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Jos F. Muoz P. Bonifacio Fernndez L. Eduardo Varas C.Departamento de Ingeniera Hidrulica y Ambiental. Pontificia Universidad Catlica de Chile.

ICH-2112HIDRULICA

Captulo 1

Profesores

Jos Francisco Muoz P. Bonifacio Fernndez L. Eduardo Varas C.

2004

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1.1.Introduccin.

En el curso de Mecnica de Fluidos se estudian los principios bsicos que rigen el

escurrimiento de fluidos en general. El estudio de los fluidos, contina en dos lneasms o menos independientes, pero muy relacionados entre s. Son ellas, el estudio delescurrimiento en contornos cerrados (tuberas) y el estudio del flujo en conductosabiertos o canales, que constituye la materia del curso de Hidrulica.

El escurrimiento en canales se caracteriza por tener una superficie libre, es decir, sujetaa presin atmosfrica, a diferencia del flujo en caeras que escurre a presin. Estehecho, complica la solucin del flujo, ya que la posicin de la superficie puede cambiaren el espacio y el tiempo y se tiene que la profundidad del agua, velocidades y gastosson dependientes de la pendiente del fondo y de la superficie libre.

En la figura 1.1 se comparan ambos casos de escurrimiento. En (a) se muestra la lneapiezomtrica, y la de energa para el caso de una tubera. La lnea piezomtrica estdeterminada por la altura a la cual llegara el nivel del lquido de los piezmetros de latubera y se puede apreciar la cota geomtrica del eje, las alturas de presin, las alturasde velocidad y las prdidas de energa..

En (b) se muestra un diagrama similar para el caso de un canal, suponiendo que lapendiente es pequea, la distribucin de velocidades uniforme y las lneas de flujorectas y paralelas. En este caso, la lnea piezomtrica coincide con la superficie libre delagua

Figura 1.1 Comparacin del escurrimiento a presin y de canal abierto.

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A modo de realizar un pequeo ejemplo de las diferencias entre tuberas y un canalabierto se presenta a continuacin el clculo de las prdidas de energa H

En el caso de las Tuberas se expresan las prdidas con la expresin de Darcy-Weisbach:

52

2

22

2

2

8

24

2

gD

LQf

gD

Q

D

LfH

gU

DLfH

=

=

=

En los canales:

310

342

21

21

32

35

213

2

A

nLPQH

nL

H

P

AQ

n

i

P

AU

i

L

H

m

m

m

=

=

=

=

Puede decirse en general, que es ms difcil resolver el escurrimiento en canales que elflujo en caeras y como consecuencia la Hidrulica requiere un mayor apoyoexperimental y emprico.

Las complicaciones surgen porque la posicin de la superficie libre en el espacio y en eltiempo vara, y por el hecho que la profundidad de agua, gasto, la pendiente de fondo yla pendiente de la superficie libre estn relacionadas entre s. Asimismo, lascaractersticas fsicas de los canales son de mayor complejidad que las de las caeras.En estas ltimas, su geometra es fija, normalmente circular, en cambio, en los canales,la forma de la seccin puede ser cualquiera variando desde circular a trapecial oirregular en los cauces naturales. La rugosidad de los paredes, tambin puede servariable, dependiendo de si el lecho es artificial o natural.

La Hidrulica naci como una respuesta a las necesidades prcticas de los Ingenieros,en un momento en el cual los matemticos empezaron a desarrollar la Hidrodinmica, lacual no contestaba algunos problemas prcticos y reales. Se desarroll as una cienciafundamentalmente emprica. Posteriormente se fueproduciendo una unin ms estrechaentre los avances de la mecnica de fluidos y aquella hidrulica emprica, formndose lahidrulica como se conoce hoy en da, la cual cuenta con una base fsica, analtica,completada con un apoyo experimental en los casos que ello se necesita.

