Cap1 Signals & Systems

CAPÍTULO 1 Descripción Matemática de Señales

1.1 Definición y Tipos de Señales.1.2 Funciones en tiempo continuo.1.3 Funciones de señales en tiempo continuo.1.4 Funciones y combinaciones de funciones.1.5 Transformaciones de escalamiento y desplazamiento en tiempo continuo.1.6 Funciones par e impar de tiempo continuo.1.7 Diferenciación e integración.1.8 Funciones periódicas en tiempo continuo.1.9 Energía y Potencia de una señal.1.10 Ejercicios.

13/04/2023 1Señales y Sistemas

13/04/2023 Señales y Sistemas 2

Es algún fenómeno físico que varía en el tiempo y es usada para transmitir información.Ejemplos :

La voz humanaLas variaciones de velocidad de un automóvil.El código Morse.

Señales modernas:La variación del voltaje en un condensador.Los voltajes en los cables telefónicos.Los campos eléctricos que emanan de los transmisores de radio o televisión.Las variaciones de la intensidad luminosa en una FO

El ruido, que algunas veces se denomina señal aleatoria al ser un fenómeno físico que varía en el tiempo, pero a diferencia de una señal no suele llevar información útil y casi siempre se considera indeseable.

1.1.1 Definición de Señales







Cada una de estas:Proviene de una fuente donde se genera el

fenómeno físico -> Medición de intensidad o evento

La información proviene de analizar un comportamiento

Variación con respecto del tiempo solamente o por ejemplo también del espacio







Sistema: Conjunto de componentes que interactúan entre sí para cumplir un objetivo.

Procesan la información


1.1.2 Tipos de Señales.

Señal de tiempo continuo:

Debe estar definida para todo instante de tiempo.Se tiene una discontinuidad cuando la función no esta definida para un valor.

Otro nombre común para una señal de tiempo continuo es el de señal analógica. El término analógico proviene del hecho de que en muchos sistemas la variación de la señal analógica con el tiempo es análoga a algún fenómeno físico está siendo medido o supervisado.


Señal de Tiempo Discreto:El conjunto de muestras que se toman de una señal de tiempo continuo es una señal de este tipo.El proceso de muestreo: tomar valores de ella en puntos discretos en el tiempo y luego utilizar sólo las muestras para representar la señal original de tiempo continuo.Una señal de tiempo discreto tiene valores definidos sólo en puntos discretos en el tiempo y no entre ellos.

Una señal de valor continuo es aquella que puede tener un valor que se halla dentro de un continum de valores permitidos.

El continum puede tener una extensión finita o infinita. Un continum es un conjunto de valores sin "espacio" entre los valores permitidos. Dos valores permitidos pueden estar arbitrariamente cerca uno del otro.


El conjunto de números reales es un continum con extensión infinita. El conjunto de números reales entre cero y uno es un continum con extensión finita.


Una señal de valor discreto sólo puede tener valores tomados de un conjunto discreto de valores.

Un conjunto de valores discretos = espacio finito entre valores permitidos.

El conjunto de enteros es un ejemplo de un conjunto de valores discretos. Las señales de tiempo discreto suelen transmitirse como señales digitales.


Una señal aleatoria es aquella cuyos valores no pueden predecirse con exactitud y que no es posible describirla por medio de ninguna función matemática. Un nombre común para una señal aleatoria es el de ruido.

Una señal no aleatoria, que también recibe el nombre de señal determinística, es aquella que es posible describir matemáticamente, al menos de manera aproximada.


1.2 Funciones en Tiempo continuo

Funciones en Tiempo Discreto


La señal es el fenómeno físico real que lleva información, y la función es una descripción matemática de la señal.

Con funciones de la forma g(x), la variable independiente x puede tener:

cualquier valor real en un continum de valores reales.

Si la variable independiente es el tiempo t y puede tener cualquier valor real, la función g(t) recibe el nombre de función de tiempo continuo (TC) debido a que se define sobre un continum de puntos en el tiempo.


(b) ilustra una función con una primera derivada discontinua(d) presenta una función discontinua.

)(lim)(lim 00 tgtg

Por lo tanto, los términos continuo y tiempo continuo significan cosas diferentes.

Una función en TC se define sobre un continum de tiempos, pero no necesariamente es continua en todo punto en el tiempo.

Las cuatro funciones de la figura son de tiempo continuo porque sus valores se definen en un continum de tiempos t.

Son funciones de Tiempo Continuo?


1.3 Funciones de señales en tiempo continuo.

1.3.1 Exponenciales Complejas y Senoides

Algunas de las funciones matemáticas que se usan para describir señales ya deben ser familiares: Senoides en TC.

tAtfA

Tt

Atg ooo

cos2cos2

cos)(

Y funciones exponenciales: tjtAeAetg oo

ttj ooo sincos)(

Donde: A = amplitud de la senoide o exponencial compleja.To = periodo fundamental real de la senoide.fo = frecuencia fundamental real de la senoide, Hz.ωo = frecuencia fundamental real de una senoide, radianes por segundo (rad/s).t = tiempo continuoσo = velocidad de amortiguamiento real.


