Cap 7 Van Wylen

5/10/2018 Cap 7 Van Wylen

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EntropiaAte este ponto do nosso estudo da segunda lei da termodi-namica, consideramos somente os cielos termodinamicos.Ernbora essa seja uma abordagem muito importante e util,em muitos casos estamos interessados em processos quais-quer, mais do que os ciclicos. Assim, podemos estar inte-ressados na analise, pela segunda lei, de processos queencontramos diariamente, tais como 0processo de combus-tao num motor de automovel, 0resfriamento de um copo de',cafe ou processos qufmicos que ocorrem em nossos corpos.Seria tambem bastante desejavel poder lidar com a segundalei, tanto quantitativa como qualitativamente.

No nosso estudo da primeira lei, estabelecemos inicial-mente esta lei em tennosde um cielo, mas entao definimosuma propriedade, a energia interna, que nos possibilitouusar quantitativamente a primeira lei para processos. Ana-logamente, estabelecemos a segunda lei para um cielo eagora verificaremos que a segunda lei conduz a uma outrapropriedade, a entropia, que nos possibilita tratar quantita-tivamente a segunda lei para processos. Energia e entropiasao conceitos abstratos, que foram idealizados para auxiliarna descricao de detenninadas observacoes, Conforme men-cionamos no Capftulo 2, a termodinamica pode ser descritacomo a ciencia da energia e da entropia. 0 significado dessaafirmacao tornar-se-a agora cada vez mais evidente.7.1 DESIGUALDADE DECLAUSIUSo primeiro passo em nosso estudo da propriedade, quedenominavamos de entropia, e estabelecer a desigualdadede Clausius: f bQ-~oT'"A desigualdade de Clausius e um corolario ou uma conse-qiiencia da segunda lei da termodinamica, e sera demons-

Figura 7.1 - CicIo de U111 motortermico reversfvel, para demonstracaoda desigualdade de Clausius

trada a sua validade para todos os possfveis cielos. Issoinelui os motores termicos e os refrigeradores, tanto rever-sfveis como irreversfveis. Como qualquer cielo reversfvelpode ser representado por uma serie de cielos de Camot,nesta analise precisamos apenas considerar um cielo Car-not que conduz a desigualdade de Clausius.

Consideremos inicialmente um cielo reversfvel (Car-not) de um motor termico, que opera entre os reservatoriostermicos as temperaturas THe TL, conforme mostrado naFig. 7.1.

Para esse cielo, a integral cielica do calor trocado, bQ, e maior do que zero.f bQ = Q H - Q L > 0Como TH e TL sao constantes, conelui-se, da definicao daescala de temperatura absoluta e do fato de que este e umcielo reversfvel, que

1bQ = Q H _ QL =0r T TH TLSe bQ, a integral cfclica de bQ, e levada a tender a zero(fazendo-se TH se aproximar de Tu, enquanto 0 cielo per-manece reversfvel, a integral cfelica de bQjT pennanecenula. Assim concluimos que para todos os cielos reversf-veis de motores termicos,f bQ ~ 0

e

Consideremos agora um motor termico de cielo irre-versfvel operando entre as mesmas temperaturas THe TLdomotor reversivel da Fig. 7.1, e recebendo a mesma quanti-dade de calor QH . Comparando 0cieloirreversfvel com 0reversivel, conclufrnos, pela segunda lei, que

Como QH - Q L = W para ambos os cielos, reversivel ouirreversfvel, conelufmos que


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ENTROPIAeportantoconseqiientemente, para 0motor ciclico irreversivel,f bQ = QH - Q L irr > 0

,( bQ = QH _ Q L irr QHrev - QLeportantoIsto e, 0calor rejeitado pelo refrigerador irreversivel para 0reservatorio termico de alta temperatura e maior do que 0calor rejeitado pelo refrigerador reversivel. Portanto, _para

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Figura 7.2 - Ciclo de refrigeracaoreversivel, para demonstracao dadesigualdade de Clausius

o refrigerador irreversivel,fbQ = -QH i r r + QL < 0,( bQ =_QHir r + QL < 0r T TH TL

Fazendo com que essa maquina se tome progressivamentemais irreversivel, enquanto QL' TH e TL sao mantidos fixosas integrais ciclicas de ~Q e ~QITtomam-se mais negati-vas. Conseqiientemente, nao existe 0 caso limite em queintegral ciclica ~Qtende a zero, para urn refrigerador irreversivel.

Assim, para todos os cicIos de refrigeracao irreversiveis, fbQ < 0f M ; < OResumindo, observamos que, em relacao ao sinal de ,bQ,consideramos todos os cicIos reversiveis possiveis (isto et bQ0 ), e para cada um destes cicIos reversiveis.. f b i = 0Consideramos tambem todos os cicIos irreversiveis possiveis quanto ao sinal de O~Q(isto e , f bQ0), e para todoesses cicIos irreversiveisf M ; < OAssim, podemos escrever para todos os cicIos,

,(bTQ&Oj ~ (7.1onde a igualdade vale para cicIos reversiveis e a desigual-dade para cicIos irreversiveis. Esta relacao, Eq. 7.1.,conhecida como a desigualdade de Clausius.o significado da desigualdade de Clausius pode seilustrado considerando-se 0 cicIo simples de potenciavapor d' agua mostrado na Fig. 7.3. Esse cicIo e ligeiramen-te diferente do cicIo comum das instalacoes de potenciavapor d'agua pois a bomba trabalha com uma mistura dliquido e vapor, numa proporcao tal que 0 liquido saturadosai da bomba e entra na caldeira. Admitamos que algueminforme que a pressao e 0 titulo nos varies pontos do cicIosao aqueles dados na Fig. 7.3. Satisfaz esse cicIo a desigualdade de Clausius?

Calor e transferido em dois locais, na caldeira e ncondensador. Portanto

f b i = ( b i ) caldeira+ f ( b i ) condensador


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Como a temperatura permanece constante, tanto na caldei-ra como no condensador, essa expressao pode ser integradana seguinte forma,

l bQ =_1 f2 bQ +_1 f4 bQ =1Q Z + 3Q 4j T r, 1 T3 3 r, T3Consideremos 1 kg de massa do fluido de trabalho

1q2 = h z - h l =2066.3 k.l/kg; T', = 164,97C3q 4 = h4 - h3 = 463,4 - 2361,8 = -1898,4 kl/kg;

T3 = 53,97CPortantobQ 2066,3 1898,4f T = 164,97 + 273,15 - 53,97 + 273.15

= -1,087 kJ/kg KAssim, esse ciclo satisfaz a desigualdade de Clausius, 0que e equivalente a dizer que esse ciclo nao viola a segundalei da termodinamica.7.2 ENTROPIA-UMAPROPRIEDADEDEUMSISTEMAUsando-se a Eq. 7.1 e a Fig. 7.4, pode-se mostrar que asegunda lei da termodinamica conduz a uma propriedadede um sistema que denominamos de entropia. Facamoscom que um sistema percorra um processo reversivel doestado 1 ao estado 2, atraves do caminho A, e que um cicloseja completado atraves do caminho B, que e tambemreversivel.

Como esse ciclo e reversivel, podemos escrever

Consideremos agora um outro ciclo reversivel que tern 0mesmo processo inicial, porem facamcs com que 0cicioseja completado atraves do caminho C. Para esse ciciopodemos escrever

l bQ =0 = r z (b Q ) + f1 (bQ )j T .1 T A Z T cSubtraindo a segunda equacao da primeira, temos

Como f bQ/T e a mesma para todos os caminhos revers l-veis entre os estados 2 e 1, conclufmos que essa quantidadee independente do caminho e e uma funcao apenas dosestados inicial e final, e e portanto uma propriedade. Essapropriedade e denominada entropia, designada por S. Con-clui-se que a entropia pode ser definida como a proprieda-de de uma substancia, dada pela relacaod S = = ( b Q) (7.2)T revA entropia e uma propriedade extensiva, e a entropia porunidade de massa e indicada por s. E importante observarque a entropia e definida aqui em funcao de um processo

V ap or s atu ra do 0 ,7 M Pa

reversivel.

2

0 ,7 M Pa4

Titu lo 10% 15 kP aFigura 7.3 - Instalacao a vaporpara mostrar a desigualdade de Clausius

A variacao de entropia de um sistema que sofre umamudanca de estado, pode ser obtida pela integracao da Eq.7.2. Assim

(7.3)Para efetuar essa integracao, a relacao entre T e Q deve serconhecida; posteriormente serao apresentadas ilustracoesrelativas ao caso. 0 ponto importante a ser observado aquie que, como a entropia e uma propriedade, a variacao deentropia de uma substancia, ao itde um estado a outro, e amesma para todos os processos, tanto reversiveis comoirreversiveis, entre estes dois estados. A equacao 7.3 per-mite obter a variacao de entropia somente atraves de umcaminho reversivel. Entretanto, uma vez determinado, essesera 0valor da variacao de entropia para todos os processosentre esses dois estados .

A Equacao 7.3 permite determinar variacoes de entro-pia, porem nao nos informa nada a respeito dos valoresabsolutos de entropia. Entretanto, pela terceira lei da termo-dinamica, que sera discutida no Capitulo 12, conclui-se quepode ser atribuido 0 valor zero para a entropia de todas assubstancias puras a temperatura zero absoluto. Disto resul-tam valores absolutos de entropia, sendo particularmenteimportante quando estao envolvidas reacoes quimicas.

Entretanto, quando nao esta envolvida nenhuma mu-danca de composicao, e bastante adequado atribuir valoresde entropia em relacao a um estado de referencia arbitraria-mente escolhido. Esse e 0processo usado na maioria dastabelas de propriedades termodinamicas, como as tabelasde vapor d'agua e de amenia. Portanto, ate a introducao daentropia absoluta no Capitulo 12, os valores de entropiaserao sempre dados em relacao a um estado de referenciaarbitrario. 2

1Figura 7.4 - Dois ciclos reversiveis, demonstrando queentropia e uma propriedade de uma substancia


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ENTROP I A, Deve ser acrescentada aqui uma palavra relativamenteao papel de Tcomo fator integrante. Observamos, no Capi-tulo 4, que Q e uma funcao de caminho, e portanto 5Q euma diferencial inexata. Entretanto, como (5Q/T)rev e umapropriedade termodinamica, ela e uma diferencial exata.Do ponto de vista matematico, verificamos que uma dife-rencial inexata pode ser transformada numa diferencialexata, pela introducao de um fator integrante. Portanto, liTfunciona como 0fator integrante na transformacao da dife-rencial inexata 5Q para a diferencial exata 5Q/Tnum pro-cesso reversivel.7.3 AENTROPIA PARAUMASUBSTANCIA PURAEntropia e uma propriedade extensiva de um sistema. Va-lores de entropia especifica (entropia por unidade de mas-sa) estao apresentados em tabelas de propriedades termodi-namicas da mesma maneira que 0 volume especffico e aentalpia especifica. A unidade da entropia especifica nastabelas de vapor d'agua, tabelas de freon-12 e tabelas deamenia e kJ/kgK, e os valores sao dados em relacao a umestado de referencia arbitrario. Nas tabelas de vapord'agua, atribui-se 0 valor zero para a entropia do liquidosaturado 0,01 DC.Para muitos fluidos refrigerantes, como 0freon-12 e amonia, atribui-se 0 valor zero para a entropiado Iiquido saturado a -40C.

Em geral, usamos 0termo IIentropia" para indicar tantoa entropia total como a entropia por unidade de massa, poiso contexte ou 0 simbolo apropriado indicara claramente 0significado preciso do termo.

Na regiao de saturacao, a entropia pode ser calculadausando-se 0 titulo; as relacoes sao analogas as de volumeespecifico e de entalpia.

S = (1 - X)SI + XSvS =Sl + X Slv (7.4)

A entropia do liquido comprimido esta tabelada, da mesmamaneira que as outras propriedades. Essas propriedadessao principalmente uma funcao da temperatura e nao sao4001I300~

II2YJf-

Entropia kJ/kg KFigura 7.S - Diagrama temperatura-entalpiapara 0vapor d'agua

3000~

OJ) r-'" 2000ee"6.~c;u..J1000

3 4 7 8Entropia kJ/kg K

Figura 7.6 - Diagrama entalpia-entropia para 0vapor dagumuito diferentes das propriedades do liquido saturadomesma temperatura. A tabela 4 das tabelas de vapor d'agde Keenan, Keyes, Hill e Moore, que esta resumidaTabela A.l.4 do Apendice, fomece a entropia do liquicomprimido de agua, da mesma maneira que outras ppriedades, conforme ja foi discutido anteriormente.

