Capa Límite Turbulenta sobre Placa Plana.

Las ecuaciones y otras propiedades de la capa límite turbulenta se obtienen empíricamente, no se pueden resolver analíticamente ya que los flujos turbulentos son caóticos donde las propiedades pasan de unas zonas a otras del fluido en cualquier dirección, sin orden aparente además de ser inherentemente no estacionarios y la forma del perfil de velocidad instantánea varía con el tiempo además que estos flujos son de comportamiento caótico desarrollando turbulencia. Las expresiones para el flujo representan valores promediados en el tiempo, se usan como objeto de resolver la totalidad de la capa límite turbulenta que éste en equilibrio completamente desarrollado.

La ilustración de la condición no estacionaria de una capa límite turbulenta; las delgadas líneas negras onduladas son perfiles instantáneos, y la línea gruesa rosa es un perfil promediado en el tiempo largo, esto se puede observar en la Fig1.

Fig1.

Una aproximación empírica común para el perfil de velocidad promediado en el tiempo de una capa límite turbulenta sobre la placa plana es la ley de un séptimo de potencia.

uU≅ ( y

δ )17 (1 )para y≤δ →

uU

≅ 1 para y>δ

δ no es el espesor de la capa límite definido como la distancia de la pared a la posición donde la velocidad es de 99% de velocidad de flujo libre, sino más bien el borde verdadero de la capa límite, a diferencia del δ para flujo laminar. La Fig2, representa la ecuación (1) e indica la comparación de perfiles de capa límite laminar y turbulenta sobre placa plana en variables físicas en la misma posición x, el número de Reynolds es Rex=1.0x106. Se gráfica también el perfil de velocidad de capa límite laminar sobre la placa plana, con el uso de y/δ para el eje vertical en vez de la variable de similitud ƞ; por medio de la solución de Blasius, en la Fig3 se presenta el Perfil de Blasius en variables de similitud para la capa límite que crece sobre una placa plana semiinfinita, los datos experimientales son a Rex=3.64x105.

Fig.2 Fig.3

Una capa límite turbulenta tiene un grado mayor de mezcla cuando se compara con una capa límite laminar. En el caso laminar, el fluido se mezcla lentamente debido a la difusión viscosa. Los grandes remolinos en un flujo turbulento provocan el proceso de mezclas más rápido y completo.

L a forma aproximada del perfil de velocidad de la capa límite turbulenta de la ecuación empírica de la ley de un séptimo de potencia, no es físicamente significativa muy cerca de la pared (y→0) ya que predice que la pendiente (∂U/∂y) es infinita en y=0. Mientras que la pendiente en la pared es muy grande para una capa límite turbulenta, no obstante es finita. La gran pendiente en la pared conduce a un esfuerzo de corte muy alto.

τ w=μ( ∂u∂ y )

y=0(2)

Por lo tanto, la correspondiente alta fricción local a lo largo de la superficie de la placa (comparada con una capa límite laminar del mismo espesor).

En la tabla 1 se comparan expresiones para δ , δ¿ , θ yCf ,x para capa límite laminar y turbulenta sobre una placa plana lisa. Las expresiones de la tabla 1 para la capa límite turbulenta sobre la placa plana son válidas sólo para una superficie muy lisa.

Fig.4*Los valores laminares son exactos y se mencionan a tres cifras significativas, pero los valores turbulentos se mencionan sólo a dos cifras significativas debido a la gran incertidumbre relacionada con todos los campos de flujo turbulento.†Obtenidos a partir de la ley de un séptimo de potencia.‡ Obtenidos a partir de la ley de un séptimo de potencia combinada con datos emíricos para flujo turbulento en tuberías lisas. La ley de un séptimo de potencia no es la única aproximación, otra aproximación común es la ley de logaritmo, expresión semiempírica que demuestra ser válida no sólo para capa límite sobre placa plana, sino también para perfiles de velocidad de flujo turbulento en tubería. Está aproximación es aplicable para casi todas las capas límite turbulentas acotadas por la pared, no sólo para flujo sobre una placa plana, además generalmente se expresa en variables adimensionales por medio de una velocidad característica llamada velocidad de fricción u¿ ou¿.

