-
Anlisis de Sistemas implementando Fourier
SIGNALS & SYSTEMS
Signal & Systems
-
Signal & Systems
Las series de Fourier aparecen como una herramienta importante
en la
resolucin de problemas en los que es necesario representar
funciones
mediante series simples de senos u cosenos.
Se considera que una Serie de Fourier es una expansin de una
funcin
peridica f(t).
La serie de Fourier es una fina herramienta de anlisis, pero
tiene
lmites. Puede describir cualquier seal til para la ingeniera en
un
tiempo finito y cualquier seal peridica para cualquier tiempo
como una
combinacin lineal de senoides.
Pero no tiene la posibilidad de describir una seal aperidica
para todo
tiempo.
Introduccin
-
Signal & Systems
En este captulo se descompondr una seal, expresada como una
suma de sinusoidales reales o complejas en vez de una suma
de
impulsos.
Las sinusoidales reales y complejas son combinaciones lineales
de
casos especiales de funciones propias de sistemas LIT, las
exponenciales complejas.
Las respuestas de los sistemas LIT a sinusoidales tambin son
sinusoidales de la misma frecuencia , en general, con diferente
amplitud
y fase.
Estas presentaciones estn divididas en dos partes, la
primera
analiza las serie y transformada de Fourier como herramienta
Matemtica y la segunda es el anlisis de sistemas desde el
dominio de la frecuencia.
Introduccin
-
Signal & Systems
Introduccin
Es deber del estudiante revisar la parte 1, pues no sern
ahondados en
el aula de clases considerando que es un tema trabajado en
otra
asignatura, pero permite aterrizar los conceptos de Fourier en
el campo
de las seales y Sistemas
-
PARTE 1-A
SERIES DE FOURIER
Signal & Systems
-
FRMULAS TRIGONOMTRICAS TILES
cos (A) cos (B) = *[cos(A+B)+cos(A-B)]
sen (A) sen (B) = [-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen (A) cos (B) = [sen(A+B)+sen(A-B)]
Signal & Systems
, por lo tanto tambin se tiene:02
( ) 0n t
sen n t senT
cos 0sen mt
mt dtm
puesto que sen(mt)=0
-
FRMULAS TRIGONOMTRICAS TILES
Signal & Systems
1
cos( ) cos( ) cos ( 1) cos ( 1)
cos ( 1) cos ( 1) cos 1 1n n
n n n n
n n n
1 12 2 2 2
1 1 12 2 2
n n n nsen sen sen sen
n n nsen sen sen
Para n impar
cos 2 1n
-
ORTOGONALIDAD DEL SENO Y EL COSENO
Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son
ortogonales en el intervalo a
-
Representacin de Seales por medio de Fourier
En el anlisis de seales de tiempo continuos nos enfocaremos en
larepresentacin de Fourier de seales continuas peridicas y no
peridicas, atravs de su representacin en serie de Fourier y
Transformada de Fourierrespectivamente.
Signal & Systems
-
Conceptos iniciales
Las componentes sinusoidales poseen diferentes frecuencias
wn=n.w0.
Signal & Systems
A la componente sinusoidal de frecuencia n.w0 se le llama la
ensimaarmnica de f(t).
A la primera armnica (n=1) se le llama la componente fundamental
ysu periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular
fundamental.
-
Signal & Systems
Si un sistema LIT se excita mediante una sinusoide compleja, la
respuesta estambin una sinusoide compleja, con la misma frecuencia
pero, por lo general,con otra constante de multiplicacin.
Esto ocurre debido a que la exponencial compleja es la funcin
propia de lasecuaciones en diferenciales que describen a los
sistemas LIT y una sinusoidecompleja es justo un caso especial de
una exponencial compleja.
La serie de Fourier en Tiempo continuo
-
Las expresiones de fasores implica aprovechar el concepto y
las
igualdades de la exponencial compleja, la transformada fasorial
P ser.
Donde: y
Signal & Systems
Fasores y Relaciones
0
cos .P jA t Ae x j y
cosx A siny A
) :ablesintercambi notaciones dosutilizar pueden (Se AAe j1
1
2 2 1
Transformacin de fasor inversa: cos( )
cos( )
donde: and tan .
Pj
o
P
o
Ae A w t
x jy A w t
yA x y
x
-
Signal & Systems
Si se pudiera encontrar una forma de expresar seales de
excitacinarbitraria como combinaciones lineales de sinusoides
complejas, se tendrala posibilidad de utilizar la superposicin para
determinar la respuesta decualquier sistema LIT a cualquier
excitacin arbitraria sumando lasrespuestas a las sinusoides
complejas individuales.
Recordemos que si un sistema LIT se excita mediante una suma de
seales, la respuesta completa es la suma de las respuestas a cada
una de las seales.
0 0
0 0
10 2
10 2
cos( ) ( )
( ) ( )
jn t jn t
jn t jn t
j
n t e e
sen n t e e
x( ) oj kt
k
k
t A e
1
0
1
x( ) o oj kt j kt
k k
n n
t A A e A e
La serie de Fourier en Tiempo continuo
-
Signal & Systems
2)cos(
jxjx eex
j
eex
jxjx
2)sin(
Cualquier funcin peridica con utilidad en ingeniera puede
expresarsecomo una combinacin de sinusoides complejas
-
Signal & Systems
2)cos(
jxjx eex
j
eex
jxjx
2)sin(
Cualquier funcin peridica con utilidad en ingeniera puede
expresarsecomo una combinacin de sinusoides complejas
La importancia de las exponenciales complejas en
el estudio de los sistemas LTI radica en el hecho de
que la respuesta al sistema LTI ante una entrada
exponencial compleja, es la misma exponencial
compleja pero con un cambio en la amplitud.
-
Signal & Systems
Una seal original arbitraria puede ser representada como una
combinacin lineal desinusoides dado un intervalo finito de tiempo
desde un tiempo inicial to hasta un tiempofinal to + TF como se
ilustra en la parte superior de la figura.
Considere que fF = 1/TF sedenomina la frecuenciafundamental de
este tipo derepresentacin de seal.
Entonces es posible, agregaruna constante, senos ycosenos a
mltiplos enterosque mantengan la frecuenciafundamental con
lasamplitudes correctas pararepresentar la seal originalen ese
intervalo de tiempofinito.
-
Seales Peridicas: Representacin en series de Fourier
Considere la representacin de la seal con periodo fundamental T
comola suma o superposicin de seales complejas senoidales y
expresada de lasiguiente manera:
tjtjk oo ee
To
2Frecuencia fundamental:
En este caso, la serie de Fourier est expresada como una
sumatoria(serie) de variables complejas, es decir que es la forma
compleja de laSerie de Fourier.
La frecuencia de la K-sima sinusoide es ko, y cada sinusoide
tiene unperiodo comn T.
Una sinusoide cuya frecuencia es un mltiplo entero de una
frecuenciafundamental se conoce como armnico de la sinusoide en la
frecuenciafundamental, por tanto:
k
tjk oekAtx
][)(^
Signal & Systems
K simo armnico
-
Seales Peridicas: Representacin en series de Fourier
La representacin de una seal con periodo fundamental T puede ser
la suma osuperposicin de seales complejas senoidales:
tjtjk oo ee
To
2Frecuencia fundamental:
El error que existe entre una seal o funcin original con la
aproximacin por Seriesde Fourier puede ser calculado a travs del
error cuadrtico medio MSE.
k
tjk oekAtx
][)(^
dttxtxT
MSE
T
0
2^
)()(1
Error medio cuadrtico:
Signal & Systems
K simo armnico
Se requieren coeficientes de A[k] de tal manera queexista una
buena aproximacin a la funcin x(t), esto selogra minimizando el
error medio cuadrtico entre laseal y su representacin.