En la figura las unidades indican que tipo de señal física se describe

En el análisis de señales y sistemas, las Senoides se expresan de dos maneras:

a. En forma de la frecuencia cíclica “f”.

b. En la forma de la frecuencia ω en radians.


En la figura las unidades indican que tipo de señal física se describe

En el análisis de señales y sistemas, las Senoides se expresan de dos maneras:

a. En forma de la frecuencia cíclica “f”.

b. En la forma de la frecuencia ω en radians.

Los senos, cosenos y exponenciales en TC son continuos y diferenciables en todo punto en el tiempo


1.3.2 Funciones con discontinuidades.

Una operación muy común en los sistemas es la activación o desactivación de una señal en algún tiempo especificado. Algunos ejemplos de las señales que se activan o desactivan se presentan en la figura.




Cada una de ellas tiene un punto en el que son discontinuas o su primera derivada lo es.




Es posible describir mejor matemáticamente las señales de este tipo multiplicando una función que es continua y diferenciable todo el tiempo por otra función que es cero antes de algún tiempo y uno después de este tiempo, o uno antes y cero después.


1.3.3 Funciones singulares y relacionadas.

En el análisis de señales y sistemas existe un conjunto de funciones que se relacionan entre sí a través de integrales y derivadas que pueden utilizarse para describir matemáticamente señales que tienen discontinuidades o derivadas discontinuas. Éstas reciben el nombre de funciones singulares.

1.3.3.1 La función escalón unitario

Antes de definir la función escalón unitario es importante establecer un principio del análisis de señales y sistemas. Considérese la función,

En t = to el valor no está definido


Supóngase ahora que se redefine g(t) como:

y se define otra función h(t) como:

g(t) y h(t) son desiguales debido a que sus valores son diferentes en el punto t = to. Pero las integrales definidas de estas dos funciones para cualquier intervalo son iguales; no aproximadamente iguales, exactamente iguales. Esto es,


Para cualquier α y β, incluido α < to < β. Lo anterior puede demostrarse escribiendo la integral de g(t) como

o

o

o

o

t

t

t

t

dttgdttgdttgdttg )()()()(

o

o

o

o

t

t

t

t

dttgdttgdttgdttg )(lim)(lim)(lim)(lim 0000

o

o

o

o

t

t

t

t

dttgdttgdttgdttg )()()()(lim 0

o

o

t

t

dttgdttgdttg )()()(lim 0


o

o

o

o

t

t

t

t

dtthdtthdtthdtth )()()()(

o

o

o

o

t

t

t

t

dtthdtthdtthdtth )(lim)(lim)(lim)(lim 0000

o

o

o

o

t

t

t

t

dtthdtthdtthdtth )()()()(lim 0

o

o

t

t

dtthdtthdtth )()()(lim 0

Para cualquier α y β, incluido α < to < β. Lo anterior sigue su demostración escribiendo la integral de h(t) como


Por tanto:

o

o

t

t

dtthdtthdtth )()()(lim 0

o

o

t

t

dttgdttgdttg )()()(lim 0

En el límite conforme ε tiende a cero, la integral de g(t) correspondiente a t0 + ε y t0 - ε tiende a cero debido a que el valor de la función es finito y el área bajo ella en el mismo intervalo tiende a cero en ese límite.

De manera similar, la integral la integral de h(t) correspondiente a t0 + ε y t0 - ε tiende a cero, aun cuando los valores de las funciones de g(t) y h(t) son diferentes en t = to.

Dos funciones cualesquiera que tienen valores finitos en todas partes y que difieren en valor sólo en un número finito de puntos aislados, son equivalentes en su efecto sobre cualquier sistema físico real. Las respuestas de cualquier sistema físico real a la excitación producida por las dos señales son idénticas.


A continuación se define la función escalón unitario en TC como:

0 t 0

0 t 2/1

0 1

)(

t

tu

La gráfica del lado izquierdo de la figura se dibuja de acuerdo con la definición matemática rigurosa.


Señal de tiempo continuo:

Cuál es la señal de salida?

Que pasa con la función antes de t=0


Algunos autores definen el escalón unitario por medio de:

Para la mayoría de los fines de análisis estas definiciones son equivalentes. Los escalones unitarios descritos por ellas tienen un efecto idéntico sobre cualquier sistemas físico real.

El escalón unitario se define y usa en el análisis de señales y sistemas debido a que se puede representar matemáticamente una acción muy común en los sistemas físicos reales, la rápida conmutación de un estado a otro.


1.4.3.2 La función sigmun

La función sigmun se relaciona estrechamente con la función escalón unitario. Para argumentos distintos de cero, el valor de la función sigmun tiene una magnitud de uno y un signo que es igual al de su argumento. Por esta razón algunas veces recibe el nombre de función de signo.

