1CAPTULO 5 Problemas resolvidos

Problema 1 A acelerao lateral mxima que um carro pode ter sem derrapar,trafegando em pista horizontal, denominada aderncia lateral, e usualmente expressaem termos da acelerao da gravidade. Assim, se um carro tem aderncia lateral igual aXL, ele pode atingir aceleraes laterais de XLg. (a) Calcule a velocidade mxima com aqual um carro, cuja aderncia lateral 0,90, pode fazer uma curva de raio R = 200 m, emuma pista horizontal. (b) Qual o valor mximo da componente lateral da fora de atritoque a pista pode exercer sobre os pneus do carro?

Soluo :

(a) A acelerao centrpeta do carro

gXa Lc == RgX L

2v==\\ .

Portanto,

km/h 151m/s42m200ms8,990,0 2 ======== --gRX Lv .

(b) A fora de atrito dos pneus do carro tem duas componentes: 1 componente paralela velocidade do carro, que em movimento horizontal supera o atrito do ar quando o carroaumenta sua velocidade ou a neutraliza quando o carro anda com velocidade constante, epermite ao carro subir ladeiras; 2 componente lateral, ortogonal velocidade do carro, eque o obriga a realizar curvas. Nas curvas, a acelerao lateral do carro a aceleraocentrpeta mencionada anteriormente. Pela Segunda lei, podemos escrever

cmaF ==lateral ,

onde m a massa do carro. Finalmente,

LmgXF ==lateral .

ac

2Problema 2 Um carro de trao dianteira tem massa m, e metade de seu peso se apianas rodas dianteiras. Sendo m o coeficiente de atrito esttico entre os pneus e a pista, esupondo que o motor do carro seja suficientemente possante, qual a acelerao mximaque o carro pode atingir em pista plana?

Soluo A fora de atrito mxima que a pista pode exercer para impulsionar o carro

2mg

Fa m== .

Com essa fora, o carro tem a acelerao

2,

2g

amg

Fma a mm ==\\==== .

Problema 3 Quando um avio viaja com velocidade vetorial constante na horizontal,suas turbinas ou hlices sentem uma fora horizontal para a frente. A resistncia do ar nocorpo e asas do avio exerce uma fora com uma componente horizontal para traz e outracomponente vertical para cima, que sustenta o avio. (a) Por que o avio no conseguefazer uma curva na horizontal sem inclinar as asas? (b) De que ngulo devem as asas serinclinadas para que o avio realize uma curva na horizontal de raio R?

Soluo

(a) Porque nesse caso no haveria nenhuma fora lateral ao avio.

(b) A figura mostra as foras que tm componentes verticais que atuam sobre o avio. Asforas sobre as turbinas, que impulsionam o avio para a frente, e a fora de atrito do ar,oposta velocidade do avio, so omitidas na figura. A fora E denominada empuxo doar sobre o avio. Sua componente vertical sustenta o avio no ar, equilibrando o seu pesomg. Podemos escrever

qq

coscos

mgEmgE ==\\== . (1)

mg

E

q

ac

3A componente horizontal de E gera a acelerao centrpeta do avio, que o fora arealizar uma curva.Podemos escrever

qq

Rsenm

ER

mEsen

22 vv ==\\== (2)

Combinando (1) e (2), gR

senmgRsenm 22

coscosvv ==\\==

qq

qq.

Finalmente,

==

gRarctg

2vq .

Problema 4 O operrio est seu prprio esforo braal para elevar-se juntamente comsua plataforma de trabalho, como mostra a figura. Os cabos e a roldana tm pesosdesprezveis, e a roldana roda livre de atrito. (a ) Calcule a intensidade das foras atuandosobre o operrio, a roldana e a plataforma, indicadas na figura, quando o operrio,juntamente com a plataforma, tm acelerao cuja componente vertical vale a.

