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Página 1 de 21 - Resolução numérica de equações
CAP. II – RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver:
Equações algébricas (polinómios) não lineares;
Equações transcendentais – equações que envolvem funções
transcendentais, tais como ex, sin x, ln x.
DEFINIÇÃO (RAIZ DE UMA EQUAÇÃO OU ZERO DE UMA FUNÇÃO)
Um número z é uma raiz da equação f(x)=0 se f(z)=0.
Graficamente, a raiz real de uma equação f(x)=0 é o ponto onde a função f
“toca” o eixo dos xx.
x
y
ba
y=f(x)
raiz
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O cálculo numérico de uma raiz envolve duas fases:
2.1 LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES
Nesta secção é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). Vejamos um teorema que nos vai ajudar a localizar as raízes de uma equação, num dado intervalo:
Teorema 1:
Seja f(x) contínua em [a,b]. Se f é tal que f(a).f(b)<0, então f tem pelo menos uma raiz z em ]a,b[.
Se, para além disso, f’(x) existe e preserva o sinal dentro do intervalo ]a,b[ (isto é, f’'(x)>0 ou f’(x)<0 para a<x<b, então a raiz z é única.
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA:
1)
x
y
ba
y=f(x)
Fase I - Localização
Determinação de valores a e b de tal modo que a raiz z esteja
dontida num intervalo [a,b];
Fase II - Refinamento
Cálculo de uma sucessão x0, x1, x2, x3, x4, x5, ... de pontos do intervalo anterior, com lim xn = z; Objectivo: obter uma aproximação para z dentro de uma precisão ε prefixada.
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2)
GRAFICAMENTE
Método mais simples para isolar uma raiz.
Para isolar graficamente uma raiz, basta fazer o esboço do gráfico de f(x) e
ver em que ponto ou pontos a função intersecta o eixo dos xx.
TÉCNICA:
Se a equação em causa é f(x)=0, escreve-se f(x) na forma h(x)-g(x) e
traçam-se os gráficos de h(x) e de g(x). Um valor z é raiz da equação
f(x)=0 precisamente quando os gráficos anteriores se intersectam, isto é,
se h(z)=g(z) pois, neste caso: f(z)=h(z)-g(z)=0.
x
y
ba
y=f(x)
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EXEMPLO:
Considerar a função f(x)= ex - sinx -2.
Neste caso:
Sejam g(x)= ex e h(x)= sin(x)+2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
5
10
15
20
25
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2.2 REFINAMENTO DAS RAÍZES
O procedimento de um método iterativo para determinar a solução exacta z
de um problema pode, em linhas gerais, descrever-se do modo seguinte:
A aplicação do método requer o conhecimento de, em geral, uma
aproximação inicial x0 para a solução z.
Por meio de uma fórmula do tipo (fórmula de
iteração) é calculada uma sequência de aproximações (xk) para a solução.
Se são verificadas certas condições de convergência a solução procurada é
o limite desta sequência, i.e., kxk
z∞→
= lim , em que cada iteração xk está
mais perto da solução que a iteração anterior.
Assim, para se definir um processo finito de cálculo, xk pode ser tomada
como aproximação para z, i.e., kxz ≈ , e o erro kxz − é um erro de
truncatura que pode ser estimado.
2.3 CRITÉRIOS DE PARAGEM
Um método iterativo tem de terminar, necessariamente, num número finito
de passos. Assim, tornam-se necessários critérios de paragem que têm de
ser definidos, por forma a encontrar o resultado pretendido.
A decisão a tomar quanto ao critério de paragem deve ter em conta duas
situações:
1. a sequência de aproximações calculadas converge, com a rapidez
esperada, para a solução do problema e nessas condições o cálculo
xk = f ( xk-1 ), k=1,2,...
Página 6 de 21 - Resolução numérica de equações
termina após a determinação de uma aproximação com a precisão
pretendida;
2. a sequência de aproximações calculadas não converge para a solução
ou verifica-se que a convergência é demasiado lenta.