Los problemas de Hidrulica requieren en muchos casos de soluciones de grancomplejidad numrica o algebraica. Por ello, hace aos los textos traan gran cantidad

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de grficos y tablas que ayudaban en la solucin de los problemas. Hoy da, gracias a lascalculadoras y computadores, se ha vuelto a dar nfasis al planteamiento algebraico y ala solucin numrica de los problemas.

La importancia de la Hidrulica en el contexto de la Ingeniera queda de manifiesto al

considerar algunas obras civiles con las siguientes.

Canales (regado, generacin hidroelctrica) Obras en embalses Centrales hidro-elctricas Obras de drenaje en carreteras Proteccin de riberas Puentes Obras de aprovechamiento de agua Obras de tratamiento

Todas estas obras requieren de la hidrulica para poder dimensionarlas, proyectarlas ydisearlas.

1.2 Clasificacin de los Escurrimientos

a).- Corriente Abierta: Escurrimiento producido por la gravedad en el que se estableceuna superficie libre sometida a presin atmosfrica. Ejemplos de este tipo deescurrimientos se presentan en la figura 1.2

a): Cauce Natural

b): Canal Artificial (Trapecial)

c): Acueductos, Alcantarillas, Tneles

Figura 1.2 Tipos de cauces en corrientes abiertas

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Definiciones en corrientes abiertas:

Eje Hidrulico: Lnea longitudinal del flujo que pasa por el fondo de la seccin y quecorresponde a la altura real del agua en escurrimiento. Se acostumbra a llamarEje Rojo:al dibujo en planta del eje hidrulico. Su nombre se debe a que, por convencin, sedibuja en rojo. (Figura 1.3)

La caracterstica principal de una corriente abierta es que una variacin decaudal provoca una variacin del rea (si la seccin es fija, el rea cambia debido a uncambio del Eje Hidrulico) y tambin de la velocidad ( recordar que Q = A * U) , yaque la altura de agua se ajusta a las condiciones de flujo.

a) Cauce en planta, Eje Rojo

b): Perfil o Seccin Transversal

c): Perfil Longitudinal, Eje hidrulicoFigura 1.3

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1.2.1.- Clasificacin Segn su Variacin en el Tiempo:

Escurrimiento Permanente: cuando en una seccin cualquiera del cauce, las

caractersticas del escurrimiento (P) permanecen constantes, es decir 0=

t

P.

Figura 1.4: Escurrimiento Permanente

No permanente ( tambin conocido como transiente, no permanente otransitorio) : cuando en una seccin cualquiera del cauce se producen

variaciones de sus caractersticas (P) en el tiempo, es decir 0

t

P. Se produce

este escurrimiento cuando se efectan detenciones bruscas del caudal, se iniciael funcionamiento o se activan dispositivos de control (cierres o aberturas de decompuertas).

Figura 1.5: Flujo No permanente

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1.2.2- Clasificacin Segn su Variacin en el Espacio:

Desde el punto de vista del espacio puede hablarse de flujo uniforme y flujovariado. Se dice que un escurrimiento es uniforme si las caractersticas del

escurrimiento son las mismas en todas las secciones. Los escurrimientos variados,pueden a su vez clasificarse en gradualmente variados y rpidamente variados osingularidades.

Escurrimiento Uniforme: los parmetros que definen el escurrimiento sonconstantes al desplazarse a lo largo del escurrimiento en cualquier seccin deltramo considerado. sta es la condicin de diseo que se debe cumplir siempre.(figura 1.5)

Figura 1.6: Escurrimiento Uniforme

Escurrimiento Variado: Al contrario, del escurrimiento uniforme, en elescurrimiento variado, los parmetros varan en cada seccin pero se mantienenconstantes en el tiempo, si el escurrimiento es permanente.

Figura 1.7 Escurrimiento Variado

Debido a que las variables tiempo y espacio son independientes, se puedencombinar ambas clasificaciones. As, por ejemplo, se puede hablar de escurrimiento

permanente uniforme, el cual es la condicin usual de diseo en canales, deescurrimiento permanente bruscamente variado, que corresponde al escurrimiento en las

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inmediaciones de las obras de arte o singularidades del canal; y escurrimientopermanente gradualmente variado, que permite analizar lo que ocurre a lo largo delcanal enlazando las singularidades con el rgimen uniforme. Este ltimo casocorresponde al estudio del denominado eje hidrulico.

