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capacidad termica
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CAPITULO 2
ECUACIONES BASICAS PARA EVALUAR LA TRANSFERENCIA DE CALOR
EN LINEAS AEREAS
La relacin que determina la temperatura del conductor es conocida como
ecuacin de calor y depende de la corriente de carga, las caractersticas elctricas
y trmicas del conductor, adems de las condiciones atmosfricas tales como el
viento y la radiacin solar [ 1,2 ].
La ecuacin de calor para condiciones normales de operacin y estado
permanente de las variables involucradas es la siguiente:
P P P P P PJ M S C R V (2.1)
Este modelo trmico se basa en un balance bsico de energa sobre un
segmento especfico del conductor, en que:
PJ : ganancia de calor por efecto Joule W/m.
PM : ganancia de calor por efecto magntico W/m.
PS : ganancia de calor producto de la radiacin solar W/m.
PC : prdida de calor por conveccin W/m.
PR : prdida de calor por radiacin emitida por el conductor W/m.
PV : prdida de calor por evaporacin de humedad en el conductor W/m.
Todos los componentes de la ecuacin de calor son variables dependientes
del tiempo, tambin se sabe que las hebras de los conductores de una lnea son
buenos conductores trmicos, por lo tanto la temperatura del conductor se
considera idntica en toda la zona de estudio. La dependencia del tiempo de las
7
variables que intervienen en la ecuacin de calor y el carcter isotrmico del
conductor nos indica que debe insertarse un trmino en la ecuacin para incluir la
energa almacenada en el conductor durante perodos de operacin transiente
[ 3 ]. Debido a esto tenemos que el nuevo modelo trmico es el siguiente:
m cdT
dtPp J PM P P P PS C R V (2.2)
donde:
m : masa del conductor por unidad de largo Kg/m.
cP : calor especfico del material del conductor J/KgC.
cP = 869 J/KgC para el aluminio y la aleacin de aluminio.
cP = 381 J/KgC para el cobre.
T : temperatura del conductor C.
t : tiempo s.
En condiciones de cortocircuito la ecuacin de calor slo considera el
efecto Joule de la corriente, puesto que durante perodos cortos de tiempo no se
produce intercambio de calor entre el conductor y el medio ambiente, sino que
slo una respuesta trmica adiabtica del conductor [ 4 ]. La ecuacin en
condiciones de cortocircuito es:
Jp Pdt
dTcm (2.3)
2.1 Efecto Joule y Radiacin solar
8
2.1.1 Efecto Joule
El aumento de la temperatura debido al calor desarrollado por las prdidas
Joule, se representa por la siguiente expresin [ 1-4 ]:
P I t R T I t k R TJ AC J 2 2
0 01 (2.4)
en que:
I : corriente efectiva A.
RAC : resistencia en corriente alterna /m.
k J : factor que incrementa el valor de la resistencia debido al efecto
pelicular y de proximidad.
R0 : resistencia en corriente continua a 0 C /m.
0 : coeficiente de temperatura de la resistencia entre 0 C y la
temperatura T del conductor 1/ C.
0 03.4 103 1/ C para el aluminio.
0 86.3 103 1/ C para el aluminio y la aleacin de aluminio.
30 1093.3 1/ C para el cobre
La resistencia de corriente alterna ( ACR ) vara en forma lineal con respecto
a la temperatura y adems se ve afectada por el efecto pelicular y de proximidad a
travs del factor Jk , el que se define como sigue:
1 PRSKJ kkk (2.5)
en que:
SKk : factor que toma en cuenta el efecto pelicular.
PRk : factor que toma en cuenta el efecto de proximidad.
9
En corriente continua Jk 1, y el efecto de proximidad para frecuencias de
50 o 60 Hz es despreciable, por lo tanto el nico efecto a considerar es el
pelicular, en el cual debido a la frecuencia, la corriente tiende a irse por la
superficie del conductor [ 5 ]. Los factores de correccin para considerar el efecto
pelicular se encuentran en la tabla 2.1.
Tabla 2.1. Coeficiente pelicular para cables de cobre o aluminio.
