7

Inferência Estatística:Estimativas por Ponto e Intervalos de

Confiança

7.1 INTRODUÇÃO

Os capítulos precedentes estabeleceram as bases para o alcance do objeti­vo deste capítulo e do seguinte, de modo que permita a compreensão da infe­rência estatística (obter informações sobre a população com base nos elementosamostrais) para aplicá-Ia à resolução de problemas práticos.

No Capítulo 2, apresentamos um estudo descritivo de amostras - represen­tação gráfica, tabelas de distribuições de freqüências e medidas características:posição, dispersão, assimetria e curtose. A importância desse conteúdo é justifi­cada, uma vez que, na maioria das situações práticas, estaremos trabalhandocom amostras.

No Capítulo 5, estudamos os modelos de distribuições contínuas de proba­bilidade, e no Capítulo 6 apresentamos as distribuições amostrais das principaismedidas estatísticas. Embora tenhamos tocado em algumas noções envolvidas

pela inferência estatística, será útil reunir os conceitos vistos até aquftara o en­tendimento e uso das técnicas para o cálculo de estimativas dos pri:p.cipaisparâ-metros populacionais. \.

O objetivo da Estatística é o de conhecer populações por meto das infor­mações amostrais. Como as populações são caracterizadas por medidas numéri­cas descritivas, denominadas parâmetros, a estatística diz respeito à realizaçãode inferências sobre esses parâmetros populacionais desconhecidos. Parâmetros

populacionais típicos são a média (/l), o desvio padrão (c;) e a pdeterminado evento populacional.

Os métodos para realizar inferências a respeito dos parâm~a duas categorias:

• estimação: determinação de estimativas dos parâmetros

• teses de hipóteses: tomada de decisão relativa ao valor d~populacional.

7.2 ESTIMATIVA POR PONTO

Quando, com base em dados amos trais calculamos um vaIodo parâmetro populacional, temos uma estimativa por ponto dosiderado.

Assim, o valor da média amostral (x) é uma estimativa podia populacional (/l). De maneira análoga, o valor do desvio p;(S) constitui uma estimativa do parâmetro (c;).

EXEMPLO· 7.1: Uma amostra aleatória de 200 alunos dedade de 20.000 estudantes revelou nota média amostral de 5,2. ]uma estimativa pontual da verdadeira nota média dos 20.000 aI

7.3 ESTIMATIVA POR INTERVALO

Uma estimativa por intervalo para um parâmetro populacio:vaIo determinado por dois números, obtidos a partir de elemeIque se espera contenham o valor do parâmetro com dado nível dprobabilidade de (1 - a)%. Geralmente, (1 - a)% = 90%, 95%

Se o comprimento do intervalo é pequeno, temos um elevadcisão da inferência realizada. As estimativas dessa natureza sãcintervalos de confiança.

EXEMPLOS 7.2 - ESTIMATIVAS POR INTERVALO:

a) o intervalo [1,60 m; 1,64 m] conté~altura média dosmunicípio X, com nível de confia%,a de 95%;

b) com 97,5% de confiança, o int~alo [8%; 10%] contéIde analfabetos da cidade Y; !

c) o intervalo [37 mm; 39 mm] contém o desvio padrão dode uma peça, com 90% de confiança.

172 ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA

É importante atentar para o risco do erro, quando se constrói um intervalode confiança. Se o nível de confiança é de 95%, o risco do erro da inferência es­tatística será de 5%. Assim: se construíssemos 100 intervalos, baseados em 100amostras de tamanhos iguais, poderíamos esperar que 95 desses intervalos(95% deles) iriam COlHero parâmetro populacional sob estudo, enquanto cincointervalos (5% deles) não iriam conter o parâmetro. Uma configuração reforça­rá o conceito da estimativa por intervalo. Seja 8 (lê-se teta) um parâmetro po­pulacional. Vamos admitir a seleção de 10 amostras de mesmo tamanho e umnível de confia11.4ade 90%. A Figura 7.1 expõe os intérvalos obtidos.

