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CAPITOLO 4

EQUAZIONI di CONSERVAZIONE 4.1 Classificazione delle Macchine Chiamasi “macchina” la sede di una trasformazione energetica operante mediante uno o più fluidi in azione dinamica o cinematica; detti fluidi sono i vettori energetici della trasformazione. Tale definizione generale ricomprende le macchine a flusso continuo, dette turbomacchine, (quali pompe, compressori, turbine), le macchine a fluido periodico, dette volumetriche (quali pompe, compressori, espansori volumetrici) e gli scambiatori di calore (quali generatori di vapore, condensatori, ecc.). Pertanto per macchina si intende un sistema che converte energia primaria in una forma più comodamente utilizzabile (energia meccanica). In una macchina a fluido in particolare tale conversione viene realizzata utilizzando un fluido, ad esempio aria, acqua o vapore. Tale fluido subisce una trasformazione all’interno della macchina, con un conseguente trasferimento di energia tra gli organi mobili della macchina (rotore) ed il fluido stesso. Il fluido a contatto con gli organi di una macchina scambia con questi delle forze. Si sottolinea come tali forze compiono lavoro solo se gli organi sono in movimento. Le macchine possono essere classificate in base al senso del trasferimento di energia; in particolare si parla di macchina operatrice quando il lavoro viene compiuto dalla macchina sul fluido con un conseguente assorbimento di potenza. Si parla di macchina motrice quando il lavoro viene compiuto dal fluido sulla macchina, con una erogazione di potenza all’albero della macchina. Esempi di macchine motrici sono le turbine idrauliche, le turbine a gas o a vapore, i motori a combustione interna, Diesel e a Ciclo Otto. Esempi di macchine operatrici sono i compressori, i ventilatori e le pompe. Un’altra classificazione si basa sulla natura del fluido evolvente. Si chiamano macchine idrauliche quelle che lavorano con fluidi incomprimibili; prendono invece il nome di macchine termiche quelle che usano fluidi comprimibili. Per un fluido incomprimibile la sua storia meccanica è separata da quella termica, che è peraltro ininfluente. Per un fluido comprimibile invece le due cose sono intimamente legate. Se si esercita una pressione su un fluido comprimibile, cambia la sua densità e si scalda; con un fluido incomprimibile ciò non accade. Si ha quindi energia termica che si converte in energia meccanica, e ciò si verifica solo in macchine a fluido comprimibile. Un’altra classificazione riguarda gli organi che scambiano energia, cioè quelli che interagiscono con il fluido: macchina rotativa o alternativa a seconda che l’organo mobile segua un moto rotatorio (ad es. turbine, compressori, pompe) o alternato (motori a combustione interna). Esempi di pompe rotative sono quella ad ingranaggi, il compressore a lobi tipo Roots e quello ad alette. Si distingue poi tra macchine dinamiche e volumetriche a seconda dell’andamento del flusso. Nelle macchine dinamiche, il flusso attraverso la macchina è continuo; tali macchine, come già anticipato sono dette turbomacchine. Nelle macchine volumetriche il flusso è invece periodico: la macchina preleva ciclicamente una certa quantità di fluido, le fa compiere la trasformazione, e quindi la scarica. Esempi di macchine

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volumetriche sono i compressori rotativi tipo Roots e i compressori ad alette. Le macchine alternative possono essere solo volumetriche, mentre quelle rotative possono essere sia volumetriche sia dinamiche. Un’ulteriore classificazione riguarda unicamente le macchine dinamiche (turbomacchine): a seconda della direzione del flusso all’interno della macchina si distingue tra macchine assiali, in cui il fluido procede prevalentemente in direzione parallela all’asse di rotazione della macchina, e macchine radiali, dove il fluido procede invece prevalentemente in direzione perpendicolare all’asse di rotazione della macchina. Esempi di macchine assiali sono il ventilatore assiale, il compressore assiale e le turbine a vapore. La pompa centrifuga è invece un esempio di macchina radiale. La Tabella 1 riassume tutte le classificazioni dette, mentre la Tabella 2 e la Tabella 3 riportano i principali tipi rispettivamente di macchine operatrici e di quelle motrici. Di queste ultime, nella realtà solo quelle riportate in rosso e sottolineate ed trovano applicazione. Scambio di energia motrici operatrici � � � � Tipo di fluido idrauliche termiche � � � �

Moto degli organi che scambiano lavoro alternative rotative � � � Regime di flusso volumetriche dinamiche � �

Direzione del flusso assiali radiali Tabella 1: classificazione delle Macchine a Fluido

Fluido motore

Movimento organo motore

Tipi di funzionamento

Macchine volumetriche

Macchine dinamiche

(turbomacchine)

Liquido Alternativo Pompe alternative -

Rotativo Pompe a ingranaggi, a

palette, a eccentrici ecc. Pompe

(assiali, miste, radiali)

Gas Alternativo

Compressori a stantuffo e a membrana

-

Rotativo Compressori Roost, a palette, a eccentrico

Compressori (assiali, misti, radiali)

Tabella 2: classificazione delle Macchine Operatrici

Fluido Movimento organo Tipi di funzionamento

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motore motore Macchine volumetriche

Macchine dinamiche

(turbomacchine)

Liquido

Alternativo Macchine idrauliche a revolver, stellari ecc.

