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Capıtulo 2.
Cinematica en una dimension
La meanica, la mas antigua de las ciencias fısicas es el estudio del movimiento delos cuerpos.
1. Distincion entre cinematica y dinamica
Cuando describimos el mvimiento nos ocupamos de la parte de la mecanica quellamamos cinematica.
Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en el y conlas propiedades de los cuerposen movimiento, nos ocupamos de la dinamica.
2. Concepto de partıcula
Matematicamente una partıcula se considera como un punto, como un objeto sintamano de manera que no hay que hacer consideraciones de rotacion o vibracion.
En realidad no existe en la naturaleza nada que pueda llamarse un objetosin extension. Sin embargo, los objetos reales a menudo se comportan, con granaproximacion como partıculas. Un cuerpo no necesita ser realmente pequeno parapoder ser tratado como partıcula. Por ejemplo, con respecto a la distancia tierrasol, el sol y la tierra pueden ser tratados ordinariamente como partıculas:
RT
D∼ 106
1011= 10−5
3. Espacio y tiempo
Vamos a tratar estos dos conceptos no desde un punto de vista filosofico (¿ Queson?) sino en su relacion con el movimiento de los cuerpos.
17
18 Capıtulo 2
3..1 Movimiento
A un cuerpo le asignaremos una posicion en el espacio en un instante de tiempo.Como varie una en funcion del otro nos proporcionara su movimiento.
3..2 Medida
Intuitivamente estamos introduciendo la observacion cuantitativa, es decir la medicion.Con un patron de longitud podemos medir la distacia recorrida y con un patronde tiempo el tiempo empleado. El hecho de que Galileo se plantease tales medidasdio lugar al nacimieto de la Fısica como ciencia, separandose ası de la filosofıa parala cual los razonamientos sobre los hechos naturales eran suficiente prueba de losmismos.
3..3 Homogeneidad del tiempo
En lo que hemos dicho hasta ahora es imprescindible hacer una suposicion de par-tida: el patron de tiempo no varıa con el transcurso del mismo. Como no podemoscontrastarlo experimentalmente consideramos la homogeneidad del tiempo comouna hipotesis necesaria.
4. Movimiento en una dimension
4..1 Posicion
Puesto que el movimiento se realiza en una recta, llamaremos ~i al vector unitarioen la direccion positiva, de manera que la posicion de la partıcula e un instantedado sera:
~r(t) = x(t)~i (4.1)
Podemos representar la curva x(t) que denominaremos trayectoria de la partıcula
4..2 Velocidad
Da cuenta de la rapidez con que varıa la posicion con el tiempo y se define como:
~v(t) = ~r(t) =d ~r(t)
dt= x~i (4.2)
Cinematica en una dimension 19
1t
Figura 2..1: Posicion,velocidad y tiempo
4..3 Aceleracion
Da cuenta de la rapidez con que varıa la velocidad con el tiempo y se define como:
~a(t) = ~v(t) =d2 ~r(t)
dt2= x~i (4.3)
4..4 Ejemplos
Ejemplo 1
¿Es posible que una persona camine a traves de una habitacion con velocidadnegativa y aceleracion positiva?. Poner un ejemplo y hacer un grafico.
Supongamos que inicialmente su velocidad es ~v = −v0~i donde v0 > 0 y que
acelera con una aceleracion constante ~a = a0~i con a0 > 0.
El movimiento sera:~x = (−v0t + a0t
2/2)~i
de forma que~v = (−v0 + a0t)~i
que esta dirigida en la direccion negativa del eje x en el intervalo temporal
0 < t < v0/g
mientras que la aceleracion esta siempre dirigida en la direccion positiva deleje x
20 Capıtulo 2
5. Condiciones iniciales
Conocida la aceleracion que tiene una partıcula en una dimension
~a = a(t)~i (5.4)
podemos determinar su velocidad y posicion mediante dos integraciones sucesivas.En cada integracion hay que introducir una constante arbitraria. Ello significaque hay infinitas trayectorias posibles con la misma aceleracion, tantas como losdiferentes valosres de las constantes arbitrarias. El movimiento concreto de unapartıcula dada dependera de los valores particulares que tomen estas constantes.Para fijarlas hay que conocer la posicion y la velocidad inicial
5..1 Posicion inicial
5..2 Velocidad inicial
6. Movimiento uniformemente acelerado
6..1 Caıda libre
(Resnick 3-10, 3-11)
Cinematica en una dimension 21
Problemas el Tema II (5-10-2008)
1.) La posicion de una partıcula que se mueve a lo largo del eje de las x dependedel tiempo de acuerdo con la ecuacion
x = a0t2 − b0t
3
en donde x esta en cm y t en segundos
a) ¿Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0?
b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respec-tivamente.Si parte del arigen, ¿Cuanto tarda la partıcula en recorrer la maximadistancia posible hacia la derecha?
c) ¿En que posicion se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. ¿Conque velocidad?. ¿Con que aceleracion?.
