa la variabile)

della variabile X

Y = a + bX

Se con xµ e si indicano rispettivamente la media e la varianza della variabile casuale X ,

la media e la varianza della variabile casuale trasformata Y risultano dalla relazione

2xσ

33


xy babXaEYE µµ +=+== )()(

cioè, la media di una trasformazione lineare di una variabile casuale è uguale alla trasformazione

lineare della media della variabile casuale originaria.

[ ] [ ]=−−+=−= 222 )()( xyy babXaEYE µµσ

[ ] [ ] 22222 )()( xxx bXEbbbXE σµµ =−=−=

cioè, la varianza di una trasformazione lineare di una variabile casuale è pari alla varianza della

variabile casuale originaria moltiplicata per il quadrato del coefficiente angolare della

trasformazione.

Momenti standardizzati

Ponendo g(X) = rX

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

σµ

dove: µ è il momento primo (media aritmetica) della variabile casuale X e σ la radice quadrata

positiva della sua varianza , si ha 2σ

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==

∫

∑=

b

a

r

k

ii

ri

r

r

continuoneldxxfx

discretonelxfx

XEXgE)(

)()( 1

σµ

σµ

σµµ per r = 1, 2, ...

che viene detto momento standardizzato r-esimo o momento standardizzato di ordine r .

La trasformazione (lineare), standardizzazione

XXZ x σσµ

σµ 1

+−=−

=

è particolarmente rilevante in quanto, oltre a procedere alla traslazione nel punto medio, si utilizza

come nuova unità di misura il valore assunto dall’indice caratteristico di variabilità σ che prende il

nome di scostamento quadratico medio.

Oltre ai momenti standardizzati di ordine zero ( )10 =µ e di ordine uno ( )01 =µ anche il

momento standardizzato di ordine due è del tutto irrilevante; infatti

34


( )[ ] 111 22

22

2

2 =⋅=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= σσ

µσσ

µµ XEXE

cioè, per qualunque variabile casuale il secondo momento standardizzato è uguale a uno.

Particolare rilevanza assumono, invece, il momento terzo standardizzato

( )[ ]13

33

33

3 γσµ

σµ

σµµ ==

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=XEXE

che misura la simmetria (rispetto al valore centrale) delle distribuzioni, ed il momento quarto

standardizzato

( )[ ]24

44

44

4 γσµ

σµ

σµµ ==

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=XEXE

che misura la curtosi (appiattimento rispetto alla distribuzione normale che verrà analizzata nelle

pagine successive) della distribuzione.

Sui due indici di simmetria ( )γ 1 e di curtosi )( 2γ si avrà modo di tornare successivamente,

dopo aver parlato della variabile casuale normale, mentre risulta conveniente definire altri due

indici caratteristici molto usati per sintetizzare gli aspetti di tipicità delle variabili casuali.

Il primo indice caratteristico che si considera è la moda di una variabile casuale. Si definisce

come moda di una distribuzione il valore della modalità cui corrisponde la probabilità (nel

caso discreto) o la densità di probabilità (nel caso continuo) più elevata.

)( oM

Quando il massimo non è unico si parla di distribuzioni plurimodali; concetto questo che può

essere esteso anche a situazioni in cui si considerano non solo il massimo assoluto (della probabilità

o della densità di probabilità) ma anche i massimi relativi (massimi locali).

Il secondo indice caratteristico che serve ad evidenziare la tipicità delle variabili casuali è la

mediana. Si definisce come mediana di una variabile casuale continua il valore centrale della

distribuzione stessa; cioè il valore della modalità rispetto al quale si registra una probabilità pari a

0,50 di valori inferiori e pari a 0,50 di valori superiori.

)( eM

Si può aver interesse alla individuazione di altri valori (segnaletici) particolari. Se la variabile

casuale è continua, il valore che è preceduto dal 25% dei casi e seguito dal 75% dei casi e

quello preceduto dal 75% dei casi e seguito dal 25% dei casi . I valori e vengono detti,

)( 1Q

)( 3Q Q1 Q3

35

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità rispettivamente, primo e terzo quartile; ovviamente il secondo quartile è uguale alla Mediana.

In generale il p-esimo quantile, con 0 < p < 1 , è il valore, usualmente indicato con Q

2Q

x(p), che

soddisfa la relazione P[ X ≤ Qx(p) ] = p.

Per le variabili casuali continue è possibile operare la suddivisione con una proporzione esatta

p di casi a sinistra ed una proporzione (1-p) esatta di casi a destra di Qx(p), mentre ciò non è

sempre possibile per le variabili casuali discrete. Infatti, per le variabili casuali discrete la massa di

probabilità del punto x = Qx(p) può essere diversa da zero, pertanto, la proporzione di valori a

sinistra di Qx(p) può essere ≤ p e la proporzione di valori a destra di Qx(p) può essere ≤ (1-p) .

Può accadere, cioè, che non esista alcun valore x per il quale F(x) = p, il quantile viene comunque

facilmente individuato in corrispondenza del valore Qx(p) nel quale si riscontra il salto della

funzione di distribuzione (da un valore inferiore a p ad un valore superiore a p ). Inoltre, sempre

per le variabili casuali discrete può accadere che la relazione F(x) = p valga per un intervallo di

valori di x, in questo caso il quantile si ottiene calcolando la semisomma degli estremi

dell’intervallo.

Momenti standardizzati

Ponendo

( ) ( ) ( ) ( )12 1 +−⋅⋅⋅⋅−−= rXXXXXg

si ottengono i momenti fattoriali di ordine r:

( ) [ ] ( ) ( )[ ]12-X )1( )( +−⋅⋅⋅⋅−== rXXXEXgErµ .

Tra i momenti fattoriali ed i momenti rispetto all’origine valgono le relazioni sotto riportate;

relazioni che consentono di derivare i momenti rispetto all’origine (in qualche caso di difficile

computo) dai momenti fattoriali.

( )

( )

( )

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+−=

−=

=

1233

122

1

2 3

1

µµµµ

µµµ

µµ

Funzione Generatrice dei Momenti

Ponendo g(X) = etX , per ogni valore di t compreso nell’intervallo –h<t<h con h>0, si ha

( ) ( ) ∑=

⋅==k

ii

txtxx xfeeEtm i

1)()( , se X è una v.c. discreta;

36


( ) ∫+∞

∞−

⋅== dxxfeeEtm txtxx )()( , se X è una v.c. continua.

che viene detta funzione generatrice dei momenti (trasformata di Laplace) della v.c. X.

La funzione generatrice dei momenti, quando esiste, gode di importanti proprietà, tra questa

una delle più rilevanti è quella di consentire il computo immediato dei momenti rispetto all’origine;

infatti, se si sviluppa in serie etX

⋅⋅⋅⋅++++=!3!2

13322 tXtXXtetX

si ha:

( ) .......!3

1!2

11......)(!3

1)(!2

11)( 33

221

32 ++++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++== tttXtXtXtEeEtm tX

x µµµ

da cui

( ) 0== txr

r

r tmdtdµ per r = 1,2,….

Cioè, se si calcola la derivata r-esima della funzione generatrice dei momenti nel punto t = 0

si ottiene il momento r-esimo rispetto all’origine.

Ragionando in modo analogo, si possono definire la funzione generatrice dei momenti centrali

e la funzione generatrice dei momenti standardizzati.

La proprietà più rilevante della funzione generatrice dei momenti è l’univocità; cioè, essendo

in corrispondenza biunivoca con la funzione di distribuzione (e quindi con la funzione di massa o di

densità di probabilità) quella di identificare in modo univoco la v.c. di riferimento.

Una ulteriore importante proprietà è quella della conservazione del limite. Sia, X1, X2,…., Xn

una successione di v.c. con funzione di distribuzione F(xn) e funzione generatrice dei momenti

; allora, se ( )tmnx

( ) ( )*lim xFxF nn=

+∞→

si dimostra che

( ) ( )tmtm xxn n *lim =+∞→

Inoltre se è la funzione generatrice dei momenti della v.c. X, allora è la

funzione generatrice dei momenti della v.c. Y = a + b X .

( )tmx ( )btmy

37


Esempio 2.10

Sia X una variabile casuale continua definita nell’intervallo con funzione di densità di

probabilità ( v.c. di tipo esponenzialexexf λλ −=)( 1) si ha:

∫∞

−

−===

0

)()(t

dxeeeEtm xtxtX

λλλ λ per t<λ

I momenti rispetto all’origine sono dati da:

( )2)()('

tdttdmtm

−==

λλ , quindi

λ1)()0(' == XEm

( )32)(')(''

tdttdmtm

−==

λλ , quindi 2

2 2)()0(''λ

== XEm

Mentre il secondo momento centrale (varianza) è data da

222212

2 112λλλ

µµσ =−=−=

Funzione Generatrice dei Momenti Fattoriali

Ponendo g(X) = tX , dove t assume valori in un intorno di 1, si ha

( ) ( ) ∑=

⋅==k

ii

xXx xfttEtm i

1)()( , se X è una v.c. discreta;

( ) ( ) ∫+∞

∞−

⋅== dxxfttEtm xXx )()( , se X è una v.c. continua.

che viene detta funzione generatrice dei momenti fattoriali della v.c. X.

La derivata r-esima di questa funzione, quando esiste, nel punto t = 1 genera il momento

fattoriale di ordine r .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]12-X 1-X / 1 +−⋅⋅⋅⋅⋅== = rXXEtmdtd

txr

r

rµ

Funzione Caratteristica

Trattando della funzione generatrice dei momenti è stata a più riprese aggiunta la

precisazione: “se esiste”; in effetti tale funzione potrebbe non esistere sia per v.c. discrete che

possono assumere una infinità numerabile di valori diversi sia per v.c. continue non essendo

convergente la somma di infiniti termini o l’integrale.

1 Una trattazione più puntuale della distribuzione esponenziale verrà proposta nelle pagine successive.

38


Se si pone g(X) = eitX , per ogni valore di t compreso nell’intervallo –h< t <h con h > 0 e

1−=i è l’unità immaginaria, la funzione sotto definita esiste sempre

( ) ( )

( ) ( ) continuo caso neldx ) (

discreto caso nel ) (1

∫

∑∞+

∞−

∞

=

==

==

xfeeEtim

xfeeEtim

itxitXx

ii

itxitXx

infatti, se si considera, ad esempio il caso continuo si ha

( ) ( ) ( ) ( ) dxx f sen t xi dxx t x fi sen t x t xEeE(i t)m-

itXx ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞

+=+== coscos

essendo cos t x e sen t x assolutamente limitate, l’integrale sopra scritto è assolutamente

convergente (si può quindi calcolare) per qualunque valore di t compreso tra ∞+∞− e .

La funzione sopra introdotta viene detta funzione caratteristica (trasformata di Fourier) della

v.c. X e gode di tutte le proprietà della funzione generatrice dei momenti ma, rispetto a quest’ultima

funzione, ha l’ulteriore proprietà di esistere sempre.

39

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità 2.7 Variabili casuali discrete

Alcuni modelli probabilistici (tipi specifici di variabili casuali) si sono dimostrati

particolarmente utili in vari campi della ricerca applicata. Tra questi, ne vengono presentati alcuni,

tra quelli più comunemente usati, facendo riferimento al tipo di distribuzione ad essi associata.

2.7.1 Distribuzione Binomiale

La distribuzione Binomiale si usa quando si è interessati al numero delle volte con cui un

certo evento E si presenta in n ripetizioni indipendenti di un esperimento casuale. Essa può, quindi,

essere considerata un'eccellente modello probabilistico per molte situazioni sperimentali. Infatti,

tale distribuzione può servire per studiare ad es. l'atteggiamento dei cittadini nei confronti di un

determinato provvedimento legislativo (favorevoli o contrari alla elezione diretta del presidente

della repubblica), per analizzare la produzione di un determinato macchinario (pezzi regolari e pezzi

difettosi) ecc. Serve cioè, in generale, nello studio di tutti quei fenomeni che possono essere

caratterizzati da un evento che può realizzarsi o meno: "successo" o "insuccesso"; dove, successo

vuol dire estrazione di pallina bianca, essere favorevole alla elezione diretta del presidente, pezzo

regolare, ecc., mentre insuccesso vuol dire estrazione di pallina nera, essere contrari alla elezione

diretta, pezzo difettoso, ecc.

Se con P(E) = p si indica la probabilità che ha l'evento di presentarsi in una singola prova,

1 - p = q rappresenterà la probabilità contraria, cioè la probabilità del non verificarsi dell'evento.

Si consideri ora la variabile casuale ( ) XX =ω ( = numero delle volte in cui l'evento E si

presenta in n prove indipendenti). Per n = 1 si avrà che la variabile casuale ( ) XX =ω , detta

variabile casuale di Bernoulli, potrà assumere unicamente i due valori 0 e 1, con probabilità

rispettive

P (X = 0) = q = 1 - p ; P (X = 1) = p

La corrispondente funzione di massa assume i valori f(0) = q e f(1) = p, e può essere espressa

dalla formula

f(x) = f(x;p) = px q1-x per x = 0, 1

40


Per n qualsiasi, si avrà che la variabile casuale X (numero di successi in n prove

indipendenti) potrà assumere i valori 0, 1, 2,...,n, si tratta cioè di una funzione che associa ad ogni

possibile sequenza di successi ed insuccessi in n prove indipendenti, il numero x di successi che

nelle n prove si sono verificati. La probabilità di x successi P(X = x) = f(x), cioè la funzione di

massa di probabilità è data da

f(x) = f(x;n,p) = xnxqpxn −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dove rappresenta il numero di permutazioni con ripetizione di n oggetti di cui x e (n-x)

sono uguali tra loro che coincide con il numero delle combinazioni di n oggetti x a x, cioè

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xn

)!(!!

xnxn

xn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

L'interpretazione della formula della funzione di massa di probabilità della variabile casuale

binomiale è immediata: la probabilità di una specifica successione di x successi e (n-x) insuccessi

indipendenti è pari a (principio delle probabilità composte per eventi indipendenti)

xnx

voltexnvoltex

qpqqqpppp −

−

=⋅⋅ ……)(

;

non essendo interessati all'ordine di presentazione dei successi, ma solo al loro numero, tali

probabilità dovranno essere sommate (principio delle probabilità totali per eventi incompatibili)

tante volte quante sono le permutazioni di n oggetti di cui x ed (n-x) sono uguali tra loro.

Il nome di variabile casuale binomiale deriva dal fatto che i valori della funzione f(x)

rappresentano i termini dello sviluppo del binomio di Newton. Ovviamente la somma delle

probabilità relative a tutti i possibili valori assunti dalla variabile casuale binomiale (come per

qualunque variabile discreta) è uguale ad uno; infatti

11)(0

==+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=∑ nnxnx

n

xqpqp

xn

41


La media e la varianza della distribuzione binomiale sono date rispettivamente dalle

uguaglianze

npqpxn

xpnxfx xnxn

x

n

x=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

= =∑ ∑

0 0),;(µ

npqqpxn

npxpnxfx xnxn

x

n

x=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= −

= =∑ ∑

0 0

222 )(),;()( µσ

Dimostrazione: µ = n p

[ ][ ])1(11

10 0 !)1(1)!1()!1(),;()( −−−−

=

−

= =

⋅⋅−−−−

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑∑ ∑ xnx

n

x

xnxn

x

n

x

qppxnxx

nnxqpxn

xpnxfxXEµ

Posto n-1 = m e x-1 = y, allora

npnpqpnpqpymy

mnp mm

y

NewtondiioBin

ymy =⋅=+=−

= ∑=

− 1)()!(!

!0

om

µ

C.V.D.

Dimostrazione: σ2 = n p q 22

22

22 pn−=−= µµµσ

( )[ ] ( )[ ]

( ) npqpnppnpnnpnppnnppnn

npqpymy

mpnnnpqppymy

mnn

qpxnxxx

nnnxx

qpxn

xqpxn

xxqpxn

xXE

m

y

NewtondiBinomio

m

y

ymyymx

xnxn

x

n

x

n

x

n

x

pn

xnxxnxxnx

+=−+=+−=+−=

=+−

−=+−

−=

=−−−−−

−−+−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

= =

−−−

−

=

= = =

⋅

−−−

22222222

0 0

222

2

0 0 0

222

1 )1(

)!(!!)1(

)!(!!)1(

!22)!2)(1()!2)(1(11

)1()(µ

dove y = x-2 e m = n-2.

da cui:

npqpnnpqpnpn =−+=−=−= 2222222

22

2 µµµσ

La funzione generatrice dei momenti della v.c. binomiale è data da

42


( ) ( ) ( ) ( )ntxnxn

x

xnxn

x

xtXtx qepqp

xn

qpxn

eeEtm +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

=

−

=∑∑ e e

00

Dalla quale si deducono facilmente i momenti

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )

n p q pn p q - n pnµµσVar(X)

n p q pn-pn p pn

pn-n n p / p eqp e) p en (n-qp en p e/tmdtdµ

n p/qp en p e/tmdtdµ

ttnttntt

tx

tntt

tx

=+=−==

+=+

=+=+++==

=+==

=

−−

=

=

−

=

2222212

2

2222

20

2102

2

2

01

01

1

11

Esempio 2.11

Assumendo che la probabilità di nascita di un maschio o una femmina sia uguale, cioè p = 1-

p = 0,5, si vuol determinare la probabilità che in una famiglia con quattro figli vi sia: a) Almeno un

maschio, b) almeno un maschio ed una femmina.