Soluo Aplicando a Segunda lei ao operrio e depois plataforma obtemos,respectivamente,

)(1 agMNT ++==++ , (1)

mN

N

M

Mg mg

1T

1T1T

1T

T

4)(1 agmNT ++==-- . (2)

Somando as eqs. (1) e (2),

)(2

),)((2 11 agmM

TagmMT ++++==\\++++++ .

Subtraindo a eq. (2) da eq. (1),

)(2

),)((2 agmM

NagmMN ++--==\\++--== .

Como a roldana permanece em equilbrio, temos

))((2 1 agmMTT ++++====

Deve-se notar que essa soluo somente vale se Mm .

Problema 5 O sistema mostrado na figura est em equilbrio. Calcule as tenses T1 e T2nos cabos.

Soluo Pela condio de equilbrio, obtemos

.sensen

,0coscos

2211

2211

mgTT

TT

==++==--

qqqq

Na forma matricial, esse sistema pode ser escrito

==

--mgT

T 0

sensen

coscos

2

1

21

21

qqqq

.

Para a soluo do sistema de equaes, calculamos

T1 T2q1 q2

m

5)(coscossensen

coscos212121

21

21 qqqqqqqqqq

D ++==++==--

== sensensen ,

22

21 cossen

cos0q

qq

D mgmg

==--

== ,

11

12 cos

0cosq

qq

D mgmgsen

==== .

Com esses resultados, podemos escrever

)(sencos

21

211 qq

qDD

++====

mgT ,

)(sencos

21

122 qq

qD

D++

====mg

T .

Problema 6 A roldana da figura gira livremente, sem atrito, e tem massa desprezvel. Ocabo resiste somente uma tenso de 300 N. Que faixa de valores deve ter a massa m dobloco menor para que o cabo no se rompa?

Soluo Seja T a tenso no fio e M a massa do bloco maior. Aplicando a Segunda leiaos dois blocos, teremos,

.

,

mamgT

MaTMg

==--==--

(1)

m

50 kg

6Somando as duas equaes, obtemos

gmMmM

aamMgmM++--==\\++==-- ,)()( .

Levando esta equao segunda equao do sistema (1), obtemos

gmM

Mmg

mMmM

mmgT++

==++--++== 2 . (2)

Com um pouco de manipulao algbrica, obtemos

TMgTM

m--

==2

.

O valor mximo de m corresponde a T = 300 N.

Portanto,

kg22kg680

15000N300N8,9100

kg50N300mx ====--

==m

O grfico acima mostra o comportamento da tenso T com o valor da massa m, onde sev que T atinge o valor de ruptura (300 N) quando m = 22 kg.

Problema 7 Dois corpos se atraem com uma fora F que independe de sua distncia(esse tipo de atrao no corresponde a nenhuma das quatro foras conhecidas naNatureza), e no instante t = 0 eles esto em repouso na configurao mostrada na figura.Desprezando os dimetros dos corpos, calcule (a) o instante e (b) o quanto cada corpo sedesloca at a o momento da coliso.

0 10 20 30 40 500

100

200

300

400

500

m (kg)

T (N)

m M

x0 L

7Soluo Sejam x(t) e X(t) as coordenadas dos corpos de massa m e M, respectivamente.Pela Segunda lei, podemos escrever

.

,

FXM

Fxm

--==

==&&

&&

Temos ento as expresses para x(t) e X(t):

.2

)(

,2

)(

2

2

tMF

LtX

tmF

tx

--==

==

O instante tc da coliso pode ser calculado pela condio )()( cc tXtx == :

.22

22cc tM

FLt

mF --==

(a) Calculamos facilmente

mMMm

FL

tc ++==

2.

(b) O ponto da coliso ser 22

)( cc tmF

tx == e, portanto,

LmM

MmM

MmFL

mF

txd c ++==

++==== 2

2)( (deslocamento do corpo de massa m).

