Cap_7_la Conservacion de La Energia-ejercicios Resueltos-resnick Halliday

- 179-

LA C ON9ERVA C ION

PR OBL E MAS CAP I T"LO l . 1. Demuestre que para l a misma velocidad i nic i", l 't. 10:1

velocidad v de u n proyecti l será 1" r- i sm" en todos l os

puntos a la mjs ma elevación , cual qui era que sea el ~ n

gulo de proyecci6n.

Soluci6n:

Por el principio de la conser vaci6 n de la e r1t:rgia me

cánica en ~os dimensiones tenemos:

y

1 2 1 , mgho = ~v ,- mv • , mv • 0, 0y v P

y -'1- -_ 1 2 1 2 ' . .

• • mSh • , mv , mv , , y , [n este caso h

° • O. l ue go : , ,

1 , 2 1 mC v 2 v 2) C" ~ m(v • v • , • • mgh 0, o , y y

pero: 2 • 2 • v 2 ,

• 2 2 v v y v v • v o, 0y o , y

Reemplazando estos valores en la ecuación (2) o~ten~

mos :

1 2 1 mv2 1 mvo = 2 + rngh

De donde o btenemos;

2 , v = 'lo - 2g h

{expresi6n que es independiente del ángulo de incl i

nac ión d e l proyeCtil}.

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- 180-

• 2 . La D.JCrda de la figur a 1, e s de l¡ pi e s de largo . cuan ~

do se s ue l t a la bol a s i g ue la trayec t ori a de l a r co

punteado . ¿Qué ve l oc i dad tendrá a l pasar por el pu n

t o má s baj o de s u oscilac ión ?

So l uci6 n:

Po r el pr i ncipi o de la co n s ervac i ón de la energ i a me

cánica [ t e ndre mos :

v - O

- f . - q>--.L..T -

h I

_L . , ,

, , '2 mV

2 ~ mgh

2 . .. (})

Tomando lo, ejes coordenados x-y como

la figura. obt e nemos:

h, " L, VI ~ O Y h, ~ O

Reemplazando valore s en <l) tendremos:

v = / 2 x 32 x l¡; 16 pies/seg. , Re s puest a : ! v 2 = 1 6 pie s/ se g .[

.. mues tra en

3 . El clavo de la r ig . 8-10 es tá localizado a una d i s -

ta nc i a d a bajo del pun t o de apoyo . Demostrar q ue d

debe se r po r lo menos de e . 51 pa r a que l a bola pue -

da. dar una vuel ta comple ta en un c irculo co n ce n t r o

e n el clavo .

soluc i6n:

Apl jcand o e l Teor ema de la conse r va c i6n de la pne r -



-181-

g!~ entre los ~u n tos

(1) Y (2) indicados

en l~ figura adjun

ta.

donde: E = energía m~

c .inica t otal.

(1) .... -

• ref.

Reemplazando por su equivalencia:

1 2 'r mV1

Por condici6n del problema:

l J •

(2) d

, · '1· . . . . :,~ /

, .' , -

'al

o O (bola par te de l reposo)

h1 = 2d.l¡ del gráfico.

112

= O

v 2 " O

V 2 debe tener dicho valor; por lo menos; para que de

una vuelta pero en nuestro caso no~ dicen que debe

dar una vue lta, entonces el valor Dinimo de v 2 ~ erá

un poco mayor al valor que calcularell".os.

[ntonces reemplazando los valores en (a):

O • mg{2d-l) o O • O

mg ( 2d-l) o O

2d-l o O

d 1

o ., con este valor de "d" la bola se quedará quieto en

(2) (figuro>, entonces para que ~e una vuelta.

d )o 1/2

(! )o 0.51



-181-

Id ' 0 . 61 1 m1n imo . •

S. a) Una barra r ígida liger a de longitud L t i ene una

masa m fija e n su extremo , formando un pénd ulo si~ -

pie, el cua l se invie l'te y despu~s se suelta. ¿Cuál

e s su velocidad v en el punto m!s bajo y c uál es la

tensi6n T en el soporte en ese instante? b) El mi s mo péndulo se pon e de spués en posici6n hor izontal y se

sue lta libremente. ¿Para Qué 'ngulo con la vertical ,

la te nsi6n en el soporte será de igual magnit ud que

el peso?

~: m: masa fija en el extremo del péndulo.

L : longitud de la barra .

Solución:

a) Por el principio de la conservación de la ener·g'í.a

mecánica tenemos:

m

T

h .2l 1 , ,

\ Fig. 1

-- - ¡. __ .. - r L 9,

hZ

L ------ X

-, .,

H g. 2 ¡ ¡

mgh 1 1 ,

rr.gh 2 (l) )' 11\\' 1 • ,

~ mV 2 • , . ' -Pepo en es t e ca so:

v ¡ , O, h ¡ , n; h, , O

,ll' ~" ¡ " ecua c i ón (11 s ~ ! 'educc "

> X



-18 3-

La t ensi6n en 1" c u er d a en e l p u nto i nferior s'!t'á:

T - mg = mac ." ( 2 )

T = mg + mac

= mg f ~mg = 5mg.

el Aplicando el principio dE' la con servaci6n d e l a tJ

nergia tenemo~:

I , = 2 mV2 + mg h2 ... (1)

En este c a~o :

v 1 = 0 , h l : O i h2 : - Lcos9

~ mv~ = mg Lcos6

hgLcOS6

En el instante en que e l pé r.dulo ha ce

con la vertical , la ~ fue r za s que obr a

~asa del réncu lo son:

un Sng ll l o & so br e 1 a

T - mgcosO = ma c (2 ); donde:

: 2gcos6

T : mgcos6 • 2::-.g; co s 6 : 3mgcos':'

i:1 ángo.llo p ;ira el c·ua} i : ::-.g :c;e :"d:



Respuesta:

- 184-

a } v2 = 2~; T = 5mg .

b) e :. 7 0.5°

6. Un péndulo s imple de longi~ud 1 , que llev~ suspend¡~

da una masa m, tiene una veloci'dad observada "'0 CU I!l !!.

~o la cuerda forma el Sngulo 80

con la vertxcal (O <

eo < w/2 1, c omo s e ve en la tigura 8-11. En funci6n ' de ~ y de las cant idades que se han dado, detenninar

(a) l a e nergía mecinic a ~o~al del si6~ema, (b) la v~

locidad v1

de la péndola cuando es~á en su posici6n

más baja ; ( c l el mínimo valor v 2 que podría ~ener Vo para que la cuerda llegue a alcanzar una posici6n h~

rizon~al durante el movimiento , (dl la velocidad v 3 tal q ue si V

o > v

3 el péndulo no oscilaría s ino que

~~guir í a moviéndose en un c írculo vertical.