- Poichè si ha

P (0 maschi) = 1615,05,0

04 40 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

P (1 maschio) = 415,05,0

14 31 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

P (2 maschi) = 835,05,0

24 22 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

P (3 maschi) = 415,05,0

34 13 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

P (4 maschi) = 1615,05,0

44 04 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

la probabilità che nella famiglia vi sia almeno un maschio sarà fornita dall'espressione

P (almeno un maschio) = P (1 maschio) + P (2 maschi) + P (3 maschi) + P (4 maschi) =

14

38

14

116

1516

+ + + =

43


Una soluzione più rapida si ottiene se si considera l'evento contrario (nessun maschio) a

quello che interessa (almeno un maschio), si determina poi la probabilità del suo verificarsi che

sottratta alla unità fornisce il risultato; si avrà

P ( almeno un maschio ) = 1 - P ( nessun maschio) =

1615

16115,05,0

04

1 40 =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

b) - Per rispondere al quesito si può seguire la seconda via sopra indicata; si avrà

P ( almeno un maschio ed una femmina ) =

= 1 - P ( nessun maschio ) - P (nessuna femmina) =

11

161

161416

78

− − = =

Esempio 2.12

In una serie di esperimenti su cavie è stata riscontrata una mortalità del 60%. Volendo

predisporre un ulteriore esperimento in modo tale che, con una probabilità superiore all'80%,

almeno due animali sopravvivano, si chiede quale dovrà essere il numero minimo di cavie da

sottoporre ad esperimento. In altri termini si dovrà ricercare il più piccolo n (numero di cavie da

sottoporre ad esperimento) capace di soddisfare la disuguaglianza.

P (X ≥ 2) > 0,80

dove X sta per il numero di cavie che sopravvivono all'esperimento.

Nella distribuzione binomiale per p = 0,4 (probabilità di successo e nel caso specifico

successo significa cavia sopravvissuta) ed n = 7, si ha

84,060,040,017

60,040,007

1)1()0(1)2( 6170 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==−=−=≥ XPXPXP

Per p = 0,4 ed n = 6, si ha

44


77,060,040,016

60,040,006

1)1()0(1)2( 160 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==−=−=≥ XPXPXP

Il numero minimo di cavie da sottoporre ad esperimento dovrà quindi essere pari a 7.

Esempio 2.13

Un’azienda che produce batterie per riflettori afferma che i suoi prodotti nell’80% dei casi

sono in grado di funzionare adeguatamente a temperature inferiori ai -10°C. Le registrazioni

meteorologiche mostrano che durante il mese di gennaio di un anno ci sono stati 18 giorni in cui le

temperature sono scese al di sotto dei -10°C in un campione di città del Nord Europa. Qual è la

probabilità che le batterie vendute dall’azienda abbiano funzionato adeguatamente per meno di 11

giorni durante il mese di gennaio?

Essendo X = n° di giorni durante i quali le batterie hanno funzionato adeguatamente

(successo), e i ha: 18=n 80.0=p s

∑ ===++=+==≤

10

0)10(...)1()0()10(

xXPXPXPXP 90.02.08.0

18 18 =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −xx

x

Esempio 2.14

Le borse prodotte dall’azienda Alfa, soltanto nel 15% dei casi rispettano i requisiti base di

soddisfazione del cliente. Qual è la probabilità che, considerato un campione di 20 borse

selezionate casualmente, almeno 11, ma non più di 15, rispettino i requisiti di minima

soddisfazione?

Essendo X= l’evento “numero di borse le cui caratteristiche soddisfano i requisiti di qualità”

(successo), n = 20 e p = 0.15 (probabilità di un successo), allora si ha:

17.085.015.020

)15(...)12()11()1511( 2015

11=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==++=+==≤≤ −

=∑ xxx x

XPXPXPXP

Quindi, la probabilità che una quantità compresa tra 11 e 15 borse su un totale di 20 rispetti i

requisiti di soddisfazione minima del cliente è del 17%.

Esempio 2.15

Le compagnie aeree sanno per esperienza che una certa percentuale di passeggeri, pur

avendo già prenotato il biglietto, cancellerà il volo all’ultimo minuto. Perciò, per evitare posti

vuoti, esse vendono più biglietti rispetto alla capienza massima dell’aereo, sperando che alla fine il

45

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità numero di passeggeri che si presenta all’imbarco sia quello “giusto” (cioè tale da riempire tutti i

posti disponibili senza eccedenze). In base a delle stime risulta che la probabilità che un

passeggero cancelli il volo all’ultimo minuto è del 5%. In termini binomiali, si sta affermando che

ciascun potenziale passeggero, indipendentemente dagli altri, si presenterà all’imbarco con una

probabilità del 95%, mentre cancellerà il volo con una probabilità del 5%.

Si supponga che per un volo da 200 posti siano stati venduti 215 biglietti. La compagnia

aerea vuole conoscere I) la probabilità che più di 205 passeggeri si presenteranno per l’imbarco;

II) la probabilità che se ne presenteranno più di 200; III) la probabilità che risultino occupati

almeno 195 posti; IV) la probabilità che siano occupati almeno 190 posti.

Posto X = presentarsi di un passeggero per l’imbarco, n = 215, p = 0.95, si ha:

I)

001.005.095.0215

)215(...)207()206()205( 215215

206=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==++=+==> −

=∑ xxx x

XPXPXPXP

II)

050.005.095.0215

)215(...)202()201()200( 215215

200=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==++=+==> −

=∑ xxx x

XPXPXPXP

III)

421.005.095.0215

)200(...)196()195()195( 215200

195=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==++=+==≥ −

=∑ xxx x

XPXPXPXP

IV)

820.005.095.0215

)200(...)191()190()190( 215200

190=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==++=+==≥ −

=∑ xxx x

XPXPXPXP

Se X è una v.c. binomiale, la v.c. nXY = , che viene detta v.c. binomiale relativa assumerà i

valori 1 ,1 ,,2 ,1 ,0n

nnn

−⋅⋅⋅⋅ , ha media e varianza rispettivamente pari a ( ) p

nXEYE =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= e

( )n

p qnXVarYVar =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

2.7.2 Distribuzione ipergeometrica

Per introdurre la distribuzione ipergeometrica conviene riprendere in considerazione la

distribuzione binomiale proponendo un'interpretazione che si rifà al linguaggio dell'estrazione

46

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità casuale da un'urna. Infatti, la distribuzione ipergeometrica ha lo stesso campo di applicabilità della

distribuzione binomiale e dovrà essere ad essa sostituita tutte le volte che gli eventi relativi alle

singole prove non possono essere considerati indipendenti.

Si consideri un'urna contenente N palline, di cui K siano bianche e N - K nere. La probabilità

di estrarre pallina bianca in una prova sarà p = NK .

Se si effettuano n estrazioni con ripetizione (cioè con reinserimento della pallina nell’urna) la

probabilità di ottenere esattamente x palline bianche, nelle n prove, è data da

xnxxnx

qpxn

NK

NK

xn

xfxXP −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== 1)()(

Quanto detto mostra come l'estrazione con ripetizione (campionamento bernoulliano) conduce

alla distribuzione binomiale. Si ammetta ora di effettuare le n estrazioni, senza rimettere ogni volta

la pallina estratta nell'urna (campionamento esaustivo o campionamento senza ripetizione); in

questa situazione la probabilità di estrarre esattamente x palline bianche è data da

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

nN

xnKN

xK

NKnxfxf ),,;()( per max [ 0,n - (N - K) ] ≤ x ≤ min [n, K]

Infatti, se n > K, X potrà assumere al massimo il valore K, inoltre se

n > N - K, il valore minimo che X può assumere sarà pari a n - (N - K).

Naturalmente

1),,;(0 0

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∑ ∑= =

n

x

n

x

nN

xnKN

xK

NKnxf

Per dimostrare la relazione sopra riportata, occorre tenere presente che ogni successione di n

palline di cui x bianche e n-x nere costituisce una partizione dello spazio campionario in eventi

elementari equiprobabili, per cui è sufficiente fare il rapporto tra il numero di eventi favorevoli

47

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità (cioè il numero delle sequenze contenenti esattamente x palline bianche) e il numero complessivo di

eventi elementari (cioè il numero di tutte le possibili sequenze di N palline ad n ad n).

Gli eventi favorevoli affinché si verifichi X =x sono quelli che contengono x palline bianche

scelte tra le K esistenti e sono in numero di , moltiplicati per tutti quelli che contengono le

rimanenti (n-x) palline nere scelte tra le (N – K) possibili, che sono in numero di . Quindi,

i casi favorevoli sono , mentre i casi possibili sono tutte le combinazioni di N palline

prese ad n ad n, cioè . Da ciò deriva la formula precedente che definisce la distribuzione di

probabilità di una v.c. ipergeometrica. L’espressione può essere interpretata più facilmente se, dopo

aver opportunamente sviluppato i simboli combinatori presenti, essa viene espressa nel seguente

modo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

xnKN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

xnKN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nN

11......

11

11........

11

)!(!!

)!()!()!(

)!(!!

)(

+−++−−

−−−−

−−

+−+−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

−

+−−−−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nNxnKN

xNKN

xNKN

xNxK

NK

NK

xn

nNnN

xnKNxnKN

xKxK

nN

xnKN

xK

xf

A meno del coefficiente binomiale l‘ultima espressione esprime il prodotto delle probabilità

che la prima pallina estratta sia bianca, per la probabilità che la seconda sia bianca dato che la prima

è bianca, …., per la probabilità che la x-esima pallina sia bianca dato che le precedenti sono state

bianche, per la probabilità che (x+1)-esima pallina sia nera dato che si sono verificate x palline

bianche, …., per la probabilità che l‘n-esima sia nera dato che in precedenza si sono verificate x

bianche e (n-x+1) nere. Tale probabilità, cioè quella della seqenza ordinata di x palline bianchee (n-

x) nere, va ripetuta per tutti i modi possibili in cui le n palline si possono disporre preservando però

sempre x palline bianche e (n-x) palline nere. Tali modi sono appunto . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xn

La media e la varianza della distribuzione che ha la funzione di massa sopra indicata e che

viene detta ipergeometrica, sono date rispettivamente da

48


npNKn

nN

xnKN

xK

xNKbxfxn

x

n

x=⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

== ∑ ∑= =0 0

),,;(µ

11

1),,;()(

0 0

222

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−= ∑ ∑

= = NnNnpq

NK

NKn

NnN

nN

xnKN

xK

NnKxNKnxfx

n

x

n

x

µσ

Il fattore 1−

−N

nN (≤ 1) viene usualmente detto fattore di correzione per il campionamento

senza ripetizione. Si osservi che, se n = 1, allora la varianza della v.c. ipergeometrica coincide

esattamente con quella della binomiale: infatti, estraendo una sola pallina è del tutto irrilevante il

fatto che essa venga reimmessa o meno nell’urna. Inoltre, le due varianze coincidono anche nel caso

in cui N tende ad infinito (il fattore di correzione tende ad 1): essendo la popolazione molto

numerosa, il fatto che ogni pallina estratta non venga reimmessa nell’urna non influenza

sensibilmente la probabilità di estrazione rispetto al caso di reimmissione.

Esempio 2.16

Una compagnia di assicurazioni sa per esperienza che tra le persone che rispondono a

pubblicità su giornali e riviste per polizze assicurative sulla salute, circa il 40% finisce poi per

acquistarne una. Un assicuratore della compagnia riceve 10 risposte e ne seleziona casualmente

tre, fissando degli appuntamenti per un incontro con i potenziali futuri clienti. Qual è la probabilità

che l’assicuratore venda una polizza ad una delle tre persone che incontrerà?

La popolazione complessiva è costituita dalle 10 persone che rispondono all’annuncio, quindi

N = 10. La caratteristica posseduta da 4 di queste persone è la loro tendenza ad acquistare una

polizza sulla salute, quindi K = 4. Infine, se l’assicuratore seleziona casualmente tre risposte, si ha

n = 3.

Dunque, la probabilità che una persona (x =1) acquisti una polizza è data da:

( ) 50.012060

310

26

14

1 ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

nN

xnKN

xK

xP

49


Esempio 2.17

Si supponga che in un processo produttivo il 30% dei pezzi prodotti risulti difettoso. Il

manager responsabile del controllo di qualità seleziona casualmente 5 pezzi da un totale di 20

prodotti e ispeziona ciascuna parte del campione. Qual è la probabilità che ciascun campione

contenga I) esattamente 2 parti difettose? II) oppure che contenga al massimo due parti difettose?

La popolazione è rappresentata da 20 pezzi prodotti, quindi N =20. Poiché il 30% si sa

essere difettosi, allora ciascun lotto contiene 6 pezzi difettosi, cioè K = 6. Infine, ciascun campione

estratto consiste di 5 pezzi, quindi n = 5.

Ricapitolando:

N = 20

K = 6

n = 5

I)

( ) %2.35352.0

520

314

26

2 ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

nN

xnKN

xK

xP

II)

( ) )0()1()2()0()1()2(2 fffxPxPxPxP ++==+=+==≤

f(2) =0.352

387.0

520

414

16

)1( =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=f

129.0

520

514

06

)0( =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=f

( ) %8.86868.0129.0387.0352.0)0()1()2(2 ==++=++=≤⇒ fffxP

50


2.7.3 Distribuzione di Poisson (o dei piccoli numeri o degli eventi rari)

A differenza delle precedenti, la v.c. di Poisson non è direttamente generata da una

successione di prove Bernoulliane (se non come processo limite) ma riguarda il numero di eventi

registrati in un ambito circoscritto di tipo temporale, spaziale, concettuale. Quindi, si parla di

variabile casuale di Poisson quando interessa conoscere il numero X di eventi (accadimenti,

successi,…) che si verificano in uno specifico intervallo di tempo o di spazio o di circostanze. Per

es., si distribuiscono secondo una v.c. di Poisson il numero di clienti che arriva allo sportello

bancario ogni giorno, il numero di chiamate che arriva ad un centralino ogni 10 minuti, il numero di

auto in attesa al casello autostradale ogni minuto, il numero di incidenti mortali tra gli operai addetti

ad un certo processo chimico pericoloso per ogni impianto funzionante, il numero di pezzi difettosi

prodotti da ciascun macchinario di un’azienda ecc.

La funzione di massa di probabilità della v.c. di Poisson è data da

!);()(

xexfxf

x λλλ−

== per x = 0, 1, 2 ...

(dove e è la costante di Nepero e λ un numero reale positivo). Naturalmente la somma delle

probabilità, per questa particolare variabile casuale discreta che può assumere l'infinità (numerabile)

di valori diversi 0, 1, 2,... , è pari ad 1

1!

);(0 0

∑ ∑∞

=

∞

=

−

==x x

x

xexf

λλλ

Si dimostra che

λλλµλ

∑ ∑∞

=

∞

=

−

===0 0 !

);(x x

x

xexxxf

λλλλµσλ

∑ ∑∞

=

∞

=

−

=−=−=0 0

222

!)();()(

x x

x

xexxfx

51


Dalle uguaglianze sopra riportate risulta che il parametro caratterizzante la distribuzione di

Poisson coincide con la media e la varianza della variabile casuale ad esso associata.

I momenti sopra riportati possono essre facilmente ottenuti se si considera la funzione

generatrice dei momenti della v.c. di Poisson:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

λλλλµµσ

λλλλλλλµ

λλµ

λλ

λλλ

λ

λλλλλ

=−+=−==

+=+===

===

=====

=−−

=−

=

=−

=

∞

=

∞

=

−−−−

∑ ∑

22212

2

20

t1t10

1202

2

2

0t1

01

0 0

1

)(

/e e / /

/e /

!!)()(

XVar

eeeetmdtd

etmdtd

eeexee

xeeeEtm

tete

te

tx

te

tx

x x

eextxxtx

tXx

ttt

t

tt

Esempio 2.18

Il dipartimento per il controllo di qualità della Staypress Shirt Manufacturing Company

rileva che per ciascuna spedizione di 10.000 magliette circa 5 vengono rimandate indietro in

quanto presentano delle imperfezioni nelle cuciture. L’azienda ha in programma due spedizioni ad

un cliente di New York. Qual è la probabilità che più di 10 magliette siano restituite per la

sostituzione?

p = probabilità di trovare una maglietta difettosa = 5/10.000 = 0,0005

n = numero totale di magliette prese in considerazione = 100002 ⋅ = 20.000

λ = numero medio di magliette difettose = 100005.020000 =⋅=⋅ pn

x = numero di magliette difettose > 10

Quindi:

%7.41417.0!

