Cap. 7 - Parte I Root Locus

1/Cap.7

ROOT LOCUS

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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Cap. 7 - Parte I Root Locus

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Maio de 2008

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO

2º semestre – 2007/2008

2/Cap.7

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Root Locus: O que é?

• Root Locus = Lugar das Raízes

• Root Locus – método do Lugar Geométrico das Raízes – diagrama de Evans (Evans –1948, 1950)

• Que raízes?

– Do polinómio denominador da função de transferência em cadeia fechada

• Como função dos pólos e dos zeros da função de transferência em cadeia aberta.

• Sem factorizar o polinómio denominador da função de transferência em cadeia fechada.

• O que é?

– Representação gráfica da localização dos pólos de um sistema em cadeia fechada como função de um parâmetro do sistema

• Usualmente, este parâmetro é um ganho da cadeia aberta

• Para que serve ?

– Para apoio à síntese de controladores

– Suporte à avaliação das características da resposta no tempo do sistema em cadeia fechada como função da variação de parâmetros

3/Cap.7

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Exemplo Motivadorsistema de controlo de temperatura de uma sala

1Kcr +

_e

1s1+

m

sKK)s(G 2

1c += controlador proporcional integral

s/K2

+

+

sKsK)s(G 21

c+

= 1 pólo na origem e 1 zero

com controlador I

com controlador PI

com controlador P

Exemplo visto a propósito de errosem regimeestacionário

• Como dimensionar o valor dos ganhos por forma a satisfazerespecificações:

• relativas ao erro em regime estacionário• e à resposta no tempo do sistema em cadeia fechada?

pólos do sistema em c.fQual é a localização dos pólos da f.t.c.f como função do valor dos ganhos?

4/Cap.7

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Root Locus: Formulação

Como variam os pólos do sistema em cadeia fechada como função do ganho K ?

K )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = )s(H)s(KG

f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) =)s(H)s(KG1

)s(KG+

• Hipótese 1: Calcular explicitamente a f.t.c.f e factorizar o polinómio denominador

• Hipótese 2: a partir do conhecimento da f.t.c.a. usando o Root Locus

resposta

Dados

Pólos e zeros da f.t.c.a Pólos da f.t.c.fRoot Locus

Sem factorização do polinómio denominador da f.t.c.f

E os zeros da f.t.c.f ?

f.t.cadeia de retroacção

f.t.cadeia de acção

5/Cap.7

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Pólos e Zeros da f.t.c.f

K )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

)s(D)s(N)s(G

G

G=

)s(D)s(N)s(H

H

H=

)s(D)s(D)s(N)s(NK1

)s(D)s(NK

)s(H)s(KG1)s(KG

)s(R)s(C

HG

HG

G

G

+=

+=

)s(N)s(KN)s(D)s(D)s(D)s(KN

)s(R)s(C

HGHG

HG

+=

{ } { } { })s(H de ólosp)s(G de zerosf.c.t.f da zeros ∪=

não variam com K

.f.c.t.f da pólos • variam com K

• não podem ser conhecidos imediatamente

• O Root Locus é um método gráfico que permite avaliar a localização dos pólos da f.t.c.f. sem factorizar o polinómio denominador dessa f.t.

6/Cap.7

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Exemplo

CameraMan Presenter Camera System

Faz o seguimento automático de objectos

Con

trol S

yste

ms

Eng

inee

ring

Nor

man

Nis

e

1K+

_

)s(R )s(C)10s(s

K2

+

amplificadorMotor e camâra

sensores

posição da

câmara

posição do

objecto

Ks10sK

2 ++

)s(R )s(C

21KKK =0Ks10s)s(D 2 =++=

pólos da f.t.c.f

K255s 2,1 −±−=

xxσ

jw

<>10−

K=0 K=0

5s ,5s 25K 21 −=−==

K=2525Kj5s 25K 2,1 −±−=>

10s ,0s 0K 21 −===

O root-locus é sempre simétrico relativamente ao eixo realComo varia a resposta do sistema em c.f. a uma entrada escalão para valores crescente de K, com K>25?