2.) Una partıcula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleracionque aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleracionk = 1, 5 m/sg3
a) Hacer una grafica de a en funcion de t durante el primer intervalo de 10sg
b) Hacer la grafica de v en funcion de t en el mismo perıodo y calcular lavelocidad a los 5sg de empezar el movimiento
c) Hacer la grafica correspondiente de x en funcion de t y determinar lo que haavanzado la partıcula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5
3.) La posicion de una partıcula que se mueve a lo largo del eje x varıa con eltiempo segun la ecuacion
x =v0
k(1− e−kt)
en la cual v0 y k son constantes
a) Hacer una grafica de x en funcion de t
b) Determinar la distancia total que recorre la partıcula
c) Demostrar que la aceleracion esta dirigida en sentido contrario a la velocidad
d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una dis-tancia finita
4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche saledel mismo lugar a 80Km/H. ¿Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzaral primero y a que distancia de la ciudad ocurre?
5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche salede A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h,determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo despues de haber salido
6.) Una partıcula sigue un movimiento rectilıneo dado por x = 6at− bω3 sen(ωt).En t = 0 su velocidad y posicion son cero. Determinar la posicion y velocidad encualquier instante
22 Capıtulo 2
7.) Una partıcula sigue un movimiento rectilıneo con una velocidad dada porv = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2,determinar posicion, velocidad y aceleracion como funciones del tiempo8.) Una partıcula se mueve en en el seno de un lıquido con una aceleracion opuestaa la velocidad en forma a = −kv2. Determinar la velocidad en funcion del tiempoy de la posicion si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0.9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante elultimo segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la alturadesde la cual cae.10.) Un globo va subiendo a razon de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 msobre el suelo suelta un paquete. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar alsuelo?11.) Un paracaidista despues de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hastaque se abre el paracaidas que le frena a razon de 2 m/sg2. LLega al suelo con unavelocidad de 3 m/sg
a) ¿Cuanto tiempo ha estado en el aire?b) ¿Desde que altura salto?
12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. Demostrar que la altura quealcanza es la mitad de la que alcanzarıa en el mismo tiempo si no hubiese gravedad.13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. En cada rebote pierde 2/3de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorridodurante ese tiempo. Determinar cual serıa la velocidad equivalente a la que sehubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer lamisma distancia en el mismo tiempo.14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. ¿ Conque velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo despues para que alcance a lamoneda a 15 m del suelo?
Cinematica en una dimension 23
7. Problemas
1.) La posicion de una partıcula que se mueve a lo largo del eje de las x dependedel tiempo de acuerdo con la ecuacion
x = a0t2 − b0t
3
en donde x esta en cm y t en segundos
a) ¿Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0?
b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respec-tivamente.Si parte del arigen, ¿Cuanto tarda la partıcula en recorrer la maximadistancia posible hacia la derecha?
c) ¿En que posicion se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. ¿Conque velocidad?. ¿Con que aceleracion?.
Solucion
• a)
[a0] = LT−2 [b0] = LT−3
• b)
dx
dt= 0 =⇒ 2a0t− 3b0t
2 = 0 =⇒ t =2a0
3b0
= 2sg
x(t = 2sg) = 4cm
• c)
x(t = 4sg) = −16cm
v = 2a0t− 3b0t2 =⇒ v(t = 4sg) = −24cm/sg
a = 2a0 − 6b0t =⇒ a(t = 4sg) = −18cm/sg2
24 Capıtulo 2
–20
–15
–10
–5
0
5
1 2 3 4t
Problema 1: Posicion, velocidad y aceleracion
Cinematica en una dimension 25
2.) Una partıcula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleracionque aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleracionk = 1, 5 m/sg3
a) Hacer una grafica de a en funcion de t durante el primer intervalo de 10sgb) Hacer la grafica de v en funcion de t en el mismo perıodo y calcular la
velocidad a los 5sg de empezar el movimientoc) Hacer la grafica correspondiente de x en funcion de t y determinar lo que ha
avanzado la partıcula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5
Solucion
0
50
100
5t
Problema 2: Posicion, velocidad y aceleracion
26 Capıtulo 2
3.) La posicion de una partıcula que se mueve a lo largo del eje x varıa con eltiempo segun la ecuacion
x =v0
k(1− e−kt)
en la cual v0 y k son constantesa) Hacer una grafica de x en funcion de tb) Determinar la distancia total que recorre la partıculac) Demostrar que la aceleracion esta dirigida en sentido contrario a la velocidadd) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una dis-
tancia finita
Solucion
a)
–1
0
1
5t
Problema 3: Posicion, velocidad y aceleracion
b) el maximo de x se alcanza cuando
dx
dt= 0 =⇒ 0 = v0e
−kt =⇒ t = ∞luego
xm = x(t = ∞) =v0
k
Cinematica en una dimension 27
c)
v =dx
dt= v0e
−kt
a =dv
dt= −kv0e
−kt = −kv
d) Igual que Aquiles y la tortuga
28 Capıtulo 2
4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche saledel mismo lugar a 80Km/H. ¿Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzaral primero y a que distancia de la ciudad ocurre?
