Cap4 Functii Complexe

  • View
    445

  • Download
    2

Embed Size (px)

Transcript

1 Capitolul 4 Elemente de teoria funciilor complexe Cuprins I. Numere complexe 1. Forma algebric a unui numr complex 2. Planul complex. Forma trigonometric a unui numr complex 3. Topologia lui C 4. iruri i serii de numere complexe 5. Exerciii II. Derivabilitatea funciilor complexe 1. Noiunea de funcie complex 2. Limite i continuitate 3. Derivata unei funcii complexe. Condiii Cauchy-Riemann 4. Exerciii III. Integrala complexa 1. Noiunea de integral complex. Proprieti 2. Formulele integrale ale lui Cauchy 3. ExerciiiIV. Serii de funcii complexe 1. Serii de puteri 2. Serii Taylor 3. Puncte singulare izolate 4. Serii Laurent 5. Exerciii V. Reziduuri 1. Teorema reziduurilor 2. Aplicaie la calculul integralelor trigonometrice3. Exerciii 2 I. Numere complexe 1. Forma algebric a unui numr complex Numerele complexe au aprut din necesitatea de a atribui o soluie unei ecuaii de gradul al doilea cu discriminantul negativ.Spre exemplu, s se rezolvm ecuaia x2 + x +1 = 0.Avem A = 1-4 = -3 < 0ecuaia nu are rdcini reale. Dar notnd1 1 :2 = = i i23 13 32 , 1ix i = = sunt rdcinile ecuaiei n mulimea numerelor complexe C: { } 1 : , , | = e + = = i R y x iy x z (1) Definiia1.Expresiaz:=x+iy,undex,yeR,senumeteformaalgebricanumruluicomplex z. x este partea real a lui z, notat x: = Re z, iar y este partea imaginar a lui z, notat y: = Im z. Orice numr real este un numr complex cu Im z = 0, deci R cC. Un numr complex se numeteimaginar dacRez = 0. Numrulcomplexiy x z =senumeteconjugatulluiz,iar numrul real 2 2| | : y x z + = = este modulul lui z. Fie z1:= x1 + iy1i z2:= x2 + iy2. Prin definiie, z1 = z2 dac x1 = x2 i y1 = y2. Pe C se definesc operaiile de adunare i nmulire prin

( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1y x y x i y y x x z zy y i x x z z+ + =+ + + = +. (2) Teorema 1.Operaiile (2) definesc pe C o structur algebric de corp comutativ. De asemenea, pe mulimea numerelor complexe putem vorbi i despre: -produsul unui numr real cu un numr complex z= x + i y , e R; - ctul a dou numere complexe0 ,| |22212221221= = = zzz zz zz zzz. Principaleleproprietialeoperaiilorcunumerecomplexesuncuprinsenurmtoarea propoziie Propoziia 1. Oricare ar fi z, z1, z2 e C, au loc 1.; ; ; ;21212 12 12 12 1z zzzzzz z z z z z z z = =||.|

\|= = 2.; z z R z = e3.; | | | | ; 0 0 | |2z z z z z z z = = = =3 4.; Im Re | | Re z z z z + s s5.| | ; ; | | ; | |2 1 2 121212 1 2 1 2 1 2 1z z z zzzzzz z z z z z z z + s = = + s + . Exemple. 1.Determinm Re z i Im z pentru iiiiz3 27 43 213+++= . ii iii iii iiiiiz + = +=++ ++=++= 11326 13 39 263 2) 3 2 )( 7 4 (3 2) 3 2 ( 133 27 43 2132 2 Re z= 1 i Im z = 1. 2.Rezolvm ecuaia z2 + 4(1 - i)z - 1 - 8i = 0. 4 ) 8 1 8 ( 4 ) 8 1 ( 4 ) 1 ( 16 42 2= + + = + + = = A i i i i ac b 1 ) 1 ( 222 ) 1 ( 42 , 1 = = iizi z 2 11+ = ii z 2 32+ = . Tema. Fie 262 12 4+++=iiiiz . Determinai Re z i Im z. 2.Planul complex. Forma trigonometric a unui numr complex Fie( ) { } R y x y x P e = , | , :2c planuleuclidianireperulcartezianortonormatxOy.ntre mulimeanumerelorcomplexeCiplanuleuclidianc2existocorespondenbijectivi anume, oricrui numr complexz = x + iy , x, y e R, i corespunde un punctP(x,y)n planul euclidian,numitimaginealuiznc2iinvers,oricruipunctP(x,y)ec2 icorespundeun numr complex z = x + iy , numit afixul punctuluiP. Aceast corespondenbijectiv pemite identificarea lui C cu c2. Definiia 2. Mulimea C identificat bijectiv cu c2 se numete plan complex i se noteaz cu (z).Fie triunghiul dreptunghicOPM , (Figura 1).| | z OP = = i ==uuxycossin (3)

