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Teoria de Carga Electrica Campo Electrico
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UNTECS. INGENIERIA ELCTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
FISICA –II
CICLO 2014-I
1 Introducción.
2 Carga eléctrica.
3 Ley de Coulomb.
4 Principio de superposición.
5 Campo eléctrico y Líneas de campo eléctrico.
6 Flujo eléctrico.
7 Teorema de Gauss. Aplicaciones.
Bibliografía
-Tipler. "Física". Cap. 18 y 19. Reverté.
-Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 20 y 21. McGraw-Hill.
-Serway. "Física". Cap. 23 y 24. McGraw-Hill.
CAP I :CARGA ELÉCTRICA –LEY DE COULOMB
Gilbert (1540-1603) descubrió que la electrificación era un
fenómeno de carácter general.
En 1729, Stephen Gray demuestra que la electricidad tiene
existencia por sí misma y no es una propiedad impuesta al
cuerpo por rozamiento.
Franklin (1706-1790) demuestra que existen dos tipos de
electricidad a las que llamó positiva y negativa.
Coulomb (1736-1806) encontró la ley que expresa la
fuerza que aparece entre cargas eléctricas.
1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
En 1820 Oersted observó una relación entre electricidad y
magnetismo consistente en que cuando colocaba la aguja de una
brújula cerca de un alambre por el que circulaba corriente, ésta
experimentaba una desviación. Así nació el Electromagnetismo.
Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de Campo Eléctrico.
Maxwell (1831-1879) estableció las Leyes del Electromagnetismo,
las cuales juegan el mismo papel en éste área que las Leyes de
Newton en Mecánica.
El electromagnetismo se ha utilizado en el desarrollo
de redes eléctricas, sistemas de transporte de
energía y potencia, sistemas de comunicación
electrónica y digital así mismo el conocimiento del
electromagnetismo ha permitido diseñar equipos
eléctricos y electrónicos que en la actualidad han
revolucionada la ciencia y la tecnología una de ellos
es por ejemplo el microscopio de fuerza atómica
MFA.
Los fenómenos eléctricos se conocen desde tiempos
inmemoriales. Existen evidencias tan antiguas como las
observadas por los griegos en los años 600 A.C que
muestran como ciertas sustancias al ser frotadas entre sí
atraían pequeños objetos. Antes de la edad moderna el
ámbar era la mejor sustancia para demostrar éste
fenómeno. Actualmente decimos que el ámbar ha
adquirido una carga eléctrica neta o que se ha cargado.
La palabra “eléctrica” se deriva de la palabra griega
elektron que significa ámbar.
2.CARGA ELECTRICA
A)Después de que un peine de plástico se frota contra la piel,
o se pasa a través del cabello seco, adquiere la propiedad de
atraer pequeños trozos de papel tal como se muestra en la
figura(1). Si ahora con el peine tocamos una esfera pequeña
suspendida de un hilo de seda y con la piel tocamos la otra esfera
también suspendida estas experimentan una atracción figura (2),
mientras que si con el peine tocamos las dos esferas suspendidas
experimentan una repulsión figura (3).
2.1.OBSERVACIÓN DE LA INTERACCIÓN ELÉCTRICA:
Fg(1) Fg(2) Fg(3)
B) Otro ejemplo que muestra la interacción eléctrica es
la frotación de dos varillas de vidrio con un pedazo de
seda, cuando esto ocurre las varillas de vidrio se
repelen entre sí figura(1), por otro lado si una varilla se
frota con seda y una varilla de plástico se frota con piel
y se acercan una a la otra como se muestra en la figura
(2), se observa una atracción.
Figura(1) Figura(2)
2.2.DEFINICIÓN DE CARGA ELÉCTRICA.
Decimos que una partícula está “cargada”, si
posee la propiedad de experimentar una fuerza eléctrica
debido a alguna otra partícula cargada. Es una magnitud
fundamental de la física, responsable de la interacción
electromagnética.La carga “q” de una partícula es una
cantidad numérica que especifica la magnitud y la
dirección de la fuerza electrostática sobre una partícula
tal que :
2
1
2
1
F
F
q
q
Donde el signo mas(+) es utilizado si tienen la misma
dirección, mientras que el signo menos (-) es utilizado
cuando tienen direcciones opuestas .
2.3.UNIDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA.
La definición de carga obtenida anteriormente solamente nos
da la razón de dos cargas. Para especificar un único valor para
cualquier carga, es conveniente comparar todas las cargas con
una carga específica denominada estándar. En el sistema
internacional esta carga estándar es llamado “coulomb estándar”
y su valor es indicado por la unidad “coulomb” abreviado como
1C.
En el S.I. La unidad de carga es el Culombio (C)
que se define como la cantidad de carga que fluye
por un punto de un conductor en un segundo cuando
la corriente en el mismo es de 1 A.
Submúltiplos del
Culombio
1 nC = 10-9 C (nano coulomb)
1 mC = 10-6 C ( micro coulomb)
3.CARGA ELÉCTRICA Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA.
Todo cuerpo está formado por
moléculas y a la vez las moléculas
están constituidas por uno o más
átomos agrupados o distribuidos según
cada compuesto. El átomo está
constituido por tres tipos de partículas
fundamentales: los protones carga (+),
los neutrones (0)sin carga eléctrica y los
electrones carga(-). El protón y el
neutrón son la combinación de otras
partículas llamadas quarks, los que
tienen cargas fraccionarias del electrón
esto es de ±1/3e; ±2/3e, aun cuando
estas últimas partículas no han sido
observadas experimentalmente.