Factor pelicular
mm2
Cables instalados al aire
o en ducto no metlico
AWG
MCM
Hasta Cobre Aluminio Hasta
26.7 1.000 1.000 3
33.6 1.000 1.000 2
42.4 1.000 1.000 1
53.5 1.001 1.000 1/0
67.4 1.001 1.001 2/0
85 1.002 1.001 3/0
107 1.004 1.002 4/0
127 1.005 1.002 250
152 1.006 1.003 300
177 1.009 1.004 350
203 1.011 1.005 400
253 1.018 1.007 500
304 1.025 1.010 600
355 1.034 1.013 700
380 1.039 1.015 750
2.1.2 Radiacin solar
10
La localizacin geogrfica de la lnea, las condiciones atmosfricas, la
poca del ao, el dimetro y la capacidad de absorcin del conductor influyen en
la cantidad de calor absorbido por ste, producto de la radiacin solar [ 1-4 ].
Parte de la energa emitida por el sol es absorbida por la atmsfera antes
de llegar a la superficie terrestre. La energa solar absorbida por ejemplo a 3000
metros de altura es un 25 % mayor que a nivel del mar [ 6 ].
Otros factores que inciden en la cantidad de calor absorbido son la
inclinacin del sol con respecto al conductor y la turbiedad de la atmsfera.
El aumento de temperatura en el conductor producto de la radiacin solar,
est dada por [ 2,8 ]:
P D I Ag F H I FS S B S d
sen sen cos cos
2 2 2 212 2 (2.6)
en que:
S : coeficiente de absorcin de radiacin solar, que vara segn el estado
en que se encuentre el conductor y cuyos valores podemos encontrar
en la tabla 2.2.
D : dimetro del conductor m.
I B : radiacin solar directa W/m2 .
Ag : ngulo entre la radiacin solar directa y el eje del conductor, que
coincide con la altitud solar, considerando al conductor en posicin
horizontal sexag.
: ngulo de la radiacin solar directa con respecto a un meridiano
considerado como origen sexag.
Ae : inclinacin del eje del conductor con respecto al Este
geogrfico sexag.
11
F : factor de reflectancia del terreno bajo el conductor.
HS : altitud solar sexag.
: inclinacin del conductor con respecto a la horizontal sexag.
I d : radiacin solar difusa, en una superficie horizontal W/m2 .
Fig. 2.1. Diagrama de ngulos para determinar la radiacin solar directa que incide sobre la lnea
area.
Tabla 2.2. Coeficiente de absorcin de radiacin solar para conductores constituidos por varias
hebras.
Material
N
Ag
Hs
Recorrido
del Sol
Radiacin
Solar
Directa
Ae
Eje del
Conductor
S
E O
12
Superficie del
conductor
Cobre Aluminio Aleacin de
Aluminio y
ACSR
Coeficiente de absorcin de radiacin solar S
Brillante 0.22 - 0.31 0.28 - 0.35 0.31 - 0.39
Oxidada 0.56 - 0.61 0.55 - 0.60 0.58 - 0.65
Desgaste en
ambiente rural
0.38 - 0.48 0.38 - 0.48 0.67 - 0.81
Desgaste en
ambiente industrial
0.78 - 0.93 0.78 - 0.96 0.80 - 0.95
Para simplificar los clculos se ignora el efecto reflectante ( F ) y la
inclinacin del conductor con respecto a la horizontal ( ) se considera igual a
cero, por lo tanto la nueva expresin para considerar el efecto de la radiacin solar
es [ 2 ]:
P D I Ag IS S B d
sen
2 (2.7)
donde:
sen Hs SSS cos)cos(cos)sen(sen (2.8)
y S n 2345 360 284 365. sen / (2.9)
S HORA 180 15* (2.10)
Si HORA > 12 y HORA < 24, entonces:
HORA HORA 12 (2.11)
13
S HORA 15* (2.12)
en que:
S : declinacin solar sexag.
: nmero de da del ao.
: latitud del conductor sexag, la cual es considerada positiva en el
hemisferio norte y negativa en el hemisferio sur.