As propriedades termodinamicas de uma substancsao freqiientemente apresentadas num diagrama tempetura-entropia e num diagrama entalpia-entropia, que e tabern chamado de diagrama de Mollier, em homenagemRichard Mollier (1863-1935) da Alemanha. As Figs. 7.7.6 mostram os elementos principais dos diagramas tempratura-entropia e entalpia-entropia para 0vapor dagua.caracteristicas gerais desses diagramas sao as mesrnas ptodas as substancias puras. Um diagrama temeperatura-entropia mais completo para 0vapor d' agua e apresentadoFig. A.I.

Esses diagramas sao uteis tanto como um meioapresentar dados termodinamicos, como porque tambeeles possibilitam visualizar as mudancas de estados qocorrem nos varios processos e, com 0desenvolvimentonosso estudo, 0estudante deve adquirir facilidade na vislizacao de processos termodinamicos nesses diagramas.diagrama temperatura-entropia e particulannente uti) pessa finalidade.

Mais uma observacao deve ser feita aqui, em relacaolinhas de liquido comprimido no diagrama temperatura-entropia para a agua. Os valores apresentados na Tabela 4 dtabelas de vapor d'agua (tabela A1.4 do Apendice) indicaque a entropia do Iiquido comprimido e menor do que aliquido saturado a mesma temperatura, para todas as teperaturas tabeladas, exceto OC. Pode-se mostrar que calinha de pressao constante cruza a linha de lfquido saturano ponto de maxima densidade, que e aproximadament4C para a agua (a temperatura exata na qual ocorremaxima densidade varia com a pressao). Para temperaturmenores do que a temperatura na qual a densidade e mama, a entropia do liquido comprimido e maior do que aliquido saturado. Assim, as linhas de pressao constanteregiao de lfquido comprimido se apresentam (numa esc


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T /~'t>/:

// /i t , C l/ / . s ' l ; 1 M Pa// -f-------------//~ c,

//8 i Y t , C l/ / ~ . : : : , < : : > 0//.fI.,?1/

/////

a

T //F9,'t>/~ ' J ////// D//. 1 MPa //. -----------/. B C~# L i qui do sa tu radoA

bFigura 7.7 - Diagrama temperatura-entalpia mostrandoas propriedades de um liquido comprimido (agua)

ampliada) como mostradas na Fig. 7.7a. E importante sabera forma geral dessas linhas, quando e mostrado 0processode bombeamento para Iiquidos.

Tendo sido feita essa observacao para a agua, deve-sedizer que, para a maioria das substancias, a diferenca deentropia entre a do liquido comprimido e a do liquidosaturado it mesma temperatura e tao pequena que, normal-mente um processo, no qual 0 liquido e aquecido a pressaoconstante, e representado por uma linha coincidente com alinha de liquido saturado, ate atingir a temperatura de satu-racao (Fig. 7.7b). Assim, se a agua a IO MPa e aquecida deDoC ate a temperatura de saturacao, 0 processo e repre-sentado pela linhaABD, que coincide com a linha de liqui-do saturado.7.4 VARIACAO DEENTROPIAEMPROCESSOS REVERSivEISTendo-se estabelecido que a entropia e uma propriedadetermodinamica de um sistema, sera agora considerado 0seu significado em varies processos. Nesta secao, limitar-nos-emos a sistemas que percorrem processos reversiveis econsideraremos 0cielo de Camot, processos reversiveis detroca de calor e processos adiabaticos reversiveis.

Consideremos como sistema 0 fluido de trabalho deurn motor termico que opera segundo 0 cielo de Camot. 0primeiro processo e 0da transferencia isotermica de calordo reservatorio de alta temperatura para 0fluido de traba-Iho. Para esse processo, podemos escrever _ -,

S2 - SI = r 2 ( O Q ).1 T re v

Como esse e um processo no qual a temperatura do fde trabalho pennanece constante, resulta da integracao

I f 2 1 Q 2S2 - SI =~ bQ =~TH 1 THEsse processo e mostrado na Fig. 7.8a e a area abaixlinha 1 - 2, a area 1 - 2 - b - a-I, representa 0transferido ao fluido de trabalho durante 0processo.o segundo processo de um cielo de Camot e adiabreversivel, Da definicao de entropia:

dS =C i t ,e evidente que a entropia pennanece constante numcesso adiabatico reversivel. Um processo de entropia ctante e chamado de processo isentropico. A linharepresenta esse processo, que termina no estado 3, ontemperatura do fluido de trabalho atinge 0valor Tvo terceiro processo e isoterrnico reversivel, no qcalor e transferido do fluido de trabalho ao reservattermico de baixa temperatura. Para esse processo, podeescrever

-4 ( b Q)S4 - S 3 =I -T..3 revComo durante esse processo 0calor trocado e negati vorelacao ao fluido de trabalho), a entropia do fluido dsce. Tarnbem como 0 processo final 4 - 1, que compleciclo, e urn processo adiabatico reversivel (e portisentropico), e evidente que a diminuicao de entropiprocesso 3 - 4 deve ser exatamente igual ao aumentoentropia no processo 1 - 2. A area abaixo da linha 3 - 4,3 - 4 - a - b -3, representa 0calor transferido do fluidtrabalho ao reservatorio de baixa temperatura.

Como 0trabalho liquido do ciclo e igual a troca liqde calor, e evidente que a area 1 - 2 - 3 - 4 - 1 representrabalho Ifquido do cielo. 0 rendimento termico dopode ser tambern expresso em funcao de areas.

T ) = Wliq= area 1 - 2 - 3 - 4 - 1t --Q H area 1 - 2 - b - a-IAlgumas afirmacoes efetuadas anterionnente sobrementos termicos podem ser agora compreendidas grmente. Por exemplo, com 0 aumento de TH, enquanpennanece constante, ha aumento do rendimento terDiminuindo-se TL, enquanto TH perrnanece constanrendimento termico aumenta. E tarnbern evidente

T'

a b S caFigura 7.8 - 0 ciclo de Carnot nodiagrama temperatura-entropia


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ENTROP IA

rendimento termico se aproxima de 100%, quando a tem-peratura absoluta, na qual 0calor e rejeitado, tende a zero.

Se 0 cielo for invertido, temos um refrigerador ou umabomba de calor; 0 cielo de Camot para urn refrigerador emostrado na Fig. 7.8b. Observa-se nesse caso que a entro-pia do fluido de trabalho aumenta it temperatura TL, pois 0calor e transferido ao fluido de trabalho a TL A entropiadecresce it temperatura TH devido it transferencia de calordo fluido de trabalho.

Consideremos em seguida os processos reversiveis detroca de calor. Na realidade, estamos interessados aqui nosprocessos que sao intemamente reversiveis, isto e, proces-sos que nao envolvem irreversibilidades dentro da fronteirado sistema. Para tais process os, 0 calor transferido para oudo sistema pode ser indicado como uma area no diagramatemperatura-entropia. Por exemplo, consideramos a mu-danca de estado de liquido saturado para vapor saturado itpressao constante. Isso corresponderia ao processo 1 - 2 nodiagrama T - S da Fig. 7.9 (observe-se que aqui precisamosda temperatura absoluta), e a area 1 - 2 - b - a-I representao calor trocado. Como esse e um processo it pressao cons-tante, 0 calor trocado por unidade de massa e igual a h.;Assim,

52 - 51 = Sly = _!__f2 (b Q ) = _1_f2 bQ = 1q2 = h lym 1 T rev mT 1 T TEssa relacao fomece uma indicacao para 0calculo de Sly,apresentado nas tabelas de propriedades termodinamicas,Por exemplo, consideremos 0vapor d' agua a 10 MPa. Dastabelas de vapor, temos .

hly=1317,1 kJ/kgT = 311,96 + 273,15 = 584,21 K

h /v 1317,1s /v= T = 584,21 = 2,2544 kl/kg KEsse e 0valor de Sly apresentado nas tabelas de vapord'agua,

Se for transferido calor ao vapor saturado, it pressaoconstante, 0 vapor e superaquecido ao longo da linha 2-3.Para esse processo, podemos escrever

1 f 3 f 32q3 = - bQ = T dsm 2 2

Portanto

T

b c sFigura 7.9 - Diagrama temperatura-entropia para mostraras areas que representam a transferencia de calorem processos intemamente reversiveis

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Como T nao e constante, a expressao acima nao podeser integrada, a menos que se conheca uma relacao entre atemperatura e a entropia. Entretanto, verificamos que aarea abaixo da linha 2 - 3, a area 2 - 3 - c - b - 2 representan T ds, e portanto representa 0calor trocado durante esseprocesso reversivel.

A conclusao importante a ser tirada aqui e que, paraprocessos intemamente reversiveis, a area abaixo da linhaque indica 0 processo no diagrama temperatura-entropiarepresenta a quantidade de calor trocado. Isso nao e verda-deiro para processos irreversiveis, conforme sera mostradoposteriormente.

Ha muitas situacoes em que ocorrem processos essen-cialmente adiabaticos. Ja observamos que, em tais casos, 0processo ideal, que e um processo adiabatico reversivel, eisentropico. Consideraremos aqui um exemplo de umprocesso adiabatico reversivel para um sistema; neste mes-mo capitulo consideraremos posteriormente 0 processoadiabatico reversivel para um volume de controle. Verifi-caremos, tambem, em seyiio posterior, que pela compara-yao do processo real com 0processo ideal ou isoentropico,teremos uma base para definir a eficiencia de determinadaselasses de maquinas.Exemplo 7.1Consideremos um cilindro provido de embolo, contendovapor saturado de freon-12 a - lOOC. 0vapor e comprimidosegundo um processo adiabatico reversivel ate a pressao de1,6 MPa. Determinaro trabalho por kg de freon-12 nesseprocesso.Sistema: freon-12Estado inicial: Th vapor saturado; estado determinadoEstado final: Pz conhecidoProcesso: Reversivel e adiabaticoModelo: Tabelas de freon-12Analise: Primeira lei - adiabatica:

1Qz = Uz - U1 + 1WZ = 01WZ = U1 - Uz

Segunda lei - reverslvel e adiabatica:51 = 5z

Portanto, conhecemos a entropia e a pressao no estadofinal, 0que e suficiente para determinar 0estado final, poisestamos lidando com uma substancia pura.SolufiioDas tabelas de freon-12:U1 = h1 - P1V1 = 183,058 - 219,1 x 0,076646 = 166,26551 = 5z = 0,7014 kJ/kg K kl/kgP: = 1,6MPaPortanto, das tabelas de vapor superaquecido de freon-12,

Tz = 72,2C hz = 218',564 V z =0,011 382Uz = 218,564 - 1600 x 0,011382 = 200,352 k.l/kg

1Wz = U1 - Uz = 166,265 - 200,352 =-34,087 k.l/kg


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7.5 DUAS RELACOESTERMODINAMICAS IMPORTANTESNeste ponto vamos deduzir duas importantes relacoes ter-modinamicas para uma substancia compressivel simples.Essas relacoes sao

TdS =dU + pdVTdS =dH - Vdp

A primeira dessas relacoes pode ser deduzida, consideran-do-se uma substancia compressivel simples, na ausencia deefeitos de movimento ou gravitacional. A primeira lei, parauma mudanca de estado sob essas condicoes.pode ser ex-pressapor bQ =dU + bWAs equacoes que estamos deduzindo aqui, tratam primei-ramente das mudancas de estado nas quais 0 estado dasubstancia pode ser identificado em qualquer instante.Assim, devemos considerar urn processo quase-estaticoou, usando 0termo introdnjido no capitulo anterior, urnprocesso reversivel. Para U r n processo reversivel de umasubstancia compressivel simples, podemos escrever

bQ =TdS e bW =pdVSubstituindo essas relacoes na equacao da primeira lei,temos TdS =dU + pdV (7.5)que e a equacao que pretendemos deduzir . Observe-se queessa equacao foi deduzida admitindo-se urn processo re-versivel, e assim essa equacao pode ser integrada paraqualquer processo reversivel, pois durante tal processo 0estado da substancia pode ser identificado em qualquerponto. Observamos tambem que a Eq. 7.5 lida somentecom propriedades. Admitamos que se tenha urn processoirreversivel ocorrendo entre determinados estados inicial efinal. As propriedades de uma substancia depende somentedo estado, e portanto as variacoes das propriedades duranteuma dada mudanca de estado sao as mesmas, tanto para urnprocesso irreversivel como para urn processo reversivel.Portanto a Eq. 7.5 e freqiientemente aplicada para urnprocesso irreversivel entre dois dados estados, porem aintegracao da Eq. 7.5 e realizada ao longo de urn caminhoreversivel entre os mesmos dois estados.

