Gilberto Leiva H.

Apuntes Mecnica Racional

CIV202 vs. 1er. sem.2013 - V1

Programa

1. Cinemtica de la partcula

Descripcin del movimiento en coordenadas cartecianas

Descripcin del movimiento en coordenadas curvilneas ortogonales: coordenadas ci-lndricas y esfricas

Movimiento relativo a ejes en translacin y rotacin

Ecuaciones de ransformacin para velocidad y aceleracin

2. Cintica de la partcula

Ecuacin del movimiento

Fuerza y momentum lineal

Torque y momentum angular

Trabajo, energa cintica y energa potencial

Impulso

Oscilador de un grado de libertad

3. Dinmica de los sistemas de partculas

Centro de masas

Fuerza y momentum lineal

Torque y momentum angular

Trabajo, energa cintica y energa potencial

Leyes de conservacin

Choques

4. Dinmica de cuerpo rgido en movimiento plano

Cinemtica: Centro instantneo de rotacin

Cintica: Ecuaciones de movimiento lineal y angular

I

PROGRAMA CIV202-UTFSM

Trabajo y energa

5. Introduccin a la mecnica de Lagrange para sistemas holnomos

Coordenadas generalizadas

Ecuaciones de Lagrange para el movimiento

6. Dinmica de cuerpo rgido

Cinemtica: Angulos de Euler

El tensor de Inercia. Direcciones y momentos principales de inercia

Ecuaciones de movimiento lineal y angular - Ecuaciones de Euler

Trabajo y energa

Materia de certmenes:Certamen 1: Item 1Certamen 2: Item 2Certamen 3: Item 3 - Item 4 - Item 5Certamen 4: Item 6

II

ndice general

Programa I

ndice general III

1. Introduccin 11.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Conceptos Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5. Partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.6. Sistema de Partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.7. Cuerpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.8. Sistemas de Referencia y de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.9. Sistema de Referencia Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Cinemtica de la partcula 72.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Sistemas de Referencia y de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2. Cambio y Derivada en el Tiempo de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3. Velocidad Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Geometra del Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1. Posicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. Grados de Libertad y Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III

NDICE GENERAL

IV

Captulo 1

Introduccin

1.1. General

Estos apuntes han sido escritos con el objeto de servir de ayuda a los alumnos del curso CIV 202Mecnica Racional del Departamento de Obras Civiles de la Universidad Tcnica Federico SantaMara. El curso comprende el estudio del movimiento de los sistemas materiales, as como de lascausas de tal movimiento, desde el punto de vista de la mecnica clsica.En general, los objetos del universo que conforman los sistemas materiales se clasifican enmicros-cpicos (partculas atmicas o subatmicas), astronmicos, tamao a nivel de estrellas y galaxias,ymacroscpicos (intermedios).

Elmovimiento se entiende como el cambio de posicin o configuracin de un sistema en el espa-cio, en sucesivos intervalos de tiempo. Este movimiento puede ser a altas velocidades (cercanas ala velocidad de la luz c) o a bajas velocidades (pequeas comparadas con c).

La mecnica es la rama de fsica, relacionado con la matemtica y la ingeniera, que estudia el mo-vimiento de los objetos materiales y las causas que lo producen. Esta se subdivide esencialmenteen cuatro reas:

a) Mecnica Clsica, que estudia objetos a nivel macroscpico a bajas velocidades;

b) Mecnica Cuntica, objetos a nivel microscpico;

c) Mecnica Relativista, objetos a velocidades prximas a la de la luz;

d) Teora Cuntica de Campos, objetos a nivel microscpico a velocidades prximas a la de laluz.

Las reas de estudio de la mecnica clsica comprenden laMecnica de Slidos Rgidos, que con-sidera un nmero finito de grados de libertad y laMecnica de Medios Continuos, que considerasistemas con infinitos grados de libertad.

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CAPTULO 1. INTRODUCCIN CIV202-UTFSM

La mecnica de slidos rgidos se subdivide en laMecnica Newtoniana y la Mecnica Analtica.La primera, conocida tambin como mecnicavectorial estudia el movimiento de partculasy cuerpos rgidos a nivel macroscpico en unespacio eucldeano tridimensional donde secumplen las Leyes de Newton. La segunda estbasada en formulaciones analticas, tales como lade Lagrange o la deHamilton.

Un medio continuo es una porcin de la materia formada por un conjunto infinito de partculasque es estudiado macroscpicamente. LaMecnica de Medios Continuos se subdivide enMec-nica de Slidos Deformables (elsticidad, plasticidad, viscoelasticidad), Mecnica de Fluidos yMecnica Acstica.

Este curso incluye slo el estudio de la Mecnica de Slidos Rgidos, fundamentalmente en suformulacin Newtoniana, adems de una introduccin a laMecnica de Lagrange.

Los sistemas a estudiar incluyen partculas, sistemas de partculas y cuerpos rgidos. Para cadauno de ellos se estudia en primer lugar la Cinemtica, que es la geometra del movimiento, in-cluyendo solamente consideraciones de espacio y tiempo, para luego seguir con la Cintica, quecomprende el estudio de las relaciones entre fuerzas, masas y movimiento.