Figura 1.8. Eje Hidrulico que se forma debido al flujo de una corriente por diversas

obras hidrulicas.

El curso de Hidrulica trata principalmente del escurrimiento permanente. Elflujo no permanente se genera al modificar la posicin de compuertas, en esclusas,cuando se producen ondas o bien cuando hay variaciones de caudal. Este tipo de

escurrimiento se estudiar en la ltima parte de este curso y con ms profundidad en elcurso de Hidrulica Avanzada.

La clasificacin del escurrimiento en corrientes abiertas se puede resumir como:

( )

Rpido

GradualUniformeNo

raroUniforme

permanenteNo

Rpido

Gradual

Variado

Uniforme

Permanente

ntoEscurrimie

__

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1.2.3.- Clasificacin Segn la Influencia de la Viscosidad:

La influencia de la viscosidad en el tipo de escurrimiento queda caracterizadapor un nmero adimensional llamado Nmero de Reynolds, definido en general como la

razn entre el producto de una velocidad y una longitud caractersticas y la viscosidadcinemtica del fluido. En el caso de corrientes abiertas se acostumbra a definir como:

H

cR

RU

asVisFuerzas

deInerciaFuerzasN

*

cos ==

donde U es la velocidad media, RH es el Radio Hidrulico definido comomP

A, Pm es el

Permetro mojado y es la viscosidad cinemtica.

El nmero de Reynolds permite diferenciar los tipos de flujo en laminar y turbulento. Seobserva escurrimiento laminar, de filetes paralelos, sin intercambio de cantidad demovimiento entre las capas de flujo cuando su valor es menor que 500. Existeescurrimiento de transicin cuando su valor est comprendido entre 500 y 2200.Finalmente, existe escurrimiento turbulento cuando el Nmero de Reynolds es superior a2.200. En la prctica, en los canales el escurrimiento es turbulento y las fuerzas viscosasno son preponderantes frente a las de inercia.

En el escurrimiento en tuberas, el nmero de Reynolds se define usando eldimetro como longitud caracterstica. Como en una seccin circular el radio hidrulicoes igual a la cuarta parte del dimetro, los lmites que definen el escurrimiento entuberas son distintos. En tuberas el lmite del escurrimiento laminar corresponde a un

Nmero de Reynolds de 2000.

Valores representativos de la viscosidad cinemtica del agua a diferentes temperaturasse presentan en la tabla 1.1.

Temperatura (C) (m2/s)

8 610*38.1

10 610*31.1

12 610*24.1

15 610*15.1

18 610*06.1

Tabla 1.1 Viscosidad cinemtica del agua a diferentes temperaturas

1.2.4.- Clasificacin Segn la Influencia de la Gravedad:

La fuerza de gravedad genera el movimiento del agua en corrientes abiertas yresulta preponderante con respecto a las fuerzas de inercia. El nmero de Reynolds

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tambin es importante, como en el caso de las tuberas, pero una de las pocassimplificaciones en canales abiertos es la existencia de un nmero de Reynolds alto, demanera que los efectos viscosos tienen menos importancia y la mayora de loscoeficientes y ecuaciones que caracterizan el flujo son invariables con el nmero deReynods.

El parmetro o nmero adimensional que caracteriza el tipo de escurrimientosegn la influencia de las fuerzas de gravedad es el nmero de Fraude que se definecomo:

GravedadFuerza

InerciaFuerza

hg

UFN

m

RF ===*

donde U es la velocidad media, g es la aceleracin de gravedad y hmes la profundidad

hidrulica definida comol

Ahm= , donde A es el rea y l el ancho superficial de la

seccin de escurrimiento. El escurrimiento se clasifica entonces en funcin del nmerode Fraude como:

Escurrimiento de Ro, o subcrtico, FR < 1 Escurrimiento Crtico FR = 1 Escurrimiento de Torrente o supercrtico FR > 1