Solucion
Seav1 = 70km/h = 70.103/3600m/sg = 700m/36/sg
v2 = 80km/h = 800m/36sg
t0 = 15s
0
50
100
150
200
1 1.5 2t
Problema 4: Posicion de los dos coches
• El movimiento del primer coche sera
x1 = v1t
• el del segundox2 = v2(t− t0)
• Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primercoche tal que
v1T = v2(T − t0)
T =v2
v2 − v1
t0 =1
1− v1
v2
t0
T = 15sg1− 7/8 = 120sg = 2h.
• En este periodo han recorrido un espacio
x1(T ) = 70km/h.2h = 140Km
Cinematica en una dimension 29
5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche salede A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h,determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo despues de haber salido
Solucion
Seav1 = 60km/h = 60.103/3600m/sg = 600m/36/sg
v2 = 75km/h = 7500m/36sg
x0 = 54km
0
20
40
0.2 0.4t
Problema 5: Posicion de los dos coches
• Tomando el origen en A El movimiento del primer coche sera
x1 = v1t
• el del segundox2 = x0− v2t
• Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primercoche tal que
v1T = x0− v2T
T =x0
v2 + v1
=54km
135km/h= 0.4h
• En este periodo han recorrido un espacio
x1(T ) = 60km/h.(0.4h) = 24Km
30 Capıtulo 2
6.) Una partıcula sigue un movimiento rectilıneo dado por x = 6at− bω3 sen(ωt).En t = 0 su velocidad y posicion son cero. Determinar la posicion y velocidad encualquier instante
Solucion
• Integrando x = 6at− bω3 sen(ωt)
x = 3at2 + bω2 cos(ωt) + c1
con las condiciones iniciales dadas c1 = −bω2
v = 3at2 + bω2 cos(ωt)− bω2
• Integrando la velocidad
x = at3 + bω sin(ωt) + c2
donde c2 = 0 de acuerdo con las condiciones iniciales
Cinematica en una dimension 31
7.) Una partıcula sigue un movimiento rectilıneo con una velocidad dada porv = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2,determinar posicion, velocidad y aceleracion como funciones del tiempo
Solucion
Problema 7: Posicion, velocidad y aceleracion• Integrando dx
dt= k/x
1/2x2 − kt + c1 = 0
con las condiciones iniciales dadas c1 = −2
x =√
2kt + 4
• derivando
v =k√
2kt + 4
a =k2
(√
2kt + 4)3
32 Capıtulo 2
8.) Una partıcula se mueve en en el seno de un lıquido con una aceleracion opuestaa la velocidad en forma a = −kv2. Determinar la velocidad en funcion del tiempoy de la posicion si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0.
Solucion
Problema 8: Grafica de v en funcion de x
a = −kv2
dv
v2= −kdt
integrando1
v= kt +
1
v0
=⇒ v =v0
1 + v0kt
integrando de nuevo
x =1
kln
v0
v
o bien, eliminando el tiempov = v0e
−kx
Cinematica en una dimension 33
9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante elultimo segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la alturadesde la cual cae.
Solucion
Las condiciones iniciales sonz(0) = h
z(0) = 0
y por tanto
z = h− 1
2gt2
v = −gt
El tiempo total T de caida corresponde a
z(T ) = 0 = h− 1
2gT 2 =⇒ T = +
√2h
g(1)
Sea t0 = 1sg, entonces en T − t0 recorre h2
z(T − t0) =h
2= h− 1
2g(T − t0)
2 =⇒ T − t0 = +
√h
g(2)
Combinando (1) y (2)
√2h
g−
√h
g= (
√2− 1)
√h
g=
1
(√
2 + 1)
√h
g= t0
Despejando h:
h = g(√
2 + 1)2t20 = 57.1 m
T = (2 +√
2)t0 = 3.4 sg
34 Capıtulo 2
10.) Un globo va subiendo a razon de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 msobre el suelo suelta un paquete. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar alsuelo?