10!

)10(1...)12()11()10(10

0

1010

0

====≤−=+=+==> ∑∑=

−

=

−

x

x

x

x

xe

xexPxPxPxP

λλ

Esempio 2.19

Un grande centro commerciale vende diverse marche di apparecchi televisivi. Uno dei

principali problemi del responsabile degli acquisti consiste nel definire la quantità di televisori di

ciascuna marca da tenere come scorta di magazzino. Da una parte, infatti, egli vuole avere a

disposizione una quantità di scorte tale da soddisfare prontamente le richieste dei clienti, dall’altra

egli vuole evitare di immobilizzare troppo denaro in scorte di magazzino eccessive che, se non

vendute in tempi relativamente rapidi, rischiano di diventare obsolete. La principale difficoltà nel

risolvere tale problema consiste nell’ampia variabilità della domanda da un mese all’altro. Tutto

52

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità ciò di cui il manager è a conoscenza è il fatto che, sulla base dei dati storici, la domanda media

mensile (λ) è approssimativamente 17 unità.

Il manager si chiede, dunque, qual è la probabilità che la domanda il prossimo mese sia I)

inferiore alle 20 unità e II) sia compresa tra le 10 e le 15 unità.

%6.80806.0!

17!

)20(20

0

1720

0

====≤ ∑∑=

−

=

−

x

x

x

x

xe

xexP

λλ

%5.34345.0!

17!

)1510(15

10

1715

10====≤≤ ∑∑

=

−

=

−

x

x

x

x

xe

xexP

λλ

La distribuzione di Poisson ha importanti applicazioni anche perché essa rappresenta una

conveniente approssimazione della distribuzione binomiale nel caso in cui il numero delle prove n

sia abbastanza elevato (in genere si assume ) e la probabilità che l'evento si presenti in una

singola prova sia sufficientemente prossima allo 0 (in altri termini la differenza tra la probabilità p

di ottenere un successo e la probabilità q = 1-p di ottenere l’evento contrario è sostanzialmente

ampia). Questa approssimazione è resa possibile dal fatto che la legge di distribuzione di Poisson

può essere derivata come limite della distribuzione Binomiale nel caso in cui n tenda ad infinito e p

tenda a 0, mentre il prodotto λ = n p rimane costante.

100≥n

La formula generale per la probabilità di esattamente x successi in n prove Bernoulliane (v.c.

Binomiale) è

xnx ppxn

xf −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )1()(

Si consideri la famiglia per cui il prodotto n p sia una costante λ. Se si pone λ = n p, allora p

= λ/n. Sostituendo p = λ/n nella precedente equazione si ha

( )

( )

xnx

xnx

xn

xx

xnxxnx

nnxn

nn

nn

x

nnnnnxnxnxnnnn

x

nnxnn

x

nnxnxn

nnxn

xf

−

−

−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅−

−+−−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

λλ

λλ

λλ

λλλλ

11......1!

1

1......)!(

)!)(1).....(2)(1(!

1

1!

!!

1

1!!

!1)(

Il termine in parentesi quadra è il prodotto di x fattori, ciascuno della forma (n-k)/n. Quando n

cresce un’espressione di tale forma si avvicina all’unità se k rimane costante, poiché n diventa

53

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità grande relativamente a k e, così, (n-k)/n è quasi uguale ad 1. Essendo ciascun fattore in parentesi

quadra di tale forma, l’intera espressione si approssima ad 1.

Consideriamo ora l’espressione (1-λ/n)n-x. Quando n tende ad infinito e x rimane costante,

l’espressione è approssimativamente uguale a (1-λ/n)n per lo stesso motivo dato poco fa. Ma il

limite di (1-λ/n)n per n che tende ad infinito è e-λ, quindi

!1 lim)1( lim

xe

nnxn

ppxn xxnx

n

xnx

n

λλλλ −−

∞→

−

∞→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

e questa non è altro che l’equazione della funzione di massa di probabilità della v.c. di Poisson.

Ad un risultato analogo ma in modo decisamente più rapido si perviene se si considerano le

funzioni generatrici dei momenti delle due v.c.; infatti

( ) ( ) ( )1 11lim 1 lim lim −

∞→∞→∞→=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

tent

n

nt

n

nt

ne

ne

ne

nqep λλλλ

Esempio 2.20

E’ noto che il 3% delle lampadine prodotte dalla Edison Light Company è difettoso. Un lotto

che ne contiene 1000 sta per essere inviato al cliente. Si calcoli la media e la varianza delle

lampadine difettose usando I) una funzione di distribuzione di Poisson e II) una funzione di

distribuzione Binomiale.

I) Funzione di distribuzione di Poisson:

Media = 3003.01000 =⋅=⋅= pnµ

Varianza = 302 =⋅== pnµσ

II) Funzione di distribuzione Binomiale:

Media = 3003.01000 =⋅=⋅= pnµ

Varianza = 1.2997.003.010002 =⋅⋅=⋅⋅== qpnµσ

Come si può osservare le due medie coincidono e le due varianze sono molto simili. Questo si

spiega con il fatto che se in una Binomiale p è molto vicina a zero ed n è abbastanza grande ne

risulta una accettabile approssimazione con la distribuzione di Poisson.

λσ ≈⋅≈⋅⋅≈⋅⋅= pnpnqpn 12

Esempio 2.21

Si supponga che la probabilità di ottenere una parte difettosa da un certo processo produttivo

sia pari a 0.02. Qual è la probabilità che un lotto di 200 pezzi prodotti ne contenga almeno 5

54

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità difettosi? Si calcoli tale probabilità ricorrendo sia alla distribuzione Binomiale che alla

distribuzione di Poisson.

- Distribuzione Binomiale:

%8.78788.098.002.0200

)5( 2005

0

==⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤ −

=∑ xx

x xxP

- Distribuzione di Poisson:

402.0200 =⋅=⋅= pnλ

%8.78%5.78785.0!

4)5(5

0

4

≈===≤ ∑=

−

x

x

xexP

2.7.4 Distribuzione Binomiale Negativa

La distribuzione Binomiale Negativa si usa quando si è interessati al numero di ripetizioni

(prove) indipendenti necessario per ottenere k volte un certo evento d’interesse (successo). Essa può

essere derivata direttamente dalla distribuzione Binomiale. Nella Binomiale il numero di prove n

viene fissato in anticipo e la variabile casuale è il numero di successi che si ottengono nelle n prove.

Viceversa, la Binomiale Negativa specifica in anticipo il numero k di successi che si vuole

osservare, mentre la variabile casuale diventa il numero di prove necessario per osservare il numero

k di successi prefissato. Quindi il fenomeno sotto osservazione è lo stesso per entrambe le

distribuzioni, ciò che cambia è l’evento d’interesse.

Indicando con X la v.c. “numero di prove necessario per ottenere k successi”2 e con p la

probabilità di ottenere un successo in una singola prova dell’esperimento, una possibile sequenza ω

che potrebbe realizzarsi è la seguente (S indica un successo e I un insuccesso):

ω: I ∩I ∩ I ∩ I ∩ ..... ∩ I ∩ S ∩ S ∩ S .... ∩ S

(x – k) insuccessi k successi Essendo questi eventi tra loro incompatibili, la probabilità di ω è data da:

P(ω) = P(I ∩I ∩ I ∩ I ∩ ..... ∩ I ∩ S ∩ S ∩ S .... ∩ S) =

( ) ( ) ( ) kkx pppppppp ⋅−=⋅⋅⋅−⋅−⋅−= −1....)1(.....11

(x – k) volte k volte

2 X : x = k, k+1, k+2 .... se, rispettivamente, nelle prime k, k+1, k+2 ecc. prove si ottengono k successi. Come si può notare tale variabile casuale può assumere un’infinità di valori.

55


Qualunque permutazione venga fatta tra i vari eventi in modo da avere sempre un totale di x

prove affinché si manifestino k successi, la probabilità dell’evento ω rimane invariata e pari a pk(1–

p)x-k3.

Per ricavare la funzione di massa di probabilità della distribuzione Binomiale Negativa basta

conoscere il numero di possibili permutazioni che possono essere effettuate in modo da ottenere k

successi in x prove. Se sono richieste x prove per ottenere k successi, allora devono verificarsi (k –

1) successi nelle prime (x – 1) prove; inoltre, il k-esimo successo deve verificarsi all’x-esima prova

(cioè l’ultima). Questo equivale a dire che, con riferimento all’evento ω sopra riportato, il numero

delle possibili permutazioni si ottiene cambiando, in ogni modo possibile, l’ordine di tutti gli eventi

tranne l’ultimo4. Così facendo si ottiene:

)!()!1()!1(

11

kxkx

kx

−⋅−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Quindi, la funzione di massa di probabilità della variabile casuale Binomiale negativa è data

da:

)()1(11

)()( kxk ppkx

xfxXP −−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=== , con x = k, k+1, k+2, k+3, ....

Infine, si può dimostrare che la media e la varianza della distribuzione Binomiale Negativa

sono date da:

pkXE 1)( = ; 22

2 1)(p

qkp

pkX =−

=σ

Si osservi la ragionevolezza del risultato per cui il valore medio di tale variabile casuale è

l’inverso della probabilità che si verifichi l’evento “successo” nella singola prova. Infatti, se

l’evento è raro, p è molto basso ed occorrerà attendere mediamente un numero piuttosto elevato di

prove prima che si verifichi per k volte. Viceversa, se l’evento in questione possiede una probabilità

p elevata, allora il numero di prove necessarie perché si verifichi per k volte sarà mediamente più

basso.

Una delle tante applicazioni della distribuzione Binomiale Negativa è relativa a certi problemi

di attesa. Supponiamo, per esempio, che in un processo di produzione automatico sia prodotta una

parte al secondo, testata automaticamente e, quindi, gettata in un recipiente in caso risulti difettosa.

Essendo p la probabilità di ottenere una parte difettosa (successo) e k il numero di parti difettose che

3 Il motivo è semplice: trattandosi di eventi indipendenti, la probabilità dell’evento ω sarà sempre data dal prodotto delle singole probabilità, che, per la proprietà commutativa, rimane invariato al variare dell’ordine dei fattori.

56

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità il recipiente è in grado di contenere, allora la lunghezza di tempo (in secondi) prima che il

recipiente sia riempito e debba essere sostituito con uno vuoto è x, dove x segue la distribuzione

Binomiale negativa con parametri k e p e rappresenta il numero totale di pezzi difettosi e accettabili

(cioè, il numero totale di prove) necessari per ottenere il k-esimo pezzo difettoso.

Esempio 2.22

Si supponga che, in base ai dati storici, risulti che un istituto di credito concede in media un

prestito ogni cinque richieste che gli pervengono (p = 0,20). Il credit manager della banca

vorrebbe conoscere qual è la probabilità che, in una tipica giornata, egli debba valutare 5 richieste

di finanziamento (quindi x = 5) e, tra queste, 2 risultino idonee (k =2). E’ implicito che la seconda

approvazione avvenga per la quinta ed ultima richiesta di finanziamento analizzata, altrimenti il

manager non dovrebbe valutare 5 richieste. Indicando con A le richieste di finanziamento

approvate e con R quelle rifiutate si ottengono le seguenti possibili sequenze con le rispettive

probabilità:

Sequenze Probabilità

A ∩ R ∩ R ∩ R ∩ A 02048,02,08,08,08,02,0 =⋅⋅⋅⋅

R ∩ A ∩ R ∩ R ∩ A 02048,02,08,08,02,08,0 =⋅⋅⋅⋅

R ∩ R ∩ A ∩ R ∩ A 02048,02,08,02,08,08,0 =⋅⋅⋅⋅

R ∩ R ∩ R ∩ A ∩ A 02048,02,02,08,08,08,0 =⋅⋅⋅⋅

Totale 0,08192 = 8,192%

Allo stesso risultato si giunge applicando direttamente la funzione di probabilità della

distribuzione Binomiale Negativa. Infatti, posto x= 5, k = 2 e p = 0,20 si ottiene:

%20,808192,0512,004,0!1!3!48,020,0

1215

)5( 252 ≈=⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

== −XP

Esempio 2.23

Dalla precedente esperienza si sa che un’azienda è in grado di produrre il 90% dei suoi

prodotti (lamine di acciaio) entro i limiti di accettabilità dell’ampiezza del diametro. In vista del

controllo periodico il responsabile della qualità decide di fermare il processo produttivo ed

effettuare un’ispezione completa di tutti i macchinari nell’ipotesi in cui da un campione di 7 lamine

4 In altre parole, l’ultimo evento che si verifica deve essere sempre il k-esimo successo: se questo si verificasse prima dell’x-esima prova vorrebbe dire che il numero di prove necessario per ottenere k successi non è più x bensì un valore

57

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità ne risultino 3 difettose prima che ne siano prodotte 4 accettabili. Qual è la probabilità che il

processo produttivo venga interrotto?

Sia x = 7, k = 4 e p = 0,90, allora:

%1,130131,0001,06561,036

1,09,01417

)7( 474 ==⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

== −xP

Esempio 2.24

Un’azienda che svolge servizi di soccorso stradale sa, sulla base dei dati storici, che circa il

45% di tutte le chiamate di soccorso che le pervengono richiedono l’intervento di un carro attrezzi.

Al momento l’azienda ha 9 carri attrezzi disponibili e 18 chiamate di soccorso in attesa. Qual è la

probabilità che le 18 chiamate siano tutte completate prima che tutti i 18 carri attrezzi siano

utilizzati?

x = 18

k = 9

p = 0,45

%46,80846,055,045,019118

)18( 9189 ==⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

== −xP

La funzione ( )ωX sopra definita fa corrispondere a ciascun punto campionario il numero

delle prove necessarie per ottenere k successi, dal che risulta che la v.c. X così definita potrà

assumere i valori k, k+1, k+2, ……Una diversa definizione è quella di non considerare il numero

delle prove necessarie per ottenere k successi ma il numero delle prove necessarie prima di

ottenere k , in tal caso la v.c. X cosi definita potrà assumere i valori 1, 2, 3, ………

Una ulteriore possibile definizione della v.c. binomiale negativa è quella di definire ( )ωX

come il numero di insuccessi necessari prima di ottenere k successi. In questo caso la v.c.

risultante potrà assumere i valori 0, 1, 2,…….., cioè tutti i numeri naturali da zero a + infinito ed

avrà funzione di massa di probabilità pari a :

( )xkxkxk qpxk

qpxxk

ppxxk

xfxXP −⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+===

1)1(

1)()(

Espressione questa che da ragione anche della denominazione di distribuzione binomiale negativa.

La funzione generatrice dei momenti della v.c. binomiale negativa in questa formulazione è

inferiore.

58


( ) ( ) ( ) ( ) ( )k

rkxtk

x

xk

x

xtXtx q

pqpqepxk

qpxk

eeEtm−

−∞

=

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∑∑ t

t

00 e 1e 1

da cui

( )

( )

22

22

22

22212

2

22

22

02

2

2

01

pk q

p qk

pk q

p qkµµσVar(X)

pk q

p qk/tm

dtdµ

pk q/tm

dtdµ

tx

tx

=−+=−==

+==

==

=

=

2.7.5 Distribuzione Geometrica o di Pascal

Nell’ipotesi in cui, nella distribuzione Binomiale negativa, il numero k di successi desiderato

sia pari ad 1, si parla più propriamente di distribuzione Geometrica. Quindi, quest’ultima non è altro

che un caso particolare della Binomiale negativa quando k = 1 ed indica il numero di prove

necessario (o numero di prove necessarie prima di ottenere un successo, o numero di insuccessi

prima di ottenere un successo).

La distribuzione di probabilità Geometrica risulta utile in diverse situazioni. Per esempio, per

certi tipi di macchinari è noto che la probabilità p di rottura (successo) è la stessa ogni volta che il

macchinario viene impiegato e non aumenta all’aumentare del numero di volte in cui il macchinario

è stato utilizzato in precedenza. La qualità di un macchinario così fatto è, dunque, determinata da p:

quanto più p è basso tanto più il macchinario è affidabile. Un metodo per testare un macchinario di

questo tipo è utilizzarlo finché si manifesta la prima rottura, cioè calcolare la probabilità che la

rottura avvenga alla x-esima prova, dato un livello di probabilità pari a p.

Un altro esempio di applicabilità della distribuzione Geometrica si può rilevare nel settore

creditizio. Il responsabile per la concessione di prestiti di una banca deve tenere conto del fatto che

non può permettersi di concedere troppi prestiti che poi non andranno a buon fine (per i quali, cioè,

il cliente non sarà in grado di pagare gli interessi e/o di restituire il capitale ottenuto a prestito).