7/Cap.7

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Princípio subjacente

)s(H)s(KG1)s(KG)s(T

+=

Se s é pólo de T(s)

0)s(H)s(KG1 =+ 1)s(H)s(KG −=

Zk ,º180)1k2())s(H)s(KGarg(1)s(H)s(KG

∈+=

=

ℜ∈K

Root-Locus = conjunto dos valores de s que satisfazemsimultaneamente

1)s(H)s(KG =

Zk ,º180)1k2())s(H)s(KGarg( ∈+=

• condição de módulo

•condição de argumento

equação característica

Comando MATLABrlocus

8/Cap.7

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∏

∏

=

=

+

+= n

1ii

m

1ii

)p(s

)z(sKKG(s)H(s)

• condição de argumento

+= )Karg())s(H)s(KGarg(π+=+−++ ∑∑

==

)1k2()psarg()zsarg(n

1ii

m

1ii

K>0

π+=+−+= ∑∑==

)1k2()psarg()zsarg())s(H)s(KGarg(n

1ii

m

1ii

π=+−+= ∑∑==

)k2()psarg()zsarg())s(H)s(KGarg(n

1ii

m

1ii

K<0

A condição de argumento permite determinar os

pontos do plano que pertencem ao root-locus

9/Cap.7

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∏

∏

=

=

+

+= n

1ii

m

1ii

)p(s

)z(sKKG(s)H(s)

• condição de módulo

1ps

zsK n

1ii

m

1ii

=+

+

∏

∏

=

=

∏

∏

=

=

+

+= m

1ii

n

1ii

zs

psK

A condição de módulo permite calcular o valor de K

correspondente a cada localização particular das

raízes sobre o lugar geométrico

10/Cap.7

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Root Locus - exemplo

O ponto s1=–2+j3 pertence ao root-locus?

Se pertencer satisfaz as condições do módulo e de argumento

condição de argumento

−++++= )]4sarg()3s[arg()Karg())s(H)s(KGarg( 1111

)]2sarg()1s[arg( 11 +++−

][][)Karg())s(H)s(KGarg( 341211 θ+θ−θ+θ+=

º90º43.108º31.56º57.71)Karg())s(H)s(KGarg( 11 −−++=

º55.70)Karg())s(H)s(KGarg( 11 −= Nunca pode ser um múltiplo impar de 180º

s1=–2+j3 NÃO é pólo do sistema em c.f.

11/Cap.7

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)5s](4)2s[(s)3s(K

2 +++++

-

O ponto s1=-1 pertence ao root-locus?

xx

x

x

o-5

-2-3

j2

-j2

s1

arg(KG(s1))=(2k+1)π ?

K > 0

1θ2θ

3θ

4θ

5θ

)())1(KGarg( 54321 θ+θ+θ+θ−θ=−

Soma = zero

0º0º 180º

º180))s(KGarg( 1 = 1s1 −= pertence ao root-locus

Qual é o valor do ganho K para o qual o sistema em c.f. tem um pólo em -1?

Para s = -1 a condição de módulotem que ser verificada

12/Cap.7

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)5s](4)2s[(s)3s(K

2 +++++

-

xx

x

x

o-5

-2-3

j2

-j2

s1

K > 0

3θ

1)1(KG =−

condição de módulo

aplicada em s = -1

1M2M

3M

4M

45 MM =

( ) 121x1x4

2KMMMM

MK)1(GK 2225432

1 =+

==−

10K =

13/Cap.7

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Regras para a construção

REGRA 1 – Número de ramos

)s(D)s(NK)s(H)s(KG = grau de N(s) = m

grau de D(s) = n

assume-se n ≥ m

Ramo = lugar geométrico definido por um pólo do sistema em c.f. quando K varia

Nº de Ramos = n = número de pólos do sistema em cadeia fechada

0)s(H)s(KG1 =+ 0)s(KN)s(D =+

• REGRA 2 – Simetria

Os pólos de sistemas realizáveis (sistemas físicos) são,Reais, ou

Complexos – ocorrendo aos pares complexos

conjugados

O root-locus é simétrico relativamente ao eixo real

14/Cap.7

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REGRA 3 – Troços sobre o eixo real

São troços do root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar depólos e/ou zeros da f.t.c.a.