O deslocamento do corpo de massa M ser

LmM

mL

mMM

LtxLD c ++==

++--==--== )( .

Observe que

mM

Dd == .

8Problema 8 Um fio de comprimento l e massa desprezvel, com uma pequena esfera demassa m preso sua extremidade, pendurado ao teto de um nibus. O nibus realizauma curva de raio r com velocidade de mdulo constante v no plano horizontal. Calcule(a) o ngulo que o fio faz com a vertical e (b) a tenso no fio.

Soluo A figura mostra o sistema com as foras atuantes sobre a esfera. Ela estsubmetida mesma acelerao centrpeta do nibus. Podemos escrever

.cos

,sen2

mgTr

mT

==

==

q

v

Portanto,

(a)

==\\==

rgactg

rm

mg22

,tgvv qq ,

(b)qcos

mgT == .

Por outro lado,

,cos

cos1 22

rgv==--

qq

que aps alguma manipulao algbrica d

22

4

1cos

1

gr

v++==q

.

m

l

mg

ac

q

T

9Finalmente,

22

4

1gr

mgTv++== .

Problema 9 Uma barra homognea de massa M e comprimento L est presa a umamesa horizontal por um pino passando por uma das suas extremidades. No h atritoentre a mesa e a barra, que gira com velocidade angular w em torno do pino. Calcule atenso na barra distncia x do centro de rotao.

Soluo A fora de tenso T atuando na parte externa ao ponto de coordenada x nabarra responsvel pela acelerao centrpeta daquela referida parte. Tal parte da barratem massa igual a )/)( LMxL -- . Podemos ento escrever

w=L

x

dmxxT 2)( .

O elemento de massa dm se exprime na forma

xdLM

dm = .

Portanto,

)1(2

)(21

)(2

222222

L

xL

MxL

LM

xdxLM

xTL

x

-w=-w=w= .

Nota: Esse problema relevante no comportamento de uma hlice de avio. O clculo datenso ao longo das ps da hlice no pode ser realizado exatamente da forma aquiapresentada porque a p no tem seo uniforme, mas levando-se em conta a variaodessa seo ao longo da p, o clculo pode ser realizado facilmente.

Problema 10* Reconsiderando o Problema 9, suponha que a barra seja elstica, ouseja, submetida a uma tenso elongativa ela aumenta seu comprimento e submetida a umatenso compressiva ela tem seu comprimento reduzido. Sejam Lo o comprimento da barrana ausncia de tenso e L seu comprimento quando submetida a uma tenso T. Se oLL -- pequeno e a tenso na barra homognea, podemos escrever:

0 L

w

x

T

10

TAYL

LL oo ==-- ,

onde Y uma grandeza caracterstica do material, denominada mdulo de Young, e A area de seo transversal da barra. Calcule o comprimento L da barra considerada noProblema 9, sendo Lo seu comprimento na ausncia de rotao. Como mostra a figura ,quando sujeita tenso elongativa devida

rotao, cada segmento da barra se alonga, de forma que o ponto de coordenada xo vaipara a posio x e o pequeno segmento dxo se transforma em dx. Podemos escrever

oo dxAYxT

dxdx)(++== ,

e usando a soluo do problema 9 obtemos

oo dxL

xL

MAY

dxdx ))

1(2

12

22 -w+=

Para no termos de usar matemtica acima do nvel praticado neste curso, faremos aaproximao

oo

ooo dx

L

xL

MAY

dxdx )1(2

12

22 -w+= ,

ou seja, no levaremos em conta as alteraes na tenso da barra devidas sua elongao.Na prtica esta uma tima aproximao. Podemos agora calcular L usando a integrao

-w+=oo L

oo

oo

L

o dxLx

LM

AYdxL

0

22

0

)(2

1.

Efetuando a integrao,

3

222

2o

oL

AYM

LAY

MLoL

w-w+= .