Solucion
La altura inicial es:h = 80 m
Su velocidad inicial esv0 = 12 m/sg
luego
z = h + v0t− 1
2gt2
El tiempo que tarda en llegar al suelo es:
z(T ) = 0 =⇒ h + v0T − 1
2gT 2 = 0
T =v0
g
[1 +
√1 +
2gh
v20
]= 5.4 sg
Cinematica en una dimension 35
11.) Un paracaidista despues de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hastaque se abre el paracaidas que le frena a razon de 2 m/sg2. LLega al suelo con unavelocidad de 3 m/sg
a) ¿Cuanto tiempo ha estado en el aire?b) ¿Desde que altura salto?
Solucion
Sea h1 = 50mEs la composicion de dos movimientos acelerados
• Hasta que se abre el paracaidas h > z > h2 = h− h1, 0 < t < T1
Caıda con acelracion −g, posicion inicial h y velocidad inicial cero
z = h− 1
2gt2
v = −gt
Este movimiento termina en el momento que se abre el paracaidas, lo que ocurriraen el instante t = T1 tal que z = h− h1 = h2. Por lo tanto:
h1 =1
2gT 2
1 =⇒ T1 =
√2h1
g= 3.2 sg
La velocidad en ese instante sera
v1 = v(T1) = −√
2gh1 = −31.3 m/sg
• Al abrirse al paracaidas h2 > z > 0, T1 < t < T2
Caıda con aceleracion a, posicion inicial h2 = h(T1) y velocidad inicial v1 =v(T1)
z = h2 + v1(t− T1) +1
2a(t− T1)
2
v = v1 + a(t− T1)
Llegara al suelo en el instante t = T2 tal que z(T2) = 0 yv2 = v(T2) dondev2 = −3m/sg. Por tanto
0 = z(T2) = h2 + v1(T2 − T1) +1
2a(T2 − T1)
2
v2 = v(T2) = v1 + a(T2 − T1)
Por tanto
T2 − T1 =v2 − v1
a= 14.15 sg =⇒ T2 = 17.34 sg
h2 =v2
1 − v22
2a= 242.6 m
36 Capıtulo 2
12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. Demostrar que la altura quealcanza es la mitad de la que alcanzarıa en el mismo tiempo si no hubiese gravedad.
Solucion
La ecuacion del ovimiento es
z = v0t− 1
2gt2
v = v0 − gt
La altura que alcanza corresponde al instante T en que v = 0. Por tanto:
T =v0
g
h = z(T ) =v2
0
2g
luego
h = v0T
2
Cinematica en una dimension 37
13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. En cada rebote pierde 2/3de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorridodurante ese tiempo. Determinar cual serıa la velocidad equivalente a la que sehubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer lamisma distancia en el mismo tiempo.
Solucion
Como hemos visto en el problema anterior• En el primer rebote (subida y bajada) emplearıa un tiempo
T1 =2v0
g
y recorrerıa una distancia
h1 =v2
0
g
• En el segundo la velocidad inicial es v0q donde q = 13: Por tanto:
T2 =2v0q
g
y recorrerıa una distancia
h1 =v2
0q2
g
• En el rebote n−esimo:
Tn =2v0q
n
g
y recorrerıa una distancia
hn =v2
0q2n
g
Luego el tiempo total sera
T =∞∑
n=0
Tn =∞∑
n=0
2v0
gqn
= limk→∞k∑
n=0
2v0
gqn = limk→∞
2v0
g
(1− qk+1
1− q
)
Como q < 1, qk → 0 y por tanto
38 Capıtulo 2
T =2v0
g
(1
1− q
)=
3v0
g
En cuanto a h
h =∞∑
n=0
hn =∞∑
n=0
v20
gq2n
= limk→∞k∑
n=0
v20
gq2n = limk→∞
v20
g
(1− q2k+2
1− q2
)
Es decir
h =v2
0
g
(1
1− q2
)=
9v20
8g
y por tanto
h =v0
1 + qT
luego la velocidad equivalente es
V =v0
1 + q=
3v0
4
Cinematica en una dimension 39
14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. ¿ Conque velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo despues para que alcance a lamoneda a 15 m del suelo?
Solucion
xm = h− 1/2gt2
xp = h− v0(t− t0)− 1/2g(t− t0)2
luegot =
√2(h− h0)/g = 4.3sg
v0(t−t0) = 1/2g(t)2 − 1/2g(t− t0)2
v =gt02
2t− t0t− t0
= 11.3m/sg