Como a ental pia e definida porH =U + pVConclui-se que

dH =dU + pdV + VdpSubstituindo essa relacao na Eq. 7.5, temos

TdS =dH - Vdp (7.6)que e a segunda equacao que nos propusemos a deduzir.Essas equacoes podem ser tarnbem escritas para a unidadedemassa

Tds =du + pdvTds =dh - vdp (7.7)

ou em base molarT ds = ii + p dvTds = iii - ii d.p (7.8)

Essas equacoes serao usadas extensivamente em determi-nadas secoes subseqiientes deste livro.

Se considerarmos substancias de composicao fixa, quenao uma substancia compressivel simples, poderemos es-crever outras equacoes de "Tds", diferentes das que foramapresentadas para uma substancia compressivel simples.No Cap. 4, Eq. 4.16, vimos que, para urn processo revers i-vel, podemos escrever a seguinte expressao para 0trabalho:bW =pdV - f/dL - Ydd - JioYfd(V.H) - tffdZ + ...conelui-se que uma expressao mais geral para a equacao de"TdS" seriaTdS =dU + pdV - f/dL - Y dd - JioYf d(Vvlt) - I f f dZ+ ... (7.9)7.6 VARIACAO DEENTROPIADEUMSISTEMA DURANTEUMPROCESSO IRREVERSivELConsideremos urn sistema que percorra os cielos mostra-dos na Fig. 7.10. 0 cielo constituido dos processos re-versiveis A e B e urn cielo reversivel, Portanto podemosescrever

I b Q = r 2 ( b Q ) + J l ( b Q ) = 0j T .1 T A 2 T Bo cielo constituido do processo reversivel A e do processoirreversivel C e urn cielo irreversfvel. Portanto, a desigual-dade de Clausius pode ser aplicada para esse cielo, resul-tando

Subtraindo a segunda equacao da primeira e rearranjando,temos f l ( b Q ) > f l ( b Q \2 T B 2 T)cComo 0caminho B e reversfvel, e como a entropia e umapropriedade,

2

Figura 7.10 - Variacao da entropia de urn sistemadurante urn processo irreversivel


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ENTROP IA

Portanto,

Para 0caso geral, podemos escrevers s bQT

f 2 bQS2 - s, ~ 1T (7.10)Nessas equacoes, a igualdade vale para urn processo rever-sivel e a desigualdade para um processo irreversivel.

Essa e uma das mais importantes equacoes da termodi-namica e e usada para desenvolver varies conceitos edefinicoes. Essencialmente, essa equacao estabelece a in-fluencia da irreversibilidade sobre a entropia de um siste-ma. Assim, se uma quanti dade de calor 6Q e transferidapara urn sistema it temperatura T, segundo urn processoreversivel, a variacao da entropia e dada pela relacao

dS =bQTEntretanto, se durante a transferencia da quantidade decalor 6Q para 0 sistema it temperatura T ocorrem, efeitosirreversiveis, a variacao de entropia sera maior do que a doprocesso reversivel e podemos escrever

dS > bQTA equacao 7.10 e valida quando 6Q =0, ou quando 6Q < 0,ou mesmo quando 6Q > 0. Se 5Q for negativo, a entropiatendera a decrescer devido a troca de calor. Entretanto, ainfluencia das irreversibilidades e ainda no sentido deaumentar a entropia do sistetna, e, do ponto de vista nume-rico, absoluto, podemos ainda escrever, para 5Q < 0:

dS > - bQ'" T7.7 TRABALHO PERDIDOo significado da variacao de entropia para um processoirreversivel pode ser ampliado com a introducao do concei-to de trabalho perdido, ao qual associamos 0 simbolo Uj,.Esse conceito pode ser descrito com a ajuda da Fig. 7.11,na qual urn gas esta separado do vacuo POl'uma membrana.Facamos com que a membrana tenha uma pequena ruptura,de maneira que 0gas ocupe todo 0volume e que ocorrauma troca de calor adequada, de modo que a temperaturafinal seja a mesma da inicial (qual seria a troca de calornecessaria se 0 gas fosse urn gas perfeito?). Como paraesse processo 0 trabalho e nulo, concluimos pelo primeiroprincipio, que bQ =dU

(a) (b)

Figura 7.11 - Urnprocesso que mostra um trabalho perdido

91Desejamos comparar esse processo irreversivel com urnprocesso reversivel entre os mesmos dois estados. Issopode ser conseguido fazendo-se 0 gas -expandir contra urnpistao sem atrito, enquanto se transfere calor para 0gas,numa quantidade necessaria para manter a temperaturaconstante. Para esse processo, concluimos pelo primeiroprincipio, que bQ =dU + bWe como esse processo e reverslvel, podemos escrever

bQ = TdS e bW= pdVA rnaior diferenca entre esses dois processos e que noprocesso irreversivel 0 trabalho e nulo, enquanto que noprocesso reversivel e realizado 0maior trabalho possivel.Assim, podemos falar de trabalho perdido para urn proces-so irreversivel. A todo processo irreversivel esta associadauma deterrninada quantidade de trabalho perdido. Na Fig.7.11 mostramos os dois casos extremos, urn processo re-versivel e outro na qual 0trabalho e nulo. Entre esses doisextremos existem processos que apresentam varies grausde irreversibilidade, isto e, 0 trabalho perdido pode variarde zero ate urn deterrninado valor maximo. Para uma subs-tancia compressivel simples, podemos portanto escrever

pdV=bW+bLW (7.11)onde 5Wp e 0 trabalho perdido e 5W e 0 trabalho real.Substituindo a relacao, Eq. 7.5,

TdS =dU + pdVna Eq. 7.11, temos

TdS =dU.+ bW + bLWPorem, da primeira lei

bQ =dU + bWPortanto,TdS=bQ+bLW

e (7.12)Assim, temos urna expressao de igualdade para a variacaode entropia nurn processo irreversivel, enquanto que nasecao anterior tivemos uma desigualdade.

dS ~ b < i (7.13)Num processo reversivel, 0trabalho perdido e nulo e por-tanto tanto a Eq. 7.12 como a 7.13 se reduzem a

dS = ~ Q )T revpara um processo reversivel.

Algumas conclusoes importantes podem agora ser ex-traidas das Eqs. 7.12 e 7.13. Primeiramente, existem duasmaneiras de aumentar a entropia de urn sistema - pelatransferencia de calor ao sistema ou fazendo-o percorrerum processo irreversivel. Como 0trabalho perdido naopode ser menor do que zero, ha somente um unico meio


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a b

Figura 7.12 - Processos reversiveis e irreversiveis em diagramasde pressao-volume e temperatura-entropiapelo qual a entropia de urn sistema pode ser diminuida:transferindo calor do sistema.

Em segundo lugar, a variacao de entrepia de urn siste-ma pode ser desdobrada na variacao devido a troca de calore na variacao devido a irreversibilidades intemas. Freqiien-temente, 0aurnento de entropia devido a irreversibilidadese chama do de producao irreversfvel de entropia.

Finalmente, ja observamos que para urn processo adia-batico, f> Q = 0 e, neste caso, 0aumento de entropia estasempre associado com irreversibilidades.

Urna outra observacao, que envolve a representacao deprocessos irreversiveis nos diagramas p - Ve T - S,deve serefetuada. Para um processo irreversivel, 0 trabalho nao eigual a f pdV e tambem 0calor trocado nao e igual a f TdS.Portanto, as areas abaixo das curvas nao representam tra-balho e calor nos diagramas p - VeT - S, respectivamente.De fato, em muitos casos, nao estamos certos dos estadosexatos atraves dos quais 0sistema passa quando ele sofreurn processo irreversivel. Por essa razao, e vantajoso repre-sentar os processos irreversiveis por linhas pontilhadas e osprocessos reversiveis por linhas cheias. Assim, a area abai-xo da linha pontilhada nunca representara trabalho ou ca-lor. Por exemplo, os process os da Fig. 7.11 seriam repre-sentadas nos diagramas p - VeT - S confonne mostradosnaFig.7.12.

A Fig. 7.12amostra urn processo irreversiveI e, como atroca de calor e 0 trabalho sao nulos neste processo, asareas abaixo das linhas tracejadas nao tern significado. AFig. 7.12b mostra 0processo reversivel, e a area 1 - 2 - b -a-I representa 0 trabalho no diagrama p - V e 0 calortrocado no diagrama T - S.7.8 PRINCIPIO DO AUMENTODEENTROPIANesta secao examinaremos a variacao total de entropia deum sistema e do seu meio, quando 0sistema sofre umamudanca de estado. Esse estudo conduz ao principio doaumento de entropia.

Consideremos 0processo mostrado na Fig. 7.13, noqual uma quantidade de calor f> Q e transferido do meio atemperatura To para 0 sistema a temperatura T; seja f> W 0trabalho realizado pelo sistema durante esse processo. Paraesse processo podemos aplicar a Eq. 7.10 ao sistema eescrever bQdSsis tema~ TPara 0meio, f> Q e negativo e podemos escrever-bQdS meio=--To

Figura 7.13 - Variacaode entropia parao sistema mais 0meioMe,io,

temperatura = T o

A variacao liquida total de entropia e , portanto,bQ T, a quantidade (liT -liTo) e positiva e conclui-

(7.14)

mosquedS liq = dS s i s t ema + dSme io~ 0

Se T> To, 0 calor transferido e do sistema para 0meio, etanto f> Q como a quantidade (liT) - (lITo) sao negativos,levando assim ao mesmo resultado.

Assim, concluimos que, para todos os processos possi-veis que um sistema nurn determinado meio pode percorrer,dS liq =dSsistema + dSme io~ 0 (7.15)

onde a igualdade vale para processos reversiveis e a desi-gualdade para processos irreversiveis. Essa e uma equacaomuito importante, nao somente para a termodinamica, mastambem para 0 pensamento filosofico e e denominada deprincipio do aumento de entropia. 0seu grande significadoe que os unicos processos que podem ocorrer sao aquelesnas quais a variacao liquida de entropia, do sistema mais doseu meio, aumenta (ou, no limite, pennanece constante). 0processo inverso, no qual tanto 0sistema como 0meio saotrazidos de volta aos seus estados originais, nao pode ocor-rer. Em outras palavras, a Eq. 7.15 impoe 0 sentido unicoem que qualquer processo pode percorrer. Assim, 0princi-pio do aurnento de entropia pode ser considerado como umenunciado geral quantitativo da segunda lei da terrnodina-mica, sob 0 ponto de vista macroscopico e aplica-se aqueima do combustivel nos motores dos nossos automo-veis, ao resfriamento do nosso cafe e aos processos queocorrem no nosso corpo.

As vezes, esse principio do aumento de entropia eenunciado em tennos de urn sistema isolado, no qual naoha interacao entre 0 sistema e 0 rneio. Nesse caso, nao havariacao de entropia do meio e conclui-se que

dS sistema isolado ~ 0 (7.16)Isto e, para urn sistema isolado, os unicos processos quepodem ocorrer sao aqueles que apresentam urn aumento deentropia, associado aos proprios sistemas.Exemplo 7.2Adrnitamos que 1 kg de vapor d'agua saturado a 100Cseja condensado, obtendo-se liquido saturado a 100C,nUI11processo a pressao constante, atraves da transferenciade calor para 0ar ambiente, que esta a 25C. Qual e 0aumento liquido de entropia do sistema mais a do meio?


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ENTROP IA

SoluaioPara 0 sistema, das tabelas de vapor d'agua,

~sistema = -ms . ; = -1 x 6,0480 = - 6,0480 kJ/KConsiderando 0 meio

Qparaomeio = mh.; = 1 x 2257,0 = 2257 kJliS . = Q = 2257 = 7 5700 kJ/Krneio T o 298,15 '

~liquido = liSsistema + ~meio =-6,0480 + 7,5700 = 1,5220 kJ/KEsse aumento de entropia esta de acordo com 0 principiodo aumento de entropia e diz, do mesmo modo que a nossaexperiencia, que este processo pode ocorrer.E interessante observar como essa transferencia de ca-lor da agua para 0 meio pode acontecer reversivelmente.Admitamos que um motor termico, que opera segundo umciclo de Camot, receba calor da agua e rejeite calor para 0meio, conforme mostrado na Fig. 7.14. A diminuicao deentropia da agua eigual ao aumento de entropia do meio

~sistema =6,0480 kJ/K~meio =6,0480 kJ/KQparaomeio = T o ~ = 298,15 (6,0480) = 1803,2 kJW = Q H - Q L =2257 - 1803,2 =453,8 kJ

Como esse ciclo e reversivel, 0 motor pode ser invertido eoperar como bomba de calor. Para esse ciclo, 0 trabalhonecessario para a bomba de calor seria 453,8 kJ.

