Cap. 27 (8a edição)

Circuitos.

Circuitos elétricos, nos dias de hoje, são elementos básicos de qualquer aparelho elétrico e eletrônico, como rádios, TV, computadores, automóveis, aparelhos científicos, etc. Quando desenhamos um diagrama para um circuito, representamos as baterias, capacitores e resistores por símbolos, como mostra a tabela. Fios cuja resistência é desprezível comparado com as outras resistências do circuito são desenhados como linhas retas.

Trabalho energia e força eletromotriz

para que tenhamos movimentação das cargas elétricas no circuito, devemos realizar trabalho sobre elas. Por isso

definimos a força eletromotriz ( - fem) como sendo:

Geradores:

Gerador ideal: r = 0.

Gerador real:

Cálculo da corrente em um circuito.

Resistores em Série

Quando dois ou mais resistores são conectados em sequência são ditos estarem em série. Neste caso, a corrente i é a mesma que passa por cada um dos resistores.

Vamos assumir que o conjunto de resistores do circuito foram submetido a uma diferença de potencial V e que todas as outras resistência do circuito podem ser ignoradas. De acordo com a lei de Ohm, a diferença de potencial entre os terminais de cada resistor é V1=iR1, V2 =iR2 e V3 =iR3.

Estando os resistores conectados em série a conservação de energia estabelece que voltagem V é a soma das voltagens V1, V2 e V3. Assim,

onde R é a resistência equivalente deste circuito, dada por

Isto significa que quando conectamos várias resistências em série, a resistência equivalente é igual a soma direta das resistência em separado, isto é;

Note que quando mais resistência é introduzida no circuito, menor será a corrente no circuito, supondo que a ddp (V) aplicada, se mantenha constante. Isto é uma consequência da lei de Ohm.

Resistores em Paralelo

Uma outra forma simples de conectar resistores é em paralelo, como mostra no circuito. Neste caso, a corrente i produzida pela fonte é dividida em diferentes correntes ik. Lembrando que a

corrente elétrica é uma consequência do fluxo de carga e que a carga total do circuito se conserva, temos que a corrente i do circuito deve separar-se em diferentes correntes ik , menores, de forma que a soma linear de todas ik é igual a i. Isto é;

Quando os resistores estão em paralelo, cada um experimenta ou estão sob a mesma voltagem V. Então pela lei de Ohm temos que;

 Usando as equações anteriores, notamos podemos determinar a resistência equivalente para um circuito em paralelo, de forma análoga ao caso dos resistores em série, isto é;

Isto significa que quando conectamos várias resistências em paralelo, a resistência equivalente R pode ser determinada por;

Regras de Kirchhoff

Estudaremos agora circuitos elétricos mais complexos, como por exemplo, circuitos com mais de uma fonte e resistores em série e paralelo. Para isso inicialmente, definimos dois termos importantes, nó e malha:

       - Um nó em uma rede é um ponto onde três (ou mais) condutores são ligados.         - Uma malha é qualquer caminho condutor fechado.

Como por exemplo, os pontos b e esão nós, mas a, c, d e f não são, veja Fig.1. As malhas possíveis neste circuito são as trajetórias fechadas definidas pelos pontos: abef, acdf e bcde.

Fig. 1    Circuito com várias malhas e nós

Regra dos Nós: A soma algébrica das correntes que se dirigem para qualquer nó é igual a zero;

Este princípio é conhecido por Primeira Lei de Kirchhoff ou lei dos nós. Ele é uma consequência da conservação da carga total existente no circuito. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós.

Regra das Malhas: A soma algébrica das forças eletromotrizes (fem) em qualquer malha fechada é igual a zero.

a qual é conhecida como Segunda Lei de Kirchhoff ou lei das malhas. Esta lei é uma generalização do princípio da conservação da energia em um circuito fechado.

REGRA DA RESISTÊNCIA: Percorrendo-se um resistor no sentido da corrente, a variação no potencial é - iR; no sentido oposto é + iR. Num análogo gravitacional: andando-se corrente abaixo num riacho, nossa elevação diminui; andando-se corrente acima ela aumenta.

REGRA DA FEM : Percorrendo-se um dispositivo ideal de fem no sentido da seta da fem, a

variação no potencial é    ; no sentido oposto é    . 