D’altra parte è altresì vero che è praticamente impossibile concedere prestiti del tutto esenti da

rischio. Indicando semplicemente con positivo/negativo l’esito che un qualsiasi prestito può avere e

59


con p5 la probabilità che venga concesso un prestito che avrà esito negativo, il responsabile per

l’erogazione dei finanziamenti è in grado di determinare per ogni cliente la probabilità che il

prossimo prestito che gli sarà concesso avrà esito negativo, avendo egli già onorato con esito

positivo i precedenti 10, 100, 1000 ... prestiti concessigli in passato.

2.7.6 Variabili Casuali Discrete: riepilogo

Prima di procedere con l’esposizione delle principali variabili casuali continue, si

riepilogano i punti salienti che caratterizzano e distinguono tra loro le variabili casuali discrete

considerate.

V.c. di Bernoulli

- Descrizione: numero di successi in una sola prova

- Parametro caratteristico: p = probabilità di ottenere un successo

- Supporto della v.c. X: x∈ 0, 1

- La prova può generare solo due eventi: successo (x = 1) o insuccesso (x = 0)

- Il numero di prove è fisso, pari ad 1.

V.c. Binomiale

- Descrizione: numero di successi in n prove (campionamento con ripetizione)

- Parametri caratteristici: p, la probabilità di ottenere un successo in ogni singola prova;

n, numero delle prove

- Supporto della v.c. X: x∈ 0, 1, 2, …., n

- Ogni prova è indipendente dalle altre

- Ogni prova può generare solo due eventi: successo (x = 1) o insuccesso (x = 0)

- La probabilità dell’evento “successo” è costante in tutte le prove

- Il numero di prove è fisso, pari ad n.

V.c. Ipergeometrica

- Descrizione: numero di successi in n prove (campionamento senza ripetizione)

- Parametri caratteristici: n, numero delle prove; K, numero di eventi “successo” possibili;

N, numero totale di eventi (successi e insuccessi) possibili

- Supporto della v.c. X: x∈ max(0, n – N + K), min (n, K)

5 La probabilità p non deve essere né troppo alta né troppo bassa: nel primo caso la banca rischierebbe di perdere troppo denaro, nel secondo caso, invece, si comporterebbe in maniera eccessivamente conservativa e non avrebbe la possibilità di spuntare margini di guadagno elevati.

60



- Il risultato di una prova modifica la probabilità (condizionata) di successo nelle prove

successive

- Il numero di prove è fisso, pari ad n.

V.c. di Poisson

- Descrizione: numero di successi in un ambito predefinito (di tempo o di spazio)

- Parametro caratteristico: λ, che indica sia la media che la varianza della variabile

casuale

- Supporto della v.c. X: x∈ 0, 1, 2, ….

- Il tasso medio λ di occorrenza dell’evento E è costante

- La manifestazione di ciascun evento è indipendente in ambiti che non si sovrappongono

- La probabilità di due o più manifestazioni degli eventi in ambiti che si sovrappongono

tende a zero.

V.c. Binomiale Negativa (prima definizione)

- Descrizione: numero di prove occorrenti perché si verifichino k successi

- Parametri caratteristici: p, la probabilità di ottenere un successo in ogni singola prova; k,

numero prefissato di successi che si desidera di ottenere

- Supporto della v.c. X: x∈ k, k+1, k+2, …



- Il numero di prove non è fisso, ma coincide con la v.c. X

- L’esperimento termina al verificarsi del k-esimo successo

V.c. Geometrica

- Descrizione: numero di prove occorrenti perché si verifichi il primo successo

- Parametri caratteristici: p, la probabilità di ottenere un successo in ogni singola prova

- Supporto della v.c. X: x∈ 0, 1, 2, …



- Il numero di prove non è fisso, ma coincide con la v.c. X

- L’esperimento termina al verificarsi del primo successo

61


2.8 Variabili casuali continue 2.8.1 Distribuzione normale

La distribuzione normale, o gaussiana, o degli errori accidentali, può essere considerata la più

importante tra le distribuzioni continue, soprattutto per le seguenti ragioni:

a) una vasta serie di esperimenti casuali ha associata una variabile casuale la cui distribuzione

è approssimativamente normale;

b) alcune variabili casuali che non sono distribuite normalmente, possono essere rese tali

mediante trasformazioni relativamente semplici;

c) alcune distribuzioni relativamente complicate, possono essere approssimate

sufficientemente bene dalla distribuzione normale;

d) alcune variabili casuali, che sono alla base di procedure per la verifica di ipotesi statistiche

o per la determinazione di intervalli di stima, o sono distribuite normalmente o derivano da tale

distribuzione.

Si deve, comunque, sottolineare che in passato si è esagerato sull'importanza, pure

notevolissima, della distribuzione normale. Un tale fatto è derivato soprattutto dal ruolo

fondamentale che la distribuzione ha giocato nella "teoria degli errori accidentali" e che ha spinto

diversi studiosi a ritenere che essa potesse riguardare praticamente tutti i fenomeni naturali. In

realtà, la giustificazione teorica del ruolo importantissimo che svolge la distribuzione normale nella

ricerca scientifica risiede soprattutto nel “teorema del limite centrale” o “teorema centrale del

limite”; di questo teorema si tratterà in seguito.

La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale è

2x

21

2

2 e2

1),;x(f)x(f⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−== σ

µ

πσσµ per -∞ ≤ x ≤ +∞

Ovviamente

1);;( 2 =∫+∞

∞−dxxf σµ

Si controlla facilmente che la distribuzione normale è simmetrica e che ha il massimo nel

punto x =µ. Si dimostra inoltre che i due parametri caratteristici µ e σ2 corrispondono proprio

62

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità alla media (momento primo rispetto all’origine) e alla varianza (momento secondo rispetto alla

media) della distribuzione.

∫÷∞

∞−= dxxfx ),;( 2σµµ

∫+∞

∞−−= dxxfx ),;()( 222 σµµσ

Per dimostrare che il valor medio (momento primo rispetto all’origine) della v.c. Normale è

proprio uguale al parametro µ e la varianza al parametro risulta conveniente introdurre la

funzione generatrice dei momenti della quale si farà anche largo uso nelle pagine successive.

2σ

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( )∫∫

∫∞+

∞−

−−−+∞+

∞−

−+−−−−

∞+

∞−

−−−−

⋅=

====

dxeedx

dxeeeEeeEtm

txttttxtx

xxtXtttXx

22222242422

2

22

2/2/2

21

2/1

21e

21

21)(

σσµσµσσµσµ

σ

µσµµµ

σπσπ

σπ

ma

( ) 1 21 222 2/ =∫

∞+

∞−

−−− dxe tx σσµ

σπ

quindi 2/22

)( ttx etm σµ +=

da cui

( ) ( )

( ) ( )[ ]

2222212

2

220

22/222/02

2

2

022/

02/

01

2222

2222

σµσµ

σµσσµ

µσµ

σµσµ

σµσµ

=−+=−==

+=++==

=+===

=++

=

=+

=+

=

µµσVar(X)

/ete/tmdtdµ

/te/edtd/tm

dtdµ

ttttt

tx

ttt

ttt

tx

Il momento terzo ed il momento quarto standardizzati (indice di simmetria e indice di curtosi)

sono dati rispettivamente, da:

∫∞+

∞−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== 0 ),;( 23

31 dxxfx σµσ

µµγ

63


∫∞+

∞−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== 3 ),;( 24

42 dxxfx σµσ

µµγ

Ovviamente, essendo la distribuzione normale simmetrica, l’indice γ1 assume valore zero.

L’indice assume, invece, valore negativo in caso di asimmetria a sinistra, valore positivo in caso di

asimmetria a destra, della distribuzione (cfr. Fig. 9).

Mentre l’asimmetria è definita in termini assoluti, la curtosi è un concetto relativo; infatti, si

può affermare che una distribuzione è platicurtica o leptocurtica solo se si fa riferimento alla

distribuzione normale. Essendo per quest’ultima distribuzione il valore assunto dall’indice di

curtosi pari a tre, si dirà platicurtica la distribuzione con valore dell’indice γ2 inferiore a tre,

leptocurtica la distribuzione con valore dell’indice γ2 maggiore di tre (cfr. Fig. 9).

Asimmetria positiva γ1 > 0 Asimmetria negativa

γ1 < 0

µ MoMe Mo Me µ

Distribuzione leptocurtica γ2 > 3

Distribuzione normale γ2 = 3

Distribuzione platicurtica γ2 < 3

Fig. 9 - Forma delle distribuzioni

La funzione di distribuzione della variabile casuale normale è:

dy eπσ

x)P(XF(x)µ)(y

σx 2

221

221 −−

∞−∫=≤=

Ricorrendo alla variabile casuale standardizzata Z = σ

µ−x si ha

64


F(z) = P(Z ≤ z) = ∫ ∞−

−z ydye

2

21

21π

i cui valori sono stati tabulati.

Si ricorda che tutte le variabili casuali espresse in forma standardizzata hanno valore medio

nullo e varianza pari ad uno.

Tenendo presente che

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤<−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤−

<−

=≤<=−σ

µσ

µσ

µσ

µσ

µ bZaPbXaPbXaPaFbF )()()(

Se si pone a = µ - σ e b = µ + σ si avrà, utilizzando le tavole della distribuzione normale

standardizzata, che

P (µ - σ< X ≤ µ + σ) = P(-1 < Z ≤ 1) ≈ 0,68

per a = µ - 2σ e b = µ + 2σ si ha

P (µ - 2σ < X ≤ µ + 2σ) = P(-2 < Z ≤ 2) ≈ 0,955

Per a = µ - 3σ e b = µ + 3σ si ha

P (µ - 3σ < X ≤ µ + 3σ) = P(-3 < Z ≤ 3) ≈ 0,997

Le relazioni sopra scritte portano a concludere che per qualunque variabile casuale normale:

• circa i due terzi dei valori sono contenuti nell'intervallo (µ - σ)⎯(µ + σ);

• circa il 95% dei valori sono contenuti nell'intervallo (µ - 2σ)⎯(µ + 2σ);

• circa il 99,7% dei valori (praticamente tutti) sono contenuti nell'intervallo

(µ - 3σ)⎯(µ + 3σ).

Ragionando in termini analoghi si ottiene

P (µ - 1,96σ < X ≤ µ + 1,96σ) = 0,95

P (µ - 2,58σ < X ≤ µ + 2,58 σ) = 0,99

P (µ - 3,29σ < X ≤ µ + 3,29σ) = 0,999

65


Esempio 2.25

Sia X una variabile casuale normale di media µ = -2 e varianza σ2 = 0,25; si vuol

determinare il valore della costante c in modo da soddisfare le relazioni:

a) P (X ≥ c) = 0,2; b) P (-c ≤ X ≤ -1) = 0,5;

c) P (-c ≤ X ≤ c) = 0,95; d) P (-2-c ≤ X ≤ -2+c) = 0,9.

Utilizzando la tavola, in cui sono riportati i valori della funzione di distribuzione della

variabile casuale normale standardizzata, si ottengono i seguenti risultati:

⇔=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +<−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≥=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≥−

=≥− 2,05,021

5,021

5,02)() cFcZPcZPcXPcXPa

σµ

σµ

579,1842,05,028,0

5,02

=⇔=+

⇔=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≤⇔ cccZP

( ) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−<−≤=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛≤≤

+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−≤

−≤

+−=−≤≤−−

5,0222

5,02

5,021

5,02)1() cZPZPZcPXcPXcPb

σµ

0285,2057,05,0

24772,05,0

25,05,0

2)2( =⇒−=−

⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⇔=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−= cccFcFF

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−<=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≤≤

+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≤

−≤

+−=≤≤−− 5,0

5,022

5,02

5,02

5,02

5,02)() cZPcZcPcXcPcXcPc

σµ

02,196,15,02975,0

5,0295,01

5,022 −=⇒=

+⇒=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⇔=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ += cccFcF

=<−≤=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤≤

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛≤

−≤

−=+−≤≤−−− )2()2(

5,05,05,05,0)22() cZPcZPcZcPcXcPcXcPd

σµ

823,0645,129,0)2()2( =⇒=⇒=−−= cccFcF

Esempio 2.26

Si supponga che le lamine d'acciaio prodotte da una certa industria debbano avere un

determinato spessore e che la produzione subisca delle piccole variazioni (in termini di spessore)

aventi carattere accidentale. Il fenomeno, spessore delle lamine d'acciaio prodotte, può essere

convenientemente rappresentato mediante un modello probabilistico di tipo normale. Sia X la

variabile casuale normale che interessa e si ammetta di conoscere la sua media µ = 10 mm. e la

sua varianza σ2 = 0,0004. Si vuol determinare la percentuale attesa di lamine difettose supposto

che:

66


a) siano difettose le lamine con spessore inferiore a 9,97 mm.;

b) siano difettose le lamine con spessore superiore a 10,05 mm.;

c) siano difettose le lamine che si discostano dalla media per più di |0,03| mm.

Si chiede inoltre:

d) Quale valore dovrebbe assumere la costante c affinché la percentuale attesa di lamine che

si discosta da 10 mm. per una quantità non superiore a c sia pari a 0,05;

e) come varierebbe la percentuale attesa di cui al punto d) e, relativamente al valore della

costante |c| trovato, nel caso in cui si avesse µ = 10,01.

Usando la tavola della distribuzione normale si ottengono i seguenti risultati:

a) - 067,0)5,1(02,0

1097,9)97,9( ≈−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=< FFXP

b) - 006,002,0

1005,101)05,10(1)05,10( ≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=≤−=> FXpXP

c) - P (X < 9,97) + P (X > 10,03) = 1 - P (9,97 ≤ X ≤ 10,03) = 1 - P (X ≤ 10,03)

+ P (X < 9,97) = 1 - F ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −02,0

1097,902,0

1003,10 F = 0,13

d) - Per quanto detto nel testo e visto nell'esempio precedente, si ottiene immediatamente

c = 1,96; σ = 1,96 . 0,02 = 0,039

e) - P (X < 10-0,039) + P (X > 10 + 0,039) = 1 - P (9,961 ≤ X ≤ 10,039) =

= 1 - F ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −02,0

01,10961,902,0

01,10039,10 F = 0,08

Esempio 2.27

La Goodstone Tire Company produce 2 milioni di pneumatici l’anno. Basandosi sui risultati

di precedenti esperimenti, i manager dell’azienda hanno accertato che ciascun pneumatico è in

grado di percorrere una media µ di 40.000 km con una deviazione standard σ di 10.000 km. E’

politica dell’azienda sostituire gratuitamente ogni pneumatico che duri meno di 28.000 km,

67

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità riconoscendo inoltre un risarcimento di 5,00 € al cliente. Assumendo che il pneumatico medio

abbia una distribuzione normale:

I) Qual è la probabilità che venga prodotto un pneumatico che duri almeno 55.000 km?

Quanti pneumatici di questo tipo saranno prodotti ogni anno?

II) Quanti pneumatici aventi una vita media compresa tra 25.000 km e 35.000 km

saranno prodotti in un anno?

III) Qual è il costo annuo atteso per i risarcimenti?

IV) Assumendo che un cliente acquisti un pneumatico che si colloca nel miglior 5% a

livello di qualità, quanti km ci si può aspettare che faccia?

Utilizzando le tavole della distribuzione Normale standardizzata otteniamo i seguenti

risultati:

I)

( ) ( ) 0668,09332,015,115,110000

4000055000)55000( =−=≤−=≥=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≥=≥ ZPZPZPXP

Quindi, la probabilità che un pneumatico sia in grado di percorrere almeno 55.000 km è pari

al 6,68%. In un anno saranno prodotti 600.1330668,0000.000.2 =⋅ pneumatici di questo tipo.

II)

Per X = 35.000 ⇒ Z = (35.000-40.000)/10.000 = - 0,5

Per X = 25.000 ⇒ Z = (25.000 – 40.000)/10.000 = - 1,5

Quindi,

( ) 2417,00668,03085,0)5,1()5,0()5,05,1(000.35000.25 =−=−−−=−≤≤−=≤≤ FFZPXP

Di conseguenza, saranno prodotti 400.4832417,0000.000.2 =⋅ pneumatici l’anno con una

capacità di uso compresa tra i 25.000 e i 35.000 km.

III)

La probabilità che un pneumatico abbia una durata di vita inferiore ai 28.000 km è data,

analogamente ai casi appena visti, da:

( ) 1151,0)2,1(000.10

000.40000.28000.28 =−≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤=≤ ZPZPXP

Perciò il costo totale che l’azienda dovrà sostenere per il risarcimento è pari a:

000.151.100,51151,0000.000.2 =⋅⋅ €

IV)

65,195,005,01)(05,0)(1)()( =⇔=−=≤⇒=≤−=≥=≥ zzZPzZPzZPxXP

68


kmxxz 500.56000.4065,1000.1065,1000.10

000.40=+⋅=⇒=

−=

Quindi, ci si può aspettare che un pneumatico che si colloca nel miglior 5% percorra

perlomeno 56.500 km.

Esempio 2.28

L’Ufficio del Personale dell’azienda Beta sta riconsiderando la sua politica di assunzione.

Ciascun candidato per un certo lavoro deve superare un esame tecnico e psico-attitudinale iniziale.