1.3.- Caracterizacin del flujo en Canales:

El estudio de las corrientes abiertas incluye todos los cauces en que el aguaescurre con superficie libre. Los casos principales son los cauces naturales ( ros,esteros, arroyos y otros) y los cauces artificiales (canales, acueductos, tuberas no a

presin, alcantarillas y otros)

Las caractersticas de los cauces naturales son muy variadas y su estudio es mscomplejo ya que intervienen fenmenos especiales como son los problemas desedimentacin, erosin y cambios bruscos de seccin. Su tratamiento requiere usaralgunas simplificaciones.

Los cauces artificiales, independientemente de sus usos (riego, navegacin,abastecimiento de agua potable, uso hidroelctrico, etc.), son de caractersticas msregulares y su comportamiento se puede enfocar con herramientas matemticas en lamayora de los casos.

1.3.1.- Propiedades Geomtricas:

Los canales se disean generalmente de forma prismtica, con una seccinregular que se mantiene constante a lo largo de l en longitudes considerables. Lassecciones ms utilizadas son:

Rectangular:en materiales compactos como roca o artificiales como asbesto ocemento (prefabricados),

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Trapecial:es la ms usual ya que los taludes se adecuan a las caractersticas delterreno,

Circular:en galeras, tneles, alcantarillas, Parablico o abovedadas: en obras prefabricadas. Esta seccin presenta una

complejidad geomtrica mayor. Usualmente se suele realizar el diseo

geomtrico por partes.

Las caractersticas de una seccin quedan determinadas completamente enfuncin de la altura de agua h que se define como la distancia desde el punto ms bajode la seccin hasta la superficie libre

El resto de las propiedades geomtricas de la seccin, se expresan en funcin de la

altura h y son las siguientes:

-Ancho Superficial (l, T ):longitud transversal de la superficie libre.

-Seccin (A):superficie de la seccin de fluido perpendicular al flujo.

-Permetro Mojado (Pm): longitud de la superficie de contacto entre la seccin de lacanalizacin y el fluido. Tambin se mide en la seccin transversal.

-Profundidad Hidrulica o Profundidad Media (hm,D):se define como el promedio de

las alturas y est dado por la expresinerficialAncho

cinladereal

Ahm supsec==

-Radio Hidrulico (RH): razn entre el rea de la seccin y el permetro mojado

mH P

AR =

-Factor de seccin (Z): mhAZ *= . Este trmino es usado en varios libros de

hidrulica, pero poco utilizado para el presente curso.

-base (b):Longitud horizontal de la seccin transversal en el fondo.Las formulas geomtricas de las secciones ms usadas son las siguientes:

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a. Seccin rectangular

Superficie de la seccin A = b . h

Ancho superficial l = b

Permetro mojado Pm= b + 2h

Profundidad hidrulica hb

bh

l

Ah m ===

Radio hidrulico2hb

bh

P

AR

mH

+==

Profundidad del centro de gravedad 2h=

b

h

l

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b. .Seccin trapecial

Profundidad del centro de gravedad

m = inclinacin de taludes= largo horizontal porpor unidad de alto

A = h (b + mh)

l = b + 2 mh

Pm=2m12hb ++

RH=2m12hb

mh)h(b

++

+

hm= mh2b mh)h(b++

332211 AAAA ++=

3

h 31 ==

2

h 2=

mh)h(b

mh21

3hbh

2hmh

21

3h

22

+

++= 21 mh2

1A =

A2= bh

2

bh

3

mhA

23

+= A3=2mh

2

1

l

1

b

m

1 h

m

1

3

2

A2A3A1

l

h

b

m

1

m

1

l

b

m1

1 h

m2

1

nota: m= (m1+m2)/2

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c. .Seccin circular

Clculo del ngulo (en radianes)

hd/2

d

larcsen=

2

En ambos casos

)2

cos1(2

=

dh

Superficie de la seccin8

)( 2dsenA

=

Ancho superficialdsenl

hdhl

)2

(

)(2

=

=

Permetro mojado2

dPm

=

Radio Hidrulico )1(4

sendRh =

Profundidad hidrulica )