Tr--__;,;37""3",,.2...;.;K~...,

41------13298,2 K

Figura 7.14 - Transferencia de calorreversivel com 0meio

7.9 VARIACAO DEENTROPIA DEUM SOLIDO OU LfQUIDONa secao 5.6, consideramos 0 calculo das variacoes deenergia interna e de entalpia com a temperatura para soli-dos e liquidos e verificamos que, em geral, e possivelexpressar ambas as propriedades de maneira simples, emtermos do calor especifico, como na Eq. 5.17 e, na maioriados casos, na forma integrada da Eq. 5.18. Podemos agorausar esse resultado e a relacao de propriedades termodina-micas, Eq. 7.7, para calcular a variacao de entropia para umsolido ou um liquido. Note-se que, para essas fases, 0termo do volume especffico da Eq. 7.7 e muito pequeno, demaneira que, considerando a Eq. 5.17, tem-se

du Cds :::: ::::_ dT (7.17)T TAgora, conforme foi mencionado na Sey30 5.6, para mui-tos processos que envolvem um solido ou um liquido,

93podemos admitir que 0 calor especifico se mantem cons-tante; neste caso a Eq. 7.17 pode ser integrada, obtendo-seo seguinte resultado

S2 - SI :::: C In (~:) (7.18)Se 0 calor especifico n30 for constante, como comumenteo calor especifico c e dado em funcao da temperatura T,aEq. 7.17 pode tambem ser integrada para determinar avariacao de temperatura.Exemplo 7.3Um quilograma de agua liquida e aquecida de 20 a 90C.Calcular a variacao de entropia, admitindo calor especificoconstante e comparar com 0 resultado obtido usando astabelas de vapor.Sistema: AguaEstados inicial efinal: ConhecidosModelo: Calor especifico constante, valores a temperaturaambiente.SolucdoPara calor especifico constante, da Eq. 7.18,

S2 - SI = 4,184 In G ~ ~ : D0,8958 kJ/kg Kque pode ser comparado com 0 resultado obtido usando-seas tabelas de vapor,

S2 - SI = Sf900C - s/2ooc = 1.1925 - 0,2966=0,8959 kl/kg K

7.10 VARIACAO DEENTROPIA DEUMGAS PERFEITODuas equacoes muito uteis para 0 calculo da variacao deentropia de um gas perfeito podem ser desenvolvidas,substituindo-se as Eqs. 5.20 e 5.24 na Eq. 7.7, conformesegue: Tds = du + pdvPara um gas perfeito

du = Cvo dT ePortanto,

P RT v

dT Rdvds= Cvo- +--T v (7.19)

f2 dT V2

S2 - SI = C"" - + R In-1 T VI (7.20)Analogamente Tds =dh - vdpPara um gas perfeito

dh = cpodT e v RPPortanto, dT dpds = c - - R--po T Pf 2 dT P,S2 - SI = r-Rln _-_1 PI

Para integrar as equacoes 7.20 e 7.22, devem ser conheci-

(7.21)(7.22)


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das as relacoes entre os calores especificos e a temperatura.Entretanto, lembrando-se que a diferenca entre os caloresespecfficos e sempre constante, conforme expresso pelaEq. 5.27, verificamos que precisamos examinar a relacaocom a temperatura de apenas urn dos calores especfficos.

Conforme apresentado na Secao 5.7, consideremos 0calor especifico cpo. Novamente, existem tres possibilida-des a serem examinadas, das quais a mais simples e ahipotese de calor especffico constante. Nesse caso, e possi-vel integrar a Eq. 7.22 diretamente:

S2 - 51 =


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ENTROP IA

as deducoes seguem abaixo.Para 0processo adiabatico reversivel.

T ds = dh - v d P = 0Portantodh = C po d T = vdp= RTdpP

dp = cpodTP R T

Integrando-se essa equacao entre um estado de referencia,que tem uma temperatura T o e uma pressao P o , e um dadoestado arbitrario que tem uma temperatura Te uma pressaop, tem-se In _ E _ = _ !_ f T c dTP o R To po To segundo membro dessa equacao e funcao somente datemperatura. A pressao relativa P r e definida como

In p = = In _ E _ = _ !_ f T c dT = s/ (7.27)r P o R To po T R

Assim, 0 valor de P r pode ser tabelado em funcao datemperatura.Se considerarmos dois estados, I e 2, ao longo de uma

linha de entropia constante, segue-se da Eq. 7.27 queP I =( P r J )pz P r 2 's- constante (7.28)

Essa equacao estabelece que a relacao entre as pressoesrelativas de dois estados, que tern a mesma entropia, e igualIirelacao entre as pressoes absolutas.o desenvolvimento do volume especifico relativo eanalogo, e a relacao entre os.volumes especfficos relativosv, num processo isentropico e igual Ii relacao entre osvolumes especfficos. Isto e,

(7.29)As funcoes isentropicas P,e v, estao tabeladas para 0casode ar, na tabela A.IO, porem nao estao apresentadas nasTabelas de outros gases, Tabela A.Il do Apendice. Ao seanalisar 0processo isentropico para esses gases, e neces-sario usar a Eq. 7.26 com 0primeiro membro da equacaoigualado a zero e com as entropias do estado padrao, daTabela A.ll.Exemplo 7.6Um quilograma de ar esta contido num cilindro provido depistao, a uma pressao de 400 kPa e uma temperatura de 600K. 0 ar e entao expandido ate 150 kPa, segundo um pro-cesso adiabatico e reversivel. Calcular 0 trabalho realizadopeloar.Sistema: Ar.Estado inicial: Ph TI; estado 1 determinadoEstado final: P:Processo: reversivel e adiabatico.Modelo: Gas perfeito e Tabela de Ar, A.IO.

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Analise:Primeiroprincfpio: 0 =U2 - U1 + WSegundoprincipio: S2 =Sl

SoluciioDa tabela A. 10.

U1 =434,80 k.I/kgDaEq.7.28,

P ,2 - P r j X ~ - 16,278 X l 6 8 - 6,104Da tabela A.l 0

P,l = 16.278

T 2 =457 K U2 =327,79Portanto,

w = 434,80 - 327.79 = 107,01 kl/kgNeste ponto, e proveitoso introduzir a relacao de caloresespecificos k, que e definida como a relacao entre 0 calorespecffico Iipressao constante e 0 calor especifico a volu-me constante, Iipressao zero.

k = Cpo (7.30)c""Como, conforme a Eq. 5.27, a diferenca entre Cpo e c"" econstante, e como Cpo e c"" sao funcoes da temperatura,conclui-se que k e tambem uma funcao da temperatura.Entretanto, quando consideramos calor especffico cons tan-te, ktambem e constante.Da definicao de k e da Eq. 5.27, conclui-se que

R kRc" " = k _ 1 Cpo = k - 1Algumas relacoes simples e muito uteis, para 0 processoadiabatico e reversivel, podem ser desenvolvidas quandoos calores especfficos sao adrnitidos constantes,Para 0processo adiabatico e reversivel, ti s =O.Portanto,

(7.31)

T ds = du + pdv =cvo dT + pd v =0Da equacao de estado de um gas perfeito,

1dT = Ii . (pdv + vdp)Portanto, cR"" (pdv + vdp) + pdv - 0Substituindo a Eq. 731 na expressao e rearranjando,

1k _ I (pdv + vdp) + pdv =0vdp + kpdv =0

dp +kdv =0p vComo k e constante quando 0calor especifico e constante,essa equacao pode ser integrada sob essas condicoes, ob-tendo-se pv k =constante (7.32)A Equacao 7.32 e valida para todos os processos adiabati-cos e reversiveis que envolvem um gas perfeito com calorespecifico constante. Usualmente e vantajoso exprimir es-sa constante em termos dos estados inicial e final.


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pv t = PI v/ = pzv/ = constante (7.33)A partir dessa equacao e da equacao de estado do gasperfeito, podem ser deduzidas as seguintes expressoes querelacionam os estados inicial e final de um processo isem-tropico, P2 = ( V I ) t = (VI)k

PI V2 V2 (7.34)T2 = (P2)(k-I)/k = (!i)k-lTI PI V2

Com a hipotese de calor especifico constante, podem serdeduzidas algumas equacoes convenientes para 0trabalhorealizado porum gas perfeito, durante um processo adiaba-tice. Consideremos inicialmente um sistema que consistede um gas perfeito e que sofre um processo no qual 0trabalho e realizado somente na fronteira movel.

(7.35)

I Q2 = m(u2 - UI) + I W2 = 0IW2= -m(u2-uI)= -mcvo(T2-TI)

= mR (T2 _ TI) = P2 J i 2 - PI VI (7.36)l-k l-kDeve-se observar que a Eq. 7.36 se aplica apenas a

processos adiabaticos, Como nenhuma hipotese foi feitarelativamente a reversibilidade, ela se aplica tanto a pro-cessos reversiveis como a irreversiveis. Freqiientemente, aEq. 7.36 e deduzida para processos reversiveis a partir darelacaopara 0 sistema.7.11 PROCESSO POLITR6PICOREVERSivEL PARAUMGAS PER FE ITOQuando um gas realiza um processo reversivel no qual hatransferencia de calor, 0 processo freqiientemente ocorrede tal maneira que a curva log p vs log Ve uma linha reta,como e mostrada na Fig. 7.15. Para tal processo, pVn =constante.

Esse processo e chamado de processo politr6pico. Umexemplo e a expansao dos gases de combustao no cilindrode uma maquina alternativa refrigerada a agua, Se a pres-sao e 0volume em um processo politropico sao medidosdurante 0curso de expansao e os logaritmos da pressao edo volume sao tracados, 0resultado sera semelhante a Fig.7.15. Dessa figura, conclui-se que

dIn PdIn V = -nd In P + nd In V = 0

Figura 7.15 - Exemplo deurn processo politr6pico

lo g P

lo g V

Se n for uma constante (0 que implica em uma linha reta nodiagrama log P x log V), a expressao pode ser integradadando 0seguinte resultado:

P vn = constante = P I VIn = P 2 J i2 n (7.37)Dessa forma e evidente que podemos escrever as seguintesexpressoes para 0processo politropico:

T2 = (P2)(n-I)/n = (VI)n-1TI PI V2

Para um sistema constituido por um gas perfeito, 0trabalhorealizado na fronteira movel durante um processo politro-pico reversfvel pode ser deduzido a partir das relacoes

IW2 = f : pdV e P vn = constante

(7.38)

f 2 f 2 dV1W2 = I pdV =constante I vnpz V2 - PI Vl mR(T2 - TtlI-n I-n

para qualquer valor de n, exceto n = 1.(739)

Figura 7.16 - Processospolitropicos nos diagramasp-ve T-s

Os processos politropicos para varios valores de n saoapresentados na Fig. 7.16 em diagramas p - veT - s. Osvalores de n para alguns processos famiIiares sao dadosabaixo. Processo isobarico n=O

Processo isotermico n =1Processo isentropico 11 =kProcesso isoc6rico 11 =00

Exemplo 7.7onitrog~nio e comprimido, segundo u r n processo reversi-vel, num cilindro, des de 100 kPa e 20C ate 500 kPa.Durante 0processo de compressao, a relacao entre a pres-


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ENTROPIAsao e 0volume e P V I,3 =constante.