Ley de logaritmo: uu¿

=1kln

y u¿

v+B(3)

donde

Velocidad de fricción: u¿=√ τw

ρ(4 ) y k y B son constantes, sus valores usuales son k=0.4 a 0.41 y

B=5.0 a 5.5.

Desafortunadamente, la ley de logaritmo sufre del hecho de que no funciona muy cerca de la pared (ln 0 está indefinido)y se desvía de los valores experimentales cerca del borde de la capa límite. Por otro lado, aplica a través de casi toda la capa límite turbulenta sobre la placa plana y es útil porque relaciona la forma del perfil de velocidad al valor local del esfuerzo de corte.

Una expresión válida en todas partes de la capa límite turbulenta la creó D.B. Spalding en 1961; se llama “ley de Spalding”.

yu¿

v= u

u¿+e−¿¿

En zonas muy cercanas a la pared los esfuerzos turbulentos son despreciables frente a los viscosos, y se cumple la siguiente ley lineal:

u+¿= u

u¿=y u¿

v¿

Parámetro y+¿∴ y+¿=

y u¿

v ¿¿ es el 2% de espesor de capa límite.

En la Figura 5 se representa la comparación en variables adimensionales de las expresiones de perfil de capa límite turbulenta de placa plana a Rex=1.0x107 para la aproximación de un séptimo de potencia, ley de logaritmo y ley de Spalding. También se muestran para comparación los datos experimentales típicos y la ecuación de subcapa viscosa (u+=y+).

Fig.5

Capas límite con gradiente de presión

Para los ingenieros son de preocupación más práctica las capas límite sobre las paredes de forma arbitraria.

-Influyen flujos externos sobre cuerpos sumergidos en un flujo libre (Figura 6) , así como algunos flujos internos como los flujos en túneles de viento, eyectores y otros grandes ductos, en los que las capas límite se desarrollan a lo largo de las paredes. -Las capas límite con gradientes de presión distintos de cero pueden ser laminares o turbulentos. -Predice bien el punto de separación, pero no predice correctamente el comportamiento más allá de él.

Se usan los resultados de capa límite sobre placa plana con gradiente cero de presión como estimaciones para casos tales como:

-Ubicación de transición a turbulencia.-Espesor de la capa límite.-Fricción local, etc.

Recapitulando, una resolución de mayor precisión es resolver la ecuación de cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para un caso dimensional estacionario laminar en capa límite siguiendo el procedimiento que se comentó anteriormente (Figura 7), éste es relativamente

fácil en comparación con una placa plana donde el gradiente de presión UdUdx

≠0 en la ecuación

de cantidad de movimiento de x es distinto de cero. Se puede complicar rápidamente el análisis, en especial para el caso de flujos tridimensionales. Por ello, solo se comentan algunas características cualitativas de las capas límite con gradientes de presión de presión diferentes de cero.

Los conocimientos básicos para las características cualitativas de las capas límite con gradiente de presión distinta de cero, son los siguientes:

Gradiente de presión favorable, ocurre cuando el flujo en la región de flujo exterior invíscido y/o irrotacional acelera, U(x) aumenta y P(x) disminuye. Se le considera favorable, ya que la capa límite en este flujo en aceleración de manera usual es delgada, se abraza a la pared y no es probable separarla. Se puede observar este comportamiento en la Figura 8.

Gradiente de presión desfavorable o adverso, ocurre cuando el flujo exterior invíscido desacelera, U (x) disminuye y P(x) aumenta. Se le considera una condición no deseable ya que la capa límite por lo general es más gruesa, no se abraza a la pared y es mucho más probable separarla. Se puede observar este comportamiento en la Figura 9.

Fig.6.-Distinción entre flujo adherido y flujo separado. Zonas de flujo separado: estructuras caótica con macroturbulencia (baja velocidad media y baja presión)

Fig.7.- Flujo de capa límite sobre una placa plana (caso de gradiente de presión nulo).

Fig.8.- Flujo de capa límite en un conducto convergente (caso de gradiente de presión favorable).

Fig.10.- Flujo de capa límite en un conducto divergente (caso de gradiente de presión adverso). En esta situación se observa la separación de la capa límite cuando el gradiente adverso es excesivo.

Un ejemplo característico de la condición favorable y no favorable (Figura 11), es en la representación de la ala de un avión, donde la capa límite en la porción frontal del cuerpo está sujeta a un gradiente de presión favorable, mientras que en la porción posterior, está sujeta a un gradiente de presión adverso.

dPdx

=−ududx

≫∴ separacióndecapa límite de la pared

Fig.11

Los perfiles aerodinámicos con gradiente de presión adverso en la separación en flujos externos se representan con los siguientes ejemplos:

Flujo sobre el ala de un avión.

El flujo laminar va perdiendo velocidad a lo largo de la capa límite, hasta que finalmente se para o incluso retrocede, provocando que la capa límite se desprenda y el flujo ya no siga la forma de la superficie. El gradiente de presión adverso es lo suficientemente intenso (dP/dx= -U dU/dx).

Este efecto es especialmente perjudicial en el ala de un avión, ya que la sustentación depende de que el flujo siga la forma del perfil del ala. El desprendimiento de la capa límite de las alas es lo que ocurre cuando se dice que el avión “entra en pérdida” (deja de sustentar y cae). Una capa límite turbulenta, hace que la energía cinética de la zona exterior, se transmita al interior, estimulando el avance de las zonas de menor velocidad, por lo que el desprendimiento tarda mucho más en ocurrir, y el avión es mucho menos propenso a entrar en pérdida. Una capa límite turbulenta, muchas veces consigue reducir bastante la resistencia aerodinámica al retrasar el desprendimiento. La representación se puede observar en la Figura 12.

Perfil aerodinámico: Flujo adherido a bajo de ataque Eliminación de la separación de flujo por (izquierda). Flujo separado a gran ángulo (derecha). modificación de la geometría.

Fig.12

Perfil aerodinámico con ángulo de ataque moderado.

-Línea de corriente cerrada (región de flujo de recirculación) indica la presencia de burbuja de separación.

-La separación conduce a flujo inverso cerca de la pared. Esto indica que la ecuación ya no es parabólica, por lo tanto, las ecuaciones de capa límite son inaplicables.

“Las ecuaciones de capa límite no son válidas corriente debajo de un punto de separación, debido al flujo inverso en la burbuja de separación, por lo que ahora deben aplicarse las ecuaciones de

Navier-Stokes completas”

Perfil aerodinámico a un ángulo de ataque demasiado elevado.

-El punto de separación se mueve cerca del frente del perfil aerodinámico.

-La burbuja de separación cubre casi toda la superficie superior de la sección aerodinámica, lo que se conoce como entrada en pérdida.

-Entrada en pérdida, es acompañada de sustentación y aumenta el arrastre aerodinámico.

En la separación en un flujo externo e interno se pueden observar en la Figura 13.

Fig.12.- Separación de la capa límite laminar sobre un cilindro circular, se observa la inversión de flujo que caracteriza a la separación y la separación en un conducto divergente, se observa la

inversión de flujo que caracteriza a la separación.

Separación en un difusor.

-Frecuentemente la separación ocurre de manera asimétrica sólo en un lado del difusor. Por lo tanto, el cálculo del flujo exterior a la capa límite en el difusor, ya no es válido. Esto se debe a que la aproximación de la capa límite ya no es válida.

-En este caso, la separación de flujo conduce a una disminución significativa de recuperación de presión, es decir, desprendimiento de flujo.

Perfil de Velocidad.

El perfil de velocidad, por la condición de no deslizamiento en la pared:

u∂u∂x

+v∂u∂ y

=ududx

+ν∂2u∂ y2

∴ν ( ∂2u∂ y2 ) y=0

=−ududx

=1ρ

dPdx

(1)

Para gradientes de presión favorable;

dudx

>0∴ ∂2u∂ y2

<0

Por definición, conforme u tiende a U(x) en el borde de la capa límite, ∂2u∂ y2

<0.

Esto conduce que el perfil de velocidad a través de la capa límite, debe ser redondeado sin punto de inflexión.

Para gradientes de presión cero;

dPdx

=0∴( ∂2u∂ y2 )y=0

Esto evidencia que u crece linealmente respecto a y, cerca de la pared.

Para gradientes de presión adversos;

dudx

<0∴ ∂2u∂ y2

>0

Si por definición, conforme u tiende a U(x) en el borde de la capa límite, ∂2u∂ y2

<0,

la condición anterior la satisface. Esto conduce a un punto de inflexión, ∂2u∂ y2

=0,

en el alguna parte de la capa límite.

Esfuerzo de Corte.

Su definición es;

τ w=μ( ∂u∂ y )

y=0

Las consideraciones generales son las siguientes:

-El espesor de la capa límite aumenta conforme dPdx

cambia de signo.

-Si dPdx

adverso es muy grande, ( ∂u∂ y )

y=0→0∴Punto de separación .

-Más allá del punto de separación, hay flujo inverso y burbuja de separación. En esta región, τ w<0,

dado que ( ∂u∂ y )

y=0<0.

Se considera que la capa límite es adecuada hasta el punto de separación, pero no más allá de él.

El punto de separación se caracteriza por tener una velocidad y un gradiente de velocidad nulo en la pared.

Técnica de la integral de la cantidad de movimiento para capas límite.

En muchas aplicaciones prácticas de ingeniería no es necesario conocer todos los detalles adentro de la capa límite ; más bien se busca conocer las estimaciones razonables de las características generales de la capa límite como el espesor y el coeficiente de fricción local. La técnica de la integral de la cantidad de movimiento utiliza un método de volumen de control para obtener estas aproximaciones de las propiedades de la capa límite a lo largo de superficies con gradientes de presión cero o distintos de cero. La técnica de la integral de la cantidad de movimiento es

directa, y en algunas aplicaciones no se necesita usar computadora. Es válida tanto para capas límite laminar como turbulenta.Se comienza con el volumen de control que se muestra en la Figura 13. La parte inferior del volumen de control es la pared en y=0, y la parte superior está en y=Y, lo suficientemente alejada de la pared como para encerrar toda la capa límite. El volumen de control es una rebanada infinitesimalmente delgada de ancho dx en la dirección x. En concordancia con la aproximación de capa límite, ∂P/∂y=0, de modo que se supone que la presión P actúa a lo largo de toda la cara izquierda del volumen de control: P cara izquierda = P

En el caso general con gradiente de presión distinto de cero, la presión en la cara derecha del volumen de control difiere de la presión de la cara izquierda. Cuando se usa una aproximación en serie de Taylor truncada de primer orden, se establece:

Pcara derecha=P+ dPdx

dx(2)

De manera similar se escribe la razón de flujo de masa entrante a través de la cara izquierda como:

mcara izquierda=ρw∫0

Y

udy (3)

Y la masa saliente a través de la cara derecha como:

mcara derecha=ρw [∫0Y

udy+ ddx (∫

0

Y

u dy)](4)donde w es el ancho del volumen de control que se muestra en la Figura 13.

Fig.13.-Volumen de control que se usa en la deducción de la ecuación integral de la cantidad de movimiento.

Dado que la ecuación (3) difiere de la (2), y puesto que ningún flujo puede atravesar el fondo del volumen de control (la pared), la masa debe fluir hacia o desde la cara superior del volumen de control. Esto se ilustra en la Figura 14 para el caso de una capa límite creciente en la que mcara derecha<mcaraizquierda, y msuperiores positivo (la masa fluye hacia fuera). La ley de conservación de masa aplicada al volumen de control produce:

msuperior=−ρwddx (∫

0

Y

ud y)dx (4)

Ahora se aplica la ley de conservación de la cantidad de movimiento en x para el volumen de control elegido. La cantidad de movimiento en x se lleva a través de la cara izquierda y se elimina a través de las caras derecha y superior del volumen de control. El flujo de cantidad de movimiento neto afuera del volumen de control debe equilibrarse con la fuerza debida al esfuerzo cortante que actúa sobre el volumen de control mediante la pared y la fuerza de presión neta sobre la superficie de control, como se muestra en la Figura 14. Por lo tanto, la ecuación de cantidad de movimiento en x para el volumen de control en caso estacionario es:∑ F x, cuerpo+∑ Fx ,superficie

se ignora gravedad Y W P−Y W P+ dPdx

dx−wdx τw

¿∫¿

❑

ρu V ∙ n dA+ ∫¿ face

❑

ρu V ∙ n dA+∫top

❑

ρuV ∙ n dA

−ρw∫0

Y

u2dy ρw [∫0Y

u2dy+ ddx (∫

0

Y

u2dy )dx ] mtopU

Donde el flujo de la cantidad de movimiento, a través de la superficie superior del volumen de control, se toma como la razón de flujo de masa a través de esta superficie multiplicada por U. Algunos términos se cancelan y la ecuación se reescribe como:

−YdPdx

−τw=ρddx (∫

0

Y

u2dy)−ρUddx (∫

0

Y

udy )(5)donde se usó la ecuación (4) para msuperior, y w y dx se cancelan de cada término restante. Por

conveniencia, note que Y=∫0

Y

dy. A partir del flujo exterior (ecuación de Euler), dPdx

=−ρUdUdx

.

Después de dividir cada término en la ecuación (5) entre la densidad ƿ, se obtiene:

UdUdx

∫0

Y

dy−τW

ρ= d

dx (∫0

Y

u2dy )−Uddx (∫

0

Y

udy)(6)La ecuación (6) se simplifica cuando se utiliza la regla del producto de diferenciación a la inversa como se puede observar en la Figura 15. Después de cierto reordenamiento, la ecuación (6) se convierte en:

ddx (∫

0

Y

u (U−u ) dy )+ dUdx

∫0

Y

(U−u ) dy=τw

ρ

donde se tiene la posibilidad de poner U adentro de las integrales ya que en cualquier posición x dada, U es constante respecto a y (U es una función sólo de x).

El primer término se sustituyó infinito en vez de Y en el límite superior de cada integral ya que u=U para toda y mayor que Y, y por tanto el valor de la integral no cambia por esta situación.

Previamente se definió el espesor de desplazamiento δ ¿ y el espesor de la cantidad de movimiento θ para una capa límite de placa placa plana. En el caso general con gradiente de presión distinto de cero, se define δ ¿y θ de la misma manera, excepto que se usa el valor local de la velocidad de flujo exterior, U=U(x) , en una posición x dada en vez de la constante U ya que U ahora varía con x. Por lo tanto, la ecuación (6) puede escribirse en forma más compacta como:

Ecuación integral de Kármán: ddx

(U 2θ )+UdUdx

δ¿=τw

ρ(7)

La ecuación (7) se llama ecuación integral de Kármán en honor a Theodor von Kármán (1881-1963), estudiante de Prandtl, quien fue el primero en deducir la ecuación en 1921. Otra forma de la ecuación (7) se obtiene cuando se realiza la regla del producto sobre el primer término, se divide entre U2 y se reordena:

Ecuación integral de Kármán, forma alternativa:C f , x

2=dθ

dx+(2+H ) θ

UdUdx

(8)

donde se define el factor de forma H como:

Factor forma: H= δ ¿

θ(9)

Y el coeficiente de fricción local Cfx como:

Coeficiente de fricción local: C f , x=

τw

12

ρ U 2(10)

Note que tanto H como Cf,x son funciones de x para el caso general de una capa límite con un gradiente de presión distinto de cero que se forma a lo largo de una superficie.

De nuevo se hace énfasis en que la derivación de la ecuación integral de Kármán y las ecuaciones (7) a (10) son válidas para cualquier capa límite de flujo estacionario de fluido incompresible a lo largo de una pared, sin importar si la capa límite laminar, turbulenta o está en alguna parte intermedia. Para el caso especial de la capa límite sobre una placa plana, U(x)=U=constante, y la ecuación (8) se reduce a:

Ecuación integral de Kármán, capa límite sobre placa plana: C f , x=2dθdx

(11)

Fig.14.-Equilibrio de flujo de masa Fig.15.-La regla del producto en el volumen de control.