La variable K indexa la frecuencia de la sinusoide, detal manera
que A[k] es una funcin de la frecuencia.
-
Seales peridicas de tiempo continuo son representadas mediante
la serie de Fourier.Se puede escribir la SFTC de una seal x(t) con
periodo fundamental T y frecuenciafundamental:
To
2
k
tjk
T
tjkdtetx
Tkxekxtx oo
0
)(1
][][)(
Expresin matemtica general de la serie de Fourier:
Coeficientes de la serie de Fourier
Representacin en el dominio de la frecuencia de x(t)
Signal & Systems
De los coeficientes x[K] se puede determinar x(t), ycon x(t) se
puede determinar x[k] usando las formulasde manera adecuada.
-
Signal & Systems
Calculo de la Serie de Fourier
Limitaciones sobre las funciones representables por una serie
deFourier en tiempo continuo:
Condiciones de Dirichlet:
1. La seal debe ser absolutamente integrable en el tiempo to
< t < to+TF, esto es,
2. La seal debe tener un numero finito de mximos y mnimos en el
tiempo to < t > k=-10:10;>>
X=(1-exp(-4))./(4+j*k*2*pi);>>
subplot(2,1,1),stem(k,abs(X),'fill');grid;subplot(2,1,2),stem(k,angle(X),'fill');grid
Signal & Systems
-
Representacin de Seales Peridicas continuasSerie de Fourier
Graficando el espectro de Fase y Magnitud
Signal & Systems
4/
4/
2
3]1[
2
3]1[
j
j
ex
ex
Donde: p =
-
Calculo de la transformada inversa de la serie de Fourier
Encuentre la seal en el dominio del tiempo correspondiente a los
siguientes coeficientesde la serie de Fourier.
Signal & Systems
20/
2
1][ jk
k
ekx
Por ejemplo, asuma que el periodo
fundamental es T = 2
Aplicando a la ecuacin:
k
tjk oekxtx
][)(
tjl
l
jl
l
tjk
k
jk
k
tjk
k
jk
k
tjk
k
jk
k
eeeetx
eeeetx
1
20/
0
20/
1
20/
0
20/
2
1
2
1)(
2
1
2
1)(
La segunda serie geomtrica esevaluada asumiendo que l vadesde 0
hasta infinito y eliminandoel termino en l=0.
Observacin:
-
Se debe conocer las series geomtricas con el objetivo de poder
reemplazar estasfunciones por sus iguales para tener una mayor
facilidad de representarlas.
En la siguiente diapositiva se muestran series geomtricas muy
tiles para eldesarrollo de esta parte de la materia.
Signal & Systems
20/cos453
)(
1
2
11
1
2
11
1)(
1
2
11
1
2
11
1)(
20/20/
20/20/
ttx
ee
tx
eeee
tx
tjtj
tjjtjj
-
Series Geomtricas utilizadas en transformadas inversas para la
serie de Fourier.
Signal & Systems
0
1
1
0
1,1
1.3
1,1
1,1.2
1,
1,1
1
.1
n
n
l
kn
lk
n
M
n
M
n
kl
M
02
1,1
.6
1,1
.5
1,1
.4
n
n
k
kn
n
kn
kn
n
-
Ejemplo de Aplicacin:
Dada la siguiente seal cuadrada peridica, determinar su
representacin en Serie de Fourier.
Signal & Systems
El periodo fundamental de la seal es T, de tal manera que 0=2/T.
Debido a que la seal tiene simetra par, es fcil de evaluarla
integrndola sobre el intervalo: 2/2/ TtT
dtetxT
kxtjk
T
T
o
2/
2/
)(1
][
De tal manera que:
-
Resolucin del problema:
Signal & Systems
0,
2
/2sin2][
0,sin2
][
0,2
2][
0,11
][
)(1
][
0
0
0
0
2/
2/
00
0
0
kk
TTkkx
kTk
Tkkx
kj
ee
Tkkx
kT
Te
Tjkdte
Tkx
dtetxT
kx
o
o
TjkTjk
o
tjk
o
T
T
tjk
tjk
T
T
oo
oo
o
Para la condicin en que k=0
T
Tdt
Tx
T
T
021]0[0
0
Si se aplica la regla de LHopitaltambin se puede obtener
elresultado anterior:
T
T
T
TkT
Tk
Tk
o
o
ooook
o
ook
2cos2lim
sin2lim
0
0
Es necesario en algunos casos tomar laconsideracin de lo pasa
con loscoeficientes cuando k=0, ya que en laecuacin general no se
puede establecerdirectamente el anlisis.
Rompiendo la indeterminacin:
-
Representacin Grafica de los coeficientes de la serie de Fourier
del pulso rectangular peridico.
Signal & Systems
Caso (a) para To/T = 1/4
Caso (b) para To/T= 1/16
-
Signal & Systems
Representacin Trigonomtrica de la SF
Es otra forma de representar la serie de Fourier. La
representacin trigonomtrica es a menudo utilizada para seales de
valor real y se expresa como:
1
)sin(][)cos(][]0[)(k
oo tkkAtkkBBtx
Los coeficientes de la serie de Fourier trigonomtrica estn dadas
por las siguientes formulas:
][][][)sin()(2][
][][][)cos()(2
][
)(1
]0[
0
0
0
kXkXjkAdttktxT
kA
kXkXkBdttktxT
kB
dttxT
B
T
o
T
o
T
B[0] : Representa el valor promedio de la seal.
Es la componente continua
-
Signal & Systems
Aplicando la representacin trigonomtrica de la SF al problema
anterior:
T
Tdt
TB
T
T
021]0[0
0
0),/2sin(2
][
)/2sin(/2
4][
)sin(4
)sin(2
)sin(2
][
)sin(2
)sin(2
)sin(2
][
)cos(2
)cos()(2
][
0
0
0
0
0
0
kTTkk
kB
TTkTTk
kB
TkTk
TkTk
TkTk
kB
TkTk
TkTk
tkTk
kB
dttkT
dttktxT
kB
o
o
oo
o
oo
o
oo
o
oo
o
oo
o
T
T
o
o
T
T
o
T
T
o
Determinando el coeficiente en k = 0
Determinando el segundo termino
-
Signal & Systems
0][
)cos(2
)cos(2
][
)cos(2
)cos(2
)cos(2
][
)sin(2
)sin()(2
][
0
0
0
0
0
0
kA
TkTk
TkTk
kA
TkTk
TkTk
tkTk
kA
dttkT
dttktxT
kA
oo
o
oo
o
oo
o
oo
o
T
T
o
o
T
T
o
T
T
o
Determinando el tercer termino
Expresin final mediante la representacin de la serie de Fourier
trigonomtrica
1
0 )cos()/2sin(22
)(k
oo tkTTkkT
Ttx
1
0 )cos()sin(122
)(k
ooo tkTkkT
Ttx
-
Consideremos la serie de Fourier para una funcin peridica f(t),
con
periodo T=2/0.
Signal & Systems
0 01
[0] [B[ ]cos( ) [ ] ( )]n
x t B k n t A k sen n t
0 0
0 0
10 2
10 2
cos( ) ( )
( ) ( )
jn t jn t
jn t jn t
j
n t e e
sen n t e e
0 0 0 01 12 21
[0] [ ] ( ) [ ] ( )jn t jn t jn t jn t
jn
x t B B k e e A k e e
Usando las frmulas de Euler:
Relacin de la representacin compleja con la trigonomtrica
Desarrollando se obtiene que
0
1( ) [ ] [ ] ( )o o
Tjk t jk t
k
x t x k e x k x t e dtT
Se deja al estudiante el desarrollo de comprobacin.