1)(2

0 t 1

0 t 0

0 1

)sgn(

tu

t

t


1.4.3.3 La función rampa unitaria

Otro tipo de señal que ocurre en los sistemas es una que se activa en algún tiempo y cambia linealmente a partir de ese tiempo a una que cambia linealmente antes de algún tiempo y se desactiva en ese instante.


La función rampa unitaria en TC es la integral de la función escalón unitario. Recibe el nombre de función rampa unitaria debido a que, para un valor positivo de t, su pendiente es uno

)(0 0

0t )( ttudu

t

ttramp

t

La rampa se define mediante

t

dutramp )(

El símbolo λ se usa en la ultima ecuación como la variable independiente de la función escalón unitario y como la de integración. Sin embargo, t se utiliza como la variable independiente de la función rampa.

La ultima ecuación señala que, para determinar el valor de la función rampa en cualquier valorarbitrario de t, inicie con infinito negativo como el argumento λ de la función escalón unitario y desplácese, en λ, hasta donde λ=t, acumulando en todo ese tiempo el área bajo la función escalón unitario. El total acumulada desde λ=-∞ a λ=t es el valor de la función rampa con un argumento de t


Para valores de t menores que cero, no se acumula ningún área. Para valores de t mayores que cero el área que se acumula es igual a t debido a que es simplemente el área de un rectángulo con ancho uno.


1.4.3.4 El impulso unitario

Antes de que se defina el impulso unitario se debe explorar una idea importante. Considérese un pulso de área unitaria rectangular definido por la función

Permita que esta función multiplique a otra función g(t), la cual es finita y continua en t = 0, y determine el área bajo el producto de las dos funciones,

dttgtA a )()(

Si α=1Es conocida como Pulso Rectangular Unitario


Mediante la definición de δa(t) es posible rescribir la integral como:

)2/(

)2/(

)(1

a

a

dttga

A

Ahora considere que se toma el límite de esta integral cuando a tiende a cero. En ese límite, los límites de integración se acercan al mismo valor, cero, desde arriba y desde abajo. Como se está evaluando el valor de una función sobre el intervalo abarcado por la integración, cuando a tiende a cero el valor de g(t) tiende al mismo valor en ambos límites y en cualquier lugar entre ellos debido a que es continua y finita ent = 0. De modo que, en ese límite, el valor de g(t) se vuelve g(0), una constante y puede sacarse del proceso de integración. Entonces

)0()0()2/()2/(1

)0(1

)0(lim

)0(1

)(lim1

)(1

limlim

)2/(

)2/(

0

)2/(

)2/(

)2/(

)2/(

0

)2/(

)2/(

00

ga

agaa

agdt

agA

dtga

dttga

dttga

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

aa


En el límite cuando a tiende a cero, la función δa(t) tiene la propiedad de extraer el valor de cualquier función finita continua g(t) en el tiempo t = 0 cuando se integra el producto de δa(t) y g(t) entre dos límites cualesquiera que incluyan el tiempo t = 0.

El impulso δ(t) pude definirse por la propiedad que establece: cuando se la multiplica por cualquier función g(t), la cual es finita y continua en t=0, y el producto se integra entre los limites que incluyen t=0, el resultado es:

dttgtdttgtg aa )()(lim)()()0( 0

La función escalón unitario es la derivada de la función rampa unitaria. Una manera de introducir el impulso unitario es definirlo como la derivada de la función escalón unitario. En términos estrictos, la derivada del escalón unitario u(t) no está definida en t = 0. Sin embargo, considere una función g(t) del tiempo y su derivada con respecto al tiempo g'(t) tal y cual como se muestra en la figura


La derivada de g(t) existe para todo “t” excepto en t = -(a/2) y t = +a/2. En el límite cuando a tiende a cero, la función g(t) se acerca a la función escalón unitario. En el mismo límite, el ancho de la función g'(t) tiende a cero mientras su área permanece igual, uno.

De modo que g'(t) es un pulso de corta duración cuya área es siempre uno, la misma que la definición inicial de δa(t) dada previamente con las mismas implicaciones. El límite cuando a tiende a cero de g'(t) recibe el nombre de derivada generalizada de u(t).Por lo tanto, el impulso unitario es la derivada generalizada del escalón unitario.

La derivada generalizada de cualquier función g(t), con una discontinuidad en el tiempot = to, se define como:

0 ),()()(lim)()( 00 tttgtgtgdtd

tgdtd

ott


Como el impulso unitario es la derivada generalizada del escalón unitario, debe concluirse que el escalón unitario es la integral del impulso unitario.

t

dtu )()(

Como la derivada del escalón unitario u(t) es cero en todos lados excepto en t = 0, el impulso unitario es cero en todos lados salvo en t = 0. Puesto que el escalón unitario es la integral del impulso unitario, una integral definida del impulso unitario cuyo intervalo de integración incluye t = 0 debe tener el valor de uno.

Duración Cero, Área = 1


Propiedad del Productoes entonces un pulso cuya altura en el punto medio es Ag(to)/a y cuyo ancho es a. En el límite cuando a tiende a cero, el pulso se vuelve un impulso y su intensidad es Ag(to). Por lo tanto,

)()()( ottAtgth

donde el impulso Aδ(t - to) tiene una intensidad de A y ocurre en el tiempo t = to.

)()()()()( ooo tttAgttAtgth


La ecuación ultima ecuación algunas veces recibe el nombre de equivalencia del impulso

)()()()()( ooo tttAgttAtgth


Otra propiedad importante del impulso unitario que se desprende de manera natural de la propiedad de equivalencia es la llamada propiedad de muestreo,

)()()( oo tgdttttg

Ésta se observa con facilidad cuando, de acuerdo con la propiedad de equivalencia, el producto g(t)δ(t- to) es igual a g(to) δ(t- to). Puesto que to es un valor particular de t, es una constante y g(to) también lo es y

)()()()()( oooo tgdttttgdttttg

La ultima ecuación se denomina propiedad de muestreo del impulso debido a que muestrea el valor de la función g(t) en el tiempo t = to. Algunas veces se conoce también como propiedad de selección debido a que selecciona el valor de g(t), en el tiempo, t = to.

Otra propiedad importante de la función de impulso es la de escalamiento oo tt

atta 1


1.4.3.5 La Comb unitaria

Otra función útil es la función comb unitaria tal y cual como se muestra en la figura. La función comb unitaria es una secuencia de impulsos unitarios uniformemente espaciados.

enteroun esn ,)(

n

nttcomb

Ésta es una función comb unitaria debido a que la intensidad de cada impulso, el espaciamiento entre impulsos y el valor promedio de la función son todos iguales a uno.

Las funciones de impulso y comb quizá parezcan abstractas e irreales. El impulso se presentará después como un resultado de una operación fundamental del análisis de sistemas lineales, la integral de convolución. Aunque, como una cuestión práctica, es imposible generar un impulso verdadero, el impulso matemático es muy útil en el análisis de señales y sistemas, al igual que la función comb, que es una repetición periódica de impulsos.


1.4.3.6 La función rectángulo unitario

Un tipo muy común de señal que ocurre en sistemas es aquella en la que la señal x(t) se activa en algún tiempo y se desactiva en un instante posterior.

2/1t 0

2/1t 2/1

2/1t 1

)(trect

La función rectángulo unitario, tal y cual como se muestra en la figura, se define para este propósito. Es una función rectángulo unitario porque su ancho, altura y área son iguales a uno.

La función rectángulo unitario puede considerarse como una función de compuerta. Cuando la función rectángulo unitario multiplica a otra función, el resultado es cero fuera del intervalo distinto de cero de la función rectángulo y es igual a la otra función dentro del intervalo distinto de cero de la función rectángulo. El rectángulo "abre una compuerta", permitiendo que la otra función pase y luego se cierra de nuevo.


1.4.3.7 La función triángulo unitario

La función triángulo unitario se define en la figura. Se denomina triángulo unitario porque su altura y área son ambas iguales a uno (pero el ancho de su base no lo es).

1t 0

1t 1)(

tttri

1.4.3.8 La función sinc unitario

La función sinc unitaria también se relaciona con la función rectángulo unitario. Es la transformada de Fourier de la función rectángulo unitario en TC.

La función sinc unitaria se denomina una función unitaria porque su altura y área son ambas iguales a uno.

t

tt

)sin(

)(sinc


Otras formas adicionales de notación empleada para la función “sinc”


1.4.3.9 La función de Dirichlet

Una función que se relaciona con la función sinc es la función de Dirichlet, definida por

)(

)(),(

NtsenN

NtsenNtdrcl

Para N impar, la similitud con la función sinc es evidente; la función de Dirichlet es una suma de funciones sinc espaciadas uniformemente. El numerador sen(Nπt) es cero cuando t es cualquier múltiplo entero de 1/N. Por lo tanto, la función de Dirichlet es cero en esos puntos, a menos que el denominador sea también cero. El denominador N sen(Nπt) es cero para todo valor entero de t. Por lo tanto, se debe utilizar de nuevo la regla de L'Hopital para evaluar la función de Dirichlet en valores enteros de t.

1)cos(

)cos(lim),(lim

)(

)(lim),(lim

tN

NtNNtdrcl

NtsenN

NtsenNtdrcl

mtmt

mtmt

donde m es un entero. Si N es par, los extremos de la función de Dirichlet se alternan entre + 1 y -1. Si N es impar, todos los extremos son + 1.


1.5 Funciones y combinaciones de funciones.

La notación estándar para funciones en TC está en la forma g(t) en la que g es el nombre de la función y todo lo que está dentro del paréntesis se denomina el argumento de la función.

El argumento es una expresión escrita en términos de la variable independiente. En el caso de g(t), t es la variable independiente y la expresión es la más simple posible en términos de la propia t.

Una función en la forma g(t) crea y produce un valor para g correspondiente a todo valor de t que acepta. El argumento de la función no necesita ser sólo la variable independiente. Puede ser cualquier expresión matemática escrita en términos de la variable independiente, incluso otra función de ésta.

34

3232

1643)(

2223)2(23)(

tttg

tttgtttg

)20cos(10)(

)20cos(10)(tt eeg

ttg


1.5 Funciones y combinaciones de funciones, continuación…


Ejemplo 2.1

Utilizando MATLAB, grafique estas combinaciones de funciones,

)20cos()(sinc)(

)19()20()(

2

21

tttx

tsenetsenetxt

t

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

t

x 1(t)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

t

x 2(t)


Command Window:

>> t=0:1/120:6;x1=exp(-t).*sin(20*pi*t)+exp(-t/2).*sin(19*pi*t);>> subplot(2,1,1);p=plot(t,x1,'k');set(p,'Linewidth',2);>> xlabel('\itt');ylabel('x_1({\itt})');>> t=-4:1/60:4;x2=sinc(t).*cos(20*pi*t);>> subplot(2,1,2);p=plot(t,x2,'k');set(p,'Linewidth',2);>> xlabel('\itt');ylabel('x_2({\itt})');

)20cos()(sinc)(

)19()20()(

2

21

tttx

tsenetsenetxt

t


1.6 Transformaciones de escalamiento y desplazamiento en tiempo continuo.

En el análisis de señales y sistemas es importante tener la capacidad para describir señales tanto analítica como gráficamente, junto con la capacidad para relacionar entre sí dos tipos diferentes de descripciones.

En consecuencia, se van a considerar algunas descripciones gráficas de funciones para deducir cómo se observan cuando la función se transforma.

Deje que g(t) se defina mediante la gráfica de la figura. Puesto que la gráfica sólo se extiende sobre el intervalo -5 < t < 5, no se sabe qué sucede con la función fuera del intervalo sin información auxiliar. Para evitar complicaciones suponga que g(t) = 0, ItI > 5.


1.6.1 Escalamiento de Amplitud.

Considere primero la transformación funcional más simple, multiplicando la función por una constante. Esta transformación se indica con la notación

)()( tAgtg

21

)(21

)()( Atgtga

))(()1()()1()(

1

)(

tgtgtg

A

b

En el caso (b) se produce una inversión.


1.6.2 Desplazamiento en el tiempo.

El desplazamiento en el tiempo afirma que la transformación 0ttt

Donde t0 es una constante arbitraria, tiene el efecto de desplazar g(t) ala derecha en t0 unidades , en cambio si t0 es negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda por |t0| unidades.

Ejemplos de funciones escalón unitario sobre las cuales se han efectuado transformaciones.


1.6.3 Escalamiento en el tiempo.

Considere a continuación la transformación funcional indicada por:at

t


1.6.3 Escalamiento en el tiempo, continuación..

Es posible hacer un resumen diciendo que la transformación funcional de escalamiento en el tiempo t →t/a expande la función horizontalmente por un factor de lal y, si a < 0, la función también se invierte en el tiempo.

La inversión en el tiempo significa invertir la curva con el eje g(t) como el eje de rotación de la inversión. El caso de una a negativa puede concebirse como dos transformaciones sucesivas, t →-t, seguidas por t →t l lal. El primer paso t →-t simplemente invierte el tiempo de la función sin cambiar su escala horizontal. El segundo paso t →t l lal realiza un escalamiento en el tiempo de la función, que ya ha sido invertida en el tiempo, por un factor de escalamiento positivo lal.

El escalamiento en el tiempo también puede indicarse mediante la transformación t →bt. Esto no es nuevo debido a que es lo mismo que t →t/a con b →1/a. De este modo todas las reglas del escalamiento en el tiempo son válidas con esta relación entre las dos constantes de escalamiento a y b.


1.6.4 Transformaciones múltiples.

Las tres transformaciones, escalamiento en amplitud, escalamiento en el tiempo y desplazamiento en el tiempo pueden aplicarse de manera simultanea, por ejemplo,

a

ttAgtg 0)(

Para entender el efecto suele ser mas adecuado descomponer una transformación como la anterior en transformaciones simples sucesivas

Observe aquí que el orden de las transformaciones es importante. Por ejemplo si se intercambia el orden de las operaciones de escalamiento y de desplazamiento en el tiempo, se obtiene

El resultado de esta secuencia de transformaciones es diferente del resultado anterior, a menos que a = 1 o t0 = 0.


Se podría seguir esta secuencia y obtener el resultado precedente de la primera ecuación mediante un desplazamiento en el tiempo diferente si se observa que

Luego seria posible desplazar primero en el tiempo y después escalar en el tiempo, lo que se produce

Sin embargo, aun cuando esto funciona, es mas simple y mas lógico utilizar la primera secuencia, escalamiento en el tiempo antes de desplazamiento en el tiempo. En una transformación diferente, quizá sea mejor una secuencia diferente, por ejemplo,

En esta caso la secuencia del escalamiento de amplitud, el desplazamiento en el tiempo y el escalamiento en el tiempo es la trayectoria mas simple para una transformación correcta.


Las figuras ilustran algunas etapas de transformación para dos funciones. En estas figuras ciertos puntos se marcan con letras, empezando con “a” y siguiendo alfabéticamente. Cuando se efectúa cada transformación funcional, los puntos correspondientes tienen la misma designación de letras.


Las figuras ilustran algunas etapas de transformación para dos funciones. En estas figuras ciertos puntos se marcan con letras, empezando con “a” y siguiendo alfabéticamente.

Cuando se efectúa cada transformación funcional, los puntos correspondientes tienen la misma designación de letras.


Ejemplo 2.2


0 5 10 15 20

-10

0

10

20

t

g(t)

Funcion original, g(t)

0 5 10 15 20

-10

0

10

20

t

3g(t

+1)

Primera transformacion

0 5 10 15 20

-10

0

10

20

t

g(3t

)/2

Segunda transformacion

0 5 10 15 20

-10

0

10

20

t

-2g(

(t-1

)/2)

Tercera transformacion

Resultado de la aplicación en Matlab


function y=g(t)%calcule la variación funcional de cada intervalo de t.y1=-4-2*t;y2=-4+3*t;y3=16-2*t;%Una las diferentes variaciones funcionales en sus respectivos %intervalos de validez.y=y1.*(-2<t&t<=0)+y2.*(0<t&t<=4)+y3.*(4<t&t<=8);

Archivo g.m

%Programa para graficar la función , g(t)y después graficar%3*g(t+1),g(3*t)/2 y -2*g((t-1)/2)tmin=-4;tmax=20;dt=0.1;t=tmin:dt:tmax;g0=g(t);g1=3*g(t+1);g2=g(3*t)/2;g3=-2*g((t-1)/2);

Archivo trans.m

Continua el archivo en la siguiente diapositiva…


%Determine los valores g máximo y mínimo en todas las funciones%transformadas y úselos para escalar del mismo modo todas las graficas.

gmax=max([max(g0),max(g1),max(g2),max(g3)]);gmin=min([min(g0),min(g1),min(g2),min(g3)]);%Grafique las cuatro funciones en un arreglo de 2 por 2.

%Grafíquelas todas en la misma escala mediante el comando axis.%Dibuje líneas de una cuadricula, utilizando el comando grid para facilitar la lectura de los valores.

subplot(2,2,1);p=plot(t,g0,'k');set(p,'LineWidth',2);xlabel('t');ylabel('g(t)');title('Funcion original, g(t)');axis([tmin,tmax,gmin,gmax]);grid;subplot(2,2,2);p=plot(t,g1,'k');set(p,'LineWidth',2);xlabel('t');ylabel('3g(t+1)');title('Primera transformacion');axis([tmin,tmax,gmin,gmax]);grid;subplot(2,2,3);p=plot(t,g2,'k');set(p,'LineWidth',2);xlabel('t');ylabel('g(3t)/2');title('Segunda transformacion');axis([tmin,tmax,gmin,gmax]);grid;subplot(2,2,4);p=plot(t,g3,'k');set(p,'LineWidth',2);xlabel('t');ylabel('-2g((t-1)/2)');title('Tercera transformacion');axis([tmin,tmax,gmin,gmax]);grid;

Archivo trans.m, continuación…


1.7 Funciones par e impar de tiempo continuo

Algunas funciones tienen la propiedad de que al experimentar cierto tipo de transformaciones no cambian en realidad. Se dice que son invariantes bajo esa transformación.

Una función par es aquella que es invariante bajo la transformación t →-t.

Una función impar es aquella que es invariante bajo la transformación g(t) →-g(-t).

Esto es, una función par g(t) es aquélla para la cual:

Una función impar es aquélla para la que:

Una manera sencilla de visualizar funciones pares e impares consiste en imaginar que el eje de las ordenadas [el eje g(t)] es un espejo. Para funciones pares, la parte de g(t) para t > 0 y la parte de g(t) para t < 0 son imágenes en espejo una de la otra. Para una función impar, las mismas dos partes de la función son imágenes en espejo negativas una de la otra.

)()( tgtg

)()( tgtg


Las figuras muestran algunos ejemplos de las funciones par e impar.


Algunas funciones son par, algunas son impar y algunas no son ni par ni impar. Sin embargo, cualquier función g(t), incluso si no es ni par ni impar, puede expresarse como la suma de sus partes par e impar como g(t) = ge(t) + go(t).