-

Rotativo Macchine idrauliche a ingranaggi, a palette, a

eccentrici ecc.

Turbine idrauliche (Pelton, Francis, Kaplan e eliche)

Vapore Alternativo

Macchine alternative a vapore

-

Rotativo - Turbine a vapore

(assiali, radiali)

Gas

Alternativo

Motori alternativi a combustione interna, a combustione esterna,

ad accensione comandata, Diesel

-

Rotativo Motori rotativi a

combustione interna ecc.

Turbine a gas (assiali, radiali)

Tabella 3: classificazione delle Macchine Motrici Le macchine operano quindi con fluidi che subiscono, durante il loro moto tra le pareti delle macchine, trasformazioni termodinamiche; indipendentemente dal tipo di macchina e di fluido considerato, tali processi energetici sono governati dalla leggi della fisica. Elementi fondamentali nella trattazione teorica delle macchine sono quindi:

1. la conoscenza delle proprietà termodinamiche e fisiche dei fluidi; 2. la conoscenza delle equazioni della termo e fluidodinamica.

Nei prossimi paragrafi e capitoli saranno trattati questi argomenti.

Figura 1: sezione dei rotori di un motore-pompa idraulico rotativo, con vista esplosa.

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Figura 2: sezione trasversale di a) un compressore tipo Roots; b) un compressore rotativo a palette.

Figura 3: sezione longitudinale di una pompa centrifuga (1. cassa, 4. girante, 14, albero).

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Figura 4: ruota Pelton dell’impianto di S. Massenza e sezione trasversale dell’impianto idroelettrico (Franco

Tosi) - caduta 590 m; portata 14.8 m3/s; potenza 75 MW, velocità di rotazione 428 giri/min).

Figura 5: sezione trasversale di una turbina Francis dell’impianto di Ilha Solteira (Brasile) (Consorzio Voith, Neyrpic, Sfac, Escherwiss, Riva, Ansaldo, Tosi) - caduta 48 m; portata 450 m3/s; potenza 194 MW, velocità di

rotazione 85.7 giri/min.

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Figura 6: sezione trasversale di una turbina Kaplan dell’impianto di Jupià.

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Figura 7: ventilatore assiale.

Figura 8: compressore assiale.

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Figura 9: turbina a vapore a unico corpo.

Figura 10: turbina a vapore a doppio corpo con cross over.

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Figura 11: rotore di una turbina a vapore

Figura 12: turbogas bialbero aeroderivativo GE LM 1600.

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1 v1

2

v2

Q

L

4.2. Sistema aperto Si definisce sistema aperto un sistema il cui contorno può essere attraversato da:

- materia; - calore; - lavoro.

Per quanto concerne le tematiche oggetto del presente capitolo un sistema aperto può essere visto come una scatola nera attraversata da un fluido di lavoro (Figura 13).

Tutte le considerazioni sviluppate nel presente capitolo si baseranno sulle ipotesi semplificative di:

- modello monodimensionale del sistema; - moto stazionario del fluido di lavoro.

L’ipotesi di moto stazionario del fluido di lavoro implica:

- composizione chimica costante in un dato punto; - proprietà termodinamiche costanti in un dato punto; - velocità costante in un dato punto.

Figura 13: sistema aperto.

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4.3. Principio di conservazione della massa Si consideri il sistema in Figura 13, per il principio di conservazione della massa le portate massiche (kg/s) all’ingresso (1) e all’uscita del sistema (2), in assenza di accumulo, sono uguali tra loro.

m1 = m2

Quindi per un fluido, sia esso comprimibile che incomprimibile, si avrà che

222111

21

2222

1111

vAvA

mm

vAm

vAm

ρρρρ

=⇒

===

222111 vAvA ρρ = (fluidi comprimibili e incomprimibili) Dove:

- ρi è la densità del fluido al punto i-esimo; - A1 è l’area di passaggio del fluido al punto i-esimo; - vi è il vettore velocità del fluido in ingresso alla sezione di passaggio Ai e normale ad essa

(ricordiamo che siamo nell’ipotesi di modello monodimensionale). Indichiamo per semplicità con vi il modulo del vettore velocità;

Fluido incomprimibile Dato un fluido incomprimibile che attraversa il volume di controllo si ha che:

ρ1 = ρ2

quindi

221121

222111 vAvAvAvA

=⇒

==

ρρρρ

A1v1 = A2v2 (fluidi incomprimibili)

Dove il prodotto dell’area di passaggio per il vettore velocità in direzione normale all’area stessa non è altro che la portata volumetrica (V) del fluido.

m2 * m/s = m3/s Per un fluido incomprimibile si ha la conservazione della portata volumica (m3/sec).

