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Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos
6.1 - Equações de Euler
6.2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente
6.3 – Equação de Bernoulli
6.4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli
6.5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente
6.6 – Escoamento irrotacional
6.1 – Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito
Equações de Euler :
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
pgx
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
y
pgy
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
pgz
pgDt
VD
Se a coordenada z for orientada verticalmente:
kz
zgkgg
k00kz
zj
y
zi
x
zzzgrad
pgDt
VD
pzgDt
VD
p
zgDt
VD
V.Vt
V
Dt
VDpzg
r
V
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
r
p1g
2r
zrr
rr
rr
r
VV
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
p
r
1g r
zr
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
z
p1g z
zzz
rz
zz
Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da equação de Euler são:
6.2 – Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente
)t,s(VV
dxdndsadxdndssengdxdn2
ds
s
ppdxdn
2
ds
s
pp s
sasengs
p
szsen
sas
zg
s
p1
)t,s(VV ss
s
VV
t
V
Dt
DVa s
sss
s
s
VV
t
V
s
zg
s
p1
Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa:
s
VV
t
V
s
zg
s
p1
0
s
VV
s
p1
Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:
dsdxdnadsdxdncosgdxds2
dn
n
ppdxds
2
dn
n
pp n
nacosgn
p
nzcos nan
zg
n
p1
R
Va
2
n R
V
n
zg
n
p1 2
6.3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente
6.3.1. - Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente:
0s
VV
s
zg
s
p1
Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds:
dVdss
V
dzdss
z
dpdss
p
variação de pressão ao longo de s
variação de elevação ao longo de s
variação de velocidade ao longo de s
0s
VV
s
zg
s
p1
0dVVdzg
dp
ctedVVdzgdp
(ao longo de s)
Para massa específica constante (escoamento incompressível) :
cte2
Vzg
p 2
Restrições: (1) Escoamento permanente(2) Escoamento incompressível(3) Escoamento sem atrito(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente
6.3.2 - Dedução com o uso de coordenadas retangulares
V.Vz
Vw
y
Vv
x
Vu
Dt
VDpzg
(Regime permanente)
sd
(Distância ao longo de uma linha de corrente)
sd).V.V(sd.p)/1(sd.zg
)kdzjdyidx.(kz
pj
y
pi
x
p1sd.
p
dp
dzz
pdy
y
pdx
x
p1sd.
p
kdzjdyidxsd
Sendo tem-se:
gdz)kdzjdyidx).(kg(sd).zg(
sd).V.V(sd.p)/1(sd.zg
fica :0dV
2
1dpgdz 2
VV)V.V(2
1V.V
Expressão obtido no
cálculo vetorial:
V
sd
E, uma vez que é paralelo a , 0VV
sd.V2
1sd.)V.V(
2
1sd.V.V 2
)kdzjdyidx.(kz
Vj
y
Vi
x
V
2
1sd.V
2
1 2222
2222
2 dV2
1dz
z
Vdy
y
Vdx
x
V
2
1sd.V
2
1
6.3.3. – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica
cte2
Vzg
p 2
2
Vzg
p
2
Vzg
p 20
00
2
0Vzz 00
0
2
Vpp
2
0
2
Vp
2
d
Pressão de estagnação :(Escoamento incompressível)
Pressão dinâmica :
)pp(
2V 0
Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica
Medição de pressão estática
Tomada de pressão na parede
Pequenos orifícios
Sonda de pressão no escoamento
Medição de pressão de estagnação
Tubo de Pitot
Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação
Um tubo de Pitot inserido em um escoamento conforme mostrado.
O fluido é ar, e o líquido manométrico é mercúrio.
Problema exemplo:
Determinar: A velocidade do escoamento
cte2
Vzg
p 2
2
Vpp 20
ar
0 )pp(2V
h)(pp arHg0 hg)dd(pp O2HarHg0
O2Har
O2HarHg
d
hg)dd(2V
]s/m[6,80hg1d
d2V
ar
Hg
cte2
Vzg
p 2
2
Vp
2
Vp 222
211
21 zz
2
V
2
Vpp 21
22atm1
2
2
122
22
21
22atm1
V
V1
2
V
V
V1
2
Vpp
2211 VAVAMassa.C.E 1221 A/AV/V
2
1
222ar
atm1 A
A1
2
Vpp
22
atm1 1,0
02,01
2
50x23,1pp
]m/N[476.1pp 2atm1
Determinar: p1 - patm
6.3.4 - Aplicações
Bocal (com ar)
Determinar: (a) velocidade da água na saida (jato livre)(b) pressão no ponto A do escoamento
Sifão (com água)
2
Vgz
p
2
Vgz
p 22
22
21
11
atm21 ppp 0V1
2
V)zz(g
22
21 )]7(0[g2V2
]s/m[7,117x8,9x2V2
2
Vgz
p0
2
Vgz
p 2A
AA
21
11
2A2A VVAAMassa.C.E
2
Vzg
p0
22
AA
]kPa[4,78p relA 7xgzg
pA
A
0z1
A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa (B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.
