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AA 2020-21
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Cap. 8: Idraulica
Questo capitolo applica le leggi della meccanica ai liquidi. A differenza di quanto accade in un
corpo solido, le particelle che costituiscono un liquido non esercitano tra loro la forza di coesione
sufficiente per dare al corpo una forma propria. Per aggirare le difficoltà legate al fatto che i liquidi
non hanno forma propria, i concetti di forza e massa sono sostituiti da quelli di pressione e densità.
La tabella seguente illustra la corrispondenza tra alcune grandezze e concetti usati in meccanica dei
solidi e i corrispondenti concetti introdotti in idraulica.
meccanica dei solidi idraulica
forza pressione
massa densità
attrito dinamico viscosità
reazione vincolare spinta di Archimede
teorema dell’energia cinetica equazione di Bernoulli
Le forze attrattive tra le molecole di un liquido, seppure meno intense che in un solido, sono
comunque sufficienti a dare al corpo un volume ben definito. Questo non succede per i corpi
aeriformi (gas o vapori1). Le forze intermolecolari di un gas sono così piccole che le molecole sono
molto distanti tra loro e il gas non ha né forma né volume propri, ma la forma e il volume del
contenitore. In un liquido invece le molecole sono comunque molto vicine tra loro ed è spesso
estremamente difficile ridurre il volume di un liquido per compressione. In queste condizioni si può
assumere che i liquidi sono corpi incomprimibili.
Dopo la definizione di densità e pressione, questo capitolo illustra alcuni concetti di statica dei
liquidi, o idrostatica (principio di Archimede, principio dei vasi comunicanti) e di dinamica dei
liquidi, o idrodinamica (moto laminare e turbolento, viscosità, equazione di continuità ed equazione
di Bernoulli).
Densità
La densità è il rapporto tra la massa m di un corpo ed il volume V da esso occupato:
=m/V
Le unità sono quindi [Kg][m]-3
.
Densità dell'acqua distillata a 4 C°= 1000 Kg/m3;
Densità dell'acqua di mare a 15 C°= 1025 Kg/m3;
Densità del plasma sanguineo a 25 C°= 1027 Kg/m3;
Densità del sangue intero a 25 C°= 1059 Kg/m3 (valori normali tra 1041 e 1062)
La densità relativa o peso specifico è invece il rapporto tra la densità del corpo e quella dell'acqua
distillata a 0 C° (numero adimensionale)
1 Gas è un fluido che si trova allo stato aeriforme in condizioni “normali”; vapore un aeriforme che “normalmente” si
trova invece allo stato liquido. Ad esempio, l’ossigeno allo stato aeriforme è considerato un gas perché passa dallo stato
liquido a quello aeriforme a temperature molto basse; l’acqua allo stato aeriforme è considerata un vapore perché in
condizioni “normali” si trova allo stato liquido.
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Pressione
La pressione P esercitata da una forza F che agisce su una superficie di area A è la componente
della forza perpendicolare alla superficie, FN, divisa per l'area A:
P = FN /A
La pressione quindi non è un vettore, ma una grandezza scalare (non esiste una “direzione” della
pressione). L’unità di misura nel sistema MKS è [N][m]-2
; questa unità è detta Pascal [Pa]. Sono
però ancora molto in uso altre unità di misura della pressione:
1) Il millimetro di mercurio [mmHg], definita come la
pressione esercitata dal peso di una colonna di mercurio alta
1 mm. E' detta anche Torricelli [Torr], in onore di
Evangelista Torricelli che inventò un barometro a mercurio
con cui dimostrò nel 1644 che l'aria ha un peso. In medicina
è usato per misurare la pressione sanguinea.
1 mmHg=133 Pa
2) Il centimetro d'acqua (cmH2O), definito come la
pressione esercitata dal peso di una colonna d'acqua alta 1
cm. In medicina si usa per misurare la pressione dei gas nei
polmoni, e la pressione intrapleurica.
1 cmH2O= 0.735 mmHg
3) L' atmosfera (atm), definita come pressione atmosferica
"media".
1 atm =760 mmHg 101000 [Pa]
barometro di Torricelli
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Esempio. Pulite una parete con una scopa cattura polvere. La piattina ha dimensione 25cm 10 cm;
esercitate una forza di 20 [N] tenendo il bastone inclinato di 60°. Con che pressione il panno pulisce la
parete?