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4.4. Principio di conservazione dell’energia Si ricorda che tutte le trattazioni fatte in questo corso si basano sull’ipotesi di sistemi semplificati, cioè sistemi termodinamici:

a) macroscopicamente in quiete, non sottoposti a campi gravitazionali ed esenti da effetti di superficie;

b) elettricamente e magneticamente neutri; c) chimicamente inerti.

4.4.1. Primo principio della termodinamica per sist emi chiusi

Dato un sistema chiuso, quindi un sistema che non può scambiare massa con l’esterno, per il I P.T.D. avremo che:

qe + le = ∆e = ∆u dove:

- qe è il calore massico scambiato con l’esterno; - le è il lavoro massico scambiato con l’esterno; - ∆e è la variazione di energia del sistema per unità di massa; - ∆u è la variazione di energia interna del sistema per unità di massa.

4.4.2. Primo principio della termodinamica per sist emi aperti

Dato un sistema aperto, in grado quindi di scambiare massa con l’esterno, per il I P.T.D. avremo che

qe + l = ∆e a sua volta la variazione di energia del sistema è pari a

∆e = ∆u + ∆ec + ∆ep

Mettendo a sistema si ha

qe + l = ∆u + ∆ec + ∆ep

dove

- l è il lavoro scambiato per unità di massa; - ∆ec è la variazione di energia cinetica del sistema per unità di massa; - ∆ep è la variazione di energia potenziale del sistema per unità di massa.

Il lavoro scambiato per unità di massa (l) è la somma del lavoro utile specifico massico (le) e del lavoro di pulsione specifico massico (lpulsione).

l = le + lpulsione Il lavoro utile specifico massico (le) è il lavoro scambiato per unità di massa tra il fluido che attraversa il sistema aperto e gli organi mobili che costituiscono la macchina (Figura 13 – pagina 10).

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Il lavoro di pulsione specifico massico (lpulsione) o anche detto lavoro di spostamento specifico massico è pari all’energia necessaria a muovere il fluido attraverso le sezioni (1) e (2) di ingresso e di uscita dal volume di controllo (Figura 13 – pagina 10).

lpulsione = p1v1 – p2v2

Dove

- pi è la pressione del fluido in corrispondenza della sezione di passaggio i-esima; - vi è il volume specifico massico del fluido in corrispondenza della sezione di passaggio i-

esima. Dall’analisi dimensionale si vede come il prodotto tra la pressione e il volume specifico massico dia luogo ad una grandezza che ha l’unità di misura di un lavoro specifico massico.

U.d.m. (p) = Pa = N/m2 U.d.m (v) = m3/kg Quindi

(P)(v) = N/m2 * m3/kg = N * m/kg = J/kg Dove J/kg non è altro che l’unità di misura del lavoro specifico massico. Pertanto dato un sistema aperto per il I P.T.D. abbiamo

pcpulsioneeepulsionee

pceeeullq

lll

eeulq∆+∆+∆=++⇒

+=

∆+∆+∆=+

Esplicitando tutti i termini

lpulsione = p1v1 – p2v2

∆ec = ½(v22-v1

2) � qe + le = (u2 – u1) + ½(v22-v1

2) + g (z2 – z1) + (p2v2 – p1v1)

∆ep = g (z2 – z1) Considerando che la densità (ρ) non è altro che il reciproco del volume specifico (v) si ha che il I P.T.D. per sistemi aperti assume la seguente espressione

qe + le = (u2 – u1) + ½(v22-v1

2) + g (z2 – z1) + (p2/ρ2 - p1/ρ1) che espressa in funzione dell’entalpia (h)

h = u + pv diventa

qe + le = (h2 – h1) + ½(v22-v1

2) + g (z2 – z1)

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tale equazione è valida sia per processi reversibili che reali (cioè irreversibili), sarà direttamente l’entalpia all’uscita del sistema a tenere implicitamente conto della presenza o meno di irreversibilità .

4.4.3. Lavoro perso

Dato un sistema chiuso abbiamo visto che il I P.T.D. assume la seguente forma

δq + δl = du E a sua volta il lavoro scambiato specifico massico è pari a

δl = pdv ponendo a sistema si ottiene

δq = du + pdv dalla definizione di entalpia, differenziano si ottiene

h = u + pv � dh = du + pdv + vdp ponendo a sistema

vvvvv

vpddppddhq

dppddudh

pdduq+−−=⇒

++=+=

δδ

Semplificando i termini si ottiene

δq = dh - vdp Per un processo reversibile si ha

TdsqT

qds =⇒= δδ

Ponendo a sistema avremo

dpdhTdsTdsq

dpdhqv

v−=⇒

=−=

δδ

Quindi per un processo reversibile

dh = Tds + vdp Questa espressione sebbene ricavata per un processo reversibile è valida anche per processi irreversibili essendo l’entalpia una grandezza di stato e quindi la variazione di entalpia è indipendente dal tipo di trasformazione (reversibile o meno) ma dipende solo dallo stato iniziale e finale del sistema.