En otras palabras, cualquier función se compone de una parte par más una parte impar. Las partes par e impar de una función g(t) son:

2

)()()(

2

)()()(

tgtgtg

tgtgtg

o

e

Suponga, por ejemplo que g(t) es una función par. Entonces

02

)()(2

)()()(y )(

2)(2

2)()(

2)()(

)( tgtgtgtgtgtg

tgtgtgtgtgtg oe

Suponga, por ejemplo que g(t) es una función impar. Entonces

)(2

)(22

)()(2

)()()(y 0

2)()(

2)()(

)( tgtgtgtgtgtg

tgtgtgtgt

tg oe


Ejemplo 2.3


1.7.1 Sumas, productos, diferencias y cocientes de funciones pares e impares

FUNCIONES PARES

1. La suma de dos funciones pares también es par.2. El producto de dos funciones pares es también par.3. La diferencia de dos funciones pares es par.4. El cociente de dos funciones pares es par.

FUNCIONES IMPARES

5. La suma de dos funciones impares también es impar.6. El producto de dos funciones impares es par.7. La diferencia de dos funciones impares es impar.8. El cociente de dos funciones impares es par.

FUNCION PAR E IMPAR

1.Si una función es par y otra es impar, su producto y cocientes son impares.

Nota: Las mas importantes funciones par e impar en el análisis de señales son los cosenos y los senos. Los cosenos son pares y los senos son impares.


1.7.2 Diferenciación e integración de funciones pares e impares

La derivada de cualquier función par es una función impar. De manera similar, la derivada de cualquier función impar es una función par.

La integral de cualquier función par es una función impar mas una constante de integración, y que la integral de cualquier función impar es una función par, mas una constante de integración.


MATLAB tiene varias funciones integradas, aparte de las funciones trigonométricas y exponenciales que se utilizan para generar formas de onda de diversos tipos.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

chipr-A"chirped" cosine

t

x 1(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

diric - La funcion de Dirichlet de MATLAB

t

x 2(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

sawtooth - Un diente de sierra periodico

t

x 3(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

square - Una onda cuadrada

t

x 4(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

rectpuls - Un pulso rectangular

t

x 5(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

tripuls - Un pulso triangular

tx 6(t

)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

sinc(t)

t

x 7(t)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1

0

1

sign - La funcion Signum

t

x 8(t)


%Programa para ilustrar algunas de las funciones incorporadas en MATLAB

>> close all;>> t=-20:1/20:20;>> x1=chirp(t,1/20,20,1/3);subplot(4,2,1);p=plot(t,x1,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('chipr-A"chirped" cosine');>> xlabel('\itt');ylabel('x_1({\itt})');>> x2=diric(t,5);subplot(4,2,2);p=plot(t,x2,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('diric - La función de Dirichlet de MATLAB');>> xlabel('\itt');ylabel('x_2({\itt})');>> x3=sawtooth(t);subplot(4,2,3);p=plot(t,x3,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('sawtooth - Un diente de sierra periódico');>> xlabel('\itt');ylabel('x_3({\itt})');>> x4=square(t);subplot(4,2,4);p=plot(t,x4,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('square - Una onda cuadrada');>> xlabel('\itt');ylabel('x_4({\itt})');>> x5=rectpuls(t/10);subplot(4,2,5);p=plot(t,x5,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('rectpuls - Un pulso rectangular');>> xlabel('\itt');ylabel('x_5({\itt})');>> x6=tripuls(t/10);subplot(4,2,6);p=plot(t,x6,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('tripuls - Un pulso triangular');>> xlabel('\itt');ylabel('x_6({\itt})');>> x7=sinc(t/2);subplot(4,2,7);p=plot(t,x7,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('sinc(t)');>> xlabel('\itt');ylabel('x_7({\itt})');>> x8=sign(t/2);subplot(4,2,8);p=plot(t,x2,'k');grid;>> axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('sign - La función Signum');>> xlabel('\itt');ylabel('x_8({\itt})');


Es posible formar productos de estas funciones mostrando que los productos de funciones pares son pares, los productos impares son pares y los productos mezclados de funciones pares e impares son impares.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x2*x

4 - Par*Impar

t

x 24(t

)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x3*x

4 - Impar*Impar

t

x 34(t

)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x2*x

6 - Par*Par

t

x 26(t

)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x3*x

7 - Impar*Par

t

x 37(t

)


%Programa de multiplicación de funciones par e impar

x24=x2.*x4;subplot(2,2,1);plot(t,x24,'k');grid;axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('x_2*x_4 - Par*Impar');xlabel('\itt');ylabel('x_2_4({\itt})');x34=x3.*x4;subplot(2,2,2);plot(t,x34,'k');grid;axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('x_3*x_4 - Impar*Impar');xlabel('\itt');ylabel('x_3_4({\itt})');x26=x2.*x6;subplot(2,2,3);plot(t,x26,'k');grid;axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('x_2*x_6 - Par*Par');xlabel('\itt');ylabel('x_2_6({\itt})');x37=x3.*x7;subplot(2,2,4);plot(t,x37,'k');grid;axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('x_3*x_7 - Impar*Par');xlabel('\itt');ylabel('x_3_7({\itt})');