Aplicação das Leis de Kirchhoff

        Observando o circuito da Fig.1, notamos que existem três correntes (i1, i2, i3) desconhecidas. A caracterização do circuito ficará completa com a determinação das correntes, isto é calcular as suas intensidades e sentidos de percurso em cada malha. Neste caso, é necessário construir três equações independentes, pois se tem três incógnitas (i1, i2, i3).

Fig.1 - Circuito elétrico com duas malhas

        A solução deste problema pode ser encontrada usando as leis de conservação de Kirchhoff, como discutido acima. Os passos a seguir descrevem este procedimento;

        O referido circuito tem dois nós, os pontos b e e , consequentemente existem duas equações;

Lei dos Nós

i)                  nó (b)

ii)                nó (e)

        Notamos que estas duas equações não são independentes, portanto devemos escolher uma delas, ficando as duas outras equações a serem determinadas pela lei das malhas. De um modo geral podemos dizer que o número máximo de equação independente que podem ser construídas a partir desta lei é igual ao numero de nós menos um. Isto é, se existem N nós tem-se N-1 equações linearmente independentes.

Lei das Malhas

        Neste circuito têm-se três malhas, são elas; abef, acdf e bcde. Consequentemente podem-se construir três equações. Veremos a seguir que apenas duas delas serão independentes. Uma das equações poderá ser escrita como combinação linear das duas outras. De forma similar ao caso anterior, podemos dizer que se existem M malhas, então existirão M-1 equações linearmente independentes. Veja as equações a seguir;

iii)                         malha (abef) 

iv)                     malha (bcde)

v)               malha (acdf)

A dependência linear das equações acima pode ser facilmente verificada, somando as equações iii) e iv) para obter v).

        Finalmente a solução final para as correntes é dada resolvendo o sistema de três equações com três incógnitas. Neste caso, podemos usar as equações (i), (iii) e (iv) para construir o sistema de equações. Este sistema pode ser resolvido por qualquer técnica, todas elas levam à mesma solução para as correntes. Neste caso, a solução é dada pelas seguintes equações;

 

Circuitos RC

        Resistores e capacitores são frequentemente encontrados juntos em circuitos elétricos. O exemplo mais simples desta combinação é mostrado no circuito RC.

Quando a chave S é fechada, imediatamente inicia uma corrente que fluirá através do circuito.

Elétrons fluirão do terminal negativo da fonte   através do resistor R e ficará acumulado na placa superior do capacitor C. Consequentemente a mesma quantidade de elétrons fluirá da placa inferior do capacitor deixando-a mais negativa. Neste caso, a carga nas placas do capacitor vai aumentando, em módulo, enquanto houver corrente elétrica no circuito. Este

processo ocorrerá até que diferença de potencial entre as placas do capacitor fique igual a  . Isto significa que a corrente elétrica deve diminuir com o tempo.

Fig.1 (a) Circuito RC  (b) Evolução temporal da corrente no circuito RC.

        Usando a lei de conservação da energia ou simplesmente levando em conta as quedas dos potenciais no circuito, este fenômeno pode ser explicado.

        Seja q a carga no capacitor e i a corrente no circuito e um dado instante após a chave ter sido ligada. As diferenças de potenciais entre os terminais do resistor e do capacitor podem ser escritas por;

portanto,

                Derivando ambos lados da equação acima em relação ao tempo e levando em conta

que    é uma constante, temos que;

Resolvendo esta equação diferencial ou integrando ambos os lados com relação tempo, obtemos que

onde io é a corrente máxima no circuito. Esta equação mostra que a corrente no circuito decresce rapidamente a zero a medida que o tempo cresce.

Substituindo na equação podemos determinar uma expressão a carga no capacitor em função do tempo. Assim,

já que, por definição  =Rio   e   C  = Qmax é a carga máxima no capacitor. Assim temos:

A equação mostra que a carga no capacitor cresce rapidamente com o tempo, mas tem um valor limite que é igual a  Qmax= C.

Fig. 2-   Evolução temporal da carga no capacitor no processo de carregamento

        No instante t = RC a corrente decresce de um fator igual a 1/e com relação ao seu valor inicial io. O produto RC é denominado tempo de relaxação do circuito. A meia-vida do circuito, tmv é o tempo gasto para a corrente decrescer até a metade do seu valor inicial ou para o capacitor adquirir a metade de sua carga final. Então para i = io/2, temos que:

tmv = RC ln2 = 0,693 RC

Descarga do capacitor.

Quando a chave S é colocada na posição b, o capacitor descarrega, e, portanto temos: