Cap.2 Cargas Axiais

Mecnica dos MateriaisPr

epar

ado

por:

Filip

e Sa

mue

l Silv

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ng M

ecn

ica

Captulo 2

Tenso e Deformao:

Cargas Axiais

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Tenso e Deformao: Cargas Axiais - Sumrio Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Tenso e Deformao: Cargas NormaisDeformao NormalEnsaio Tenso-DeformaoDiagrama Tenso-Deformao: Materiais

DucteisDiagrama Tenso-Deformao: Materiais

FrgeisLei de Hooke: Mdulo de ElasticidadeComportamento Elstico vs PlsticoDeformao Devida a Carga AxialProblemas Estaticamente IndeterminadosTenses TrmicasCoeficiente de Poisson

Lei de Hooke GeneralizadaMdulo de CompressibilidadeDistoroRelao entre E, , e GMateriais CompsitosPrincpio de Saint-VenantConcentrao de TensesExerccios ResolvidosExerccios Propostos

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Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

A adequabilidade de uma estrutura ou mquina pode depender das deformaes da estrutura tal como das tenses. A anlise esttica, s por si, no suficiente.

Considerar as estruturas como deformaveis permite a determinao de foras e reaces em problemas estaticamente indeterminados.

A determinao da distribuio das tenses numa seco requer a considerao das suas deformaes.

O Captulo 2 preocupa-se com a deformao de membros estruturais sujeitos a cargas axiais. Os prximos captulos lidaro com toro e flexo.

Tenso e Deformao: Cargas Axiais

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Deformao Normal Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

normal deformao

tenso

==

==

L

AP

L

AP

AP

=

==

22

LL

AP

==

=

22

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Teste Tenso-Deformao Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Mquina de ensaios de traco uniaxiaisProvete para ensaio de traco uniaxial

Um teste envolve:

! Provete de dimenses conhecidas (standardizadas)! Mquina de ensaios de traco! Aplicao de carga axial! Medio da variao de comprimento e da carga correspondente.! Uso da variao de comprimento para clculo da sua variao

percentual.! Uso da fora aplicada e da rea da seco recta do provete para clculo

da tenso.

O comportamento Tenso-Deformao obtido a partir de um ensaio de traco.

A informao obtida permite determinar algumas das propriedades do material:

!! Tenso de cedncia! Mdulo de Elasticidade! Tenso de rotura! Extenso de Rotura! Ductilidade! Resilincia! Tenacidade

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Grfico Tenso-Deformao: Materiais Ducteis Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Liga de AlumnioAo de baixo teor em carbono

RoturaRotura

PescooEndurecimentoCedncia

Os materiais dcteis sofrem uma grande deformao plstica antes de romperem, providenciando um aviso da roturaA deformao destes materiais deve-se inicialmente ao deslizamento de bandas (camadas) da estrutura cristalina, ao longo de planos oblquos fora e deve-se essencialmente a tenses de corte.Consoante a deformao aumenta, para materiais dcteis, a tenso sobe at um valor mximo, conhecido como Tenso de Rotura ou Tenso de Resistncia Traco. A partir deste ponto a tenso comea a decrescer.Esta inverso da progresso da tenso deve-se formao de um pescoo no componente.A tenso continuar a decrescer at rotura.Quando um material dctil rompe, a rotura d-se formando-se uma superfcie cnica com um ngulo de aproximadamente de 45 com a superfcie original. quantidade que o material consegue deformar antes de romper chama-se ductilidade.

Materiais Dcteis

Materiais Dcteis so caracterizados por terem uma grande capacidade de resistir a grandes deformaes plsticas antes de romperem.

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Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)Grfico Tenso-Deformao: Materiais Frgeis

Os materiais frgeis rompem sem aviso. O material cede igualmente ao longo de todo o componente, e rompe abruptamente por uma superfcie perpendicular fora.A rotura destes materiais deve-se essencialmente s tenses normais.

Materiais Frgeis

Materiais Frgeis so tipicamente caracterizados por uma incapacidade em resistir a grandes deformaes plsticas

Rotura

Diagrama tenso-Deformao para materiais frgeis

Tenso

Deformao

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Lei de Hooke: Mdulo de Elasticidade Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Abaixo da Tenso de cedncia

deElasticida de Modulo ou Young de Mdulo=

=

EE

A resistncia afectada pelos elementos de liga, processos de manufactura, tratamentos trmicos, etc, mas o mdulo de elasticidade no .

Ferro puro

Ao ao Carbono

Ao ligado

Ao de alta resistncia (ligado e temperado)

Diagramas tenso-Deformao para vrias ligas de ferro

2902200.44*105AZ31B (liga Mg)

6304700.7*105Al7175

9808701.4*105Ti6Al4V

10208902.07*10534CrNiMo6

7304902.07*105CK45r (MPa)c (MPa)E (MPa)

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Comportamento Elstico e Plstico Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Se a deformao desaparecer quando a carga retirada, ento o material comporta-se elasticamente.

A partir do limite elstico o material comporta-se plasticamente.

mxima tenso para a qual ocorre o fenmeno anterior, chama-se Limite Elstico ou Tenso Limite de Proporcionalidade

Rotura

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Comportamento Elstico e Plstico Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Os materiais so formados por tomos, que se encontram arranjados num padro regularEste padro designa-se por estrutura cristalina

Conforme um material carregado, as ligaes que o mantm unido, comeam a deformarEsta deformao resulta num alongamento do material

Se a carga for retirada antes das ligaes partirem, os tomos regressam sua posio inicial, e o material retorna sua forma inicial.Isto corresponde poro elstica da curva tenso-deformao do material.

Isto corresponde poro plstica da curva tenso-deformao do material.

Se o material for carregado para alm da zona elstica, as ligaes atmicas partem / deslizam.U ma vez que estas ligaes tenham partido/deslizado, quando a carga retirada, o material j no retorna sua forma original

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Deformaes Normais Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

AEP

EE ===

Da lei de Hooke:

Da definio de extenso:

L

=

Resolvendo em ordem deformao,

AEPL

=

Se houver variao da seco, carga, ou propriedades do material,

=i ii

iiEALP

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Grfico Tenso-Deformao Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

TensoTenso de cedncia

Deformao

Tenso de rotura ou Tenso de Resistncia Traco

Tenso Limite Elstica ou Tenso Limite de Proporcionalidade

Mdulo de Elasticidade

Extenso de rotura

Tenso

Resilincia

Deformao

TensoTenso

Tenacidade

Deformao

Tenso

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Grfico Tenso-Deformao

Compresso vs Traco

Materiais dcteis

Mesma tenso de cednciaIgual curva tenso-deformao para baixas deformaesAs curvas divergem para grandes deformaesNa compresso no se forma o pescooMateriais frgeis

Curvas diferentesMesmo modulo elsticoTenso de cedncia superior (compresso)Tenso de rotura muito superior (compresso)

Tenso Verdadeira e Deformao Verdadeira

At aqui temos visto a tenso e a deformao de engenharia, ou seja, baseados na curva tenso-deformao obtida num ensaio normal. Todavia, quando o material traccionado, a rea da seco recta do provete varia (reduz) devido ao aumento do comprimento. Nos grficos anteriores, o valor da rea da seco recta considerado constante e igual rea inicial. A tenso verdadeira e a deformao verdadeira so obtidos com base nas dimenses instantneas doprovete.

Tenso Verdadeira

determinada usando a rea instantnea da seco recta do provete, em vez da rea inicial.

Deformao Verdadeira

determinada usando o comprimento instantneo doproveteRelao entre Tenso e Deformao Verdadeira, e Tenso e Deformao de engenharia

Tenso verdadeira

Deformao verdadeira

(Log) Deformao verdadeira

(Log) Tenso verdadeira

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Grfico Tenso-Deformao Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Deformao

Tenso Aumento da velocidade de Deformao

Aumento da Temperatura

Velocidade de DeformaoTemperatura

Mdulo de Elasticidade

Tenso de Cedncia

Tenso de resistncia traco

Ductilidade

Tenacidade

Expoente de endurecimento

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Exemplo 2.1 Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Determine a deformao da barra de ao quando submetida s cargas indicadas.

SOLUO: Divide-se a barra nas trs partes

representadas na figura.

Efectuam-se cortes em todas as partes, desenha-se o respectivo diagrama de corpo livre, e faz-se o equlibrio para cada uma das partes

Somam-se as deformaes parciais.

GPaE 200=

40 cm

200 KN

30 cm30 cm

300 KN500 KN

A=200 mm2A=600 mm2

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SOLUO:

Diviso da barra em trs componentes:

1 22

1 2

30

6

L L cmA A cm= =

= =

32

3

40

2

L cmA cm=

=

Anlise de esforos internos atravs da anlise de corpo livre em cada componente,

N10200200N10*100100

10*400400

33

32

31

==

==

==

KNPKNP

NKNP

Avaliao da deformao total,

( ) ( ) ( )3 31 1 2 2

1 2 3

3 3 3

9 6 6 6

3

1

400 10 0,3 100 10 0,3 200 10 0,41200 10 600*10 600*10 200*10

2,75 10 m= 2,75 mm

i i

i i i

PL P LPL P LA E E A A A

= = + +

= + +

=

2,75 . mm =

Exemplo 2.1

40 cm

200 KN

30 cm30 cm300 KN500 KN

A=200 mm2A=600 mm2

200 KN

200 KN

200 KN

300 KN

300 KN500 KN

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Problema 2.1 Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

A barra rgida BDE suportada por duas hastes AB e CD.

A haste AB feita de alumnio (E = 70 GPa) com uma rea de seco transversal de 500 mm2. A haste CD feita de ao (E= 200 GPa) e tem uma seco transversal de (600 mm2).

Para uma fora de 30-kN, determine os deslocamentos a) do ponto B, b) do ponto D, e c) do ponto E.

SOLUO:

Anlise atravs do diagrama de corpo livre da barra BDE para achar as foras de ligao ao exterior, de AB e DC.

Avaliao da deformao das barras AB e DC ou dos deslocamentos de Be D.

Anlise geomtrica para determinar o deslocamento do ponto E, tendo os deslocamentos dos pontos B e D.

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Deslocamento de B:

( )( )( )( )m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

3

=

=

=

AEPL

B

= mm 514.0BDeslocamento de D:

( )( )( )( )m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

=

=

=

AEPL

D

= mm 300.0D

Diag. Corpo livre: Barra BDE

( )

( )D

0

0 30 kN 0.6 m 0.2 m90 kN

M 0

0 30 kN 0.4 m 0.2 m60 kN

B

CD

CD

AB

AB

M

FF tracao

FF compressao

=

= +

= +

=

=

=

SOLUO:

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Deslocamento de D:

( )

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

=

=

xx

xHDBH

DDBB

= mm 928.1E

( )

mm 928.1mm 7.73

mm7.73400mm 300.0

=

+=

=

E

E

HDHE

DDEE

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Sistemas Estaticamente Indeterminados Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Estruturas para as quais as foras internas e as reaces no podem ser determinadas, unicamente com as expresses de equilibrio esttico, so consideradas estaticamente indeterminadas.

0=+= RL

As deformaes devidas s cargas e s reaces redundantes so determinadas separadamente e depois so sobrepostas.

As reaces redundantes so substitudas por cargas desconhecidas que, juntamente com as outras foras, devem originar deformaes.

A estrutura estaticamente indeterminada sempre que possui mais apoios do que os necessrios para manter o seu equilibrio.

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Determine as reaces em A e B na barra de ao submetida ao carregamento indicado. Admita que a barra est encostada a ambos os apoios antes da aplicao das cargas.

SOLUO:

Considere a reaco B como redundante e liberte-se a barra desse apoio. A reaco RB considerada agora como desconhecida e determinada tendo em conta que o alongamento total, , da barra, deve ser igual a zero. A soluo obtem-se considerando separadamente o alongamento L causado pelas cargas aplicadas e o alongamento R devido reaco redundante RB.

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SOLUO: Considere o deslocamento em B devido s cargas,

tendo libertado a reaco em B,

EEALP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

==

====

====

====

Considere o deslocamento em B devido reaco redundante RB.

( ) ====

==

==

iB

ii

iiR

B

ER

EALP

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400

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Considerando o alongamento total da barra nulo e resolvendo em ordem a RB,

( )kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

==

=

=

=+=

B

B

RL

R

ER

E

A reaco RA obtem-se do diagrama de corpo livre da barra

kN323

kN577kN600kN 3000

=

+==

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

=

=

B

A

R

R

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Tenses de Origem Trmica Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Uma mudana de temperatura origina uma deformao de origem trmica. No existe tenso associada a esta deformao, a menos que haja restries deformao.

( ) coeficiente de expansao termica

T PPLT LAE

= =

=

Nos casos em que existe restrio deformao deve tratar-se a reaco como redundante e aplicar o princpio da sobreposio.

( ) 00

=+

=+=

AEPLLT

PT

A deformao trmica e a deformao originada pela reaco redundante devem ser compatveis.

( )( )TE

AP

TAEPPT

==

==+=

0

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Coeficiente de Poisson Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Numa barra homognea e carregada axialmente,

0=== zyxx E

A deformao na direco do eixo dos x acompanhada por uma contraco nas outras direces. Assumindo que o material isotrpico,

0= zy

O coeficiente de Poisson dado por

deformaao transversaldeformaao axial

y z

x x

= = =

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Lei de Hooke Generalizada Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Num elemento sujeito a um estado multiaxial de cargas, as componentes das deformaes resultantes do estado de tenso so determinados usando o princpio da sobreposio. Isto requer:

1) cada deformao relacionada linearmente com a tenso2) as deformaes so pequenas

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

+=

+=

+=

Atendendo a estas restries:

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Dilatao: Mdulo de Compressibilidade Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Em relao ao estado sem tenses a variao do volume

( )( )( )

( )

1 1 1 1 1 1

1 2

dilataao (variaao do volume em percentagem)

x y z x y z

x y z

x y z

e

E

= + + + = + + + = + +

= + +

=

Para um elemento sujeito a uma presso hidrosttica uniforme,

( )

( )

3 1 2

modulo de compressibilidade3 1 2

pe pE k

Ek

= =

= =

Quando sujeito a presso uniforme, a dilatao tem que ser negativa, logo

210

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Distores Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Um elemento cbico sujeito a tenses de corte deforma-se num paralelippedo oblquo. As deformaes correspondentes (distores) so quantificadas em relao ao ngulo de distoro,

( )xyxy f = A relao entre tenses de corte e distores

similar relao entre tenses normais e deformaes. Para pequenas distores,

zxzxyzyzxyxy GGG ===

Em que G o mdulo de distoro do material.

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Um bloco rectangular de um material, com mdulo de distoro G = 600 Mpa colado a duas placas horizontais rgidas. A placa inferior est fixa enquanto a placa superior submetida a uma fora horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 0,8 mm sob a aco da fora, determine a) a distoro mdia no material, e b) a fora P exercida na placa superior.

SOLUO:

Determina-se a distoro mdia do bloco.

Usa-se a relao de tenso de corte com a fora para achar a fora P.

Aplica-se a lei de Hooke para tenses e deformaes de corte para se determinar as tenses de corte.

160 mm50 mm

40 mm

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Determinao da distoro mdia do bloco.

0.8tan ; 0.020 rad40xy xy xy

mmmm

= =

Apicao da lei de Hooke para tenses e deformaes de corte.

( )( )600 0.020 rad 12xy xyG MPa MPa = = =

Uso da relao entre tenso de corte e fora, para achar P.

( )( )( )6 312*10 0,160 0,050 96 10 NxyP A Pa m m= = =

96.0 kNP =

Exemplo 2.10

0,8 mm

40 mm

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Relao entre E, e G Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Uma barra homogenea submetida a uma carga axial alonga na direco axial e contrai nas direces transversais.

( )+= 12GE

As componentes normal e de distoro relacionam-se atravs da expresso,

Se o elemento cbico estiver orientado como na fig. B) vai deformar-se originando um losango. A carga axial resulta numa distoro.

Um elemento cbico orientado como na figura a) deforma-se num paralelipipedo rectangular. A carga axial produz uma deformao axial.

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Uma crcunferncia de dimetro d=200 mm est desenhada numa placa de alumnio, livre de tenses, e de espessura t=18 mm. A actuao posterior de foras na placa origina as tenses normais x = 85 MPa e z = 150 MPa.

Admitindo E = 70 Gpa e = 1/3, determine:

a) O comprimento do dimetro AB,

b) O comprimento do dimetro CD,

c) A espessura da placa, e

d) O volume da placa.

350 mm350 mm

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SOLUO:

Aplica-se a lei de Hooke generalizada para achar as trs componentes de extenso normal.

( ) ( )3

3

3

1 185 0 15070 GPa 30.500 10

1.119 10

1.738*10

yx zx

yx zy

yx zz

E E E

MPa MPa

E E E

E E E

= +

= = +

= +

=

= +

= +

Determinam-se as deformaes.

( )( )30.500 10 200B A xd mm = = +

( )( )31.738 10 200C D zd mm = = +

( )( )31.119 10 18t yt mm = =

100B A m = +

348C D m = +

20,1t m =

Determina-se a mudana de volume

( )3 -3

3 3

(0.500 1,119 1,738)*10 = 1,119*10

1.119 10 350 350 18 = +2470 mmx y ze

V eV

= + + = +

= =

32470V mm = +

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Materiais Compsitos Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Os materiais compsitos reforados com fibras so formados por lminas de fibras embebidas em matrizes de materiais polimricos.

zz

zy

yy

xx

x EEE

===

As tenses e deformaes normais so relacionadas pela Lei de Hooke mas com mdulos de elasticidade dependentes da direco,

x

zxz

x

yxy

==

As contraces transversais so relacionadas por valores de coeficiente de Poisson dependentes da direco,

Os materiais com propriedades mecnicas dependentes da direco so considerados anisotrpicos.

fibras

carga

cargaCamada

de material

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Princpio de Saint Venant Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

As cargas transmitidas em corpos rgidos resultam numa distribuio uniforme das tenses e deformaes.

Principio de Saint-Venant:A distribuio de tenses pode assumir-se como independente da forma de aplicao da carga, com excepo da vizinhana de aplicao da carga.

A distribuio das tenses e deformaes torna-se uniforme a uma distncia relativamente pequena do ponto de aplicao das cargas.

Cargas concentradas do origem a tenses mais elevadas na vizinhana do ponto de aplicao da carga.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a

Concentrao de Tenses: Furo Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Descontinuidades da seco recta podem resultar , localmente, numa elevada concentrao de tenses.

maxK

=

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a

Concentrao de Tenses: Raio de Curvatura Cap. 2Mecnica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Determine o valor mximo da carga axial P que pode ser suportado, em segurana, por uma barra plana e ao com dois troos, ambos com 10 mm de espessura e 40 e 60 mm de largura, respectivamente, ligados por uma concordncia circular de raio r = 8 mm. Considere uma tenso admissvel de 165 MPa.

SOLUO:

Determine as relaes geomtricas e encontre o factor de concentrao de tenses, na Fig. 2.64b.

Determine o valor mximo da carga, usando a relao entre tenso e carga.

Determine a tenso admissvel levando em considerao a concentrao de tenses e a tenso admissvel do material.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Determine as relaes geomtricas e encontre o factor de concentrao de tenses, na Fig. 2.64b.

82.1

20.0mm40

mm850.1mm40mm60

=

====

K

dr

dD

Determine a tenso admissvel levando em considerao a concentrao de tenses e a tenso admissvel do material.

max 165 MPa 90.7 MPa1.82K

= = =

Determine o valor mximo da carga, usando a relao entre tenso e carga.

( )( )( )3

40 mm 10 mm 90.7 MPa

36.3 10 N

P A= =

=

kN3.36=P

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Exerccios Resolvidos

Casca de alumnio

Alma de ao

25 mm250 mm

60 mm

Foras de compresso, de 30 KN, esto aplicadas nos extremos da montagem da figura. Sabendo queEao=2,07x105 MPa e Ealumnio=0,70x105 MPa, determine: a) as tenses normais na alma de ao e na casca de alumnio

b) a deformao do conjunto

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2

* *25 1963

60 25 9346ao

Al

A r mm

A R r mm

= = =

= = =

( )( )( )

72 5

72 2 5

*250*6,15*10

*25 *2,07*10

*250 *3,82*10* 60 25 *0,70*10

ao aoao ao

ao ao

al alal al

al al

P L P P

A E

P L P PA E

= = =

= = =

( )

( )

2

2 2

)11480 5,84

2518520 1,9860 25

aoao

ao

alal

al

aP

MPaA

P MPaA

= = =

= = =

7 7*6,15*10 *3,82*10

0,62*

30

ao al ao al

ao al

ao al

ComoP P

P PComoP P KN

= = =

+ =

11, 4818,52

ao

al

P KNP KN

=

=

7

)

*7,54*10aoao al

ao ao

bcomo

P Lmm

A E = = =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



Dois vares cilndricos, um de ao e outro de lato, esto ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que Eao=2,00*105MPa e Elato=1,05*105 MPa, determine:

a) as reaces em A e em E b) o movimento do ponto C

Ao Lato

RA

RA

RA

RA

P1

P2

P3

P4

12

1

22

2

32

3

42

4

( *20 )60000

( *20 )60000

( *15 )60000 40000

( *15 )

A

A

A

A

P RA

P RA

P RA

P RA

=

=

=

=

=

=

=

=

RA RE 0 60000 40000 0100000 (1)

X EA

A E

F R R

R R N

= + =

+ =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



Dois vares cilndricos, um de ao e outro de lato, esto ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que Eao=2,00*105MPa e Elato=1,05*105 MPa, determine:

a) as reaces em A e em E b) o movimento do ponto C

Ao Lato

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 5 2 5

2 5 2 5

)

0

60000 *120*180*20 *2,00*10 *20 *2,00*10

60000 *100 60000 40000 *1000

*15 *1,05*10 *15 *1,05*10

62,8(1) 37, 2

i i

i i

AA

A A

A

E

aPLA E

RR

R R

R KNde R KN

= =

= + +

+ =

=

=

RA RE

RA

RA

RA

RA

P1

P2

P3

P4( )

( )( )1 1 2 2 2 5 2 51 1 2 2

)62800 60000 *12062800*180 46,3

*20 *2,00*10 *20 *2,00*10c

bPL P L mA E A E

= + = + =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



0,5 m

0,6 m

0,07 m

0,05 m

0,07 m

60 KN

20 KN 20 KN

Dois vares cilindricos esto acoplados em B. O varo AB feito de ao (E=2,07x105 MPa), e o varo BC de lato (E=1,05x105 MPa). Determine:

a) a deformao total do conjunto ABC.

b) a deformao do ponto B

( )( )( )

( )( )

2 5 2 5

2 5

)

60000 40000 *50060000*600 0,1132*25 *2,07*10 *35 *1,05*10

)60000 40000 *500

0,0247*35 *1,05*10

i iA

i i

A

B

aPLA E

mm

b

mm

=

= + =

= =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



Dimenses em mm O provete da figura foi cortado de uma placa devinyl com 5 mm de espessura (E=0,031*105MPa) e est sujeito a uma carga normal de 1.5kN. Determine:

a) a deformao total do provete.

b) a deformao da zona central BC

( ) ( ) ( )9

9

)

1500 40 50 40 0,7940,031*10 5*25 5*10 5*25

)1500*50 0,484

50*0,031*10

i iAD

i i

BC

aPLA E

mm

b

mm

= =

= + + + =

= =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

Para a trelia de ao (E=2,07x105 MPa) e cargas mostradas, determine a deformao dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas seces rectas so 50 mm2 e 75 mm2, respectivamente.

F= 60 KN

200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

FBDFBE

FCE 5

0 60000*400 60000*200 *350 0102,86

102860 205,7500

102860*200 0,1987500*2,07*10

E BD

BD

BDBD

BD

BD

M FF KN

F MPaAPL mmAE

= + =

=

= = =

= = =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

Para a trelia de ao (E=2,07x105 MPa) e cargas mostradas, determine a deformao dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas seces rectas so 50 mm2 e 75 mm2, respectivamente.

F= 60 KN

200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

FBD

FDEFEG 5

0 060000 60000

120000120000 160,0

750120000*350 0,2705

750*2,07*10

x DE

DE

DEDE

DE

DE

F F F FF

DE NF MPaAPL mmAE

= + =

+ =

=

= = =

= = =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Exerccios ResolvidosCada uma das quarto ligaes que ligam as duas barras horizontais so feitas de alumnio (E=0,70*105 MPa) e tem uma seco recta rectangular e uniforme de 10 x 40 mm. Para as cargas mostradas determine a deformao de:

a) ponto E.

b) ponto G.

EF G

( )

( )

5

5

)7500*300 0,080

10*40 *0,7*10)

19500*300 0, 20910*40 *0,7*10

( )

400 400 250

E

F

G EF Eg

G

aPL mmAE

bPL mmAE

pontoG geometricamente

t

= = =

= = =

++= =

+ =

Do equlibrio esttico da barra EFG, RF=-7500 N

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



Um tubo de ao (E=2,07*105 MPa) com um dimetro exterior de 32 mm e 4 mm de espessura est colocado num torno sem que exista todavia presso nos topos. So aplicadas ento as duas foras mostradas. Depois destas foras serem aplicadas, aperta-se o torno em 0.2 mm. Determine: a) as foras exercidas pelo torno no tubo, em A e em D.

b)a variao de comprimento da poro BC do tubo.

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 2 5 2 2 5

2 2 5

2 2 5

)

0,2

30000 *80*8016 12 2,07*10 16 12 2,07*10

42000 30000 *800,2

16 12 2,07*10

)30000 *80

...16 12 *2,07*10

i iAD

i i

DD

D

D

DBC BCBC

BC BC

aPL mmA E

RR

Rmm

Rb

RP L mmA E

= =

= +

+ + =

=

= = =

RA RD

RD

RD

RD

P1

P2

P3

1 2 3

0; 42000 3000 0; 30000 ; 42000 30000

x A D

D D D

F R RP R P R P R

= + =

= + = + =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



( )

6

2 5

6

2 5

* * * *

*180011,7*10 *35*1800 ;

6* *22 *2,00*104

*18009,9*10 *35*1800 ;240*240 6* *22 *0,25*10

4

ao cim

T F T Fao ao cim cim

ao cim

aoao

cimcim

PL PLT L T LAE AE

P

P

=

+ = +

+ = +

= + = +

! !

O poste de beto est reforado com seis barras de ao, cada uma com 22 mm de dimetro. Determine as tenses normais induzidas no ao e no cimento devidas a uma subida de temperatura de 35C.

5 6

5 6

0,25*10 ; 9,9*10 /

2,00*10 ; 11,7*10 /cim cim

ao ao

E MPa CE MPa C

= =

= =

21667ao cimP P N= =* Como no h foras exteriores as foras internas opem-se, i.e. Pao=Pcim, logo,

( )

2

2

21667 9,56* *22

421667 0,392

240*240 6* *224

aoao

ao

cimcim

cim

PMPa

A

P MPaA

= = =

= = =

Tao

Tcim

Fao

Fcim

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



Casca de alumnio Alma de ao

Casca de alumnio

Alma de ao

A montagem consiste numa casca de alumnio ligada a uma alma de ao e est sem tenses, a uma temperatura de 20C. Considerando apenas deformaes axiais, determine a tenso na casca de alumnio quando a temperatura atingir 180C.

5 60,70*10 ; 23,6*10 /al alE MPa C

= =

5 62,00*10 ; 11,7*10 /ao aoE MPa C

= =

( )

6

2 5

6

2 2 5

* * * *

*20011,7*10 *160*200 ;

*20 *2,00*104

*20023,6*10 *160*200 ;* 50 20 *0,7*10

4

ao al

T F T Fao ao al al

ao al

aoao

alal

PL PLT L T LAE AE

P

P

=

+ = +

+ = +

= + = +

! !

..ao alP P N= =* Como no h foras exteriores as foras internas opem-se, i.e. Pao=Pal, logo,

alal

al

PA

= =

Tal

Tao

Fal

Fao

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



A temperatura da barra composta elevada em 80C. Sabendo as caractersticas dos materiais e que no hforas aplicadas em B ou em D, determine: (Eao=2,00*105 MPa e Elato=1,05*105 Mpa; ao=11,7*10-6/C; lato= 20,9*10-6/C)a) as tenses normais em AC e em CE b) a deformao da poro AC

Dimenses em mm

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Exerccios Resolvidos450 KN

1,5 m

Um tubo de ao de 1,5 m de comprimento, 300 mm de dimetro exterior, e 12 mm de espessura usado como coluna para suportar 450 KN. Usando a informao disponvel, determine: (E=2,07*105 MPa; G=0,8*105MPa)

a) a mudana de comprimento do tubo.

b)a mudana do dimetro exterior do tubo.

c)a mudana da espessura da parede do tubo.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



Um pedao quadrado, 20*20 mm, de ao foi retirado de um recipiente sob presso de grandes dimenses. Quando sob presso, a condio de tenses biaxiais a que mostra a figura. Usando os dados disponveis do ao, determine o variao de tamanho de: a) lado AB

b) lado BC

c) diagonal AC

E=2,00*105 MPa G=0,77*105 MPa

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a



O provete de alumnio est sujeito s foras indicadas, de magnitude P.

Sabendo que E=0,70*105 MPa, e adm=200MPa,

a) Determine a mxima fora P, e o correspondente alongamento do provete

b) Resolva a alnea a, assumindo que o provete foi substitudo por uma barra de alumnio, do mesmo comprimento, e seco recta rectangular uniforme de 60x15 mm.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Exerccios PropostosOs membros deste sistema tm 2-cm-de diametro e so de ao (E = 200 GPa). A carga aplicada em, x = 1.5 m e y = 0.5 m. Qual a deformao do membro AC quando a carga de 10 kN aplicada?

A barra AB de alumnio (E = 70 GPa) e a barra CD de ao (E = 200 GPa). Ambas tm uma seco recta de 1 cm x 3 cm. As dimenses da figura so x = 2 m, y = 2 m, e z = 3 m. Qual a deformao da barra AB quando aplicada a fora de 40 kN?

O membro CE, de Aluminio (E = 70 Gpa) est montado como mostra a figura. Esta pea tem 2-cm de altura e uma seco recta de 0.5 cm x 1 cm. Um parafuso, de ao, (E = 200 Gpa), e com 4-cm de comprimento e 1-cm de dimetro, ajustado para exercer presso na pea. Assumindo que o membro ABC rigido, e sabendo que x = 4 cm, determine a mxima tenso que ocorre no parafuso quando o componente ABC estiver sujeito a 200 MPa?

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

Mec

nic

a


Exerccios PropostosO membro rgido ABCD usado para suportar um peso de 2 KN. Este membro tem 6-m de comprimento. As barras BE e CF so de ao (E = 200 GPa) e tm um dimetro de 0.5 cm e um comprimento de 2 m. Qual a deformao do ponto D quando a carga aplicada?

A pae BE de aluminio (E = 70 GPa, = 23.0 E-6 1/oC) e est suportada pelo membro rgido DEF. A pea BE tem 50 cm de comprimento e um dimetro de 5 cm. Os membros AD e CF so de ao (E = 200 GPa, = 11.7 E-6 1/oC) e tm 60 cm de comprimento e 0,5 cm de dimetro. Inicialmente nenhuma carga est aplicada no conjunto. Determine as tenses que se desenvolvem nos membros AD e CF quando a temperatura subir 100C.

A placa da figura tem 0.5-cm de espessura e 2-cm de largura. Um furo de 0.5-cm de diametro est localizado no centro da placa. Qual a mxima tenso existente na placa quando uma fora de 2 KN aplicada?

Documents

Cap.2 Cargas Axiais