La componente di F normale alla parete è
FN=20sen 60° =20 0.866 =17.3 [N];
L'area di contatto A è 2510=250 cm2. Poiché
1 cm= 10-2
m
1 cm2=10
-4 m
2
allora A= 25010-4
m2
La pressione è P=17.3/(25010-4
)=692 [Pa]
Esempio: uno sciatore di 70 kg calza un paio di scarponi. L’area della suola di ogni scarpone è A1=150
cm2, l'area di ogni sci è A2=1540 cm
2.
Quale pressione esercita il peso dello sciatore:
1) sugli sci?
2) sulla neve?
3) sulla neve se lo sciatore scende da una pista con pendenza di 30° rispetto all'orizzontale?
Nei sistema MKS, il modulo del peso è
|P| = 70x9.8 = 686 [N]
Inoltre:
A1=0.015 [m]2
A2=0.154 [m]2
Quando lo sciatore è fermo in orizzontale,
la componente del peso perpendicolare agli
sci è il modulo della forza peso:
La pressione sugli sci è nulla tranne che nel
punto di contatto tra suola e sci, dove vale:
P1= 686/(2A1)= 686/0.03= 22867 [Pa]
La pressione esercitata dagli sci sulla neve
è:
P2= 686/(2A2) = 686/0.308=2227 [Pa]
La componente perpendicolare alla neve
del peso dello sciatore quando scia sulla
pista è:
PN=| P | cos 30°= 686 x0.866= 594 [N]
e la pressione sulla neve è:
P3= 594/( 2As)=594/0.308=1929 [Pa]
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Esempio: sensori elettronici particolarmente sottili (<0.1 mm) rilevano carichi su aree molto
piccole. Vengono disposti numerosi su di una griglia flessibile (tipo tappetino) per fornire una
immagine dettagliata del profilo di pressione.
Nei casi precedenti abbiamo calcolato la pressione sulla faccia di un solido (lo strato di neve, la
superficie degli sci, ecc). In idraulica interessa invece la pressione su di un punto in un liquido.
Per definire la pressione in un liquido, possiamo immaginare che N creature minuscole abbiano
creato una sferetta vuota di raggio r intorno a un punto M. La sferetta vuota è immersa nel liquido,
quindi queste creature dovranno spingere con le mani le molecole di liquido su tutta la superficie
interna della sfera per evitare che questa si richiuda. La i-esima creatura spingerà con la forza |Fi|
perpendicolarmente alla superficie Ai, esercitando quindi la pressione Pi=|Fi|/Ai.
Chiamiamo Pr la media delle pressioni Pi (con i=1, 2, …, N) esercitate da queste creature.
La pressione P nel punto M è il limite raggiunto da Pr quando il raggio r tende a zero.
Pressione Relativa. E’ la differenza rispetto alla pressione atmosferica (o più in generale rispetto ad
una pressione di riferimento). La pressione sanguinea viene misurata come pressione relativa
rispetto alla pressione atmosferica e non come pressione assoluta. Quindi se la pressione sanguinea
media è di 100 mmHg, ciò significa che la pressione assoluta del sangue è in realtà di 100+760=860
mmHg quando la pressione atmosferica durante la misura è di 1 atmosfera.
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Principio di Archimede
Consideriamo un volume V all'interno di un liquido di densità 0 in equilibrio. Il volume V di
liquido pesa P0 =0Vg, dove g è l’accelerazione di gravità. Poiché il liquido è in equilibrio, per il I
principio della statica le particelle che circondano il volume esercitano una forza complessiva A
diretta verso l'alto che compensa esattamente il peso diretto verso il basso. Per cui:
A = -0Vg
Questa forza è detta forza di sostentamento o spinta di Archimede.
Sostituiamo il volume di liquido V con un corpo di uguale volume e forma, ma di densità >0,
appeso ad un cavo. Il peso del corpo è P =Vg.
In assenza del liquido, per il I principio della statica T+P =0, cioè
T = - P
quindi la tensione T del cavo è opposta al peso:
T = -Vg
Esempio di Spinta di Archimede. Una sfera di densità e volume V è appesa ad un cavo: per il I principio della statica
la tensione nel cavo è T=-P, con P=Vg (pannello di sinistra); se il corpo viene immerso in un liquido di densità 0<,
il modulo della tensione |T| diminuisce per la spinta idrostatica A esercitata dalle molecole di liquido che circondano
la sfera (pannello centrale). Per ottenere A consideriamo il liquido complessivo come composto da una sfera di liquido
di volume V immersa in equilibrio nel liquido stesso (pannello di destra): il peso di questa sfera, P0=0Vg, è ora
equilibrato dalla sola spinta di Archimede e quindi A=- P0.