Soluci6n:

" O

m v

o

al La ene rgía mecáni ca total se

rá :

E:. _,1 mv 2 + mgh ... (1 ) o O

del gráfico:

:. lU _ cose 1 ... (1) o

~eer.lplazando (2) en (1):

r. = i mv¿ +mgll1-co::Bo)

Cál cu lo de VI ~n su posición más baja:



- 185-•

h] :: O

hO :: l ( l -coseo l calc ula do a nter iormente,

r eempl az ando v" l ore s :.

v :: .lv 2 .. 2.1 11 1 o

c) Siguiendo pasos si1l'li'l aN':9 a l a s pa r t e s ( a ) y (b)

se obt iene :

'" IgIO + 1cose

o

(O,

7 , Un objeto está fijo a un resorte vertical y se ba-ja lentamente a su posici6n de equi libri o, El resor

te queda estirado una cant idad d , si el objeto se

tija al mismo resorte vertical, pero se le deja caer

en vez de que baje lentamente. ¿Qué tanto estirará

al resorte?

S9h:c i6n :

[n el pr imer caso la fuerza que est i r ará al resorte

e~ igual a l peso de l objeto s u spendido , o sea:

F :: n:g ( 1 ) ; pero : :: kx :: k d ( ley de Iloc ke) ,

luego: k :: rIlg/d I



-l B6~

En el segundo caso la pérd i da de la energ14 PQten -

cial del objeto e s igual a l a e ner gía potenc ia l asi

mi lada por el r esor t e , l uego t e ndr e mo s:

j , IIIg'" = r loe • . . (2 )

pero: k = IIlg/d

Reemplazando el va lor de k eS ( 2 ] obtenemos:

x = 2d

Respuesta: Ix:; 1d I 8. Un bloque de 2.0 kg . se deja caer desde una altura

de O.~O •. sobre un resorte cuya constante de fuerza

vale le = 1~60 nt/m. Encontrar la mixima dcformaci6n que su f rirá e l resorte al comprimi r se (no se tome en

cuenta el rozam i ento).

Soluci6n:

(1) 0

í (O)

•

Tenie ndo e n c ue nta que la ener

gía potenc i al de un resor te es:

podemos pl a near la siguiente ~

c uaci6n :

El = Eo

1 , .,. mV

1

, 2 + mgh1 = ,. mvo

II1gt'l " 1 "" 2 I o

, o "

/2111g h1 ...,-



-181 ··

re emp l a zando valores: • ; / 2 x ~C' 8,-x,-:O~. 24 , 0 . 09 1:1 .

:: 0.09 m.

9. En una monta1l" ruso!! , s i n r ozamien t o , un ca r r·i t o de me.

sa 2!!...comi enza. en el. punto A con un" ve locidad \"0 ' :::c

mo se muest r a en la rig. 8~ 1 2 . Supó ng ase que e l carri

t o se pueda conside r ar COIhO una par tícula sin dimen -

siones y que siempre quede en conta cto con la ví a . al

¿Cuál será la velocidad del carrito en los ~untos B / C7 (bl ¿Qué desacel eraci6n constan te se requiere ~ar3

que el carrito se det~ng a en el punto E

se aplica" en el punto 01 (cl Su~ase

¿Cuánto tardará el c" rrito en llega r al

A

e

h I D

si lo s f r t' n?S

que vo = O.

punt o 8?

, l' - -+- -+-- .-.,¡

Soluci6n:

al Cálculo de la velocidad en H:

1 2 ? mv(-¡ .. mghA =



- 188-

reempl azando dic hos valor e s en ( l ) :

~ mv¿ + mgh ,. t mv,; + mgh

Si ,npli f icando:

- C&l culo de l a velocidad e n c: Vc

, , , 1 mVA • mgh " 1 mv~ • mg ( h,

1

Simplificando y reemplazando valores :

1 , • h 1 ,

1 ,. g í " 'i' v

o 'C

ve " Iv' • gh o

b ) Primero c al culemos la veloc idad en D:

~ mv~ + mgh : ! rnv¿

Simplifi cando;

" Iv' o + 2gh .. ,(2 }

Por cond i c i 6n de l problema VE = O (detenid~ )

I\pl i ca/ldo la siguiente f6rmula:

v;=v; ! 203e

para n'Je s tro ca so:



10.

- 189- • 2 2 2 •• Y, • Y. ,

reemplazando va l o re s ( punt o s D y El

2 vE • v 2

o . 2.l

V. • , 2 2.L VD •

• • 2

vD (31 'fL

(2 1 en (J ):

l· ,

v • 2gh o • 2L

el Nunca llegara • B .

Un pequeño bloque d. masa m resbala e n un. vía s i n

fricci6n en forma de rizo; al Si parte del reposo en

P. ¿Cuál es la fuerza resul tAnte que obre sobre él

en Q1 b) ¿A qué altura sobre la parte inferior de l

riso debería soltarse el bloque pa ra que la fuerza

que ejerce contra la vía en la parte superior del

rizo sea igual a su peso?

P v1"O

r v =, r ,--

1 -,



-190-

Soluci6n: •

AplicAndO el pr incipio de la conser vaci6n de 1.1 e_

nerg ía tenerlOs:

L.u ego :

L~ acelel"aci6n centr1peta es;

ac ~ V~/R ~ 8gR/R =- 8!

La ~celeraci6n tangencial es:

at

'" mgh. ~ g

La acelerac i6n resultante ser á:

a =- la? • a 2 =- Q =- g/65 e t

La fuer~a resultante en este punto s erá:

f =- ma ,. mg/65

b ) Las fuer ~as que act úan e n el bloque en este caso

son :

T • mg ~ ma c ." ( l i

Pero T =- mg ( da t o )

2 _ v

2 - 2gR

Por el pr i nc i pi o de la conservaci6n de l a ener -g!a tenemos :

En este ca so:



- l!H-

Lu ego: mgh1 = j/2 m(2gR}; de donde hj = Rt

La altura desd e la cual debe rá tit'",rse e l b1 0 -

que s er.§. : (ver figura. 2).

Respuesta : l al r = mglBS ; bl h = JR

11. La partícula ele masa m ele la Fig. 8- 11t se mueve en

un círculo vertical de radio R de ntro de una vra.

No hay ro zamiento. Cuando m se encuentra en su POS! ci6n m~ s baja, lleva una velocidad v . {al ¿CuSl es

o el m!nimo vlllol' vm de va para que m de una vuelta com pleta en el c~rculo sin despegars e de l a vía?