K>0


∏

∏

=

=

+

+= n

1ii

m

1ii

)ps(

)zs(K)s(H)s(KG K>0

π+=+−+= ∑∑==

)1k2()psarg()zsarg())s(H)s(KGarg(n

1ii

m

1ii

Locus Roots Se ∈

-zi -zi

0º180º

-pi -pi

0º180ºx x

1θ

2θ

021 =θ+θ

1θ

2θ

021 =θ+θ

para pólos é idêntico

para pólos é idêntico

15/Cap.7

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• REGRA 3 – Troços sobre o eixo realcontinuação

Locus Roots 1 ∈

• Pólos e zeros (f.t.c.a.) à esquerda de s1 contribuem com 0º

• Pólos e zeros (f.t.c.a.) à direita de s1 contribuem com 180º

• A contribuição de um par de pólos e ou de zeros complexos conjugados é nula

Exemplos troços do eixo real

xxsó estão indicados os troços do eixo real

x

xsó estão indicados os troços do eixo real

x

xNão tem troços noeixo real

16/Cap.7

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• REGRA 4 – Ponto de partida dos ramos

• onde se inicia cada ramo do root-locus (K=0) ?


)s(H)s(KG1)s(KG)s(T

HGHG

HG

+=

+=

)s(D)s(N)s(G

G

G=)s(D)s(N)s(H

H

H=

{ }0)s(N)s(KN)s(D)s(D:s.f.c.t.f da pólos HGHG =+=

)s(D)s(D)s(N)s(NK)s(H)s(KG

HG

HG=f.t.c.a.

f.t.c.f.

grau(NG(s)NH(s))=m

grau(DG(s)DH(s)+KNG(s)NH(s))=n m≥

{ }0)s(D)s(D:s.f.c.t.f da pólos lim HG0K

==+→

pólos da f.t.c.a.

os pontos de partida (K=0) dos ramos do root-locus coincidem com os pólos da f.t.c.a.

17/Cap.7

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• REGRA 5 – Ponto de chegada dos ramos


)s(H)s(KG1)s(KG)s(T

HGHG

HG

+=

+=

• n ramos• onde termina cada ramo do root-locus (K=∞) ?

• m ramos tendem para os zeros da f.t.c.a.• n-m ramos tendem para infinito

Estes n-m ramos tendem para infinito segundo assímptotasRegra 8 – ângulo que as assímptotas fazem com o eixo real

0)s(H)s(KG1 =+

∞→K Quando 0)s(H)s(G →

para ser satisfeita a condição

0)s(D)s(D)s(N)s(N)s(H)s(G

HG

HG →= { })s(N)s(N de zeross HG→

• m zeros• m ramos do root-locus tendem

para os zeros da f.t.c.a.

∞→sn-m ramos do root-locus tendem para infinito

18/Cap.7

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Exemplos)2s)(1s(s

K)s(H)s(KG++

=

Algumas conclusões:

• Para o sistema em cadeia fechada tem todos os seus pólos reais

• Qual é o valor de K1?

• Para o sistema em cadeia fechada é estável

• Para K=K2 o sistema é marginalmente estável

• Qual é o valor de K2 ?

• Para K>K1 o sistema apresenta uma sobreelevação na

resposta ao escalão.

• Qual é o valor aproximado de K que conduz a uma sobreelevação de 20% ?