Os segmentos horizontais representam os 10 intervalos, e a reta verticalrepresenta a localização do parâmetro 8. Nota-se que o parâmetro é fixo e quea localização do intervalo varia de amostra para- amostra. Por conseguinte, po­demos falar em termos da "probabilidade de o intervalo incluir 8", e não emtermos da "probabilidade de 8 pertencer ao intervalo", já que 8 é fixo. O inter­valo é aleatório. Na prática, somente um intervalo é construído por meio daamostra aleatória obtida.

c

E

2

3

4

5

6

7

8

9

108

Figura 7.1 Configuração: 10 intervalos de confiança para 8 a partir de 10amostras de mesmo tamanho e (1 - a) % =90%.

7.4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL

QUANDO A VARIÂNCIA É CONHECIDA

Como sabemos, o estimador de fl é X. Como vimos no Capítulo 6, a distri­buição de probabilidade de x é dada por:

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 173

para populações finitas, e

para populações finitas.

Assim, para o caso de populações infinitas, a variável normal padronizadade x será:

Fixando um nível de confiança (1 - a), temos:

Ou seja:

a2

o

a2

Substituindo o valor de Zi:

r X-/1' J

P -z < -- < Z = 1 - al a- - a

- cr -2 _ 2

-Jn

Resolvendo as duas inequações para /1, temos o intervalo de confiançapara a média populacional (/1), quando a variância (cr2) é conhecida:

174 ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA

p(x-z ~ < II < x+Z ~) =1-aa c-r- a r2~n 2~n .

Como pode ser verificado, a aplicação da fórmula é extremamente simples.Fixa-se o.valor de (1 - a), ou (1 - a)100 = %, observa-se na tabela de distri­buição normal padrão o valor das abscissas que deixam a/2 em cada uma dascaudas. Com os valores de x (média amostral), (j (desvIo-padrão da população)e n (tamanho da amostra), constrói-se o intervalo.

EXEMPLO 7.3: A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que(j = 5 horas. Foram amostradas aleatoriamente -100 dessas peças, obtendo-semédia de 500 horas. Desejamos construir um intervalo de confiança para a ver­dadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança.

Solução: Temos:

(j = 5 n = 100 x = 500 (1 - a)100 = 95%

o gráfico da distribuição normal padrão será:

2,5%

-1,96 o 1,96

2,5%

z

Lembre~se de que para descobrir a abscissa 1,96, entramos na tabela dadistribuição normal padrão (Tabela D) com 0,475, já que a tabela é de faixacentral.

Substituindo os dados na fórmula:

( - 5 5 )P 500 -1,96 ~::;; J.!::;; 500 +1,96 ~ = 95%~100 ~100

Efetuando os cálculos, encontramos o intervalo de confiança solicitado:

P(499,02 ::;;J.!.o:::; 500,98) = 95%

A interpretação desse resultado pode ser expressa por uma das duas ma-neiras: •

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 175

"O intervalo [499,02; 500,98] contém a duração média da peça com 95%de confiança" ou "com 95% de confiança o intervalo [499,02 ; 500,98]contém a duração média da peça." Isso significa que, se forem construídosintervalos dessa mesma maneira, para um grande número de amostras,em 95% dos casos os intervalos incluiriam Il.

Para os casos de populações finitas, usa-se a seguinte fórmula:

(- (j Jê-n - (j ~. -nJP x-Za- --~).l~x+Za- -- =l-a

z-Jn N-1 z-Jn N-1

EXEMPLO 7.4: Vamos admitir os mesmos dados do exemplo anterior(7.3), considerando como população a produção de 1.000 peças. Nesse- caso ointervalo para a média será:

(J = 5 n = 100 x = 500 (1 - a)100 = 95% N = 1.000

P(500 -1,96 _5_ 1.000 -100 ~ ).l ~ 500 + 1,96 _5_ 1.000 -100) = 95%-J100 1.000 - 1 . -J100 1.000 -1

P(499,07 ~ ).l ~ 500,93) = 95%

Logo, o intervalo [499,07; 500,93] contém a duração média das 1.000 pe­ças com 95% de confiança.