(bl Sup6ngase que Vo e s de O.77S vm' La partícula

se moverá por la vía hasta un ci~rt:o plinto p. "! n el

cual se despegarS de la v!a y seg uir~ moviéndose s~

gún la trayec t oria marcada en forma aprox i mada por

la linea in terrumpiaa . Encontrar la posici6n .'IUSU -lar e del punto P .

Sol uci6n:

h '

"

'"

Aplj~ando el teor ema de

l a co nse rvac i6n de l a !

ner g ia entre l os punt os <ll y ( 11.

[ 1 = ); 2



- 192- • 21 ,

• ~ghJ. ! mv, • ' , 'f mV 2 • mgh ? . . . Del g rSfico ;

h, • 'R h, • O

v , • O ( ve r pro blema II

Reempla zando va lore s e n l a )

1 mg{? R) :; '2

, mv

o

:; v = ¡¡¡-gR m

Vm > /4 g R

v :; ;r;RgR m1nimo

( al

,

b) Apl i c ando l os mismos cri ter ios de l a par te ( a ) :

r~\ , , " ,

l . ,

, _ v • o .• ' ..cm.

E E O • p Q

1 mv' • mghp • 1 , • mgh Q ,.

p , mV

Q

hp , R • R sen6 , R U "sen6) ... ( bl

hQ , O

v , vQ , 0.77<:. v ( dato)

o m

v , v p m

Reempl a za ndo en (bl

O 1 <en ,

'i



-193-

• - 1 e :: sen Un)

12. Una parti c ula sin dimensiones , de masa m, comenzando

en repeso , va r esbalando por la superficie de una c~.

fera s61ida sin rozamiento , de radio r. como se mue~

tra en l a rig. 8~lS. Mídanse los ángulos a partir de

l a vert ical y la energía potenc ial a partir del pun

to má s alto. Encontrar (a} el cambio de energía potencialoo la masa con respecto al ángulo ; (b) La ener

gía cinética en func i6n del ángulo; (c) l as acelera

cione s tangencial y radial en funci6n d~l ángulo ;

(d) el ángulo para el cua l l a mA sa se despega de la

esfera . (e ) Si hay rozamiento entre la masa y la es

fera. ¿la masa se despega con un án& ulo mayor o con

un ángulo menor que en el inciso (d)1

Soluci6n:

a) Por conservaci6n de la

bl Ep = EQ

1 , 2 rnvp + Vp = k + UQ

v = O P

r = mgrU - cosa ) ... ( 3)

energia:

AU : UP - UQ . .. (1)

Ep " O

EQ : mgh :: mg(r-rcosS):

= mgr(1-cos&)

Reempla~ando en (1):

AU = - mgr(1-cos8)

k = ene rgía c inética



el k "' t , mv

-194-

• .• ( 4 l

I gualando 3 Y I¡

de ( ~);

mgr { l~eo &e ) ~ } mv 2

V2 * 2gr ( 1- eo s 61 ..• ( 51

a •

II ", 1.&E"p - cose l I 2g0 -cos8 1 r

es t o ~s l a ace le r aci6n rad i al ;

a r = a = 2 g<1~cos e )

•

C&lculo de la ace le r a c ión tang e ncia l ~:

Del gr.if i c o :

, g

13. Un r e s or te i deal s in masa S se puede comprimir 1. U

m. mediante u na f ue rza de 100 nt. Ese mismo reso r te

se c o loca en l a parte i nferior d e un pl a no inc l i~a~

do qu e f o rma un áng u l o e a 30 ° con r e specto a la

horizontal <v é a se la r ig . 8~l 6 } . Una masa M

kg . s e s ue l ta a part i r de l reposo e n la pa r te su pe .

rior del pla no inc l i nado y queda e n reposo mome nt S.

neamente despu~ s de comp r imir el r e s ort e 2.0 m. ( a l

¿Qu~ ~ i stanc ia resba 16 l a ma l a a n t es de quedar en

reposo? (b l ¿Cu &l e s l a velocidad de l a masa cuando

es t~ a pun t o d e ha ce r con t a c t o con e l resort e?



Sol uci6n : •

Sa e mo~ q ue pa r a u n r esort e s e c ump l e :

r :: 10:

, [ ' 0 0 l on N ~ ~ -,- ~

x m , M ~ 1 0 kg.

• ~ ' O'

al Ini c ialmente comprime x ~ 'm (elAtO)

,o.plicando l. conservdc i 6n d, la e nergS: a de bajdcla U.,.:Zl .

/ T ", , ", d

" 1 ,

mghj

, , t 1 kx 2

d' 1 ;nv 1 • ~ 1 mv,

1 1

U)

", ~ " ~ d,en' } (2)

., 1 ~ v, ~ O

.. )«,)(2:: 100(10) 20 hj = 1 rng n1010.Sl:: 9."U" .•. (3)

Reempl a.~ando tJ) en (2);

el. 20 :: ~ 9.B.sen3Qo 4 .0a m.



b )

-196-

h, • (d ~21se n JOo

h, • ('+ . OS .. ' l s e n 30o

" • 2 . 08 5€< 0 30 · . . . . ( 4 ).

T Por cons ervación d. 14 e nergí a. :

rA • r. , , mgh,a. ;- mVA • •

j

1 , • mgl'lS • 'i mv •

v, • O

hA • O

reemplazando estos valores en la ecuaci6n ante

J:'10r:

" h g O.OS>Sen3 00

"l¡.~1 m~

14. Ua r.ue rpo que se mueve en el eje de l55 x est§. sorne

t ido a una fuerza que lo repele del o rigen , dada

por f " kx. a) Encue ntre la funci6n de energía

po tencial U( x) para el movimiento y escriba l a condl

c ión de conservación de energía. b ) Lscr iba el movi

miento del sistema y de muestre que es la c lase de

movimiento que podrí a esperarse cerca de un punto de equilibr i o i nestable.



- 197-

u • y

o x x - X . , ,

'P\OO F • kx , <Ix • • X , ric;. 1

Fiq. 2 Soluc i 6 n :

al Sa bemos que: U(x ) - U(xo ) :; rx~r (X)dX . .. (l )

do nde Xo

: O y F(x) : kx

bl De la gráfica observ~os que e n x :; O, la ener

gía potencial es máxima y l a pe ndi ente de la

curva es cero , luego r :; - dU/dx : O.

Una particula en reposo en ese punto permanece

rá en reposo.

