cap2

Notas sobre o Mtodo dos Elementos Finitos - Verso beta Estevam Barbosa de Las Casas

2) Mtodo das diferenas finitas 2.1- Desenvolvimento do MDF a partir de sries de Taylor A expanso em sries de Taylor do valor de uma funo f(x), 0 x l dada por:

( ) nnn

naxafaxafaxafafxf +

++++=

!1))((.........

!2))((''))((')()(

1)1(2

(.) Tomando o valor da funo f(x) em alguns pontos do domnio espaados entre si de h, com . exprime-se a funo em x a partir de seu valor no ponto "a".

Figura 2.1- Representao grfica de uma funo qualquer f(x) a ser desenvolvida em srie

de Taylor Tomando-se a aproximao para a funo f primeiro em a = xi e x = xi+1 , ou seja f(x) = f(xi+1) = fI+1 = f(xi+h) e posteriormente, para o mesmo a = xi em funo de x = xi+2 f(xi+2) , resultando em f i+2 = f(xi+2h), obtm-se de (.): f f hf

hf erroi i i i+ = + + 1

2

2' ''

!

( )f f hf

hf erroi i i i+ = + + 2

2

222

' ''

!

Multiplicando-se a primeira equao por -4 e somando segunda, obtm-se:

errohffff iiii =+ ++ '21 234

( ) + +f h f f fi i i i' 12 4 31 2 , com |erro | < < +h f x x x xi i2 27 2 max( ( ))''

xi-2

fi-2

xi+2 xi-1 xi+1

fi-1 fi fi+1 fi+2

xi

f

x

h h hh


De maneira anloga, a partir da equao (.) pode-se fazer a hiptese que, para h suficientemente pequeno, o termo em h2 suficientemente pequeno para ser desprezado, e

errohfff iii +=+ '1 de onde

( )h

fff iii +1' , | erro |

1))(( max2

"

+


Figura 2.2- Aproximaes para df/dx 2.2 Um exemplo de aplicao Vamos examinar o problema de determinao da deflexo transversal de um cabo tracionado apoiado em uma fundao de constante elstica k submetido a uma carga transversal f, atuando na direo normal ao cabo (figura 2.3). A fora de trao dada por T e sua componente transversal F. Procedendo ao equilbrio de esforos na direo y, temos: F x f x dx kw x dx F x dF( ) ( ) ( ) ( ( ) )+ + = 0 Desprezando termos de segunda ordem,

( ) ( )ddx

F x k x w x f x( ) ( ) ( )+ = com a rigidez do suporte dada em unidades de dimenso F/L. Da figura 2.3, a relao geomtrica entre F e T pode ser obtida: F(x)=T(x) sen

Para pequeno, dxdwtg = sen , resultando em

fi-1

fifi+1

y

y =

xxi-1 xi xi+1

I


( )dx

xdwxTxF )()( =

dx

kk

f

F+dFT

T

F

Figura 2.3- Deflexo de um cabo elstico Substituindo esta relao na equao de equilbrio, obtm-se a equao diferencial para o problema:

)()()()()( xfxwxkdx

xdwxTdxd =+

As condies de contorno podem ser de dois tipos: essenciais (varivel principal do problema, a deflexo w, especificada em pontos do contorno) ou naturais (valor da trao F conhecido no contorno). Tomemos um vo de 10 m, f=50N/m e T=3500N, sem molas (k(x)=0). Podemos agora definir um modelo discreto para o problema, definindo alguns pontos nos quais se pretende obter uma resposta aproximada. Dividindo o vo inicial em 5 segmentos de 2 m, temos o modelo conforme o esquema da Figura 2.4.

Agora, aproximando d wdx

2

2 por diferenas centrais, teremos:

w w wh

fT

i i i + +

=

1 12

2 , com h o espaamento entre ns.

x

w

Cabo indeformado

f y


w w wi i i + + = 1 124

503500( )

w w wi i i + + =1 12 235

Figura 2.4- Modelo discreto e descrio do problema

Assim, para o n 1 (i=1), w w wo + =2 2 351 2 Para i=2, 35

22 321 =+ www Para i=3, w w w2 3 42 2 35 + = Para i=4, w w w3 3 42 2 35 + = Como w0 =w5=0 (condies de contorno), teremos: -2w1 + w2 =2/35 w1 - 2w2 + w3 =2/35 w2 - 2 w3 + w4 =2/35 w3 - 2w4 =2/35 Observe que o modelo agora inclui como incgnitas (variveis discretas) os deslocamentos em apenas 4 pontos (ou ns) , e no mais em toda a reta. Resolvendo o sistema de equaes, obtm-se:

w

T=3400 N

f=50 N/m

3m

T=3400 N

0 1 2 3 4 5

2m 2m 2m 2m 2m


w1= -4/35 w2= -6/35 w3= -6/35 w4= -4/35 De forma semelhante, pode-se resolver problemas em 2 ou 3 dimenses (veja, p. e., [Zienkiewicz e Morgan, 84]. Na seqncia, pode-se determinar, a partir dos deslocamentos encontrados, o valor da fora

no cabo, dada por ( )dx

xdwxTxF )()( = , aproximando-a por diferenas finitas centrais. Para determinar as foras, recorre-se uma segunda vez a uma aproximao, e logo a qualidade dos resultados obtidos pode ser pior que para os valores de deslocamentos. ( )

hwwTF iii 2

11 + = , de onde F1= -3T/70 F2= -T/70 F3= T/70 F4= 3T/70 2.3 Exerccio proposto A equao para uma viga em apoio elstico )()()(4

4xfxwxkdx

wdEI =+ , com f(x) a carga distribuda aplicada, k a constante de mola do apoio e w a deflexo. Sabendo-se que, por diferenas centrais,

++ ++ 4 21124

4 464h

wwwwwdx

wd iiiii , e considerando que EI=10k,

carga f(x)=1 kN/m, determine os deslocamentos em funo de EI para uma viga de comprimento unitrio (1m) engastada nos dois extremos, para h=1/3 m e para h=1/6 m. Compare os resultados. 2.4 Bibliografia Zienkiewicz, O. C. e Morgan, K. Finite Elements and Approximation, John Wiley and Sons, EUA, 1984. Reddy, J. N. An Introduction to the Finite Element Method, McGraw-Hill Book Company, EUA, 1984.

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