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Per un processo irreversibile la variazione di entropia del sistema è maggiore del rapporto tra il calore scambiato con l’esterno e la temperatura del sistema

T

qds e

tot

δ>

Si ha invece che

T

q

T

qds irre

tot

δδ+=

Quindi

Tdstot = δqe + δqirr

Come precedentemente detto l’equazione

dh = Tds + vdp valida per processi reversibili lo è anche per processi irreversibili quindi

dh = Tdstot + vdp Ponendo a sistema si ha

dpqqdhqqTds

dpTdsdhirre

irretot

tot vv

++=⇒

+=+=

δδδδ

Il calore generato da processi irreversibili non è altro che il lavoro perso per le irreversibilità dovute agli attriti , quindi

δqirr = δl irr sostituendo si ha

dh = δqe + δl irr + vdp integrando

∫++=−2

1

12 vdplqhh irre

Ponendo a sistema con l’eq. di conservazione dell’energia per sistemi aperti

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( ) ( ) ( )( ) ( )⇒−+−+++=+⇒

++=−

−+−+−=+

∫∫

1221

22

2

1

2

1

12

1221

2212

2

1v

v

2

1

zzgvvdplqlqdplqhh

zzgvvhhlq

irreee

irre

ee

( ) ( )1221

22

2

12

1v zzgvvdpll irre −+−+=− ∫

Per un processo reversibili (l irr = 0)

( ) ( )1221

22

2

12

1v zzgvvdple −+−+= ∫

Per un sistema in quiete

∫=−2

1

vdpll irre

Dove

∫2

1

vdp

è il lavoro utile, cioè il lavoro realmente scambiato tra la macchina e il fluido. Ciò significa che data una macchina:

- operatrice (ad esempio una pompa o un compressore), detto le il lavoro meccanico all’albero della macchina, quindi l’energia meccanica spesa per comprimere il fluido, una parte di questo lavoro si perde per attriti e viene convertito in calore (l irr) mentre la restante parte (le – lirr) pari all’integrale di vdp è il lavoro realmente ricevuto dal fluido e che ne che ne determina l’innalzamento di pressione;

- motrice (ad esempio una turbina), detto le il lavoro ceduto dal fluido, una parte di questo lavoro si perde per attriti e viene convertito in calore (l irr) mentre la restante parte (le – lirr) pari all’integrale di vdp è il lavoro realmente disponibile all’albero della turbina.

Nel caso di processi reversibile il lavoro scambiato con l’esterno ed il lavoro utile coincidono.

∫=2

1

vdple

Esercizio: data una turbina a vapore che elabora una portata (m) di vapor d’acqua di 2 kg/s scambiando con l’esterno una potenza termica (Q) di 11 kW, calcolare la potenza meccanica (P) all’albero della turbina.

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p (MPa) T (°C) Titolo di vapore (x) v (m/s) z (m) Ingresso 3 400 - 60 5 Uscita 0,125 105,99 1 180 2

Tabella 4: condizioni del vapore all’ingresso e all’uscita della turbina.

P = m*l Note: per il calcolo delle entalpie utilizzare le tabelle del vapore surriscaldato e del vapor saturo. Riultato:

- P = 1.057 kW.

4.4.4. Fluidi incomprimibili e teorema di Bernulli Abbiamo visto come l’equazione di conservazione dell’energia

qe + le = (h2 – h1) + ½(v22-v1

2) + g (z2 – z1)

sia valida sia per processi reversibili che irreversibili o anche detti reali. Si è anche visto come il lavoro effettivamente scambiato tra fluido e macchina, ceduto o assorbito, sia pari alla differenza tra il lavoro utile e il lavoro convertito in calore per irreversibilità.

( ) ( )1221

22

2

12

1v zzgvvdpll irre −+−+=− ∫

Per poter però calcolare il lavoro con queste espressione è necessario risolvere l’integrale in essa contenuto, è quindi necessario conoscere il tipo di trasformazione. Almeno di non essere nel caso di un fluido incomprimibile. Per un fluido incomprimibile

ρ = cost � v = cost quindi integrando sia

1

2

P

Q

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( ) ( ) ( )ρ

1212

21

222

1 ppzzgvvll irre

−+−+−=−

Consideriamo ora un sistema:

- ideale (l irr = 0) - costituito da un condotto attraversato da un fluido incomprimibile (ρ = cost); - in assenza di organi mobili che permettano lo scambio di lavoro tra il fluido e l’esterno (le =

0); l’equazione

( ) ( ) ( )ρ

1212

21

222

1 ppzzgvvll irre

−+−+−=−

assumerà la forma

2

22

2

21

21

1

1

22gz

vpgz

vp++=++

ρρ

meglio nota come teorema di Bernulli.

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4.5. Moto sub sonico e super sonico Si definisce Numero di Mach il rapporto tra la velocità del fluido e la velocità del suono

a

vM =

Dove:

- v è la velocità del fluido; - a è la velocità del suono.