• - r

Sin embargo si la partícula se mueve de este pu~

to , aunque sea una distancia muy peque~a, la

fuerza r :; - dV/dx , t~nder~ a alejarle más de la

posici6n de equilibrio (f :; O). rs decir que ese

punto de equilibrio es inestable.

15. Si ld fuerza ent re una partícula de masa m1 y '.ma

de masa rn 2 está dada por:

rn1rn 2 r:; k -r x



- 198-

siendo k una con3'tante positiva y la diet"ancia x es

la que existe entre la. partlcula.; encontra r: al La funci6n de energ1a potencial y bl El 'trabajo ne~

ces ario para la separación de las masas de x = xl

a x = xl + d.

Soluci6n;

al La función de energla pot encial será;

U = u(x) - U(xo ) " - W " -r x f<'x) •• , (1)

o en este caso r • (kml rn 2)/x 2

, U(x

o) r 2 lonl la2P/xJX U (x) - , - (km

1rn

2dx)/x ,

Xo Xo U(-x) " U(x

o) • km1m2

bl El trabajo será:

w = J f(x)dx

Respuesta:

[l/x - l/xJ

)::mll:12 d

xl ( Xl +a l

r--c--------, a) U{x)=U(xo ) + Km1rn 2( 1 / x- 1/xo )

b l W = ( km1rn2dl / "1 ( Xl + d)

16. La fuerza de a'tracci6n entre e l núcleo pos i t ivamen

te cargado y el electr 6n negat ivament e ca r gado en el ~tomo de hidr6geno , está dada por r " _ k e 2/r 2 ;

siendo ~ la carga d.el electr6;!, k y.!: la separaci6n entre el electron

una constante . y e:l núcleo. Su

p6ngase que el núcleo está fijo , el electrón que i nicialmente Se está moviendo en un círculo de radio

R1 alrededor del núcJ.eo salta de repente a una 6rbi ta



-199-

circular de radio má s pe queno R2 , a} Cal c fi le s e el

c~~io de energía ciné t ica del e l ec tr6n, usando la

segunda ley de Newton. b} Aplicando la relaci6n en

tre la fuerza y la t!nergía potencial , calcGlese la

disminuci6n de energla potencial del ~tomo. c} Cal-

cule qué tanto disminuye la

durante este proceso, (Esta

forma de radi4ci6n).

energía total de l átomo

energia es emitida en

SoluciÓn:

a) El cambio de energía

cinética será:

6k = 1/2mv~-1/2mv~

... (1)

Apli~ando la segunda

ley de Newton tene -mos:

La e cuaci6r. (2) se convier t e en:

1/2 rR = 1/2 mv 2

pero: r = ke 2/R2

Luego; 1/2 mv 2 = _ 1/2 ke 2 /R

,

Para R R1 ; 1/2 2 lIH ke 2/R1 ) , mv! ,

R , , . "2' 112 :nv~ , 112 ( ke 2/ R2 )

,

Reer.:.pla::ar, do es t os valor es e n (1) t endr emos!



- 200-

• b) La disrninuc i6n de la ener gía pot encial es:

6U =

lIU = -

= _j ~( _ke2dR )f R2 ",

= - ke 2 (1/R2 - 1 /R1

)

c ) La disminuci6n de la energla total del átomo se

rá igual a l a disminuc i 6n de e ne r gla cinética ,

es deci r i gua l 4:

1 /2 Cke 2 ) (1 /R2

- 1/ R1

)

puesto que es la única energ1 4 que se manifiesta

en forma ext e nsa .

17. La e nergía potencial correspondiente a un c i e rto cam

po de fuerza b i dimensional es t á dada por U{x , y) = 1 12k ( x 2 +y 2 ). (a) Oh tene r Fx y F

y Y rle~c~ihj~ ~, ve~

tor de fuerza en c ada punto en funci6n de sus coor

denad a s carte s ianas x e y. (b) Obtener Fr y Fa y

de~cribir el vector de fuerza en cada punto en fun

ci6n de las coord enad a s polares r y 9 del pu nto.(c)

¿Pue de uste d pensar en a lgún modelo físico de tal

fuerza?

Soluci6n: 1 2 2 = .,. k{x + y }

al Sabemos: r (rl o i .U j ." k .u

'x - ay ,,-

donde: Fx o .U

'" F o

.U y ay

r o .u , E



-?O l -

tU Lx ) ~ ;0:

rx kx

fj = 1-1<.( 7y) ~ io:y

F ~ ky Y

bi Cf'mo re ,~puntCll s i ~mpre raoia lf:lentc:

[(1') = k!'"

f(€,) = O

dond e : r = Xl .jo yj

i6 . fl l lamado potencial de Yukawa

r O -1'11' - U e o r o

•

oa una descripci6n suficientemente exacta de la in

t.erélcción entl"'e nuc l eones (esto es I neutr o nes y pr'2.

t ones. los cons tituyentes de l núc l e o) . La constan t e

ro "ale aprOl:i mad amen te J.5 y. 10-15

:n y l a cons t a n

te Uo es apr oxi mad amen te de !JO Me'.". ( al Encontr a r

l a expr esi6n cor l"'e spo ndi e n t e pa r a }-'I f uerza de a

t ra~c i ón . ( b ) Pa ra poner de manifie~to el co r t o a1-

CdJ\ce de es ta f ue l'z B, cal c u l a r 1;). l·e l ación de 101

f ue r z a par a r

r 'Je r :;:: a p=a r

Jio l ución:

él ) r =

~

~

2r

r o

,. D

o ' 4ro y 101'0 <..01, I"' l!s pecto a la

= 5U Hev .



19 .

