c.a.p. Isaia Clemente

Corso di Progetto di Strutture - a.a. 2010/11 dott. ing. Isaia Clemente

Aprile 2011 v. 5.0 - Pag. 6.1 -

6. ELEMENTI STRUTTURALI IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO

Elementi strutturali in Cemento Armato Precompresso

Corso di Progetto di Strutture - a.a. 2010/11 - Pag. 6.2 -

6.1. Generalit Le strutture in Cemento Armato Precompresso, dette comunemente in c.a.p., sono caratterizzate dalla presenza permanente di particolari coazioni, azioni artificiali esterne di compressione, oltre ai carichi esterni applicati. Uno stato di coazione per definizione uno stato di sollecitazione interno al quale non corrisponde alcun sistema di forze esterno.

Esempi di coazioni applicate su strutture sono certamente:

- Distorsione termica impedita: si prenda una trave incastrata ai due estremi soggetta ad una variazione di temperatura uniforme T. Poich la trave incastrata la deformazione risulta essere impedita con la conseguente nascita di forze interne, che possono essere facilmente determinate immaginando prima di deformare la trave e poi di ripristinare la congruenza, riportando la trave nella posizione originale. Questultima operazione comporta lapplicazione di una forza normale che annulla completamente lallungamento L dovuto alla variazione di temperatura.

- Il ritiro del calcestruzzo: nelle travi in cemento armato tale fenomeno, se impedito, produrrebbe uno stato di coazione simile ad una diminuzione di temperatura con conseguente nascita di uno stato di trazione.



Nel Cemento Armato Precompresso c.a.p. le coazioni artificiali impresse hanno lo scopo di migliorare il comportamento della struttura in fase di esercizio, contenendo la deformabilit ed impedendo (o limitando) la fessurazione della trave. Infatti, la presenza di una sollecitazione artificiale di segno opposto a quello dovuto ai carichi applicati comporta tensioni risultanti minori di quelle che si avrebbero se ci fossero solamente carichi applicati. Generalmente la coazione una compressione permanente che permette di ottenere una sezione resistente completamente reagente, di rigidezza mediamente doppia di una sezione fessurata. Lo stato di coazione viene impresso mediante acciai di elevate caratteristiche meccaniche.



Quando la pressollecitazione induce nella sezione solo tensioni di compressione (precompressione completa) il calcolo allo stato limite di servizio diventa molto semplice, in quanto i metodi di calcolo da adottare sono quelli classici della Scienza delle Costruzioni, cio con sezione interamente reagente. In questa condizione vale la sovrapposizione degli effetti: la precompressione ed i carichi esterni si sommano per ottenere lo stato di sollecitazione finale.

La verifica in generale consiste in: p adm Occorre osservare per che mentre la sovrapposizione degli effetti del tutto lecita, il principio di proporzionalit viene meno.

11 1

11 2 1

E22 2E

1 01 1

1 01 2 1

E22 2

E



In tal senso il metodo delle T.A. non pu essere considerato valido anche ai fini della verifica a rottura. Nel cemento armato precompresso occorre effettuare le verifiche in ogni fase della vita della struttura e poter valutare singolarmente ogni contributo agli sforzi interni, facilita tali operazioni. Vantaggi: - disponendo i cavi nella posizione opportuna si riesce ad annullare o quanto meno a ridurre

notevolmente gli effetti dei carichi esterni;

- si ha lannullamento o la riduzione delle tensioni di trazione nel calcestruzzo. Questo fa si che tutto il materiale reagisca permettendo cos sensibili riduzioni di sezione a parit di carichi esterni rispetto a travi in c.a ordinario;

- gli sforzi di compressione vengono anchessi notevolmente ridotti per la presenza di maggiore area resistente a compressione;

- sensibile riduzione delle tensioni principali di trazione dovute al taglio; - sensibile riduzione degli effetti del ritiro. Daltronde il fenomeno del ritiro tende a diminuire

lo stato di compressione contribuendo a diminuire il benefico effetto della precompressione;



- un elemento o una struttura in c.a.p. nelle varie fasi di costruzione sottoposto di fatto a severi collaudi che garantiscono lopportuna resistenza anche livelli di tensione che normalmente non vengono mai pi raggiunti in fase di esercizio ma comunque presenti nelle fasi intermedie (ad esempio nella fase di precompressione);

- la tecnica della precompressione pu essere applicata anche ad altre tipologie costruttive, quali le strutture miste acciaio-calcestruzzo e le stesse strutture metalliche.

Svantaggi: - malgrado la semplicit concettuale dei calcoli, la progettazione delle opere in c.a.p. richiede

consapevolezza e senso di responsabilit ancora maggiori rispetto alle normali opere in c.a.; la tecnica della precompressione richiede un alto livello di specializzazione delle imprese costruttrici e delle maestranze. Si pensi alle operazioni di messa in trazione dei cavi, operazione che richiede luso di martinetti idraulici o alle operazioni di ancoraggio dei cavi che richiede particolari tecnologie che verranno esaminate in seguito;

- le costruzioni in c.a.p. devono essere realizzate con materiali pi resistenti e dunque pi costosi, infatti lacciaio utilizzato deve essere in grado di sviluppare grandi deformazioni (allungamenti) in campo elastico, cio possedere un elevato limite elastico.



Lazione precompressione del cls dovuta allallungamento delle barre di pressollecitazione che, una volta rilasciate, creano un accorciamento del calcestruzzo: maggiore la contrazione del cls, maggiore la tensione di compressione nello stesso.

In realt non viene sfruttato tutto lallungamento imposto alle armature, in quanto una buona parte viene persa per effetto dei seguenti fenomeni:

- ritiro del calcestruzzo; - deformazione viscosa del cls: in condizione di carico

costante, scontata una prima deformazione elastica, si ha anche una deformazione viscosa (aumento della deformazione nel tempo a carico costante); questo fenomeno avviene in un periodo temporale di qualche mese;

- rilassamento delle armature di pressolecitazione: diminuzione nel tempo della forza necessaria a mantenere una determinata deformazione, cio diminuzione del modulo elastico. Al contrario della deformazione viscosa, il fenomeno avviene nei primi giorni.



Queste perdite vengono dette Perdite Differite di pressollecitazione e vengono ridotte imponendo elevate deformazioni elastiche iniziali dellacciaio.

In conclusione per ottenere un certo effetto bisogna tirate pi del previsto, per scontare tutte le perdite.



6.2. Materiali 6.2.1. Il calcestruzzo

Il calcestruzzo impiegato nelle strutture in c.a.p. si differenzia da quello usato nel c.a. solamente per una resistenza pi elevata, ci perch deve essere associato ad acciai di elevata resistenza e perch nella fase di pressollecitazione i livelli di tensione raggiungibili possono essere estremamente elevati. Secondo il D.M. 14/01/2008, la classe minima di resistenza per le strutture in c.a.p. C28/35, mentre per il D.M.1996 era il Rck=30 MPa (max Rck=55)

A differenza del c.a., nelle strutture in c.a.p sono ammesse le trazioni (precompressione limitata), a patto di prevedere idonea armatura diffusa in grado di riprendere tale trazione.



Resistenza a compressione a lungo termine in esercizio (SLE):

Le massime tensioni normali di compressione c, in esercizio a cadute di tensione avvenute, devono rispettare la seguente limitazione (D.M.2008):

c ck

c ck

ck

0.60f per la combinazione caratteristica (rara)0.45f per la combinazione quasi permanente

f resistenza caratteristica del cls a 28gg

Per spessori di calcestruzzo inferiori a 50mm, i valori vanno ulteriormente ridotti del 20%. Resistenza a compressione iniziale in esercizio (SLE):

Allatto della tesatura, quindi della precompressione, le massime tensioni normali di compressione c, iniziale, devono rispettare la seguente limitazione (D.M.2008):

c ckj ckj0.70f f resistenza caratteristica del cls al j-esimo giorno

Solo nella zona di ancoraggio delle armature si possono tollerare compressioni locali c prodotte dagli apparecchi di ancoraggio pari a:

c ckj0.90f



Valutazione della resistenza cilindrica nel tempo:

Per la valutazione della resistenza cilindrica del cls allatto della precompressione, che avviene in genere per un tempo diverso dai 28gg di maturazione richiesti dalla norma, si pu adottare la seguente formulazione (Ceb-Fip Model Code 1990):

28ggs 1t

cm cmf (t) f (28gg) e

dove:

- s un coefficiente che dipende dal tipo di cemento: s = 0.20 per cls a presa rapida ed alta resistenza s = 0.25 per cls a resistenza normale e a presa rapida s = 0.38 per cls a presa lenta

- t il tempo di carico;

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

fcmj / fcm

gg

28 gg

- fcm(28gg) la resistenza cilindrica a 28 giorni



Resistenza a trazione a lungo termine in esercizio (SLE)::

Nel nuovo D.M. 14/01/2008 non viene citata la resistenza a trazione, mentre le precedenti normative (D.M. 2005 e D.M. 1996) riportavano: In ambienti moderatamente/poco aggressivi, sono ammesse tensioni normali di trazione t, in esercizio a cadute di tensione avvenute, che devono rispettare la seguente limitazione:

t ck

ctkt m,c

m,c

0.07f D.M. 1996f D.M. 2005 con riportato in Tab 5.1-XII

Resistenza a trazione iniziale in esercizio (SLE)::

Analogamente, le precedenti normative (D.M. 2005 e D.M. 1996) riportavano: sono ammesse tensioni di trazione fino a 0,10 fckj fermo restando l'obbligo di disporre armature metalliche che assorbono l'intera risultante delle trazioni. Nelle travi ad armature pretese sono ammesse tensioni di trazione iniziali pari a 0,05 fckj, senza aggiunta di armatura sussidiaria, purch l'armatura pre-tesa sia ben diffusa nella zona soggetta a trazione. In fasi intermedie e transitorie della costruzione consentito superare nel conglomerato cementizio il limite a trazione innanzi stabilito, purch le fasi successive provochino l'annullamento dello stato di trazione.



