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Capítulo 25:
Capacitância
Capacitor
Capacitância
Calculo da capacitância
Capacitores em paralelo e em série
Energia armazenada em um campo elétrico
Capacitor com dielétrico
Dielétricos: uma visão atômica
Dielétricos e a Lei de Gauss
Cap. 25: Capacitância
Índice
Cap. 25: Capacitância
Dois condutores isolados entre si e do ambiente, formam um capacitor. Quando este dispositivo está carregado, as cargas nos condutores ou placas, tem o mesmo valor absoluto q, e sinais opostos. Este tipo de dispositivo serve para armazenar cargas elétricas e fornecê-las em um momento futuro.
Capacitor
Cap. 25: Capacitância
Sempre podemos escrever a diferença de potencial V, em termos da carga q.
Capacitância
Cq
V
C é uma constante geométrica denominada de Capacitância. No SI sua unidade de medida é o coulomb por volt denominado de farad [C/V = F].
Cap. 25: Capacitância
Capacitância
• Quando a chave S é fechada passa a ter corrente elétrica entre os terminais devido ao campo elétrico criado pela bateria.
• Os elétrons se deslocam da placa a do capacitor para o terminal positivo da
bateria e a placa a fica positivamente carregada.
• Os elétrons se deslocam do terminal negativo da bateria para a placa b e ela fica negativamente carregada. O capacitor está completamente carregado quando a diferença de potencial do capacitor atingir o mesmo valor da bateria.
Obs: Para análise futura: as cargas não podem passar de uma placa para a outra e o capacitor conserva a carga.
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Capacitor de placas paralelas
Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q.
0
int
qdAnE
EAq 0
Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E.
Calcular C a partir dos valores de q e V.
d
EdssdEV0
E = cte entre as placas e tem sentido oposto ao de ds.
EdV
Cq
V EdEA
Vq
C 0d
AC 0
A é a área de uma das placas do Capacitor e d é a distância que separa as placas.
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Capacitor Cilíndrico
Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q.
0
int
qdAnE EAq 0
Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E.
Calcular C a partir dos valores de q e V.
sdEV
a
bL
Vq
Cln
2 0
a
bL
Cln
2 0
rLEq 20
a
brL
qV |ln
2 0
a
b
drrL
qV )(
2 0 -drds
a
bL
qV ln
2 0
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Capacitor Esférico
Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q.
0
int
qdAnE
EAq 0
Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E.
Calcular C a partir dos valores de q e V.
sdEV
ab
abqq
Vq
C
04
ab
abC 04
2
0 4 rEq
-drds
a
b
drr
qV )(
4 2
0
ba
q
r
qV a
b
11
4|
4 00
ab
abqV
04
2
04 r
qE
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
A Esfera Isolada
Consideremos um capacitor esférico com a casca esférica externa de raio infinito!
b
ab
abC 04
b
a
aC
14 0
RC 04 R é o raio da esfera, neste caso R = a.
Cap. 25: Capacitância
Capacitores em Paralelo
Calculando as cargas em cada capacitor.
VCq 11 VCq 33 VCq 22
321 qqqq
321 CCCC
n
j
jeq CC1
Capacitores ligados em paralelo: A diferença de potencial é a mesma em todos os capacitores, inclusive no capacitor equivalente!
A carga total armazenada no circuito (carga do capacitor equivalente) é igual à soma da carga de cada um dos capacitores!
VCVCVCCV 321
Cap. 25: Capacitância
Capacitores em Série
Calculando a diferença de potencial.
321 VVVV
321
1111CCCCeq
n
j jeq CC1
11
Capacitores ligados em série: A carga em cada um dos capacitores é igual, inclusive no capacitor equivalente.
A diferença de potencial do capacitor equivalente é definida pela soma das diferenças de potencial de cada um dos capacitores.
321 Cq
Cq
Cq
Cq
eq
CVq
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Exemplo 2) pg. 119
a) Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que aparece na figura abaixo, na qual, C1 = 12 F, C2 = 5,30 F e C3 = 4,50 F.
Passo 1: Em paralelo.
Passo 2: Em série.
FCCC peq 3,173,51221
3
111CCC peqeq
FCeq 57,3
b) Determine a carga acumulada no capacitor C1 quando a diferença de potencial é de 12,5 V.
CVCq eq 6,445,12)1057,3( 6
123
abpeq VCqq 12123
VCqV peqab 58,2/12
CVCq ab 3111
Encontrar a carga equivalente emC123 que será a mesma em C3 e Ceq p
Calcular a diferença de potencial entre A e B.
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Exemplo 3) pg. 120
O capacitor 1, com C1 = 3,55 F, é carregado por uma bateria com diferença de potencial de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é ligado, como na figura ao lado, a um capacitor 2 com C2 = 8,95 F. Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido.
• Calcular q0 quando apenas o capacitor 1 é carregado. CVCq 5
10 1024,2
• Após a chave ser fechada, sem a bateria, q0 = q1 + q2, assim como, V1 = V2 (Circuito em Paralelo).
2
2
1
1
Cq
Cq
2
10
1
1 )(C
qqC
q
)( 12
011 CC
qCq
Cq 35,61
Cqqq 16102
Cap. 25: Capacitância Energia armazenada em um
campo elétrico
A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associado ao campo elétrico que existe entre as placas.