2

(8

sen

sendhm

=

Obs. en radianes

d

h

l

ld

h

r

r

Profundidad del centro de gravedad (en radianes y entre 0 y 2 )

)2

( hd

y =

A

send

y3

)2

()2

(2 33

=

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En la Figura 1.9 se presenta para una seccin circular, las diversas propiedadesgeomtricas expresadas en funcin de las propiedades de la seccin completamentellena.

Figura 1.9: Comparacin de las propiedades geomtricas en base a la situacin deseccin completamente llena.

1.3.2.- Distribucin de Velocidades

La distribucin de velocidades en un canal est influenciada por la forma del canal o dela seccin, la naturaleza de las paredes, el tipo de escurrimiento y las caractersticas delcanal. No existe una distribucin de velocidades vlida para todos los casos y para cada

situacin particular ella debe ser averiguada con medidas en terreno. En general lasvelocidades mayores se encuentran al centro de la seccin un poco debajo de lasuperficie libre y la distribucin en una vertical es del tipo

parablico con la mnima velocidad en el fondo y la mximaa una altura de 0.6 a 0.8 veces la altura de agua.

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Figura 1.10: Esquema

de distribucin de

velocidades

Las lneas de igual velocidad se llaman isotacas. La distribucin de velocidadesen un canal o cauce natural se obtiene por medio de aforos con molinetes.

A. Expresin general para la distribucin de velocidades en flujo turbulento en canales

Prantdl estableci que la tensin tangencial en un flujo sobre una superficie planacumple la siguiente ecuacin:

Siendo= masa especfica del fluidol =longitud de mezcla

Prantdl introdujo dos supuestos adicionales, supuso que la longitud de mezcla esproporcional a la distancia a la pared y que la tensin tangencial es constante.

Con estos dos supuestos la ecuacin queda de la siguiente manera

Experimentalmente se ha comprobado que la constante K es igual a 0.4

Luego

Integrando

2

2*

=

dy

dul

2

20 *

=

dy

duKy

y

dy

kdu

01=

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0

0 ln5.2y

yu

=

la raz se define como la velocidad de frotamiento y es igual a gRS y se designa por

u*

La ecuacin anterior se conoce como la ley universal de distribucin de velocidades .Seha evaluado la constante de integracin y0para lechos rugosos y lisos. En el caso decanales de pared lisa, la constante de integracin se puede expresar en funcin de lavelocidad de frotamiento y de la viscosidad cinemtica del fluido, de la siguientemanera:

*0 u

my

=

Experimentalmente, se ha determinado que el coeficiente m es igual a 1/9.

En el caso de los lechos de pared rugosa la constante de integracin es slo funcin dela aspereza de la pared. En este caso el coeficiente m es igual a 1/30.

mky =0

En consecuencia, al reemplazar los valores de la constante de integracin, para cadacaso se obtienen los dos expresiones siguientes para la distribucin de velocidades delflujo en conductos abiertos de paredes lisas y rugosas respectivamente:

** 975.5 yuLoguv=

k

yLoguv

3075.5 *=

B. Expresiones tericas para la velocidad media en la seccin

Las expresiones generales para la velocidad media en la seccin recta se pueden

obtener a partir de las leyes para la distribucin de velocidades. El caudal que circula(Q) es el producto de la velocidad media (V) por el rea de la seccin (A) y se puedeexpresar como la integral de la velocidad por el diferencial de rea. El diferencial derea a su vez, se puede escribir como el producto de la longitud de la curva de igualvelocidad (B) por el diferencial de altura (dy).

===hhvBdyvdAVAQ

00

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La longitud de la lnea de igual velocidad es funcin de la forma de la seccin, pero sepuede aproximar por una relacin lineal entre el permetro mojado (P) y de la altura deaguas (y). Esta expresin se puede integrar para obtener el rea.

yPB =

2/20

hPhBdyAh

==

Reemplazando la expresin general para la distribucin de velocidades, la expresinpara B y para el rea se obtiene al integrar, una expresin general para la velocidadmedia.