6.2.2. Gli acciai da precompressione Per il cemento armato precompresso vengono utilizzati acciai ad alta resistenza (acciai armonici), che presentano pertanto elevati valori di allungamento al limite elastico, necessari per contenere le perdite. Essi presentano comportamento altamente fragile caratterizzato da una elevata resistenza in assenza o quasi di snervamento.

Per tale motivo si adotta la convenzione di utilizzare il valore della tensione allo 0.2% di deformazione residua o all1% di deformazione sotto carico in sostituzione della tensione di snervamento. Tale tipologia di acciai pu arrivare a resistenze dellordine di 1500-1800 MPa.

Acciaio da c.a.p.

Acciaio da c.a.



Confrontando questi valori con quelli dellacciaio da c.a. (540 MPa circa), si osserva una resistenza superiore di 23 volte. Tale aumento di resistenza si ottiene principalmente con i seguenti provvedimenti:

- aumento della percentuale di carbonio (circa 0.6% contro i 0.2% delle barre da c.a.); - aggiunta di elementi, quali manganese, silicio, vanadio o cromo;

- incrudimento mediante lavorazione a freddo (trafilatura): nel caso dei fili si opera una trafilatura che prevede tensioni longitudinali di trazione e trasversali di compressione;

- trattamenti termici di tempra seguiti da rinvenimento. In realt spesso questi trattamenti vengono combinati assieme per far triplicare la resistenza, ci fa comprendere il perch questi acciai non sono saldabili, sono molto sensibili alle alte temperature di un incendio, sensibili alla corrosione.



Gli acciai da c.a.p. sono disponibili sotto forma di fili, trecce, trefoli e funi generalmente forniti in rotoli o bobine, barre in fasci. I fili

nom = 210mm

I fili, o vergella, sono un prodotto laminato si sezione piena, generalmente fornito sottoforma di rotoli. I fili possono essere tondi o di altre forme; vengono individuati mediante il diametro nominale e non presentano snervamento. Non consentito limpiego di fili lisci nelle strutture precompresse ad armature pre-tese. Ciascun rotolo di filo liscio, ondulato o con impronte deve essere esente da saldature.

Le trecce

Una treccia costituita da 2 o 3 fili avvolti ad elica intorno al loro comune asse longitudinale; passo e senso di avvolgimento dellelica sono eguali per tutti i fili della treccia;

I Trefoli

Un trefolo costituito da pi fili avvolti ad elica intorno ad un filo rettilineo completamente ricoperto dai fili elicoidali. Il passo ed il senso di avvolgimento dellelica sono uguali per tutti i fili di uno stesso strato.



Le Funi

Le funi sono costituite da un gran numero di fili organizzati in vario modo. Le funi sono generalmente utilizzate per gli apparecchi di sollevamento, come ascensori, montacarichi ed impianti a fune, e non per il cemento armato precompresso.

Le Barre

La barra da c.a.p. un prodotto laminato di sezione piena, forniti soltanto in forma di elementi rettilinei e piuttosto rigidi. Le barre possono essere lisce, a filettatura continua o parziale, con risalti; vengono individuate mediante il diametro nominale.



Gli acciaio da c.a.p. devono presentare le seguenti caratteristiche meccaniche secondo il D.M. 14.01.2008:



Resistenza a trazione in esercizio (SLE):: La tensione massima sp in esercizio a perdite avvenute di una armatura da c.a.p. di tipo pre-teso o post-teso, tenendo conto di tutte le sollecitazioni agenti, pari a:

sp p,(0.1),k p,(1),k p,y,k0.80 (f ; f ; f ) dove: fp,(0.1),k la tensione di trazione caratteristica allo 0.1% di deformazione residua; fp,(1),k la tensione di trazione caratteristica al 1% di deformazione; fp,y,k la tensione di trazione caratteristica allo snervamento; La tensione massima iniziale spi allatto della tesatura di una armatura da c.a.p. di tipo pre-teso, pari a:

p,(0.1),k p,(1),k p,y,kspi

p,t ,k

0.90(f ; f ; f )min pre-teso

0.80 f

Nel caso di armatura di tipo post-teso, pari a:

p,(0.1),k p,(1),k p,y,kspi

p,t ,k

0.85(f ; f ; f )min post-teso

0.75 f

ammessa per ciascuna tipologia una sovratensione non superiore a 0.05 fp,(0.1),k



6.3. La tecnologia della precompressione 6.3.1. Grado di precompressione Gli elementi in cemento armato precompresso possono essere classificati in base a diversi aspetti; una prima classificazione riguarda il grado di precompressione: 1. Cemento Armato Precompresso COMPLETO: la coazione di compressione iniziale tale da

annullare le trazioni in tutte le configurazione di sollecitazione.

2. Cemento Armato Precompresso NORMALE: nella configurazione di sollecitazione finale sono presenti limitate tensione nel cls.

3. Cemento Armato Precompresso PARZIALE: la coazione di compressione iniziale non tale da annullare tutte le trazioni, che devono essere riprese dalla armatura ordinaria del c.a., detta armatura lenta.

4. Cemento Armato NORMALE: assenza di coazione di compressione iniziale, devono essere disposte le armature da c.a., per riprendere tutte le trazioni.



6.3.2. Precompressione interna, esterna o mista 1. Precompressione INTERNA:

E la tecnica maggiormente utilizzata, la quale prevede lapplicazione della precompressione con cavi interni, cio con cavi immersi nel getto di calcestruzzo. A seconda che il cavo sia teso prima o dopo lindurimento del getto di cls si parla di pre-tensione o post-tensione;

2. Precompressione ESTERNA:

In questo caso il cavo passa esternamente alla sezione. Ha il vantaggio di avere cavi sempre ispezionabili e, se il caso, possono essere ri-tesati o addirittura sostituiti. Si evita inoltre di avere getti difficoltosi normalmente tali per le esigue dimensioni delle nervature. I cavi esterni hanno per lo svantaggio di non avere riserve dovuta alladerenza e di essere soggette maggiormente alla corrosione. Tale tecnica viene generalmente utilizzata in ponti a conci prefabbricati.



3. Precompressione MISTA: La precompressione mista viene in genere realizzata con precompressione interna a livello di soletta inferiore e superiore e una precompressione esterna applicata a livello delle nervature verticali che possono essere cos progettate con spessori minori essendo il getto meno difficoltoso. Esistono anche soluzioni con cavi interni non iniettati (protetti in stabilimento) che hanno il vantaggio di poter essere ri-tesati e/o sostituititi.

6.3.3. Precompressione a fili aderenti o ad armatura pre-tesa una tecnica di precompressione interna, tipica della prefabbricazione industrializzata eseguita in stabilimento, che prevede i cavi immersi nel getto di calcestruzzo ed trasferimento della forza per aderenza.



Fase III: Eseguito il getto e raggiunto cos unopportuna caratteristica di resistenza del cls, i fili vengono tagliati in corrispondenza delle sezioni terminali dellelemento.

I fili non pi tesi tenderanno ad accorciarsi, fenomeno al quale si oppone il cls che di conseguenza risulta essere luogo di uno stato di coazione (precompressione). Si osservi che a questo punto i cavi presentano una sollecitazione di trazione inferiore a quella iniziale, perch anchesse si sono accorciate con il calcestruzzo di

Fase I: si dispongono i cavi (trecce e trefoli) di precompressione allinterno del cassero prima del getto nella posizione voluta, tesati con uno o due martinetti idraulici vincolati a due blocchi di ancoraggio solidali con il terreno; Fase II: la trazione voluta viene mantenuta per il tempo necessario ad effettuare il getto di calcestruzzo e per realizzarne la presa e lavvio del suo indurimento.



6.3.4. Precompressione a cavi scorrevoli o ad armatura post-tesa Questa tecnica di precompressione pu essere sia interna che esterna e consiste principalmente nel mettere in tensione un cavo (treccia o trefolo) libero di scorrere in una guaina allinterno o esterno dellelemento gi gettato. In questo caso il trasferimento della forza avviene alla testata del manufatto. Le fasi sono le seguenti: Fase I: si prepara la cassaforma con allinterno i cavi contenuti entro guaine (quindi liberi di

scorrere) ed i dispositivi di fissaggio; si esegue il getto del manufatto; in alcuni casi, vengono inserite solamente le guaine, infilando in un secondo momento i cavi.