==u u sincosyx (4)(Figura 1) ) sin (cos u u i iy x z + = + =(5)P(x,y) xMMMMM M O y y u xMMMMM 4 Definiia3.Unghiulue|0,2t)msuratntredireciapozitivaaxeiOxidireciavectorului OP , care se determin n mod unic ca soluie a sistemului(3) se numete argumentul principal al lui z, notat u : = arg z. Observaia 1. n funcie de imaginea lui z n reperul cartezian ortonormat xOy (Figura 2), avem:

1. xyarctg z I cadran P = = e arg u ; 2. xyarctg z III II cadran P + = = e t u arg , ; 3. xyarctg z IV cadran P + = = e t u 2 arg . (Figura 2) Argumentulnumruluicomplex0esteconsideratnedeterminat,iarpentrunumerelerealesau imaginare avem: 4.dac z e R = < == > =t z x zz x zarg 00 arg 0; 5.dac z = iy = 23arg 02arg 0ttz yz y. Definiia4.PentruoricezeC\{0}expresia(5)senumeteformatrigonometrica numruluicomplex z. Observaia 2. n baza formulei lui Euleru uusin cos i ei+ = , (5) conduce la forma exponenial a numruluicomplex z, uie z= .

Exemple.Exemple Scriem sub form trigonometric numrul complexi z 3 1 = . 2 3 1 | | = + = = z .ImaginealuizestencadranulIV,deci 3532 3 2 2 argt tt t t u = = = + = = arctgxyarctg z . Rezult )35sin35(cos 2t ti z + = . Tema.Scriei sub form trigonometric numrul complexi z = 1 . Proprietileoperaiilorcunumerecomplexenformtrigonometricsuntconinuten urmtoarea propoziiePropoziia 2. Fie z, zk e C \{0},) sin (cos u u i z + = i. 2 , 1 ), sin (cos = + = k i zk k k ku u Atunci 1.)) sin( ) (cos(2 1 2 1 2 1 2 1u u u u + + + = i z z ; I II IIIIV 5 2.)) sin( ) (cos(2 1 2 12121u u u u + = izz; 3.) sin (cos u u n i n zn n+ = ; 4.)) sin( ) (cos(1 1u u + = iz; 5.1 ,..., 0 ),2sin2(cos =+++= = n knkinkw znknt u t u . nproprietatea5demaisus,aparrdciniledeordinulnaleunuinumrcomplex.Au imaginile pe cercul cu centrul n origine i razni reprezint vrfurile unui poliogon regulat nscris n acest cerc.n continuare vom exemplifica proprietile din propoziia 2. Exemple. 1.Fie 23322123) 3 1 (2321) 1 (||.|

\|+ ||.|

\| +=i ii iz . Determinm arg z i| | z . 2433322123322123) 3 1 (2321) 1 (z zz zi ii iz =||.|

\|+ ||.|

\| += . Scriem pe rnd numerele z1, z2, z3 i z4 sub form trigonometric, iar apoi utilizm propoziia 2. i z + = 11 |.|

\|+ =4sin4cos 21t ti z|.|

\|+ =2sin2cos 221t ti z . 23212i z = 35sin35cos2t ti z + =t t 5 sin 5 cos32i z + = . 3 13i z = |.|

\|+ =34sin34cos 23t ti z 33z = ( ) t t 4 sin 4 cos 8 i + . 21234i z + = 65sin65cos4t ti z + = 35sin35cos24t ti z + = . ( )( )|.|

