Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares - Site Pessoal ... · Matriz retangular A, m x n (eme por ene) linha = rows coluna = columns 2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada

Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N

Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares

2.1. Definição

Representações

Matriz retangular A,m x n (eme por ene)

linha = rowscoluna = columns

2.2. Tipos

Matriz linha

Matriz coluna

Matriz quadrada de ordem n

Matriz unitária

Matriz diagonal

Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas.

A=[ a11 a12 ⋯ a1n

a21 a2n

⋮ ⋮a m1 am2 ⋯ amn

]A ou [ A] ou A ou ∥A∥

a ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j

A = a ij para i = 1m e j = 1n

m = 1

n = 1

m = n

Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + 1

m = n = 1

Os elementos são: a ij = 0 para i≠ j

José Eduardo Mautone Barros 22/04/10 1/24

A=[ 123]

A=[123]

A=[1 2 34 5 67 8 9]

[159 ]

[357 ]A=[ 3]

A=[1 0 00 5 00 0 9]


2.2. Tipos(cont.)

Matriz identidade

Matriz triangular superior (U)(“upper”)

Matriz triangular inferior (L)(“lower”)

Matriz nula

Matriz opostaA = -B

Matriz idênticaA = B

Matriz cheia

Matriz esparsa

Matriz de banda

Matriz tridiagonal

É a matriz diagonal onde: a ij = 1 para i= ja ij = 0 para i≠ j

Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

Os elementos acima da diagonal principal são nulos.

Todos os elementos são nulos: a ij = 0 V i e j

A é oposta de B se: a ij = −b ij V i e j

A é idêntica a B se: a ij = bij V i e j

São matrizes com a maior parte dos elementos não nulos.

São matrizes com a maior parte dos elementos nulos

São matrizes quadradas esparsas cuja diagonal principal e algumas diagonais paralelas a principal são compostas de elementos não nulos.

[1 1 0 01 2 2 00 2 3 30 0 3 4]


U =[1 2 30 8 50 0 2]

L=[2 0 03 5 01 2 1]

I 3=[1 0 00 1 00 0 1]

N =[0 00 0]

L=[2 0 03 5 01 2 1]L=[2 0 03 5 01 2 1]

A=[1 −37 2]

B=[−1 3−7 −2]

[a bc d ]=[1 2

5 7] a=1 ;b=2 ;c=5 ; d=7


2.3. Operações

Adição

C = A + B

Propriedades

SubtraçãoC = A - B

Multiplicação por um número kC = k B

Propriedades

Obs: a e b podem ser números complexos

MultiplicaçãoC = A.B

Definição indicial

Obs: matrizes quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas

As matrizes são do mesmo tamanho m x n.

c ij = aij bij V i e j

A + B = B + A comutativaA + (B + C) = (A + B) +C associativaA + 0 = AA+(-A) = 0

C = A - B = A + (-B)

c ij =k b ij V i e j

a (b A) = (a b) Aa (A + B) = a A + a B(a +b) A = a A + b A1.A = A

A = a ij m× p

B = b jk p×n

C = cik m×nonde cik = a i1 b1k ai2 b2k a i3 b3k aip b pk

c ik = ∑j=1

p

aij b jk


[1 21 3][4 7

5 8]=[5 96 11]

[2 3 0 1 ][7 2 5 3 ]=[ 9 5 5 4]

[4 72 30 5]−[7 1

3 27 0]=[−3 6

−1 1−7 5]

3[2 31 −4]=[6 9

3 −12] 2[235]4[ 1

1−2]=[ 8

102 ]


2.3. Operações (cont.)

MultiplicaçãoC = A.B

Definição esquemática

Wikipédia, 2009

Propriedades

Matriz TranspostaAt

Propriedades

Matriz simétrica

Matriz anti-simétrica

c ik = ∑j=1

p

a ij b jk

A.B ≠ B.A não é comutativaA.B = 0 ≠ > A = 0 ou B = 0

(A.B).C = A.(B.C) associativa(A+B).C = A.C+B.C distributiva a direitaC.(A+B) = C.A+C.B distributiva a esquerda(k.A).B = A.(k.B) = k.(A.B) k = constante real ou imagináriaA.In = Im.A = A A é uma matriz m x n