Da un’analisi svolta si è rilevato che i punteggi conseguiti dai vari candidati si distribuiscono

normalmente con media pari a 525 e deviazione standard pari a 55.

L’attuale politica di assunzione si solge in due fasi. Durante la prima fase i candidati

vengono separati in tre categorie: candidati automaticamente accettati, candidati automaticamente

rifiutati, candidati incerti. L’accettazione automatica si ha quando il punteggio conseguito è

perlomeno pari a 600; il rifiuto automatico si ha quando il punteggio conseguito non supera 425.

In merito agli incerti, il responsabile del personale procede alla seconda fase della selezione,

basando la sua scelta su vari elementi, quali eventuali precedenti esperienze di lavoro, attitudini e

conoscenze particolari ecc.

Il responsabile del personale dell’azienda Beta vuole conoscere, in primo luogo, I) la

percentuale di candidati che automaticamente vengono accettati o rifiutati; in secondo luogo, II)

vuole conoscere come varierebbero i punteggi di discriminazione, nel caso in cui si decida di

accettare automaticamente il 15% dei migliori candidati e di rifiutare automaticamente il 10% dei

peggiori.

Indicando con X la v.c. punteggio conseguito e rifacendosi alle tavole della distribuzione

Normale standardizzata, si ottengono le seguenti soluzioni:

I)

%45,3)82,1(55

525425)425( =−≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤=≤ ZPZPXP

%63,8)36,1(1)36,1(55

525600)600( =≤−=≥=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≥=≥ ZPZPZPXP

Quindi, il 3,45% circa dei candidati sarà automaticamente rifiutato, mentre l’8,63% sarà

automaticamente accettato.

II)

4555255527,127,110,0)(55525)( =+⋅−=⇒−=⇒=≤=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤=≤ xzzZPxZPxXP

69


85,0)()(115,0)(55525)( =≤⇒≤−==≥=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≥=≥ zZPzZPzZPxZPxXP

5825255504,104,1 =+⋅=⇒=⇒ xz

Quindi, se l’azienda Beta vuole incrementare sia il numero di candidati accettati

automaticamente (dall’8,63% al 15%) che quello dei candidati rifiutati automaticamente (dal

3,45% al 10%) dovrà restringere l’intervallo degli “incerti” innalzando il punteggio limite del

rifiuto automatico da 425 a 455 e abbassando il punteggio dell'accettazione automatica da 600 a

582.

Si dimostra che, per n sufficientemente grande, la distribuzione binomiale, la cui funzione di

massa di probabilità è, come già detto pari a

xnx qpxn

pnxf −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=),;(

può essere approssimata abbastanza bene dalla distribuzione normale con valore medio µ = np e

con varianza σ2 = npq; cioè, dalla distribuzione normale con funzione di densità di probabilità

2)(2

1

21)(

npxnpqe

npqxf

−−

=π

Come regola generale l’approssimazione della Binomiale con la Normale può essere utilizzata

quando sia np che np(1-p) sono maggiori di 5; inoltre, l’approssimazione è tanto più buona quanto

più p è prossimo a 0,5.

Esempio 2.29

Da un’indagine di mercato risulta che circa il 70% dei clienti adulti che entrano in un grande

magazzino effettua un acquisto. Per verificare questo dato, il management di un certo centro

commerciale seleziona casualmente 200 adulti e, mentre escono dal negozio, gli chiede se hanno

effettuato almeno un acquisto. Se la ricerca di mercato è corretta, qual è la probabilità che almeno

150 soggetti del campione selezionato abbiano effettuato un acquisto?

Indicando con X la v.c. numero di clienti che hanno effettuato almeno un acquisto, allora X

ha una distribuzione Binomiale con parametri n = 200 e p = 0,70. Per trovare la probabilità esatta,

è necessario risolvere la seguente equazione:

70


∑=

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≥

200

150

20030,070,0200

)150(x

xx

xXP

In mancanza di un computer è piuttosto difficile e lungo risolvere tale equazione; in

alternativa si può, dunque, ricorrere all’approssimazione tramite la v.c Normale di media

14070,0200 =⋅== npµ e deviazione standard 5,63,07,0200)1( =⋅⋅=−= pnpσ :

54,15,6140150

=−

=z

%18,69382,01)54,1(1)54,1( =−=≤−=≥ ZPzP

Quindi, la probabilità che almeno 150 clienti tra i 200 selezionati casualmente abbiano

effettuato almeno un acquisto all’interno del centro commerciale è pari al 6,18%.

2.8.2 Distribuzione Gamma

Una distribuzione di probabilità molto importante nell’ambito della Teoria delle Decisioni è la

distribuzione Gamma. Questa distribuzione viene utilizzata come modello per fenomeni dipendenti

dal tempo o, in termini più generali, per fenomeni di cui interessa la durata (di vita, di resistenza, di

funzionamento ecc.). Essa può essere più facilmente compresa se messa in relazione con la

distribuzione discreta di Poisson. Nella distribuzione di Poisson la variabile casuale X rappresenta

il numero di successi, mentre lo spazio campionario è fissato; in questo tipo di distribuzione l’unico

parametro coinvolto è il numero λ di successi nell’unità di tempo (o di spazio o di volume).

Viceversa, nella distribuzione continua Gamma la variabile casuale diventa lo spazio campionario,

mentre il numero di successi è fissato. In altri termini, mentre la Poisson fornisce la probabilità che

x successi si manifestino in un certo intervallo di tempo (o di spazio o di volume), noto il numero

medio di successi per unità di tempo (o di spazio o di volume); la distribuzione Gamma fornisce la

probabilità che un tempo X = x sia necessario affinché si manifesti un certo numero prefissato k di

successi, noto il tasso di manifestazione λ di successi per unità di tempo. I parametri della

distribuzione Gamma sono, quindi, due: il numero k di successi che si desidera ottenere e il tasso di

manifestazione medio λ di successi per unità di tempo.

La funzione di densità di probabilità della v.c. Gamma è data da:

βααβα

βαx

exxfxXP−

−

Γ=== 1

)(1),;()( 0 e 0 ,0per >>+∞≤≤ βαx

71


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )22

12

202

2

2

01

0

1

0

1

0

1

)var(

1 /

/ 1 /

cui da

1)(1

)(1)()(

βαµµ

αβαµ

βαββαµ

ββ

β

α

αββ

αα

βαα

=−=

+==

=−−−==

−=Γ

=

=Γ

==

=

=−−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

∞ −

∞ −−

∫

∫

X

tmdtd

ttmdtd

tdxexk

dxexek

eEtm

tx

ttx

tx

xtxtX

x

2.8.3 Distribuzione Esponenziale Negativa

Per k = 1 la distribuzione Gamma prende nome di distribuzione Esponenziale negativa( a

ragione della forma assunta, che è appunto quella di una funzione esponenziale negativa). Di

conseguenza, se la distribuzione Gamma è utilizzata come modello per determinare la probabilità

che sia necessario un intervallo di tempo X = x affinché si ottenga la k-esima manifestazione

dell’evento d’interesse, a sua volta la distribuzione Esponenziale può essere utilizzata per

determinare la probabilità che sia necessario un intervallo di tempo X = x affinché si abbia la prima

manifestazione dell’evento d’interesse.

La funzione di densità di probabilità dell’Esponenziale si ottiene ponendo 1=α nella funzione

di densità di probabilità Gamma:

β

ββ

x

exfxXP−

=== 1);()( 0 ,0per >+∞≤≤ βx

Da cui

( )

2

1

)var(

cui da 1)()(

β

βµ

β

=

=

−== −

X

teEtm tXx

72


Esempio 2.33

La funzione delle probabilità cumulate dell’esponenziale negativa assume particolare

significato quando l’evento d’interesse è il guasto di un macchinario o di una sua parte. In tal caso,

ponendo β

λ 1= , λ diventa il tasso di rottura di quel macchinario per unità di tempo e la funzione

delle probabilità cumulate fornisce la probabilità che il macchinario si guasti prima del tempo X =

x. In realtà, è di maggiore interesse conoscere la probabilità che il macchinario non si guasti prima

di un certo tempo x: tale probabilità è semplicemente . Tale funzione è spesso

chiamata “funzione di attendibilità” ed è usata per determinare l’attendibilità o, analogamente, la

probabilità che non si verifichi nessun guasto entro certi tempi per certi tipi di macchinario.

Affinché la funzione di attendibilità sia un buon modello è, però, necessario che il macchinario

d’interesse abbia un tasso di rottura λ costante nel tempo; in caso contrario l’Esponenziale non

fornisce un buon modello per verificare l’affidabilità del macchinario.

xexF λ−=− )(1

Un utile aspetto della funzione di attendibilità è che tramite essa è possibile conoscere

l’affidabilità di un intero sistema produttivo costituito da una serie di macchinari M1, M2, .... Mn,

aventi, rispettivamente, tassi di fallimento λ1, λ2, ..., λn costanti, così da valutare oggettivamente la

possibilità di ultimare una certa produzione entro il termine di consegna x. Infatti, l’affidabilità A

dell’intero sistema è data da:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑=

n

iixA

1

exp λ

e il tasso di fallimento dell’intero sistema è semplicemente la somma dei tassi di fallimento delle

singole componenti.

Si consideri, ad esempio, un’azienda produttrice di computer che sta per lanciare sul mercato

un nuovo tipo di stampante: uno dei principali fattori critici per il successo di questo nuovo

prodotto è stato individuato dai manager dell’azienda nel suo effettivo corretto funzionamento.

Infatti, se la stampante dovesse rompersi, ne risentirebbero negativamente la soddisfazione del

consumatore e, quindi, il livello delle vendite future di tutti i prodotti dell’azienda. Prima del lancio

sul mercato, il management dell’azienda vorrebbe, dunque, avere maggiori informazioni sul grado

di affidabilità del nuovo prodotto, in termini di guasti che lo stesso potrebbe presentare nel termine

di un anno dall’acquisto da parte del cliente. A tal proposito il responsabile tecnico della

produzione sa che tutte le componenti la stampante sono già state ampiamente usate e testate da

anni su altri prodotti dell’azienda e sono altamente affidabili; l’unica eccezione è rappresentata da

un sensore elettrico che entra in funzione ogni volta che la stampante viene predisposta per un tipo

73

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità di carta più grande del classico A4. Egli stima che il dispositivo venga attivato in media 10 volte

all’anno. Il modello esponenziale fornisce, in questo caso, la probabilità di “sopravvivenza” del

singolo prodotto, tramite l’espressione , dove x rappresenta una misura del

tempo di sopravvivenza. Poiché il tempo è misurato in termini di numero di volte in cui il

dispositivo elettrico viene attivato, cioè 10, allora si può porre x = 10. L’unico parametro

sconosciuto, a questo punto, rimane λ, il tasso di fallimento. A questo proposito il responsabile

tecnico acquista un certo numero di dispositivi elettrici e li sottopone a 10.000 cicli di

accendimento e spengimento: il numero di guasti osservati è di 7 sul totale di 10.000 cicli. Dunque,

il responsabile tecnico stima il tasso di fallimento del sensore pari a

xexXP λ−=≥ )(

0007,0000.10/7 ==λ . Di

conseguenza, , cioè la probabilità che una

stampante funzioni adeguatamente per almeno un anno senza presentare guasti è pari al 99,3%.

%3,99993,0)( 007,0100007,0 =====≥ −⋅−− eeexXP xλ

2.8.4 Distribuzione χ2 (di Pizzetti-Pearson)

Se nella distribuzione Gamma si pone 2n

=α (n intero positivo) e 2=β si ottiene una

importante v.c generalmente indicata con il simbolo (v.c. chi quadro) la cui funzione di densità

è:

2nχ

2/1)2/(2/ )2/(2

1);()( xnn ex

nnxfxf −−

Γ== per x ≥ 0

Dove il parametro n rappresenta i gradi di libertà della distribuzione χ2.

La curva della distribuzione χ2 è monotona per n = 1 e n = 2; per n > 2 ha un massimo nel

punto x = n - 2.

La funzione generatrice dei momenti media è la varianza sono di seguito riportati

( )

nXn

teEtmn

tXx

2)var(

e 21)()( 2

==

−== −

µ

Se Z è una variabile casuale normale standardizzata, cioè una variabile casuale normale con

media uguale a zero e varianza uguale ad uno, la variabile casuale X = Z2 ,definita nell’intervallo

0⎯+∞ , è una variabile del tipo χ2 (chi quadro) con un grado di libertà. In generale, se X1,

74

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità X2,...,Xn sono variabili casuali normali standardizzate (cioè con valor medio nullo e varianza

unitaria) indipendenti (in probabilità o stocasticamente indipendenti), la somma dei loro quadrati X

= X12 + X2

2 + ...+Xn2 dà luogo ad una variabile casuale,

Si dimostra che la variabile casuale standardizzata tende, al crescere di n, alla

distribuzione normale standardizzata, ne deriva quindi una possibilità di approssimazione della v.c.

χ2 mediante la v.c. normale per n sufficientemente elevato. Si dimostra inoltre che la somma di k

variabili casuali del tipo χ2, stocasticamente indipendenti e con gradi di libertà rispettivamente pari

a n

2nχ

1, n

2, ...,n

k, è ancora una variabile casuale χ2 con gradi di libertà (proprietà additiva

o riproduttiva del χ2).

∑=

=k

iing

1

Esempio 2.30

Sia X una variabile casuale del tipo χ2 con 5 gradi di libertà. Si vogliono determinare le

costanti c, c1 e c

2 in modo che sia:

a) P (X ≤ c) = 0,10

b) P (X > c) = 0,05

c) P (c1 < X ≤ c2) = 0,95 per c1 < c2

Utilizzando le tavole della distribuzione χ2 si avrà

a) - P (X ≤ c) = F(c) = 0,10 => c = 1,61

b) - P (X > c) = 1 - p (X ≤ c) = 1 - F(c) = 0,05 => c = 11,1

c) - In relazione a questo quesito, va detto che esistono infinite coppie di valori (c1, c

2) capaci

di soddisfare la condizione posta, si potrebbe ad esempio suddividere la probabilità 0,05 in modo da

avere un livello pari a 0,01 alla sinistra di c1 ed un intervallo 0,04 alla destra di c2, oppure 0,02 a

sinistra di c1 e 0,03 a destra di c2 ecc.; usualmente, a meno che non vi siano particolari ragioni per

specificare altrimenti, si suddivide la probabilità in parti uguali, così facendo si avrà

P (X ≤ c1) = F(c1) = 0,025 => c1 = 0,831

P (X > c2) = 1 - P (X ≤ c2) = 0,025 => c2 = 12,8

75


da cui

P (c1 < X ≤ c2) = P (0,831 < X ≤ 12,8) = 0,95

2.8.5 Distribuzione Beta

La distribuzione Beta è considerata la distribuzione base per le variabili casuali limitate

inferiormente e superiormente ed è particolarmente rilevante in quanto utilizzata come modello per

descrivere la distribuzione dello stimatore del parametro p della v.c. Binomiale.

La v.c. Beta, definita su un intervallo finito [a,b], dipende da quattro parametri (a, b, m, n) e

possiede la seguente funzione di densità di probabilità:

1

11

)()()(

),(1)( −+

−−

−−−

= nm

mm

abxbax

nmBxf per 00 >>≤≤ e nb, mxa .

La funzione matematica B(m,n) è in relazione la funzione gamma Γ, già introdotta quando si

è trattata la variabile casuale . La relazione è: 2χ

( ) ( )( ) ( )

( )!1!1!1)()(,

−+−−

=+ΓΓΓ

=nm

nmnmnmnmB

la cui espressione analitica è

( ) ( ) 0 e 0per 1, 11

0

1 >>−= −−∫ nmdxxxnmB nm

Nella generalità dei casi, la variabile casuale Beta viene definita sull’intervallo unitario [0,1]

e, quindi, la funzione di densità diventa:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1111 1)!1()!1(

)!1(1),(

1)( −−−− −−−

−+=−= nmnm xx

nmnmxx

nmBxf con 10 ≤≤ x

La media e la varianza della distribuzione Beta sono date da:

nmm+

=µ e ( ) ( )12

2

+++=

nmnmmnσ

Al variare del valore dei parametri m ed n, la funzione di densità Beta può assumere un gran

numero di forme diverse: per questo viene utilizzata come modello per esperimenti per i quali una

di tali forme risulti adeguata.

76

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità 2.8.6 Distribuzione Uniforme Continua

La distribuzione Uniforme Continua si configura come caso particolare della distribuzione

Beta ponendo m = n = 1. Tale distribuzione, che ha scarse applicazioni pratiche, viene impiegata

per descrivere situazioni in cui la variabile X è distribuita uniformemente in un certo intervallo.

Questo comporta che sottointervalli di pari ampiezza hanno tutti la stessa probabilità, così che la

funzione di densità di probabilità assume una forma rettangolare, esplicitata dalla seguente

relazione.

abxf

−=

1)( con +∞<<<<∞− bxa

La funzione di ripartizione F(x) è pari a:

abaxxF

−−

=)( con bxa <<

e la media e la varianza: 2

)( baXE += ; ( )

12)(

22 abX −

=σ .