2
Vp
2
Vp
2
Vp 2B
B
B2A
A
A20
0
0
]m/kg[11,123,1x9075,0 30
BA0
]kPa[85,893,101x887,0p0
]s/m[66,41]h/km[150V0
2
0p
2
Vp
A
A20
0
0
2
Vpp
20
00A
]kPa[81,902
66,4111,1850.89p
2
A
2
Vpp
2B
0AB
]kPa[8,882
6011,1813.90p
2
A
6.4 – Relação entre a equação da energia e a equação de Bernoulli
Ad.Vp
et
dVeWWWQ
SC
VCoutros.cise
0WWW outros.cise Fazendo :
Ad.Vp
eQSC
Considerando regime permanente :
Ad.Vp
eAd.Vp
eQ21
Para um tubo de corrente:
2222
222
221111
12
111 AV
p
2
VgzuAV
p
2
VgzuQ
mAVAVMassa.C.E 222111
mp
2
Vgzum
p
2
VgzuQ
2
222
221
12
111
mp
2
Vgzum
p
2
VgzuQ
2
222
221
12
111
1
12
111
2
222
22
p
2
Vgzu
p
2
Vgzu
m
Q
m
Quu
p
2
Vgz
p
2
Vgz 12
2
222
21
12
11
m
Quu
p
2
Vgz
p
2
Vgz 12
2
222
21
12
11
0quu 12 Processos reversíveis (isoentrópico) ideais:
0quu 12 Processos irreversíveis reais:
2
222
21
12
11
p
2
Vgz
p
2
Vgz Escoamento ideal sem perdas
(eq. de Bernoulli)
kg
J
massa
perdasp
2
Vgz
p
2
Vgz
2
222
21
12
11
Escoamento real
kg
Jq
m
Q
2
2
2
222
21
12
11 s
mou
kg
Jp
2
Vgz
p
2
Vgz Eq. de Bernoulli
g
mHp
g2
Vz
p
g2
Vz
2
222
21
12
11
H
p
g2
V
z2
altura de carga devido a pressão estática local
altura de carga devido a elevação (ou cota)
altura de carga devido a pressão dinâmica
altura de carga total do escoamento
Conceito de linha de energia e linha piezométrica
linha piezométrica:
representa a soma das alturas de carga de pressão estática
e de elevação.
6.5 - Equação de Bernoulli para escoamento não permanente
Dt
VDpzg
sd.Dt
VDsd.
psd.zg
dst
Vds
s
VVds
Dt
DVsd.
Dt
VD sss
s
dst
VdVV
dpgdz s
ss
6.6 – Escoamento irrotacional
Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos não sofrem rotação
0kji zyx
0V0V2
1
0y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
Coordenadas cilíndricas:
0V
r
rV
r
V
z
V
z
VV
r
1 rzrz
6.6.2 – Potencial de Velocidade
Pode-se formular uma relação chamada função potencial, , para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade vetorial fundamental abaixo, onde é uma função escalar:
0)grad(rotacional
V
Define-se função potencial , cujo gradiente é o campo de velocidade vezes menos um:
zw
yv
xu
Em coordenadas cilíndricas :
zV
r
1V
rV zr
6.6.3 – Função Corrente e Potencial de VelocidadeEscoamento bidimensional, incompressível e invíscido :
Função corrente:x
vy
u
yv
xu
Potencial de velocidade:
0y
u
x
v
Condição de
irrotacionalidade:
0yx 2
2
2
2
0yx 2
2
2
2
0y
v
x
u
Conservação da
massa:
0yx 2
2
2
2
0yx 2
2
2
2
Anteriormente mostrou-se que a função corrente é constante na linha de corrente:
0dyy
dxx
A inclinação de uma linha de corrente (uma linha de constante) é dada por: u
v
u
v
y/
x/
x
y
Ao longo de uma linha de constante, d = 0 :
0dyy
dxx
d
A inclinação de uma linha potencial (uma linha de constante) é dada por: v
u
y/
x/
x
y
Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela função corrente expressa ao lado. Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o potencial de velocidade para este escoamento.
)s3a(
ayax1
22
ax2x
)ayax(
xv
ay2y
)ayax(
yu
22
22
Componentes u e v do escoamento:
Se o escoamento é irrotacional z = 0.Condição de irrotacionalidade: 0a2a2
y
)ay2(
x
)ax2(
0y
u
x
v
escoamento é irrotacional
yv
xu
Definição de Potencial de velocidade:
ax2vay2u Componentes u e v do escoamento:
x6y
y6x
yax2
xay2
)x(fxy6e)y(fxy6
como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:
cxy6
6.6.4 – Escoamentos planos elementares
0vUu
=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada
UyUx
Escoamento Uniforme:
0Vr2
qVr
=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada
2
qrln
2
q
Escoamento tipo Fonte (a partir da origem):
A origem é um ponto singularq é a vazão em volume por unidade de profundidade
0Vr2
qVr
=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada
2
qrln
2
q
Escoamento tipo Sorvedouro (na direção da origem):
A origem é um ponto singularq é a vazão em volume por unidade de profundidade
0Vr2
KV r
rln2
K
2
K
Vórtice irrotacional (anti-horário centro na origem):
A origem é um ponto singularK é a intensidade do vórtice