7.5 INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) PARA A MÉDIA

POPULACIONAL QUANDO A VARIÂNCIA É DESCONHECIDA

Quando temos pequenas amostras e não conhecemos o valor do desvio pa­drão populacional, podemos construir intervalos de confiança para a média apartir da fórmula expressa a seguir. Para tanto, é necessário que a população deonde foi extraída a amostra aleatória tenha distribuição normal.

O processo para obtermos intervalo de confiança é semelhante àquelemostrado na seção anterior. Como não conhecemos (j, é preciso substituí-Io porS (desvio padrão amostral) que, contrariamente a (j, é uma variável aleatória.Daí se ter o quociente entre duas variáveis aleatórias, x e S. Como visto no Ca­pítulo 6, o estimador:

tem distribuição t de Student com (n - 1) graus de liberdade.

176 ESTATÍSTICA GERAL E APLlCADA

Fixando um nível de confiança (1 - a), temos:

a2

Ou seja:

Substituindo o valor de t, e resolvendo as inequações para fl, obtemos o in­tervalo para a média, quando a variância (<J2) é desconhecida:

p(- s. - s) 1 .x-t .-<II<X+t '- = -a

% Jil-r- % Jil

onde a variável t possui (n - 1) graus de liberdade.

EXEMPLO 7.5: A amostra 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída deuma população normal. Construa um intervalo de confiança para a média aonível de 95%.

Solução: Calculando a média e o desvio padrão da amostra, obtemos:

x = 8,7 e s = 2

Como (1 - 0,)% = 95% e gl = 9, pois gl = q> = n - 1 = 10 - 1 = 9

Consultando a tabela t de Student (Anexo F), temos:

2,5%

-2,2622T'

O 2,2622

2,5%

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 177

Logo, substituindo os valores na fórmula, teremos:

p( 8,7 - 2,2622 ,10 ~fl ~ 8,7 + 2,2622 ,10) = 95%

ou: P(7,27 ~ fl ~ 10,13) = 95%

o intervalo [7,27; 10,13] contém a verdadeira média com 95% de con­fiança ..

Para os casos de populações finitas, usamos a seguinte fórmula:

[- S ~-n - 5 ~-nJP x-ta"- --~fl~X+ta"- -- =1-a2 -Jn N-l 2 -Jn N-l

7.6 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARlÂNCIA

o estimador de (J2 é 52. C01;110visto no Capítulo 6, 52 tem distribuição

Q "Q d -d - dI' (n -1)" 52 d"'b " -Ul- ua ra o, a exceçao e constantes. sto e: ---- tem lstn Ulçao(J2

Qui-Quadrado com (n - 1) graus de liberdade. Ou seja:

2 d (n -1) 52X n-l= 2 '

(J

admitindo-se que a população de onde foi extraída a amostra tenha distribuiçãonormal. Então o intervalo poderá ser:

t(x ~ I Q2

isto é:

oX2SUp

P( 2 < 2 < 2 ) - 1_X inf - X n-l - X sup - a

a2

2

X

~..• ;.'.~-'I

I

1'. ~

J

178 ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA

Substituindo o valor de X~-l e resolvendo as duas inequações para (j"2, ob­temos e intervalo:

p;~ O

J.7 p[(n -1)52 < (j"2 :s:; (n -1)52J =l-a2 - 2

X sup X inf

EXEMPLO 7.6: Vamos admitir uma distribuição normal, n = 10, 52 = 4,e que desejamos construir um IC para a variância populacional ao nível de 90%.

Solução: Temos: n = 10, 52 = 4, <p = (n - 1) = (10 - 1) = 9 e(1 - a)% = 90%.

Consultando a tabela da distribuição Qui-Quadrado (veja Anexo E)

a2

cp=n-1

1-a

o

Substituindo os valores na fórmula:

X\up

2

X

p(9(4) :s:;(j"2 :s:;9(4)) = 90%l16,9 3,33ou: P(2,13 :s:;0"2 :s:;10,81) = 90%

Assim, podemos afirmar que o intervalo [2,13 ; 10,81] contém a variânciapopulacional com 90% de confiança.

7.7 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA O DESVIO PADRÃo

Admitindo que a distribuição de probabilidade populacional de onde seextraiu a amostra s~ja normal, um intervalo de confiança aproximadoc*) para odesvio padrão (O") é dado pela raiz quadrada do IC para a variância (0"2).