Calcular trabalho e 0calor trocado, por quilograma, emostrar este processo nos diagramas P - veT - s.

p 2

a2 Figura 7.17 - Diagrama

para 0Exemplo 7.7T

Are a = calortransferido

bSistema: NitrogenioEstado inicial: P I; TI; 0estado 1 e conhecido.Estado final: P2Processo: Reversivel; politropico com expoente n < kDiagrama: Fig. 7.17.Modelo: Gas perfeito com calor especffico constante (valora 300K).Analise: Trabalho associado a movimento de fronteira. DaEq.7.39, f 2 d P 2 V 2 - P I V I mR(T 2 - T 1 )1W2 = P V = = - - - - ' - - - - = - - - - - = -1 1-n 1-nPrimeiro principio:

lq 2 = U2 - U1 + lW2 = cvo(T 2 - T d + IW2SolucdoDaEq.7.38,

T 2 ( . P 2 ) ( n - l ) / n ( 5 00 )( 1,3 - 1) /1 ,3- = - = - = 14498r, P I 100 rT 2 = 293,2 x 1,4498 = 425 K

Entao_ R (T 2 - T1) _ 0,2968(425 - 293.2) _ 3

I W2 - 1 _ n - (1 _ 1,3) . - -1 0,4 kl/kge do primeiro principio,

lq 2 =cvo(T 2 - T d + lW2=0,7448(425 - 293,2) - 130,4 = -32,2 kl/kg

o processo isotermico reversivel para um gas perfeito e departicular interesse. Nesse caso,

P V =constante =P I V I =P 2 V 2 (7.40)o trabalho realizado na fronteira movel de um sistemacompressivel simples, durante um processo isotermico re-versivel, pode ser obtido pela integracao da equacao

lW2 =r pdVA integracao se faz da seguinte forma:

97

f 2 f 2 dV V 21W 2 = pdV =constante - = P I V I In-1 I V V I=P I V I InP I (7.41)P2

ou V2 P IIW2 =mRT In - =mRT In - (7.42)V I 'p2Como nao lu i variacao de energia interna ou entalpia emum processo isotermico, 0calor trocado e igual ao trabalho(desprezando as variacoes de energia cinetica e potencial).Entao, podiamos ter deduzido a Eq. 7.41 calculando atransferencia de calor.Por exemplo, utilizando a Eq. 7.7,

f 2 T d s = I 2 = f 2 du + f 2 pd v1 1 1 .Mas, du - 0 e pv =constante =PIVI - P2V2f 2 V2l q 2 = pd v =P IV I In-I V Ique fornece 0mesmo resultado que a Eq. 7.417.12 ASEGUNDA LEIDATERMODINAMICA PARAUMVOLUME DECONTROLEA segunda lei da termodinamica pode ser aplicada a umvolume de controle, atraves de um procedimento similar aousado para escrever a primeira lei para um volume decontrole na Secdo 5.11. A segunda lei para analise de urnsistema foi enunciada (Eq. 7.12) na forma

dS = bQ + bW pT TPara uma variacao de entropia S2 - S I> que ocorre duranteum intervalo de tempo E > t , podemos escrever

(7.43)

Consideremos 0sistema e 0volume de controle mostradosna Fig. 7.18. Durante 0 intervalo de tempo tn , a massa bm,entra no volume de controle atraves da area discreta de, amassa Sm, sai atraves da area discreta ds , uma quanti dadede calor 5Q e transferida para 0 sistema atraves de umelemento de area onde a temperatura superficial e T, e 0trabalho 5W e realizado pelo sistema. Como na analise daSecao 5.11, fazemos a hip6tese de que 0 incremento demassa bm, tem propriedades uniformes, 0mesmo ocorren-do com Sm;SejamSI =entropia no volume de controle no instante tSI + llt =entropia no volume de controle no instante t + 5tEntaoSI =SI + s.5m. =entropia do sistema no instante tS2 =SI + III+ ss5ms =entropia do sistema no instante t + 5tPortanto

(7.44)


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98

o termo (ss6ms - se6me) representa 0 fluxo liquido de entro-pia para fora do volume de controle durante bt, comoresultado das massas bm, e Sm, que atravessam a superficiede controle.o significado dos demais tennos da Eq. 7.43 precisaser cuidadosamente considerado ao se aplicar aquela equa-yao a um volume de controle. Quando escrevemos os ter-mos (6Q/1) e (6Wp/1) para um sistema, nonnalmente con-sideramos uma quantidade de massa a temperatura unifor-me em qualquer instante de tempo. Como vimos antes, nocaso da analise de um volume de controle, nos nos desvia-mos do conceito estritamente classico da termodinarnica eestamos preparados para considerar uma variacao de tem-peratura ao lange do volume de controle, atraves da hipo-tese de equilibrio "local".

Como conseqiiencia, para 0 tenno de transferencia decalor, precisamos considerar cada elemento de area dasuperficie de controle atraves do qual flui calor e a tempe-ratura superficial dessa area localizada. Assim sendo, essetermo na Eq. 7.3 deve ser escrito como a soma tori a detodos os termos (6Q/1) locaisao longo da superficie decontrole, ou seja _ . ! _ ( b Q ) = _ . ! _ I b Q ) (7.45)

bt T bt V.C., T -v.c,De modo analogo, para 0 termo de trabalho perdido querepresenta as irreversibilidades que ocorrem dentro do vo-lume de controle, 0 resultado precisa ser escrito como asomatoria de todos os tennos (6Wp/1) locais ao longo dointerior do volume de controle, ou seja,L C ~ p ) = ; t ~ . ( 1 5 ~ p ) v . c . (7.46)Substituindo as Eqs. 7.44, 7.45 e 7.46 na Eq. 7.43, temos(StH t - St)+ ssbms_Sebme=..!_ IbQ ) + . . ! _ Ib,Wp )bt bt bt bt v.c. T v.c, bt v.c. T v.c.

(7.47)Para reduzir essa expressao a uma equacao em tennos defluxo, consideremos 0 que acontece a cada tenno da Eq.7.47 quando faz-se 6t tender a zero. Analogamente ao casoda Secao 5.11, as duas quantidades relativas Iimassa tor-nam-se fluxos de massa, e 0 tenno da entropia torna-se avariacao, com 0 tempo, da entropia no volume de controle,de maneira analoga ao tenno da energia na equacao doprimeiro principio.

Similannente, os tennos da troca de calor e do trabalhoperdido tornam-se quantidades referidas ao tempo, cadaurn deles sendo dividida pela temperatura local apropriada.

Ao utilizar esses valores limites para exprimir a equa-yiio da entropia em tennos de fluxo, para um volume decontrole, incluimos novamente os sinais de somatoria nostennos da vazao, para considerar a possibilidade de se terfluxos de fluido adicionais que entram ou saem do volumede controle. A expressao resultante ed~;.c. + Im,ss - InzeSe= f ( < 2 ; c . ) + f C V ; < v . c ) (7.48)

que, para os n05SOSobjetivos, e a expressao geral da equa-yao de entropia do segundo principio. Em palavras, essaexpressao estabelece que a velocidade de variacao da en-tropia no interior do volume de controle, somada ao fluxoliquido, por unidade de tempo, de entropia que sai dovolume de controle, e igual a soma de dois tennos, 0 tennorelativo ao calor trocado total na superficie e 0 termopositivo relativo Ii producao intema de irreversibilidade.Como 0ultimo termo e necessariamente positivo (ou nulo)e e dificil, senao impossivel, de avalia-lo quantitativamen-te, a Eq. 7.48 e freqiientemente escrito na forma

dSv.c. +'" _". > : " ( Q v . c . )dt L ms, LmeSe;/' L Tv.c. (7.49)onde a igualdade se aplica a processos intemamente rever-siveis e Ii desigualdade a processos intemamente irre-versfveis.

Note-se que se nao houver escoamento de massa paradentro ou para fora do volume de controle, e se a tempera-tura puder ser considerada unifonne em qualquer instanteentao a Fig. 7.48 se reduz Iiequacao de entropia do sistemaem tennos de taxa de variacao, a Eq. 7.12. Nesse sentido, aEq. 7.48 (ou 7.49) pode ser considerada como expressaogeral, conforme foi tambem observado para 0 caso daexpressao para 0 volume de controle do primeiro principio.7.13 0 PROCESSO EMREGIMEPERMANENTE E0 PROCESSO EMREGIMEUNIFORMEConsideremos agora a aplicacao da equacao da segunda leipara 0volume de controle, Eq. 7.48 ou 7.49, aos doismodelos de processos para volumes de controle desenvol-vidos no Cap. 5.

Para 0processo em regime pennanente, que foi defini-do na Sec. 5.12, concluirnos que a entropia por unidade demassa em qualquer ponto do volume de controle nao variacom 0 tempo e, portanto, 0 primeiro tenno da Eq. 7.49 eigual a zero. Isto e,

dSv.c. ='0dt (7.50)

de modo que, para 0processo em regime pennanente,

(7.51)onde os varies fluxos de massa, a taxa de transferencia decalor, e os estados sao todos constantes com 0 tempo.

Se num processo em regime pennanente houver ape-nas uma area atraves da qual ha entrada de massa, numataxa uniforme no volume de controle, e apenas uma areaatraves da qual ha saida de massa, numa taxa uniforme,podemos escrever

m(s s - Sf) ~ I - . ( Q ~ c - ) (7.52)


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ENTROP IAPara urn processo adiabatico, com essas hipoteses, segue-seque (7.53)onde a igualdade vale para um processo adiabatico reversf-vel.Exemplo 7.8Vapor d'agua entra numa turbina a pressao de 1 MPa, atemperatura de 300C e a uma velocidade de 50 mls: 0vapor sai da turbina a pressao de 150 kPa e a urna velocida-de de 200 mls. Determinar 0 trabalho por quilograma devapor que escoa atraves da turbina, admitindo que 0 pro-cesso seja reversivel e adiabatico.Volume de controle: TurbinaEsboco: Fig. 7.19Estado na entrada: Detenninado (Fig. 7.19)Estado na saida: p., v,conhecidosProcesso: Em regime pennanenteModelo: Tabelas de vapor d'agua.Analise:Equacao da continuidade: m, = m; = mPrimeiro principio: V2 V2h +_e =h +_s+ We 2 s 2Segundo principio:Soluctio:Das tabelas de vapor d'agua

he= 3051,2 k.l/kg S,,= 7,1229 kl/kg KAs duas propriedades conhecidas do estado final sao apressao e a entropia:

pe =0,15 MPa s,= s"= 7,1229 k.l/kg KPortanto, 0titulo e a entalpia do vapor d'agua que sai daturbina pode ser detenninado.

s, = 7,1229 = s, + Xs Slv = 1,4336 + Xs 5,7897Xs =0,9827h, = h l+ xsh /v = 467,1 + 0,9827 (2226,5)=2655,0 kl/kg

Portanto, 0 trabalho por quilograrna do vapor para 0 pro-cesso isentropico pode ser determinado, usando-se aequacao do primeiro principio, acirna mostrado.

50 x 50 200 x 200w = 3051,2 + 2 x 1000 - 2655,0 - 2 x 1000 = 377,5 kl/kgExemplo 7.9Consideremos 0 escoamento adiabatico e reversivel dovapor d'agua atraves de urn bocal. 0vapor entra no bocala 1 MPa, 300C, com velocidade de 30 mls. A pressao dovapor na saida do local e 0,3 MPa. Detenninar a velocidadede saida do vapor, admitindo urn processo adiabatico, re-versivel e em regime pennanente.Volume de controle: BocalEsboco: Fig. 7.20Estado na entrada: Detenninado (Fig. 7.20)

99

oQTempera tura = 7~. ~. oWvc='__---:::/ '-/ m , = m a ss a d o v olu m e d e

/ con tro le no i n stan te tI S , = e n tr op ia d o v ol . c o nt .