-202- •

de r i vando:

~ -r/r r -r/r J r • o - v • o , Vol! o o r

r - r /r [;0 ~J r • --" r vo ' o

b) Rcempl ~ ... ~ndo v a l .ores en l. e ll pr esi6n a nt:e r i ol' h~ lIada. o bt endremos para :

r • l r • o r • 1.4 , 1 0- 1

r • 4r o • r • 1. B , 1 0 - 3

r • lOr • o r • 6.6 x 10- 6

\lna part 1c uh o ( e l nC.cleo de un átomo d. he lio) en u n n("ü eo grand" , e s tá li g .. da p Dr un potencial co-mo e l Que .e muestra en la rig. a) Constrúyase una runc i6n de x Que tenga esta f orma genera l , con un valor m.ínimo Uo para x = O Y un valor máximo para x

= Xl Y x = - Xl' b) Dete~ir.ar la fuer~a entre l a

partleula a y el núcleo en funci6n de x. c) Descr iba

l os mo vim i entos posibles. u(x)

, _~'

e

d) Di c ha curva se o btiene multiplicando las ecuacio n~s:



-203-

, , -., e •

en donde A y e se determinaran, d e tal manera que cur.tplan lds (':ondiciones impue s tas,

La ecuaci6n s era: , Cle-ax

b ) ,. , dUJdx , , e -.,

, (_2 Ax J

(l - 2axe • 2Ax a)

el Entre - "~y • " l . partícu l a oscila

para x > x l y x < Xl cae de la c r esta,

En Uo el equi l ibrio es estable ( X :: O)

En Ul( - xl l y U1(x1 ) e l equilibrio es inestable,

21, Se encuentra que un cierto resorte e special no s~ gue la ley de Hooke , La fuerza, (en nemons) que e

j erce c uando el resorte sufre una deformación x (en

metros) resulta tener una magnitud de 52,8x + 38.Qx 2

en sentido opuesto a la deformación. (a) Calcular

el trabajo total que se requiere para estirar e l re

sorte desde .x = O. se hasta x :: 1.00 1lI. (b) Es t ando

fijo uno de los extremos del resorte , se sujeta en

el otro extre~o , cuando el r esor te ha sufrido una

~eformaci6n x = 1,00 m" una partícula de masa 2.17

kg. si en estas condic i ones se suelta la part ícul a

a partir del ~unto de r eposo, calcular s u velocidad

en el instante en que el re sorte ha regresado a la

configuraci6n en la cua l la deformaci6n es x :: 0 . 50

m. (c) La fue r za que ejerce el r esorte, ¿es conse r

vativa o no conse r vativa ? Explicar por qué .



- 204-

$')lu.::::i6n: r:< ~1. 8x .. 32.4 x2

t} tI tl"al .ajo está ..... .'l.do por:

W :< f Y(x )ox '" r: rOl< , o

w r' (<'1.8'X+37.4X2

}(.X "

0.5

W ( h2 . 8 . 32. 11, "2 -,-'

. , " 31 Joul es .

52.8 -,

•

1,) Sigu iendo e l Dl aimo pl'Oc edilnient o que e l problema

1 3 o b t e nemos:

11 " 5 .33 mI:'!.

e ) Es conservativo , porque e l trabaj o que r eali za dUr'~nte u n c ic l o comp l l!! t o (dI! ida y v u e lta) e l!:

ce~.

l' Mue s t r e que cuando ha y fr ioc i 6n en un si ~t em4, q ue

s i no fue r a por e llC'. s e r1 a cc:ns.:'tvativo . l a rapide z

(',m que se d i si. pa la e ne r g Sa me c An i c a es i g u a l a l a

fu .. r za de I' r icoi 6n mul ti plicada por l a velocidad en

"'!:f' i ns t ant e , o expre sado mate.:nat i camente :

d / dt ( k .. U) " - fv

:a1uc i 6n:

~ahemos que l a fri cci6n es u na f u e r z a d i s ipadora

tr.o conse r va t iva) , tTl e ste c a s o ;

pe r o: Wf no cons e rvo = -t ~e

t¡,( K · ti) :: - f c. c



··2 0 ;

Div id i endo e ntre lit.

tr. ( k t Ul { f Ae } .10(\(\'" I ~ constan t¡: ~ -----.t • dt

6(k • U ) •• 1 uego; ~ .t dt

En el lÍmite cuando " t 1 e n .1 .. , cero , tendrer.los:

c!( k + U¡ dt

dc l' (ft : - fv

d di' {k+ \ll-··fv

23. Un cuerpo :::le masa m (omie:lza a moverse a partir de

reposo, bajando un plano jnclinado de longitud L

que forma un Sngulo e con la horizontal. al T6rr.c::;.

como coeficiente de fri cci6n ~ y encuentre la velo·

cidad del cue rpo en el punto más baj o del plano . b

¿Qué distancia ..d.. re correr! resbalando horizon t alme!

te en una superfic ie igual, despué s de llegar a

punto más bajo del plano inclinado? Resuelva el p~

blema utilizando los métodos de la ene t'gia y resue: valo también usando directamente las leves de ¡le,", .

ton .

Da t os;

Uk

= coeficient e de

f r l cc i6n c iné

t l ca .

L ~ l ong i t ud de l

pl a r.o i ncl inado

" ángu lo del p 1<1.-

no incl i nado . ü¡ v ~ O ( '/~locida d i.nicial) o



-206 -

Soluci6n: •

a) Aplicando el principio de la conse r vcci6n de la

energía, cuando obr~n fuerzas no conservativas

(fricción) tendremos:

w, • fL • O<1- Ko 1 • (U, Vo )

, , , , + mgh 1 mgho • f m., 2 m. -o

pero:

• • O. h, • O. h • Lsen8 ; , • uk rngcos8 -o e

u)c:mgcosSL , ,

mgLsenO • ~ m., de donde:

b) En el plano horizontal tendremos:

pero: . , • O. h, • h, • O; f • I.l)cmg

- fd • , -;

, m., " . (3)

Reemplazando los valores de f y de v1

obtenemos:

Método dé las leyes de t!eW1:on :

a) I fx = ma , • O

rngsen S

-mgcosS .. N : O • . • (2)



- 2 0 J-

f k = Uk

N -.--- --- - -- - - - (3 )

de las ecui!l ci ones O) , (2) 'j (3) obtenemos:

al = g(sen a - uk

c os a l ~a velocidad vI se ~á :

2 ,

•

vI = V o + 2al~ ----- --- - ( I¡ ) , pero v = O de donde: o

v 1 ~ = 12g!.( sen a - Uk

e-osa b) En el plano hor i ~ontal tenemos:

, f o •• f o .a, ,,¡ , , , f O " Y o 'g o O (1 )

f, o ", " ----( 3 )

De la s ecuaciones ( 1 ) , (2) , (3) obtenemos: " ", La di s tan cia d reco~rida p o r el cu erpo s e rá:

pe ro v 2

Luego: , Respu e s ta:

, " O

•

, ,

0 __ ' _

", al

o

"

. - ( ,, )

2gL(sen , - "k 00' " !.( sen8-u kcos9)

2uk

g " k

o 11g L(sen O uk

cos O)

b) d = L( sen a - uk

cos 8 1 /uk

14. Una partícula d e sli~a por una via que t i e n e s u s e x t remo s

levantados y una par t e c ent ra l p l a n a , co mo se mue st r a e n

la fi g . 8-1<) . La pa r t e plana t ie ne un a l o n g i t u d 1 ~ ) . ú

m. Las porc i o nes curvas de la v i a no tj ene n roz a mi en t o .