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Se il corpo fosse immerso nel liquido, agirà anche la forza A.
Per il I principio di equilibrio: T+A +P = 0
e la tensione nel cavo si riduce a: T = -P -A =
=-Vg +0Vg =
= -(-0)Vg
Quindi è come se la densità del corpo si riducesse da a -0, o in altre parole è come se il corpo
pesasse meno quando è immerso in acqua.
La riduzione apparente di peso è pari al peso del liquido spostato dal corpo.
Se la densità del corpo fosse minore della densità del liquido, allora <0. In tal caso la componente
verticale della tensione T= -(-0)Vg, è negativa. Quindi il vettore T sarebbe diretto verso il basso.
Ma poiché un cavo non può spingere verso il basso, la risultante delle forze che agiscono sul corpo,
FR=A -FC, non è più nulla e il corpo non è in equilibrio. Esso si sposterà verso l’alto fino a
raggiungere il pelo libero del liquido, dove galleggerà.
Quando il corpo galleggia, si trova di nuovo in equilibrio. Sia VS il volume sommerso del corpo che
galleggia. La forza di sostentamento A, ora pari a -0VSg, deve pareggiare il peso del corpo -Vg.
In modulo:
0VSg=Vg
da cui
VS/V =/0
Quindi la frazione di volume sommersa di un corpo che galleggia è pari al rapporto tra la densità del
corpo e del liquido.
Esempio. Calcolare la frazione sommersa di un
iceberg sapendo che la densità del ghiaccio è
920[Kg][m]-3
, quella dell’acqua di mare è 1025
[Kg][m]-3
.
La densità dell'acqua di mare è:
0= 1025 [kg][m]-3
Quindi:
/0= 920/1025=
=0.898=
=89.8 %
circa il 90% dell’iceberg è sommerso.
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La forza di sostentamento è utilizzata in certe tecniche di riabilitazione in cui il paziente esegue
esercizi in acqua. In questo modo muscoli ed articolazioni sono soggetti a forze minori che in aria,
perché viene sottratta la spinta di Archimede alla forza di gravità.
Similmente, gli astronauti si esercitano in vasche di immersione per simulare una ridotta gravità.
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Flusso Laminare e Flusso Turbolento.
Immaginiamo un liquido inizialmente fermo in un tubo chiuso da un rubinetto. Se apriamo
progressivamente il rubinetto, il liquido uscirà dal tubo con velocità sempre maggiore. Potremmo
osservare che inizialmente, a bassa velocità, il liquido scorre in modo molto regolare; poi, superato
un certo valore di velocità, osserveremo fluttuazioni disordinate e casuali. Si dice che il moto del
liquido è passato da un flusso laminare ad uno turbolento.
Flusso laminare e turbolento dell’acqua che esce da un rubinetto (sinistra e centro),
e del fumo che sale da una sigaretta (destra).
Quando il flusso è laminare, il liquido scorre per “straterelli” paralleli (lamine). Le lamine di liquido
vicine alle pareti del condotto scorrono più lentamente di quelle al centro del condotto, ma
comunque tutte le lamine si mantengono parallele durante il moto.
Quando si supera una certa velocità, le lamine cominciano a diventare “instabili”: non si muovono
più parallelamente le une alle altre, ma cominciano a contorcersi e ad aggrovigliarsi tra loro. Se si
aumenta ulteriormente la velocità, la struttura delle lamine scompare ed il moto diventa turbolento.
La velocità di ogni particella è un vettore con direzione e verso che cambia continuamente in
maniera casuale, ma in media è diretto nel verso di uscita del condotto. In termini statistici, ora le
particelle di fluido si muovono con la stessa velocità media lungo tutta la sezione del condotto.
distribuzione della velocità delle particelle di un liquido in una sezione di un condotto per un flusso
laminare (sinistra) e per un flusso turbolento (destra)
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Equazione di continuità
Supponiamo che un fluido incomprimibile riempia completamente un condotto (ad esempio, un
tubo). A regime la portata che entra da una estremità del tubo, I1, è ad ogni istante uguale a quella
che esce dall'altra estremità, I2:
I1=I2
La portata è il volume che scorre nell’unità di tempo, I=V/t. Quindi I1=I2 implica che il volume
che entra nel periodo t, V1, è uguale al volume che esce nello stesso periodo, V2:
V1=V2
Siano A1 ed A2 le aree delle sezioni all'ingresso ed all’uscita del tubo.