1KK0 ≤≤

2KK0 <≤

Regra – pontos de entrada e saída do eixo real

• Usar o root-locus• Usar o critério de Routh-Hurwitz

num=[0 0 0 1];den=[1 3 2 0];sys=tf(num,den);rlocus(sys)

19/Cap.7

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Exemplos)2s)(1s(s

K)s(H)s(KG++

=

β= js2

2K

• seja s2 o ponto de cruzamento com o eixo imaginário

x x x

π+= )1k2())s(H)s(KGarg( 22

( )32122 ))s(H)s(KGarg( θ+θ+θ−=

s2 pertence ao root-locusa condição de argumento é satisfeita para s2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ β+β+−= )2(arctg)(arctgº90

π+= )1k2(

1θ2θ

3θ

2=β

a condição de módulo é satisfeita para s2

1)j(H)j(KG =ββ

22

22

2 41

4111

)2()2(1 βββ

βββ

++=

++

==jHjG

K

2js2 =

20/Cap.7

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Exemplos

)2s)(1s()4s)(3s(K)s(H)s(KG

++++

=

x xoo

K1=?K2=?

num=[1 7 12];den=[1 3 2];rlocus(num,den);axis([-5 1 -1.5 1.5]);

)4s)(2s)(1s(s)3s(K)s(H)s(KG

++++

=

o xxx x

21/Cap.7

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• REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real

Ponto de entrada no eixo real = break-in pointPonto de saída do eixo real = breakaway point

breakaway pointbreak-in point

oo ox x x xxx

• O ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho

• O ponto de entrada no eixo real ocorre para um mínimo relativo do ganho

maior valor de K que ainda conduz a pólos reaismenor valor de K que já

conduz a pólos reais

22/Cap.7

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)1s(sK)s(H)s(KG+

=

xx >

>

>

> 1KK =

relativo máximo?KK 1 ==

0)1s(s

1K1 =+

+

)1s(sK +−=

01s2dsdK

=−−= 21s −=

todos os do root-locus satisfazem

41K =

cálculo do máximo relativo

ℜ∈s

breakaway point valor do ganho correspondente ao breakaway point

-1

• equidistante dos dois pólos da f.t.c.a.• analogia com um sistema de cargas eléctricas

• repulsão pelos pólos• atracção pelos zeros

23/Cap.7

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0)s(H)s(KG1 =+

0)(H)(KG1 =σσ+

)(H)(G1K

σσ−=

0ddK

=σ

equação característica

LocusRoots e s Para −∈ℜ∈σ=

cáculo de máximos e mínimos relativos

Valores (do eixo real) dos pontos do root-locus que são breakaway e break-in points

Os valores correspondentes de K

condição necessária mas não suficiente

todos os pontos de saída/entrada no eixo real satisfazem esta relação

nem todas as soluções desta equação são sempre pontos de saída ou de entrada no eixo real

é preciso confirmar se as soluções encontradas estão sobre troços que pertencem ao root-locus

24/Cap.7

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Regras para a construção• REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real

Exemplos)2s)(1s()5s)(3s(K)s(H)s(KG

++−−

=

o oxx

0)2s)(1s()5s)(3s(K1)s(H)s(KG1 =

++−−

+=+

0)5s)(3s(K)2s)(1s( =−−+++

)5s)(3s()2s)(1s(K

−−++

−=

0)15s8s(

)61s26s11(dsdK

2

2

=+−

−−=

81.3s1 =

45.1s2 −=

?K1 =

?K2 =

break-in point

breakaway point

1s2s

25/Cap.7

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• O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou que se afastam) do mesmo ponto do eixo real é dado por:

• O ângulo entre dois ramos adjacentes, um chegando e outro partindo do mesmo ponto do eixo real é dado por:

• REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real

α = nº de ramos que se cruzam num ponto do eixo real

α±=λ

º360

α±=θ

º180

Exemplos

oo ox x x xxx

26/Cap.7

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• REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real

Exemplos

x

xx >

>>

>

x

27/Cap.7

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• REGRA 8 – Comportamento assimptótico

ângulo das assímptotas com o eixo realcentro assimptótico

• Quando n-m ramos tendem para infinito∞→K

ao longo de assímptotasn-m assímptotas

• As assímptotas cruzam-se num ponto do eixo real (centro assimptótico)

mn

)s(H)s(G de zeros)s(H)s(G de pólosn

1i

m

1ia −

−=σ

∑ ∑= =

• O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por

1mn,...,2 ,1 ,0k ,mn

)1k2(a −−=

−π+±

=φ

28/Cap.7

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ângulo das assímptotas com o eixo real - demonstração