(*) Trata-se de uma aproximação, pois estaremos admitindo que a raiz quadrada de uma distri­buição Qui-Quadrado também é Qui-Quadrado.

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 179

Assim:

onde a distribuição X2 é tomada com <p = n - 1 graus de liberdade.

EXEMPLO 7.7: Com os dados do exemplo anterior, construa o IC para odesvio padrão populacional.

Solução do exemplo anterior: 2,13 ::::;rJ2::::; 10,81; logo, um IC aproxi­mado para cr será:

P(-j2,13 ::::;cr ::::;-j10,81) = 90% ou, P(1,46 ::::;(J ::::;3,29) = 90%

o intervalo [1,46 ; 3,28] contém o desvio padrão populacional com 90%de confiança.

7.8 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO

Como vimos no Capítulo 6, para amostras suficientemente grandes (n > 30),a distribuição amostral de f = p = x/n é aproximadamente normal com média

p, isto é: 11(f) = P e desvio padrão dado por:

~P(l- p)(Jcn = n

onde: p = verdadeira proporção populacional de "sucessos"

x = número de "sucessos" (casos favoráveis) na amostra

n = tamanho da amostra

f = p = estimador de p

Em síntese, para grandes amostras:

ou

Fixando um nível de confiança de (1 - a), temos:

180 ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA

(J.,

2

ou

Substituindo o valor de Zi e resolvendo as duas inequações para p, temos:

P(f - Z"'-~ P (1 - p) ~ p ~ f + Z"'-~ P (1 - p)) == 1 - a2 n. 2 n

Para grandes amostras podemos substituir p, do radicando, por f, obten­do o Intervalo de Confiança para a proporção populacional de determinadoevento:

EXEMPLO 7.8: Examinando uma amostra aleatória de 500 peças da pro­dução mensal, encontraram-se 120 peças defeituosas. Ao nível de 95,5% deconfiança, desejamos construir um intervalo para a verdadeira produção de pe­ças sem defeitos.

Solução: Temos: n = 500 x = 500 - 120 = 380 peças sem defeitos

f = 380 = 0,76 (1 - a)% = 95,5%. Consultando a tabela da distribuição500

normal padrão (Anexo D), encontramos Z = ± 2. Veja o gráfico a seguir:

2,25%

-2 o 2

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 181

2,25%

Substituindo os dados' na fórmula:

p(o 76 - 2 0,76 (1 - 0,76) S; S; 0,76 + 2 0,76 (1 - 0,76) J == 95 5o/~, 500 P 500'

temos:

P(0,722 S; P 'S; 0,798) = 95,5% ou P(72,2% S; P S; 79,8%) = 95,5%

Ou seja: o intervalo [72,2% ; 79,8%] contém a verdadeira proporção depeças sem defeitos com 95,5% de confiança.

Para o caso de populações finitas, a fórmula anterior precisará ser corrigi­dapelo fator: (N - n)/(N - 1). Assim, para grandes amostras, o IC para a pro­porção de uma população finita será dado por:

P(f - Z a ~f(l - f) (N - n) S; p S; f + Z a ~f(l - f) (N - n)J == 1- a- n N -1 - n N-12 ... 2.

Observação: uma regra prática para se testar a hipótese de uma amostra"suficientemente grande" é verificar se o intervalo:

não contém o O ou o 1

182 ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA

EXERCíCIOS - SÉRIE I

CONSTRUA O INTERVALO SOLICITADO E INTERPRETE CADARESULTADO

Para a Média Populacional

7.1 Foram retiradas 25 peças' da produção diária de uma máquina, encon­trando-se para uma medida uma média de 5,2. mm. Sabendo que as me­didas têm distribuição normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm,construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e99%.

7.2 De uma distribuição normal de ()2 = 1,96, obteve-se a seguinte amostra:25,2; 26,0; 26,4; 27,1; 28,2; 28,4. Determinar o intervalo de confiançapara a média da população, sendo a = 0,05 e a = 0,10.

7.3 Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribui­ção normal com () = 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100alunos, obtendo-se x = 175 cm. Construir, ao nível de confiança de 95%,o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos.