Para transferir uma carga dq’ ao capacitor (imaginando o carregamento do capacitor), é necessário que um agente externo realize um trabalho dW descrito como:
C
qdq
C
qVdqdW
ag2
''
'2
00
C
qWag
2
2
Como o capacitor estava inicialmente carregado, a variação de Energia Potencial pode ser descrita pela energia final acumulada no capacitor durante o processo de carga!
22
2
1
2CV
C
qWU ag
q
WV
ag
Cap. 25: Capacitância
Densidade de Energia
A densidade de energia, u, é definida pela razão entre a energia acumulada e o volume necessário para acumulá-la.
Volume
Uu
Para um capacitor de placas paralelas:
2
2
0
2
2
2
1
d
V
Ad
CV
u
d
AC 0
2
02
1Eu Densidade de Energia
Cap. 25: Capacitância Energia armazenada em um
campo elétrico
Exemplo 5) pg 124
Uma esfera condutora isolada de raio 6,85 cm possui uma carga de 1,25 nC. a) Qual é a energia potencial armazenada no campo desse condutor? b) Qual a densidade de energia na superfície da esfera?
Uma esfera isolada possui capacitância dada por: RC 04
mJR
qU 103
)4(2 0
2
Sabendo o Campo Elétrico na superfície da esfera, temos:
3
4
0
2
22
2
0
0
2
0 /4,25)32(42
1
2
1mmJ
R
q
R
qEu
Cap. 25: Capacitância
Capacitor com um Dielétrico
Michael Faraday, constatou que em um capacitor contendo um material dielétrico - isolantes, plásticos, óleo mineral... – a capacitância é multiplicada por uma constante dependente da composição do dielétrico. Essa constante é chamada de constante dielétrica, . Sendo assim, sempre que uma região for totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica , o valor da permissividade do vácuo, 0, deve ser substituído por 0 em todas as equações.
0C
C00
Vantagens do uso dos dielétricos em capacitores:
Facilidade em manter as placas dos capacitores separados.
Aumento na capacitância, e por consequência, aumento no acumulo de cargas.
Permite aumento na diferença de potencial entre as placas sem que haja ruptura.
Rigidez dielétrica: Campo elétrico máximo que o material pode tolerar sem que ocorra a ruptura.
Cap. 25: Capacitância
Capacitor com um Dielétrico
Exemplo 6) pg. 126 Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pF é carregado por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V = 12,5 V entre as placas. A bateria é desligada e uma placa de porcelana (κ = 6,5) é introduzida entre as placas. Qual a energia potencial do capacitor (antes e depois) da introdução da placa cerâmica? (1100 pJ; 160 pJ)
Antes da introdução da placa:
2
002
1VCU pJU 11000
Depois da introdução da placa: A carga é a mesma da situação inicial!
0
0
22
22
U
C
q
C
qU pJU 160
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
As moléculas dos materiais dielétricos podem ser polares ou apolares. Na presença de um campo elétrico todas as moléculas de um dielétrico apresentam polarização. Sendo assim, quando um campo elétrico é aplicado, os dipolos elétricos se alinham parcialmente na direção do campo. Esse alinhamento é parcial, por causa da agitação térmica que tende a desorientar os dipolos.
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Do ponto de vista de um capacitor:
Se q = cte V diminui
Se V = cte q aumenta
101 VCq
202 VCq
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Analise das cargas de um capacitor com a mesma diferença de potencial
'0 qqq
0q
Sem dielétrico
+ + + ++
- - - --
Com dielétrico
0q
q
´q
q
´q
q0 = carga do capacitor sem polarizador q = carga livre induzida na placa do capacitor devido a inserção do dielétrico. q’ = carga de polarização (fixa na sup. Do dielétrico).
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Na presença de um material dielétrico, podemos escrever a lei de Gauss da seguinte forma:
00
int'
qqqdAnE
A
qqE
0
'
Sabemos que na presença de um material dielétrico o campo elétrico diminui:
/0EE
A
qE
0
'qqq
0
qdAnE
qdAnD ED
0
Vetor Deslocamento Elétrico
q é a carga livre (placa metálica). q’ é a carga de polarização (induzida no dielétrico).
0EE
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Exemplo 7) pg. 129 A figura ao lado mostra um capacitor de placas paralelas com área das placas A, distância de separação d, carregado por meio de uma diferença de potencial V0 de uma bateria. A bateria é removida e é introduzido um dielétrico de espessura b, com constante dielétrica . Suponha que A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e = 2,61. Determine: a) Qual a capacitância C0 antes da introdução do dielétrico?
pFC 21,80 d
AC 0
0
b) Qual o valor da carga das placas?
00VCq pCq 702
c) Qual é o valor do campo elétrico entre as placas e o dielétrico?
Na região sem a presença do dielétrico, = 1, temos:
0
qdAnE
A
qE
0 mkVE /9,6
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Exemplo 7) pg. 129 A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e = 2,61. C0 = 8,21 pF, q = 702 pC e E0 = 6,9 kV/m. d) Qual é o valor do campo elétrico dentro do dielétrico?
e) Qual é a diferença de potencial entre as placas depois da introdução do dielétrico?
f) Qual é a capacitância do capacitor com o dielétrico?
A carga antes e depois da inserção é a mesma!
qdAnE
10A
qE
0
1
mkVE /64,21
bEbdEsdEV 101 )(
VV 3,521
pFV
qC 4,13
11
Cap. 25: Capacitância
Lista de Exercícios
5, 7, 12, 13, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 45, 49, 50, 53, 54, 63.
Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.