Na situação 1., se a diferença entre duas iterações consecutivas é pequena
(entendendo-se por pequena se for menor que um dado valor pré-definido)
não se justifica a continuação do cálculo de iterações. Podemos, então,
definir os seguintes critérios:
onde 0>ε é a precisão do erro admitida.
Para evitar desperdiçar tempo de cálculo no computador no caso da
situação 2., ou de uma escolha incorrecta de um valor para ε (escolhido no
critério de paragem da situação 1.), um outro critério de paragem deve ser
usado adicionalmente:
O cálculo de iterações é interrompido com a determinação de xk se,
sendo kmax o número máximo de iterações especificado.
0sendo
1
1
≠<−
<−
k xε, kx
k - xkx
ε k - xk x
ii)
i)
k = kmax
Página 7 de 21 - Resolução numérica de equações
2.4 MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
2.4.1 MÉTODO DA BISSECÇÃO
Seja f(x) uma função contínua em [a,b], onde [a,b] é um intervalo que
contém uma única raiz de f(x)=0, que denotamos por z.
O método da bissecção consiste em construir uma sequência de intervalos
com amplitude sucessivamente menor dentro dos quais existe a raiz
procurada, até à precisão pretendida.
GRAFICAMENTE:
z
y
b
a
y=f(x)
xo x1
Página 8 de 21 - Resolução numérica de equações
ANALITICAMENTE:
I0 = [a,b]
[ ]) ba, de médio ponto ( 2
bax0+
=
1ª iteração:
• se: f(a).f(x0) < 0, então z∈]a, x0[ e a1 = a, b1 = x0.
Neste caso, fazemos: 2
xa2
bax 0111
+=
+= e I1 = [a1,b1] = [a, x0] ;
• caso contrário, se f(x0).f(b) < 0, então z∈] x0, b [ e a1 = x0, b1 = a
e, neste caso, fazemos: 2
bx2
bax 0111
+=
+= e I1 = [a1,b1] = [
x0 , b] ;
• se nenhum dos casos anteriores acontecer então f(x0) = 0, logo z=x0.
2ª iteração:
• se: f(a1).f(x1) < 0, então z∈] a1, x1[ e a2 = a1, b2 = x1.
Neste caso, fazemos: 2
xa2
bax 11222
+=
+= e I2 = [a2,b2] = [a, x1] ;
• caso contrário, se f(x1).f(b1) < 0, então z∈] x1, b1 [ e a2 = x1, b2 = b1
e, neste caso, fazemos: 2
bx2
bax 11222
+=
+= e I1 = [a2, b2] = [x1, b1] ;
• se nenhum dos casos anteriores acontecer então f(x1) = 0, logo z=x1.
Página 9 de 21 - Resolução numérica de equações
O processo é repetido até que se obtenha uma aproximação para a raiz
exacta z, com uma precisão não superior a ε .
EXEMPLO:
Calcular a raiz da equação f(x)= x2 -3 = 0 para x [ ]2 ,1∈ , com ε ≤ 0.03.
Raiz exacta:
Raiz aproximada:
k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk) erro
0 1 2 1.5 -2 1 -0.75 -
1 1.5 2 1.75 -0.75 1 0.0625 0.25
2 1.5 1.75 1.625 -0.75 0.0625 -0.359 0.125
3 1.625 1.75 1.6875 -0.3594 0.0625 -0.1523 0.0625
4 1.6875 1.75 1.7188 -0.1523 0.0625 -0.0459 0.0313
5 1.7188 1.75 1.7344 -0.0459 0.0625 0.0081 0.0156
Página 10 de 21 - Resolução numérica de equações
CONVERGÊNCIA DO MÉTODO:
Este método gera uma sequência de intervalos I0, I1, I2, ... , Ik,... com
amplitude decrescente: I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ … ⊃ Ik ⊃ ...
existindo z, xk ∈ Ik , k=0,1,2,... , tal que f(z)=0.
Sendo w (Ik) a amplitude do intervalo Ik, tem-se que:
)(I w21 ... )w(I
21.
21)w(I
21)(I w 0k2-k1-kk ====
Como w (I0)=b-a, obtém-se:
.0)(I wlim e 2
a-b)(I w kkkk ==
∞→
TEOREMA 2:
Seja f uma função contínua em [a,b] que satisfaz f(a).f(b)<0.