• O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por

1mn,...,2 ,1 ,0k ,mn

)1k2(a −−=

−π+±

=φ

Demonstração:

∏

∏

=

=

+

+= n

1ii

m

1ii

1

)ps(

)zs(KK)s(H)s(KG

mn1

sK K)s(H)s(KG −≅∞→s

Como s pertence ao Root-Locus 1s

K K)s(H)s(KG mn1 −=≅ −

condição de módulomn

1 sKK −=−

condição de argumento )sarg()KKarg( mn1

−=−

)sarg()mn()KKarg( 1 −=−

)sarg()mn()1k2( −=π+

)mn()1k2()sarg(

−π+

=

Para K>0 e K1>0

Para referência. Leitura opcional

29/Cap.7

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ângulo das assímptotas com o eixo realcentro assimptótico

Exemplos)2s)(1s(s

K)s(H)s(KG++

=

3 ramos, todos a terminar em infinito

3 assímptotas

ângulos das assímptotas com o eixo real

1mn,...,2 ,1 ,0k ,mn

)1k2(a −−=

−π+±

=φ º60,º180,º60 −

centro assímptótico

1mn

)s(H)s(G de zeros)s(H)s(G de pólosn

1i

m

1ia −=

−

−=σ

∑ ∑= =

x x x60º

30/Cap.7

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Root-Locus - Exemplo

)6s)(1s(s)1s(K)s(H)s(KG+−

+=

• 3 ramos• 2 ramos a terminar no infinito = 2 assímptotas• Ângulo das assímptotas com o eixo real= 90º, -90º• Centro assimptótico

213

)1()610(a −=

−−−−+

=σ

xxx o

• Ponto de saída do eixo real

1s6)1)(s-s(s-K 0)s(H)s(KG1

++

=⇒=+

0)1s(

6s10s8s2dsdK

2

23

=+

−++−=

?

?

31/Cap.7

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Root-Locus – Exemplo (cont)

• Ponto de saída do eixo real

1s6)1)(s-s(s-K 0)s(H)s(KG1

++

=⇒=+

0)1s(

6s10s8s2dsdK

2

23

=+

−++−= 42.1j22.2s 2,1 ±−=

43.0s3 =

Não pertencem ao root-locusNão podem ser pontos de

saída de ramos do eixo real

breakaway point

• Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho correspondente

• Método 1 – critério de Routh-Hurwitz• Método 2 – Root-Locus

• Ponto de cruzamento - Condição de ângulo• Ganho correspondente – Condição de módulo

Calcule o ganho correspondente

0)1s(K)6s)(1s(s =+++− 0Ks)6K(s5s 23 =+−++eq.característica

Ks

0as

K5s

6K1s

0

1

2

3 −5

)6K(5Ka −−−=

0a =⇐=4

30K linha de zeros

04

30s5)s(Q 2 =+=23js ±=

32/Cap.7

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ro, A

ntón

io P

asco

al

Root-Locus – Exemplo (cont)

• Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho correspondente

• Método 1 – critério de Routh-Hurwitz• Método 2 – Root-Locus

• Ponto de cruzamento - Condição de ângulo• Ganho correspondente – Condição de módulo

xxx o


+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α++α−−α= )6(arctgº90)(arctg180)(arctg))s(H)s(Garg( 1

1111

11 js α=

23

1 =α 23js1 =

condição de módulo

?K =


E para este valor de K qual é o pólo real em cadeia fechada?