Partícula Masa (kg) Carga (C)
Electrón (e) 9,109.10-31 -1,602.10-19
Protón (p) 1,672.10-27 +1,602.10-19
Neutrón (n) 1,674.10-27 0
3.1 MASA Y CARGA DE PARTÍCULAS FUNDAMENTALES DEL ÁTOMO.
Número Atómico = Z = ne⁻ = ne⁺ Número Másico=A = número protones + neutrones
Cuando el átomo gana o pierde un electrón se le
denomina ión negativo o positivo, respectivamente.
El átomo…
Ion
negativo
Ion
positivo
Si un átomo tiene el mismo número de
electrones que de protones es Neutro ;
Ión positivo : Si le faltan electrones
Ión negativo: Si tiene electrones añadidos
0 ep qZqZQ
ee qnQ ee qnQ
3.2 CARGA Y MASA DE LOS ELECTRONES
En 1906, Robert A. Millikan,
mediante su experimento de “la
gota de aceite”, determinó la carga
del electrón: 1,602 × 10‾¹٩
culombios; su masa en reposo es 9,109× 10‾³¹ Kg.
La carga del electrón es la unidad
básica de electricidad y se
considera la carga elemental en el
sentido de que todos los cuerpos
cargados lo están con un múltiplo
entero de dicha carga. El electrón
y el protón poseen la misma carga,
pero, convencionalmente, la carga
del protón se considera positiva y
la del electrón negativa.
3.2.1 CONSERVACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA
Cuando dos cuerpos se encuentran en íntimo contacto,
como ocurre al frotarlos entre sí, los electrones son
transferidos de un objeto a otro. Un objeto queda con
un número en exceso de electrones siendo en esta
condición su carga negativa y el otro objeto queda con
un déficit de electrones siento en este caso su carga
positiva.
Durante este proceso la carga no se crea ni se
destruye, sino simplemente se transfiere. La carga
neta del sistema formado por los dos cuerpos no
cambia. Es decir, la carga del sistema se mantiene
constante.
3.2.2.CUANTIZACIÓN DE LA CARGA
Aun cuando, cada uno de los átomos o moléculas contiene
electrones, las mediciones precisas muestran que su carga total es
cero. Entonces, un átomo o una molécula pueden contener
partículas cargadas positivamente teniendo una carga total
positiva igual en magnitud a la carga negativa total de todos sus
electrones
En la naturaleza, la carga de cualquier cuerpo se
presenta en forma de paquetes discretos o cuantos, es
decir la carga siempre es igual a un múltiplo entero de
la carga del electrón.
Donde, N es un entero y e es la carga del electrón.
q Ne
3.3. MATERIALES CONDUCTORES Y AISLANTES O DIELÉCTRICOS:
Ciertos materiales permiten que las cargas eléctricas se muevan
con facilidad de una región del material a la otra ,mientras que otros
no lo hacen.
3.3.1.Conductores : Son materiales que permiten el movimiento fácil
de las cargas a través de ellos, que dependerá mucho de las
características de los materiales , como
resistividad,conductividad,temperatura,etc. Entre estos materiales
están la mayoría de los metales.
Ag,
3.3.2.Semiconductores : Son materiales que tienen
propiedades intermedias entre los buenos conductores y buenos
aislantes.
Puede ser materiales sólidos o líquidos capaces de conducir la
electricidad mejor que un aislante, pero peor que un metal. La
conductividad eléctrica, que es la capacidad de conducir la
corriente eléctrica cuando se aplica una diferencia de potencial,
es una de las propiedades físicas más importantes. Entre ellos
tenemos al germanio ,silicio,etc.
A bajas temperaturas :La superconductividad sólo se manifiesta por debajo
de una determinada temperatura crítica Tc y un campo magnético crítico Hc,
que dependen del material utilizado.. Para alcanzar temperaturas tan bajas se
empleaba helio líquido, un refrigerante caro y poco eficaz.
A altas temperaturas : En los sistemas eléctricos, los superconductores de
alta temperatura son considerados indispensables porque ofrecen la
posibilidad de eliminar el uso del cobre, lo que permite a su vez reducir el
peso de las instalaciones eléctricas de forma drástica. Esto significa una
sustanciosa reducción de peso en la góndola, los cimientos y la torre, y las
cajas de cambio se harán innecesarias.
En comparación con el cobre, los superconductores tienen diversas
ventajas. Conducen la electricidad sin resistencia y sin pérdidas por
calor –Efecto Joule y pueden transmitir hasta 100 veces la energía que
transmite un sistema convencional.
3.3.3.SUPERCONDUCTORES :
Se denomina superconductividad a la capacidad intrínseca que poseen
ciertos materiales para conducir corriente eléctrica sin resistencia ni pérdida
de energía en determinadas condiciones.
Aplicaciones de los materiales superconductores
La aplicabilidad de los materiales superconductores solo está limitada
por la imaginación del hombre. Existen múltiples líneas de investigación
donde se están desarrollando máquinas y dispositivos que aprovechan
las propiedades de los superconductores. Algunas de éstas son:
- Cables superconductores
- Limitadores de Corriente
- Trenes levitados ,Sensores SQUD.
3.3.4.Aislantes : Son materiales que no permiten el
movimiento de cargas eléctricas ,es decir
sirven para aislar los cuerpos conductores
,entre ellos tenemos a los no metales, en
un material aislante no hay electrones libres
o hay muy pocos y la carga eléctrica no se
mueve con facilidad a través del material :
Lana de madera, fibra de vidrio, yeso,
caucho, lucita, ebonita, porcelana y algunos
polímeros.
3.4.TRANSFERENCIA DE CARGA.
3.4.1.Electrización por frotamiento. Cuando a un cuerpo se le dota de propiedades eléctricas se dice
que ha sido electrizado o cargado. La electrización por frotamiento
figura(1), ha permitido a través de un conjunto de experiencias
fundamentales y de su interpretación de las mismas, sentar las bases
de la electrostática.