S : ngulo horario del sol sexag.
HORA : hora del da de acuerdo al uso horario.
HsArc SS
cos
sencossen
(2.13)
Si consideramos al conductor como un vector, cuya orientacin la
determinamos por su desviacin en (o sexag) con respecto al Este geogrfico
( Ae ), y a su vez consideramos a la radiacin solar directa como un vector cuya
orientacin la determinamos a travs de la Altitud Solar ( HS ) (o sexag) y el ngulo
con respecto al meridiano origen (o sexag), tenemos que el ngulo entre la
radiacin solar directa y el eje del conductor lo podemos calcular por medio de la
teora de vectores [ 9 ].
En efecto:
22222 )(sen)(cos)(sen)(cos)(sen AeAeHsMOD (2.14)
AeAePROP sencoscossen (2.15)
14
MOD
PROPAg 1cos (2.16)
en que:
MOD : mdulo entre los vectores (sen ,cos ,sen HS ) y (cos Ae ,sen Ae ).
PROP : producto punto entre los vectores (sen ,cos ,sen HS ) y
(cos Ae ,sen Ae ).
La intensidad de radiacin solar directa ( BI ) vara con la masa de aire
atravesada, con la altitud solar ( SH ) y la turbiedad de la atmsfera producto de la
dispersin causada por las molculas de aire, partculas de polvo, vapor de agua y
absorcin por ozono [ 1,2 ].
El valor de BI se incrementa a medida que aumenta la altitud con respecto
al mar de acuerdo a la siguiente expresin:
I C I H I IB N B M B 0 4 0 014 10. (2.17)
en que IH
HB
S
S
0
1280
0 314
sen
sen . (2.18)
donde:
CN : coeficiente que determina la turbiedad de la atmsfera.
0.8 CN 1.1 para atmsfera clara.
0.5 CN 0.7 para sector industrial o con bruma.
CN 0.5 para cielo nublado o oscureciendo.
15
I B 0 : radiacin solar directa a nivel del mar W/m2 .
H M : altura sobre el nivel del mar m.
I 0 : intensidad de radiacin solar ms all de la atmsfera, cuyo valor
es 1353 W/m 2 .
Fig. 2.2. ngulo de declinacin solar y latitud del conductor.
La intensidad de la radiacin difusa est dada por:
2.10 sen47.0570 SBd HII (2.19)
2.2 Radiacin y Conveccin.
2.2.1 Radiacin.
Latitud
Radiacin Solar Directa
Ecuador
N
S
Lnea
Paralelo
Sol
16
El conductor emite energa radiante desde su superficie a su alrededor y la
prdida de calor se obtiene de acuerdo a la siguiente relacin [ 1-3 ]:
P D T T T TR B g g d d 2 273 273 273 2734 4 4 4 (2.20)
en que:
D : dimetro del conductor m.
B : constante de Stefan-Boltzmann.
B = 567 108. W/m 2 K 4 .
T : temperatura del conductor C.
Tg : temperatura en el suelo C.
Td : temperatura en el cielo C.
g y d : coeficientes de emisividad efectiva para las partes del conductor
expuestas al suelo y al cielo respectivamente.
La temperatura del suelo usualmente es ms alta que la temperatura del
aire en el da y menor que sta en la noche, particularmente con el cielo
despejado. La temperatura en el cielo ( Td ) para un da despejado es entre 5 a 18
C menor que la temperatura del suelo, dependiendo de la estacin del ao y la
cantidad de vapor de agua acumulada en la atmsfera. Una relacin aproximada
para la temperatura en el cielo es:
T Td a 0 052 273 2731 5
..
(2.21)
Puesto que la prdida de calor por radiacin es usualmente slo una
fraccin de las prdidas totales, particularmente cuando existe conveccin
forzada, ser aceptable considerar la siguiente relacin [ 2 ]:
17
P D T TR B a 273 2734 4 (2.22) donde:
: coeficiente de emisividad efectiva total de radiacin del
conductor, cuyos valores para distintos tipos de conductores se
encuentran en la tabla 2.3.