2.8.7 Distribuzione t (di Student)

La c.d. distribuzione t è stata introdotta dal chimico W.S. Gosset nel 1908 sotto lo

pseudonimo di "Student".

La distribuzione t è relativa alla variabile casuale

nYZX

/=

dove:

• Z è una variabile casuale normale standardizzata;

• Y è una variabile casuale χ2 con n gradi di libertà;

• Z e Y sono variabili stocasticamente indipendenti.

La distribuzione t ha funzione di densità di probabilità

77


21

2

1

1

2

21

);()( +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ== n

nxnn

n

nxfxfπ

per +∞≤≤∞− x

è simmetrica ed ha un massimo nel punto t = 0. La media è µ = 0 per n ≥2 , mentre non esiste per

n = 1; la varianza non esiste per n = 1, 2 mentre per n ≥ 3 la varianza è data da 2

2

−=

nnσ

Al crescere di n la distribuzione t tende alla distribuzione normale standardizzata; un buona

approssimazione si ottiene anche per n relativamente piccolo ( n > 30 ).

Esempio 2.31

Sia X una variabile casuale del tipo t di Student con 9 gradi di libertà. Si vogliono

determinare i valori della costante c che soddisfano le relazioni: a) P(X > c) = 0,05; b) P(X < c) =

0,05; c)P(-k < X ≤ k) = 0,99; d) P(0 < X ≤ c) = 0,475.

Utilizzando le tavole della distribuzione t e ricordando la simmetria di tale distribuzione, si

ottiene

a)- P (X > c) = 1 - P (X ≤ c) = 1 - F(c) = 0,05 => c = 1,83

b)- P (X ≤ c) = F(c) = 0,05 => c = -1,83

c)- P (-c < X ≤ c) = P (X < c) - P (X ≤ c) = F(c) - F(-c) = F(c) - [ 1 - F(c) ] =

0,99 => c = 3,25

d)- P (0 < X ≤ c) = P (X ≤ c) - P (X ≤ 0) = F(c) - 0,5 = 0,475 => c = 2,26

2.8.8 Distribuzione F (di Fisher- Snedecor)

La distribuzione F è relativa alla variabile

2

1

//nYnVX =

dove V e Y sono due variabili casuali del tipo χ2, con gradi di libertà rispettivamente pari a n1 e n

2,

distribuite indipendentemente. Si noti che l'ordine dei gradi di libertà n1 e n2 è fondamentale,

infatti si verifica facilmente che le due variabili casuali e hanno la stessa distribuzione. 21 ,nnF 1

, 12

−nnF

78


La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale X di tipo F, con n1 e n2 gradi

di libertà, risulta essere

2/)(21

1)2/(

21

2/2

2/1

21

21 21

1

21

)(22

2),;()( nn

nnn

nxnx

nn

nnnn

nnxfxf +

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Γ== per 0 ≤ x ≤ +∞

La media e la varianza sono date da.

)4()2()2(2

;1 2

221

1222

2

2

−−

−+=

−=

nnnnnn

nn

σµ

Esempio 2.32

Sia X una variabile casuale del tipo F con n1 = 7 e n2 = 10 gradi di libertà. Si vogliono

determinare i valori della costante c che soddisfano le relazioni:

a) P (X ≤ c) = 0,95 ; b) P (X ≤ c) = 0,01.

Utilizzando la tavola della distribuzione F si ottiene

a) P (X ≤ c) = F7,10(c) = 0,95 => c = 3,14

b) - Per quanto detto nel testo risulta l'uguaglianza

F7,10(c) = 1 - F10,7(1/c), per cui

P (X ≤ c) = F7,10(c) = 0,01 <=> 1 - F10,7 (1/c) = 0,01 => 1c

= 3,64 => c = 0,27.

2.8.9 Variabili casuali continue: riepilogo

Di seguito è riportato riepilogo delle variabili casuali continue considerate.

V.c. Normale

- E’ la distribuzione su cui è basata principalmente tutta l’inferenza statistica; grazie al

teorema del limite centrale (esposto più avanti) è adatta a numerose applicazioni

79


- Parametri caratteristici: la media µ e la varianza σ2

- Forma della funzione di densità: campanulare simmetrica con indice di curtosi pari a 3

V.c. Gamma

- Fornisce la distribuzione del tempo necessario affinché si realizzino k eventi indipendenti

quando il tasso di realizzazione è costante

- Parametri caratteristici: k, il numero di successi desiderati; λ, il tasso di realizzazione di un

successo per unità di tempo

- Forma della funzione di densità: asimmetrica positiva con una moda, quando k 1;

altrimenti decresce monotonicamente a partire dall’origine.

≥

V.c. Esponenziale negativa

- Deriva dalla v.c. Gamma quando k = 1. Fornisce la probabilità dell’intervallo di tempo

necessario affinché si realizzino due eventi indipendenti con tasso di realizzazione

costante

- Parametri caratteristici: λ, il tasso di realizzazione di un successo per unità di tempo

- Forma della funzione di densità: esponenziale

V.c. Chi – quadro di Pizzetti-Pearson

- Deriva dalla somma di n variabili casuali normali standardizzate

- Parametri caratteristici: n, il numero di gradi di libertà

- Forma della funzione di densità: asimmetrica positiva con indice di curtosi maggiore di 3.

Per n tendente ad ∞, assume una forma sempre più vicina alla Normale

-

V.c. Beta

- Distribuzione base per le variabili casuali limitate inferiormente e superiormente. E’

impiegata come modello per descrivere la distribuzione degli stimatori dei parametri di

alcune variabili casuali

- Parametri caratteristici: m ed n, che definiscono la forma e i momenti caratteristici della

funzione

- Forma della funzione di densità: varia notevolmente al variare di m ed n. Per es., se m = n,

la funzione è simmetrica rispetto ad x = ½; altrimenti è asimmetrica. Scambiando m con n

si riflette la forma della distribuzione rispetto al suo asse di simmetria. Se sia m che n

sono entrambi maggiori di 1, allora la funzione mostra una moda, altrimenti, se sono

entrambi minori di 1, presenta una forma ad U e, quindi, una “antimoda”. Quando (m-1)

(n-1) 0, la funzione presenta una forma a “J”. ≤

80


V.c. Uniforme (rettangolare)

- E’ un caso particolare della v.c. Beta. Fornisce la probabilità del realizzarsi di eventi

all’interno di un certo intervallo, quando la probabilità di realizzazione è proporzionale

all’ampiezza dell’intervallo.

- Parametri caratteristici: a e b, che delimitano l’intervallo di variabilità di x

- Forma della funzione di densità: è un segmento parallelo all’asse delle ascisse

nell’intervallo (a, b).

V.c. t di Student

- Deriva dal rapporto tra una Normale standardizzata e la radice quadrata di una v.c. Chi –

quadrato divisa per i suoi gradi di libertà

- Parametri caratteristici: n, il numero di gradi di libertà

- Forma della funzione di densità: simmetrica con media nel punto 0 (se n = 1 però la media

non esiste). Per n tendente ad ∞, assume una forma sempre più vicina alla Normale.

V.c. F di Fisher-Snedecor

- Deriva dal rapporto di due v. c. Chi – quadrato, ciascuna divisa per i rispettivi gradi di

libertà (n1 ed n2)

- Parametri caratteristici: n1 ed n2, i gradi di libertà

- Forma della funzione di densità: asimmetrica positiva.

81

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità 2.9 Variabili casuali multidimensionali

Nelle pagine precedenti sono state introdotte le variabili casuali semplici, cioè delle funzioni

che soddisfano a certe condizioni e che associano a ciascun evento elementare (punto dello spazio

campionario) un numero reale. Ωω∈

L’estensione al caso multidimensionale o multivariato non presenta difficoltà di ordine logico,

si tratta, infatti, di definire un’analoga funzione che associa a ciascun evento elementare non più un

numero ma una k-upla (k ≥ 2) ordinata di numeri reali.

Definizione 8 - Si dice variabile casuale (vettore casuale) a k dimensioni una funzione

X(ω) [ xxxxX k == ),...,,()( 21 ]ω a valori reali in Rk (spazio euclideo a k dimensioni) definita su Ω

per la quale vale la relazione

[ BxXA ∈≤Ω∈= )(/ ]ωω per ogni x ∈ Rk ; dove x = (x1,x2,...,xk).

Quindi la variabile casuale a k dimensioni è una funzione a k componenti che fa

corrispondere a ciascun punto campionario una k-upla ordinata di numeri reali; inoltre, essendo A ∈

B elemento dell’algebra di Boole costruita sugli eventi (ω ∈ Ω) è possibile determinare la sua

misura di probabilità

( ) [ ] [ ]=≤=≤Ω∈= xXPxXPAP )()(/ ωωω

= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=≤∩∩≤∩≤=≤ kk xXxXxXPxXP …2211

= F(x1,x2, ..., xk) = F(x)

che definisce la funzione di distribuzione o funzione di ripartizione o funzione delle

probabilità cumulate della variabile casuale a k dimensioni (vettore casuale) X = (X1,X2, ..., Xk).

La variabile casuale multipla X = (X1, X2, ..., Xk) è discreta se tutte le componenti possono

assumere soltanto un numero finito o un’infinità numerabile di valori reali distinti, è invece

continua se tutte le componenti possono assumere un’infinità non numerabile di valori (tutti i

valori in intervalli dell’asse reale); si parla di variabili casuali miste, quando alcune componenti

sono discrete, altre continue.

La funzione di distribuzione F(x) gode di proprietà analoghe a quelle già viste a proposito

della funzione di distribuzione per variabili casuali semplici F(x) . Infatti, la funzione di

distribuzione F(x) = F(x1,x2, ..., xk):

i) è monotona non decrescente rispetto a tutti gli argomenti;

82


ii) valgono i limiti

1),...,,(lim 21

21

=

+∞→

+∞→+∞→ k

x

xx

xxxF

k

per i = 1,2,...,k 0),...,,...,,(lim 21 =−∞→ kix

xxxxFi

lim ( , ,..., ,..., )x i k

i

F x x x x→+∞

=1 2

per i = 1,2,...,k ),...,,,...,,( 1121 kii xxxxxF +−=

dove è la funzione di distribuzione della variabile casuale a k-1

dimensioni (X

),...,,,...,,( 1121 kii xxxxxF +−

1, X2, ..., Xi-1, Xi+1 ,..., Xk).

iii) è continua a destra rispetto a tutti gli argomenti nel caso discreto, è assolutamente

continua rispetto a tutti gli argomenti nel caso continuo.

Analogamente a quanto già fatto per le variabili casuali semplici, dalla funzione di

distribuzione possono essere ricavate in modo univoco, rispettivamente, nel caso discreto e nel

caso continuo, la funzione di massa di probabilità

( ) ( ) ( )[ ]kskjiksji xXxXxXPxxxf =∩∩=∩== …221121 ),...,,(

e la funzione di densità di probabilità

),...,,(),...,,( 2121

21 kk

k

k xxxFxxx

xxxf∂⋅⋅∂⋅∂

∂=

…

Per la funzione di massa di probabilità valgono le proprietà:

0 ≤ f(x1i, x2j, ... , xks) ≤ 1 , ... ( , ,..., )ji i j kss

f x x x∑∑ ∑ =1 2 1

mentre per la funzione di densità valgono le proprietà

f(x1, x2, ... , xk) ≥ 0 ; 1...),...,,(... 2121 =∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−kk dxdxdxxxxf

83


Tra la funzione di distribuzione e la funzione di massa di probabilità, nel caso discreto, di

densità di probabilità, nel caso continuo, esiste una corrispondenza biunivoca e le funzioni stesse

identificano completamente la variabile casuale multipla X = (X1, X2, ..., Xk).

Le variabili casuali semplici X1, X2, ..., Xi, ..., Xk , componenti la variabile casuale multipla

(X1, X2, ..., Xi, ..., Xk), si dicono indipendenti in probabilità o statisticamente indipendenti se

vale la relazione

F(x1, x2, ..., xk) = F(x1) ⋅ F(x2) ⋅ ... ⋅ F(xk)

od anche

f(x1i, x2j, ..., xks) = f(x1i) ⋅ f(x2j) ⋅ ... ⋅ f(xks) nel discreto

f(x1, x2, ..., xk) = f(x1) ⋅ f(x2) ⋅ ... ⋅ f(xk) nel continuo

Si consideri ora il caso k = 2, cioè la variabile casuale doppia o variabile casuale a due

dimensioni (X1, X2) = (X, Y) , dove, per semplificare la notazione algebrica, si è posto X1 = X e X2

= Y .

La variabile casuale doppia (X, Y) è completamente individuata dalla sua funzione di

distribuzione

[ ])()(),( yYxXPyxF ≤∩≤=

od anche:

i) dalla sua funzione di massa di probabilità nel caso discreto

[ ] ijijji

jijijijiji

fpyYxXP

yxFyxFyxFyxFyxf

===∩==

=+−−= −−−−

)()(

),(),(),(),(),( 1111

per i=1,2,...,h e j=1,2,...,k (h e/o k possono assumere anche il valore +∞);

ii) dalla sua funzione di densità di probabilità nel caso continuo

),(),(2

yxFyx

yxf∂⋅∂

∂=

84


≤

≤

per a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d (a e/o c possono tendere al valore -∞, b e/o d possono tendere al

valore +∞).

Valgono, ovviamente, le relazioni

0 ≤ f(xi , yj) ≤ 1 , ∑∑= =

=h

i

k

jji yxf

1 11),(

f(x , y) ≥ 0 , ∫∫ =d

c

b

a

dydxyxf 1),(

inoltre

f x y f y per j ki j ji

h

( , ) ( ) , ,...,= ==∑ 1 2

1

f x y f x per i hi j ij

k

( , ) ( ) , ,...,= ==∑ 1 2

1

a

b

f x y dx f y per c y d∫ = ≤( , ) ( )

c

d

f x y dy f x per a x b∫ = ≤( , ) ( )

che forniscono le funzioni di massa e di densità di probabilità delle variabili casuali semplici

componenti la variabile casuale doppia (variabili casuali marginali).

Una variabile casuale doppia discreta viene usualmente rappresentata in una tabella a doppia

entrata del tipo

85


Y X

y1 y2 ... yj ... yk

x1 p11 p12 ... p1j ... p1k p1.

x2 p21 p22 ... p2j ... p2k p2.

xi pi1 pi2 ... pij ... pik pi.

xh ph1 ph2 ... phj ... phk ph.

p.1 p.2 ... p.j ... p.k 1

Tab. 1 - Schema di tabella a doppia entrata per la variabile casuale doppia discreta (Xi,Yj)

dove

[ ])()(),( jijiijij yYxXPyxffp =∩====

per i = 1,2,...,h ∑=

=k

jiji pp

1.

per j = 1,2,...,k ∑=

=h

iijj pp

1.

11 1

.. ==∑∑= =

h

i

k

jijpp

Le due variabili casuali semplici X ed Y, componenti la variabile casuale doppia (X, Y), sono

indipendenti statisticamente, o indipendenti in probabilità se

[ ] )()(),()()()()( .. jijijijijiij yfxfyxfyYPxXPyYxXP p p p ⋅===⋅===∩==⋅=

Se le due componenti, come avviene nella generalità dei casi, non sono indipendenti,

interesserà, per un verso, la misura dell’eventuale relazione, per altro verso, l’analisi delle

cosiddette variabili casuali condizionate che, riferendosi per semplicità sempre al caso discreto,

sono definite dalle relazioni:

i) variabili casuali condizionate X/⋅

(X/Y = yj) = X/yj per j = 1,2,...,k

con funzioni di massa condizionata

86


f(xi/yj) = )(

),(

j

ji

yfyxf

per i = 1,2,...,h ; j = 1,2,...,k

ii) variabili casuali condizionate Y/⋅

(Y/X = xi) = Y/ xi per i = 1,2,...,h

con funzioni di massa condizionata

f(yj/xi) = )(

),(

i

ji

xfyxf

per i = 1,2,...,h ; j = 1,2,...,k

Si hanno, pertanto, k variabili condizionate X/yj (tante quante sono le modalità della

variabile condizionante Y) e h variabili condizionate Y/xi (tante quante sono le modalità della

variabile condizionante X).

Ovviamente, nel caso continuo le variabili casuali condizionate (X/Y = y) = X/y e (Y/X = x)

= Y/x saranno in numero infinito.

La funzione di distribuzione o le funzioni di massa o di densità di probabilità descrivono in

modo completo sia la variabile casuale doppia che le variabili casuali semplici (variabili casuali

marginali) componenti la variabile casuale doppia e le variabili casuali condizionate. Come già

evidenziato a proposito delle variabili casuali semplici può risultare comunque conveniente una

descrizione sintetica (e quindi parziale) delle variabili casuali doppie. Un modo per procedere nella

sintesi, analogamente a quanto si è fatto per le variabili casuali semplici, è quello di calcolare il

valore atteso di opportune trasformazioni delle variabili casuali doppie; ovviamente, le

trasformazioni devono essere tali da rendere significativo (finito) il computo del valore atteso.