Seja xk o ponto médio do intervalo Ik gerado pelo método da bissecção.
Então,
ESTIMATIVA DO ERRO
Se z ∈ Ik = ]ak, bk[ , i.é, ak < z < bk , então ak – xk < z – xk < bk – xk ,
e se 2
bax kkk
+= obtém-se
2abxz
2ab kk
kkk −
<−<−
− .
Donde, ( )2Iw
2ab
xz kkkk =
−<− .
] [ zxlim e 0f(z) que tal b a, z k
==∈∃∞→
k
Página 11 de 21 - Resolução numérica de equações
Assim, para determinar uma aproximação para uma raíz com erro ε, o
método iterativo é interrompido imediatamente após o cálculo do intervalo
Ik se metade da sua amplitude não excede ε, i.é, ( ) ε2Iw
<k .
ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES (k)
Prova-se que:
Número mínimo de iterações k para determinar a raiz aproximada com um
erro não superior a ε : 1(2)
) /a-(bk −≥ ln
nl ε k +Ζ∈∧
PROPRIEDADES DE CONVERGÊNCIA
Dada uma equação f(x)=0 desde que se conheça um intervalo [a, b] ⊂ IR
onde f é contínua e tal que f(a).f(b)<0, é possível aplicar o método da
bissecção para calcular um intervalo tão estreito quanto se queira, contendo
uma raiz da equação.
Como não há restrições sobre a amplitude do intervalo inicial e portanto
sobre a distância dos extremos do intervalo inicial à raiz, o método da
bissecção é globalmente convergente.
2
ab 2
)w(I xx 1kk
1-kk εεε ≤−
⇔≤⇔≤− +
Página 12 de 21 - Resolução numérica de equações
2.4.2 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO ( OU DO PONTO FIXO )
Seja f(x) uma função contínua em [a,b], onde f tem uma única raiz z no
intervalo [a, b].
O método da falsa posição consiste em, cada iteração, dividir o intervalo
[ak, bk] num ponto xk+1 :
( ) ( )( ) ( )kk
kkkk1k afbf
afbbfax−−
=+ (A)
correspondente à intersecção com o eixo dos xx da recta que passa pelos
pontos (ak, f(ak)) e (bk, f(bk)). É de notar que sendo f(ak).f(bk)<0 se tem que
xk+1∈ ]ak, bk[. Na iteração seguinte é utilizado o subintervalo ]ak, xk+1[ se
f(ak).f(xk+1)<0 ou o subintervalo ]xk+1, bk[, se f(xk+1).f(bk)<0.
GRAFICAMENTE:
Página 13 de 21 - Resolução numérica de equações
ANALITICAMENTE:
• A equação da recta do tipo y - y0 = m.(x - x0), que passa pelos pontos
(ak, f(ak)) e (bk, f(bk)), com x0 = ak e fazendo x = xk+1, é dada por:
( ) ( )k1kkk
kkk ax
ba)f(b)f(aafy −
−−
=− +
A intersecção da recta anterior com o eixo dos xx origina o ponto (xk+1, 0),
donde:
( )kkkk
kk1k ba
)f(b)f(a)f(aa x −
−−=+ (B)
( ) ( )( ) ( )kk
kkkk1k afbf
afbbfa x−−
=⇔ + (A)
• A equação da recta do tipo y - y0 = m.(x - x0), que passa pelos pontos
(ak, f(ak)) e (bk, f(bk)), com x0 = bk e fazendo x = xk+1, é dada por:
( ) ( )k1kkk
kkk bx
ab)f(a)f(bbfy −
−−
=− +
A intersecção da recta anterior com o eixo dos xx origina o ponto (xk+1, 0),
donde:
( )kkkk
kk1k ab
)f(a)f(b)f(bbx −
−−=+ (C)
( ) ( )( ) ( )kk
kkkk1k afbf
afbbfa x−−
=⇔ + (A)
Página 14 de 21 - Resolução numérica de equações
CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO
Os teoremas seguintes estabelecem condições suficientes para a
convergência do método da falsa posição.