Se il moto fosse turbolento, le velocità hanno un profilo uniforme sulle due superfici: chiamiamo v1
e v2 queste velocità. Se il moto fosse laminare, il profilo di velocità non è uniforme e chiamiamo v1
e v2 le velocità medie del profilo.
In entrambi i casi, lo spazio percorso nel tempo t da una particella di fluido che entra in A1 è
x1= v1t,
e il volume di fluido che entra nello stesso istante di tempo è
V1= A1x1=
=A1v1t
Nello stesso tempo una particella che esce da A2 percorre lo spazio x2= v2t e il volume che esce
da A2 è V2= A2v2t. Dalla uguaglianza dei due volumi otteniamo:
A1v1= A2v2
Quindi l’equazione di continuità implica che in ogni punto di un condotto è costante il prodotto tra
la sezione del condotto è la velocità media del liquido.
Ad esempio, se una arteria presenta una stenosi (restringimento), allora la velocità del sangue nel
punto di restringimento aumenta in modo inversamente proporzionale all’ampiezza del lume del
vaso:
v2= v1A1/ A2
Similmente, la velocità diminuisce in presenza di un aneurisma.
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Andamento della velocità del sangue all’interno di un arteria che presenti una stenosi (sinistra), o
un aneurisma (destra)
Rappresentazione artistica del restringimento del lume di un'arteria a causa di una placca di
colesterolo.
Confronto tra una aorta normale e una con aneurisma addominale
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Viscosità
La viscosità è una sorta di "attrito interno dei fluidi" dovuto alla resistenza che incontrano gli strati
di fluido a scorrere gli uni sugli altri. La viscosità generalmente si riduce con la temperatura.
Sperimentalmente si è visto che le forze di attrito viscoso che si creano su di un corpo che si muove
in un fluido, Fd dipendono dalla forma del corpo, dalle caratteristiche del fluido, e sono
proporzionali alla velocità del corpo:
Fd=-Kv
dove K è un coefficiente che dipende dalla forma del corpo, ed un coefficiente che dipende dalla
natura del liquido.
è chiamato coefficiente di viscosità.
E’ possibile misurare misurando la velocità con cui una sfera affonda nel liquido. Quando la sfera
ha raggiunto la velocità limite (velocità costante di affondamento) la somma delle forze di attrito Fd
e della spinta di Archimede A deve uguagliare la forza peso w. Infatti dato che l’accelerazione della
sfera è nulla quando raggiunge la velocità limite, la risultante delle forze che agiscono sulla sfera
deve essere nulla per la II legge di Newton.
Si è osservato che per una sfera di raggio R che affonda con la velocità limite v, il coefficiente K
vale 6R. Quindi misurando la velocità limite v e calcolando |Fd|= |w|-|A| si ricava da:
|Fd|=(6R)v
.
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Equazione di Bernoulli.
Proposta nel 1738 da Daniel Bernoulli, esprime il lavoro compiuto su di un fluido in funzione delle
variazioni di energia potenziale e cinetica.
Essa è valida se:
1) il fluido è incomprimibile (si può applicare l'equazione di continuità);
2) il fluido non è viscoso (si possono trascurare gli attriti interni);
3) il flusso è laminare (non ci sono componenti di velocità trasversale al moto che contribuiscono
all’energia cinetica);
4) il regime è stazionario (la velocità del fluido non cambia nel tempo).
Nel capitolo precedente avevamo visto che:
La = EP+EK +Q
dove La =lavoro delle forze applicate ad un corpo;
EP= variazione di energia potenziale;
EK= variazione di energia cinetica;
Q= energia dissipata dalle forze di attrito.
Immaginiamo che un liquido riempia un condotto di sezione variabile, la cui area sia Aa e Ab sulle
due estremità (vedi figura). Pa e Pb siano le pressioni sulle due facce alle estremità del condotto.
Alle due pressioni corrispondono le forze AaPa e AbPb perpendicolari alle superfici.
Esprimiamo ora La , EP, EK, Q in funzione della pressione, velocità del fluido e quota alle due
estremità del condotto.
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La. Se il liquido si sposta di una quantità xa e xb, le due forze compiono il lavoro:
La= AaPaxa- AbPbxb=
=(Pa- Pb)V
dove V è il volume di liquido spostato.