Archivo: parimpar.m


La señal chirp (coseno) “chirriado no es par ni impar. Sin embargo, se encuentran sus partes par e impar utilizando MATLAB

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Parte par de x1

t

x 1e(t

)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Parte impar de x1

t

x 1o(t

)


%Programa para determinar la parte par e impar de la función chirp.

x1e=(x1+x1(end:-1:1))/2;x1o=(x1-x1(end:-1:1))/2;subplot(2,1,1);plot(t,x1e,'k');grid;axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('Parte par de x_1');xlabel('\itt');ylabel('x_1_e({\itt})');subplot(2,1,2);plot(t,x1o,'k');grid;axis([-20,20,-1.5,1.5]);title('Parte impar de x_1');xlabel('\itt');ylabel('x_1_o({\itt})');

Archivo: partes.m

ING. JUAN INGA ORTEGA

• La función es periódica si esta definida para todo valor t real y si existe un número positivo T tal que:

f(t + T) = f ( t )Esto se puede ampliar para:

f(t + nT) = f ( t ), para n=1,2,3,….

1.8 Funciones Periódicas en Tiempo Continuo


• Gráfica de una función periódica posee:


X(t)=A*cos(ωo*t+θ)A=Amplitudωo=Frec. Angular Fundamentalθ=fase

La Función es considerada como una señal, una onda y es oscilatoria

• Análisis del período de una función


f(t)=A*cos(ωo*t+θ) 02

2 fT

Por lo tanto para la siguiente función:

A=1, ωo=1, θ=π/4

Por tanto:

( ) cos4

x t t

02

1 2TT


• Para funciones de tipo X(t)=X1(t) +X2(t)+.. Se tiene lo siguiente:


1 1 1 1 1( )x t x t T x t mT

Entonces:

2 2 2 2 2( )x t x t T x t nT

1 1 2 2( )x t T x t mT x t nT

De esto se tiene que

11 2

2

, * *T n

T T m T nT m

O también: 1

2

n

m


• Ejercicio. Obtener el período básico que contiene a la siguiente función


( ) cos3 4

x t t sen t


• Ejercicio. Obtener el período básico que contiene a la siguiente función


( ) cos3 4

x t t sen t

2

3

1

1 6

T

T

2

4

2

2 8

T

T

1

2

6 3

8 4

T n

T m

1 2* *

6*4 8*3 24

T T m T n

T


• Ejercicio 2: Hallar el período de:


( ) 3cos 5cos 2 17 3x t t sen t t sen t


• Ejercicio 2: Hallar el período de:


( ) 3cos 5cos 2 17 3x t t sen t t sen t

1

1

2

12

T

T

3

3

2

2T

T

42

3T

2

2

2

12

T

T

1

2

2 2

1

T n

T m

1 2* *

2 *1 2

T T m T n

T

3

4

32 23

T n

T m

3 4* *

2*2 *3 2

3

T T m T n

T


• Ejercicios: Encontrar el período positivo T más pequeño de :1. Cos(x)2. Sen(2x)3. Cos(πx)4. Cos(2πx)5.


t t3 4f(t) cos cos


• Si x(t) es una señal TC

• Si la integral no converge, se considera como una señal con energía infinita, es decir de potencia.

• La Potencia promedio de una señal para todo tiempo se da cuando T tiende al infinito


2Ex t x t dt

1.9 Energía y Potencia de una Señal

/2

2

/2

1lim

T

TT

Px t x t dtT

• Si la Señal es Periódica

• Las señales con energía finita son consideradas como señales de energía.

• Las señales con potencia finita son consideradas como señales de potencia.

• Si no se dan ninguno de los dos casos anteriores se considera como una señal común que no es ni de energía ni de potencia.

• Señales Periódicas aleatorias no siempre son de potencia• Señales no periódicas y determinísticas no siempre son de energía



21 to T

to

Px t x t dtT

• Determinar si es de energía o de potencia.



( ) Ae tg t

2

2

AJ

Potencia = 0

Energía =


BIBLIOGRAFÍA

[1] Roberts M.J. “Señales y Sistemas”, McGraw-Hill Interamericana, Primera Edición, 2005.

[2] Haykin S, Van Veen B. “Signal and Systems”, Jhon Wiley and Sons, Inc. Second Edition, 2003

[3] Ambardar A. “Procesamiento de Señales Analógicas y Digitales”, Segunda Edición 2002

[4] Oppenheim A., Willsky A., “ Señales y Sistemas”, Pearson, Segunda Edición, 1998,

Documents

Cap1 Signals & Systems