/ no in stan te tII

P,T,u,e,5,

- - - - - - - - - - --_instante = tm t + E J m e = ma ss a d o s is tem aS f + s,~m,~ e n tr op ia d o s is tem a n o i n st an t e t

a

v,e,s,

m'+6t = ma s sa d o v ol . d ec o nt ro le n o i n st an t e t + ~t

S,+6, = e n tr op ia d o v ol. c on t. n oinstante t + ~t

p ,T,v,e,s,'

instante = t + a t - - -- -- - -m t . .. 61 + ~m $ = mass a d o s is tem aS t .. .61 + s s 5ms = en t rop ia d o s is t ema no i nst an t e t + 51

b

Figura 7.18 - Diagrama esquematico para analiseda segunda lei, para urn volume de controle

wp, = 150 kPaV, = 200 m/s

Figura 7.19 - Esboco para 0Exemplo 7.8

Estado na saida: Ps conhecidoProcesso: Ern regime pennanenteModelo: Tabelas de vapor d'aguaAnalise: Como esse processo e em regime pennanente, noqual 0 trabalho, a troca de calor e a variacao de energiapotencial sao nulos, podemos escreverEquacao da continuidade:I n s = m e = ti i

i e

p,= 1 M Pa t = = = t p,= 0 ,3 M PaT,= 300C . s ~ sV,= 30 m/s s eFigura 7.20 - Esboco para 0Exemplo 7.9


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100

Primeiro principio:b, V;=h+V;2 s 2

Segundo principio:Soluciio:Das tabelas de vapor d'agua,

s.=s.

h.= 3051,2 kl/kg s,=7,1229 kl/kg KAs duas propriedades do estado final que conhecemos sao

s, = s.= 7,1229 kl/kg K P. = 0,3 MPaPortanto

he =2781,2 kl/kgSubstituindo na equacao do primeiro principio dado acima,temos v: V1-_s=h-h+-' =2 2

30 x 30= 3051,2 - 2781,2 + 2 x 1000 =270.5 kl/kgVs= 735,5 m/s

Exemplo 7.10Urn inventor afirma que possui um compressor frigorificoque recebe vapor saturado de freon-12a -20C e descarregao vapor a 1 MPa e 50c' 0 processo de compressao eadiabatico, 0 processo descrito viola 0 segundo principio?Volume de controle: CompressorEstado na entrada: Determinado (vapor saturado aTe).Estado no.saida: Determinado ( P s > T, conhecidos).Processo: Em regime permanente, adiabatico.Modelo: Tabelas de freon-12.Analise: Como esse processo e adiabatico e em regimepennanente, podemos escreverSegundo principio: s,~s,Solucdo:

Das tabelas de freon-12,s,=0,7021 kJ/kg K s,=0,7082 kl/kg K

Portanto, s,< s, , enquanto que para esse processo 0 segun-do principio requer que s, ~se: 0processo descrito envolveuma violacao do segundo principio e nao sera, portanto,possivel.Exemplo 7.11Ar expande numa turbina a ar, de uma pressao de 450 kPae temperatura de 550 Kate uma pressao de saida de 150kPa. Admitir que 0processo seja reversivel e adiabatico,com variacoes despreziveis de energias cinetica e poten-cial. Calcular 0 trabalho por quilograma de ar que escoaatraves da turbina.Volume de controle: TurbinaEstado na entrada: P e ' T, conhecidos; estado detenninadoEstado na saida: Ps conhecidoProcesso: Em regime pennanente.Modelo: Gas perfeito, tabelas de ar, A.10.

Analise: Como esse processo e reversivel e em regimepermanente, podemos escrever.Eq. da continuidade: tn, = Tilt = mPrimeiro principio: he =h , + WSegundo principio: s,=s,So Iuc ii o :Da tabela A.lD,

h~= 554,8 kJ/kg P re= 11 ,858DaEq.7.28, P r s = P r e ( ~ ' ) = 11.858!~~3,953Portanto, e

Ts= 404.2 K h, = 405,3e do primeiro principio,

w = h . - h s = 554,8 - 405,3 = 149,5 kJ/kgPara 0processo em regime uniforme, que foi descrito naSecao 5.14, 0 segundo principio para um volume de con-trole, Eq. 7.49, pode ser escrito na seguinte forma

: t (ms)v.c. +Il.s s - Imes. ~ f. ( Q ;c ) (7.54)Integrando-se ao longo do intervalo de tempo t, temos,r t d.l o d t (ms )v. c.dt = (m2s2 - m1s1)V.C.

Portanto, para 0intervalo de tempo t,podemos escrever 0segundo principio para 0processo em regime unifonnecomo(m2s2 - m1s1)v.c. +Im.s.,- '2)nese~ f~ t.(Q ;C )dt (7 .55)Entretanto, como nesse processo a temperatura e uniformeatraves do volume de controle em qualquer instante, aintegral do segundo membro se reduz a

f~t. (Q ;c) dt = f~~ ~ e ., dt = J ~(Q ;c.) dte portanto a equacao do segundo principio para 0processoem regime uniforme pode ser escrita na forma(m2 s2 - m1s 1)v.c. + Im.s s- Im.se~ f~ (Q;.C)dt (7.56)Introduzindo-se 0conceito de trabalho perdido, podernosescrever essa expressao na forma de igualdade. Ao faze-Io,notamos que como a temperatura e uniforme atraves dovolume de controle em qualquer instante,

I t IW p, v.c.) dt = I t 2 _ IW : dt = r t ( W p,v.c)dto v .c. ToT v.c. p.v,c. Jo TPortanto,( ) " " I t (Qv.c. + W p,v.c.) dtm2 82 - m181 v.c.+ L . . , . m .s s - L ..,.m .s .= 0 T

(7.57)


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ENTROP I A

7.14 0 PROCESSO REVERSivELEMREGIME PERMANENTEPode-se deduzir uma expressao para 0 trabalho num pro-cesso adiabatico, reversivel e em regime permanente, que ede grande utilidade para a compreensao das variaveis sig-nificativas deste processo. Ja observamos que, quando umprocesso em regime permanente envolve uma unica entra-da e unica saida do volume de controle, 0primeiro princi-pio pode ser escrito na forma da Eq. 5.50:

V2 V2q+h+ __:__e__+gZ=h+ _s+gZ+We 2 e s 2 seo segundo principio, Eq. 7.52, e:.(~):;:'Q v . c . )m Ss s, r v . c . TConsideremos agora dois tipos de escoamento, um pro-cesso adiabatico reversivel e urn processo isotermicoreversivel.

Se 0processo for adiabatieo reversivel, a equacao dasegunda lei referida se reduz a s,=s,e segue-se da relacao de propriedades

Tds= dh vdpque (7.58)Substituindo essas relacoes na Eq. 5.50 e notando que q =0temos

w=(h.-hs)+ (V;;V;) +g(Z.-Z,)r ' (V2 V2)=- J. vdp + .; , + g(Z. - Zs) (7.59)

Se, por outro lado, 0processo for isotermieo reversivel, asegunda lei se reduz a

.( ) 1". Q v.c,m s, - se =T L. Q v . c . =Tv.c,ouTis, - se) = Q ~ . c .= q (7.60)m

e a relacao de propriedades pode ser integrada para darT(ss-se)= (h,_he)-J: vdp (7.61)

Substituindo as Eqs. 7.60 e 7.61 na primeira lei, Eq. 5.50,chega -se itmesma expressao que para 0processo adiabati-co reversivel, Eq. 7.59. Notamos, ainda, que qualquer ou-tro processo reversfvel pode ser construfdo, no limite, poruma serie de processos adiabaticos e isotermicos alterna-dos. Assirn sendo, concluirnos que a Eq. 7.59 e valida paraqualquer processo em regime permanente reversivel, sem arestricao de que 0mesmo seja adiabatico ou isotermico,

Essa expressao tern urn vasto campo de aplicacao. Seconsiderannos um processo em regime permanente rever-sivel no qual 0trabalho e nulo (como no escoamento atra-y e s de urn bocal) e 0fluido e incompressivel (v = constan-te), a Eq. 7.59 pode ser integrada para dar

v (ps - Pe) + (V;; V~ +O(Zs - Ze) =0 (7.62)

101

WIIQ

'- -:1Condensador~--------J

Figura 7.21 - Instalacao motora a vapor simplesEssa e conhecida como equacao de Bernoulli (em honra aDaniel Bernoulli), e e muito importante na mecanica dosfluidos.

A Eq. 7.59 e, tambem, freqiientemente aplicada a umagrande classe de processos de escoamento envolvendo tra-baIho (como em turbinas e cornpressores), nos quais asvariacoes de energias cinetica e potencial do fluido detrabaIho sao pequenas. 0modelo de processo para essasmaquinas e , entao, urn processo em regime permanentereversivel sem variacao de energias cinetica ou potencial (ecomumente, embora nao necessariamente, tarnbem adiaba-tieo). Para esse processo a Eq. 7.59 se reduz it forma

W= -f;Vdp (7.63)Desse resultado, conclufmos que 0 trabaIho no eixo

associado com esse tipo de processo esta intimamente rela-cionado ao volume especifico do fluido durante 0processo.Para clarear mais esse ponto, consideremos a instalacaomotora a vapor mostrada na Fig. 7.21. Suponhamos queessa e uma instalacao ideal, sem queda de pressao nastubulacoes, na caldeira ou no condensador. Desse modo 0aumento de pressao na bomba e igual ao decrescimo depressao na turbina. Desprezando as variacoes de energiascinetica e potencial, 0trabalho realizado em cada urn des-ses processos e dado pela Eq. 7.63. Como a bomba trabalhacom liquido, que tern urn volume especifico muito pequenocomparado com 0vapor que escoa na turbina, a potenciapara acionar a bomba e muito menor que a potencia desaida da turbina, e a diferenca constitui a potencia liquidada instalacao,

Essa mesma linha de raciocinio pode ser qualitativa-mente aplicada a dispositivos reais que envolvam proces-sos em regime permanente, embora os processos nao sejamexatamente nem adiabaticos nem reverslveis,Exemplo 7.12Calcular 0trabalho, por quilograma, para bombear aguaisentropicamente de 100 kPa e 30DC ate 5 MPa.Volume de controle: BombaEstado na entrada: p., T, conhecidos, estado detenninado.Estado na saida: Ps conhecido.Processo: Em regime permanenteModelo: Tabelas de vapor d'agua,


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102Analise: Como 0processo e em regime permanente, rever-sivel e adiabatico; e como as variacoes de energias cineti-ca e potencial podem ser desprezadas,Primeira lei: h e =h , + WSegunda lei: Ss - s. =SoluciioComo Ps e Ss sao conhecidos, 0estado s esta determinado e,portanto, h, e conhecido e w pode ser determinado peloprimeiro principio. Entretanto, 0processo e reversivel, emregime permanente, com variacoes despreziveis de ener-gias cinetica e potencial; assim, a Eq. 7.63 e tarnbern valida.Adicionalmente, como esta sendo bombeado um liquido, 0volume especffico variara muito pouco durante 0processo.

Das tabelas de vapor, v. =0,0001004 m3/kg. Admitin-do que 0volume especffico permaneca constante e usandoa Eq. 7.63, temos

-w = J : vd p = V (P 2 - PI) = 0,001 004(5000 - 100)=4,92 kJjkg

Como uma aplicacao final da Eq. 7.59, vejamos novamenteo processo politropico reversivel para um gas perfeito ,discutido na Sec. 7.11 para um processo de sistema. Para 0processo em regime permanente sem variacao de energiascinetica ou potencial, das relacoes

w = - j; vd p e pv n =constante= enC " f S dpW= -J. u d p== - e .plln

n nR= - n _ 1 (Psvs -Pe,v.) = - n _ '1 (T., - T.) (7.64)Se 0processo for isotermico, entao n = 1e a integral setorna J s I S dp P sw = - vd p = -constante - = -p v In- pit. P.Esses calculos da integral J : vd p

(7.65)

pod em tambem ser usados em conjunto com a Eq. 7.59 emcasos nos quais as variacoes de energias cinetica e poten-cial 000 sao desprezfveis.

Figura 7.22 - Variacao de entropia paraurn volume de controle e vizinhanca

1---

7.15 PRINCiPIO DOAUMENTODAENTROPIA PARAUMVOLUMEDECONTROLEo principio do aumento da entropia para a analise de urnsistema foi discutido na Secao 7.8. A mesma conclusaogeral e alcancada no caso da analise de um volume decontrole. Para demonstrar isso, consideremos urn volumede controle, Fig. 7.22, que troea calor. e massa com avizinhanca. No ponto da vizinhanca onde a transferenciade calor oeorre, a temperatura e T o . Da Eq. 7.49, a equacaoda segunda lei para esse processo e

dSv.c. +'" _". >-" ( Q v . c . )dt L. m..s. L.m. s e7 ft . TJa vimos que 0primeiro termo representa a taxa de varia-9ao de entropia dentro do volume de controle, e os termosseguintes 0fluxo liquido de entropia para fora do volumede controle, como resultado do fluxo de massa. Dessemodo, podemos escrever para a vizinhanca

dSviz . " . " o .:-;[t=L. m.s, - L.m.s.- ToSomando as Eqs. 7.44 e 7.66 temos

dS Ii dS dS . ( Q ' ) Q 'dt q = d;c. + d:a. ~ I _ ; c . - ; : .(7.66)

(7.67)

Como o .: > quando To > T e o : < quando To < T ,segue-se que dSl iq as.; dS viz'--=--+-->-0dt dt dt 7 (7.68)que pode ser chamado de enunciado geral do principio doaumento da entropia.