P3ra la pa r t e pldlld el coeficien t e de ro~ ami ento ci ~~t i co

" k () . :?o . La particul a se su e lt a e n un pu n t o A 1U.,

se e~cuentr~ a una altura h = 1.0 m sob r e l a p a ~ t e pl a n a

rep oso?



-208 -

-lA-

J _ _ _ ';!!'_ :<a..-._~,.--_~ B d r---

L --- ---<o/

Aplj~~~"do la e~ua~i6" de la ~o"~ ervación de la energia en

tr. los puntos A-B.

2

, ."

EA ~ EB

mghA , ,

: "2 IIIv B • IIIghD

S ¡mplifjcanJo y reemplazan d o

datos

o ,

, , ] mv ~ ~ e / k mgd

rtc~p l~ zJ nd o e l v alo r de vB

7 2 &11 = ell<t~ d

,. o. :! s.

La partlcula hac e Un recorr i do de i d a y v ue l ta qu~ d andos~

P~. el medio Je la polI t e plJna.

:,',,) uro le~<H·te hori.:.on

r 1 i ,.. __ I.J \ . U 1:10

__ vo .. z v-O

'nd· ,;¡ l,rmrTTTT! fT7TTrrrnrrrr Fi Q. 1

, ,



- 209-

• íent~ ' ¡lIétic o ~ rlt re el bl :lG'"" "! l ., ~""P"l ti,' ~ ~')rj;:ollt ,il

.e ~ d~ O )~. LCuSI erd Id velor J~d ocl bl ')-J~· en el ins

t~~tE ~ul cn~~ue?

1, o,

, " ",-, 1

, " " .U r

----- ~ l)

", " O ; , ) O " U ,

e

' r r k" 1 , , ,

k , , , 0 ' o '' • ; , o

I' e l'o : f, " 'k" , uklng • " O , " O o

1 h , 1 ;

LuegQ : ., ro . " , O

" j'2 ( Uk OS " d. donde: • o rn

, . , ) " J ' (o,

• 1 . '2rn is eg

v o ~ 1 . '2 mIse..,

..... el c "t:le d e u n elev.:aoof' de P ~.J C 1,: ,jl"]" ji,; . ~-::"'''!E.

vienta cuando el elevador se

pT' irocr piso , d" IIl d n" ,'i! que

su fondo estaba a una a l tu

f'd d " 3.66 m s o bre un re-

sort" amortí ¡ ua dcr cuya

constante de r e:;o l t e e s

1', é 000 at/m . lb sis-

,1, l , 1 . ,.~.



mo~¡mie"tc del ~Jcv d dor se opon~ ~~~ fu~rza ~e ro~am¡e~tc

co nSl antd de ~ " ~O nt. (a) [ncon t -J r la velocidad del ele-

~dd"r en e l momento en que va a :'I'(. J.r c alara el resol'te.

lb) tn eontrar la 4istancia que ~c Jd for mará el rc ~o rte.

(e) ¡:alcular la distancia que "rabot ar á" el elevador ha

~ja arriba en el poz o . (d) Apli~ando el p r incipio de l a

co n .e r vaci6 n de la energla, cneolltra r la distancia total

que se mover~ e l elev a dor antes d~ quedar' en repos o .

Solud6n :

al Aplicando el te o r ema de la energia:

o,d

1 Z mv,¡

fd 1 ,

1 m(mg - f.ld=

¡'eemplazando ~alores: o •

, d

, "

w g

'2 " 9 .8 17 000

(17 , 800 - 'I'. SO) " :'1.66

b) r klt

r )t : k • 17800 - '''.50

1'<6000

27. Un cuerpo de 17.8 nr es empujad o ha c i a a rr ib a sobr e un p l!

no sin rozamiento. inclinado 30° y de 3.05 m d e l o n gitu d

mediante una fuerza horizontal r . (al Si la v el ocidad qu e

t e nia en el extremo inferior del plano era de 0.61 m/seg y

en el e"tremo superior alc a nzó 3.05 ~/,eg. ¿q u ~ can tid a d

de trabajo hizo la fuerza f? (b) Supóng a se que el plano

tiene cierto rozamiento y que

r! esta misma fuerza?

el plano?

'" : !jO lb e -. 30"

~k : 0.15. ¿Qué trabajo ha·

dónde subirá el cue r po sob r e

L • 10 pies ~ 0.15



Soluci6n :

Las en~rg i 3$ ir.i c ial y

f i nal s .. r~n'

¡; ~ 1 /2 r,¡ v2

o ,

¡ 2 IIIv 1 t

1 I ¡ ¡

", f III ¡;Ls <! n

- 21t -

el irI C I· ~ m .,nt o d, en~rgi~

e ::; Igua 1 .1 trabajo re .. l izado Jl" r

, 1 ;. m¡t.sen 9 , < , - < •• ,

1 o ¡ 1

1 " )( 10) 2 , < ¡ 31 , "' • '" • O . ,

160 pie I lb

b) Cu~ndo h.y fri cci6n t endre"'os:

, , mgh 1 ) , 1 ,

lagh) ,- •• • - m. , 1 , o

,

do nde: eL .. " trabajo h~c h o p o .

h : O o

, , '. , \

,

_. 1 " ,,: . , ,

re •• , o

1 , "' ) ( :. ) - I 3:

< re - te

u • fue r z a .

Re e ~pla z an d o valo r es en (2 ) t e nem o s :

V : FL : 260 t 0 . 1 5 = ~o x cos 30 ° x

: 260 t 51 . 96 t 311.9 pie - lb

La eneri la ciné tica en el p ~ n to mA s alto es :

( .. ) w 2 26 0 pi e l b

(b) v a 311.9& pie-lb

- • • (1 )

,»

28. rn un .. _esa sin roloa_ iento se coloca una c adena de ta l tur

lila que la qui n t a parte de su longitud e $ t ~ co l&a n d o po r el

bo rd e de la mesa . Si la cadena tiene una longitud 1 y n n ..

m ~ 9a 111, ¿qu~ c ant idad de tr .. bajo habra q Ut h a cer parl su -



-212~

~.

l un~i t ud d e l a c a a ~ na

H' m.Js .l d e 1 .. c,~ de n a.

H.~ ,,"'ll:o:; el (! :i d

•. ,",U"" el e1 ""1'

1¡~" " d~ 1..., pa r·t e j ,

i3 ~ ,'" n~ '¡ ', e c u e l &a.