0

0

L

L

x

x

oo

odx

dx

11

Finalmente, obtemos

)3

21(

2

oLAYM

LoLw+= .

Problemas propostos

5.1P A coluna mostrada na figura repousa apoiada em um piso. Sabendo-se que apresso sobre uma superfcie a fora normal a ela dividida pela rea da mesma, calculea presso na coluna altura h do piso.

Resposta : )( hHA

Mgp --==

5.2P Um garoto anda em uma roda gigante de raio R que gira a uma velocidadeangular w . A fora que a cadeira faz para sustentar o garoto varivel durante o ciclo, eseu valor mximo Fmx. (a) qual a massa do garoto? (b) Qual o valor mnimo dafora da cadeira sobre o garoto?

Resposta : (a) Rg

Fm

2mx

w++== ; (b)

Rg

RgFF

2

2

mxmn ww

++--== .

5.3P Uma pedra de massa m, amarrada a uma linha de comprimento L com umaextremidade fixa, gira em um crculo no plano vertical. Qual a velocidade mnima dapedra ao passar pelo ponto mais alto para que esse movimento seja possvel?

Resposta : gL==mnv

5.4 A Terra faz uma rbita aproximadamente circular em torno do Sol, cujo raio dem105,1 11 . Qual a intensidade da fora que a Terra exerce sobre o Sol?

A

MH

12

Resposta : N106,3 22==F

5.5P - Ignore a atmosfera da Terra. Com que velocidade um corpo teria de ser atiradohorizontalmente do alto do monte Everest para que realizasse uma volta ao mundo echegasse ao ponto inicial

Resposta : v = 7,92 km/s

5.6P A Terra realiza um giro em torno de seu eixo em um dia sideral, cuja durao 86.164 s. (a) Qual a reduo percentual do peso aparente de um objeto situado na linhado Equador devido rotao da Terra? (b) Qual deveria ser a durao T do dia para que opeso aparente do objeto fosse nulo? (c) O que ocorreria se o dia fosse menor do que T?

Resposta : (a) %345,0=DPP

; (b) T = 1h25min. (c) A Terra se desintegraria, ou melhor,

no teria se formado como .

5.7P Um bloco de massa igual a 1000 kg cai de uma altura de 100 m. De quando move-se a Terra nesse processo?

Resposta : m1067,1 20--==d .

5.8P Um garom empurra um copo sobre o balco para seu cliente com velocidadeinicial de 5,0 m/s. Dois metros adiante o cliente pega o copo, que nesse momento jperdera 40% de sua velocidade. (a) qual foi a acelerao do copo ao deslizar sobre obalco, suposta constante? (b) Qual o coeficiente de atrito cintico entre o balco e ocopo?

Resposta: (a) 2m/s0,4--==a ; (b) 41,0==cm

5.9P Um bloco desliza em uma rampa de inclinao 60o no mesmo tempo quedeslizaria em uma rampa sem atrito de mesmo comprimento e inclinao de 30o. Qual coeficiente de atrito cintico entre o bloco e a rampa?

Resposta: 73,0==cm .

5.10P Uma caixa de massa m arrastada sobre um piso horizontal atravs de uma cordafazendo um ngulo de 45o com a horizontal. Os coeficientes de atrito esttico e cinticoentre a caixa e o piso so respectivamente 0,70 e 0,50. (a) Estando a caixa inicialmenteem repouso, qual a fora mnima necessria para iniciar o movimento? (b) Quando afora atinge esse valor mnimo, com que acelerao inicia-se o movimento da caixa?

Resposta : (a) mgF 58,0mn == ; (b) ga 11,0== .

13

5.11P - O atrito entre os dois blocos mostrados na figura nulo e o bloco pequeno nodesliza pela rampa. (a) qual o valor da acelerao a? (b) Sendo m a massa do blocopequeno, qual o mdulo da fora de contato entre os dois blocos?

Resposta : (a) ga == . (b) mgF 2==

a