Se con g(X , Y) si indica la generica trasformazione, il valore atteso resta definito da

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) continuo nel ,,

discreto nel ,, ,

b

a

d

c

1 11 1

∫ ∫

∑∑∑∑

⋅=

⋅=⋅== == =

yxfyxgXgE

pyxgyxfyxgXgE ij

h

i

k

jjiji

h

i

k

jji

Ponendo g(X , Y) = Xr ⋅ Ys , per r,s = 0,1,2,..., si ha

87


( )

( ) ( ) continuo nel

discreto nel

b

a

d

c

1 1

∫ ∫

∑∑

⋅=⋅=

⋅=⋅== =

dx dyx,yfy xYXE

pyxYXE

srsrrs

ijsj

h

i

k

j

ri

srrs

µ

µ

che viene detto momento misto di ordine r⋅s rispetto all’origine.

Risulta facile verificare che i momenti misti µ10 e µ01 sono i momenti primi (cioè le medie

aritmetiche) delle variabili casuali semplici X ed Y ; infatti, si ha, ad es.:

( )

( ) ( ) ( ) continuo nel dx dydx ,

discreto nel p x

b

a

rb

a

d

c

r0110

i.

h

1ii

1 1

0110

∫∫ ∫

∑∑∑

⋅=⋅=⋅=

=⋅=⋅=== =

xfxyxfxYXE

pxYXE ij

h

i

k

j

µ

µ

Analoghe considerazioni possono essere fatte nei confronti dei momenti µ01, µ20, µ02, µ30,

µ03, ecc.

Il momento misto più significativo ed interessante è quello del primo ordine o momento misto

rispetto all’origine di ordine 1⋅1 (µ11 = µxy) che può essere inteso come una sorta di media

aritmetica della variabile casuale doppia (X , Y).

Ponendo

g(X ⋅ Y) = per r, s = 0,1,2,… sy

rx YX )()( µµ −−

si ha

[ ]sy

rxrs YXE )()( µµµ −−=

che viene detto momento misto centrale, o momento misto rispetto alla media, di ordine r⋅s .

I momenti misti di ordine 0⋅0, 0⋅1 e 1⋅0, non sono significativi essendo sempre uguali a

uno e zero, mentre risulta particolarmente interessante il momento misto di ordine 1⋅1 :

[ ] 01101111 )()( µµµσσµµµ ⋅−===−−= yxxyyx YXE

che viene detto covarianza.

88


La covarianza è un indice assoluto di concordanza tra le due componenti. Si tratta, cioè, di

un indice che misura l’associazione tra le due componenti X ed Y e potrà assumere valore

positivo, negativo o nullo. Assumerà un valore positivo quando le due componenti la variabile

casuale doppia variano tendenzialmente nella stessa direzione, al crescere dei valori assunti dalla X

crescono i valori assunti dalla Y , ed anche, al diminuire dei valori assunti dalla X diminuiscono i

valori assunti dalla Y. In questo caso si avrà che a scarti positivi (negativi) (X-µx) corrisponderanno,

usualmente, scarti positivi (negativi) (Y-µy) ed il prodotto degli scarti risulterà, usualmente, positivo.

La covarianza assume invece valore negativo quando le due variabili variano in direzione

opposta, cioè quando al crescere dei valori assunti da una variabile i valori assunti all’altra variabile

diminuiscono e viceversa. In questo caso nella formula per il computo della varianza si troveranno,

usualmente, prodotti tra uno scarto positivo di una variabile ed uno scarto negativo dell’altra

variabile e viceversa.

Per r = 2 e s = 0, r = 0 e s = 2 si ottengono i momenti centrali del secondo ordine delle due

variabili casuali marginali, cioè le due varianze:

[ ] [ ] 220220 )()()( xxyx XEYXE σµµµµ =−=−−=

[ ] [ ] 222002 )()()( yyyx YEYXE σµµµµ =−=−−=

Se si pone

g(X,Y) = s

y

yr

x

x YX⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −σ

µσ

µ per r,s = 0,1,2,…

si ha

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

s

y

yr

x

xrs

YXE

σµ

σµ

µ

che viene detto momento misto standardizzato di ordine r⋅s .

Il momento misto più significativo è il momento mista standardizzato di ordine 1⋅1

89


ρρρσσ

σσ

µσ

µµ ===

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= yxxy

yx

xy

y

y

x

x YXE11

usualmente detto coefficiente di correlazione (di Bravais-Pearson).

Il coefficiente di correlazione è un indice relativo di concordanza, si dimostra, infatti, la

relazione

σxy ≤ σx σy

dove il segno di uguaglianza vale solo quando le due variabili casuali semplici X ed Y sono

linearmente dipendenti cioè quando Y = a+b X . In questo caso ρxy = ρyx = ±1 ed il segno

dipenderà dal segno del coefficiente angolare della retta.

Quindi, il coefficiente di correlazione varia tra -1 e +1 ; quando ρxy = ρyx = 0 (cioè quando

σxy = σyx = 0) le due componenti X ed Y sono linearmente indipendenti. Questa forma di

indipendenza è una forma molto particolare di mancanza di associazione tra variabili e non esclude

affatto la presenza di un possibile legame di natura diversa tra le due componenti X ed Y della

variabile casuale doppia (X,Y). Infatti potrebbe sussistere tra le due componenti un legame

funzionale molto stretto, ad es. Y = a+bX2 , e risultare ρxy = 0.

Si deve, pertanto, concludere, che il coefficiente di correlazione (indice relativo di

concordanza) è un indice di dipendenza o meglio interdipendenza (essendo ρxy = ρyx) lineare.

Ovviamente l’indipendenza statistica implica l’indipendenza lineare (e qualsiasi altra forma di

indipendenza). Infatti, se le due componenti X ed Y sono statisticamente indipendenti f(x,y) =

f(x)⋅f(y) e quindi (senza perdere in generalità si considera il caso continuo)

[ ]

0)()()()(

)()())((

ha si e trazaindipendendell' rgione a

),())(()()(

0110

11

=⋅=−⋅−=

=⋅−−=

−−=−−==

∫∫

∫∫

∫∫

µµµµ

µµ

µµµµσµ

dyyfydxxfx

dydxyfxfyx

yx

dydxyxfyxYXE

y

d

cx

b

a

y

d

cx

b

a

y

d

cx

b

ayxxy

90


L’indipendenza lineare, come già sottolineato, non implica l’indipendenza statistica a meno di

casi particolari; su uno di questi casi si avrà modo di soffermare l’attenzione nelle righe seguenti ed

è quello particolarmente rilevante della variabile casuale normale doppia.

Oltre alla variabile casuale normale verrà esaminato un solo altro caso di variabile doppia: la

variabile casuale binomiale doppia (detta usualmente variabile casuale trinomiale) di cui verrà

proposta anche l’estensione al caso k >2 (variabile casuale multinomiale).

2.9.1 Distribuzione normale doppia

La funzione di densità della variabile casuale normale doppia o variabile casuale normale

bivariata è data da

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−−

−=

22

2 2)1(2

1

2121),,,,;,( y

y

y

y

x

xxy

x

x

xy

yyxx

xyyx

xyyxyx eyxfσ

µ

σ

µ

σµ

ρσ

µρ

ρσσπρσσµµ

per -∞ ≤ x ≤ +∞ e -∞ ≤ y ≤ +∞ e dove i parametri che caratterizzano la distribuzione coincidono

con gli indici caratteristici più significativi della distribuzione stessa

yx YEXE µµµµ ==== )(,)( 0110

[ ] [ ] 2202

2220 )(,)( yyxx YEXE σµµσµµ =−==−=

yxxyyx

xy

yxy

y

x

x YXE ρρ

σσσ

σσµµµ

σµ

σµ

µ ===⋅−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 011011

11

E’ possibile verificare senza eccessiva difficoltà le relazioni seguenti

2

2 )(2

1

221),()(

xx

x

x

edyyxfxfµ

σ

σπ

−−+∞

∞−∫ ==

91


222

1

221 )y(

y

yyedx)y,x(f)y(f

µσ

σπ

−−+∞

∞−∫ ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

−−

−==

)()1(2

1

22

22

)1(2

1)(),()/(

yy

xxyx

xyxyy

xyx

eyfyxfyxf

µσσ

ρµρσ

ρσπ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−−

−==

)()1(2

1

22

22

)1(2

1)(),()/(

xx

yxyy

xyyxy

xyy

exfyxfxyf

µσ

σρµ

ρσ

ρσπ

che evidenziano la normalità sia delle distribuzioni marginali che delle distribuzioni condizionate.

Dalle relazioni sopra scritte si desumono anche le medie e le varianze delle distribuzioni

condizionate che dipendono da medie e varianze delle distribuzioni marginali e dal coefficiente di

correlazione. Se ρxy = ρyx = 0, le due variabili casuali componenti sono statisticamente indipendenti

e le distribuzioni condizionate, per l’indipendenza, non risentono più del

condizionamento e risultano uguali alle distribuzioni marginali.

[ )()(),( yfxfyxf ⋅= ]

Nella Fig. 10 è riportata la forma della funzione di densità e le sezioni orizzontali e verticali

della variabile casuale normale doppia le cui componenti sono incorrelate (indipendenti) ed hanno

uguale varianza.

Fig. 10 – Funzione di densità di una variabile casuale normale bivariata con ρxy = ρyx = 0 e

2.

2y

2x σ=σ=σ

Nella Fig. 11 sono riportate le sezioni orizzontali di variabili casuali normali doppie

incorrelate (ρxy = 0) con relazione diversa tra le varianze delle due distribuzioni marginali

92


Fig. 11 - Sezioni orizzontali di una variabile casuale normale doppia con ρxy = ρyx = 0

Fig. 12 – Sezioni orizzontali di una variabile casuale normale bivariata con 122 == yx σσ

93


Fig. 13 - Sezioni orizzontali di una variabile casuale normale bivariata con 14 22 == yx e σσ

Nella Fig. 12 sono riportate le sezioni orizzontali di una variabile casuale normale doppia, le

cui componenti hanno stessa varianza , per diversi livelli di correlazione; mentre nella

Fig. 13 le sezioni sono relative a diversi livelli di correlazione e diversa varianza

( .

122 == yx σσ

)14 22 == yx e σσ

Osservando le Figg. 11, 12 e 13 si rileva l’incidenza del valore assunto da parametri

caratteristici sulla forma della funzione di densità. La forma campanulare perfetta si ha solo quando

ρxy = ρyx = 0 e . Se ρ22yx σσ = xy = ρyx = ±1 , cioè se esiste un legame lineare tra le due

componenti, si avrà un completo schiacciamento della distribuzione doppia che degenera in una

distribuzione semplice. Cosa questa peraltro desumibile immediatamente anche per via analitica e

dal punto di vista logico; non ha più senso, infatti, parlare di variabilità su due componenti essendo

la variabilità dell’una (ad es. la Y) strettamente determinata dalla variabilità dell’altra (valendo la

relazione Y = a + b X).

Come esempio di variabile casuale doppia discreta è stato detto che verrà considerata la sola

variabile casuale trinomiale.

2.9.2 Distribuzione trinomiale (distribuzione binomiale doppia)

Si supponga di poter effettuare n prove indipendenti e che il risultato di ciascuna prova sia

ω1 o ω2 o ω3; i tre risultati sono necessari e incompatibili, nel senso che in ciascuna prova, uno dei

94

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità tre deve necessariamente presentarsi ed il presentarsi di un risultato esclude la possibilità del

presentarsi dell’altro. Si supponga che le probabilità associate ai tre possibili risultati siano,

rispettivamente, p1, p2 e p3 (p1 + p2 + p3 = 1).

Si definisca ora la variabile casuale doppia (X,Y) come coppia ordinata di numeri reali in cui

la prima componente X rappresenta il numero delle volte in cui si è presentato il risultato ω1 nelle

n prove, mentre Y rappresenta il numero delle volte in cui si è presentato il risultato ω2.

Ovviamente, il numero delle volte in cui si presenta il risultato ω3 non può essere inserito come

terza variabile essendo lo stesso numero univocamente determinato per differenza (n – x – y).

Se, per semplicità di notazione, si pone

[ ] qppYXPPp

pYPPp

pXPPp

yx

y

x

=−−==∩===

====

====

1)0()0()(

)1()(

)1()(

33

22

11

ω

ω

ω

si avrà

[ ] yxnyy

xx qpp

yxnyxnyYxXPyxf −−

−−==∩==

)!(!!!)()(),(

dove: x rappresenta il numero delle volte in cui si è presentato il risultato ω1 nelle n prove ed y

il numero delle volte in cui si è presentato il risultato ω2 ; x potrà, pertanto, assumere i valori 0, 1,

2, …, n mentre y potrà assumere i valori 0, 1, 2, …, n-x , ed anche x,y = 0, 1, 2, …, n con il

vincolo x+y ≤ n .

Si verifica facilmente che le v.c. marginali e le variabili casuali condizionate sono variabili

casuali binomiali, così come risulta facile verificare le uguaglianze sotto riportate relative ad alcuni

momenti misti

µ10 = µx = n px , µ01 = µy = n py

)1(,)1( 202

220 yyyxxx ppnppn −==−== σµσµ

95


)1()1(, 1111

yx

yxyxxyyxyxxy pp

ppppn

−−

⋅−===−=== ρρµσσµ

y

x

x

y

pp

ynyXEp

pxnxYE

−−=

−−=

1)()/(,

1)()/(

L’espressione analitica delle due distribuzioni condizionate è

yxn

x

y

x

y

pq

pp

yxnyxnxyf

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−=

11)!(!)!()/(

yxn

y

x

y

x

pq

pp

yxnxynyxf

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−

=11)!(!

)!()/(

Esempio 2.34

Si supponga che il diametro dei tubi prodotti da un certo processo produttivo possa essere

classificato come accettabile se 21 xXx ≤≤ ), sovradimensionato se X > x2 oppure

sottodimensionato se X < x1. Le probabilità per ciascun tipo di classificazione sono,

rispettivamente, 0.7, 0.2 e 0.1. Qual è la probabilità che, da una sequenza di 10 prove

statisticamente indipendenti, si ottengano come risultato 6 pezzi accettabili, 1 sovradimensionato e

3 sottodimensionati?

Tale probabilità può essere calcolata come il prodotto delle probabilità di due eventi,

ciascuno dei quali segue una distribuzione binomiale.

Il primo evento è dato dall’estrazione di 6 pezzi accettabili (e quindi 4 difettosi), dato un

campione di 10 unità:

%01.202001.03.07.06

10)6( 46 ==⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==XP c

Tale evento non fa alcuna distinzione tra pezzi sottodimensionati e pezzi sovradimensionati.

Il secondo evento, invece, è relativo all’estrazione di un pezzo sovradimensionato e 3 pezzi

sottodimensionati, dati 4 pezzi al di fuori dei limiti di accettabilità. La probabilità di tale evento è

data da:

96


%90.9099.03.01.0

3.02.0

14

)1(31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==YP ,

laddove la probabilità che un pezzo sia sovradimensionato dato che è difettoso è pari, in base al

principio delle probabilità condizionate, al rapporto tra la probabilità di ottenere un pezzo

sovradimensionato, cioè 0.2, e la probabilità di ottenere un pezzo che sia difettoso, quindi o

sovradimensionato o sottodimensionato, che è data da (0.2+0.1) = 0.3.

La manifestazione congiunta dell’evento X “6 pezzi accettabili in 10 prove” e dell’evento Y

“1 pezzo sovradimensionato in 4 prove” è proprio l’evento di cui stiamo cercando la probabilità.

Tale probabilità è data dal prodotto della probabilità di X = 6 per la probabilità condizionata di Y

= 1 dato X = 6, quindi: 31

46

3.01.0

3.02.0

!3!1!43.07.0

!4!6!10)16( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅==∩= YXP ,

semplificando si ottiene:

%8.190990.02001.01.02.07.0!3!1!6

!10)16( 316 =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

==∩= YXP

L’estensione al caso k>2 è immediata: infatti basterà considerare n prove indipendenti ed

ipotizzare che in ciascuna prova si possa presentare uno dei k+1 risultati necessari ed

incompatibili ω1, ω2, …, ωk, ωk+1 . Si potrà introdurre la variabile casuale multinomiale a k

dimensioni (X1, X2, …, Xk) , dove le componenti rappresentano il numero delle volte in cui, nelle n

prove, si è presentato, rispettivamente il risultato ω1, ω2, …, ωk . Il numero delle volte in cui si

presenta il risultato ωk+1 non viene considerato risultando il suo valore per differenza . ∑=

−k

iixn

1

2.9.3 Distribuzione multinomiale e ipergeometrica multipla Se con

∑=

−=k

iik pqeppp

121 1,...,,

si indicano le probabilità dei risultati (punti campionari) ω1, ω2, …, ωk+1 , la funzione di massa di

probabilità della variabile casuale multinomiale è

97


∑⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= =

−

=∑

k

ii

k

xnxk

xxk

iik

k qpppxnxxx

nxxxf 121 ...!!...!!