Fase II: a getto avvenuto ed al raggiungimento delle opportune caratteristiche meccaniche del calcestruzzo (resistenza necessaria ad assorbire in sicurezza le coazioni imposte), i cavi vengono messi successivamente in tensione da martinetti idraulici a contrasto con lelemento di calcestruzzo; la tesatura pu avvenire su entrambe le facce oppure una sola dopo aver bloccato lestremo opposto.

Fase III: raggiunto il livello di tensione voluto che corrisponde evidentemente allo stato di

precompressione voluto si procede al bloccaggio dei cavi attraverso opportuni dispositivi brevettati, solitamente a forma di cuneo; si tolgono i martinetti e si procede con liniezione della malta di cemento nelle guaine.

Lefficacia del metodo dipende evidentemente dallefficacia degli ancoraggi terminali. Con questa tecnica, in ogni istante si ha sempre luguaglianza fra lazione sul calcestruzzo Nc e quella di trazione sul cavo Nsp Al contrario del metodo precedente, il cavo pu essere tesato pi volte fin tanto ch la guaina non viene iniettata e sigillata.



6.3.5. I sistemi di ancoraggio I sistemi di ancoraggio sono diversi e spesso brevettati dalle singole ditte, ma sostanzialemtne derivano tutti dalle due seguenti tipologie: 1. Ancoraggio a cuneo (Fressinet)

Il tronco di cono centrale viene trascinato allinterno dellelemento dalla forza di trazione e quindi premuto contro la sua sede, fino ad auto bloccarsi.



2. Ancoraggio a testa cilindrica

In entrambi i dispositivi bisogna prestare molta attenzione alla zona di ancoraggio: infatti nel punto di contatto e trasferimento della forza di pre-compressione si generano picchi di tensione molto elevati. La forza di precompressione induce tensioni di compressione elevate nella direzione del cavo, ma anche tensioni di trazioni ortogonali alle precedenti.

Per riprendere le tensioni di trazione e contemporaneamente confinare il cls soggetto a compressioni elevate bisogna prevedere unarmatura trasversale molto fissa (staffe molto ravvicinate), detta armatura di frettaggio.



6.3.6. Iniezione dei cavi Nei manufatti ad armature post-tesi, dopo la tesatura finale, si deve procedere alla sigillatura della guaina al cui interno scorre il cavo. La sigillatura avviene con liniezione di miscele cementizie (malte con inerti molto fini) o resine ad hoc. Liniezione viene eseguita per i seguenti scopi: - Protezione dellacciaio post-teso dalla corrosione; - Realizzare laderenza fra il cavo e la guaina (e quindi il calcestruzzo) per migliorare le

condizioni di sicurezza a rottura. A tal fine si possono anche utilizzare guaine opportunamente corrugate allinterno e esterno.

Dopo liniezione il cavo da pressollecitazione vale anche come armatura lenta, cio pu riprendere le trazioni presenti nellelemento in c.a.


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6.4. Le Tensioni a Vuoto 6.4.1. Precompressione a fili aderenti o ad armatura pre-tesa Maturato il getto si esegue il taglio dei fili, che tenderanno ad accorciarsi; a questo fenomeno si oppone il calcestruzzo che di conseguenza risulta essere luogo di uno stato di coazione (precompressione). Si osservi che a questo punto i cavi presentano una sollecitazione di trazione inferiore a quella iniziale, perch anchessi si sono accorciati con il calcestruzzo di

N0 = trazione iniziale dei cavi (nota)

Nc = compressione calcestruzzo

N0-N = trazione reale cavi

Possiamo scrivere le equazioni di congruenza ed equilibrio nellincognita iperstatica N:

c

c c p p

p p p p pcc c

c c c c c

eq. di congruN L N L E A E A

E A E A AN L N N N nE A L E

enza

A A

con n coefficiente di omogeneizzazione istantaneo Ep/Ec



c 0

p0 c c c

c

p c p0 c c

c c

N N N A

N N N N

eq. d

N nA

i equilibr

A A nAN N

A

o

1

i

n NA

Da cui si ricava la compressione nel cls e relativa tensione c c 0 c 0

c 0 cc p c c p id

A N A NN N =A nA A A nA A

La forza residua nellacciaio vale evidentemente Nc (per equilibrio). La caduta di tensione pari a :

c p c cp c

p p c

p 0 p 0 c

N n A A nNN nA A A

n

Riassumendo, la tensione nel calcestruzzo pari alla tensione iniziali N0 diviso larea ideale Aid, mentre la caduta di tensione dovuta al rilascio dei cavi n volte la sollecitazione nel cls c.



Nel caso in cui larea dellacciaio da precompressione sia pari allun percento di Ac , si ha una perdita di:

c c

0 c p

N A 100 0.93N A nA 100 7 1

cio la compressione sul cls pari al 93% del carico iniziale applicato al cavo (7% di perdita). Se il cavo non fosse baricentrico, bisognerebbe utilizzare le formule della pressione eccentrica.

0 0c

id id

20 0 0

p 0 cp id id

N N e yA J

N N N en nA A J



6.4.2. Precompressione a cavi scorrevoli o ad armatura post-tesa In questo caso, i cavi vengono tesati dopo la realizzazione dellelemento in c.a., agendo con appositi martinetti alle testate del manufatto.

In ogni istante si ha uguaglianza fra lazione di trazione sul cavo e la compressione sul cls:

c pN N N

c pc p

N N A A

Nel caso di cavo eccentrico, si devono utilizzare le formule della pressione eccentrica:

c pc c p

N N e Ny A J A



6.5. Carichi Equivalenti alla Precompressione Spesso, per semplicit, si vuole associare ad una generica precompressione, ossia ad una possibile disposizione dei cavi, un sistema di carichi esterni equivalenti che producono nelle struttura le stesse deformazioni e lo stesso regime tensionale; in questo modo la precompressione viene trattata come se fosse un carico agente ed opportunamente combinato con le altre azioni:

m n

d jg jk p k 1q 1k iq 0i ikj 1 i 2

F G P Q Q

Le nuove Norme tecniche D.M. 14.01.2008 fissano il coefficiente parziale di sicurezza p = 1.0, mentre il D.M. 1996 fissava i seguenti valori: p = 0.9 (1.2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza) Si noti che i carichi equivalenti sono per loro natura equilibrati, nel senso che in un sistema staticamente determinato (isostatico) non inducono reazioni vincolari; nei sistemi iperstatici, invece, i carichi equivalenti (e perci anche la precompressione) producono in generale reazioni vincolari per comunque auto-equilibrate.



6.5.1. Cavo Risultante C.R. Si definisce Cavo Risultante (indicato come C.R.) il cavo fittizio che esercita in ogni sezione uno sforzo uguale alla risultante delle forze di precompressione e con la stessa eccentricit, cio genera lo stesso effetto dei cavi reali.

Se la tensione di trazione sp la medesima in tutti i cavi, il Cavo Risultante si trover nel baricentro del sistema di cavi effettivi:

n n

pi pi p pii 1 i 1

P A A



Ai fini del calcolo del c.a.p. si ipotizza che: 1) i cavi siano assimilabili a fili e pertanto resistono solamente a trazione; inoltre si fa lipotesi

di trascurare completamente il peso proprio del cavo:

M 0 (EJ=0) N 0 2) i cavi assumono spontaneamente la configurazione che comporta lequilibrio fra forze

interne e forze esterne;

3) in questa fase si trascura lattrito fra cavo / struttura; 4) un cavo con tracciato curvilineo che si appoggia su una superficie regolare, esercita su di

essa una pressione pari a:

P Fp(s) LR(s)

con :

P = forza di trazione nel cavo;

R(s) = raggio di curvatura della curva assunta dal cavo;

p(s) = pressione sulla superficie.



6.5.2. Cavo rettilineo baricentrico (post-teso) Consideriamo una trave in c.a.p. a cavi post-tesi, con Cavo Risultante baricentrico. In corrispondenza degli ancoraggi di estremit si ha la trasmissione delle forze dal dispositivo di bloccaggio al cls: la trave risulta compressa con un carico P e, ad una certa distanza dal dispositivo, le tensioni nel calcestruzzo sono uniformi:

le tensioni nel calcestruzzo sono costanti e pari a

cc

PA

In questo caso si ha:

Cavo Risultante C.R. Linea delle Pressioni la risultante delle forze agisce in corrispondenza del baricentro, quindi compressione centrata. Tale soluzione si applica quando trave soggetta ad una forza esterna di trazione uniforme.



6.5.3. Cavo rettilineo eccentrico (post-teso) Consideriamo una trave in c.a.p. a cavi post-tesi, con Cavo Risultante orizzontale eccentrico e. La risultante delle compressioni P con eccentricit e equivalente ad un sistema a risultante P centrata ed un momento pari a M = P e: in tal caso la trave soggetta a pressoflessione (P , M).

Le tensioni nel calcestruzzo sono lineari e pari a

cP P e yA J

Anche in questo caso si ha: Cavo Risultante C.R. Linea delle Pressioni

Tale soluzione si applica quando trave soggetta a due momenti uguali alle estremit.



6.5.4. Cavo rettilineo inclinato rispetto alla linea dasse (post-teso) Consideriamo una trave in c.a.p. a cavi post-tesi, con Cavo Risultante inclinato di un angolo rispetto alla linea dasse ed eccentricit agli estremi pari a e (e1 = e2).