\|+ =|.|

\|+ ++|.|

\|+=32sin32cos4135sin35cos 4 sin 4 cos 85 sin 5 cos2sin2cos 2t tt tt tt tt tii ii izarg z = 32t i| | z= 41. 6 2.Determinm 32321i . Fie 2321i z = u = arg z = 34t i =| | z= 1. 32321i 2 , 1 , 0 ,3234sin3234cos =+++= = kkikwktttt. 94sin94cos0t ti w + = , 910sin910cos1t ti w + = , 913sin913cos2t ti w + = i reprezint vrfurile unui triunghi echilateral nscris n cercul cu centrul n origine i raz 1. Tema. Determinai 41 i + . 3. Topologia lui C Pentruunstudiucompletalfunciilorcomplexe,trebuieintroduspeCnunumaio structuralgebric,ciiostructurtopologiccarespermitdefinireaunornoiuniprecum limit, continuitate, derivabilitate, integrabilitate, etc.Propoziia 3. Aplicaia d : C C R+, |, | ) , (2 1 2 1z z z z d =2 2 2 1 1 1, iy x z iy x z + = + = e C, (6) definete o distan pe C. inndcontdedefiniiamodulului,( ) ( ) , | | ) , (22 122 1 2 1 2 1y y x x z z z z d + = = adic (6)estedistanaeuclidianpec2.Deci,nuexistniciodeosebirentrespaiilemetrice(C,d)i (c2,d). Mulimea C nefiind o mulime ordonat, trebuie adugat doar un singur numr impropriu, notat pentru a obine mulimea numerelor complexe nchis= C C . Definiia 4. Se numete 1.disc cu centrul n z0 i raz r, mulimea{ } r z z C z r z U < e = | | , ) , (0 0, (Figura 3); 2.cerc cu centrul n z0 i raz r, mulimea{ } r z z C z r z C = e = | | , ) , (0 0, (Figura 4); 3.disc nchis cu centrul n z0 i raz r, mulimea{ } r z z C z r z U s e = | | , ) , (0 0, (Figura 5); 4.coroanacircularcucentrulnz0irazeriR,mulimea { } R z z r C z R r z U < < e = | | , ) , , (0 0, (Figura 6); 5.vecintate a lui z0 e C, mulimea V cC astfel nct - U(z0 ,r) a.. U(z0 ,r) cV; 6.vecintate a lui , exteriorul oricrui cerc{ } r z C z V > e =| | , ; 7.mulime deschis, o mulime care este vecintate pentru toate punctele sale; 7 8.punctdeacumularepentrumulimeaEcC,unpunctz0eC astfelnctVo vecintate a sa, V\{z0}E . 9.mulime conex mulimea E cC cu proprietatea c oricare ar fi descompunereaE = E1 E2 , E1 E2 , E1 , E2 , cel puin una dintre mulimile E1 , E2 are punct de acumulare n cealalt.

(Figura 3) (Figura 4) (Figura 5) (Figura 6) Exemple. Caexempledevecintialeluiz0 avem U(z0,r)i) , (0r z U .Exemplede mulimiconexesunt:planul,planuldincares-ascosunnumrfinitdepuncte, interiorulunuicerc.Mulimineconexesunt:unsegmentdincares-ascosun punct, reuniunea a dou discuri disjuncte. Tema.Reprezentai n planul complex (z) mulimile neconexe menionate mai sus.

Definiia 5. O mulime D cC deschis i conex se numete domeniu. Teorema 2. MulimeaD cC este conex dac oricare dou puncte ale sale pot fi unite printr-o linie poligonal coninut n D.n limbaj obinuit, o mulime conex ,,este format dintr-o singur bucat. Fie(C)ocurbnplanulcomplex(z)datprinecuaiileparametricereale ==) () (t y yt x x, | | b a t , e , sau prin ecuaia parametric complex) (t z z= ,| | b a t , e , unde) ( ) ( ) ( t iy t x t z + = . Definiia 6. Curba (C) se numete1.simpl dac nu se autointersecteaz, adic t1 , t2 e (a,b), t1 =t2 , z(t1 )= z(t2).x=Rez y=Imz z0 r U(z0,r) O x=Rez y=Imz z0 r C(z0,r) y=Imz x=Rez OO ) , (0r z U z0 r z0 U(z0,r,R) x=Rez y=Imz O r R 8 2.nchis dac extremitile ei coincid, adic z(a) = z(b). Observaia 3. Facem urmtoarea convenie. Fie curba (C) simpl inchis. Dac este parcurs n sens trigonometric o notm tot (C), iar dac este parcurs n sens invers trigonometric o notm cu (C- ), (Figura 7). (Figura 7)(Figura 8) domeniu dublu conex (Figura 9) domeniu triplu conex Definiia7.DomeniulDcCsenumetesimpluconexdacfrontierasa,notatFrD,este alctuit dintr-o singur curb(C) simpl inchis.Orice domeniu care nu este simplu conex se numete multiplu conex. Undomeniumultipluconexpoatefitransformatntr-undomeniusimpluconexprin introducerea unor frontiere suplimentare, numite tieturi. Ordinul de conexiune al unui domeniu multipluconexestenumrulminimdetieturinecesarepentrua-ltransformantr-undomeniu simplu conex, plus o unitate, (Figura 8), (Figura 9). Exemple.