Figura(1):Electrización por frotamiento, la fotografía muestra la
frotación de una barra de caucho con un trozo de piel
Si una barra de ámbar (de caucho o de plástico) se
frota con un paño de lana, se electriza. Lo mismo
sucede si una varilla de vidrio se frota con un paño de
seda.
(a) repulsión entre dos varillas de plástico; (b)
repulsión entre dos varillas de vidrio cargadas
positivamente; (c) atracción entre una varilla de vidrio
cargada positivamente y una de plástico cargada
negativamente.
(a) (b) (c)
3.4.2.ELECTRIZACIÓN POR CONTACTO.
La electrización por contacto es consecuencia del
flujo de cargas negativas de un cuerpo a otro. Si el
cuerpo cargado es positivo es porque sus
correspondientes átomos poseen un defecto de
electrones, que se verán en parte compensados por la
aportación del cuerpo neutro cuando ambos entran en
contacto. El resultado final es que el cuerpo cargado
se hace menos positivo y el neutro adquiere carga
eléctrica positiva.
Electrización por contacto (a) Transferencia de carga (electrones) de la esfera
neutra a la cargada; (b) Esferas cargadas separadas después de mantenerlas
en contacto cierto tiempo.
3.4.3.ELECTRIZACIÓN POR INFLUENCIA O INDUCCIÓN:
La electrización por influencia o por inducción es un efecto de las
fuerzas eléctricas. Debido a que éstas se ejercen a distancia, un
cuerpo cargado positivamente en las proximidades de otro neutro
atrae hacia sí a las cargas negativas, con lo que la región próxima
queda cargada negativamente.
Electrización por inducción. (a) esferas conductoras neutras en contacto,
(b) polarización de las esferas debido al acercamiento de la barra cargada
positivamente, (c) separación de las esferas en presencia de la barra
cargada y (d) alejamiento de la barra inductora.
(a)
(b) (d)
(c)
3.4.4.CONEXIÓN A TIERRA
Cuando un conductor se pone en contacto con el suelo se dice que
está conectado a tierra. Esto se representa mediante un cable de
conducción que une al cuerpo conductor con la tierra (ground) como
se muestra en la figura(1). Este tipo de conexión también se puede
utilizar para electrizar un cuerpo por inducción.
3.4.5.EL ELECTROSCOPIO:
El electroscopio consta de dos láminas delgadas de oro o aluminio que
están fijas en el extremo de una varilla metálica que pasa a través de
un soporte de ebonita, ámbar o azufre y se usa para la detección de la
carga eléctrica. Cuando se toca la bola del electroscopio con un cuerpo
cargado, las hojas adquieren cargas del mismo signo y se repelen
siendo su divergencia una medida de la cantidad de carga que ha
recibido. La fuerza de repulsión electrostática se equilibra con el eso
de las hojas.
Transporte de carga por inducción magnética
Generadores de cargas eléctricas
La máquina de Wimshurt ,
ejemplo de un generador
electrostático que trabaja
mediante la inducción.
Montaje experimental histórico, para
generación de alta tensión continua, no
peligrosa, para numerosos
experimentos sobre electrostática.
Accionamiento mediante manivela y
correa, distancia entre chispas
regulable, dos condensadores de alta
tensión (botellas de Leyden).
Diámetro: 310 mm
Distancia de chispas: máx. 120 mm
Dimensiones: aprox. 360x250x400 mm³
Peso: aprox. 3,4 kg
Vandergraff generator
• Van de Graaff inventó el generador que lleva su
nombre en 1931, con el propósito de producir una
diferencia de potencial muy alta (del orden de 20
millones de volts). Este es un generador de
corriente constante.
• El generador de Van de Graaff es muy simple,
consta de un motor, dos poleas, una correa o cinta,
dos peines o terminales hechos de finos hilos de
cobre y una esfera hueca donde se acumula la
carga transportada por la cinta.
A lo largo de este tema estudiaremos procesos en los que la
carga no varía con el tiempo. En estas condiciones se dice
que el sistema está en Equilibrio Electrostático.
Enunciado de la Ley de Coulomb
La fuerza ejercida por una carga puntual
sobre otra está dirigida a lo largo de la
línea que las une. Es repulsiva si las
cargas tienen el mismo signo y atractiva
si tienen signos opuestos. La fuerza varía
inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que separa las cargas
( 1/r²) y es proporcional al valor de cada
una de ellas.
3.5. LEY DE COULOMB
K = 8.9875.10٩ N.m²/C²
1 2
2
q qF k
r
Ley de Coulomb
r = vector unitario
r ^
2
21
r
qqkF
21
Fuerza repulsiva
Fuerza atractiva
r = distancia entre cargas
Expresión vectorial de la Ley de Coulomb :
2 121 2
21
ˆr
q qF k u
r
k: Constante de Coulomb, cuyo valor depende del sistema de unidades
y del medio en el que trabajemos.