== A

h

Ry

Rhudy

y

yuyPV

41exp(ln5.2ln)(5.2

2

00

*

Esta expresin tambin se puede escribir como sigue:

+=

0

2* log75.5))

41exp(log(75.5

y

mR

A

h

mR

huV

En la expresin anterior el primer trmino es funcin de la forma de la seccin delcanal. No obstante, se ha visto que dicho trmino no es muy variable y se puedereemplazar por una constante (A0). Con ello la expresin queda finalmente como sigue:

)log75.5(0

0*

y

mRAuV +=

Esta es la expresin general para la velocidad media en un canal en funcin de lavelocidad de frotamiento (u*), del radio hidrulico (R) y la constante de integracin (y0).

Para los canales de paredes lisas, la constante A0toma el valor 3.25 y al reemplazar elvalor de la constante de integracin determinada anteriormente, se obtiene la expresingeneral para este caso :

)log75.525.3(*

*

RuuV +=

Para los canales de paredes rugosas la constante es ms variable y se han determinadovalores en el rango 3.25 a 16.92. Un valor promedio es 6.25 con lo cual la expresinfinal queda como sigue en funcin del radio hidrulico y la aspereza de pared (k) :

)log75.525.6(*k

RuV +=

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C. Relacin entre la velocidad media y la velocidad superficial

Es conveniente, a veces conocer la relacin entre la velocidad superficial de un flotadorUs, que es fcil de medir o estimar y la velocidad media en toda la corriente U (en

general U vara entre 0.7 y 0.9 veces Us):

Bazin, propuso las siguientes relaciones, dependiendo de la rugosidad de la pared:

- Canal de concretohU

U

S

013.0923.0 =

- Canal de tierrahU

U

S

10.0923.0 =

En Chile las experiencias de Casanueva , informadas por Domnguez, determinaron

relaciones en funcin del coeficiente de rugosidad de Manning y el radio hidrulica.

61

61

4.7 H

H

S Rn

R

U

U

+= vlida para 0.11 < RH < 1.19

En el caso de canales muy anchos, se propuso:

61

61

83.7H

H

S Rn

R

U

U

+=

Otras expresiones para el clculo de la velocidad media se presentan a continuacin:

U (0.8 a 0.9) usuperficial (frmula de Prony)

U0.5 (u0.2+ u0.8) (frmula de la USGS)

Uu0.4

Figura 1.11: Clculo de la velocidad media segn frmulas sealadas anteriormente

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La forma de la distribucin de velocidades tiene efecto en la evaluacin deltrmino de energa cintica y de cantidad de movimiento en toda la seccin. De estamanera si se considera la velocidad media U en la evaluacin de dichos trminos debeafectarse por el coeficiente de Coriolis (Energa Cintica) y por el coeficiente deBoussinesq (Cantidad de Movimiento) para estimar correctamente la energa cintica yla cantidad de movimiento.

Figura 1.12: Conversin de la distribucin de velocidades en velocidad uniforme

1.3.3. Energa Cintica de una Corriente Abierta:

En una corriente abierta se cumple que

Q = Q1+ Q2++ Qn ; Qi = vi*Ai ; y la Energa Cintica se expresa por2v*

2

1iim

La energa cintica por unidad de tiempo en un tubo de flujo cuya velocidad es v estadada por:

dt

mv

dt

Et2

2

1=

La masa que atraviesa la superficie elemental dA a una velocidad v durante un tiempo

dt es:

dAdlm =

luego

dAvvdt

dlperov

dt

dAdl

dt

Et 322

1

2

1=

=

Expresndola en trminos del caudal:

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21


22

2

1

2

1vdQv

dt

d

dt

Et =

=

donde: dQ representa el caudal que atraviesa la superficie dA.