Q. Poiché abbiamo ipotizzato non ci siano attriti, non ci sarà energia dissipata: Q=0.
EP. La variazione di energia potenziale del liquido spostato è EP=mgh con m=V, cioè:
EP=Vg(yb-ya).
EK. Se le sezioni di entrata ed uscita sono differenti, anche la velocità di entrata, va, è diversa da
quella di uscita vb e dobbiamo considerare la variazione di energia cinetica EK=½mvb2 -½mva
2
cioè: EK = ½V(vb2 -va
2)
Quindi La = EP+EK +Q può essere riscritta:
(Pa- Pb)V=V g(yb-ya)+ ½V(vb2 -va
2)
o:
Pa+g ya +½va2=Pb+g yb+½vb
2
Esempio. La pressione sanguinea all'interno di un aneurisma è maggiore o minore rispetto al resto
dell'arteria?
Consideriamo l'arteria in posizione orizzontale: y1=y2 . L'equazione diventa:
P1+½v12=P2+½v2
2
All'interno dell'aneurisma la velocità è minore (equazione di continuità): v2 < v1
di conseguenza
P2 > P1
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Equazione di Bernoulli nella statica Se il liquido è in quiete, v=0 e l’equazione diviene:
Pa=Pb+ g (yb- ya)
Esempio. Un sommozzatore si immerge a 10 m di profondità.
A quale pressione è sottoposto?
Applichiamo l’eq. Pa=Pb+gh con:
Pb =Pressione Atmosferica=101000 [Pa];
=1000 [kg][m]-3
;
yb= quota del pelo dell’acqua=0 [m]; ya=-10 [m];
h= yb- ya=10
Pa= Pb+gh =101000+1000x9.8x10=199000 [Pa].
Quindi a 10 metri di profondità la pressione è doppia rispetto alla
superficie.
Esempio. La pressione media del sangue misurata al braccio (arteria brachiale) è 100 mmHg;
qual è la pressione sanguinea alle caviglie, se si trovano 130 cm sotto al braccio?
Applichiamo l’eq. Pa=Pb+gh con
Pb =100 mmHg=13300 [Pa];
=1059 [kg][m]-3
;
yb= quota del braccio=0 [m];
ya=-1.3 [m];
h=yb- ya=1.3
Pa= Pb+gh =
=13300+10599.81.3=
=26792 [Pa]=
= 201 mmHg.
Quindi durante la postura eretta le arterie delle
caviglie devono sopportare una pressione
sanguinea di oltre 100 mmHg superiore rispetto a
quella misurata all'arteria brachiale, mentre in
posizione supina h=0 e le pressioni nel braccio e
nella caviglia sono simili.
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Vasi comunicanti. Consideriamo due contenitori separati, posti sullo stesso piano e riempiti
parzialmente dello stesso liquido. I livelli del liquido avranno in genere altezze differenti, h1 e h2.
Le pressioni sulla superficie dei due liquidi saranno uguali e pari alla pressione atmosferica, mentre
le pressioni sul fondo dei due contenitore saranno diverse e rispettivamente uguali a:
P1= Patm+gh1 e
P2= Patm+gh2
Immaginiamo ora di collegare le basi dei due contenitori con un tubo orizzontale. Alle due estremità
del tubo si formerà una differenza di pressione, P2-P1, che compirà un lavoro spostando una quantità
di liquido da un contenitore all’altro. Questo processo si fermerà solo quando P1=P2. Questa
condizione implica che anche h1=h2. Quindi:
la superficie libera di un fluido in quiete in vasi comunicanti
si trova alla stessa altezza in tutti i vasi
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Esempio d’uso dei vasi comunicanti.
Sifone
Torre d'acqua per distribuire l’acqua nelle abitazioni di un paese raggiungendo anche i piani alti
Antica torre d’acqua restaurata che riforniva le locomotive della stazione di Porta Garibaldi (MI)
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Manometro
L’equazione di Bernoulli ci permette di
capire il funzionamento del manometro
usato nella misurazione della pressione
arteriosa con manicotto gonfiabile al
braccio. Nella versione originale
(modello di Riva-Rocci) il manometro
era costituito da un tubo di vetro
contenente mercurio. Il tubo era aperto ed
a contatto ad una estremità con la
pressione atmosferica, all’altra con la
pressione del manicotto posto sul braccio
del paziente. Con riferimento alla figura,
P è la pressione nel manicotto che si
vuole misurare. Applicando l’equazione
di Bernoulli alla pressione alla base del
tubo ad U otteniamo: a sinistra
PU=P+gy1; a destra PU=Patm+gy2. Si
ricava:
P= Patm+gh
Nota: attualmente si usano manometri in cui il fluido manometrico invece di salire in una canna esercita la pressione su
di una membrana deformabile. La deformazione della membrana viene convertita in un segnale elettrico, poi elaborato e
trasformato in una misura di pressione.