βαβαtgtgtgtgβ)tg(α.1−

+=+

33/Cap.7

ROOT LOCUS

©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Regras para a construção• REGRA 9 – Soma dos pólos

)s(D)s(N)s(H)s(G = grau N(s) = m

grau D(s) = n

Se n-m ≥ 2 K ,f.c.t.f da pólosa.c.t.f da pólosn

1i

n

1i∀= ∑∑

==

Demonstração:

n2n

21n

1n r....srsrs

)s(N)s(D)s(N)s(H)s(G

++++== −−

cadeia aberta

∏=

−− λ+=++++n

1iin

2n2

1n1

n )s(r....srsrs

∑=

λ=n

1ii1r

cadeia fechada

0)s(H)s(KG1 =+ 0r....srsrs

)s(NK1n

2n2

1n1

n =++++

+ −−

0)s(N Kr....srsrs n2n

21n

1n =+++++ −−

)ps(0d....sdsdsn

1iin

2n2

1n1

n ∏=

−− +==++++

iλ− pólo da f.t.c.a.

ip− pólo da f.t.c.f.∑=

=n

1ii1 pd

Se n-m ≥ 2 11 rd = ∑∑==

λ=n

1ii

n

1iip

Para referência. Leitura Opcional

Soma dos pólos em cadeia aberta = Soma dos pólos em cadeia fechadaSe n-m ≥ 2

34/Cap.7

ROOT LOCUS

©M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al



• REGRA 9 – Soma dos pólos

Exemplos


+=

xxx o

5.7K2

3js

=

=

Para K=7.5 onde está o outro pólo da f.t.c.f ?

K ,f.c.t.f da pólosa.c.t.f da pólos3

1i

3

1i∀= ∑∑

==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=−+ 3p2

3j23j)610(

5p3 −=

x?

35/Cap.7

ROOT LOCUS

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ntón

io P

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al



REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero

Exemplos

]4)4s)[(4s(s)2s(K)s(H)s(KG 22 +++

+=

x

x

x

xo

310

14)2()j44j4440(

a −=−

−−+−−−−=σ

centro assimptótico

ângulos das assimptotas com o eixo real = 60º, 180º,-60º

Como saem os ramos dos pólos complexos conjugados?

usar a condição de argumento

só troços do eixo real

36/Cap.7

ROOT LOCUS

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io P

asco

al




Exemplos

]4)4s)[(4s(s)2s(K)s(H)s(KG 22 +++

+=

x

x

x

xo

Circunferência de raio εε 0

1θ 2θ3θ

4θ

5θ

)())s(H)s(Garg( 5432111 θ+θ+θ+θ−θ=

s1 – que se admite pertencente ao root-locus

π+=θ+++−−= )1k2()º90º90º135()2arctg180())s(H)s(Garg( 511

incógnitaº4.185 −=θ

só troços do eixo real

37/Cap.7

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ntón

io P

asco

al




Exemplos

]4)4s)[(4s(s)2s(K)s(H)s(KG 22 +++

+=

-18.5º

38/Cap.7

ROOT LOCUS

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ro, A

ntón

io P

asco

al


x x

x

x

Root-Locus – Exemplo 1

]4)1s)[(2s(sK)s(H)s(KG 2 +++

=


14

j21j2120a −=

+−−−−=σ

ângulo das assímptotas com o eixo real

4)1k2(

assπ+±

=φ º45,º225,º135,º45ass −=φ

breakaway points

)s10s9s4s(K 234 +++−=

0)10s18s12s4(dsdK 23 =+++−=

25.1j1s25.1j1s

1s

−−=+−=

−=

>

>

>

>>

>

breakaway point

?K =

39/Cap.7

ROOT LOCUS

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io P

asco

al



]4)1s)[(2s(sK)s(H)s(KG 2 +++

=

breakaway points

)s10s9s4s(K 234 +++−=

0)10s18s12s4(dsdK 23 =+++−=

25.1j1s25.1j1s

1s

−−=+−=

−=

breakaway point

K=4

K=4

K=?

