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Fundamentos de Control de procesos

3 SISTEMAS EN LAZO CERRADO

3.1lazo cerrado Hasta el momento se han descrito los sistemas dinmicos en Lazo Abierto donde las entradas no dependen de la informacin de salida.

En lazo cerrado al menos una de las entradas depende de la informacin de alguna variable de salida.

Bajo este concepto, un proceso bajo control es un sistema en Lazo Cerrado ya que una de sus entradas denominada Variable Manipulada depende del valor medido en la salida (Variable Controlada). El valor impuesto a la variable manipulada es determinado por el Controlador. Esta forma de controlar un proceso se denomina control Retro-alimentado o Feedback y es la base de los sistemas de control automtico. 3.1.1 Elementos del lazo de control Los elementos bsicos de un lazo de control son; Elemento de medida: Es el sensor o dispositivo que mide la variable a controlar

Controlador: Es la maquina de calculo que contiene el algoritmo para determinar el valor a imponer en la variable manipulada.

Elemento Final de Control: Es el dispositivo que interacta fsicamente con el proceso para provocar el cambio en el proceso. Tpicamente son vlvulas o variadores de frecuencia. Otros elementos asociados al lazo son los transductores, elementos de comunicacin, interfases, que junto a los sensores y vlvulas han sido analizados en asignaturas especficas. En este curso nos dedicaremos exclusivamente a los aspectos relacionados con los controladores.

3.1.2 Controladores Los controladores son dispositivos que se disean para determinar el valor necesario de la variable manipulada con la finalidad de mantener la variable controlada dentro de un rango aceptable llamado set-point , consigna o referencia. Los controladores pueden ser dispositivos fsicos (maquinas), Circuitos elctricos, electrnicos, microprocesadores o cdigo dentro de un programa computacional.

En todo controlador podemos distinguir y especificar los siguientes elementos:

Referencia, Set-point o Consigna: Corresponde al valor deseado para la variable controlada.

Lgica, Algoritmo o Ley de Control: Corresponde a la formula matemtica que relaciona la entrada y el set-point con la salida. Muchos controladores tienen la lgica fija, otros permiten variar parmetros de comportamiento y otros permiten que el usuario programe sus propias estrategias. Sentido: El controlador puede actuar en sentido Directo o Reverso dependiendo de las caractersticas del lazo . En algunos casos es necesario abrir la vlvula para disminuir el valor de la salida (ejemplo, control de Nivel) mientras que en otros es necesario cerrar la vlvula (ejemplo, control de Temperatura)

Modo Manual/Automtico: En todo lazo, el usuario tiene la capacidad de operar el sistema bajo modo Automtico donde la vlvula es comandada por el controlador. En modo Manual, el operador puede especificar el valor de la vlvula a voluntad, ignorando el valor entregado por el controlador.

3.1.3 Clasificacin y Tipos de Controladores

En la actualidad la industria de controladores ofrece una amplia gama de controladores dependiendo de la tecnologa usada y el tipo de lgica aplicada.

Una primera clasificacin es por el tratamiento de las seales ya que pueden ser analgicos (contnuos), Digitales (discretos) o hbridos.

Otra clasificacin es por la construccin. Distinguimos los controladores por hardware que son fsicamente construidos y montados en terreno o en sala de control. La contraparte es por software donde la lgica reside en un programa administrador de lazos tipo DCS (Distribuided Control System) o DDC (Direct Digital Control) Bajo la ptica de anlisis de sistemas de control, la clasificacin desde el punto de vista de la algortmica es lo importante. De acuerdo a la ley de control, los tipos de controladores mas usados son :

Controlador On/Off: Este controlador permite solo dos estados lgicos para la variable manipulada (Vlvula) Abierta (on) o Cerrada (off) . Cuando la referencia sobrepasa una cierta banda de tolerancia, el controlador acta cerrando o abriendo dependiendo del sentido dado al controlador. Este controlador es capaz de mantener al sistema oscilando alrededor de la referencia, pero nunca la mantiene en el tiempo. Este controlador es utilizado ampliamente para fines domsticos y regulacin gruesa de procesos. Controladores PLC: Controladores de lgica programable ( Programable Logic Controller) Este controlador es una versin inteligente del controlador on/off ya que al usar las capacidades de programacin de su microprocesador permite un secuenciamiento de tiempos en torno a varios lazos de control. El PLC es una solucin efectiva para regular procesos aislados. Controlador Universal PID: El controlador PID corresponde a una algoritmica basada en el calculo Proporcional, Integral y Derivativo del error de la salida con respecto a la referencia. El algoritmo permite llevar el proceso al set-point y mantenerlo aun en presencia de perturbaciones e inestabilidades del proceso. Dada su efectividad es considerado el algoritmo universal para controlar y posicionar los procesos en torno a las referencias. Este controlador ser analizado en profundidad. 3.1.4 Diagrama de Bloques en lazo Cerrado Antes de analizar las caractersticas dinmicas de los lazos de control es necesario establecer el diagrama de bloques de un proceso controlado en lazo cerrado, y derivar las relaciones entre las entradas y salidas del lazo.