!)...,,,( 21

121

21

dove x1, x2, …, xk = 0, 1, 2, …, n , con il vincolo . nxk

ii ≤∑

=1

Se nella situazione sopra considerata si fa riferimento ad n prove non indipendenti che,

rifacendosi allo schema di estrazione da un’urna, significa effettuare n estrazioni senza ripetizione,

si deriva la versione a k dimensioni della variabile casuale ipergeometrica (X1, X2, …, Xk) che

ha funzione di massa di probabilità

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∑

∑

=

=

nN

xn

NN

xN

xN

xN

xxxf

k

ii

k

ii

k

k

k1

1

2

2

1

1

21

...

)...,,,(

dove N1, N2, …, Nk, Nk+1 ( ) rappresentano le palline, rispettivamente, del colore

1,2,…,k e k+1 presenti nell’urna. Ovviamente, in questo caso, il valore numerico assumibile dalle

varie componenti sarà condizionato, oltre che dal vincolo anche dai valori N

∑=

+ −=k

iik NNN

11

nxk

ii ≤∑

=11, N2, …,

Nk.

2.10 Alcuni teoremi fondamentali del calcolo delle probabilità

Alcuni teoremi del calcolo delle probabilità consentono la derivazione di risultati di carattere

generale con notevoli implicazioni operative; forniscono, cioè, tipologie informative che si

collocano ad un livello intermedio tra la conoscenza completa, seppure spesso approssimata, della

realtà espressa dal modello e la conoscenza sintetica espressa dagli indici caratteristici (momenti).

Tra questi teoremi uno dei più noti e significativi è quello usualmente noto come disuguaglianza di

Bienaymé-Cebiçev a cui si perviene facilmente attraverso una opportuna specificazione di un

teorema più generale.

98

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità Teorema di Markov – Sia X una variabile casuale con funzione di distribuzione F(x), g(X) una

funzione a valori reali non negativa (in modo tale che Y = g(X) sia essa stessa variabile

casuale) e c una costante positiva, allora

[ ] [ ]c

XgEcXgP )()( ≤≥

Considerando, senza perdere in generalità, il caso continuo, si dimostra il teorema con relativa

facilità.

Dimostrazione

[ ] ∫+∞

∞−

== dxxfxgXgE )()()(

=[ ] [ ]

∫∫<≤≥

≥+cxgxcxgx

dxxfxgdxxfxg)(0/)(/

)()()()(

≥[ ] [ ]

∫∫<≤≥

=+cxgxcxgx

dxxfdxxfc)(0/)(/

)(0)(

= [ ]

[ ] ⇔≥=∫≥

cxgPcdxxfccxgx

)()()(/

[ ] [ ]c

)x(gEc)x(gP ≤≥⇔

C.V.D.

Di particolare interesse risulta una specificazione (corollario) del teorema:

Disuguaglianza di Bienaymé-Cebiçev: Se X è una variabile casuale con varianza σ2 finita,

allora

[ ] 211k

kXP −≥≤− σµ .

Dimostrazione 1

Ponendo g(X) = X - µ e c = k σ per k > 0

dove: µ = E(X) e σ2 = var(X) , si avrà, dal Teorema di Markov,

[ ] [ ] ≤≥−=≥− 222)( σµσµ kXPkXP

[ ]⇔==

−≤ 222

2

22

2 1)(kkk

XEσ

σσ

µ

99


[ ] 2

1k

kXP ≤≥−⇔ σµ

ed anche

[ ] 2

11k

kXP −≥<− σµ

C.V.D.

Alla stessa conclusione si giunge partendo dalla definizione di varianza di una variabile

casuale:

Dimostrazione 2

Var(X) = ( )∫+∞

∞−−= dxxfx )(22 µσ

L’integrale può essere diviso nella somma di tre integrali:

( ) ( ) ( )∫ ∫∫+

−

+∞

+

−

∞−−+−+−=

σµ

σµ σµ

σµµµµσ

k

k k

kdxxfxdxxfxdxxfx )()()( 2222

Sottraendo il secondo integrale soltanto dal membro di destra dell’equazione, si ottiene la

seguente disuguaglianza:

( ) ( )∫∫+∞

+

−

∞−−+−≥

σµ

σµµµσ

k

kdxxfxdxxfx )()( 222

Si consideri

( ) ( ) ∫∫∫−

∞−

−

∞−

−

∞−=≥−

σµσµσµσσµ

kkkdxxfkdxxfkdxxfx )()()( 2222 ,

poiché se x è almeno kσ volte il valore atteso di X, allora la differenza al quadrato tra x e il suo

valore atteso, cioè (x - µ)2, deve essere maggiore di k2σ2.6 Analogamente

( ) ∫∫+∞

+

+∞

+≥−

σµσµσµ

kkdxxfkdxxfx )()( 222

Quindi, sostituendo, si ottiene:

( )∫∫+∞

+

−

∞−+≥

σµ

σµσσ

k

kdxxfdxxfk )()(222

La quantità in parentesi è uguale a

( ) ( ) ( ) ( )σµσµσµσµ kxPkxPkxPkxP ≤−−=≥−=+≥+−≤ 1 , quindi

6 Per es., se x= µ - kσ - h, allora x - µ = µ - kσ - h - µ = - (kσ + h). Di conseguenza, il quadrato di questa quantità sarà più grande di k2σ2.

100


( )[ ]( )

( ) 2

2

222

11

111

kkxP

kxPk

kxPk

−≥≤−⇒

≤−−≥

≤−−≥

σµ

σµ

σµσσ

La disuguaglianza di Bienaymé-Cebiçev sta ad indicare che, per qualunque variabile casuale,

la probabilità dei valori che si collocano in un intorno della media di ampiezza ± k σ è sempre

superiore ad 2

11k

− . Ad es., per k = 2, si ottiene [ ] 4/322 ≥+≤≤− σµσµ XP , cioè per ogni

variabile casuale avente varianza finita almeno ¾ dei valori (della massa) distano dalla sua media

meno del doppio della deviazione standard.

Ovviamente la disuguaglianza assume significato solo per k > 1, in quanto per k = 1 oppure

per k < 1, risulta che la probabilità è : ma questo è sempre vero per la definizione stessa di

probabilità.

0≥

Se si fa riferimento ad una particolare distribuzione e si considera una specifica funzione g(X)

si perviene ad un altro interessante risultato.

Teorema di Bernoulli - Si consideri la variabile casuale binomiale caratterizzata dai

parametri p ed n e la trasformazione nXY = , usualmente nota come variabile casuale

binomiale relativa, la cui media e varianza sono, rispettivamente, pnXE =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ e

npq

nX

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛var .

Applicando la disuguaglianza per

( ) pnX

nXgYg −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

si avrà

22

2

22

cnqp

c

pnXE

cpnXPcp

nXP =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≥−

da cui

0limlim 2 =≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≥−

+∞→+∞→ cnqpcp

nXP

nn

101

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità ed anche (probabilità dell’evento contrario)

1lim =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡<−

+∞→cp

nXP

n

Siccome c può essere scelto piccolo a piacere, si può anche concludere che al crescere del

numero delle prove (se le prove sono indipendenti e ripetute in condizioni analoghe) la frequenza

relativa di un evento converge, in probabilità, alla probabilità dell’evento stesso.

Il risultato sopra conseguito è noto come teorema di Bernoulli essendo la variabile casuale

binomiale relativa interpretabile come media aritmetica di n variabili casuali di Bernoulli

indipendenti e identicamente distribuite.

Il teorema di Bernoulli è stato generalizzato in vario modo; la generalizzazione più

interessante è quella che estende il risultato ad una successione qualsiasi di variabili casuali X1, X2,

…, Xn, … indipendenti, identicamente distribuite (i.i.d.) e con media E(Xi) = µ.

Teorema di Kolmogorov (legge forte dei grandi numeri) – Sia X1, X2, …, Xn, … una

successione di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, di media µ finita, allora

per la variabile casuale ∑=

=n

iin X

nX

1

1 , di media µ=)( nXE , vale la relazione

( ) 1lim ==+∞→

µnnXP

Se alle ipotesi sopra introdotte si aggiunge la condizione che le variabili abbiano varianza σ2

> 0 finita si può, ricorrendo alla disuguaglianza di Bienaymé-Cebiçev, dimostrare facilmente la

cosiddetta legge debole dei grandi numeri espressa dalla relazione

[ ] ( ) δµµ −≥<−⇔=<−+∞→

11lim cXPcXP nnn,

dove 0 < δ < 1.

Dimostrazione

Ponendo µ−= nXXg )( e applicando il Teorema di Markov, si ottiene

102


( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) 1

1limlim

cui da

11

2

2

nn

2

2

2

222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≥<−

−=−

−≥<−=<−

+∞→+∞→ cncXP

cncXE

cXPcXP

n

nnn

σµ

σµµµ

Le leggi (forte e debole) dei grandi numeri sono estremamente utili a fini pratici, in quanto

consentono di fare inferenze attendibili sulla media di una popolazione quando si dispone soltanto

di un campione. Tali leggi, infatti, stabiliscono che è possibile determinare un intero positivo n

(ampiezza campionaria) tale che, se si prende un campione casuale di ampiezza maggiore o uguale

ad n da una popolazione con media µ, allora la probabilità che la differenza tra la media

campionaria nX e la media della popolazione µ sia minore di una quantità fissata piccola a

piacere è vicina ad 1 quanto si vuole.

Il teorema di Bernoulli occupa una posizione di tutto rilievo nell’ambito della probabilità e

della statistica ma ancora più rilevante è, come si avrà modo di approfondire anche

successivamente, il ruolo svolto dal teorema del limite centrale (teorema centrale del limite), qui

se ne propone una versione particolare, quella usualmente attribuita a Lindberg-Levy.

Teorema del limite centrale – Sia X1, X2, …, Xn, … una successione di variabili casuali

indipendenti ed identicamente distribuite (i.i.d.) di media µ e varianza σ2 > 0 finita; si consideri

la variabile casuale (media aritmetica dei primi n elementi della successione)

∑=

=n

iin X

nX

1

1

che avrà valore medio e varianza, rispettivamente, µ=)( nXE e ,)(2

nXVar n

σ= allora la variabile

casuale standardizzata

nX

Z nn /σ

µ−=

per n → +∞ tende alla distribuzione normale (standardizzata).

Dimostrazione

103


Indichiamo con ( )2

21 t

etm = la funzione generatrice dei momenti della v.c. Normale

standardizzata e con mz(t) la funzione generatrice dei momenti di Zn. Vogliamo mostrare che mZ(t)

tende a m(t) al crescere di n, l’ampiezza del campione. Per l’indipendenza delle v.c. Xi, vale

∏

∏∑

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

n

i

i

n

i

iitZZ

XntE

nX

ntE

nX

ntE

nXtEeEtm n

1

1

exp

/exp

/exp

/exp)()(

σµ

σµ

σµ

σµ

Se ora poniamo Yi = (Xi - µ)/σ , la funzione generatrice dei momenti di Yi, cioè mY(t), è

indipendente da i poiché tutti gli Yi hanno la stessa distribuzione. Quindi n

YYi

n

i

iZ n

tmntmY

ntEX

ntEtm ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= ∏∏∏

=

expexp)(1 σ

µ

La derivata r-esima di )/( ntmY calcolata per t = 0 ci dà il momento r-esimo rispetto alla

media della densità f(.) divisa per rn )(σ , così che

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++=

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=

.....!31

2111

....!3

1!2

11)/(

3332

3

33

2

221

tn

tn

nt

nt

ntntmY

σµ

σµ

σµ

σµ

Indicando con u l’espressione in parentesi si ottiene che

( ) )(lim

/1lim 2

21

tmn

enun Z

tn

∞→==+

∞→

Quindi, la v.c. Zn , per ha la stessa funzione generatrice dei momenti della Normale

standardizzata e, per il secondo teorema riportato nel par. 2.6 relativamente alle funzioni

generatrici dei momenti, la stessa distribuzione.

+∞→n

In altre parole, il teorema del Limite Centrale afferma che, se si dispone delle variabili casuali

indipendenti X1, X2, …, Xn, …, ognuna con la stessa distribuzione dotata di media e varianza, allora

la variabile casuale ∑=i

in Xn

X 1 ha, per n abbastanza grande, una distribuzione

approssimativamente normale con media µ e varianza n

2σ . La bontà dell’approssimazione

dipende dal tipo di distribuzione comune. L’elemento essenziale da osservare è che non importa

quale distribuzione comune abbiano le v.c. X1, X2, …, Xn, …, purché esse abbiano una media ed una

104

B. Chiandotto Versione 2006 Statistica per le decisioni Calcolo delle Probabilità varianza e siano indipendenti. Quindi, ogni volta che un fenomeno reale può essere interpretato

come la somma oppure la media di un gran numero di cause indipendenti, nessuna delle quali ha la

prevalenza sulle altre, è ragionevole attendersi che la distribuzione di probabilità di quel fenomeno

sia approssimabile mediante la distribuzione della v.c. Normale. Per es., il punteggio che si riceve

sottoponendosi ad una serie numerosa di test a risposta multipla è la risultante di numerose cause,

tra cui: la preparazione generale del soggetto, la conoscenza degli argomenti specifici selezionati

dall’esaminatore, l’attitudine verso la materia, i fattori psicologici ecc. Anche se difficili da

quantificare, questi effetti determinano con pesi differenti l’esito e il voto finali che si distribuisce

approssimativamente come una v.c. Normale.

In letteratura si ritrovano versioni generalizzate del teorema quali, ad esempio, quella in cui

non si richiede più che le variabili casuali della successione abbiano identica distribuzione, si

mantiene l’ipotesi di indipendenza, si inseriscono alcune ipotesi generali di regolarità delle

distribuzioni tra le quali la condizione che le medie E(Xi) = µ(i) e le varianze

siano finite. In questo caso, naturalmente, la variabile che tende alla variabile casuale normale

standardizzata è

0)( 2 >= iiXVar σ

nX

Z nn /σ

µ−=

dove: ∑∑∑===

===n

ii

n

i

in

iin e

nX

nX

1

22

1

)(

1

1,1 σσµµ .

Esempio 2.35

Si supponga che il responsabile marketing stia pianificando di estendere la distribuzione di

uno dei prodotti della sua compagnia in una nuova area geografica. Il suo scopo è quello di

assumere 40 venditori in questa nuova zona.

Basandosi sull’esperienza passata egli stima che soltanto il 20% dei dettaglianti contattati si

renderà disponibile a vendere il nuovo prodotto. In base ad un’analisi di mercato, egli sa che può

contattare 220 dettaglianti. Vorrebbe, dunque, conoscere qual è la probabilità di assumere meno di

40 venditori, nell’ipotesi in cui vengano contattati 220 dettaglianti.

Assumendo che la decisione di ogni dettagliante sia statisticamente indipendente dalla

decisione degli altri, la distribuzione di probabilità che consente di determinare esattamente la

probabilità cercata è la Binomiale con parametri n = 220 e p = 0,20. Quindi, la probabilità

richiesta è data dal risultato della seguente formula:

105


∑=

−⋅−

=<39

0

22080,020,0)!220(!

!220)40(x

xx

xxXP

Poiché i calcoli richiesti per risolvere l’equazione sono piuttosto complessi e lunghi senza il

supporto di un computer e poiché le tavole della distribuzione Binomiale non includono n pari a

220, il responsabile marketing può ritenersi soddisfatto ottenendo una risposta approssimata. Il

teorema del limite centrale suggerisce che, essendo n grande, un’approssimazione tramite la v.c.

Normale può essere appropriata.

Per applicare tale teorema, pensiamo a X come la somma di 220 prove Bernoulliane

statisticamente indipendenti, ciascuna delle quali ha valore atteso di 0,20 e varianza di

. Il teorema del limite centrale afferma che X è distribuita in modo

approssimativamente Normale con media

16,080,020,0 =⋅

4420,0220 =⋅=µ e varianza uguale a

. Così il manager può approssimare la risposta “vera” al suo problema

trovando la probabilità dell’evento X: x < 40, dove x ha una distribuzione Normale con media 44 e

varianza 35,2:

2,3516,02202 =⋅=σ

( ) 25,068,09,54

2,354440)40( =−<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<=< zPzPzPxP

In conclusione, se il responsabile marketing contatta solamente 220 dettaglianti, c’è una

possibilità del 25% che vengano assunti meno di 40 venditori.

106

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CAP. 2 – CALCOLO DELLE PROBABILITA’ 2... · Calcolo delle Probabilità CAP. 2 – CALCOLO DELLE PROBABILITA’ 2.1 Alcuni concetti base Il calcolo delle probabilità, nato nel