En el vacío S.I. k = 9·109 N m2/C2
q1
q2
X
Z
Y
1r
2r
1221 rrr
21F
12Fˆru
ˆru
1 212 2
12
ˆr
q qF k u
r
2 1
2 1
ˆr
r ru
r r
2 12 121 3
21
( )q q
F k r rr
2 11 212 3
12
( )q q
F k r rr
Constantes auxiliares :
Permitividad del Vacío (eo): Se define de forma que
1 9 2 2k 8,988 . /
410
o
x N m Ce
eo= 8.854·10-12 C2/N m2
Si el medio en el que se encuentran las cargas es distinto al
vacío, se comprueba que la fuerza eléctrica es veces
menor, de esta forma se define la Permitividad del Medio
como e = eo.. Siendo la Constante Dieléctrica del Medio
Así,
e4
1'k
Principio de Superposición :
Si se tiene un sistema de cargas
eléctricasq1,q2,q3,..qi,qj,……qn ; distribuidas en
forma discreta como en la figura ; la fuerza entre
dos cargas cualesquiera es independiente de la
presencia de las otras cargas “Principio de
superposición” ,es decir las fuerzas se sobre
ponen “ sin molestarse “.La fuerza eléctrica sobre
( qi ) debido a las otras cargas se puede expresar
como :
donde : y
Finalmente la fuerza total en ( qi ) se determina
por :
1
i ij
n
j
F F
ij
i j
ri rjr
r r
2ˆ
ij
qiqjFij k rij
r
2 31 1
ˆ ( )n n
i jïj ij
j jij ij
q q qiqjFi k r k r
r r
ij i jr r r
Aplicaciones para distribuciones discretas :
1.-Calcular la fuerza eléctrica resultante y su
dirección ,sobre la carga q3 en el
sistema de cargas puntuales mostradas ;si :
q1=1μC,q2=-0,5μC ,q3=2μC y q4=-5μC.
1q2q
3q4q
0,5m 0,5m
0,5m
x
y
2.-Dos esferas pequeñas de masa m están
suspendidas de cuerdas de longitud (L),que están
suspendidas de un punto común. Una esfera tiene
carga (q) y la otra tiene (2q). Suponga que los
ángulos θ1 y θ2 que las cuerdas forman con la
vertical son pequeños.
a) Cómo están relacionados θ1 y θ2?.
b) Demuestre que la distancia (r) entre las esferas
es: 1/3
24
rk lq
mg
1 2
3.-Una pequeña cuenta de masa m y carga +q está restringida a
deslizarse sin fricción a lo largo de la barra delgada de longitud L. En
los extremos de la barra existe sendas cargas +Q fijas, como se
muestra en la figura.
a) Obtener una expresión para la fuerza eléctrica sobre la carga q
debido a las cargas Q en función de la distancia x, donde x es la
distancia medida desde el punto medio de la barra.
b) Demuestre que si x << L, la fuerza está dirigida hacia el centro de
la varilla y tiene una magnitud proporcional a x
c) Determine el período de la oscilación de la masa m si ésta se
desplaza ligeramente una pequeña distancia del centro de la barra
y luego se deja libre.
Aplicaciones :
4.-Dos carga puntuales idénticas +q están fijas en el espacio y
separadas una distancia (d ). Una tercera carga puntual −Q puede
moverse libremente y se encuentra inicialmente en reposo en un
bisector perpendicular de la línea que conecta las dos cargas fijas a
una distancia ( x ) de la línea.
a) Demuestre que si x << d, el movimiento de −Q es armónico simple
a lo largo del bisector .
b) Determine el período de ese movimiento.
c) Determine la velocidad de −Q cuando está justo en el punto
intermedio entre las dos cargas +q.
5.-Cuatro cargas puntuales idénticas cada una con carga q > 0 están fijas en
las esquinas de un cuadrado de lado L. Una quinta carga puntual Q < 0 está
a una distancia z del cuadrado, a lo largo de la línea que es perpendicular al
plano del cuadrado y que pasa por su centro.
a) Demuestre que la fuerza ejercida sobre la
carga Q por las otras cuatro cargas es:
b)Si z << L la expresión anterior se reduce a:
Porqué este resultado implica que el movimiento de (-Q ) es armónico simple
y cuál sería el período de este movimiento si ( - Q ) tiene masa m.?
4 ˆ3 / 2
22
2
kqzF k
Lz
ˆ( tan )F Cons te zk
6.-Calcular la fuerza total que se ejerce
sobre la carga –q y la fuerza sobre una
carga de + 1C ,situada en el centro del
cuadrado de la figura ; Si +q = |-q| = 10⁻⁸C, a=0,5m
q q
a
a
7.-Disponemos de tres cargas puntuales q1,q2,q3 ;(q1=+5.10⁻⁵C, q2=q3 = q1/2) ;sobre una circunferencia de radio 1m ,como indica la figura(α = π/6). a)Calcular la fuerza total ejercida sobre la carga q1. b)Calcular la fuerza total ejercida sobre una carga +1C en el centro de la circunferencia.
1q
2q3q
Ley De Coulomb Para Una Distribución Continua De Carga
q r
0( ) limq
L
q dqr
L dL
A)Distribución lineal: Decimos que un cuerpo presenta una distribución lineal de carga,
cuando sobre éste ha sido distribuida una carga en forma homogénea o heterogénea en toda su longitud ( ver figura ).
La densidad lineal de carga se expresa como la carga por unidad de longitud, esto es:
dqdq dl
dl
3
0
( )1
4
qQ r dLdF AP
AP
e
3
0
( )
4
q r dLQF dF AP
AP
e La fuerza eléctrica resultante sobre Q
debido a la distribución lineal .
dqdq ds
ds
B)Distribución superficial :
q r
0( ) limq
A
q dqr
A dA
Se dice que un cuerpo presenta una distribución superficial de carga, cuando sobre su superficie ha sido distribuida homogéneamente o heterogéneamente una carga q, con una densidad superficial de carga expresada como la carga por unidad de área esto es:
3
0
( )1
4
qQ r dAdF AP
AP
e
3
04
q
A
r dAQF dF AP
AP
e
La fuerza eléctrica resultante sobre Q debido a
la distribución superficial
dqdq dv
dv
C)Distribución volumétrica:
q r
0( ) limq
V
q dqr
V dV
Se dice que un cuerpo presenta una distribución volumétrica de carga, cuando sobre su volumen ha sido distribuida homogéneamente o heterogéneamente una carga q, con una densidad superficial de carga expresada como la carga por unidad de volumen ,esto es:
3
0
( )1
4
qQ r dVdF AP
AP
e
3
0
( )
4
q
V
r dVQF dF AP
AP
e La fuerza eléctrica resultante sobre Q
debido a la distribución volumétrica.