~, . .• p li ca ! u ~ a fuer ~ ... .

r ( r.-. &x)/1. ~--- ---- ( 1 )

JU:1:!,· "' g/ L e s ,, 1 PC ¡;';:' ;:' 0 1' " " id a ": de l or.!; i tOl~ .

'-.¡ t , ·"h d jo :>e l'¿; :

L/ S ,r n f, xd>.

o ' [ , ] LI S mO x

L 2 \)

•

,

r~ F~ c 4 1~ •• m e ~l~ i c a v a d e un p i so a ~ t rO 4UO es tá a 7 . 62

el , 1': i 1; ., . !. d es c a l el' il ti e ne 1 2.7 In <.1 .. l a r g o y s e mu e v e e n

. ! le cc i 6 n de 5U l o ngi t ud co n un a v e l oc idad de 0 . 6 1 m/ se r.

'Q u ~ pctel'c i d d ebe t ~ I .~r ~ u mo t o r p ar a t r a n s po rt ar un

,~ , , ~ ~ d~ 1 00 ~~ r son a s ~Ol' minu t o, cd da un a C C~ ~n 3 ma s a me

1 ¡ .) d I' 71 . '~ ~,,,., ( tI u,¡ h omb r e de 7 1 2 "t c~m i na por l ~ e &ca

J pl' j ~ l ~ ~ uh e e n 10 ~eg . ¿Qué c anti d ad d ~ t raba jo h a c e so

,,¡ 1loto r ? (c) S i ~ ¡ ¡, omb r~ a la mi¡ a d de l a es c a l e

. • ' n' 8 , 'eSilld v c am ¡ u,ll"<1 hac iJ aL iI ) o d f.i n d e co nseI'V<1I' S~

, 1 I"ic;mo ni">! l " n el <! :;paci() , ¿ h a !' í ~ el mo t Ol' t l'il bajo s o b re

,~., ¡q 'l ~ pote nc.ic le a pli c a r i ~ j.a rj ~ G tc f i n ?



-211-

(1I) (01110 ti! ··C!""~ ¡¡Iitd de la

esc lll~r it CL ~~Ils t ante,

t- ién 1 <.; e:l:

,

se rá:

~

Ir.gh

, , , ,

:'!Ju , OvO ~ ,.

pie-lh b , ~.,G.6r,b

'"

,

~cu&ci6n en la ~u41. ~ h e:; la '1eloc': !.¡d :, n i" "'" '/

., P >;;).1 " eloeid ... ¿ :: e l a c :;c ... !e.·"

De dicha e c uaci ón cb t~nemos: '1h ~ : p i e siseg

El espacio que I·e c orre él ?Or ~ u s p r op ¡ o~ medi o~ en les 1 0

seg es "h t .• 2 x 10 : 10 pie s = e/2.

El trabajo que r eal iza serA:

W = mgh/J - 2 , 000 pie/lib.

(e) 110, porque el hOMbre p" r m"nec" en .. 1 "islII ") pU h tC' (e.." I

sidere la definición de trabajo).

La pote ncia ~u e r"lJ i~a ~ implemente s ir'" pnra contr a r r eS-

tar el trabajo q ~ f" I ·e a li z~ e l hombre

r.sta potencia se r d:

d ':l b¡, j ,u ' .



JO.

Flp t a'

- 214-

l a' P : 666 6 . 66 p ie - I b / se g

(b ) W " 2 . 000 p i e- l b

(el Ho . 1 : 320 p ie - l b /s e g .

(d 1 It o

•

, Oe mos trar que me t ien e dime n s iones d e en ergla.

So l uc i ón : , De.~s tr ar emos q u e ae t ie ne dim en s i ones de energla

(1)

dond e: m " aa sa e n kg.

e v e locida d d e l a l u ~ e n mIs

re'llllpla z a nd o .n (t ) :

Ade .. .ss:

(. ) . n

Jo ule:

, E k g • ---, ----- ---- - (2)

• , He v ton • o , g .,. (2 ) ,

" ,

• E o -,.-, a /s S

E: " N.a " J o ule

Uni d a d de e ne r g la.

-- - ----- (a)

) 1. Un elec t rÓn (lI a s a e n r e poso 'Ll " 10-31

kg l s e !ll u e v e co n

u na ve locidad de 0 . 99 c. (a) ¿Cuál e s su e n e r g í a to t a l ?

lb ) E: ncont r ar la relación d e l a e ne r gl a c i nét i c a n e wt o ni a

n a co n ' res pec t o a l a e nerg la c i n é t i c a r e l at i vis t a en es te

ca s o .

So lu c ión :

v '" 0.99 c

• o '" 9.1 x 10-

3 1 kg .

Por el pr inc i p io de la c o nse rv ac i ó n de \.., e ne r g 'í a tene mo s :

r( a e2

+ El '" co n s ta n te o o (1 )



-lI S-

donde: ,

t moc e~ l~ e " erela tot~}

[ [ e s la en .. rgla total de todas

En e s te caso:

, c '2 ~o (1 , , • .. , •

1 , lII o C2

[(1 ,') ., •

Reemplazand o

: '" C o

, va 10'-"5 '"

,') ,

" oJ .

. IJ ,: o n Q(;

(1) te n em 05

, . 1'

, • '. 1 , , 10- 31 (3 , 1 0 3) 2 • ' . 1 , 10- 31 0 , 1 (8

)':1 [ 1 .

r , Cb )

"

0 .99'2)2 , 1]

• 0.8 1 9 , 10 -13 ". 9 8 , 1 e - 1 3 • 5. 79 • 10 · 13

L. energla n e wtoni3n a es :

K 1/2 ,

1/2 '.1 10- 31 (O . 9 'l c ) ' • •• • , ,

• ". OS" • 10 - 1 " joules

r . hci6n q", ex .l ste ent r e 1! 113 s se rd :

11 .05" x 1 0-111

5.79 x 1 0- 13 o.ce

Rpt a: ( a ) [t : 5.79 x 10- ' " joul e s

(b) KIt: o. " e ,

joul O! s

32. Cal c ula r cuAl e s la Veloc idad d e un ele c tró n q ~e tiene una

energla ciné t ica de (a) lOO 00 0 ev.

Solu c jón:_

(b) 1 000 000 e v .

Po r la ecu3éión de la energii c inéti c a t enemos?