At = (bji) , tipo m x n, é a matriz transposta de A = (aij), tipo m x n onde,

bij = aij V i e j

(A+B)t = At + Bt

(kA)t = kAt

(A.B)t = Bt.At

É a matriz quadrada cuja transposta é igual a matriz original:At = A ou seja, aij = aji V i e j

É a matriz quadrada cuja transposta é igual a oposta da matriz original:At = -A ou seja, aij = -aji V i e j


a i1 a i2 a i3 a ip ⋅

b1k

b2k

b3k

...bpk

c ik

i−ésima linha de A k−ésima linha de B elementoik de C

[1 1 22 3 1].[4

05]=[14

13]2 x3 3 x1 2 x1

A.B=[1 23 5].[4 6

7 8]=[−18 2247 58]

B.A=[4 67 8].[1 2

3 5]=[22 3831 54]

[1 01 0].[0 0

1 1]=[0 00 0]


2.4. Determinantes

Propriedades



2.5. Matrizes inversíveis

Gabriel Cramer1704-1752

Matriz Inversa (A-1)

Matriz de Cofatores (A')

Matriz Adjunta (Ᾱ)

2.6. Matrizes no SciLab

A−1 = 1D

A

pois,

A A=A A=D I n

D A−1 = AD A A−1 = A AD I n = A A

D A−1 = AD A−1 A = A AD I n = A A



2.7. Resolução de Sistemas Lineares

2.7.1. Representação

2.7.2. Solução

2.7.3. Classificação

Solução únicaSem solução(eq. inconsistente)Infinitas soluções(eq. redundante)Solução trivial

2.7.4. Operações com Sistemas Lineares

a11 x1a12 x2=b1

a21 x1a22 x2=b2


x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2


2.7.5. Aplicações

Diagrama de corpo livre

Força de uma mola

K é a constante da mola

Força da gravidade

g é aceleração da gravidade

A matriz de coeficientes K é chamada de matriz de rigidez do sistema e é simétrica.

Modelo de um sistema mecânico

2a Lei de Newton no equilíbrio

∑ F ext=0

Massa 1: ∑ F x=2F 1−P1−2F2−W 1

Massa 2: ∑ F x=2F 2− P2−2F 3−W 3

Massa 3: ∑ F x=2F 3−P3−W 3

F 1=K1 x1F 2=K 2 x2−x1F 3=K 3 x3−x 2

W 1=m1 gW 2=m2 gW 3=m3 g

O sistema de equações lineares que modelam o problema é:

2 K1K 2 x1−2K2 x2=P1m1 g−2K2 x12K 2K 3 x2−2K3 x3=P2m2 g−2K3 x22K3 X 3= P3m3 g

2[ K1K 2 −K 2 0−K 2 K 2 K3 −K 3

0 −K 3 K 3][ x1

x2

x3]=[ P1

P2

P3][m1 g

m2 gm3 g ]

2 K X =P W

● para P = 0 o sistema está em equilíbrio devido ao peso próprio;● para uma dada carga P os decolamentos X são únicos;● para uma carga cíclica P os deslocamentos X também são cíclicos.



2.7.5. Aplicações (cont.)

Ponte de Wheatstone

Ao longo de qualquer circuito envolvendo a fonte.

Nós do circuito = pontos A, B, C e D na figura

Nó DNó B

Circuito ADCCircuito ABC

Circuito ADBC

Usar substituição progressiva!

Instrumentação:

Uma Ponte de Wheatstone (ao lado) é um circuito elétrico usado para medição de sinais de vários tipos de sensores (de termistores a células de carga). O medidor de tensão, de resistência Rg, fica entre os terminais D e B da ponte. A fonte fornece uma força eletromotriz E ao circuito.