Aplicaciones para distribuciones continuas de carga:
1.-Una barra no conductora de longitud L
con una carga por unidad de longitud λ y
una carga total q está ubicado a lo largo
del eje x, como se muestra en la figura.
Determine, la fuerza eléctrica sobre una
carga puntual Q ubicada en el origen de
coordenadas
2.-La figura muestra un hilo infinito cargado
con una densidad de carga λ uniforme.
Inicialmente se coloca en reposo una
partícula cargada de masa m y carga Q en el
punto x = a, debido a la repulsión
coulombiana llega al punto x = 2a con una
velocidad v. a)Determine la fuerza electrica
sobre Q+.
b)Determine λ en función de m, Q y v.
Aplicaciones para distribuciones continuas de carga:
3.-Una cascara hemisférica dieléctrica tiene una
distribución de carga,
donde σ0 es constante y se expresa en C/m2.
Calcule la carga total que se encuentra en la
cascara hemisférica.
4.-Una barra delgada con una carga por unidad
de longitud λ, tiene la forma de un arco de
círculo de radio R. El arco subtiene un ángulo
total , simétrico alrededor del eje x como
se muestra en la figura. ¿Cuál es la fuerza
eléctrica sobre una carga puntual que se
encuentra en el origen de coordenadas?.
5.-Un anillo de radio R que se encuentra en el plano
yz posee una carga Q uniformemente distribuida en
toda su longitud. En el eje del anillo se encuentra
una carga puntual de masa m y carga –q0. (a)
Determine la fuerza eléctrica sobre la carga –q0
cuando ella se encuentra a una distancia x del centro
del anillo, (b) Demuestre que si x << R, la fuerza es
directamente proporcional a x y está dirigida hacia el
origen, (c) Demuestre que si se da a m un pequeño
desplazamiento en la dirección x, realizará un MAS
¿Cuál será la frecuencia con que oscila m?.
6.-Un sistema se compone de un disco de radio R
cargado con una densidad de carga
donde β es una constante y r es medido desde el
centro del disco y una carga puntual positiva q0
situada a una distancia z desde el centro.
Determine la fuerza que ejerce el disco sobre la
carga puntual.
CAP II. CAMPO ELÉCTRICO.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Líneas de campo eléctrico
de un dipolo eléctrico. Campo eléctrico de cargas
puntuales.
La interacción entre cargas eléctricas no se produce de
manera instantánea. El intermediario de la fuerza mutua
que aparece entre dos cargas eléctricas es el Campo
Eléctrico.
La forma de determinar si en una
cierta región del espacio existe un
campo eléctrico, consiste en
colocar en dicha región una carga
de prueba, qo (carga positiva
puntual) y comprobar la fuerza que
experimenta. 0
0 NEqFq
FE e
e
0
0
Las líneas de campo se dibujan de forma que el vector
sea tangente a ellas en cada punto. Además su sentido
debe coincidir con el de dicho vector.
E
Reglas para dibujar las líneas de campo
•Las líneas salen de las cargas positivas y entran en las negativas.
•El número de líneas que entran o salen es proporcional al valor
de la carga.
•Las líneas se dibujan simétricamente.
•Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas puntuales.
•La densidad de líneas es proporcional al valor del campo eléctrico.
•Nunca pueden cortarse dos líneas de campo.
1. LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO
EJEMPLOS DE LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO
Carga
puntual
Positiva
Dos cargas iguales
positivas
E
E
E
Dipolo
eléctrico
Q(-) y 2Q(+)
E
E
E
E
Dipolo eléctrico encerrado en
una superficie de forma arbitraria
Sistema de dos cargas iguales
Líneas de CE en un disco
cargado positivamente
E
Superficie de forma arbitraria que incluye las cargas
+2q y –q.
La fuerza eléctrica entre la
carga q y la carga de prueba
qo es repulsiva, y viene dada
por Coulomb:
2ˆ
o
oqq r
qqF k u
r
Se define la intensidad de campo eléctrico en
un punto( r ) como la fuerza por unidad de carga
positiva en ese punto.
oq
FE
2ˆ
r
qE k u
r
La dirección y sentido
del campo eléctrico
coincide con el de la
fuerza eléctrica.
Y X
Z
ˆ r
r
ru
Ecuación vectorial del campo Eléctrico: Carga Puntual
Donde :
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
I) Campo eléctrico creado por una distribución discreta
de carga en un punto:
A la hora de aplicar el principio de superposición debemos
tener en cuenta dos casos:
En este caso se calcula el campo eléctrico sumando
vectorialmente los campos eléctricos creados por cada una
de las cargas puntuales en el punto elegido.
2ˆ i
r
i ip
qE k u
r
1.-Cuatro cargas del mismo valor están
dispuestas en los vértices de un cuadrado de
lado L, como se muestra en la figura. Demostrar
que el campo eléctrico debido a las cuatro
cargas en el punto medio de uno de los lados
del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho
lado hacia la carga negativa y que su valor es:
Aplicaciones:
25
51
82
L
kqE
2.-Una carga puntual de 5 μC está localizada en x = 1 m, y = 3 m y
otra de – 4 μC está localizada en x = 2 m, y = -2 m. (a) Determine la
magnitud y dirección del campo eléctrico en x = -3 m, y = 1 m.