Ta : temperatura ambiente C.
Tabla 2.3. Coeficiente emisividad efectiva total de radiacin
para conductores constituidos por varias hebras
Material
Superficie del
conductor
Cobre Aluminio Aleacin de
Aluminio y
ACSR
Coeficiente de emisividad efectiva total de
radiacin
Brillante 0.10 - 0.26 0.27 - 0.36 0.28 - 0.35
Oxidada 0.35 - 0.54 0.20 - 0.50 0.31 - 0.58
Desgaste en
ambiente rural
0.35 - 0.60
0.35 - 0.60 0.38 - 0.61
Desgaste en
ambiente industrial
0.62 - 0.90 0.62 - 0.95 0.62 - 0.98
2.2.2 Conveccin.
La prdida de calor por conveccin est dada por [ 1-2 ]:
fDafC NuTTP , (2.23)
18
donde los subndices D y f denotan que el valor de Nu , est determinado por el
dimetro del conductor y su temperatura pelicular ( Tf ) respectivamente. sta
ltima se obtiene de la siguiente relacin:
T T Tf a 05. (2.24)
El nmero de Nusselt NuD f,
, est definido para dos situaciones: sin viento
y con viento. Su expresin general es la siguiente:
Nuh D
D ff
,
(2.25)
en que:
h : coeficiente de transferencia de calor por conveccin W/m 2 C.
f : conductividad trmica de la pelcula de aire cercana a la
superficie del conductor W/mC.
f fT 2 42 10 7 2 102 5. . (2.26)
La temperatura ambiente vara con la altura sobre el nivel del mar ( H M ) de
acuerdo a la siguiente relacin:
T H T Ha M a M 0 65 10 3. (2.27)
Durante condiciones nulas de viento, la densidad del aire cerca del
conductor caliente es menor que la del resto del aire; ste hecho produce fuerzas
19
de empuje ascendentes que provocan un flujo de aire vertical alrededor de la
superficie del conductor. Este proceso es llamado conveccin natural o libre.
La transferencia de calor producto de la conveccin forzada ocurre cuando
el conductor caliente es enfriado por accin del viento y es funcin de muchas
variables, las principales son la velocidad del viento, su direccin y la intensidad
de la turbulencia. Otros factores que intervienen en este fenmeno son la
rugosidad del conductor y el arreglo de las fases [ 2 ].
Como dijimos el nmero de Nusselt, vara para dos casos:
a) Sin viento, V = 0
Nu A GrD f D fm
. ,Pr (2.28)
donde:
A= 0.850 y m = 0.188 para 10 2 GrD f
Pr,
10 4
A= 0.480 y m = 0.250 para 10 4 GrD f
Pr,
10 7
Gr
D g T Ta
Tf f
3
2273 2
(2.29)
Pr . . 0 715 2 5 10 4 Tf (2.30)
y f M fMH
H
0 165 10
28816
35 2561
.
.
.
(2.31)
20
con f fT0 132 10 9 5 105 8 . . (2.32)
en que:
A y m : constantes evaluadas para varios rangos del nmero de
Rayleigh GrD f
Pr,
.
Gr : adimensional denominado nmero de Grashof.
Pr : adimensional denominado nmero de Prandtl, sustancialmente
independiente de la presin y por lo tanto de la altura.
f : viscosidad cinemtica del aire, funcin de la
temperatura
pelicular ( Tf ) y la altura sobre el mar ( H M ).
g : aceleracin de gravedad.
g = 9.8 m/s 2 .
Para este caso se ha ignorado la inclinacin del conductor con respecto a la
horizontal ( ).
b) Con viento, V 0
Nu B C D E TuD f D fn p q
, ,Re sen 1 (2.33)
donde:
V : velocidad del viento m/s.
Re,D f
: adimensional denominado nmero de Reynolds.
: ngulo de impacto del viento con respecto al eje del conductor
21
sexag. Sus valores se encuentran en la tabla 2.4.
Tu :intensidad de la turbulencia del viento en %, cuyos valores
aparecen en la tabla 2.4.