Donde x[0] = B[0]
-
Signal & Systems
Propiedades de la serie de Fourier
Dadas dos seales peridicas con series de Fourier y periodo
fundamental T, laserie de Fourier posee las siguientes
propiedades:
Linealidad
Desplazamiento en tiempo
-
Signal & Systems
Desplazamiento en frecuencia
Escalamiento
Diferenciacin en el tiempo
Convolucin
-
Signal & Systems
Multiplicacin
Teorema de Parseval
Para cualquier seal peridica x(t) el teorema de Parseval indica
que lapotencia promedio de una seal peridica es la suma de las
potenciaspromedios en sus componentes armnicos.
Dualidad
-
Signal & Systems
Simetra
Si x(t) es de valor real, entonces la parte real de la
transformada es unafuncin par de la frecuencia, mientras que la
parte imaginaria es unafuncin impar de la frecuencia. Esto implica
que el espectro de magnitud esuna funcin par mientras que el
espectro de fase es una funcin impar.
Si x(t) es puramente imaginaria, entonces la parte real de
latransformada es una funcin impar, mientras que la parte
imaginaria esuna funcin par de la frecuencia. Esto implica que el
espectro demagnitud es una funcin impar mientras que el espectro de
fase es unafuncin par.
-
Signal & Systems
Ejemplo de aplicacin de la simetra
][2][2
1][ kujkukx k
k
Determinar si la seal en el dominio del tiempo correspondiente a
su representacin en el dominio de la frecuencia por medio de la SF
es real, compleja, par o impar.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
Magnitud d
e X
Magnitud y Fase de X
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
Fase d
e X
Valor de K
-
Signal & Systems
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Part
e R
eal
Parte Real e Imaginaria de X
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Valor de K
Part
e I
magin
aria
Graficando la parte Real e Imaginaria de la funcin dada
Conclusin:
La magnitud es parpero la fase es impar.
Ni la parte real ni laparte imaginaria sonpar ni impar,
niviceversa por tanto laseal es de valorcomplejo.
-
Signal & Systems
Uso de tablas y propiedades
Una forma de obtener la transformada de Fourier y su inversa a
mas de la aplicacinde la formula de definicin, una forma practica
es utilizar tablas de transformadas deFourier de seales conocidas
mas la utilizacin de las propiedades.
Pares de transformadas de Fourier Bsicas
-
Signal & Systems
Ejemplo de Aplicacin 1
Determinar la funcin armnica de la siguiente funcin de tiempo
continuo:
450cos)(
ttx
Usando las tablas de transformadas se tiene:
mkmktmftx 2
12cos)( 0
Usando la propiedad de desplazamiento:
][)( 00)(2
0 kxettxtkfj
Antes de aplicar las propiedades y tablas se efecta una
modificacin en la forma derepresentar la FTC
25200
150cos)( 0
fttx
-
Signal & Systems
25200
150cos)( 0
fttx Aplicando lo anterior, se tiene:
112
150cos)( kkttx
Aplicando la propiedad de desplazamiento:
112
1
200
150cos)( 4/
kkettx kj
4/4/ 112
1
200
150cos)( jj ekekttx
111122
1
200
150cos)(
kjkjttx
-
Signal & Systems
Ejemplo de Aplicacin 2
Determinar la funcin armnica de la siguiente funcin de tiempo
continuo:
tttx 10000cos10cos5)(
Usando la propiedad de dualidad de lamultiplicacin -
convolucin
][][][][)()( kYkXqkXqYtytxq
Aplicando a cada parte de la ecuacin:
]1000[]1000[2
11000cos
5]1[]1[2
510cos5 0
kkt
fkkt
Finalmente se obtiene:
]1001[]999[]1001[]999[4
5)()(
]1[]1[]1000[]1000[4
5)()(
kkkktytx
kkkktytx
-
PARTE 1-B
TRANSFORMADA DE
FOURIER
Signal & Systems
-
De la Serie a La transformada de Fourier en TC (TFTC)
La generalizacin del desarrollo en serie de Fourier a seales no
peridicas se puedededucir al analizar el desarrollo en serie de
Fourier de seales peridicas cuando elperodo T tiende a
infinito.
Tras tomar el lmite, encontraremos que la amplitud del espectro
de una seal noperidica ya no es un espectro de lneas (como suceda
en el caso de sealesperidicas), sino que ocupa un continuo de
frecuencias. Lo mismo sucede con lacorrespondiente fase.
Signal & Systems
-
De la Serie a La transformada de Fourier en TC (TFTC)
Para aclarar cmo se produce el cambio del espectro discreto
al
espectro continuo, consideremos la seal x(t) que se muestra en
la
figura.
Signal & Systems
1x(t)
t
. . . -T -T/2 0 T/2
T . .
.
p
-p/2 p/2
2 2
2 2
2 2
0
( ) 1
0
pT
p p
p T
t
x t t
t
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
-
Signal & Systems
De la Serie a La transformada de Fourier en TC (TFTC)
Si se supone que se aumenta cuidadosamente el perodo T
manteniendo inalterado un perodo de la seal x(t). En el lmite,
cuando T, slo queda un pulso, puesto que sus vecinos adyacentes se
han desplazado al infinito.
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:-20 -10 0 10 20
0
0.5
1
1.5p=1, T=2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=20
t
f(t)
-
De la Serie a la Transformada de Fourier
En el lmite cuando T, la funcin deja de ser peridica:
Qu pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
Signal & Systems
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=
t
f(t)
-
DE LA SERIE A LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
Signal & Systems
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
cn
-
-50 0 50
0
p=1, T=5
-50 0 50-0.05
p=1, T=10
-50 0 50
0
p=1, T=20
-50 0 50
0
0
p=1, T=2
=n0
cn
DE LA SERIE A LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Signal & Systems
-
Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve continuo!
Signal & Systems
DE LA SERIE A LA TRANSFORMADA DE FOURIER
-
El aumentar T tiene dos efectos sobre el espectro de x(t):
1. La amplitud del espectro decrece como 1/T.2. La separacin
entre lneas decrece como 2/T. Cuando T tiende a infinito,
la separacin entre lneas tiende a cero. Esto significa que las
lneas delespectro se acercan entre s hasta llegar a formar un
continuo.
Anlisis Matemtico de la TF
k
tjk
T
tjkdtetx
Tkxekxtx oo
0
)(1
][][)(
Partiendo de la SFTC
TTo
o
1
2
2
Tomando en consideracin:
Tomando:
2
1lim
d
TT
Se convierte en unacantidad infinitesimal.
To
2
Signal & Systems
-
A mas de que la frecuencia se convierte en infinitesimal la
variable:
ok Se transforma en una variable continua.
dtetxd
kxdtetx
dkx
dtetxT
kx
tj
t
tj
t
T
tjk
T
T
TTo
)(2
1][)(
2][lim
)(1
lim][lim
2/
2/
dedtetxtxekxtx tjtj
tk
tjk o
)(
2
1)(][)(
Se debe considerar que en el limite la sumatoria se transforma
en una integral, por tanto la aproximacin de la serie de Fourier
ser prcticamente la seal original.
dtetxXdeXtx tjt
tj
21
)(Ecuaciones de la transformada de Fourier.
Signal & Systems
-
La transformada de Fourier en tiempo continuo (TFTC)
Signal & Systems
La seal es una cantidad fsica medible que lleva informacin en
eltiempo, se representa como w(t).
Algunas veces es conveniente analizarla a travs de
suscomponentes de frecuencia.
La transformada de Fourier (FT) es una herramienta matemticapara
identificar la presencia de componentes de frecuencia paracualquier
forma de onda
(Hz). frecuencia la es y de FT la representa :Donde
)()( 2
f
dtetww(t)fW ftj
F
F
-
Las Ecuaciones anteriores forman la pareja de transformada de
Fourier queutilizan la mayora de los ingenieros.
X() es la transformada de Fourier de x(t) y desempea la misma
funcinpara seales no peridicas que los coeficientes X[k] para
seales peridicas.
X() es el espectro de x(t) y es una funcin continua definida
para todos losvalores de , mientras que X[k] slo est definido para
frecuenciasdiscretas.
Por tanto, una seal no peridica tiene un espectro continuo en
lugar de unespectro de lneas.
dtetxXdeXtx tjt
tj
21
)(Pares de la TFTC
Signal & Systems
-
X() representa los pesos de las ex ponencia les complejas
utilizadaspara representar la seal en las ecuaciones anteriores y
en general, esuna funcin compleja de la variable . Por tanto, se
puede escribir as:
La representacin del mdulo de X() en funcin de se
denominaamplitud del espectro de x(t), y |X()|2 se denomina energa
espectral.
La representacin de la fase de X() en funcin de se denomina
fasedel espectro.
jeXX
dtetxXdeXtx tjt
tj
21
)(Pares de la TFTC
Signal & Systems
-
W(f)w(t)
W(f)w(t)
dfefWfWtw ftj
exclusiva forma de emparejadopar un conforman y
Fourier de adas transformdepar el comoconocen se y
. de inversa FT la representa
:Donde
)()()(
:inversa laA
2
1-
1-
F
F
Signal & Systems
Transformada Inversa de Fourier
-
Convergencia y la transformada de Fourier realizada
Se dice que la seal x(t) tiene transformada de Fourier en
sentido ordinarios si la integral de la ecuacin converge, es decir
existe.
1)()( tjtj
t
edttydttydtetxX
La integral de la ecuacin existe si:
1. x(t) es absolutamente integrable
2. X(t) no presente comportamientos anmalos.
dttxt
No existencia de comportamientos anmalos significa que la seal
es de variacinacotada, esto quiere decir que x(t) se puede
representar mediante una curva delongitud finita en cualquier
intervalo de tiempo finito o alternativamente, que la sealtiene un
nmero finito de discontinuidades, mximos y mnimos en cualquier
intervalode tiempo finito.
Signal & Systems
-
Ejemplo de Transformada de Fourier
)()( tuetx at
0
0 adte at
jajX
eja
jX
dtejX
etuejX
tja
tja
tjat
1
1
)(
0
)(
0
)(
Signal & Systems
-
Determinando la magnitud y fase, mediante Matlab
a
jX
a
jX
arctan)(arg,1
)(
2
122
Signal & Systems
-
Transformada de Fourier de un pulso rectangular:
o
oo
T
TtTtx
t ,0
,1)(
oo
o
tj
T
T
tjtj
TT
TjX
ej
dtedtetxjXo
o
2)sin(2
lim0 Para
0 Para )sin(2
1)(
0
0
0/)sin( ,
0/)sin( ,0)(arg
)sin(2)(
o
o
o
T
TjX
TjX
Modulo y Angulo
oo
TTjX sinc2)(
Signal & Systems
-
Transformada inversa de Fourier de un espectro de frecuencia
rectangular:
W
WjX
,0
W ,1)(
/)sin(2
lim0 Para
0 Para )sin(2
)(
2
1)(
2
1
0 WWtt
t
tWtt
tx
etj
dtedtejXtx
t
W
W
tj
W
tj
W
W
tjW
Signal & Systems
-
Transformada de Fourier de un impulso:
1)()( dtetjX tj
Transformada inversa de Fourier de un espectro tipo impulso:
1)(22
1)(
detx tj
Ejercicios de la Tarea:
Encuentre la Transformada de Fourier y laTransformada inversa de
Fourier de lassiguientes seales respectivamente:
)4(3)(b)
)(a) 2
X
tuetx t
Signal & Systems
-
fjfj
edteeW(f)
t
tew(t)
f)t-(ft-j-t
t
21
1
21
0 0
0
:Ejemplo
0
212
0
Nota: generalmente es difcil evaluar la FT por integracin
para
funciones arbitrarias. Sin embargo, se pueden usar funciones
conocidas y en conjunto con las propiedades de la FT para
evaluarlas
Clculo analtico de la FT
Signal & Systems
-
1. Integracin directa
2. Tablas de transformadas de Fourier
3. Teoremas de la transformada de Fourier
4. Superposicin para dividir el problema en dos o ms
problemas simples
5. Diferenciacin o integracin de w(t)
6. Integracin numrica de la integral de la FT por la PC
7. Transformada rpida de Fourier (FFT) con ayuda de
software
Mtodos para calcular la FT
Signal & Systems
-
Propiedades de la Transformada de Fourier
1. S w(t) es real, W(-f) = W*(f).
2. Linealidad:
a1w1(t)+a2w2(t) a1W1(f) + a2 W2(f)
3. Desplazamiento en el tiempo:
w(t T) = W(f) e-j2fT
3. Desplazamiento en la frecuencia:
w(t) ej2fot W(f fo)
5. Convolucin: w1(t) w2(t) W1(f)W2(f)
6. Multiplicacin:
w1(t)w2(t) W1(f) W2(f)
Signal & Systems
Donde:
* Es la conjuga compleja. es integral de convolucinX
X
-
Linealidad
Dualidad
Cambio de escala
Transformada de la conjugada
Translacin en el tiempo
Translacion en frecuencia
Derivacion en el tiempo
Derivacion en la frecuencia
Transformada de la integral
Transformada de la Convolucin
Teorema de Parseval Signal & Systems
-
Funcin Delta de Dirac
).()()(
:ocorrimient de Propiedad
0 0
0 )( ; 1)(
(juntas). scondicione siguientes dos
lasen basada est )( de aalternativ definicin Una
.0 para continua funcin todapara
)0()()(
:cumple ),( Dirac, de deltaFuncin
oo xwdxxxxw
x
xxdxx
x
xw(x)
wdxxxw
x
Signal & Systems
-
Funcin Escaln unitario
x). dx
du(x)
dxu
x
xxu
xu
x
(
:que cumple se iaconsecuencPor
)()(
:mediante Dirac elcon relaciona seescaln El
0 0
0 1)(
:)( unitario,escaln Funcin
Signal & Systems
-
Funciones ms usadas
x
xxSa
SaFuncin
Tt
TtT
t
Tt
Tt
T
t
sin)(
: )(
0
1
T
t
:TriangularFuncin
20
21
:r RectangulaFuncin
Signal & Systems
-
Diferencias Sinc y Sa
En procesamiento digital de seales y teora
de la informacin, la funcin sinc
normalizada comnmente se define como:
En matemtica, la histrica funcin sinc
desnormalizada, esta definida por:
Signal & Systems
x
xxSincN
sin)(
x
x
xxSinc Sa
sin)(
Sinc(x) normalizada (azul) frente a la sinc desnormalizada
(rojo) con la misma escala: x = 6 a 6.
dxxSinc
dxxSincN
-
-
)( .2
1)( 1.
:sPropiedade
-
Signal & Systems
-
Signal & Systems
-
PARTE 2
Seales y Sistemas en el
Dominio de la Frecuencia
Signal & Systems
-
Signal & Systems
Seales de Banda limitada
En general, se requiere un nmero infinito de trminos en la
representacin de la SFTC de una seal para tener una igualdad
exacta
de acuerdo con:
Sin embargo, hay seales para las cuales un nmero finito de
trminos
produce una igualdad exacta. En ese caso, para k > kmx < ,
X[k] es cero.
Como se mencion antes, se dice que tales seales son de banda
limitada,
el trmino proviene del concepto de una banda de frecuencias (un
intervalo
de frecuencias) en una seal. Si esa banda es limitada (finita),
la seal es
de banda limitada.
Las caractersticas de las seales de banda limitada sin embargo
son un
estudio que compete mas al procedimiento de muestreo y a la
transformada
discreta de Fourier, sin embargo, es importante tener por lo
menos presente
este tipo de seales a futuro, en estudios posteriores en
ingeniera.
tkfj
k
ekXtx 02
][)(
-
Signal & Systems
Convergencia de la Serie de Fourier en TC
En esta parte de la materia se examinar cmo la sumatoria de la
SFTC se aproximaa la seal que representa cuando el nmero de trminos
que se utiliza en la sumase aproxima al infinito.
Se efecta lo anterior examinando la suma parcial:
tkfjN
Nk
N ekXtx02][)(
N
k
ococcN tkfkXtkfkXXtx1
)2sin(][)2cos(][]0[)(
o
para valores sucesivamente ms altos de N.
-
Signal & Systems
Como ejemplo considere la representacin de la SFTC de la seal
peridicacontinua de la figura.
ooo T
tcomb
TT
tAtritx
12)(
Sea TF = To para lograr que la representacin de la SFTC sea
vlida para todo tiempo, entonces determinamos una funcin armnica de
la SFTC compleja
2sinc
2][ 2
kAkx
Y las aproximaciones a x(t) para N = 1, 3, 5 Y 59 se ilustran en
la figura de lasiguiente diapositiva.
En N = 59 (y probablemente a valores inferiores de N), es
imposible distinguir larepresentacin de la suma parcial de la SFTC
proveniente de la seal original alobservar una grfica en esta
escala.
-
Signal & Systems
Aproximaciones sucesivas mas cercanas a una onda triangular.
ooo T
tcomb
TT
tAtritx
12)(
2sinc
2][ 2
kAkx
-
Signal & Systems
Seales con discontinuidades y el fenmeno de Gibbs
Considere ahora una seal en TC peridica condiscontinuidades
ooo
o
T
tcomb
TT
TtArecttx
14/2)(
Sea TF = To para hacer que la representacin de la SFTC sea vlida
para todotiempo, se obtiene la funcin armnica de la SFTC
compleja
okfjekA
kx2/
2sinc
2][
Y las aproximaciones a x(t) para N = 1,3,5 Y 59 se ilustran en
la figura de lasiguiente diapositiva.
-
Signal & Systems
Aunque la deduccin matemtica indicaque la seal original y su
representacinde la SFTC son en todos lados, es naturalpreguntarse
si es verdad esto luego de quese observa la figura.
Existe un evidente "sobrepaso" o "rizo"cerca de las
discontinuidades que noparecen volverse ms pequeas cuando
Naumenta.
Es cierto que el sobrepaso vertical mximocerca de una
discontinuidad no disminuyecon N, incluso cuando N tiende a
infinito.
Este sobrepaso recibe el nombre defenmeno de Gibbs.
-
Signal & Systems
Sin embargo, observe que el rizo esttambin confinado cada vez ms
cerca dela discontinuidad cuando N crece.
En el limite cuando N tiende a infinito laaltura del sobrepaso
es constante, perosu ancho tiende a cero, as que lapotencia de seal
de la representacin dela SFTC converge en el mismo valor que
lapotencia de la seal original debido a queel sobrepaso de ancho
cero no contieneenerga de seal.
Adems, en cualquier valor particular de t(salvo exactamente en
unadiscontinuidad) el valor de larepresentacin de la SFTC se acerca
alvalor de la seal original cuando N tiendea infinito. En una
discontinuidad el valorfuncional de la representacin de la
SFTCsiempre es el promedio de los dos lmitesde la funcin original
aproximados desdearriba y desde abajo, para toda N.
-
Signal & Systems
La figura es una vista amplificada de la representacin de la
STFC en unadiscontinuidad para tres valores de N.
Puesto que las dos seal tienenexactamente la misma energade seal
en un intervalo detiempo finito, su efecto sobrecualquier sistema
fsico real es elmismo y pueden considerarseiguales sin ningn
error.
La SFTC que acaba deencontrarse y graficarse en lafigura pasa
exactamente a travspunto medio de cadadiscontinuidad de
x(t),independientemente de laeleccin del periodofundamental.
-
Signal & Systems
se aproxima al escaln unitario y la SFTC sigue pasando por el
punto medio de lanica discontinuidad izquierda, la que se ubica en
t = 0. Esto es as debido a que elescaln unitario se ha definido con
un valor en cero igual a un medio, u(0) = . Deesta manera, el
escaln unitario es una simple transformacin de la funcin signumen
todos los puntos.
ooo
o
T
tcomb
TT
TtArecttx
14/2)(
Si se deja que el periodo fundamental To tienda a infinito, la
seal
1)(2)sgn( tut
en el material relativo a filtros ideales, sever otra razn por
la que es convenientedefinir el escaln unitario de esta forma.
-
Signal & Systems
Polos y ceros
La transformada de Laplace en ingeniera se encuentra expresada
como larelacin de dos polinomios en s, es decir:
N
k k
M
k kM
N
N
N
M
M
M
M
ds
csb
asasas
bsbsbsX
1
1
01
1
1
0
1
1
...........
...........)(
Si ningn polo se repite y Numerador < Denominador, la funcin
detransferencia se puede expresar por fracciones parciales.Si uno
de los polos simples est en el eje j y ninguno en el
semiplanoderecho es marginalmente estable el sistema, es decir que
en el tiempo larespuesta del sistema ni decae ni decrece.
-
Signal & Systems
Retroalimentacin
Si K es una ganancia de un sistema retroalimentado, La funcin
detransferencia completa puede ser:
Si K es lo suficientemente grande, la funcin de transferencia
completa delsistema retroalimentado efecta la inversa aproximada de
la operacin de latrayectoria de retro alimentacin, es decir que al
conectar en cascada con unafuncin de transferencia H2(s) con el
sistema retroalimentado , la funcin detransferencia total sera
1
-
Signal & Systems
Retroalimentacin
Si K es una ganancia de un sistema retroalimentado, La funcin
detransferencia completa puede ser:
El voltaje de error Ve es una funcin de Vi y Vo puesto que la
impedancia deretro alimentacin por lo general es muy grande con
respecto a la impedanciaexterna
-
Se empezar analizando considerando una transmisin sin
distorsin, que es bsica para el estudio de filtros y
ecualizadores
lineales. Esto conducir naturalmente a la consideracin de un
marco ideal para el filtrado, el cual, a su vez, proporciona la
base
para el diseo de filtros prcticos.
El diseo de un filtro se puede lograr mediante el uso de
tiempo
continuo conceptos, en cuyo caso se habla de filtros
analgicos.
Alternativamente, el diseo se puede lograr mediante el uso
de
tiempo discreto conceptos, en cuyo caso se habla de filtro
digital.
Signal & Systems
ANLISIS FRECUENCIALCondiciones de Distoricin de Transmisin
-
ANLISIS FRECUENCIALCondiciones de Distoricin de Transmisin
Considerando un Sistema LIT: continuo
jYty
jXtx
jHth
F
F
F
)(
)(
)( Frequency response
Input signal
Output signal
Signal & Systems
-
Deseamos conocer condiciones para la transmisin sin distorsin
a
travs del sistema. Transmisin sin distorsin" se da cuando laseal
de salida del sistema es una rplica exacta de la seal de
entrada, excepto, posiblemente, por dos modificaciones
menores.
Una escala de amplitud
Un retardo de tiempo constante
Signal & Systems
-
Una escala de amplitud
Un retardo de tiempo constante
Se dice que una seal x (t) es transmitida a travs del
sistema sin distorsin si la seal de salida y (t) se define
por:
)()( 0ttCxty Cuando la constante C,
representa un cambio en
la amplitud y las
constantes t0 representa
un retraso en la
transmisin.
)()( otj
ejCXjY
Signal & Systems
-
La respuesta de frecuencia sin distorsin de un sistema LTI es
lasiguiente:
C)(
CX
)(
)()( 0
0tj
tj
ejX
ej
jX
jYjH
Correspondientemente, la respuesta de impulso del sistema est
dada por: )()( 0ttCth
Las dos ltimas ecuaciones describen las condiciones de dominio
defrecuencia y dominio de tiempo, respectivamente, y que un sistema
LTItiene que satisfacer para la transmisin sin distorsin.
En la prctica, la ecuacin de dominio de la frecuencia es la
msreelevante que indica que, con el fin de lograr la transmisin
sindistorsin de una seal con un cierto contenido de frecuencia
finito atravs de un sistema de tiempo continuo LTI, la respuesta de
frecuenciadel sistema debe satisfacer dos condiciones.
Signal & Systems
-
1. La respuesta de la magnitud debe ser una constante para todas
lasfrecuencias de inters
CjH 2. Para las mismas frecuencias de inters, la respuesta de la
fasedebe ser lineal en frecuencia, con pendiente t0, y que pase por
0
0tjH
Signal & Systems
-
00
)(2)(2
0
000
2)(
22)(
)(
f2 donde )(
00
ffffA
jfV
dtej
Adte
j
AfV
dtetwsenAfV
wtwsenAtv
tffjtffj
jwt
Espectro de una funcin Seno
Signal & Systems
-
Espectro de una onda
Seno truncada
00
0
0
00
0
2)(
T
t)(
T
t)(
duracin de tiempo: T ; f2
donde
T
t )(
:por definirse puede truncadasenoide La
ffTSaffTSaAT
jfV
FtwsenAFfV
dtetwsenAfV
w
twsenAtv
jwt
Signal & Systems
-
Ejemplo: Doble Exponencial
2
0
21
0
21
2
0
2
0
2
)2(1
2 )(
21
1
21
1
)(
)(
ffW
e
fj
e
fj
dteedtee
dteefW
etw
fjtfjt
ftj
t
ftj
t
ftj
t
t
Signal & Systems
-
1. Ambas son anlogas en que utilizan frecuencias positivas y
negativas para sintetizar la seal detiempo x(t) a partir de sus
componentes exponenciales complejos.
2. La SFTC analiza una seal como una sumatoria infinita de
senoides complejas a frecuenciasdiscretas, y la TFTC analiza una
seal como una sumatoria infinita de senoides complejas para
uncontinuo de frecuencias (una integral).
3. La SFTC convierte una seal x(t) en TC en una funcin de nmero
de armnica discreta X[k]. LaTFTC convierte una seal x(t) en TC en
una funcin X(f) de frecuencia continua. Tanto la SFTCcomo la TFTC
son transformaciones de la seal en el dominio del tiempo en una
forma diferenteque contiene la misma informacin.
4. En el dominio del anlisis de Fourier las seales pueden
considerarse como si tuvieran slofrecuencias positivas (espectros
unilaterales) o frecuencias positivas y negativas
(espectrosbilaterales) con igual validez.
Comparacin entre la SFTC y la TFTC
Signal & Systems
-
Propiedades de la Transformada de la TFTC
Tabla 1.TF
Signal & Systems
-
Propiedades de la Transformada de la TFTC, continuacin
Tabla 2.TF
Signal & Systems
-
Propiedades de la Transformada de la TFTC, continuacin
Tabla 3.TF
Teorema de Parseval: El teorema establece que la energa en el
dominio del tiempo de una seal esigual a la energa o potencia en el
dominio de la frecuencia.
Signal & Systems
-
Si x(t) es de valor real, entonces la parte real de la
transformada esuna funcin par de la frecuencia, mientras que la
parte imaginaria esuna funcin impar de la frecuencia. Esto implica
que el espectro demagnitud es una funcin par mientras que el
espectro de fase es unafuncin impar.
Si x(t) es puramente imaginaria, entonces la parte real de
latransformada es una funcin impar, mientras que la parteimaginaria
es una funcin par de la frecuencia. Esto implica que elespectro de
magnitud es una funcin impar mientras que elespectro de fase es una
funcin par.
Los conceptos de simetra son idnticos a la serie de Fourier,
solo queen este caso se estudian seales aperidicas.
Signal & Systems
-
Propiedad de modulacin:
ooF
o
oo
F
o
jXjXttx
ffXffXtftx
2
1cos)(
2
12cos)(
ooF
o
oo
F
o
oo
F
o
oo
F
o
jt
ffffj
tf
t
fffftf
sin
22sin
cos
2
12cos
Transformadas especiales de la TFTC:
Mayor Informacin de transformadas: Apndice ESeales y Sistemas:
M.J Roberts
Signal & Systems
-
Transformada de seales peridicas:
Si una seal de tiempo x(t) es peridica, puede representarse
exactamente mediante una SFTCcompleja, por tanto para seales
peridicas:
k
o
F
k
tkj
k
o
F
k
tkfj
kkxfxekxtx
kffkxfxekxtx
F
F
][2)(][)(
][)(][)(2
La TFTC de una seal peridica consiste solo de impulso, esta
propiedad puede considerarse solo como un caso especial de la
TFTC.
Signal & Systems
-
Tabla de transformadas de Fourier Bsicas.
Signal & Systems
-
Uso de tablas y propiedades
Ejemplo : Determinar la TFTC de la convolucin de:
)4(2)sin(10 tt
4
4
4
1120)4(2)sin(10
21110)4(2)sin(10
2)4(2)4(2
1110)sin(10)sin(10
)4(2)sin(10)4(2)sin(10
j
j
j
F
ejtFtF
ejtFtF
etFtF
jtFtF
tFtFtt
Multiplicando las dos transformadas, finalmente se tiene:
Un procedimiento idntico se utiliza para encontrar transformadas
inversas de Fourier.
Signal & Systems
-
Relacin entre la TFTC y SFTC
Unas seal x(t) en TC peridica con periodo fundamental T0=1/f0
puede representarse para todotiempo mediante una SFTC.