'1 2 r ., -"2 K: 6mc moc U - (v /el")

Despe ja ndo la velocidad y o bt ~n ~m os :

• • (t •

, , . , ) o

. , , " , , o

--- •• _ _ • (1 )



- 2 16-

(~) P~r~ K : 100 00 0 ev -11;

1.6 ~ 10 jv ~l e ~

. I -1 " 2 cV(I.&xIO ) I

-31 B 'l -l~ 2 x 9. 1)110 ( 3)1 10) 1.6)1 1 0 ., _ 31 B '1

J.l)1 1 0 (3)1 1 0 )

'J: 0.5'. c

(o) procediendo igualment~ para el ~aso en el que la ener

gid cs'

ot.lencmos;

1 ,000.000 ev

v : 0 . 93 c

-" : 1.6 )1 10 joule s

Rpta: (a) v: 0.511 c

(b) v: 0.93 e

3. (d) La mdsa de un cu erpo en reposo es de 0.010 kg. ¿Cu~l

~s s u mas a cua nd o se mueve con un3 v e locidad de 3.0 x 107

m/seg con relaci~n al o bservado r ? ¿C ual e s , si la velocj 8 dad es de ~.7 )1 1 0 m/seg? (b) Compa rar las energl as cin!

ticas cl~sica y relativista para estos casos. (e) ¿C61:1 o

ser ían la s cosas si el observador , o el aparato de medi

c16n , e stuvieran mo ntados s obre e l cuerpo?

Oa t os: mo

: 0.01 kg , v I:

, 3 )1 10

" 2 2 .7 x 1 0 m/seg.

So lucion: (a) La s ma s a s se rin .

J, mo

- (

"

J •

( b) L., en e r gías c in é ti e .. s c Ui sicos , 1 1 0 7 ) :.>

'lo - 1 /2 m • - (O . GI ) {;¡ • o 1 2

2 1 ( 0 . 0 1)( 2 . 7 108 ) 2 t;~c - • • • 2 o , 2

2 .7 )1 1 0

0 . 0 1 kg

: 0.23 k g

s e r.'i n :

" . s • 1 017

joul e s

3.6 9~ • 1 0 J I¡ jou l es



~ .. )-Jj _ _

- 217 -

~ r.: ("' [1 o

1

, J

" ln j d - -./e « 1, to~ lérminos des¡>u.'; >l, j a ~ i;:'

,

1 ,

+ ------ - 1 )

( 0 . 01){3 K 10 7 )2

" ;¡ e .'i\ .! nlv' ,

jo ule ::;.

'" ! o joule !>

C omp~randD l as energias c l~sic ' y relat i vist3 ten e mo s :

1 • 3.695 JI 10

1"

14 11 .7 l< 10

= O. 3

(e) En es t e caso seg ú n l a f i s i ca cl ~ s i cd l a en e r gl a cin é ti

c a ser Ia nula, pu e s t o Que vp

~ O , pe r ~ según l a fts iea

relativista la energl . cinEtica s e r.i:

K = lime ,

3". De acuerdo con el B r i t~ n i ca Ye arbook lo s Es t ado s Un i d o s

consumieron 563 x 1012

vatt-h de energ l a elé c t r ica e n 1956

¿Cuan t o s kilog r amOs de mat e r i a l tendr I an q u e dest r uirs e

por co~pleto para prod ucir e sa energla?

Soluci6n: Como el proceso es reversible pued~ oc u rri r

una materia l i~aci6n de l a masa a p arti r d e l a

energla o viceve r sa.

, =""2 ,

----- (1)

P J 5631110 ·watt-hxl.6xlO jQulesjwa t t - h =

(3 1( 1 0 6 ) 2

Rpta: !lIm = 22.S~ ~S.

22.52 kg.



-218-

]~. S~ lrel que el ~ol obtiene su energIa po~ un pro~eso d~ f!

s i ór, .. " el cu .. ':' cuatro átolJlos de hid r ógen o se tl·;¡nsfor .. a"

el. "'/1 a to,",,, de helio con e .. isi ó n de energI a en -divel"sas

Si un At o.o de hidrógeno t iene u n a

~~Sd en repol~ de 1. 008 1 unidades de masa a t6~lca (viase

. J [j o 7J Y un !t~IJI O de h.lio posee una ~asa en rep oso de

~ .0039 vni rlad es de mas a atómica , calcular la en e rgta d es

Frend id~ en c a da pr oces o d. fusión.

~: ~H ~ 1.0081 , "He ~ ~.00J9

Sol uc1 6n: La lIIaSd to tal da los" AtolDos de H será

.. x 1. 008 1 • " .032"

be .a s ~ q ue se ha trans f ol"mad o en energl a será:

11\ - .. ni!! - "'He ~ ".032" - ".00393 0.028$ u de ma sa ató-

n. i c a.

-21 .. • O. O] iI ~ u de 111 a t ó .. i c a x "¡-O-' ;;6!6-;'i;""O;-"..;k~If;-,

1 u. de 11\ at611llce.

La energla desprendida en cada p r oceso de fus ión.

, . - 2 7 8 '1

[ ~ (0. 0 28$ x 1.66 x 10 )(3 x 10 )

." ~ 26. $ Jot .. v .

36. !XI diodo al vacío a:nsist.e de m Anodo c1l!R1rioo que encierra tri cato -16-

en c1l!nd:rioo. U"l electrón, Oln r.na. ene%91a potend.al de 4.8 x 10

joJ.les ccrr rel;w::i(:r¡ al ánodo, aale de la ~fid.e del c!tQ:b cx:n una

velocidad inicial cero . ~ase que el electr6n no d10CiI ClOrltra ni.n

gula rroléc:u.la del aire y que la fuerza 9ravitacicnal es insiqnificante

(a) ¿()Jé crercfla cinética tendrS el eler:t.t"6n cuanio da¡ue a:nua el ! - 31 -

no:Io? lb) 'l'alIardo c::aro 9. 1 x 10 kq la nasa del electr6n. cnc:mua:r

su veloc1~ final. (e) ¿Se justifica usar las rellloCiones c:U.sicas de

energía cinética y de mas". en lu:¡ar de las relativistas?

-16 (a) La energid cin it ica s era " .8 x 1 0 j oul e s puls la e-



-2 19-

nerg l a ¡lote r. ;:i" l ~" r e l a t iva al ' !lo d o 'i .. l llega? d e s t e

s e tra nS f Ol'I' d en . ,, ~r gla ci nética.

b ) La velo e id~d fj' ,al

e ) S i, por4.U ~ la v elocid " d n o se 3 prox ima a l a d e la lu ~

7 / • v /e ~ &.b x 1 0 . 3 x 10 ; O. '} }

y : O.?:i e

p~, t a : . ) , , .. , 10 - 16 joul es

b) " • 6.6 , 1 07

II /s eg

" 51 . " " • O. 1 2



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