Vamos mostrar que para uma condição de equilíbrio na ponte, temos:

I g=0 ⇒R4

R3=

R1

R2

As leis que regem o fenômeno físico são:

Lei de Ohm V =R.I

Lei de Kirchhoff ∑ I nó=0

O sistema de equações lineares que modelam o sistema é:

I 1−I 2− I g=0I 3−I 4I g=0R1 I 1R2 I 2= ER3 I 3 R4 I 4=E

R1 I 1R3 I 3R g I g=E

Na notação matricial:

[1 −1 0 0 −10 0 1 −1 1R1 R2 0 0 00 0 R3 R4 0R1 0 R3 0 Rg

] [I 1

I 2

I 3

I 4

I g

]=[ 00EEE

]ou seja,

A X =B

Resolvendo o sistema para Ig = 0 , obtemos,

R4

R3=

R1

R2



2.7.6. Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Lineares

Métodos Diretos

Exemplos de métodos diretos

Métodos Indiretos

Exemplos de métodos indiretos

(SOR = successive over relaxation)

2.7.6.1.. Métodos Diretos

A solução é encontrada por métodos algébricos com um número fixos de operações. A solução é exata.

Recomendados para:

• Sistemas lineares pequenos (n<=1000).• Matriz de coeficientes do tipo matriz cheia, onde a maioria dos

elementos são não nulos (aij ≠ 0).

• Método da Eliminação de Gauss• Método da Eliminação de Gauss-Jordan• Método da Inversão da Matriz de Coeficientes• Método da Decomposição LU

A solução é encontrada por tentativa e erro, através de um processo iterativo. Uma solução é assumida e substituída no sistema de equações para o cálculo do erro. Este erro é usado para melhorar a estimativa. O procedimento é repetido até que o erro calculado seja menor que um valor pré-definido. A solução final é aproximada.

Recomendados para:

• Sistemas lineares grandes (n>1000).• Matriz de coeficientes do tipo matriz esparsa , onde a maioria dos

elementos são nulos (aij =0).

• Método de Iteração de Jacobi• Método de Iteração de Gauss-Siedel• Método da Relaxação• Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR)

Serão discutidos os Métodos de Gauss e o da Decomposição LU.



2.7.6.11.. Método de Gauss

Método da Eliminação de Gauss

Método da Triangularização de Gauss

Carl Friedrich Gauss1777-1855

Fórmula generalizada de transformação:

Lik=mik

k−1 Lkk −1 Li

k −1

k = índice de iteração;i = índice da linha.

Obs.: nenhum elemento da diagonal principal pode ser nulo.

É um método direto de solução de sistemas lineares.

Consiste em transformar um sistema de equações lineares em um outro sistema triangular superior, equivalente ao primeiro, e de solução direta por substituição retroativa.

[a11 a12 ⋯ a1n b1

a21 a22 ⋯ a2n b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 ⋯ ⋯ ann bn

] [1 c12 ⋯ c1n d 1

0 1 ⋯ c2n d 2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 1 d n

]Etapas:

1) Escrever a matriz aumentada C0= [A : B]

2) Pivotamento

• Escolher o pivô (elemento da diagonal principal) a011

• Encontrar os multiplicadores para eliminar os termos a021 e a0

31

m210 =−a21 /a11

m310 =−a31 /a11

3) Transformar as linhas para obter a nova matriz aumentada C1

L11=L1

0

L21=m 21

0 L10L2

0

L31=m31

0 L10 L3

0

4) Repetir as operações de pivotamento e transformação para o novo pivô até chegar a última linha da matriz aumentada.

L12= L1

1

L22= L2

1

m321 =−a32 /a22 L3

2=m321 L2

1L31

5) Resolver o sistema triangular superior por substituição retroativa.



2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.)