Per prima cosa verifichiamo che il sistema sia autoequilibrato:



2 1

2 1

Eq. Traslazione H P cos P cos 0Eq. Traslazione V Psin Psin 0Eq. Rotazione P cos e P cos e Psin L 0 cos e e sin L

2 1e ecos 1sin L

1 tan 1tan

I carichi equivalenti consistono in:

- Una forza di compressione pari a P cos - Una forza di taglio pari a P sin - Una coppia pari a Pe cos

Anche in questo caso si ha: Cavo Risultante C.R. Linea delle Pressioni



6.5.5. Cavo parabolico, ancorato allestremit nei baricentri delle sezioni (post-teso) Consideriamo una trave in c.a.p. a cavi post-tesi, con Cavo Risultante a tracciato parabolico, simmetrico rispetto alla mezzeria, ancorato in corrispondenza dei baricentri delle sezioni di estremit e freccia pari a f in mezzeria. In questo caso le caratteristiche della sollecitazione dipendono dalla posizione relativa tra il cavo e il baricentro della sezione.

Valutiamo lequazione che descrive il tracciato del cavo:

2

2

2

22

y a x4fL Lx y a f a=2 2 L

4fy xL



La funzione y(x) rappresenta leq. del cavo nel sistema di riferimento rappresentato in figura. Poich generalmente la lunghezza L predomina sulle altre due dimensioni (elementi snelli), si pu pensare piccolo e quindi: y(x) tan x tan sin cos ! y''=1/R

In questo caso si ha:

2

2 2 2

2

dy 8f d y 8fy ' x y ''dx L dx L

8f L 4fy '(L / 2) L 2 L

4ftan L / 2 sin L / 2L

Quindi:

4fTaglio pari a: P sin (L/2) P L

Compressione pari a: P cos (L/2) P

il carico ripartito sulla superficie curva:

2

P 8f p(s) Py '' PR L



p(s) rappresenta lazione distribuita che il cls esercita sul cavo a causa della sua continua deviazione; a sua volta il cavo esercita una pressione uguale ed opposta sul cls. Queste pressioni radiali sono a componente orizzontale nulla (per simmetria), pertanto efficace solamente la componente verticale p ( in modulo circa uguale a p(s) per piccoli).

P

P

TT

P

P P

P

P

P



Scrivendo gli equilibri alla traslazione verticale, orizzontale e alla rotazione si dimostra che il sistema equivalente equilibrato.

2

2

Eq. Traslazione H P P 04f 4f 8fEq. Traslazione V P P P L 0L L L4f 8f LEq. Rotazione P L P L 0L L 2

Affinch siano rispettate le ipotesi ( piccolo) la freccia f deve essere piccola, cio il cavo deve essere molto schiacciato. Tale soluzione si applica quando trave soggetta ad un carico distribuito q costante. Il tracciato di tipo parabolico tipico della tecnologia post-tesa.



6.5.6. Cavo parabolico, ancorato in sezioni intermedie (post-teso) Nelle figure seguenti sono riportati i Carichi Equivalenti alla precompressione nel caso di cavo parabolico ancorato in sezioni intermedie allestradosso della trave.

Le linee tratteggiate tracciate nei diagrammi di sollecitazione riportano il reale andamento delle sollecitazioni tenendo conto che, dopo lancoraggio, c una zona di transizione, nella quale le forze interne si diffondono fino a raggiungere le e " previste teoricamente.





6.5.7. 2 Cavi parabolici, ancorati in sezioni diverse (post-teso) Nella figura seguente sono riportati i Carichi Equivalenti alla precompressione nel caso di due cavi parabolici ancorati in sezioni differenti.



6.5.8. Cavo poligonale (post-teso) Nella figura seguente sono riportati i Carichi Equivalenti alla precompressione nel caso di un cavo poligonale ancorato in corrispondenza del baricentro delle sezioni di estremit.



6.5.9. Sistemi iperstatici Nel caso di una struttura iperstatica il sistema di carichi equivalenti alla precompressione mostra tutte le sue potenzialit. Invece di utilizzare i metodi classici per valutare le reazioni iperstatiche dovute alla precompressione, si pu infatti adottare il sistema equivalente che permette di studiare la precompressione come una serie di carichi distribuiti e concentrati trattabili al pari dei carichi esterni. Essa per dar in generale luogo a reazioni iperstatiche che compaiono anche in assenza di forze esterne (stato di coazione). Si consideri ad esempio la trave a due campate con una Cavo Risultante rettilineo ed eccentricit pari a e:



Si tratta di una trave iperstatica con uno sforzo normale e due coppie agenti alle estremit; per determinare lincognita iperstatica X si fa uso del Metodo delle Forze: si rende la struttura isostatica rimuovendo un vincolo, si impone al suo posto una forza incognita determinata con le equazioni di congruenza

B

B B B

Eq. congruenza 0 P,P e X

#

# # #



3

B

2

B

3 2

B

B

X 2L(X)

48EJ

P e 2L(P e)

16EJ

X 2L P e 2L2 0

48EJ 16EJX L P e

0 24 8

3 P e X

L

#

#

#

#

$

Di seguito si riportano i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione dovute solamente alla precompressione P:



Anche in questo caso, i carichi equivalenti alla precompressione sono auto equilibrati, per fanno intervenire i vincoli. Infatti, mentre in una struttura isostatica il C.R. coincide sempre con la Linea delle Pressioni L.P., in una struttura iperstatica ci non avviene in generale:

La Linea delle Pressioni quella linea (in generale una curva) che congiunge tutti i centri di pressione siti nelle sezioni dellelemento, cio la direzione della risultante degli sforzi di compressione.



6.5.10. Cavi Equivalenti e Cavo Concordante Consideriamo ora diversi tracciati poligonali del C.R. con la stessa eccentricit agli estremi:

Per piccole eccentricit, si pu assumere piccolo e pertanto si ha: cos= 1, sin= tg Attraverso gli equilibri alla traslazione e alla rotazione si dimostra che il sistema equivalente ancora equilibrato, ma presenta reazioni vincolari diverse in funzione dellangolo .



In figura sono indicate in rosso le reazioni vincolari espresse in funzione di (angolo di inclinazione del cavo rispetto allasse della trave). Al variare di , NON variano le caratteristiche della sollecitazione, cio tutti i cavi C.R.i presentano le stesse sollecitazioni e stessa Linea delle Pressioni.

In una trave iperstatica si definisce famiglia di Cavi Equivalenti tutti quei cavi che presentano

- la stessa eccentricit agli estremi; - la medesima linea delle pressioni; - comportano reazioni vincolari diverse in funzione di tg



In altre parole tutti i Cavi Equivalenti di una famiglia differiscono tra loro solamente per leccentricit in corrispondenza dellappoggio intermedio e le conseguenti reazioni vincolari. Inoltre, data una famiglia di cavi equivalenti, la loro comune linea delle pressioni si chiama Curva Stabile delle Pressioni. Infine, data una famiglia di cavi equivalenti, si pu passare da un cavo allaltro mediante una Trasformazione Lineare che lascia invariate le eccentricit terminali e le curvature dei cavi, alterando solo le eccentricit agli appoggi intermedi. Consideriamo ora un particolare cavo equivalente tale che leccentricit in mezzeria pari a e/2:



Anche questo tracciato del C.R. presenta la stessa linea delle pressioni L.P. ma diverse reazioni vincolari: pi precisamente il tracciato del cavo coincide con la L.P. e si dimostra che le reazioni vincolari sono nulle: in base alla geometria del cavo si ha:

e e 2 3e 2tgL L

quindi la reazione in A e in C vale:

3Pe 3Pe 3e 2P tg P 02L 2L L

la reazione in B vale:

3Pe 3Pe 3e 22P tg 2P 0L L L

Le reazioni sono nulle, cio i vincoli non intervengono.

Si definisce Cavo Concordante C.C. quel Cavo Risultante C.R. appartenente ad una famiglia di Cavi Equivalenti tale che, in una struttura iperstatica, non fa reagire i vincoli; ci avviene quando il cavo coincide con la Linea delle Pressioni L.P.



Riassumendo: - nelle strutture isostatiche: Cavo Risultante C.R. Linea delle Pressioni

- nelle strutture iperstatiche, in genere: Cavo Risultante C.R. Linea delle Pressioni - nelle strutture iperstatiche, quando un Cavo Risultante coincide con la Curva (Linea) delle

Pressioni non provoca reazioni vincolari e viene detto Cavo Concordante nelle strutture iperstatiche: Cavo Concordante C.C. = Linea delle Pressioni

- dato un Cavo Concordante si pu dedurre una famiglia di Cavi Equivalenti mediante trasformazioni lineari.

OSS: In generale si cerca di progettare un tracciato del cavo che eviti la formazione di reazioni iperstatiche senza per alterare il sistema equivalente (Cavo Concordante).