Si definisce moto subsonico il moto di un fluido avente

M < 1 → v < a Il fluido si muove a velocità inferiore a quella del suono. Si definisce moto supersonico il moto di un fluido avente

M > 1 → v > a Il fluido si muove a velocità superiore a quella del suono. Il quadrato della velocità del suono rappresenta la variazione di pressione in un fluido al variare della sua densità a entropia costante. La velocità del suono varia in funzione del fluido e delle condizioni del fluido.

Sd

dpa

=ρ

2

Per un gas perfetto la velocità del suono è pari a:

RTa γ=

Dove R è la costante universale dei gas. Nel caso di un fluido a densità costante:

∞=⇒=⇒= adt 0cos ρρ La velocità del suono è infinita, di conseguenza il moto è sempre subsonico. Si consideri un fluido che attraversa un condotto:

- adiabatico, quindi no scambio di calore con l’esterno; - senza scambiare lavoro con l’esterno, quindi lavoro utile pari a zero; - in regime stazionario.

Per l’equazione di conservazione della massa avremo

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tAv cos=ρ

Con

- ρ, densità del fluido; - A, sezione di passaggio; - v, velocità del fluido nel condotto.

Calcolando il differenziale dell’equazione di conservazione della massa si ottiene

( ) 00cos =++⇒=⇒= AdvAvdvdAAvdtAv ρρρρρ Dividendo per ρAv si ottiene

00 =++⇒=++v

dvd

A

dA

Av

AdvAvdvdA

ρρ

ρρρρ

Quindi

0=++v

dvd

A

dA

ρρ

Per l’equazione di conservazione dell’energia per un sistema adiabatico e che non scambia lavoro, considerando trascurabile la variazione di quota del fluido nel condotto, si ha:

tv

h cos2

2

=+

Differenziando si ottiene

002

120

2

2

=+⇒=+⇒=

+ vdvdhdvvdh

vhd

Quindi

vdvdh −= Si è visto in precedenza che per un processo come per un processo irreversibile vale la seguente equazione

dh = Tds + vdp da cui, data una trasformazione reversibile (ds = 0) si ha che

dh = vdp

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ponendo a sistema le due equazioni dh = vdp dh=-vdv si ha

vdp = -vdv → v

dv

v

dpvdv

dp −=→−=ρρ 2

Ponendo a sistema quanto ricavato dall’equazione di conservazione della massa

0=++v

dvd

A

dA

ρρ

con quanto ottenuto dall’equazione di conservazione dell’energia

v

dv

v

dp −=ρ2

si ottiene

0

0

2

2

=−+⇒

−=

=++

ρρρ

ρ

ρρ

v

dpd

A

dA

v

dv

v

dp

v

dvd

A

dA

Pertanto

−=

−=−=dp

d

v

dpd

v

dpd

v

dp

A

dA ρρ

ρρρ

ρρ 222

11

Quindi

−=

dp

d

v

dp

A

dA ρρ 2

1

Dalla definizione di velocità del suono, tenuto conto che siamo nell’ipotesi di processo reversibile (dS = 0)

Sd

dpa

=ρ

2

Sostituendo

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−=

−=

−=⇒

=

−=

2

2

222

22

222

2

111

1

a

v

v

dp

av

vadp

av

dp

A

dA

d

dpa

dp

d

v

dp

A

dA

S

ρρρρ

ρρ

Quindi

−=

2

2

21

a

v

v

dp

A

dA

ρ

A sua volta si è definito il Numero di Mach come

a

vM =

Sostituendo si ha

[ ]22

1 Mv

dp

A

dA −=ρ

Dai passaggi precedenti si è visto essere

v

dv

v

dp −=ρ2

quindi

[ ] [ ]222

11 Mv

dvM

v

dp

A

dA −−=−=ρ

=

4.5.1. Moto subsonico di un fluido in un condotto In presenza di moto subsonico avremo

[ ] 011 2 >−⇒< MM Pertanto

ρα

2v

dp

A

dA

v

dv

A

dA −α

Dato un condotto convergente

0002

<⇒<⇒< dpv

dp

A

dA

ρ

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000 >⇒<−⇒< dvv

dv

A

dA

In modo del tutto analogo, dato un condotto divergente

0002

>⇒>⇒> dpv

dp

A

dA

ρ

000 <⇒>−⇒> dvv

dv

A

dA

Pertanto in presenza di un flusso subsonico che attraversa un condotto adiabatico e in assenza di scambio di lavoro con l’esterno:

- riducendo la sezione di passaggio si ha conversione di energia di pressione in energia cinetica, la pressione scende e la velocità sale;

- aumentando la sezione di passaggio si ha conversione di energia cinetica in energia di pressione, il fluido rallenta e la pressione sale.