Exemplo

A X = B

C0 = [A : B]

L12 =

-2*[ 2 3 -1 : 5] + [ 4 4 -3 : 3 ] = [ 0 -2 -1 : -7]

Matriz triangular superior

Solução por substituição retroativa

Solução Final

Sistema de ordem 3

2x13x2−x 3=54x14x 2−3x3=32x1−3x2x 3=−1

C0=[ 2 3 −1 ⋮ 54 4 −3 ⋮ 32 −3 1 ⋮ −1] L1

1=L10

m210 =−a21/ a11=−2 L2

1=m210 L1

0 L20

m310 =−a31/ a11=−1 L3

1=m310 L1

0L30

C1=[2 3 −1 ⋮ 50 −2 −1 ⋮ −70 −6 2 ⋮ −6] L1

2= L11

L22=L2

1

m321 =−a32/ a22=−3 L3

2=m321 L2

1L31

C 2=[2 3 −1 ⋮ 50 −2 −1 ⋮ −70 0 5 ⋮ 15 ]

5x3=15−2x2− x3=−7

2x13x 2−x3=5

X =[123] ou X t =[1 2 3]

Obs.: n = 3 exige 31 operações aritméticas




Exemplo

Matriz triangular superior

Solução por substituição retroativa

Sistema de ordem 4

C0=[ 3 2 0 1 ⋮ 39 8 −3 4 ⋮ 6

−6 4 −8 0 ⋮ −163 −8 3 −4 ⋮ 18 ]

L11= L1

0

m210 =−a21/ a11=−3 L2

1 =m210 L1

0L20

m310 =−a31/ a11= 2 L3

1=m310 L1

0L30

m410 =−a41/ a11=−1 L4

1 =m410 L1

0L40

C1=[3 2 0 1 ⋮ 30 2 −3 1 ⋮ −30 8 −8 2 ⋮ 100 −10 3 −5 ⋮ 15 ]

L12=L1

1

L22=L2

1

m321 =−a 32/a22=−4 L3

2=m321 L2

1L31

m421 =−a42/ a22= 5 L4

2=m421 L2

1 L41

C 2=[3 2 0 1 ⋮ 30 2 −3 1 ⋮ −30 0 4 −2 ⋮ 20 0 −12 0 ⋮ 0 ]

L13=L1

2

L23=L2

2

L33=L3

2

m430 =−a43/ a33= 3 L4

3=m432 L3

2L42

C3=[3 2 0 1 ⋮ 30 2 −3 1 ⋮ −30 0 4 −2 ⋮ 20 0 0 −6 ⋮ 6 ]

X =[ 2−1

0−1] ou X t=[ 2 −1 0 −1]

Obs.: n = 4 exige 76 operações aritméticasn = 5 exige 145 operações aritméticas

Exercício: Obter uma equação para calcular o número de operações aritméticas necessárias para a solução de um sistema linear de ordem n pelo método de eliminação de Gauss.




No SciLab:

function x = GaussElim(n,a,b)

// Matriz aumentada

c = [a b];

// Triangularização da matriz// aumentada

for k=1:n-1 for i=k+1:n mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; for j = k+1:n+1 c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); end end end

// Substituição retroativa

x=zeros(n,1);x(n)=c(n,n+1)/c(n,n);for i=n-1:-1:1 soma = 0; for j=i+1:n soma = soma +c(i,j)*x(j); end x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i);end

endfunction

Algorítimo de Triangularização de Gauss para Sistema Lineares

Entradas:Ordem do sistema linear nMatriz de coeficientes a[n,n]Matriz de termos independentes b[n,1]

Saída:Matriz de incógnitas x[n,1]

Início

// Definir os termos da matriz aumentadac[n,n+1]= a[n,n]:b[n,1];

// Triangularização da Matriz aumentada

Para k=1 até n-1 faça início Para i=k+1 até n faça início mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; Para j = k+1 até n+1 faça início c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); fim; fim; fim;

// Substituição retroativa

x(n)=c(n,n+1)/c(n,n);Para i=n-1 até 1 faça início soma = 0; Para j=i+1 até n faça início soma = soma +c(i,j)*x(j); fim; x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i); fim;Mostre a matriz x[n,1];

fim.