6.6. Perdite di Precompressione Dopo aver analizzato la tecnologia della precompressione, i materiali utilizzati ed esposto alcuni casi semplici per determinare i carichi equivalenti, necessario analizzare tutti quei fenomeni che tendono a ridurre leffetto della precompressione. Le perdite della precompressione si classificano in:

- PERDITE ISTANTANEE, cio che si verificano nel momento stesso in cui si introducono le forze di pressolecitazione:

% Perdite al martinetto (pre-teso e post-teso) % Perdite agli ancoraggi (pre-teso e post-teso) % Perdite per attrito tra cavi, tra cavi e guaine (post-teso) % Perdite per deformazione elastica istantanea (pre-teso e post-teso)

- PERDITE DIFFERITE, cio che si verificano dopo un certo lasso di tempo, pi o meno lungo:

% Perdite per ritiro del calcestruzzo % Perdite per deformazione viscosa del calcestruzzo % Perdite per rilassamento dellacciaio da precompressione



6.6.1. Perdite istantanee

6.6.1.1. Perdite istantanee al martinetto ed agli ancoraggi

Queste perdite sono intrinseche del sistema di precompressione adottato (brevettato) e la stessa ditta specializzata in fase di esecuzione adotta una serie di correzioni della tesatura.

Generalmente la trazione imposta dal martinetto leggermente maggiore proprio per assorbire la perdita del dispositivo di serraggio (solitamente cunei tronco-conici): affinch i cunei blocchino il cavo ci deve essere un minimo rientro del cavo. Queste perdite sono presenti sia nella tecnologia pre-tesa a fili aderenti, sia in quella a cavi post-tesi.



6.6.1.2. Perdite istantanee per attrito

Le perdite per attrito appartengono esclusivamente al sistema post-teso in cui i cavi vengono tesati dopo il getto del manufatto e scorrono allinterno di apposite guaine. Le perdite avvengono ovviamente nel tratto curvo, per effetto del cavo appoggiato sulla superficie interna della guaina che preme a sua volta su quella in calcestruzzo generando attriti; ma anche nei tratti rettilinei, dovuti essenzialmente al serpeggiamento in pianta del cavo (ondulazioni della guaina allatto della messa in opera ed alle imperfezioni delle superfici interne delle guaine).

Generalmente il cavo viene teso da un solo lato con una forza N1 nota, mentre il lato fisso soggetto ad un forza N2 (incognita) inferiore a causa delle perdite: N2 = N1 - N Perdite per attrito in curva Sul generico tratto curvo del cavo agiscono le seguenti forze:

Ni = forza di trazione nel cavo allestremo i; p(s) = forze di deviazione [F/L] "(s) = forze dattrito [F/L] dP = risultante delle forze di deviazione [F] dT = risultante delle forze di attrito [F]



posto piccoli:d d dds Rd sin cos 12 2 2

d ddP N N dN 02 2ddP 2N 0 dP Nd2

dP p

Eq. di equilibrio dir.y

ds pRd

NpR

forza di deviazione[F/L]

Eq. di equilibrio dir.x con fc coefficiente di attrito

c

c c

N dT N dN 0 dT dNin situazione di attrito (scorrimento incipiente) dT f dPma dP Nd

dsdT dN f Nd f NR



Lequazione differenziale: cdN f dN

integrata fra i limiti N1 e N2 fornisce la seguente soluzione:

c

c

f11 2

2f

2 1

N e N NN

N N e (incognita)

&

per piccoli ( < 30) pu essere sviluppata in serie approssimando a:

2 1 c

c1

N N 1 fN f

N

con in radianti

Generalmente si ha H / L = 1/15 pertanto, nel caso di cavi ancorati alle estremit si ha !'()*( nel caso di cavi ancorati allestradosso si ha )*(+*(

Per il coefficiente di attrito fc, in assenza di dati sperimentali, si possono assumere i seguenti valori in funzione del tipo di guaina e superficie di appoggio:

cavo su calcestruzzo liscio fc = 0.50 cavo in guaina metallica fc = 0.30



Perdite per attrito in rettilineo Queste perdite dipendono essenzialmente dalla cura posta nella disposizione dei cavi allinterno del cassero prima del getto, cercando di evitare il serpeggiamento in pianta. La perdita di tensione in rettilineo dipende linearmente da carico di trazione applicato e dalla lunghezza del tratto considerato:

1 L

2 1 L

L1

N N f xN N 1 f x

N f xN

Per il coefficiente di attrito fL, in assenza di dati sperimentali, si possono assumere i seguenti valori in funzione del tipo di superficie:

calcestruzzo liscio fL = 5x10-3 guaina metallica fL = 3x10-3



Perdite per attrito lungo la trave

Se un cavo ha un tracciato curvilineo si dovranno sommare i due contributi, tenendo in considerazione lattrito in rettilineo nel tratto lineare (in pianta), ma anche nel tratto di cavo curvo (in prospetto): nella lunghezza rettilinea x sono inclusi sia i tratti lineari sia quelli in curva, cio tutta la lunghezza del cavo in pianta.

In conclusione, la tesatura da un solo lato particolarmente svantaggiosa: per tale motivo, se non possibile la doppia tesatura, in fase di esecuzione bene prevedere almeno una tesatura alternata dei cavi, cos da ottenere una sollecitazione di precompressione sufficientemente uniforme.



Esempio Si consideri un cavo da precompressione lungo 30m, bloccato allestremo E e teso dal martinetto allestremo A con una tensione di 1000 MPa.

3

c L2020 0.349 rad f 0.30 f 3x10180

(,

(

(

A

B A A c A L

C B B L

1000 MPA

f f x 1000 1000 0.3 0.349 1000 0.003 10 865 MPa

f x 865 865 0.003 5 852 MPa



D C C L

E D D c D L

f x 852 852 0.003 5 839 MPa

f f x 839 839 0.3 0.349 839 0.003 10 726 MPa

Quindi in totale:

A E1000 MPa 726 MPa1000 726 274 M

cio pari a 27Pa

.4%



6.6.1.3. Perdite per deformazione elastica istantanea Armatura post-tesa Negli elementi ad armatura post-tesa la precompressione viene impressa in generale attraverso un certo numero N di cavi tesi non contemporaneamente. Quando si parla di perdite per deformazione elastica istantanea non ci si riferisce allaccorciamento del calcestruzzo dovuto alla tesatura del cavo teso in quellistante, ma allaccorciamento dei cavi tesi in precedenza, infatti la messa in tiro delln-esimo cavo provoca una caduta di tensione negli N-1 cavi tesati in precedenza. Supponiamo di avere N cavi: alla tesatura del secondo cavo, il primo, gi tesato, subir una perdita pari a:

c cp,1 p p,1 p c c

c c

E E E N E

- - -

dove: -c laccorciamento del cls (fibra baricentrica) dovuto alla tesatura di un solo cavo; c tensione di compressione nel cls dovuta alla tesatura di un solo cavo; c tensione di compressione nel cls finale dovuta alla tesatura degli N cavi.



c cp,1 p

c

cp,i

E nN E N

n N

p,i rappresenta la perdita parziale di un cavo alla tesatura del successivo.

Complessivamente, si osserva che il primo cavo subisce (N-1) perdite, il secondo (N-2). il penultimo (N-(N-1)) perdite e ovviamente lultimo cavo NON subisce perdite.

La perdita di tensione media negli (N-1) cavi risulta pari a: c

p,media

N 1n

2 N

Generalmente lincidenza di questa perdita modesta, allincirca il 2% della tensione iniziale dellacciaio.



Armatura pre-tesa Nei sistemi ad armatura pre-tesa il fenomeno diverso: infatti non corretto pensare che laccorciamento del cls produca una perdita di coazione. Nel momento del trasferimento della pre-tensione al calcestruzzo questo subisce un accorciamento, come il cavo, ma lenergia potenziale totale di deformazione rimane invariata e laccorciamento indispensabile per mettere in coazione il cls. In altri termini, la diminuzione di tensione nellacciaio la manifestazione del trasferimento dellenergia di deformazione elastica dallacciaio (immagazzinato in fase di tesatura al banco) al calcestruzzo che si accorcia. Questa diminuzione di tensione essenziale per avere la precompressione dellelemento.



6.6.2. Perdite differite

6.6.2.1. Perdite per ritiro del calcestruzzo

Il ritiro la propriet del calcestruzzo di variare nel tempo il proprio volume, quindi di deformarsi, senza lintervento di carichi esterni o tensioni applicate. Il ritiro presuppone una diminuzione di volume legata perdita dacqua per evaporazione. Se la struttura vincolata (quasi sempre) la diminuzione di volume impedita, quindi nascono necessariamente delle trazioni e conseguenti fessure nellelemento.

La deformazione da ritiro in un provino di calcestruzzo, risulta pari alla somma di due contributi:

ritiro totale = ritiro da essiccamento + ritiro autogeno

cs cd ca- - -

il ritiro da essiccamento --cd (drying shrinkage) dovuto essenzialmente al processo di diffusione dellacqua presente nella pasta di cemento verso lambiente esterno:

- si sviluppa lentamente e per molto tempo; - dipende dalla quantit dacqua e del rapporto a/c; - dipende dalla qualit degli inerti e la loro capacit di assorbire acqua; - dipende dallumidit relativa dellambiente; - pu essere ridotto utilizzando additivi fluidificanti.



Il valore medio del ritiro da essiccamento a tempo infinito (D.M.14/01/2008) dato da:

cd h c0k.- -

-c0 pu essere valutato mediante le seguenti tabelle in funzione della resistenza caratteristica a compressione, dellumidit relativa e del parametro h0:

h0 [mm] kh 100 1.00 200 0.85 300 0.75

500 0.70 per valori intermedi dei parametri indicati consentita linterpolazione lineare.