M < 1 A ↓ v ↑ p ↓ A ↑ v ↓ p ↑

4.5.2. Moto supersonico di un fluido in un condotto

In presenza di moto subsonico avremo

[ ] 011 2 <−⇒> MM Pertanto

ρα

2v

dp

A

dA − v

dv

A

dAα

Dato un condotto convergente

0002

>⇒<−⇒< dpv

dp

A

dA

ρ

000 <⇒<⇒< dvv

dv

A

dA

In modo del tutto analogo, dato un condotto divergente

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0002

<⇒>−⇒> dpv

dp

A

dA

ρ

000 >⇒>⇒> dvv

dv

A

dA

Pertanto in presenza di un flusso supersonico che attraversa un condotto adiabatico e in assenza di scambio di lavoro con l’esterno:

- riducendo la sezione di passaggio si ha conversione di energia cinetica in energia di pressione, il fluido rallenta e la pressione sale;

- aumentando la sezione di passaggio si ha conversione di energia di pressione in energia cinetica, la pressione scende e la velocità sale.

M > 1

A ↓ v ↓ p ↑ A ↑ v ↑ p ↓

4.6. Entalpia totale, temperatura totale e pression e totale

Si consideri un condotto attraversato da un fluido, nelle ipotesi di: - condotto adiabatico (qe = 0); - assenza di organi mobili (le = 0).

Sino a qui si sono considerate sempre e solo le proprietà statiche del fluido, quali la temperatura statica e la pressione statica, cioè le proprietà del fluido misurate da strumenti che non risentono della velocità della corrente. Nel condotto rappresentato in Figura 14 sono presenti due misuratori di pressione, uno normale alla direzione del flusso, e che quindi non vede la velocità del flusso, che legge la pressione statica e l’altro avente l’ingresso rivolto contro la corrente, la cui misura di pressione sarà quindi influenzata dalla velocità del flusso. Si definiscono condizioni totali del fluido (entalpia totale, pressione totale, temperatura totale, ecc.) le condizioni del fluido a seguito di un arresto senza attriti, cioè reversibile, e adiabatico e quindi isoentropico. La pressione risultante dall’arresto del flusso è detta pressione totale, che è la pressione letta dal sensore posto sulla traiettoria del fluido in Figura 14.

MISURA DELLA PRESSIONE STATICA

MISURA DELLA PRESSIONE TOTALE

1 2

Figura 14:condotto adiabatico in assenza di organi mobili.

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Applicando, ai capi del condotto, l’equazione di conservazione dell’energia per fluidi comprimibili si ha:

qe + le = (h2 – h1) + ½(v22-v1

2) + g (z2 – z1)

nelle ipotesi di

- flusso adiabatico (qe = 0); - assenza di organi mobili (le = 0); - variazione di quota trascurabile (z = cost);

si ha

h1 + ½v12 = h2 + ½v2

2 si definisce entalpia totale (ht)

ht = h + ½v2

Si consideri ora l’ipotesi che il fluido in moto nel condotto sia un gas perfetto, ne consegue che

dh = cp dT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Dimostrazione Dal primo principio della termodinamica

δq – δl = dep + dec + du nelle ipotesi di flusso a velocità costante, quindi variazione di energia cinetica nulla (dEc = 0), e in assenza di variazioni significative di quota, quindi variazione di energia potenziale gravitazionale nulla (dep = 0), si ha:

δq – δl = du

p

pt

s

h

ht

h

v2/2

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dove

δl = pdv quindi

δq = du + pdv Dalla definizione di entalpia si ha

h = u + vp � dh = du + pdv + vdp ponendo a sistema si ottiene

vdppdvpdvdhδqvdp-pdv-dhdu

pdvduδq−−+=⇒

=+=

semplificando si ha

δq = dh - vdp Dalla definizione di calore specifico si ha

pp dT

δqc

=

Quindi sostituendo si ottiene

pp dT

vdpdhc

−=

Ma essendo per definizione cp il calore specifico per una trasformazione a pressione costante allora

P = cost � dp = 0

Ne consegue che

dTcdhdT

dhc p

pp =⇒

=

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Procediamo ora alla definizione di temperatura totale (Tt) ht = h + ½v2 � ht – h = ½v2 dh = cp dT � ht – h = cp (Tt – T) quindi ponendo a sistema si ha

Pagina 27 di 37

cp (Tt – T) = ½v2

da cui

p

2

t 2cTT

v+=

Infine definiamo la pressione totale (pt) Per una trasformazione adiabatica sappiano essere (vedasi appendice al capitolo)

γγ 1

1

2

1

2

−

=

p

p

T

T

Ne consegue che

γγ 1−

=

p

p

T

T tt

4.6.1. Temperatura e pressione totale in funzione d el Numero di Mach La temperatura totale (Tt) e la pressione totale (pt) possono essere espressi in funzione del Numero di Mach.

( ) 2

2

11 M

γ

T

Tt −+= ( ) 12

2

11

−

−+=γγ

Mγ

p

pt

Dimostrazione Al paragrafo 4.5 si è introdotto il Numero di Mach, rapporto tra la velocità del fluido e la velocità del suono

p

pt

h

s

T

Tt

T

v2/2cp

Pagina 28 di 37

Mava

vM =⇒=

Dove:

- v è la velocità del fluido; - a è la velocità del suono.