2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU

A matriz U é única!

Método de solução

l ij=1 se i= jl ij=0 se i j

u ij=0 se i j

Decomposição usando a igualdade LU = A

Forma indicial

Substituição progressiva

Substituiçãoretroativa

Solução

AX =B

A=[2 3 −11 0 20 3 −1] X =[ x1

x2

x3] B=[4

32]

A=LULUX =BLY =BUX =Y

LY =B Y UX =Y X

A=LU

L=[1 0 0l 21 1 0l 31 l 32 1] U =[u11 u12 u13

0 u22 u23

0 0 u33] A=[2 3 −1

1 0 20 3 −1]

u11=a11 u12=a12 u13=a13

l 21 u11=a21 ⇒ l 21=a21 /u11

l 21 u12u22=a22 ⇒ u22=a22−l 21u12

l 21 u13u23=a23 ⇒ u23=a23−l 21 u13

l 31u11=a31 ⇒ l 31=a31 /u11

l 31u12l 32 u22=a32 ⇒ l 32=a32−l 31u12/u22

l 31u13l 32u23u33=a33 ⇒ u33=a33−l 31u13−l32 u23

para i j u ij=aij se j=1 e u ij=a ij−∑k=1

j −1

l ik ukj se j1

para i j l ij=aij

u jjse j=1 e l ij=a ij−∑

k=1

j−1

l ik ukj/u jj se j1

LY =B

L=[1 0 01/2 1 00 −2 1 ] Y =[ y1

y2

y3] B=[4

32]

UX =Y

U =[2 3 −10 −3/2 5/20 0 4 ] X =[x1

x2

x3] Y =[4

14]

X t=[1 1 1 ]



2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU (cont.)

Rotina de Decomposição LU em código do SciLab

//Rotina de Decomposição LU para Sistema Lineares//entrada Ordem do sistema linear n// Matriz de coeficientes a[n,n] // Matriz de termos independentes b[n,1] //saída Matriz de incógnitas x[n,1]

function x = DecoLU(n,a,b)

// Decomposição de A em L(matriz triangular inferior) e U(matriz triangular superior)// LU=A

l = zeros(n,n); // zerar matrizes L e Uu = zeros(n,n);

for i=1:n // diagonal de L igual a 1 l(i,i)=1;end

j=1; // cálculo dos elementos de L e U para j=1for i=1:n if i<=j then u(i,j)=a(i,j); else l(i,j)=a(i,j)/u(j,j); endend

for i=1:n // cálculo dos elementos de L e U para j>1 for j=2:n SumLU=0; for k=1:j-1 SumLU=SumLU+l(i,k)*u(k,j); end if i<=j then u(i,j)=a(i,j)-SumLU; else l(i,j)=(a(i,j)-SumLU)/u(j,j); end endend // Substituição progressiva LY=B

y=zeros(n,1);y(1)=b(1); for i=2:n SumLY=0; for j=1:i-1 SumLY = SumLY + l(i,j)*y(j); end y(i)=b(i)-SumLY; end // Substituição retroativa UX=Y

x=zeros(n,1);x(n)=y(n)/u(n,n);for i=n-1:-1:1 SumUX = 0; for j=i+1:n SumUX = SumUX +u(i,j)*x(j); end x(i)=(y(i)-SumUX)/u(i,i);end

endfunction// Jose Eduardo Mautone Barros 22/04/2010



2.7.6.2. Métodos Iterativos

Exemplo:

AX =BAX −B=0AX IX −B= IXX = AI X −B

2.7.6.2.1. Método de Jacobi

Carl Gustav Jakob Jacobi 1804-1851

Obs: aii ≠ 0 V iSenão é necessário reagrupar as equações do sistema original.