Lo sviluppo nel tempo della deformazione -cd (t) pu essere valutato come:

cd ds s cd ds s h c0

sds s 3

s 0

s ds s

t t, t t, t k

t tt, t

t t 0.04 h

t t, t 1

.

- / - / -

/

$. / $

dove: t let del calcestruzzo nel momento considerato (in giorni);

ts let del calcestruzzo a partire dalla quale si considera leffetto del ritiro da essiccamento, normalmente il termine della maturazione, espresso in giorni;

kh un coefficiente che dipende dalla dimensione fittizia h0;

h0 la dimensione fittizia (in mm) pari al rapporto 2Ac / u , con:

Ac larea della sezione in calcestruzzo;

u il perimetro della sezione in calcestruzzo esposto allaria.



il ritiro autogeno o chimico --ca (outogenous or endogeneous shrinkage) corrisponde ai cambiamenti in volume associati alle reazioni chimiche della pasta di cemento durante il processo didratazione e non influenzato dalle dimensioni dellelemento strutturale:

- si sviluppa nei primi giorni dopo il getto - aumenta al diminuire del rapporto a/c - aumenta allaumentare della densit della pasta di cemento - per cls normali rappresenta mediamente solo il 5% del ritiro da essiccamento - per cls alta resistenza fornisce valori confrontabili con il ritiro da

essiccamento Il valore del ritiro autogeno a tempo infinito cos valutato:

6ca, ck ck2.5 f 10 10 con f in MPa

.

- Lo sviluppo nel tempo della deformazione -ca (t) pu essere valutato come:

ca as ca,

0.5as

t

t 1 exp 1 0.2t con t espresso in giorni

.

- / -

/



Secondo la normativa precedente D.M. 1996, la deformazione finale da ritiro -cs(tx,t0) si valuta con le seguenti tabelle:

dove:

t0 let del calcestruzzo a partire dalla quale si considera leffetto del ritiro, espresso in giorni;

la dimensione fittizia (in mm) pari al rapporto 2Ac / u , con:

Ac larea della sezione in calcestruzzo;

u il perimetro della sezione in calcestruzzo esposto allaria.



Nel caso della precompressione, il D.M.1996 semplifica ulteriormente imponendo (4.3.4.8): -r = 0.0003 (=0.3) se la struttura viene precompressa prima di 14gg di stagionatura

-r = 0.00025 (=0.25) se la struttura viene precompressa dopo 14gg di stagionatura Per strutture particolarmente sottili si dovranno adottare valori maggiori. In conclusione, la caduta di tensione nellarmatura di precompressione dovuta al ritiro , nellipotesi che tale deformazione sia uniformemente distribuita, valutabile semplicemente in:

rit p ritE - Esempio: si considera una struttura precompressa prima dei 14gg:

r c p

p p p

0.0003

E 210000 0.0003 63 MPa

- - -

-

perdita di tensione nellacciaio



6.6.2.2. Perdite per deformazione viscosa del calcestruzzo

Lo scorrimento viscoso del calcestruzzo, detta viscosit, fluage o creep consiste nellaumento della deformazione nel tempo sotto lapplicazione di un carico costante (diverso da zero) oppure variabile. La viscosit del calcestruzzo stata scoperta da Hatt nel 1907 e pu essere rilevata mediante la prova di creep, cio registrando la deformazione di un provino sottoposto, a partire da un certo istante t0 , ad uno stato di tensione monoassiale costante nel tempo c (t0) .

0 1

0 1

0 1

c cc el visc 0 0

c c

0c cc 0 c

* cc

*c c c

0

0

(t, t ) funzione di viscosit

(t) (t, t ) t tE E

1 (t, t )(t) 1 (t, t )

E E EEE modulo elastico ridotto

1 (t, t )

- - - 2 3

2

- 2

2

2

La deformazione di origine viscosa dipende essenzialmente dalla tensione applicata al calcestruzzo e dallistante della sua applicazione.

N=cost

-el+ -v-el

-v



Per livelli tensionali nel calcestruzzo inferiori a 0.45 fck lecito considerare le deformazioni viscose lineari con le tensioni, parlando di viscoelasticit lineare. In tal caso vale il principio di sovrapposizione degli effetti, che permette tra laltro di sommare le deformazioni viscose dovute a due o pi carichi differenti applicati in tempi differenti:

0 1 0 1

c,1 c,2c 1 2 2 1

c c

(t) 1 (t, t ) 1 (t, t ) t tE E

- 2 2 3

Annullando le tensioni applicate c=0 (allo scarico), si osserva il recupero istantaneo della deformazione elastica, un lento recupero di una aliquota della deformazione viscosa in tempi lunghi, ma permane un residuo di deformazione plastica: a tempo infinito permane una deformazione non pi recuperabile. Anche in questo caso si possono distinguere due meccanismi che determinano la viscosit del calcestruzzo (Neville nel 1981 ha introdotto una nomenclatura usata ancora oggi): 1. si definisce basic creep la deformazione dipendente dal tempo che si determina quando il

calcestruzzo viene sollecitato in assenza di scambio di umidit con lambiente (provini sigillati);



2. si definisce drying creep la deformazione aggiuntiva rispetto al basic creep che si osserva quando lo stesso calcestruzzo viene sollecitato in ambiente che consente lessicamento. A differenza del basic creep, il drying creep dipende dalle dimensioni e dalla forma dellelemento strutturale per linfluenza che esse hanno sullo sviluppo del processo dessiccamento.

I fattori che influenzano il comportamento viscoso sono i seguenti:

- la deformazione aumenta in ambienti a bassa umidit relativa (aria secca - elevata evaporazione);

- durata del carico e dalla sua eventuale ciclicit; - diminuisce allaumentare della stagionatura del calcestruzzo nel momento di

applicazione del carico;

- dipende dal rapporto a/c; - aumenta allaumentare della superficie esposta allambiente; - dipende dalla temperatura ambientale.



Secondo il D.M. 14/01/2008, la viscosit del calcestruzzo pu essere valutata attraverso le seguenti tabelle, a patto che se lo stato tensionale del calcestruzzo, al tempo t0 = j di messa in carico, non superiore a 0,45fckj, (h0=2Ac/u dimensione fittizia gi definita in precedenza)

per valori intermedi dei parametri indicati consentita linterpolazione lineare.

Nel caso in cui sia richiesta una valutazione in tempi diversi da t = del coefficiente di viscosit questo potr essere valutato secondo modelli tratti da documenti di comprovata validit (EC2).



Secondo il D.M. 1996, la viscosit del calcestruzzo pu essere valutata attraverso le seguenti tabelle, a patto che lo stato tensionale del calcestruzzo, al tempo t0 = j di messa in carico, non sia superiore a 0,30fckj, (= 2Ac/u dimensione fittizia gi definita in precedenza)

per valori intermedi dei parametri indicati consentita linterpolazione lineare.

Ai fini della precompressione, il D.M. 1996 fissa la deformazione viscosa pari a: 2 volte deformazione elastica (-visc = 2 -el) se il carico applicato dopo i 14gg dal getto; 2.3 volte deformazione elastica (-visc = 2.3 -el) se il carico applicato prima dei 14gg dal

getto.



In conclusione, la caduta di tensione nellarmatura di precompressione dovuta alla viscosit del calcestruzzo valutabile semplicemente in:

visc p visc 0 cE ( , t ) n - 2 . con -visc = la deformazione viscosa della fibra di calcestruzzo posta al livello dellarmatura Ap; n = 6 rapporto reale fra i moduli elastici dellacciaio e del calcestruzzo

Esempio: si considera una stato tensionale nel calcestruzzo dovuta alla precompressione pari a c=10 MPa

c 0visc 0 0

c,28

( , t )10( , t ) ( , t )E 30000 300 2 .

- 2 . 2 .

si considera una struttura precompressa prima dei 14gg: 2(,t0) =2.3

3visc el

5 3visc p visc

102.3 2.3 7.66x1030000

E 2.1x10 7.66x10 161 MPa

- -

-

perdita di tensione nellacciaio



6.6.2.3. Perdite per rilassamento dellacciaio da precompressione

Gli stessi meccanismi che producono la viscosit nel calcestruzzo generano il rilassamento dellacciaio (fenomeno duale alla viscosit), che corrisponde ad una variazione dello stato di tensione nel tempo, quando lo stato di deformazione rimane costante e diverso da zero.

Lacciaio sollecitato da una tensione superiore al 50% della sua resistenza manifesta un comportamento viscoso. Nelle applicazioni correnti lacciaio da precompressione sollecitato ad una tensione pari al 50%-80% della sua resistenza, pertanto se un tirante (cavo da precompressione) viene allungato (teso) ed ancorato a due punti fissi, la deformazione si mantiene costante nel tempo mentre le tensioni decrescono progressivamente (pari a 1020% del valore iniziale) a seguito della viscosit del materiale. Questo rilassamento delle tensioni di trazione determina le perdite di tensione nei cavi da precompressione

I fattori che influenzano il rilassamento dellacciaio armonico sono i seguenti:

- rapporto fra tensione di trazione iniziale e tensione di snervamento p / fpk;

- temperatura ambientale elevate.