La velocità del suono varia in funzione del fluido e delle condizioni del fluido e per un gas perfetto la velocità del suono è pari a:

RTa γ=

Dove R è la costante universale dei gas. Ponendo a sistema si ha

⇒=⇒

=

=RTMv

RTa

Mavγ

γ

RTMv γ22 =⇒

Dalla definizione di temperature totale si ha

p

2

t 2cTT

v+=

Ponendo il tutto a sistema

⇒+=⇒

=

+=

p

2

t

22

p

2

t

2cTT2c

TT RTM

RTMv

vγ

γ

⇒

−=

+=⇒+=⇒

=

+=⇒

vp

vt

p

v

p

t

v

p

pt

ccR

c

RTMTT

c

RTc

cM

TT

c

cγ

c

γRTMTT

22

222

2

( )( )

⇒−+=⇒

=

−+=

⇒2

12 2

2

γTMTT

c

cγ

c

ccTMTT

t

v

p

v

vpt

Pagina 29 di 37

( )⇒

−+=⇒ 2

2

11 M

γTTt

( ) 2

2

11 M

γ

T

Tt −+=⇒

Q.E.D. A partire dall’equazione appena dimostrata si ricava anche la pressione totale in funzione del Numero di Mach.

( )( )

⇒−+=

⇒

=

−+= −

− 2

1

1

2

2

11

2

11

Mγ

p

p

p

p

T

T

Mγ

T

T

t

tt

t

γγ

γγ

( ) 12

2

11

−

−+=⇒γγ

Mγ

p

pt

Q.E.D.

4.6.2. Temperatura e pressione totale per un fluido incomprimibile Per un fluido incomprimibile si ha

M � 0 Quindi la temperatura totale (Tt) e la temperatura statica (T) coincidono.

( )TT

M

Mγ

T

T

t

t

≡⇒

→

−+=

02

11 2

Si è visto come per un fluido incomprimibile valga la seguente equazione di conservazione dell’energia

( ) ( ) ( )ρ

1212

21

222

1 ppzzgvvll irre

−+−+−=−

Nel caso di arresto (v2 = 0) senza attriti, cioè reversibile, e adiabatico e quindi isoentropico (l irr = 0) in un condotto senza parti mobili (le = 0) si ha

( ) ( )0

2

1 1212

21 =

−+−+−

ρpp

zzgv

Pagina 30 di 37

Se poi consideriamo in condotto piano o comunque il salto geodetico trascurabile (z2 = z1) avremo che tra le condizioni iniziali (p,T,v) e quelle successive all’arresto (pt,Tt,vt) varrà la relazione:

( )0

2

1 2 =−

+−ρ

ppv t

Quindi

2

2

1vppt ρ+=

Pagina 31 di 37

4.7. Appendice

4.7.1. Variazione di entropia per un gas perfetto Dal Primo Principio della Termodinamica per un sistema chiuso

du = δq - δl

dove

δq = Tds

δl = pdv

sostituendo si ha

vT

duv

v

dT

pdspdTdsdu

pdl

Tdsq

lqdu

−=⇒−=⇒

==

−=

δδ

δδ

Si rammenta che per un gas perfetto:

- l’energia interna è funzione solo della temperatura; - il calore specifico è costante (cx = cost); - vale la legge dei gas perfetti.

du = cvdT

vv

R

T

pRTp =⇒=

con

- R = costante del gas = R*/PM, - R* = costante universale dei gas perfetti = 8.314 J/(kmolK) - PM = massa molare

Ponendo il tutto a sistema

⇒−=⇒

=

=

−=

vv

v

cdu

vT

du

v dR

dsT

dTc

R

T

p

dT

dT

pds

v

v

vds

dR

T

dTcv +=⇒

Posto che per un gas perfetto cv è costante, integrando si ottiene:

Pagina 32 di 37

+

=∆

1

2

1

2

v

vlnln R

T

Tcs v

Quindi

s = f(T;v)

Analogamente si può ricavare l’entropia in funzione di T e p.

δq = dh – vdp

con

δq = Tds

sostituendo si ha

pv

T

dhvdp d

TdsdhTds −=⇒−=

Per un gas perfetto si ha che dh = cpdT

p

vv

R

TRTp =⇒=

con

- R = costante del gas = R*/PM, - R* = costante universale dei gas perfetti = 8.314 J/(kmolK) - PM = massa molare

Ponendo il tutto a sistema

p

dpR

T

dTcds

R

T

dT

dT

ds

p −=⇒

=

=

−=

p

v

cdh

pv

T

dh

p

Posto che per un gas perfetto cp è costante, integrando si ottiene:

−

=∆

1

2

1

2 lnlnp

pR

T

Tcs p

Quindi

s = f(T;p)