Flussimetro
La velocità di flusso di un liquido può essere misurata con un Tubo di Venturi schematizzato nel
disegno. Applicando l’equazione di Bernoulli ai punti 1 e 2 del tubo abbiamo che:
P1+½v12=P2+½v2
2. Per l’equazione di continuità A1v1=A2v2 cioè v2= v1 A1/A2.
Sostituendo abbiamo che: P1- P2 = ½v12 [(A1/A2)
2-1] La misura della differenza P1- P2 ottenibile
dalla misura di y1-y2 ci permette di ricavare v1.
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Resistenze Idrauliche
Se applichiamo l’equazione La = EP+EK+Q ad un fluido viscoso, non possiamo trascurare
l’energia dissipata Q dalle forze di attrito viscose.
Se il tubo è orizzontale, EP=0. Se è a sezione costante, EK=0 (per l’eq. di continuità, va= vb). In
tal caso La=Q cioè
(Pa-Pb)Ax=Q.
Quindi le forze viscose provocano una caduta di pressione P= Pa-Pb ai capi del tubo. Abbiamo
visto che le forze di attrito viscoso aumentano proporzionalmente alla velocità del fluido, e quindi
alla portata di liquido "I" nel tubo. Quindi avremo che P è direttamente proporzionale alla portata
del fluido nel tubo:
P=R× I
Il coefficiente di proporzionalità R (=P/I) è detto resistenza idraulica.
Esempio. Calcoliamo la resistenza totale del sistema vascolare.
In un adulto normale, I=0.83x10-4
m3/s;
P = caduta di pressione dall’inizio dell’aorta alla fine dei capillari=90 mmHg = 1.2 x 104 [Pa].
Quindi
RTOT = P/I
=1.2 x 104/0.83x10
-4
= 1.44x108 [N][s][m]
-5.
La resistenza idraulica:
dipende dalla forma della sezione del tubo;
aumenta con la lunghezza L del tubo;
aumenta con la viscosità del liquido;
diminuisce con l’area A della sezione del tubo.
Per un condotto di sezione circolare di raggio r, come può essere in prima approssimazione un vaso
sanguineo, si ha:
4
8 LR
r
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Resistenza Idraulica Complessiva di due Condotti in Serie.
Immaginiamo un condotto composto da due sezioni in serie di resistenza R1 ed R2
Per comodità rappresentiamo ogni singolo condotto i come un blocco caratterizzato dalla sua
resistenza idraulica Ri e attraversato dal flusso I:
La resistenza complessiva del condotto è: R = R1 + R2
Dimostrazione
21
3221
3221
31
RR
I
PP
I
PP
I
PPPP
I
PPR
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Resistenza Idraulica Complessiva di due Condotti in Parallelo.
Sia il condotto composto da due sezioni in parallelo di resistenza R1 ed R2
la resistenza complessiva del condotto, R
è data dalla formula: 21
111
RRR cioè: R=
1 2
1 2
R R
R R
Dimostrazione
R=(Pb - Pa)/I quindi
I=(Pb - Pa)/R (eq.1)
ma
I = I1+I2 =21 R
PP
R
PP abab
=
=
21
11
RRPP ab (eq.2)
Uguagliando i termini a destra di (eq.1) ed (eq.2) si ottiene
(Pb - Pa)/R =
21
11
RRPP ab
cioè
21
111
RRR
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In generale: date N resistenze in serie:
la resistenza risultante R è:
date N resistenze in parallelo:
la resistenza risultante R è data dall'espressione:
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Esempio. Schema del circuito idraulico del sistema cardiovascolare. E' composto da numerosi
distretti in parallelo (sinistra). La resistenza complessiva di ciascun distretto è composta dalla serie
delle resistenze di condotti (arterie, arteriole, capillari, venule e vene) a loro volta disposti in
parallelo (destra). In condizioni normali, il moto del sangue è laminare in tutto il circuito.