Secondo il D.M. 14/01/2008, la caduta di tensione pr dovuta al rilassamento dellacciaio al tempo t, ad una temperatura di 20C pu essere valutata attraverso le seguenti:

dove:

pi la tensione iniziale nelli-esimo cavo; 41000 la perdita per rilassamento (in %) a 1000 ore dopo la messa in tensione, a 20C e a

partire da una tensione iniziale pari a 0.70 fp del campione provato;

5 = pi/fpk fpk la tensione caratteristica dellacciaio da precompressione; t il tempo misurato in ore (h) dalla messa in tensione.

Le prime due espressioni si applicano, rispettivamente, ai fili, trecce e trefoli a normale rilassamento ed a basso rilassamento. La terza espressione si applica alle barre laminate a caldo.



Secondo il D.M. 1996, la caduta di tensione pr dovuta al rilassamento dellacciaio a tempo infinito (t=), ad una temperatura di 20C e per una tensione iniziale di 0.75 fptk, pu essere valutata attraverso la seguente tabella:

Esempio: si considera una tensione di trazione in una treccia da precompressione pari a p=1000 MPa

pr 0.20 1000 200 MPa



6.6.2.4. Perdite di tensione lente totali La caduta totale di tensione per i fenomeni differiti nel tempo nel calcestruzzo e nellacciaio non la somma delle cadute nel calcestruzzo (ritiro e viscosit) e di quelle dovute al rilassamento nellacciaio: a causa del ritiro e della viscosit, le travi in c.a.p. si accorciano gradualmente verso un valore limite e con esse si accorciano le armature, diminuendo le perdite per rilassamento (i valori da normativa sono ricavati da prove di laboratorio a deformazione costante).

reale rit visc ril 6 Secondo il D.M. 1996, per tener conto dellinfluenza reciproca fra le tre cadute di tensione, si definisce una caduta per rilassamento ridotta *pr, cos valutata (4.3.4.3.):

rit visc*pr, pr,

spi

2.51

. .

con spi tensione iniziale al tiro. La caduta di tensione totale data dalla:

* * *tot rit visc ril ril rp, .



Esempio: Considerando gli esempi precedenti si ha:

rit = 63 MPa visc = 161 MPa ril = 200 MPa

rit visc*pr, pr,

spi

*pr,

tot

tot

spi

2.5 2.5 63 1611 200 1 200 0.44

1000

88 MPa

63 161 88 337 MPa337 33.7%

1000

. .

.

Le cadute di tensioni lente si aggirano attorno al 30 % del tiro iniziale; a queste vanno aggiunte le perdite istantanee, per un totale in generale di circa 40% spi.



LEurocodice 2 , riporta la seguente espressione per tenere conto delle cadute di tensione lente (ritiro, viscosit e rilassamento):


Aprile 2011 v. 5.0 - Pag. 4.87 -

6.7. Verifiche in esercizio 6.7.1. Scopi della precompressione

La Precompressione del Cemento Armato ha lo scopo di migliorare il comportamento della struttura in fase di esercizio, contenendo la deformabilit ed impedendo (o limitando) la fessurazione della trave. Infatti, la presenza di una sollecitazione artificiale di segno opposto a quello dovuto ai carichi applicati comporta tensioni risultanti minori di quelle che si avrebbero se ci fossero solamente carichi applicati. Generalmente la precompressione una coazione permanente che permette di ottenere una sezione resistente completamente reagente, di rigidezza mediamente doppia di una sezione fessurata.





Dagli esempi esposti risulta evidente il vantaggio di precomprimere lelemento in c.a., ottenendo sezioni interamente reagenti. Per ottenere ci necessario che la risultante delle pressioni lungo la trave (in ogni sezione) sia interna al nocciolo dinerzia, cio con asse neutro esterno alla sezione. In altre parole, la linea delle pressioni di tutti i carichi presenti (precompressione e carichi esterni) deve risultare in ogni sezione allinterno del nocciolo. Complessivamente i carichi applicati attuano una traslazione della risultante delle compressioni (generalmente P) di una quantit pari al Mtot = P / nel verso opposto alla precompressione.

La resistenza della trave in c.a.p. costituita dalla massima escursione fra il punto inferiore (in fase di precompressione) ed il punto superiore (carichi esterni) del nocciolo; per tale motivo le sezioni in c.a.p. presentano una forma ideale di sezione a doppio T non simmetrico, tale da presentare un nocciolo dinerzia pi allungato possibile e prevedere lo spazio fisico per alloggiare i cavi.



6.7.2. Nocciolo di inerzia Si definisce ellisse centrale dinerzia di unarea, lellisse con centro nel baricentro dellarea stessa, i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori dinerzia massimo e minimo della sezione. Fornisce una indicazione rapida sul comportamento flessionale della sezione: nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione, infatti lasse neutro lantipolare del centro di pressione rispetto allellisse centrale dinerzia.

2 2

2 2y x

x y 1

Se scriviamo la formula di Navier per la pressoflessione si ha:

0 0

y x

0 02 2y x

Nx NyN x y 0A J J

x x y y 1 0

che rappresenta equazione della retta antipolare del Centro di Pressione C rispetto allellisse centrale dinerzia.



Il luogo dei centri di pressione antipoli delle rette tangenti alla sezione la frontiera del nocciolo centrale dinerzia, insieme dei centri di pressione per i quali la sezione risulta interamente compressa. Detta An larea del nocciolo centrale dinerzia, la condizione per cui la sezione risulti tutta compressa si esprime come segue:

0 0n2 2

y x

x x y y 1 0 x, y A

Nel caso di pressoflessione retta si in genere interessati ai punti del nocciolo per i quali lasse neutro ortogonale allasse di sollecitazione ed tangente alla sezione rispettivamente al lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore.

Nel caso della figura accanto, per individuare la loro posizione basta far riferimento allequazione della retta antipolare con la condizione che essa passi per i punti (x=0 e y=yi) per individuare Cs e (x=0 e y=ys) per individuare Ci :

2Ci s xsx

Ci2x s

2Cs i x xi

Cs2x i c

y y W1 0 yy A

y y W1 0 yy A



Nel caso di una sezione rettangolare:

32

2 xx

22 2x

Cis

22 2x

Csi

bhJ h12A bh 12

h h 2 h12y hy 12 h 62h h 2 h12y hy 12 h 62

Nel caso di una sezione a T:

1) si determina la posizione del baricentro G:

nG

h sbh B b sS 2 2yA bh B b s

2) si determina il raggio giratore dinerzia rispetto allasse baricentrico (asse x):

332 2

G G2 xx

B b sbh s h(B b)s( y ) bh( y )J 3 3 2 2A bh B b s

3) si determinano i punti sup. ed inf. del nocciolo.



6.7.3. Verifica delle tensioni in esercizio Ai fini della verifica in esercizio della trave in precompresso, vanno considerati i seguenti carichi e fasi costruttive:

- Peso proprio della trave (pp) - Carichi equivalenti alla precompressione (Pk) allo stato iniziale t0

ed a tempo infinito t

- Carichi permanenti portati (Gk) - Carichi variabili (Qk) - Eventuali coazioni aggiuntive (carico termico, ritiro, cedimenti vincolari)

Analogamente alle altre tipologie costruttive, i carichi vanno combinati opportunamente a determinare lo stato sollecitante pi sfavorevole (purch realistico). A causa della natura dei carichi da precompressione (coazione imposta) necessario eseguire le verifiche nelle diverse fasi realizzative della struttura.



Nei casi pi semplici necessario verificare quanto meno due situazioni:

1. verifica delle tensioni a vuoto iniziale: peso proprio (pp) + precompressione a tempo t0 (scontando le perdite istantanee) (P0)

2. verifica delle tensioni in esercizio a tempo infinito + carichi permanenti (Gk) + carichi variabili (Qk) + precompressione a tempo t (scontando le perdite differite) (P)

In generale si potrebbero presentare i seguenti casi:

verifica della sola precompressione allo stato iniziale (P0) [pre-teso, prefabbricazione] verifica del solo peso proprio (pp) [post-teso, infrequentemente] verifica delle tensioni a vuoto iniziale a tempo t0: (pp) + (P0) verifica delle tensioni a vuoto finale a tempo t: (pp) + (P) verifica delle tensioni a vuoto finale solo permanenti: (pp) + (P) + (Gk) verifica delle tensioni a vuoto finale carichi totali: (pp) + (P) + (Gk) + (Qk)

Le verifiche vanno eseguite sezione per sezione, ciascuna con la propria sollecitazione ed aliquota delle perdite di precompressione.