7.4 Dados n = 10, x = 110 e S = 10, determinar os intervalos de confiançapara a média aos níveis de 90% e 95%. Qual a hipótese que você admitiuquanto à distribuição de probabilidade da população?

7.5 Uma amostra proveniente de população normal é composta pelos seguin­tes elementos: 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 15.Construir os intervalos de confiança para a média aos níveis de confiançade 95% e de 80%. Comparar os resultados e comentar as diferenças deamplitudes.

7.6 Uma amostra aleatória de 30 peças forneceu os seguintes pesos:

250 265 267 269 271 275 277 281 283 284

287 289 291 293 293 298 301 303 306 307

307 309 311 315 319 322 324 328 335 339

Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se essaamostra satisfaz à especificação de que o peso médio deve ser de 300 kg.Adotar um erro de 5%.

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 183

7.7 Em uma fábrica, colhida uma amostra aleatória de certa peça, obtive­ram-se as seguintes medidas para os diâmetros:

10111111121212121313

13

131313131313131313

14

141414141515151616

a) Estimar a média e a variância.b) Construir um intervalo de confiança para a média, sendo a = 5%.

7.8 Em quatro leituras experimentais de um "comercial" de 30 segundos, umlocutor levou em média 29,2 segundos com uma variância de 5,76 se­gundos ao quadrado. Construir os limites de confiança para a média.Dado a = 10%.

7.9 Construir intervalos de confiança para a média, ao nível de 95%, admi­tindo as seguintes distribuições amostrais, oriundas de populações nor­malmente distribuídas.

a) Classes

Fi 0-5 ~10 10-15 +-15-20_2 I 3 5 I 2

b)

Classes 15 -18 I 18 - 21 ~21 - 241~4 - 27F; 8T 9 12 I 15

27 - 30

7

30 - 33

4

14,2-18,2

3

10,2-14,2~~.~

5

I

16,2~ 10,2

2,2 - 6,2

3c) Class~F; I

Para a Variância Populacional

7.10 Supondo populações normais e amostras aleatórias, construir os interva­los de confiança para as variâncias, ao nível de 90%.

a) 44,9 - 44,1 - 43 - 42,9 - 43,2 - 44,5 ..

b) 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 8.

7.11 Suponha que uma amostra aleatória de 10 observações aponte 52 = 2,25.Quais os limites de confiança, a 80%, para a verdadeira variância? Qualfoi a hipótese admitida para a distribuição de probabilidade da popula­ção?

'<!j4 ESTATÍSTICA GERAL E APLICADA

7.12 Suponha que X é uma população tal que X = N(fl, (2), em que fl e a2 sãodesconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu os valores LXi =8,7 e LXi2 = 27,3. Determinar um intervalo de confiança de 95% para a2•

7.13 Determinar, ao nível de 99%, o intervalo para o desvio padrão da popula­çã.o que deu origem à amostra do exercício 7.6 desta série.

7.14 Qual é o intervalo de confiança que conterá 90% da verdadeira variância deuma população normal que resultou LXi = 700,8 e LX? = 23.436,80, deuma amostra de 30 elementos?

Para a Proporção Populacional

7.15 Uma centena de componentes foi ensaiada, e 93 deles funcionaram maisde 1.000 horas. Determinar um intervalo de confiança de 95% para aproporção de componentes que funcionam mais de 1.000 horas.

7.16 Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles sãocasas de aluguel. Qual é o intervalo de çonfiança da proporção de casasde' aluguel? Admitir um erro de 2%.

7.17 Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. Com base em umintervalo de confiança de 96%, pode-se dizer que a moeda é honesta?

7.18 Para verificar se um dado era viciado, jogou-se o mesmo· 120 vezes, ob­tendo-se 25 vezes o número cinco. Determinar um intervalo de confiançapara a proporção de números cinco, admitindo-se a = 1%. Pode-se dizerque o dado é viciado?

7.19 Uma amostra aleatória de 300 habitantes de uma cidade mostrou que180 desejavam a água fluorada. Encontrar os limites de confiança de90% e 95% para a proporção da população favorável à fluoração.