Signal & Systems
-
Teorema de Parseval
df(fE
fW(f)
twE
EdffWdttwtwtwtw
dffWfWdttwtw
2
2
22
21
2121
)
:anormalizad totalEnerga
hertz)por joules (unidad )(
:ESD):density spectral(Energy Energia de Espectral Densidad
).( de energa la es
.)()( ),()()( S
)(*)()(*)(
E
E
Signal & Systems
-
FILTROS IDEALES
La respuesta en frecuencia de un filtro, se caracteriza por su
banda depaso y su banda de rechazo, que deben estar separadas por
unatransicin conocida como banda de seguridad. Solamente as seales
confrecuencias dentro de la banda de paso se transmiten
Los filtros pueden ser:
a)Los-pass (Transmits low frequencies)b)High pass (Transmits
high frequencies)c)Band-pass (Transmits intermediate
frequencies)d)Band-stop (Transmits all but intermediate
frequencies)
Signal & Systems
-
FILTROS IDEALES
Signal & Systems
)()( 0ttCxty
)()( otj
ejCXjY
-
La respuesta en frecuencia de un filtro ideal paso bajo con
frecuencia decorte c se define como:
c
c
tje
jH
,0
,0
Signal & Systems
-
Para Evaluar h (t) se calcula la transformada inversa de la
ecuacin anterior
0
0
)(
)(
sin)(
)(2
1)(
2
1)(
tt
ttth
ttj
eth
deth
c
o
ttj
ttj
c
c
o
c
c
o
Se peude reescribir como:
0sinc)( ttth
cc
Para un filtro con retardo t0, el filtro paso bajo ideal es un
sistema no causal.
Signal & Systems
-
Respuesta al impulso para diferentes tipos de filtros
Signal & Systems
-
Filtro Pasa Banda Causal Rechaza Banda Causal
Filtro Pasa Alto Causal
Signal & Systems
-
DISEO DE FILTROS
Anteriormente se mostro la respuesta en frecuencia de un filtro
paso bajo ideal,
donde pasan todas las componentes de frecuencia que yacen dentro
de la
banda de paso sin distorsin y rechaza todos los componentes de
frecuencia
que yacen dentro de la banda de parada, y la transicin de la
banda de paso a
la banda de parada es abrupta.
Para un punto de vista prctico, es necesario tolerar un nivel
aceptable de
distorsin, permitiendo "desviaciones" de estas condiciones
ideales, tal como se
describe aqu para el caso de los filtros de tiempo continuo o
analgicas:
Signal & Systems
-
DISEO DE FILTROS
1. Dentro de la banda de paso, la respuesta de magnitud del
filtro debe estar
entre 1 y 1-que es:
Dnde p es la banda de paso frecuencia de corte y es parmetro
detolerancia.
2. Dentro de la banda de parada, la respuesta de magnitud del
filtro no debe
exceder de , es decir
Dnde s es la banda de parada de frecuencia de corte y es otro
parmetrode tolerancia.
3. El ancho de banda de transmisin tiene un ancho finito s -
p
pforjH 0 ,11
sforjH ,
Signal & Systems
-
Diagrama de Tolerancia para un filtro paso bajo prctico. La
banda de paso, labanda de transicin y la banda de rechazo para
frecuencias positivas.
De acuerdo con lo analizadose plantean dos pasosprincipales para
el diseo deun filtro
1. La aproximacin de unarespuesta de frecuenciaprescrita por una
funcin detransferencia racional querepresenta un sistema que esa la
vez causal y estable.
2. La realizacin de la funcinde transferencia aproximarpor un
sistema fsico.
Signal & Systems
-
Hay tres enfoques diferentes para el diseo de un filtro
analgico, que se resumen aqu:
Mtodo analgico, que se aplica a la clase de filtros
analgicos.
Mtodo Analgico a digital, donde la motivacin es el
diseo de un filtro sobre la base de lo que sabemos
sobre un diseo de filtros analgicos.
Enfoque directo digital, que se aplica a la clase de
filtrosdigitales.
Signal & Systems
-
Filtros pasivos prcticos.
Filtro pasa bajo RCAproximacin del filtro ideal mediante
circuitos electrnicos.
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
' tVtRCVtV
tVtRitV
tVtRitV
tVtVtV
salsalent
salent
cent
crent
Tomando la transformada de Fourier
1
1
)(
)()()()1()(
)()()(
RCjfV
fVjHfVRCjfV
fVfRCVjfV
ent
salsalent
salsalent
Signal & Systems
-
Aplicando la transformada de Fourier a la relacin de voltajes y
corrientes.
CjZ
CjjI
jVjCVjjI
LjZjI
jVLjjLIjjV
RZjI
jVRjRIjV
C
L
R
11
)(
)()()(
)(
)()()(
)(
)()()(
Se expresa el circuito en funcin exclusivamente de
impedancias.
CR
C
entCR
entC
ent
sal
ZZ
Z
fVZZ
fVZ
fV
fVjH
)()(
)(
)(
)()(
1
1
1
1
)(
RCj
CjR
CjjH
Signal & Systems
-
11)(
RCjjH
Grafica de magnitud y fase de un filtro pasa bajo implementado
con circuitos electrnicos.
Tomando la transformada inversa de Fourier )()( tu
RC
eth
RC
t
Respuesta al impulso del filtro
Signal & Systems
-
)()( tuRC
eth
RC
t
Respuesta al impulso del filtro
Operacin fsica del filtro pasa bajo:
A frecuencias muy bajas:
)()(1)(
)()(lim
11
1lim)(lim
0
00
fVfVfV
fVjH
RCjjH
entsal
ent
sal
A frecuencias muy altas:
0)(0)(
)()(lim
01
1lim)(lim
fVfV
fVjH
RCjjH
sal
ent
sal
Signal & Systems
-
Anlisis del filtro pasa bajo cuya seal de entrada es voltaje y
cuya seal de salida es la corriente del circuito.
)(
)(
)(
)()()(
)(
)()(
RC
ent
CRC
entC
C
salsal
ent
sal
ZZ
fV
ZZZ
fVZ
Z
tVtI
fV
fIjH
)(
1
)()(
)(
)(
)()(
RCentRC
ent
ent
sal
ZZfVZZ
fV
fV
fIjH
11
1
)(
)()(
CRj
Cj
CjR
fV
fIjH
ent
sal
Operacin fsica del filtro pasa bajo:
A frecuencias muy bajas:
0)(0)(
)()(lim
01
lim)(lim
0
00
fIfV
fIjH
CRj
CjjH
sal
ent
sal
Signal & Systems
-
Operacin fsica del filtro pasa bajo:
A frecuencias muy altas:
R
fVfI
RfV
fIjH
RjCR
jC
CRj
CjjH
entsal
ent
sal )()(1
)(
)()(lim
1lim
1lim)(lim
0
Comparando el comportamiento del filtro en el contexto voltaje
voltaje, con respecto al corriente voltaje, se observa que el
comportamiento del filtro ahora es de un pasa alto.A altas
frecuencias el flujo de corriente se controla por medio de la
Resistencia.
Forma alternativa de un filtro pasa bajo.
Signal & Systems
-
Grafica de magnitud logartmica de la respuesta en frecuencia y
diagramas de Bode
En muchas ocasiones las graficas lineales de la respuesta en
frecuencia, aunqueson exactas, no revelan aspectos importantes en
el comportamiento de lossistemas, los cuales no son percibidos, por
tanto al usar escalas logartmicas esposible observar aspectos
relevantes en un sistema. Para tal efecto se utilizan losdiagramas
o graficas de bode.
))/(1())/(1))(/(1(
))/(1())/(1))(/(1()(
21
21
D
N
pjpjpj
zjzjzjAjH
Diagrama de bloques de la funcin de transferencia
factorizada.
Signal & Systems
-
Otras de las ventajas que se tienen al utilizar logaritmos es
que el producto ydivisin de factores tan solo se reduce a sumas y
restas, de tal forma que lafuncin de transferencia queda convertida
a:
))/(1())/(1))(/(1(
))/(1())/(1))(/(1()(
21
21
D
N
pjpjpj
zjzjzjAjH
))/(1(log20 ))/(1(log20
))/(1(log20))/(1(log20log20)(
10110
1011010
D
NdB
pjpj
zjzjAjH
))/(1( ))/(1(
))/(1())/(1()(
1
1
D
NdB
pjpj
zjzjAjH
Magnitud
Fase
Signal & Systems
-
Para el anlisis del diagrama de bloques consideraremos la
siguientefuncin de transferencia.