40/Cap.7

ROOT LOCUS

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io P

asco

al



]1)4s)[(8s(sK)s(H)s(KG 2 +++

=


44

j4j480a −=

+−−−−=σ


4)1k2(

assπ+±

=φ º45,º225,º135,º45ass −=φ

breakaway points

)s136s81s16s(K 234 +++−=

0)136s162s48s4(dsdK 23 =+++−=

26.1s4s

74.6s

−=−=−=

16K =

?K =

?K =

< <<< < <

41/Cap.7

ROOT LOCUS

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ntón

io P

asco

al



]1)4s)[(8s(sK)s(H)s(KG 2 +++

=

breakaway points

)s136s81s16s(K 234 +++−=

0)136s162s48s4(dsdK 23 =+++−=

26.1s4s

74.6s

−=−=−=

16K =

?K =

?K =

break-in pointbreakaway pointbreakaway point

42/Cap.7

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al



)9s)(8s)(5.0s(s]1)5.1s[(K)s(H)s(KG 2

22

+++++

=


83.425

)j5.1j5.1()985.00(a −=

−−−+−−−−−

=σ


3)1k2(

assπ+±

=φ º60,º180,º60ass −=φ

x x xo

o

K2

estabilidade

xx

instável KK0 1 →<<estável ntemarginalme KK ,KK 21 →==

K1

estável KKK 21 →<<

instável KK 2 →>

43/Cap.7

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asco

al


Root-Locus vs qualquer parâmetro

K1s

1+ s

1

2k

+-

Pergunta: Para K fixo, como é que os pólos da f.t.c.f. variam com k2 ?

Pergunta: Pode usar-se o Root-Locus ?

5K =

)s(R )s(C

)sk1()1s(s

51

)1s(s5

)s(R)s(C

2++

+

+=5)k51(ss

5)s(R)s(C

22 +++

=

05)k51(ss 22 =+++

0s5k)5ss( 22 =+++

05ss

s5k1 22 =++

+

o

x

x

Root-locus como função de k2

++

44/Cap.7

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al


Root-Locus para Ganhos Negativos

K )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

0K <

Equação característica

Condição de módulo

Condição de argumento

Regras que são alteradas

• troços do eixo real pertencem ao root-locus se tiverem à direita um número par de pólos e/ou zeros da f.t.c.a.

• ângulo das assímptotas com eixo real=

• os ângulos de partida e chegada satisfazem a nova condição de argumento e diferem, portanto, de 180º dos calculados para K positivo.

0)s(H)s(KG1 =+ 1)s(H)s(KG −=

1)s(H)s(KG =é independente do sinal de K

Zk ,k2))s(H)s(Garg( ∈π=

Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento

1,...,1,0,2−−=

−±

=Φ mnkmnk

a π

45/Cap.7

ROOT LOCUS

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al


Root-Locus para K negativo

)2s2s(sK

2 ++

+

_

)s(R )s(C

Exemplo

retroacção negativa

Root-locus• retroacção negativa• K>0

Root-locus• retroacção positiva• K<0

x

x

x

K>0

K<0

>

>

>

>

46/Cap.7

ROOT LOCUS

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ro, A

ntón

io P

asco

al


Cancelamento pólo-zero no Root-Locus

K1s2s

++

s1

α

+-

)s(R )s(C

++

Root-Locus como função de K

K1s2s

++

s1+

-)s(R )s(C

α+ s1

G(s)

H(s)

)1s()1s(s

2sK)s(H)s(KG +α+

+=

1 Para =α H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s)

Pode cancelar-se ?

s2sK)s(H)s(KG +

=Se houver cancelamento

Root-Locus tem um único ramo

xo

47/Cap.7

ROOT LOCUS

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ro, A

ntón

io P

asco

al


Cancelamento pólo-zero no Root-Locus

)1s()1s(s

2sK)s(H)s(KG +α+

+=

)1s()1s(s

2sK1

)1s(s2sK

)s(H)s(KG1)s(KG

)s(R)s(C

++

++

++

=+

=

f.t.c.a.

f.t.c.f.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

++=

++++

=

K1K2s)1s(

)2s(K1

K

]K2s)K1)[(1s()2s(K

)s(R)s(C

Pólo fixo independente de K

xo-2

x

Pólo da f.t.c.f. independente de K

xo

x Pólo da f.t.c.f.

não é zero da f.t.c.f

1 Para =α H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s)

Pode cancelar-se ? NÃO

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Cap. 7 - Parte I Root Locus