La energa en toda la seccin, por unidad de tiempo, se obtiene integrando para el

caudal

== Q Qt dQ

g

vg

QdQv

Qdt

E

2

1

2

11 22

pero dQ = v dA, luego

=A

t dAg

vg

Qdt

E

2

1 3

Si considerramos que la velocidad en toda la seccin es constante e igual a la

velocidad media U se obtiene que:

== Qt

gU

gdQvQdt

E22

11 22

Se puede entonces estimar la energa cintica usando la velocidad media si seconsidera un coeficiente de correccin llamado Coeficiente de Coriolis ( ) tal que:

==AQ

dAg

vg

QdQ

g

vg

Qg

Ug

2

1

2

1

2

322

luegoAU

dAv

QU

dAv

g

Ug

dAg

vg

Q AAA3

3

2

3

2

3

2

2

1

==

=

La integral se puede determinar en forma analtica si se conoce la funcin dedistribucin de las velocidades en la seccin v(x,y) o bien en forma numrica si seconoce la velocidad en una cantidad de puntos vi(xi,yi) como:

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22


= =

i

n

iii

AU

Av

31

3

con

=

=i

iiA

A

Av

A

dAv

U

luego:

3

1

1

2

1

3

=

=

= =

n

iii

n

i

n

iiii

Av

AAv

==n

iii

A

AvvdAQ

Figura 1.13: Divisin de la seccin para el clculo de velocidades.

Valores usuales para el coeficiente de Coriolis se indican en la tabla siguiente:

Tipo

Canal Regular 1.1 - 1.2

Canal Natural 1.15 - 1.50

Ro en Crecida 1.5 2.0

siempre es mayor que 1. Cuando se considera que =1 se tiene que

g

U

dt

Et2

2

, y se comete un error por defecto ya que se dispone de mayor energa que la

estimada con =1.

1.3.4. Coeficiente de Boussinesq o de Cantidad de Movimiento:

El principio de la conservacin de la cantidad de movimiento establece que:

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23


dt

dMF iext=

La variacin de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo, en un tubo de

flujo, se expresa como:

+=A

vcii dAnvvdt

Md

dt

dM))((

)(

En rgimen permanente no existe variacin al interior del volumen de control (Vc)

luego

=A

i dAvdt

dM 2

si v = U en toda la seccin entonces UQdAUdt

dM

A

T == 2

Si v U y se desea utilizar U entonces se define el coeficiente tal que

dAvUQ

=2

= dAvUA22

==dAU

dAv

AU

dAv 2

2

2

=i

ii

AU

Av2

2

con = iiAvU y( )

( )2

2

2

=i

ii

A

AvU

luego

( )

( )22

=ii

iii

Av

AAv

En un tubo de control, considerando la velocidad media U en las secciones de

salida(2) y de entrada(1), se tiene que:

=+

12 UUQPFext

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Algunos de los valores de encontrados en la literatura son:

min med max

Canales regulares 1.03 1.05 1.07Cauces naturales y torrentes 1.05 1.10 1.17

Ros con cubierta de hielo 1.07 1.17 1.33

Ros de valles e inundaciones 1.17 1.25 1.33

Los coeficientes y dependen de la forma, tamao de la seccin y el tipo de

material del lecho.

1.3.5.Distribucin de Presiones

1.3.5.1 Efecto de la pendiente de fondo

a) Cuando la pendiente de fondo del canal es suave ( aprox. i

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Luego la presin en un punto es proporcional al producto del peso especfico del lquidopor la profundidad del punto, y se cumple la ley de la esttica de fluidos.

Figura 1.15: Presin segn altura en Pendiente suave

b) Cuando se trata de canales con pendiente fuerte ( aprox. i > 0.1), existe una diferenciaentre la perpendicular al fondo, que es la direccin normal al escurrimiento y la vertical.Por consiguiente la aceleracin de gravedad tiene componentes en la direccin normal ytangencial.

sas

p=

1

nan

p=

1

Interesa la variacin de presin en la seccin transversal n = z o n = -z

nan

p=

1

cos= gzp

cos= dgP con cos= dz

2cos= hgP

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Figura 1.16 Clculo de presiones para pendientes fuertes.