B C D E n p, , , , , y q son constantes cuyos valores se encuentran en la tabla
2.4.
Re,D f
eff
f
V D
(2.34)
donde Veff es la velocidad efectiva del viento dada por:
V U U V Veff 2 21 2
2 cos/
(2.35)
U es la velocidad del viento determinada por:
U
Nu
D
D f f
,
(2.36)
es el ngulo entre la direccin del viento y el eje perpendicular a la orientacin
longitudinal del conductor en sexag.
Viento Angulo de
Impacto del
Viento Eje del
conductor
22
Fig.2.3. Direccin del viento, orientacin del conductor y perfil de la velocidad.
Tabla 2.4. a), b) y c) Valores de constantes de ecuacin 2.28.
V D
f
B n C D p
100 - 2650 0.641 0.471 0 - 24 0.42 0.68 1.08
2650 - 50000 0.178 0.633 24 - 90 0.42 0.58 0.90
2650 - 50000 0.048 0.800
a) b)
Tu E q
0.1 - 1 0.144 0.82
1 - 3.5 0.144 0.46
3.5 - 12 0.107 0.70
c)
2.3 Evaporacin y efecto magntico.
2.3.1 Evaporacin
Cuando el conductor est seco no se produce transferencia de calor
producto del vapor de agua en el aire; sin embargo si el conductor est mojado se
23
produce la siguiente prdida de calor por evaporacin desde la superficie del
conductor [ 1,2 ]:
aawwawsC
VTTPA
PPPP
(2.37)
donde:
log . .P Tws
10 23255 1750 286 2351 (2.38)
Pr P
w
wa sat
100 y (2.39)
log . .P Twa sat a
10 23255 1750 286 2351 (2.40)
en que:
CP : prdida de calor por conveccin W/m.
Pws : presin parcial de vapor en la superficie del agua Pascal.
Pwa : presin parcial de vapor en la atmsfera Pascal.
Aw : coeficiente psicomtrico
Aw = 5.8104
Pa : presin atmosfrica Pascal.
La variacin de presin atmosfrica ( Pa ) con la altura sobre el nivel del mar
( H M ) est dada por:
P H PH
a M a
M
0 165 10
28816
35 2561
.
.
.
(2.41)
24
2.3.2 Efecto magntico.
El aumento de temperatura debido al efecto magntico es causado por las
corrientes de Foucault y la Histresis, ambas producidas por el flujo magntico
cclico de la corriente alterna. El efecto magntico es usualmente despreciable en
conductores no frreos, pero puede ser significativo en conductores con alma de
acero, puesto que el flujo magntico es producido en las hebras de acero por las
corrientes en las hebras no frreas del conductor que se enlazan alrededor de
stas. El flujo magntico vara la distribucin de corriente entre las capas de las
hebras no frreas [ 1,2 ].
La ganancia de calor por corrientes parsitas ( PE ) , es funcin de la
induccin magntica en las hebras de acero debido a la fuerza magnetizante, y
tambin es funcin de las caractersticas fsicas del conductor.
La ganancia de calor por histresis ( PH ) , debido al campo magntico
alterno en las hebras de acero depende de la induccin magntica, las
caractersticas del conductor y la composicin qumica del acero.
El aumento de temperatura total, P P PM E H , debido a las prdidas
ferromagnticas en conductores ACSR, est dada por:
P d A B eM c mT
4 9 106 1 21 82 2 510
3
. /. .
(2.42)
donde:
d : dimetro de las hebras de acero m.
25
Ac : seccin transversal del conductor m2 .
Bm : induccin magntica en el acero T .
Sustituyendo todos los trminos que intervienen en la transferencia de calor
dentro de la ecuacin bsica de balance de energa, obtenemos la siguiente
relacin en que se ha omitido la prdida por efecto magntico puesto que es
aplicable slo en conductores con alma de acero.
m cdT
dtI t k R TP J
2
0 01
S B dD I I
sen 2
f a D fT T Nu , D T TB a273 2734 4
aw
wawsfDaf
PA
PPNuTT
, (2.43)