)/(1
1)(
KpjjH
2)(
/20)(
0)(
0)(
jHp
decadadbjHp
jHp
jHp
k
k
k
k
Parte I:
Parte II:
Sistemas de un polo real
Signal & Systems
-
KZ
jjH
1)(
2)(
/20)(
0)(
0)(
jHz
decadadbjHz
jHz
jHz
k
k
k
k
Parte I:
Parte II:
Sistemas de un cero real
Signal & Systems
-
jjH )( IntegradorDiferenciador
j
jH1
)(
Signal & Systems
-
AjH )( Ganancia independiente de la frecuencia.
Signal & Systems
-
)/)(()2(1
1)(
0
2
0
jjjH
Pares de polos complejos
21
21
0
1
21
2
1
2
0
2
)Re(
pp
ppp
ppp
Signal & Systems
-
*11
2
*
11
21
)(111)(
11)(
zz
j
zzjjH
z
j
z
jjH
Pares de ceros complejos
Signal & Systems
-
Ejemplo: Grafique el diagrama deBode para la funcin
detransferencia de voltaje delcircuito, donde C1=1 F, C2=2 F, Rs=4,
R1=2 , R2=3
))8104.0/(1))(2316.0/(1(
))5.0/(1(333.0)(
jj
jjH
Signal & Systems
-
Filtros prcticos activos
Pasivos significa que contienen dispositivos con la capacidad de
tener unarespuesta con ms potencia real que la excitacin.
Muchos filtros modernos son activos. Esto es, contienen
dispositivos activoscomo transistores y amplificadores
operacionales y requieren una fuenteexterna de potencia para operar
en forma apropiada.Con el uso de dispositivos activos la potencia
de la respuesta real puede sermayor que la potencia de la excitacin
real.
fj
fV
RCfV
fRCjfV
fVjH
fCRjR
fCj
fZ
fZjH
i
i
i
f
2
)(1)(
2
1
)(
)()(
2
12/1
)(
)()(
00
Integracin del voltaje de salida
Integrador activo
Signal & Systems
-
El integrador se transforma fcilmente en un filtro pasa bajo
mediante la adicin de un solo resistor.
12
1
)(
)()( 0
fRCjR
R
fV
fVjH
i
f
i
Signal & Systems
-
Anlisis espectral
En esta seccin se estudia el analizador de espectros.
Como una explicacin de la forma en que trabaja el analizador
deespectros y como otro ejemplo del anlisis de sistemas
directamenteen el dominio de la frecuencia, se va a analizar la
operacin bsica deun analizador de espectros.
Signal & Systems
-
Anlisis espectral
La operacin de multiplicar la excitacin, x(t), por una senoide
se describe enel dominio del tiempo mediante:
1( ) [ ( ) ( )]
2sh c cX f X f f X f f
Transformada de Fourier
Signal & Systems
( ) ( )[cos(2 ) )]sh c cX t x t f t f
-
Anlisis espectral
Un diagrama de bloques simplificado del corazn de un analizador
deespectros por barrido de frecuencia comn.
1( ) [ ( ) ( )]
2sh c cX f X f f X f f
Transformada de Fourier
Signal & Systems
( ) ( )[cos(2 ) )]sh c cX t x t f t f
-
Anlisis espectral
Un analizador de espectros por barrido de frecuencias multiplica
una sealentrante por una senoide, nuevamente de modulacin.
1( ) [ ( ) ( )]
2sh c cX f X f f X f f
Transformada de Fourier
Signal & Systems
( ) ( )[cos(2 ) )]sh c cX t x t f t f
-
Anlisis espectral
El producto se procesa despus mediante un bloque llamado FPB que
son lassiglas correspondientes a filtro pasa bajas.
1( ) [ ( ) ( )]
2sh c cX f X f f X f f
Transformada de Fourier
Signal & Systems
( ) ( )[cos(2 ) )]sh c cX t x t f t f
-
La frecuencia de la senoide fc e se indica sobre la grfica del
espectro demagnitud de la excitacin.
Tambin se indican dos lmites, superior e inferior fc , a fc
donde fm es lafrecuencia ms alta que el filtro pasa bajas deja
pasar.
Signal & Systems
-
Observe que el espectro de magnitud es una funcin par de la
frecuencia y queel espectro de fase es una funcin impar de la
frecuencia, como se estudioanteriormente.
Los dos espectros individuales desplazados X(f - fc) y X(f +fc)
apareceran comose ilustra en la segunda figura.
Signal & Systems
- El filtro pasa bajas elimina toda la potencia de seal salvo la
correspondiente ala regin fm
- El filtro pasa bajas elimina toda la potencia de seal salvo la
correspondiente ala regin fm
-
Imagine ahora que fc se cambia a un nuevo valor.
La cantidad de desplazamiento en el dominio de la frecuencia
cambiara, y lapotencia de la seal de respuesta del sistema sera
proporcional a la potencia dela seal original en una regin
espectral diferente centrada en la nuevafc conun ancho de 2fm.
En un analizador de espectro real hay un generador senoidal de
frecuenciavariable, llamado generador de barrido, el cual barre
todo el intervalo defrecuencias.
Signal & Systems
-
La potencia de la seal de respuesta del analizador de espectros
indica lapotencia de la seal de excitacin en un pequeo intervalo de
frecuenciasalrededor de la frecuencia de barrido.
La potencia de la seal de respuesta se grafica sobre una
pantalla como unafuncin de la frecuencia de barrido y la exhibicin
que resulta recibe el nombrede espectro de potencia de la seal.
Signal & Systems
-
Un uso importante del analizador de espectro es el anlisis
espectral delcontenido de las seales.
Como un ejemplo considere las dos seales x1(t) y x2(t) que se
ilustran en lafigura. stas se ven muy similares. Son idnticas? A
partir de la inspeccin visualdirecta son claras algunas pequeas
diferencias. Sin embargo, exactamente cules la diferencia?
Signal & Systems
-
En la figura se presentan grficas de los espectros de potencia
de ambasseales |X1(f)| y |X2(f)| sobre la misma escala.Ahora un
valor del anlisis espectral se vuelve claro.Las grficas de los
espectros de potencia de las seales hacen evidente elhecho de que
son definitivamente diferentes y en qu medida lo son.
Signal & Systems
-
La segunda seal tiene un intenso componente senoidal que se
presentacomo dos picos altos y1 estrechos en el espectro de
amplitud.Las dos seales x1(t) y x2(t) son aleatorias.Por lo tanto,
sera imposible escribir una expresin matemtica
paratransformarla.Sin embargo, un analizador de espectro puede
seguir exhibiendo losespectros de potencia.
Signal & Systems
-
Bibliografa
[1] Roberts M.J. Seales y Sistemas, McGraw-Hill Interamericana,
Segunda Edicin, 2008,
[2] TRATAMIENTO DE SEALES EN TIEMPO DISCRETO - OPPENHEIM -
PRENTICE HALL - 2011
[3] PROCESAMIENTO DE SEALES ANALOGICAS Y DIGITALES- ASHOK
AMBARDAR
[4] Haykin S, Van Veen B. Signal and Systems, Jhon Wiley and
Sons, Inc. Second Edition, 2003.
Signal & Systems