0 0

0

0 0

T PT trazione nel cavo

1 coeff. per le perdite istantaneeP precomp. a tempo iniziale t t



6.7.3.1. Tensioni a vuoto iniziali Valutiamo e verifichiamo le tensioni massime in esercizio a vuoto iniziali, quando agiscono solamente la precompressione ed il peso proprio:



1) Effetto della sola precompressione, scontando gi le perdite istantanee: 0 p0

c inf ckj

0 p0t sup t,Rd

P yP y 0.70fA J

P yP y (dipende dalla Nomartiva)A J

2) Effetto della precompressione e del peso proprio:

p pp0 p pp0 0c inf inf 0 sup ckj

0 p pp0t sup sup t,Rd

pppp

0

yP y MP Py y P y 0.70fA J J A J

P y MP y y (dipende dalla Nomartiva)A J JM

chiamato "sfilamento" del carico ppP

dove: P0 la precompressione a tempo t=t0 (scontata delle predite istantanee) A = Aid nel caso di cavi pre-tesi, A = Ac nel caso di cavi post-tesi (non iniettati) J = Jid nel caso di cavi pre-tesi, J = Jc nel caso di cavi post-tesi (non iniettati) Ac e Jc possono tener conto della presenza di armatura lenta ordinaria con n=15



6.7.3.2. Tensioni finali a tempo infinito Valutiamo e verifichiamo le tensioni massime in esercizio a tempo infinito, quando si sono scontate tutte le perdite lente e vengono applicati i carichi esterni:



3) Effetto della precompressione e del peso proprio, scontando tutte le perdite differite:

p ppp ppc inf inf inf ck

p ppt sup sup t,Rd

yP y MP Py y P y 0.60fA J J A J

P y MP y y (dipende dalla Nomartiva)A J J

dove: P la precompressione a tempo t=t (scontata delle predite differite) = P0 / P0 la precompressione a tempo t=t0 (scontata delle predite istantanee) = T / 0 T la trazione applicata al cavo

0 >1 coefficiente per le perdite istantanee

>1 coefficiente per le perdite differite

0 0 0T P P

A = Aid nel caso di cavi pre-tesi e post tesi iniettati (con n=6) A = Ac nel caso di cavi post-tesi non iniettati J = Jid nel caso di cavi pre- tesi e post tesi iniettati (con n=6) J = Jc nel caso di cavi post-tesi non iniettati Ac e Jc possono tener conto della presenza di armatura lenta ordinaria con n=15



4) Effetto della precompressione, del peso proprio e dei carichi permanenti:

p pp Gc inf inf inf

p pp Ginf ck

p pp Gt sup sup sup t,Rd

P y M MP y y yA J J J

yP P y 0.60fA J

P y M MP y y y (dipende dalla Nomartiva)A J J J

5) Effetto della precompressione, del peso proprio dei carichi permanenti e variabili:

p pp QGc inf inf inf inf

p pp G Qinf ck

p pp QGt sup sup sup sup t,Rd

P y M MMP y y y yA J J J J

yP P y 0.60fA J

P y M MMP y y y y (dipende dalla Nomartiva)A J J J J

dove:

GG

MP

,Q

Q

MP

sono chiamati sfilamento del carico permanente Gk , variabile Qk



6.7.4. Stato Limite di Fessurazione Allinterno delle verifiche in esercizio va eseguita anche quella a fessurazione, secondo il 4.1.2.2.4. del D.M. 14/01/2008. Nel caso di travi in c.a.p. possibile dover verificare tre distinti stati limite di fessurazione: a) stato limite di decompressione nel quale, per la combinazione di azioni prescelta, la tensione

normale ovunque di compressione ed al pi uguale a 0, cio la sezione sotto lazione dei carichi previsti per tale stato limite deve restare interamente compressa. Tale stato limite di applica evidentemente al caso di precompressione totale e deve essere verificato per ogni tipologia di ambiente nel quale si trova la struttura (ordinario, moderatamente, molto aggressivo). Nel calcolo la sezione viene considerata interamente reagente.

b) stato limite di formazione delle lesioni. nel quale, per la combinazione di azioni prescelta, la

tensione normale di trazione nella fibra pi sollecitata : ctm

tf1.2

Si deve verificare che non si formino lesioni di trazione. Tale verifica prevista in particolare in ambiente molto aggressivo e per combinazione di azioni rara.



c) stato limite di apertura delle lesioni. nel quale, per la combinazione di azioni prescelta, il valore limite di apertura della fessura calcolato al livello considerato pari ad uno dei seguenti valori nominali:

w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm w3 = 0,4 mm La verifica evidentemente prevista esclusivamente nel caso si adotti la precompressione parziale.

Ai fini delle verifiche vanno considerate le seguenti combinazioni:

combinazione quasi permanente; combinazione frequente.

Lacciaio armonico da c.a.p. classificato come sensibile.



6.7.5. Disposizione dei cavi e Fuso di Guyon

Nelle strutture inflesse landamento dei cavi di precompressione deve essere progettato in modo da contrastare efficacemente, in ogni sezione e nelle varie fasi, le azioni flessionali esterne. Al posto di eseguire una verifica analitica puntuale, si pu determinare quella posizione del Cavo Risultante per la quale siamo certi che sotto qualsiasi carico di impiego normale le sollecitazioni siano contenute allinterno dei valori di riferimento: molto spesso equivale ad imporre che il centro di pressione sia allinterno del nocciolo di inerzia. A tale scopo si consideri una trave semplicemente appoggiata a precompressione totale nella quale per semplicit sia presente un solo cavo post teso con configurazione curvilinea: 0. Nella condizione virtuale di sola precompressione (assenza di peso proprio), si pu definire

la posizione del centro di pressione affinch vengano rispettate le verifiche tensionali: 0 p0

c inf ckj

0 p0t sup

P yP y 0.70fA J

P yP y 0A J

da cui si ricava yp massima (dalla seconda si ricava il punto estremo del nocciolo, che spesso quello vincolante)



1. Nella condizione a vuoto iniziale (reale con contemporaneit del peso proprio e precompressione), si pu definire il punto di applicazione della precompressione affinch vengano ancora rispettate le verifiche tensionali; ai fini pratici tale punto pu essere

traslato verso il basso, di una quantit pp

pp0

MP

, tale che yp-pp sia al pi coincidente con

lestremo inf. del nocciolo o yp+pp sia al pi coincidente con lestremo sup.:



2. In presenza anche di carichi esterni (condizione in esercizio a tempo infinito), al fine di sfruttare appieno le risorse della sezione, il centro di pressione risultante pu al pi essere coincidente con lestremo superiore della trave e quindi il punto di applicazione della

precompressione pu trovarsi a non meno di una distanza di G Q

G Q

MP

questultimo, tale

che yp+G+Q sia al pi coincidente con lestremo sup. del nocciolo:

Ripetuto questo ragionamento lungo tutta la trave e nellipotesi di trazione uniforme del cavo , si definiscono due curve di inviluppo che delimitano la zona ammissibile per il Cavo Risultante. Tale spazio viene chiamato Fuso di Guyon.



Si osserva che:

se il cavo risultante si trova allinterno di questo fuso, la linea delle pressioni di tutti i carichi agenti sar sempre allinterno del nocciolo e pertanto tutte le sezioni della trave saranno interamente reagenti;

la forma del fuso dipende:

dalla forma e dimensioni della sezione, quindi dal nocciolo di inerzia;

dalla forma del diagramma dei momenti flettenti dovuti ai carichi agenti;

dallentit della forza di precompressione P0 e P

pu essere ulteriormente ingrandito se si ammette un livello di trazione accettabile nelle varie fasi.



Vediamo alcuni esempi: 1. Carichi distribuiti - fuso ottimale

La forma delle curve inviluppo sono di tipo parabolico in analogia del diagramma del momento flettente dei carichi applicati.

La situazione di massimo sfruttamento della precompressione, ossia di una progettazione ottimizzata rappresentata dalla coincidenza delle curve nella sezione di massima sollecitazione. Questa, ovviamente, rappresenta una situazione limite, difficilmente raggiungibile. Normalmente le parabole non si toccano, lasciando maggiore libert nella scelta del tracciato del cavo.



2. Carichi distribuiti e concentrati- fuso ottimale

Si ha ancora una progettazione ottimale, ma in questo caso la curva limite superiore presenta una cuspide in virt della presenza di un carico concentrato in mezzeria.

3. Carichi distribuiti - fuso normale



In questo caso la progettazione stata esuberante e si ottiene un fuso con le curve non coincidenti in un punto: significa che a tempo infinito la precompressione P stata sovradimensionata (si comprime pi di quanto non sia necessario)

4. Carichi distribuiti - fuso non ottimale

In questo caso la progettazione non ottimale, in quanto la precompressione iniziale P0 scarsa e non in grado di compensare pienamente i momenti flettenti allatto della tesatura, con una porzione di fuso esterno alla sezione. consigliato un aumento della precompressione o un aumento dellaltezza h della sezione. Inoltre la parabola viene troncata ad una distanza dmin dal bordo inferiore per ragioni costruttive a meno di non fare una precompressione a cavi esterni.



5. Situazione impossibile

In questo caso le curve limite si intersecano in due punti e quindi risulta impossibile collocare il cavo allinterno della trave; significa che la precompressione a tempo infinito P stata mal dimensionata, le perdite sono troppo grandi: opportuno aumentare il valore della precompressione P limitando le perdite, oppure aumentare lentit del momento dovuto ai pesi proprio o aumentando laltezza h della trave.



6.8. Calcolo a rottura - SLU La normativa vigente prevede anche per le travi in c.a.p. una specifica verifica allo S.L.U. Nel caso delle strutture in c.a.p. le verifiche in esercizi

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c.a.p. Isaia Clemente