TEOREMA 3:
Sejam f e f ' contínuas no intervalo [a,b]. Se i) f(a).f(b) < 0
ii) f '(x) ≠ 0, (mantém o sinal), x ∈ [a,b]
então a sucessão de aproximações gerada pelo método da falsa posição
converge para z, único zero de f em [a,b].
TEOREMA 4:
Sejam f, f 'e f ''contínuas no intervalo [a,b]. Se i) f(a).f(b) < 0
ii) f '(x) ≠ 0, (mantém o sinal), x ∈ [a,b],
iii) f ' '(x) ≠0, (mantém o sinal), x ∈ [a,b],
então,
1) a sucessão de aproximações gerada pelo método da falsa posição
converge monotonamente para z, único zero de f em [a,b]
e, além disso,
2) um dos extremos do intervalo [a, b] é fixo, ao longo das iterações, tendo-se
( )cxf(c))f(x)f(xxx k
k
kk1k −
−−=+
com c = a ou c = b, tal que, f(c).f ' '(c) > 0.
Página 15 de 21 - Resolução numérica de equações
Ao impormos a condição iii) no teorema 4, isto é, que a função f mantém a
concavidade em [a, b] ( f convexa para f ’’(x)>0, côncava para f ’’(x)<0 ),
estamos a restringir o método da posição falsa aos 4 casos seguintes:
CASO 1: f ’’(x)>0, f(a)<0 e f(b)>0
Da equação (B), para k=0, temos ( )00
00
001 ba
)f(b)f(a)f(aa x −
−−=
Fazendo a0 = x0 e mantendo b0 fixo, f(b0) > 0, obtemos
( )0000
001 bx
)f(b)f(x)f(xx x −
−−=
mas, f(x1) < 0 [ ]01101 b,xI 0)f(b)f(x =⇒<⋅⇒ e,
( )0101
112 bx
)f(b)f(x)f(xx x −
−−=
mas, f(x2) < 0 [ ]02102 b,xI 0)f(b)f(x =⇒<⋅⇒ e por indução,
temos que ( )0k0k
kk1k bx
)f(b)f(x)f(xx x −
−−=+ , isto é,
( )cxf(c))f(x)f(xx x k
k
kk1k −
−−=+ , com c = b0 tal que ( ) ( ) 0cfcf >′′⋅
x1 a0=x0 x2 z b0
fixo
Página 16 de 21 - Resolução numérica de equações
CASO 2: f ’’(x)>0, f(a)>0 e f(b)<0
Da equação (C), para k=0, temos ( )00
00
001 ab
)f(a)f(b)f(bb x −
−−=
Fazendo b0 = x0 e mantendo a0 fixo, f(a0 ) > 0, obtemos
( )0000
001 ax
)f(a)f(x)f(xx x −
−−=
mas, f(x1) < 0 [ ]10110 x,aI 0)f(x)f(a =⇒<⋅⇒ e,
( )0101
112 ax
)f(a)f(x)f(xx x −
−−=
mas, f(x2) < 0 [ ]20220 x,aI 0)f(x)f(a =⇒<⋅⇒ e por indução,
temos que ( )0k0k
kk1k ax
)f(a)f(x)f(xx x −
−−=+ , isto é,
( )cxf(c))f(x)f(xx x k
k
kk1k −
−−=+ , com c = a0 tal que ( ) ( ) 0cfcf >′′⋅
x1 x0=b0 x2 z a0
fixo
Página 17 de 21 - Resolução numérica de equações
CASO 3: f ’’(x)<0, f(a)<0 e f(b)>0
Este caso 3 é semelhante ao caso 2:
Da equação (C), para k=0, temos ( )0000
001 ab
)f(a)f(b)f(bb x −
−−=
Fazendo b0 = x0 e mantendo a0 fixo, f(a0 ) < 0, obtemos
( )0000
001 ax
)f(a)f(x)f(xx x −
−−=
mas, f(x1) > 0 [ ]10110 x,aI 0)f(x)f(a =⇒<⋅⇒ ,
e por indução,
temos que ( )0k0k
kk1k ax
)f(a)f(x)f(xx x −
−−=+ , isto é,
( )cxf(c))f(x)f(xx x k
k
kk1k −
−−=+ , com c = a0 tal que ( ) ( ) 0cfcf >′′⋅
x1
a0 fixo
x2 z x0=b0
Página 18 de 21 - Resolução numérica de equações
CASO 4: f ’’(x)<0, f(a)>0 e f(b)<0
Este caso 4 é semelhante ao caso 1:
Da equação (B), para k=0, temos ( )0000
001 ba
)f(b)f(a)f(aa x −
−−=
Fazendo a0 = x0 e mantendo b0 fixo, f(b0) < 0, obtemos
( )0000
001 bx
)f(b)f(x)f(xx x −
−−=
mas, f(x1) > 0 [ ]01101 b,xI 0)f(b)f(x =⇒<⋅⇒ e,
( )0101
112 bx
)f(b)f(x)f(xx x −
−−=
e por indução,
temos que ( )0k0k
kk1k bx
)f(b)f(x)f(xx x −
−−=+ , isto é,
( )cxf(c))f(x)f(xx x k
k
kk1k −
−−=+ , com c = b0 tal que ( ) ( ) 0cfcf >′′⋅
EXEMPLO:
Calcular a raiz da equação f(x)= x2-3=0 para x [ ]2 ,1∈ , com ε ≤ 0.03.
x1
b0 fixo
x2 z x0=a0
Página 19 de 21 - Resolução numérica de equações
2.4.3 MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
Sejam f, f ', f '' contínuas em [a,b] e z raiz única da equação f(x)=0,
em [a, b].
O método de Newton consiste em, obter o valor de xk+1 como a intersecção
da tangente à curva de f no ponto (xk, f(xk)) com o eixo dos xx .
GRAFICAMENTE:
ANALITICAMENTE:
Escrevendo f em série de Taylor em torno de z, obtemos:
f(z) ≈ f(x0) + (z-x0) f '(x0) ( x0∈[a,b] )
Mas f(z)=0, donde
f(x0) + (z-x0) f '(x0) ≈ 0 ⇔
A relação anterior é a base da fórmula de recorrência do método de Newton:
xk+1 • z
y
xk
y=f(x)
)(xf)f(xx
0
00 '−≈z
Página 20 de 21 - Resolução numérica de equações
CONVERGÊNCIA DO MÉTODO:
ESTIMATIVA DO ERRO
Uma estimativa para o erro da aproximação xk para z:
CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO
O método de Newton (método da tangente) é localmente convergente, i.é,
para se verificar convergência, é necessário que a aproximação inicial x0
esteja suficientemente próxima da raiz z.
O teorema seguinte estabelece condições suficientes para a convergência
do método de Newton-Raphson.
TEOREMA 5:
Sejam f, f ', f '' contínuas no intervalo [a,b].
Se
i) f(a).f(b) < 0
ii) f '(x) ≠ 0, (mantém o sinal), x ∈ [a,b],
iii) f ' ' (x)≠ 0, (mantém o sinal), x ∈ [a,b],
iv) a aproximação inicial, extremo favorável, é x0 = a ou x0 = b,
onde f(x0). f ' ' (x0) > 0
então a sequência gerada pelo método de Newton converge para z, único
zero de f em [a,b].
As condições i) e ii) garantem que existe uma única raiz no intervalo [a,b];
)(xf)f(xxx
k'
kk1k −=+ Fórmula de recorrência
| z – xk | ≈ | xk – xk-1|
Página 21 de 21 - Resolução numérica de equações
A condição iii) estabelece que f mantém a concavidade em [a,b] e além
disso, em conjunto com a condição ii), implica que f é monótona em [a, b];
A condição iv) diz que a tangente à curva quer em a quer em b intersecta o
eixos dos xx dentro do intervalo [a, b].
ORDEM DE CONVERGÊNCIA
O método de Newton tem ordem de convergência igual a 2, i.é,
convergência quadrática.
EXEMPLO:
Calcular a raiz da equação f(x)= x2-3=0 para x [ ]2 ,1∈ , com ε ≤ 0.03.