(b) Determine la magnitud y la dirección de la fuerza sobre un protón
en x = -3 m, y = 1 m.
Aplicaciones : 3.-Tres cargas puntuales q, −2q y q están ubicadas a lo
largo del eje x, tal como se muestra en la figura:
a)Demuestre que el campo eléctrico en el punto P a lo
largo del eje y para y >> a está dado por :
Esta distribución de carga, que básicamente, es la de dos
dipolos eléctricos recibe el nombre de cuadrupolo eléctrico.
Note que E varía con r⁻⁴ para el cuadrupolo, comparado
con la variación en r⁻3 para el dipolo y r⁻² para el monopolo
(carga puntual).
2
4
3ˆ
qE k ja
y
4.-Una esfera pequeña cargada de 1 gramo de masa
está suspendido de una cuerda ligera en presencia de
un campo eléctrico uniforme como se muestra en la
figura. Cuando , la esfera está en
equilibrio ,cuando θ= 37º ; determine: (a) la carga
en la esfera y (b) la tensión en el cable.
CNjiE /10).ˆ5ˆ3( 5
5.-Considere el dipolo eléctrico mostrado en la figura
a)Calcular el campo eléctrico E,en puntos situados en el
eje del dipolo entre las dos cargas .
b)Demuestre que si x >>>a,el campo eléctrico E en un
punto distante a lo largo del eje x está dada por:
c)Calcular el campo eléctrico E,en puntos de la bisectriz
del eje del dipolo .
34
x
qakE
x
a a
2a
6.-Un electrón penetra en un condensador plano paralelamente sus
láminas y a una distancia de 4 cm de la lámina cargada positivamente y
cuya longitud es de 15 cm. ¿Cuánto tiempo demora en caer el electrón en
dicha lámina, si la intensidad de campo eléctrico en el condensador es
igual a E = 500 V/m?. ¿Cuál es la velocidad mínima que debe tener el
electrón para que éste no llegue a caer sobre la lámina?.
Movimiento de una carga perpendicularmente a un campo eléctrico.
Un electrón es lanzado horizontalmente dentro de un campo uniforme producido por dos
placas cargadas ver figura. La partícula tiene una velocidad inicial
perpendicular al campo eléctrico
a) Mientras la partícula este entre las placas, ¿cuál es la fuerza sobre el electrón?.
b) ¿Cuál es la aceleración del electrón cuando este entre las placas?.
c) Las placas tienen una longitud L1 en la dirección x. ¿Cuál es el tiempo t1 que demora el
electrón en abandonar las placas?
d) Suponga que el electrón ingresa al campo eléctrico en el tiempo t = 0. ¿Cuál es la
velocidad del electrón en el tiempo t1 cuando abandona las placas?.
e) ¿Cuál es el desplazamiento vertical del electrón después de t1 cuando abandona las
placas?.
f) ¿Cuál es el ángulo θ1 con la horizontal cuando el electrón abandona las placas a t1?.
g) El electrón golpea la pantalla a una distancia L2 después de abandonar las placas en
un tiempo t2. ¿Cuál es el desplazamiento vertical total del electrón desde t = 0, hasta que
golpea la pantalla?.
ivv ˆ0
E
II) Campo eléctrico creado por una distribución continua
de carga en un punto:
dq
P
r
Q
En este caso dividimos la
distribución en pequeños
elementos diferenciales de
carga, dq, de forma que la
diferencial de campo eléctrico
que crea cada una de ellas es
2ˆ
r
dqdE k u
r
El campo eléctrico total
para toda la distribución
será :
2ˆ
r
dqE k u
r
dE
ˆru
Dependiendo de la forma de la distribución, se
definen las siguientes distribuciones de carga
dl
dq
Lineal
Campo eléctrico total es:
2ˆ r
L
dlE k u
r
2ˆ
r
dqdE k u
r
Diferencial de campo eléctrico
ds
dq
Superficial
Campo eléctrico total es:
2ˆ r
S
dsE k u
r
2ˆ
r
dqdE k u
r
Diferencial de campo eléctrico
dv
dq
Volumétrica
Campo eléctrico total es:
2ˆ r
v
dvE k u
r 2
ˆr
dqdE k u
r
Diferencial de campo eléctrico
Aplicaciones:
1.-Una línea de carga de longitud L está ubicada a lo largo del eje x como
se muestra en la figura y tiene una densidad de carga por unidad de
longitud que varía como , donde λ0 es una constante.
Determine el campo eléctrico en el origen de coordenadas.
Campo de una varilla con carga no
uniforme en el origen de coordenadas
d
dxx
)()( 0
2.-Campo de una varilla con carga uniforme
en puntos sobre el eje y .
Una barra no conductora de longitud L con una
densidad de carga uniforme λ y una carga total Q
está localizada a lo largo del eje x, como se
muestra en la figura. Determine el campo
eléctrico en el punto P, localizado a una distancia
y del eje que contiene a la barra.
3.- Campo de un arco de circunferencia con
carga no uniforme :
Un tubo delgado cargado positivamente tiene la
forma de un semicírculo de radio R, como se
muestra en la figura. La carga total sobre el
semicírculo es Q. sin embargo, la carga por unidad
de longitud a lo largo del semicírculo es no
uniforme y está dada por λ = λ0 Cosφ . Determine
el campo eléctrico en el centro del semicírculo .
4.-Campo de un anillo :
Un anillo no conductor de radio R con una
densidad de carga λ y una carga total Q está
localizado en el plano xy, como se muestra en la
figura. Determine el campo eléctrico en un punto
P, localizado a una distancia z desde el centro
del anillo a lo largo del eje de simetría
Aplicaciones :
5.-Calcular el campo eléctrico de
un hilo de longitud infinita ,con
densidad lineal de carga λ en el
punto (P) ,a una distancia(R), ver
figura .