Quando utilizamos a Eq. 7.68 para verificar se qual-quer processo em particular apresenta uma eventual viola-9ao do segundo principio, isto sera em funcao de um dosnossos processos modelos. Por exemplo, num processo emregime permanente, quando consideramos os dois termosda Eq. 7.68, notamos que, de acordo com a Eq. 7.50, 0primeiro termo e nulo, concluindo-se que toda a variacaode entropia, devido a irreversibilidades neste tipo de pro-cesso, e observada no meio (vizinhanca). Esse termo podeentao ser detenninado, usando-se a Eq. 7.66. Por outrolado, para 0processo em regime uniforme, existem tanto 0termo relativo ao volume de controle como 0relativo aomeio para serern determinados; cada urn deles sendo inte-grado ao longo do intervalo de tempo t do processo, con-forme foi feito na Secao 7.13. Assim, a Eq. 7.68 e integra-da, obtendo-se

(7.69)na qual 0termo relativo do volume de controle e

tlSv.c. = (m2s2 - m 1 s l ) v . c . (7.70)enquanto que 0termo relativo ao meio, apos a aplicacao da~. 7.57 a vizinhanca e integrando-se, e

tlS. = - Qv.c.+ LIIl


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ENTROP IA

7.16 EFICIENCIANo Capitulo 6, observamos que 0 segundo principio datermodinamica conduz ao conceito de eficiencia termica deum ciclo de motor termico,

W,liT ] = q.t Q H

onde Wliq. e 0 trabalho liquido do ciclo e Q II e 0 calortransferido do corpo de alta temperatura para 0ciclo.Neste capitulo iremos estender nossa analise do segun-

do principio para processos de volume de controle, queconduz a consideracao da eficiencia de um processo. Por=xernplo, podemos estar interessados na eficiencia de umat url. .ia de uma usina de potencia a vapor, ou do compres-sor de um ciclo de turbina a gas.

Emgeral, podemos dizer que a eficiencia de uma rna-quina onde ocorre um processo envolve uma cornparacaoentre 0desempenho real da maquina sob dadas condicoes eo desempenho que ela teria em um processo ideal. E nadefinicao desse processo ideal que a segunda lei torna-seuma consideracao importante. Por exemplo, pretende-seque uma turbina a vapor seja uma maquina adiabatica. A(mica troca de calor e aquela inevitavel que ocorre entreuma dada turbina e 0meio. Verificamos tarnbem que parauma detenninada turbina a vapor que opera em regimepermanente, 0estado do vapor d'agua que entra na turbinae a pressao de saida estao fixadas. Portanto 0processo idealseria um processo adiabatico e reversivel, ou seja, urnprocesso isentropico entre 0estado na entrada e a pressaode saida da turbina. Se indicarmos por Wa 0trabalho realrealizado por unidade de massa vapor que escoa atraves daturbina, e por Ws0trabalho que seria realizado num proces-so adiabatico e reversivel entre 0estado na entrada e apressao de saida da turbina, a eficiencia isentropica daturbina e definida como

WaT]turb. =- (7.72)WsA mesma relacao e valida para uma turbina a gas.

Alguns outros exemplos podem ser uteis para esclare-cer esse ponto. Num bocal, 0 objetivo e obter a maximaenergia cinetica na saida do bocal para detenninadas con-dicoes de entrada e de pressao de saida. 0 bocal e tambemum dispositivo adiabatico e, portanto, 0 processo ideal eum processo adiabatico e reversivel, ou seja, isentropico.A eficiencia isentropica de um bocal e a relacao entre aenergia cinetica real do fluido na saida do bocal, V~ /2, e aenergia cinetica para um processo isentropico entre asmesmas condicoes de entrada e de pressao de saida, V;/2.

V a2/2'1 boca! =V/ /2 (7.73)Nos compressores de ar ou de outros gases, ha dois proces-sos ideais aos quais 0processo real pode ser comparado. Senao for feito nenhum esforco para resfriar 0gas durante acornpressao (isto e, quando 0 processo e adiabatico), 0processo ideal e um processo adiabatico reversivel, ouisentropico, entre 0estado de entrada e a pressao de saida

103

dados. Se representarmos por Ws 0 trabalho por unidade demassa de gas em escoamento atraves do compressor paraesse processo isentropico e por Wa 0 trabalho real (0consumo real de trabalho sera maior que 0 consumo detrabalho em um processo isentropico), a eficiencia isen-tropica e definida pela relacao

Ws'1 compressor adiabatico =-Wa

(7.74)Se e feito um esforco para resfriar 0ar durante a compres-sao por meio de aletas ou de uma camisa de refrigeracao aagua, 0processo ideal e considerado como um processoisotermico reversivel. Se Wt e 0trabalho no processo isoter-mico reversivel, entre a condicao de entrada e a pressao desaida dadas, e Wa e 0 trabalho real, a eficiencia isotermica edefinida pel a relacao

W'1 compressor resfriado = -W.

(7.75)Verificamos assim, que a eficiencia de um dispositivo queenvolve um processo (em lugar de um ciclo) envolve umacomparacao entre 0desempenho real e 0que seria obtidoem um processo ideal relacionado e bern definido.Exemplo 7.13Uma turbina a vapor recebe vapor d'agua a pressao de 1MPa e 300C. 0 vapor sai da turbina a pressao de 15 kPa.o trabalho produzido pela turbina foi determinado, obten-do-se 0 valor de 600 kl/kg de vapor que escoa atraves daturbina. Detenninar a eficiencia isentropica da turbina.Volume de controle: Turbina.Estado na entrada: p., T.conhecidos; estado determinado,Estado na saida: P s conhecido.Processo: Em regime permanente.Modelo: Tabelas de vapor d'agua,Analise: Aeficiencia isentropica da turbina e dada pelaEq.7.72, Wa' 1 ! u r b i n a =-WsAssim, a determinacao da eficiencia da turbina envolve 0calculo do trabalho que seria realizado no processo isen -tropico entre os dados estados de entrada e a pressao final.Para esse processo isentropico,Eq. da continuidade: m,=m,=InPrimeiro principio: he =h ss + WsSegundo principio: Se =Ss sSoluciio:Das tabelas de vapor d'agua,

he= 3051.2 kl/kg s e= 7,1229 kl/kg KPortanto, a P s = 15 kPa,

s s s= s e= 7,1229 = 0,7549 + X S o > ' 7 ,2536X ss =0,8779hs s = 225,9 + 0,8779(2373,1) = 2309,3 kl/kg

Do primeiro principio para 0processo isentropico,Ws = he- hss = 3051,2 - 2309,3 = 741,9 kl/kg


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104

Como, poremWa = 600 kJ/kgobtemosWa 60 0IJ turbinn = Ws = 741,9 = 0,809 = 80,9%

Em relacao a esse exemplo, deve-se observar que, paradeterminar 0 estado real s do vapor que sai da turbina, enecessario analisar 0 que ocorre no processo real. Para 0processo real tn, = Ills = 1ll

he = h , + Was,> s,

Portanto, do primeiro princfpio para 0processo real,h; = 3051,2 - 600 = 2451,2 kl/kg

2451,2 =225,9 + Xs 2373,1Xs= 0,9377

7.17 ALGUNS COMENTARIOSGERAIS REFERENTES A ENTROPIAE bem possivel que nesta altura 0 estudante possa ter umaboa compreensao do material que foi apresentado e queainda tenha apenas uma vaga nocao do significado deentropia. De fato, a pergunta - "Que e entropia?" - elevantada freqiientemente pelos estudantes, com a implica-9ao de que ninguem conhece realmente a resposta. Estasecao foi ineluida como uma tentativa para dar urn visaodos aspectos qualitativos e filosoficos do conceito de en-tropia e para ilustrar a larga aplicacao de entropia em variasdisciplinas.

Antes de tudo, lembramos que 0 conceito de energiasurge da prime ira lei da termodinamica e 0 conceito deentropia aparece da segunda lei da termodinamica. E real-mente bem dificil responder a pergunta - "Que e ener-gia?" - como 0 e responder a pergunta - "Que e entro-pia?" -. No entanto, como usamos regularmente 0termoenergia e podemos relacionar este termo a fenomenos queobservamos todo dia, a palavra energia tern urn significadodefinido para nos e serve assim como urn veiculo efetivopara 0 pensamento e comunicacao. A palavra entropiapode servir para 0mesrno fun. Se quando observamos urnprocesso altamente irreversivel (como 0resfriamento docafe, colocando-se urn cubo de gelo dentro do mesmo),dissermos - "Isto certamente aumenta a entropia" - logoestaremos familiarizados com a palavra entropia como osestamos com a palavra energia.Em muitos casos, quando falamos sobre uma maioreficiencia, estamos realmente falando sobre a realizacao deurn dado objetivo com urn menor aurnento total da entropia.

Uma segunda observacao e que na termodinamica esta-tistica a propriedade entropia e definida em termos deprobabilidade. Apesar desse topico nao ser examinado comdetalhe neste texto, algumas breves observacoes sobre en-tropia e probabilidade podem ser uteis,

Desse ponto de vista, 0 aumento liquido de entropia,que ocorre durante urn processo irreversivel, pode ser asso-

ciado a mudanca de um estado menos pro vavel para outromais provavel. Assim, usando um exemplo anterior, emais provavel encontrar gas em ambos os lados da mem-brana furada, Fig. 6.11, do que encontrar gas de um lado evacuo do outro. Assim, quando a membrana se rompe, adirecao do processo e do estado menos provavel para umestado mais provavel; a este processo esta associado urnaumento de entropia. De maneira analoga, 0estado maisprovavel e aquele em que uma xicara de cafe esta a mesmatemperatura do meio e nao a temperatura mais alta (oumais baixa). Entao, quando 0cafe se esfria, como resultadoda transferencia de calor para 0meio, ha uma mudanca deestado menos provavel para um estado mais provavel; aesta mudanca esta associado um aumento de entropia.o comentario final a ser feito e que a segunda lei daterrnodinamica e 0 princfpio do aumento de entropia ternimplicacoes fllosoficas. Aplica-se a segunda lei da termo-dinamica ao universo como urn todo? Sera que ha proces-sos desconhecidos por nos que ocorram em algum lugar douniverso, tais como "criacao continua", aos quais esta asso-ciada uma diminuicao de entropia e que compensam as-sim 0aumento continuo de entropia que esta associado aosprocesso naturais que conhecemos? Se a segunda lei evalida para 0universo (nao sabemos, e elaro, se0universopode ser considerado como um sistema isolado), como eque ele chegou ao estado de entropia baixa? Na outraextremidade da escala, se a todos os processos conhecidospor nos estao associados urn aumento de entropia, qual e 0futuro do mundo natural como 0conhecemos?

Obviamente, e impossivel dar respostas conelusivas aessas perguntas com base apenas na segunda lei da termo-dinamica, Entretanto, entendemos a segunda lei da termo-dinamica como a descricao do trabalho anterior e continuode urn criador, que tambem possui a resposta para 0destinofuturo do homem e do universo.

PROBLEMAS7.1 - Consideremos urn motor termico de Carnot que

opera entre os reservatorios termicos a 1000C e DoC, erecebe 1000 kJ de calor do reservatorio de alta temperatura.

a) Considerando 0 fluido de trabalho como 0 sistema,mostrar 0cielo no diagrama T - s.

b) Calcular 0 trabalho liquido e 0 rendimento termicodesse cielo.

c) Calcular as variacoes de entropia dos reservatoriosde alta temperatura e de baixa temperatura.7.2 - Uma bomba de Carnot utiliza 0 freon-12 como

fluido de trabalho. Calor e transferido do fluido a 40C, edurante este processo 0freon-12 muda de vapor saturado aliquido saturado. A transferencia de calor para 0 freon-12ocorre a DOC.

a) Mostrar esse cielo no diagrama T - s.b) Calcular 0titulo no comeco e no fun do processoisotermico a DoC.c) Deterrninar 0coeficiente de desempenho do cielo.


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ENTROP IA7.3 - Seja considerado um dado ciclo de Carnot que

usa agua como fluido detrabalho e que tem um rendimentotermico de 25%. A transferencia de calor ao fluido detrabalho ocorre a 300C, durante a qual a agua muda deliquido saturado a vapor saturado.

a) Mostrar esse ciclo no diagrama T - s.b) Calcular 0 titulo do fluido de trabalho no inicio e no

termino do processo isotermico de rejeicao de calor.c) Determinar 0trabalho liquido produzido por quilo-grama de agua.