1.3.5.2.Efecto de la Curvatura de los filetes

Si existe curvatura apreciable de los lneas de corrientes el flujo, se denominacurvilnea. El efecto de la curvatura produce fuerza de aceleracin importantes,normales a la corriente que hacen que la distribucin de presiones deje de serhidrosttica en el plano transversal.

Curvatura Convexa (salida embalse) Curvatura Cncava (Disipador

Energa)

Figura 1.17 Cambio en la Presin debido a efectos de Curvaturas.

La presin real se desva de la ley hidrosttica, debido a los efectos de la fuerzacentrfuga.

La presin adicional, positiva o negativa proporcionada por la fuerza centrfugapuede calcularse, utilizando las ecuaciones de Euler.

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20@ =bf

2

2

1

1

VPhP

PhmV

a

am

Area

CF

ad

P

ad=

==

=

=

l

l

La presin total entonces en el fondo del elemento es

PT= P Hid + P ad

r

vhhPT

2

+=

=

rg

vhhPT

2

+ si F.C. hacia abajo (cncavo)

- si F.C. hacia arriba (convexo)

Realizando el mismo anlisis en planta, es decir considerando las curvas delcanal, la superficie libre sufre una variacin por efecto de la curvatura, que se traduce enun aumento de la altura de agua en un costado y una disminucin en el otro. Esteaumento de altura de agua debe considerarse en el diseo de la seccin completa.

Una forma aproximada de calcular esa altura es efectuando un equilibrio de fuerza paraun elemento de volumen de agua

Figura 1.18: Clculo de revancha, debido a efectos de presin por la curvatura.

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La diferencia de presiones que se produce a ambos lados del volumen, productode la diferencia de altura dh, equilibra la fuerza centrfuga.

riasuplementaRevancha2

y0y2/y0

Pr)(

2

0

2/

0

2

2

2

gR

VD

gRVh

Dentre

Integrando

degR

Vdh

Igualando

dsdhgPareaesindhFRVdsdlPamCF

D

l

l

l

l

=

=

=

==

==

1.3.6 Factor de friccin

Darcy y Weisbach propusieron expresar las prdidas de energa por friccin en lastuberas en funcin de la longitud (L), el dimetro(D), el factor de friccin (f) y la alturade velocidad mediante la siguiente expresin:

g

V

D

LfhL 2

2

=

El factor de friccin se puede calcular en funcin del Nmero de Reynolds y larugosidad relativa de la pared. En el escurrimiento laminar y en las caeras lisas es slofuncin del nmero de Reynolds y en el escurrimiento de transicin y turbulento esfuncin de ambos parmetros. La relacin entre el factor de friccin y el nmero deReynolds se acostumbra a presentar en el llamado grfico de Moody o de Satanton.

Una relacin similar se puede plantear para el caso del escurrimiento en conductosabiertos. En este caso, se reemplaza el dimetro por el radio hidrulico y el gradiente dela prdida de enrga por friccin por la razn de la pendiente (S) y la longitud (L). Porello el factor de friccin se puede escribir como sigue:

2

8

V

gRSf=

Investigadores de la Universidad de Illinois y de Minnesota han estudiado esta relacin,encontrando algunas diferencias de comportamiento dependiendo de la rugosidad de la

pared del canal y de su forma. Los resultados indican que en la regin laminar el factorde friccin se puede expresar como la razn entre una constante y el nmero de

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Reynolds. Esta constante es igual a 14 para canales de seccin triangular y 24 paracanales rectangulares.

La zona turbulenta en general queda bien representada por las ecuaciones propuestaspara tuberas por Blasius y Prantdl y von Karman. Es decir

25.0

223.0

RNf=

4.0)(21

+= fNLogf

R

En los canales de pared lisa en rgimen turbulento, no se aprecia una influencia de laforma de la seccin. En cambio la forma es importante en los canales de paredes

rugosas.

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