Se espera que al finalizar el curso los estudiantes sean capaces de obtener las ecuaciones que des-criben el movimiento de estos sistemas fsicos, as como resolver estas ecuaciones para sistemascomunes en el campo de la ingeniera civil, tanto en el rea de la ingeniera estructural como hi-drulica.

Se espera adems que este curso aporte a los estudiante a desarrollar sus capacidades de razona-miento lgico, de aplicacin de conocimientos tericos a situaciones reales, as como aumentar sudominio del lenguaje tcnico.

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CIV202-UTFSM 1.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.2. Conceptos Fundamentales

1.2.1. Espacio

Extensin tri-dimensional, infinita, que contiene todos los objetos y en la cual ocurren y tienenposicin y direccin todos los eventos fsicos. En la Mecnica Clsica (o Newtoniana), el espacioabsoluto permanece siempre similar e inamovible, y un espacio relativo es un subconjuntomovibledel espacio absoluto.

1.2.2. Tiempo

En laMecnica Newtoniana, el tiempo absoluto transcurre independiente de cualquier observador,y es el mismo en cualquier punto del espacio. En este contexto, el tiempo es medible segn lapercepcin del movimiento de sistemas fsicos en el espacio.

1.2.3. Masa

Lamasa es la cantidad de materia de un objeto. Todo objeto o sistema que tiene materia posee pro-piedades inerciales, esto es, tendencia a oponer resistencia al cambio de su estado de movimiento.La masa es una medida cuantitativa de la inercia. Es un postulado de la mecnica clsica que lamasa permanece constante.

1.2.4. Fuerza

Es una medida o cuantificacin de la interaccin entre sistemas fsicos. En la mecnica clsica seacostumbra a dividir las fuerzas de interaccin en Fuerzas de Contacto y Fuerzas de Campo (aDistancia).

Las Fuerzas de Contacto corresponden a aque-llas ejercidas por un agente que est en contactodirecto con el sistema en estudio. Como ejemplo,la fuerza que ejerce el piso sobre el payaso. Engeneral, estas fuerzas pueden ser permanentes,como son las que aparecen como reacciones enapoyos y conexiones, o transitorias, como las queaparecen en casos de choques de corta duracin,conocidas como fuerzas impulsivas.

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CAPTULO 1. INTRODUCCIN CIV202-UTFSM

Fuerzas de campo son aquellas ejercidas sin la intervencin de un medio de transmisin, porejemplo, la fuerza de atraccin gravitatoria, fuerzas electromagnticas, etc.

1.2.5. Partcula

En muchos casos el tamao del objeto es despreciable o sus dimensiones no intervienen en elestudio porque la trayectoria seguida es muchomayor que las mismas dimensiones. En estos casoses posible considerar que el objeto de tamaomacroscpico se encuentra concentrado en un punto,manteniendo sus propiedades inerciales. Este punto material es llamado partcula.

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CIV202-UTFSM 1.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.2.6. Sistema de Partculas

Sistema que contiene un nmero finito de partculas. Se dice que un sistema es cerrado si elnmerode partculas no cambia, es decir, la masa es constante.

1.2.7. Cuerpo Rgido

En la realidad todos los cuerpos presentan algn grado de deformacin debido las propiedadeselsticas de los materiales. Sin embargo, si estas deformaciones son lo suficientemente pequeaspara que no afecten la respuesta del cuerpo ante las acciones externas, es razonable despreciarlaspara efectos de anlisis, considerando que el cuerpo es rgido. Matemticamente, se define comocuerpo rgido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permaneceinvariante. A lo largo de este curso se supondr que todos los sistemas analizados satisfacen lacondicin de cuerpo rgido.

1.2.8. Sistemas de Referencia y de Coordenadas

Un sistema de referencia es un ente fsico realrespecto del cual se estudia el movimiento. Unsistema de coordenadas es un modelo matem-tico que describe la posicin de un punto con res-pecto al sistema de referencia. Para un sistema dereferencia dado se pueden utilizar infinitos siste-mas de coordenadas. Como ejemplos de sistemasde coordenadas se puede mencionar el sistemaCartesiano (x-y-z) y los sistemas de coordenadascurvilneas ortogonales, como las cilndricas y lasesfricas.

1.2.9. Sistema de Referencia Inercial

En general, un sistema de referencia inercial satisface:

1. La geometra es Euclidiana

2. El tiempo es el mismo en todos los puntos del sistema

3. Todas las posiciones, direcciones e instantes de tiempo son equivalentes con respecto a laformulacin de las leyes del movimiento

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CAPTULO 1. INTRODUCCIN CIV202-UTFSM

Desde el punto de vista de la mecnica clsica, se puede considerar como sistema de referenciainercial cualquiera cuyo movimiento absoluto sea despreciable para el problema en estudio, por loque se le considera fijo.

Los sistemas de referencia cumplen con:

1. Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a unsistema inercial es tambin sistema inercial.

2. Todos los sistemas inerciales son equivalentes con respecto a la formulacin de las leyes delmovimiento.

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