7.4 - Um cilindro provido de um pistao sem atritocontem vapor d'agua a 300C, 2 MPa; nesse ponto 0volu-me do cilindro e 100 litros. 0 vapor entao se expande,realizando trabalho contra 0pistao, ate que a pressao finalseja 300 kPa. Qual e 0 trabalho realizado pelo vapor duran-te 0processo, se for admitido que seja adiabatico?

7.5 - Um arranjo constituido de cilindro e pistaocontem 2 kg de freon-12 a 150 kPa e 60C. 0pistao emovimentado vagarosamente, comprimindo 0freon-12 ateque se tenha vapor saturado. Durante esse processo, a trocade calor necessaria ocorre de maneira tal que a temperaturado freon-12 permanece constante.

a) Determinar a pressao e 0volume especificos finaisdo freon-12.

b) Calcular 0trabalho e 0calor trocado nesse processo.7.6 - Um cilindro de 10 litros, provido de pistao,

contem vapor saturado de amenia a -20e. A forca externaque age sobre 0pistao e entao aumentada, comprimindo aamenia segundo um processo adiabatico e reversivel, ateque a pressao atinja 1,8 MPa. Determinar 0 trabalho reali-zado durante 0processo.

7.7 - Um vasa de pressao rigido contem vapor d'aguasuperaquecido a 1,8 MPa e 350e. Uma valvula do vasa eaberta, permitindo 0escape do vapor. Pode-se admitir que,em qualquer instante, 0vapor que permanece no interior dovasa sofra uma expansao adiabatica e reversivel, Determi-nar a fracao de vapor que escapou do vaso, quando severifica que 0 vapor que pennanece no interior do vasaatinge a linha de vapor saturado.

7.8 - Um cilindro muito bem isola do tennicamente,provido de pistao, contem amenia a 10C. 0pistao e entaomovimentado, comprimindo a amenia segundo um proces-so reversivel, ate que a pressao atinja 2 MPa; neste ponto atemperatura e 70C. Durante 0processo, 400 kJ de trabalhoe realizado sobre 0sistema. Qual era 0volume inicial docilindro?

Figura 7.23 - Esbocopara Prob. 7.9

Vapor; V = 15 l it ro s5 MPa.400C

m=40kg

105

7.9 - Uma massa de 40 kg e mantida em posicao numtubo de 125 mm de diametro por um pino, confonne mos-trado na Fig. 7.23. Abaixo desta massa existe um volumede 15litros com vapor d'agua a 5 MPa e 400e. 0pino eretirado e a massa e acelerada para cima, deixando a extre-midade superior do tuba com uma detenninada velocidade.Se 0 vapor sofre uma pressao adiabatica e reversivel, ateque se atinja uma pressao de 600 kPa, qual e a velocidadede saida da massa?

7.10 - Consideremos 0 Problema 4.15, envolvendo aexpansao de vapor d'agua num processo isotermico rever-sivel. Resolver 0problema sem usar a expressao

lW2 = J : pdv7.11 - Um cilindro provido de pistao contem 5 kg de

amenia a 200 kPa e 20C. 0pistao e movido, comprimindoa amenia segundo um processo isotermico reversivel, ateque 0volume seja um decimo do valor inicial. Detenninaro trabalho e 0calor trocado nesse processo.

7.12 - 0 tanque rigido A, mostrado na Fig. 7.24,contem 5 kg de vapor d'agua a 800 kPa e 300C, e estaligado atraves de uma valvula ao cilindro B,que e providode um pistao sem atrito. Necessita-se de uma pressao de200 kPa no interior de B para movimentar 0 pistao, Avalvula e aberta e 0 vapor escoa de A para B, ate que apressao em A se reduza para 200 kPa, quando entao avalvula e fechada. Admitir que todo 0processo seja adia-batico e, tambem, que 0 vapor que pennanece ate 0 finalem A sofra uma expansao adiabatica reversivel. Determi-nar 0 trabalho realizado contra 0pistao/meio e a tempera-tura final do vapor no cilindro B.


A B

7.13 - Repetir 0 Problema 7.12, porem fazendo comque 0pistao repouse inicialmente sobre os pinos, de modoque 0 volume inicial do cilindro B seja de 300 litros,conforme mostrado na Fig. 7.25. Pode-se admitir que essevolume esteja inicialmente em vacuo.


A f - - l LB

I ~ I


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aaterial resulta na fusao do gelo. Uma outra possibilidadeonsiste em resfriar 0 material atraves da evaporacao doreon-IZ a -20C; caso em que a transferencia de calorIrovoca a mudanca do freon-12 de liquido saturado a vaporaturado, Uma terceira possibilidade e fazer 0mesmo comutrogenio liquido it pressao de 101,3 kPa.

a) Calcular a variacao de entropia do meio de resfria-nento em cada um dos t e e s casos.b) Discutir 0 significado desses resultados.7.15 - Um cilindro provido de pistao contem 3 kg de

agua a 500 kPa e 600C. 0pistao tem uma area transversalde 0,1 m2; sobre 0 pistao atua uma mola linear (forcaproporcional ao deslocamento) com uma constante de m o-la de 10 kN/m. 0 sistema se resfria ate que a pressaointerna se reduza alSO kPa, em conseqiiencia da transfe-rencia de calor para 0 ambiente que esta a 20e. Calcular avariacao Iiquida de entropia, do sistema mais meio, paraesse processo.

7.16 - Um balao elastico e esferico, que suporta umapressao interna proporcional ao seu diametro, contern 5 kgde freon-12 a OC e titulo de 30%. Esse sistema aquece-seate a temperatura ambiente de 25C. Calcular:

a) 0calor trocado durante esse processo.b) A variacao liquida de entropia, do sistema mais

meio.7.17 - Considere 0processo mostrado na Fig. 7.26. 0

tanque A, que e isolado termicamente, tem um volume de600 litros e contem vapor d'agua a 1,4 MPa e 300C. 0tanque B, que nao e isolado, tem um volume de 300 litros econtem vapor d'agua a 200 kPa e 200C. A valvula que ligaos dois tanques e entao aberta e 0 vapor escoa do tanque Apara 0tanque B ate que a temperatura em A atinja 250C,quando entao a valvula e fechada. Durante esse processo,calor e transferido de B para 0meio, que esta a 25C, demane ira que a temperatura no interior de B perrnanecaconstante a 2ooe. Pode-se admitir que 0vapor que perma-nece no interior de A sofra um processo adiabatico reversi-vel. Determinar:

a) A pressao final em cada tanque.b) A massa final no tanque B.c) A variacao liquida de entropia, do sistema mais

meio, no processo.~

/1/'"A B% Valvula1 I

-QTo = 25C

Figura 7.26 - Esboco para 0Prob. 7.177.18 - Um cilindro isolado, provido de pistao, tem um

volume inicial de 0,15 m3 e contem vapor d'agua a 400 kPae 200e. 0vapor e expandido adiabaticamente e, duranteeste processo, 0trabalho realizado e cuidadosamente medi-

do, obtendo-se 0valor de 30 kJ. Alega-se que no estadofinal 0 vapor d'agua esta na regiao de duas fases (liquidamais vapor). Como voce avalia essa afirmacao?

7.19 - Um cilindro isolado, provido de pistao, conternfreon-12 a 600 kPa e 40C; neste ponto 0 volume e 100litros. 0freon-12 se expande, movendo 0 pistao ate que apressao no cilindro se reduza a 100 kPa. Alega-se que 0freon-12 realiza 75 kJ de trabalho contra 0 pistao nesseprocesso. E possivel?

7.20 - Um cilindro provido de pistao sem atrito con-tern agua a 200 kPa e 150C; neste ponto 0 volume e 150litros. 0embolo e movimentado vagarosamente, compri-mindo a agua ate a pressao de 700 kPa. Durante esseprocesso

p V 0.9 =constanteAdmitindo que a temperatura ambiente seja de 20C,

mostrar que esse processo nao viola 0 segundo principio.7.21- Urn cilindro provido de pistao contern amenia

a 200 kPa e 20C; neste ponto 0volume e 1,5 m3.A ameniae comprimida ate uma temperatura final de 40C, fornecen-do um trabalho de 750 kJ ao sistema e, durante 0processo,1500 kJ de calor e rejeitado ao meio, que esta a 20C. Esseprocesso e impossfvel?

7.22 - Um sistema que consiste de 10 kg de freon-12esta inicialmente a 100C e titulo de 70%. Esse sistema seexpande ate a pressao de 200 kPa, em conseqiiencia doganho de 220 kJ de calor de uma grande fonte termica queesta a 110C. Alega-se que 0sistema realiza 80 kJ de traba-lho sobre 0meio durante esse processo. Isso e possivel?

7.23 - Um cilindro vertical com um pistao sem atritocontem freon-12 a -20C, titulo de 70%, e 0 volume e 0,1m3. Esse cilindro e colocado numa sala que esta a 25C;faz-se passar uma corrente eletrica de 5 A atraves de umresistor interno ao cilindro. A diferenca de tensao atravesdo resistor e de 20 V. Alega-se que, apos 30 minutos, atemperatura interna do cilindro e de 40C. Isso e possivel?

7.24 - Uma barra de ferro fundi do de 10 kg, que estainicialmente a 400C, e resfriada num tanque de agua de200 litros, que esta inicialmente a 25C. Admitindo quenao haja troca de calor com 0meio e que nao haja escapepor evaporacao da agua, calcular a variacao liquida deentropia nesse processo.

7.25 - Uma barra de chumbo de 5 kg, que esta inicial-mente a 20C, e aquecida it pressao constante ate 550C,por meio de transferencia de calor de uma grande fontetermica, de temperatura constante a 550C. Calcular a va-riacao Ilquida de entropia nesse processo. 0 ponto de fusaodo chumbo e 327C, e na qual a variacao de entalpia nafusao e de 24,6 kl/kg, 0 calor especifico do solido e 0,138kJ/kgK e 0do liquido e 0,155 kJ/kgK.

7.26 - Uma esfera oca de a


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ENTROP IA7.27 - Uma massa de 1kg de ar contida num cilindro,

a 800 kPa e 1000 K, se expande segundo um processoisotermico reversivel ate 100 kPa. Calcular:

a) 0calor trocado durante 0processo.b) A variacao de entropia do ar.7.28 - Uma massa de 1kg de ar contida num cilindro,

a 800 kPa e 1000 K, se expande segundo urn processoadiabatico reversivel ate 100 kPa. Calcular a temperaturafinal e 0 trabalho realizado durante 0processo, usando:

a) Calor especifico constante, com os valores da Tabe-la A.8.

b) Tabelas de ar, considerado gas perfeito, TabelaA. 10.

7.29 - Seja considerado um motor termico de Carnotconstituido de um arranjo cilindro e pistao, e que tem comofluido de trabalho 1 kg de ar. Esse motor trabalha entrereservatorios a 1000 K e 300 K. No inicio do processo defornecimento de calor a alta temperatura, a pressao e 1MPa e, durante este processo, 0volume se triplica. Anali-sar cada um dos quatro processos do ciclo e determinar:a) A pressao, volume e temperatura em cada ponto.

b) 0trabalho e 0calor trocado em cada processo.7.30 - Um engenheiro deve resolver um problema

que envolve a entropia de vapor d' agua superaquecido apressao inferior a 10 kPa; porem, ele veri f ica que a suatabela de vapor nao apresenta as propriedades de vaporsuperaquecido abaixo daquela pressao,

a) Como voce 0 aconselharia para resolver 0 proble-ma?

b) Montar, de acordo com alguma hipotese ou modeleestabelecido, um quadro similar ao de 10 kPa na TabelaA.1.3 que fornece v, U, h e s a 5 kPa e a temperaturas de100C, 400C e 1000e.

7.31 - Deseja-se obter um suprimento de gas heliofrio pela seguinte tecnica: 0helio contido num cilindro ascondicoes ambientes, 100 kPa e 20C, e comprimido se-gundo um processo isotermico reversivel ate 600 kPa, aposo qual o gas e expandido de volta a 100 kPa segundo umprocesso adiabatico reversivel.

a) Mostrar 0 processo no diagrama T-s.b) Calcular a temperatura final e 0trabalho liquido por

quilograma de helio.c) Se um gas diatomico, tal como 0 nitrogenio ou 0

oxigenio, Fosse usado em vez do helio, a temperatura finalseria maior, menor ou igual?7.32 - Um tanque rigido e isola do, de 1m3, contem ar

a 800 kPa e 25C. Uma valvula do tanque e entao aberta ea pressao interna se reduz rapidamente ate 1SOkPa, quandoa valvu

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Cap 7 Van Wylen