Os métodos iterativos consistem em transformar o sistema de equações lineares original para uma outra forma que permita obter novas estimativas de valores do vetor de incógnitas X a partir de uma estimativa anterior de valores do vetor X.

A X =BparaX =F X D

A partir de uma aproximação inicial:

X 0 t=[ x10 x2

0 x30 ... xn

0 ]

obtemos a nova estimativa ,

X 1=F X 0 De repete-se até que,

máx∣x ik 1− x i

k∣≤oukM

onde, ε = tolerância na soluçãoM = número máximo de iterações

Seja o sistema de equações lineares (LES),

a11 x1a12 x2a13 x3 ...a1n xn=b1

a21 x1a22 x2a23 x3 ...a2n xn=b2

...an1 x1an2 x2an3 x3 ...ann xn=bn

explicita-se as incógnitas x da seguinte forma:

x1=b1−a12 x2a13 x3 ...a1n xn

a11

x2=b2− a21 x1a23 x3 ...a2n xn

a22

...

xn=bn− an1 x1an2 x2...an n−1 xn−1

ann



2.7.6.2.1. Método de Jacobi (cont.)

Método do Resíduo Ri

(k)

É mais atual!

O método iterativo de Jacobi consiste em:

a) Partindo-se de uma aproximação inicial

X 0=x10 , x2

0 , x30 , , xn

0t

b) Calcula-se a sequência de aproximações

X1,X2, X3, ..., Xk

utilizando as equações:

x1k1= 1

a11b1−a12 x2

k −a13 x3k −a14 x4

k −−a1n xnk

x2k1= 1

a22b2−a21 x1

k −a23 x3k−a2 x4

k−−a2n xnk

x3k1= 1

a33b3−a31 x1

k −a32 x2k−a34 x4

k−−a3n xnk

xnk1= 1

annbn−an1 x1

k −an2 x2k−−an n−1 xn−1

k

c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita:


k∣≤oukM

onde,

ε = tolerânciaM = número máximo de iterações

x ik1=x i

kRi

k

a iii=1..n

Rik=bi−∑

j =1

n

a ij x jk i=1..n



2.7.6.2.2. Método de Gauss-Siedel


(k)

É mais atual!

Seja o sistema:

A X = B

O método iterativo de Gauss-Siedel consiste em:

a) Partindo-se de uma aproximação inicial

X 0=x10 , x2

0 , x30 , , xn

0t

b) Calcula-se a sequência de aproximações

X1,X2, X3, ..., Xk

utilizando as equações:

x1k1= 1

a11b1−a12 x2

k −a13 x3k −a14 x4

k −−a1n xnk

x2k1= 1

a22b2−a21 x1

k 1−a23 x3k−a2 x4

k−−a2n xnk

x3k1= 1

a33b3−a31 x1

k 1−a32 x2k1−a34 x4

k −−a3n xnk

xnk1= 1

annbn−an1 x1

k1−an2 x 2k1−−ann−1 xn−1

k 1

c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita:


k∣≤oukM

onde,

ε = tolerânciaM = número máximo de iterações

x ik1=x i

kRi

k

a iii=1..n

Rik=bi−∑

j =1

i −1

a ij x jk1−∑

j =i

n

a ij x jk i=1..n



2.7.6.2.3. Super-relaxação Sucessiva (SOR)

SOR = successive over-relaxation


(k)

w< 1 sub-relaxadow> 1 super-relaxado

Alteração do método de Gauss-Siedel para acelerar a convergência.

x ik1= xi

k Ri

k

a iii=1..n

Rik=bi−∑

j =1

i −1

a ij x jk1−∑

j =i

n

a ij x jk i=1..n

Fator de relaxação (ω)