Supongamos un proceso que tiene una variable a controlar Y y dos variables que lo afectan: la variable manipulada u y la variable de perturbacin d. Si queremos controlar la salida, necesitamos un controlador que mida la salida, la compare con la referencia Y* y actu segn el valor del error. El controlador realiza el calculo y comunica su valor a la vlvula, y esta al proceso. Si cada componente del lazo es lineal, entonces pueden ser representados mediante las respectivas funciones de transferencia. El correspondiente diagrama de bloque se muestra a continuacin.

Figura 3.1 Diagrama de bloque de un sistema en lazo cerrado

A partir del lgebra de bloque, la salida del sistema bajo control como funcin de las variables externas ( Y* y d) es deducida fcilmente. i) Respuesta con respecto a la referencia Y* , Problema ServoLa salida del sistema cuando cambiamos el set-point es conocido como la respuesta al problema servo y representa la habilidad del lazo de control para seguir a la referencia. Este es el caso tpico de los pilotos automticos o controladores que deben seguir recetas.

La expresin en trminos de las funciones de transferencia es:

Figura 3.2 Respuesta de problema servo (Cambios en la referencia)

ii) Repuesta con respecto a la perturbacin d , Problema Regulatorio.

Representa a la salida del sistema cuando se introduce una perturbacin desconocida al proceso. Bajo control en lazo cerrado, el controlador debe ser capaz de eliminar esta perturbacin y posicionar al proceso nuevamente en la referencia deseada. Este comportamiento est asociado al control de procesos continuos donde la referencia es prcticamente constante y sufren diferentes perturbaciones producto de la variabilidad en la alimentacin y alteraciones en las condiciones de operacin del equipo. La relacin de la salida con respecto a la perturbacin es:

Figura 3.3 Respuesta de un sistema frente a perturbaciones (Problema Regulatorio)

En la prctica un buen lazo de control debe cumplir a cabalidad con los dos requerimientos.

Dado que el problema regulatorio puede ser visto como un caso especial del problema servo, este ltimo se utiliza como problema de prueba para el anlisis y sntesis de controladores. Por otro lado, los dems componentes del lazo (transductores, sensores, vlvula) son construidos para dar respuestas lineales y con dinmicas rpidas, por lo que pueden ser asociadas a una sola ganancia junto con la del proceso.

Bajo estas premisas simplificatorias es posible usar un esquema ms simple para el anlisis que toma en cuenta solo al proceso y al controlador, el que se muestra en la siguiente figura.

Figura 3.4 Diagrama de bloques simplificado de un sistema en lazo cerrado.La correspondiente funcin de transferencia que relaciona la salida con el set-point es:

3.2 Controlador PID La versatilidad y robustez del algoritmo PID para controlar una variedad de procesos de diferentes dinmicas y comportamientos lineales y moderadamente no-lineales lo hacen merecedor de la denominacin de Controlador Universal

Sus caractersticas principales son: Amplia aplicabilidad a sistemas lineales y cuasi-lineales

Fcil de implementar en diferentes ambientes de ejecucin

Configuracin flexible segn servicio (P, PI, PID, PD)

Acepta un solo lazo de control, pero pueden configurarse en forma mas compleja.

Parmetros y sintona relativamente simple

La ley de control esta dada segn:

Kc, i ,d son parmetros ajustables que ponderan cada accin, e es el error y uo es el valor de la vlvula a error cero.

El controlador PID genera su salida ponderando en cada instante la accin Proporcional, Integral y Derivativa del error. La Figura siguiente ilustra el efecto combinado.

Figura 3.5 Representacin de los modos en un controlador PIDA continuacin estudiaremos separadamente cada modo para entender el sentido de cada uno de ellos. 3.2.1 Modo Proporcional (P)El modo proporcional consiste en entregar una seal proporcional al error.

La ecuacin del modo proporcional es;

La Funcin de Transferencia equivalente esta dada por:

Kc se denomina Ganancia del controlador o constante proporcional y es un parmetro de ajuste que permite graduar la severidad de la respuesta.

En algunos controladores se utiliza en concepto de Banda Proporcional BP definida como : BP= 100/Kc

El modo proporcional es el ms comnmente usado en los controladores basados en interaccin fsica de componentes segn se muestra en la figura siguiente.

Figura 3.6 Dispositivo de control proporcional

Se puede demostrar que el controlador proporcional es capaz de llevar al proceso a una vecindad del set-point pero tericamente no es posible alcanzarlo generando un offset , es decir una diferencia permanente entre la salida de estado estacionaria (Yest) y el set- point.

En control proporcional, el offset esta dado por:

OFSET=(Y*-Yest) = (Kc*Kp)/) 1+Kc*Kp) Con Kp la ganancia del proceso.

De acuerdo a la expresin anterior, a medida que aumentamos Kc, el offset disminuye pero nunca ser cero (control perfecto) segn se aprecia en la figura siguiente.

Figura 3.7 Respuesta de un controlador proporcional con set-point = 0,83.2.2 Modo Integral (I) El modo integral consiste en generar una salida proporcional a la integral del error, es decir una suma de los errores a lo largo del tiempo. Esto permite una seal creciente cuando el sistema tiende a un offset (modo P) de manera que lo saca de ese estado y finalmente lo elimina, es decir permite alcanzar el set-point deseado. La ecuacin del modo integral esta dada por :

La funcin de transferencia asociada a la accin integral es:

El parmetro i se conoce como tiempo integral (min) y al inverso se le llama reset time. Sirve para modular el efecto de la accin integral con respecto a los otros modos del controlador. Se puede demostrar que : La accin integral permite eliminar el offset en la mayora de los casos

La accin integral produce un aumento del orden del lazo, lo que se traduce en una mayor oscilacin y mayor inestabilidad.

La figura siguiente muestra el efecto de la accin integral.

Figura 3.8 Respuesta de accin proporcional e integral 3.2.3 Modo derivativo (D)

El modo derivativo se incluye con el objetivo de amortiguar la oscilacin provocada por la accin Integral o la oscilacin natural del proceso.

La accin derivativa consiste en agregar una seal proporcional a la derivada del error, segn:

La Funcin de transferencia es :

El parmetro d se conoce como tiempo derivativo o rate y sirve para ponderar el efecto derivativo con respecto a los otros modos. El efecto prctico de la accin derivativa es provocar un aumento en el perodo de oscilacin posibilitando que las otras acciones estabilicen el lazo. El modo derivativo no ejerce accin de control por si solo y es perjudicial en sistemas muy ruidosos.

La Figura 3.9 muestra el efecto de agregar accin derivativa a un sistema con respuesta muy oscilatoria.

Figura 3.9 Efecto de la accin derivativa

3.2.4 Seleccin de modosLa seleccin de los modos a usar es crucial para la efectividad del lazo. En general se puede utilizar los siguientes criterios bsicos de seleccin.

Es permitido offset, entonces usar P

Es necesario offset cero, usar P+I

El sistema es lento u oscilatorio con accin I , usar P+I+D

La seal es muy ruidosa, entonces no usar accin D

El sistema es rpido y oscilatorio, entonces usar P+DUna gua rpida sugiere diferentes modos segn la variable a controlar

Nivel : P Presin : P o P+D

Flujo: P o P+ I

Temperatura : P+I+D

3.3 Sintona de Controladores

Los controladores poseen parmetros ajustables que permiten modular su salida de acuerdo a una respuesta dinmica esperada, por ejemplo:

Error nulo ( ideal ) , Error mnimo en el tiempo, Respuesta rpida, mnimo overshhot, poca oscilacin en la salida, poca oscilacin en la vlvula, etc. La tarea de encontrar el mejor conjunto de parmetros ("optimos") de acuerdo a cierto criterio se llama "Sintona".Los mtodos de sintona puede clasificarse en:

Empricos: Siguen una serie de reglas establecidas y aceptadas como ciertas.

Semi Empricos: Combinan empirismo con un cierto grado de anlisis matemtico que posibilita una cuantificacin mas precisa.

Analticos: Mtodos puramente matemticos basados en mtodos de optimizacin En los controladores PID , La ganancia Kc, el tiempo integral y el tiempo derivativo son los parmetros a determinar.

Los diversos fabricantes recomiendan valores iniciales o por defecto como se ilustran en la figura siguiente extrada de una pagina web. Posteriormente se deben calibrar o sintonizar por alguno de los mtodos que se presentarn a continuacin.

Figura 3.10 Valores de parmetros PID recomendado por un fabricante 3.3.1 Mtodo Emprico.

El mtodo emprico consiste en aplicar una serie de reglas comnmente aceptadas con la finalidad de ajustar el lazo a la respuesta deseada. En general es un procedimiento largo y costoso, y el criterio de la mejor salida deseada puede variar entre diferentes operadores y turnos. Las reglas bsicas son :

Al aumentar Kc disminuye el offset, el sistema responde ms rpido pero se hace oscilatorio.

La accin integral elimina el offset pero el sistema se hace mas inestable

Incluir accin derivativa si se observa oscilacin persistente.

El siguiente procedimiento de sintona es comnmente recomendado:

1. Dejar el lazo en modo P, hacer cambios en +/- 25% en la referencia aumentando en cada cambio el valor de Kc y dejar que se estabilice. Cuando se observe que comienza una oscilacin permanente, fijar Kc igual a la mitad del ltimo valor registrado.

2. Incorporar accin integral de la misma manera que la accin P. Cuando se llegue a oscilacin permanente fijar el tiempo integral igual al doble del ltimo valor.

3. Si se estima necesario incorporar accin derivativa ( la oscilacin es persistente) entonces aumentar la accin derivativa y simultneamente aumentar gradualmente Kc .

4. Seguir con el paso 3 hasta comportamiento deseado.

3.3.2 Mtodos semi-empricos

Estos mtodos que combinan reglas con ecuaciones son muy utilizados para la sintona de controladores PID donde se requiere especificar Kc, i ,d.

Los dos mtodos ms populares son los de Ziegler-Nichols y el de la Curva de reaccin (Cohen y Coon)

i) Mtodo de Ziegler-Nichols: Este es un mtodo de lazo cerrado que tiene una metodologa idntica al paso 1 del mtodo emprico, es decir busca encontrar el valor de Kc que produce una oscilacin completa, llamada Ultima Ganancia Ku. Tambin es necesario medir el perodo de la oscilacin de salida llamado Ultimo Perodo, Pu.

Ziegler y Nichols dedujeron una serie de ecuaciones que ajustan un comportamiento tipo sub-amortiguado con razn de decaimiento 4:1 en funcin de Ku y Pu.

Las ecuaciones se resumen en la siguiente tabla.

Tabla 3.1: Ajuste de parmetros PID segn mtodo de Ziegler-NicholsKcid

P0.5Ku

PI0.45KuPu/1,2

PID0.6KuPu/2Pu/8

ii) Mtodo de la Curva de Reaccin

Este mtodo desarrollado por Cohen y Coon, a diferencia del mtodo de Ziegler-Nichols, es un mtodo de identificacin en lazo abierto, es decir persigue encontrar los parmetros de la funcin de transferencia del proceso Go que se asimila a un proceso de primer orden con atraso segn:

Los parmetros de Go se obtienen de la curva de reaccin, que es el registro de la salida del proceso con el tiempo cuando se le somete a un cambio escaln en la entrada, segn se ilustra en la Figura 3.11.

Figura 3.11 Curva de reaccin y parmetros de la funcin de transferencia Una vez obtenidos los parmetros de la funcin de transferencia del proceso , Cohen y Coon recomiendan usar los siguientes valores para el controlador: Tabla 3.2 Parmetros PID segn mtodo de la curva de reaccin Kc i d

3.3.3 Mtodos analticos

Los mtodos analticos pasaron de ser meros ejercicios tericos a ser poderosas herramientas de ajuste gracias a la potencia de clculo que ofrecen los microprocesadores y computadores en general. En la actualidad son comunes los controladores con auto-ajuste (auto-tuning) y softwares para determinar los parmetros ptimos dependiendo de las condiciones locales de optimalidad y precios.

En general un mtodo analtico requiere un modelo del proceso que sea capaz de predecir sus salidas. A partir del modelo, la sintona se formula como un problema de optimizacin donde la funcin objetivo representa el criterio de optimalidad desde un punto de vista cuantitativo.

Por ejemplo, una formulacin del problema de sintona analtico para un controlador proporcional es:

La ltima expresin persigue encontrar el valor de Kc que hace mnima la suma de los errores al cuadrado entre la referencia y la salida predicha. La prediccin se realiza conociendo las funciones de transferencia del proceso y del controlador.

GC(s) = controlador Gv(s) = vlvula GP(s) =proceso

Gs(s) = sensor Gd(s) = perturbacin o carga

-

+

+

+

u(s)

e(s)

Y*(s)

y(s)

d(s)

GS(s)

GC(s)

Gv(s)

GP(s)

Gd(s)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

P+I

EMBED Equation.3

Y

-

+

u(s)

e(s)

Y*(s)

GC(s)

Gp(s)

EMBED Equation.3

u

e ( y* - y

e y*

Sensor

y

-

+

+

Derivativo

Integral

Proporcional

PROCESO

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Kc

v1

T

0.8

0.6

0.4

0.2

0

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Kc=10

Kc=1

P+I+D

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

1.5

T

2

1.5

1

0.5

0

250

200

150

100

50

0

I

P

T

1.5

1

0.5

0

120

100

80

60

40

20

0

Cap 2- 2Francisco Cubillos M.

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