P
6.-La figura muestra un anillo de carga
Q.λ distribuida en toda su longitud ,
siendo (a) el radio del anillo .Determinar:
a)El campo eléctrico en el eje del anillo a
una distancia(x) de su centro.
b)El punto donde el campo eléctrico es
máximo . c) Emax.Si Q=75μC,a=0,1m
Ejemplo 7: Hallar el Campo eléctrico creado por una
distribución uniforme de carga σ en forma de disco de
radio R, en el punto (P) de su eje a una distancia (x) .
r
dq
P dEx
dEy
X
x dE
El flujo eléctrico da idea del número de líneas de campo
que atraviesa cierta superficie. Si la superficie considerada
encierra una carga, el número de líneas que atraviesa dicha
superficie será proporcional a la carga neta.
E
sd
s
Flujo E ds
Para una superficie cerrada el flujo será
negativo si la línea de campo entra y positivo si
sale. En general, el flujo neto para una
superficie cerrada será :
s
sdE
6. FLUJO ELÉCTRICO
Para E no uniforme :
Flujo de Campo Eléctrico Uniforme a través de superficies arbitrarias
.E A cosEA
ˆA An
E
s
Flujo E ds
E variable
Superficies Esféricas Gaussianas
a)Carga puntual positiva
Flujo Positivo
b)Carga puntual negativa
Flujo Negativo
Ejemplo : Una carga puntual (q ) está situada en el centro de
una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de
campo eléctrico a través de dicha superficie.
q
ds
R
E
El campo eléctrico creado por una
carga puntual viene dado por
rur
qkE
2
En la superficie de la esfera se
cumple que r = R, luego
ruR
qkE
2
Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en
cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada
punto, por lo tanto
2 2 2
q q qE ds k ds k ds k s
R R R
El área de una superficie esférica viene dada por S =4R2, luego
2
24 R
R
q k
Flujo total : q k 4Independiente de R
Este teorema da una relación general entre el flujo de
campo eléctrico a través de una superficie cerrada y la
carga encerrada por ella.
Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie
esférica viene dado por
q k 4
Vamos a comprobar que este flujo es
independiente de la forma de la
distribución. Sólo depende de la
carga que haya en el interior.
7. TEOREMA DE GAUSS
q
s1 s2
s3
El flujo a través de la
superficie esférica es
o
q q k e
4
Como el número de líneas que atraviesan las tres
superficies es el mismo, se cumple que
321 “ Por lo tanto el flujo es independiente
de la forma de la superficie “.
Consideremos varias superficies
centradas en una esférica que
contiene una carga q.
I
II Supongamos ahora una carga q próxima a una
superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso
el número neto de líneas de campo que atraviesa
la superficie es cero (entran el mismo número de
líneas que salen), por lo tanto
0q
“El flujo a través de una superficie que no
encierra carga es nulo “.
Generalización de los resultados :
Para distribuciones de carga, ya sean discretas o
continuas, podemos aplicar el principio de superposición.
Ejemplo: S’
q1
q2
q3
S
S’’
o
q)S(
e
1
o
)qq()'S(
e
32
0 )''S(
o
intqsdE
e
Enunciado del Teorema de Gauss
El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie
gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre
dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío.
Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con
gran simetría.
Procedimiento para aplicar el teorema de Gauss
Dada una distribución
de carga, buscar una
superficie gaussiana
que cumpla estas
condiciones
E
paralelo a sd
en todos los puntos
de la superficie
E
constante
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene
dado por :
o
intqsdE
e
Si la superficie cerrada gaussiana cumple las
dos condiciones anteriores
s EdsEds EsdE
Por lo tanto : o
intqS
eE
S es el área de la superficie
gaussiana
qint es la carga encerrada en
dicha superficie
“ La ley de Gauss nos facilita el cálculo del Campo Eléctrico
con mayor facilidad “.
Aplicaciones:
1.-Flujo eléctrico de un campo variable a
través de un plano. (a) Determinar el flujo
eléctrico a través de una superficie
cuadrada de lado ,2l debido a una carga +Q
localizada a una distancia perpendicular l
desde el centro del plano como se muestra
en la figura .
2.-Flujo eléctrico a través de una superficie
cilíndrica
Un campo eléctrico vale para x > 0
y , para x < 0. Un cilindro circular
recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene
su centro en el origen y su eje está a lo largo del
eje x de modo que una de las caras está en x =
+10 cm y la otra x = -10 cm. (a) ¿Cuál es el flujo
saliente que atraviesa cada cara?. (b) ¿Cuál es el
flujo a través de la superficie lateral del cilindro?.
(c) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa toda la
superficie cilíndrica?.
iCNE ˆ)/200(
iCNE ˆ)/200(
Aplicaciones :
3.-Hallar el Campo eléctrico a una
distancia( r ) de una carga lineal
infinitamente larga de densidad de carga
uniforme ( λ ).
4.-Se tiene un cilindro aislante infinito de
radio ( R ) ;de densidad volumétrica de carga
( ρ ) ,que varía con el radio (r) ,como
ρ=ρo(a-r/b) ; donde ρo,a,b son constantes y
( r)es la distancia desde el eje del cilindro .