0 < w < 2



2.8. Problemas de Autovalor

Exemplo

ϖ = freqüência naturalϕ = ângulo de faseXi = amplitude da oscilação da massa i

Seja o sistema de equações lineares:

A X = B

● Se det A ≠ 0○ Ele admite solução única

● Se: det A = 0○ Ele pode não admitir solução○ Ele pode admitir um número infinito de soluções○ Ele pode admitir ao menos a solução trivial, X = 0, se o

sistema for homogêneo, A X= 0

Para sistemas homogêneos, com det A = 0, só existe a solução trivial se os coeficientes aij forem fixos. Se alguns destes coeficientes for função de uma variável, tal como lambda (λ), existem outras soluções diferentes da trivial. Neste caso, a matriz X é chamada de autovetor e os valores de lambda são chamados de autovalores do sistema de equações lineares.

O sistema da figura acima é constituído de duas massas e duas molas idênticas. As equações diferenciais que descrevem o seu estado (posições das massas) são obtidas a partir do balanço de forças em cada massa do sistema. Do seguinte modo,

Md 2 x1

d t 2 = K x 2−x1−K x1=K x2−2 K x1

Md 2 x2

d t 2 =−K x2−x1=K x1− K x2

As solução isoladas dos sistemas massa-mola são:

x1= X 1 sen t x1= X 1 cos t x1=− X 1 2 sen t

x2= X 2 sen t x2= X 2 cos t x2=−X 2 2 sen t


KK

M

x

x1x2

M

x1

x2

x1

x2


2.8. Problemas de Autovalor (cont.)

Definição arbitrária

Problema de Autovalor

Equação característica

Solução Numérica do Exemplo

Autovalores

Substituindo as soluções nas equações diferenciais, temos,

2− X 1− X 2=0−X 11− X 2=0

onde, lambda foi definido como,

= 2 MK

Na forma matricial,

[2− −1−1 1−][ X 1

X 2]=0

ou,

A− I X =0

Esta é a forma clássica do Problema de Autovalor.

A equação característica do problema de autovalor é obtida pela condição de múltiplas soluções, não triviais, para o sistema de equações lineares.

det A− I =0

A solução gera um polinômio da mesma ordem do número de equações do sistema e cujas raízes são os autovalores do sistema de equações lineares homogêneo.

∣2− −1−1 1−∣=0

2−1−−1=0

2−31=0

Assim,

1=2,6180 2=0,3820



2.8. Problemas de Autovalor (cont.)

Autovetores

Significado físico

Para calcular os autovetores, usamos cada um dos autovalores,

Para λ1 = 2,6180

[−0,6180 −1−1 −1,6180 ][ X 1

X 2]=0

X 2=−0,6180 X 1

Para λ2 = 0,3820

[1,6180 −1−1 0,6180 ][ X 1

X 2]=0

X 2=1,6180 X 1

Considerando X1 = 1 , temos,

X1 = 1 e X2 = -0,6180 para λ1 X1= 1 e X2 = 1,6180 para λ2

● Para λ1 as massas estão se movendo em direções opostas e a amplitude da oscilação da segunda massa é 61,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:

1=1 KM

● Para λ2 as massas estão se movendo na mesma direção e a amplitude da oscilação da segunda massa é 161,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:

2=2 KM



Métodos de solução

Solução do problema de autovalor em programas simbólicos

Matlab

Scilab

Obs

O problema é achar os autovalores quando o polinômio gerado é de elevado grau, por exemplo, de ordem 300. Ou seja, possui 300 raízes.

A solução do problema de achar os autovalores pode ser feita através dos seguintes métodos:

● Diretos – solução pela definição ou usando uma modificação da equação característica;

● Indiretos – solução iterativa ou outro método de busca de raízes, tais como,○ Método da potência○ Método do inverso da potência○ Método do deslocamento de autovalores.

eig(A,X)

[erots,X] = spec(A)

Existem problemas de autovalor que não são lineares:

[ A−B ] X =0

det [ A−B]=0


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