Pagina 33 di 37

4.7.2. Trasformazione adiabatica per un gas perfett o Per un gas perfetto oggetto di una trasformazione adiabatica (δq = 0) si ha

pvγ = cost � p1v1γ = p2v2

γ

e vale anche la relazione

γγ 1

1

2

1

2

−

=

p

p

T

T

Dimostrazione Si è visto come per un gas perfetto valga la relazione

+

=∆

1

2

1

2

v

vlnln R

T

Tcs v

Nel caso di trasformazione adiabatica si avrà

∆q = 0 � ∆s = 0 Quindi

⇒

−=

⇒

+

=

1

2

1

2

1

2

1

2

v

vlnln

v

vlnln0 R

T

TcR

T

Tc vv

−=

⇒

1

2

1

2

v

vlnln

vc

R

T

T

Per la relazione di Mayer si ha

R = cp - cv

s

T

T2

T1

s2 ≡ s1

1

2

Figura 15: trasformazione adiabatica e quasi statica (irreversibile).

Pagina 34 di 37

sostituendo

−−=

⇒

−−=

1

2

1

2

1

2

1

2

v

vln1ln

v

vlnln

v

p

v

vp

c

c

T

T

c

cc

T

T

Ponendo a sistema con la definizione di γ:

( )( )

⇒

=

⇒

−−=

⇒

=

−−=

−− 1

1

2

1

2

1

2

1

21

2

1

2

v

vlnln

v

vln1ln

v

vln1ln γ

γγ

T

T

T

T

c

c

c

c

T

T

v

p

v

p

( )( )

( )

⇒

=

⇒

=

=

⇒

=

⇒

−−

−− 1

2

1

11

221

2

1

1

21

1

2

1

2

v

v

v

v

v

v

v

v

vγ

γγ

R

p

R

p

RTp

T

T

T

T

( )

⇒

=⇒

−1

2

1

2

1

1

2

v

v

v

vγ

p

p

⇒

=⇒

γ

2

1

1

2

v

v

p

p

γγ2211 vv pp =⇒

Quindi

pvγ = cost

Q.E.D.

Pagina 35 di 37

Dimostriamo ora che

γγ 1

1

2

1

2

−

=

p

p

T

T

Nei passaggi della dimostrazione precedente si è visto che

( )1

1

2

1

2

v

v−−

=

γ

T

T

Da cui si ha

( ) 1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

v

v

v

v

v

v−−

=

=

γγ

T

T

Ponendo a sistema con

γγγ

γγ

1

1

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

12211 v

v

v

v

v

vvv

−−

=

⇒

=⇒=

⇒=

p

p

p

p

p

ppp

si ha

⇒

=

=

⇒

=

=

=

−−

−−

−

γγ

γ

γ

γ

11

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

v

v

v

v

v

v

v

v

p

p

p

p

p

p

T

T

p

p

p

p

T

T

γγ 1

1

2

1

2

−

=

⇒

p

p

T

T

Q.E.D.

Pagina 36 di 37

4.7.2.1. Lavoro specifico massico per una trasforma zione adiabatica di un gas perfetto

Per un sistema chiuso

δl = pdv ma

γγ

v

costcostv =⇒= pp

Ponendo a sistema si ha

( ) ⇒

+=⇒=⇒=⇒

=

=+−

∫2

1

112

2

1

12 v1-

1cost

v

vcost

v

vcost

v

cos

vγ

γγγ γ

δδ

ld

ld

ltp

pdl

[ ]2112 vv1-

cost γ

γ−

+=⇒ l

A sua volta

costvcost

vcostv

ppp =⇒=⇒= −

−γ

γγ

Ponendo a sistema si ha

[ ][ ] ⇒=⇒

+=⇒

=

+=

−

−

2112

2

112

2

112

v-1

1v

cost1-

cost

costv

vv1-

cost

plp

lp

l

γγγ

γ

γ

[ ]112212 vv-1

1ppl −=⇒

γ

Raccogliendo p1v1 si ottiene

−

−=

−=

11

2211

11

221112 v

v1v

1

11

v

vv

-1

1

p

pp

p

ppl

γγ

Ma per una trasformazione adiabatica si ha

Pagina 37 di 37

γγγγ

−

=

=⇒=

1

2

2

1

1

22211 v

v

v

vvv

p

ppp

Ponendo a sistema con la precedente

⇒

−

−=

−

−=⇒

=

−

−= −−

−

γγ

γ γγγ 1

1

211

1

2

1

21112

1

2

1

2

11

221112

v

v1v

1

1

v

v

v

v1v

1

1

v

v

v

v1v

1

1

ppl

p

p

p

ppl

( )

−

−=⇒

=

−

−=

⇒

=

=

−

−=

⇒

−−

−

−

−

γγγ

γ

γγ

γ

γ

γγ

γ1

1

2112

1

1

21112

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

11112

11

RT

v

1v1

1

v

v

v

v1v

1

1

p

pl

RTp

p

ppl

p

p

T

T

T

T

pl

Si definisce rapporto di espansione (β)

β = (p2/p1) sostituendo si ha

−

−=

−γ

γ

βγ

1

112 1RT1

1l