Calcular:
a) El campo eléctrico E ,para r< R
b) El campo eléctrico E ,para r>R
R
5.-Se tienen una lamina plana infinita
delgada ,cargada con una densidad superficial de carga σ ⁺(C/m²).
a)Hallar el campo Eléctrico en los
puntos cercanos al plano
Aplicaciones :
6.-Hallar el campo eléctrico debido a dos planos infinitos que tiene una distribución superficial de carga uniforme σ⁻( C/m² ) y σ⁺(C/m²) en su superficie
separadas una distancia (d) .
a)En la región entre los planos y
b)En la región exterior a los planos
Aplicaciones : 7.-Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm,
contiene carga uniformemente distribuida por todo su volumen
con una densidad de (4/π.10-5)C/m3. En su centro hay una esfera
conductora de 1 cm de radio cargada con -4 .10-9 C.
a) Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en
las siguientes regiones r<1, 1< r<3 , 3<r<5, r>5. Indíquese la
dirección y sentido del campo
b)Dibujar una gráfica de la intensidad del campo en función de la
distancia radial.
8.-Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco
están cargados. El primero tiene un radio de 2 cm y está
uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad
de 4/π 10-6 C/m3. El hueco de radio interior 5 cm y de radio
exterior 8 cm, es un conductor cargado con una carga por
unidad de longitud de -9 10-9 C/m.
a)Determinar, de forma razonada, la expresión del campo
eléctrico en las siguientes regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, r>8 cm.
b)Representar el campo en función de la distancia radial.
Aplicaciones:
9.-Una esfera de 8 cm de radio está cargada con una carga
uniformemente distribuida en su volumen de 1.152·10-9
C/m³. a)Determinar razonadamente la expresión del campo
eléctrico a una distancia ( r )del centro de la esfera cargada.
b)Calcular el vector campo eléctrico en el punto P (0, 6) cm
producida por dicha distribución de carga y otra carga
puntual Q = -2·10-9 C situada en el punto (12, 0) cm tal como
se muestra en la figura.
10.-Una placa plana, indefinida de 2 cm de espesor, está
uniformemente cargada, con una densidad de carga
superficial σ= 2 10-8 C/m².
a)Obtener razonadamente, la expresión del campo
eléctrico en el interior y en el exterior de dicha placa.
b)Representar el módulo del campo eléctrico en función de
la distancia a la placa.
Ejemplo 11:
Campo eléctrico para una corteza esférica: Un cascaron metálico delgado esférico de radio ( R ) posee una densidad
de cargada superficial uniformemente distribuida. Hallar :
a)El Campo eléctrico para r<R .
b)El campo eléctrico para r>R
c) Dibujar E=E ( r )
Superficie de
Gauss
Ejemplo 12: Campo eléctrico debido a una esfera
uniformemente cargada.(Esfera Maciza)
Determinar el campo eléctrico en puntos:
a)Fuera de la esfera ,r > R
b)Dentro de la esfera ,r < R
Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss
Forma diferencial de la ley de Gauss :
Aplicando al primer termino el Teorema de
Gauss de la Divergencia queda como:
Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y
esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:
Que es la forma diferencial de la Ley de
Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo
de desplazamiento eléctrico de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su
forma más general como :
Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver
problemas complejos de maneras relativamente sencillas.
Forma integral de la ley de Gauss
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga
puede escribirse de la manera siguiente:
Donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico,
es un elemento diferencial del área A sobre la cual se
realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del
área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es
la permitividad eléctrica del vacío.
Acelerador lineal de partículas
Irradiador
de cobalto
acelerador
de radiación
gamma γ
Mevatrón
Acelerador
lineal de
electrones
Acelerador lineal de partículas de alta energía
Microscopio Electrónico
y sus aplicaciones:
Peter Higgs
Ya desde hace una o dos semanas corrían rumores de que por
fin había sido detectado el legendario bosón de Higgs, la elusiva
partícula que faltaba descubrir para completar el modelo estándar de
la física de partículas. Hoy, 4 de julio de 2012, fue confirmado por el
CERN (Organización Europea para la Investigación Nuclear): Se
observó un nuevo estado a 125 GeV y al parecer es consistente con
el Bosón de Higgs, que hasta hoy era la única partícula predicha por
la teoría pero sin evidencia.
Si el rumor había existido semanas antes que la noticia era porque
los científicos del CERN seguían trabajando en descartar la
posibilidad de un error o una casualidad. Hoy también se anunció que
se detectó esta partícula en los dos experimentos centrales del Gran
Colisionador de Hadrones (Atlas y CMS) y se confirmó a 5
desviaciones estándares Sigma. En otras palabras, la certidumbre de
que en verdad encontraron una nueva partícula es del 99.99995%
Todavía está por verse si la nueva partícula es o no el
bosón de Higgs, pues hace falta comprobar si tiene un spin
de 0, aunque todos los indicios apuntan hacia una
respuesta afirmativa, que conmovería el mundo de la
ciencia en esta década. El bosón de Higgs, la mal llamada
partícula de Dios por los medios masivos, fue predicho
hace más casi 50 años para explicar la forma en que
ocurre el mecanismo de Higgs, el cual da masa a todas las
partículas. ¿Qué va a cambiar con este descubrimiento?
Casi nada tangible... por ahora. El modelo estándar se
fortalece, aunque ya es una de las teorías físicas mejor
cimentadas, y los físicos teóricos ahora podrán elegir con
más contundencia su campo de estudio. Ni fin del mundo ni
comprensión del Universo. Pero eso sí, Peter Higgs será el
ganador de Premio Nobel de Física por su descripción de
la partícula en 1964 ¿…….?.
La BBC entrevistó a Hawking este mismo día, quien se mostró a la vez
decepcionado y emocionado: "En parte es una pena porque los grandes avances
de la física han salido de experimentos cuyos resultados no esperábamos. Es por
eso que hice una apuesta con Gordon Kane , de la Universidad de Michigan, de
que no se encontraría la partícula de Higgs... Parece que acabo de perder 100
dólares
