Capc3adtulo 7 02 Anc3a1lisis Vectorial1

7/23/2019 Capc3adtulo 7 02 Anc3a1lisis Vectorial1

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Fsica para Ciencias e Ingeniera

TEMA 7.2LGEBRA VECTORIAL

1

7.2-1 Introduccin

A lo largo del estudio de la Fsica surgen una serie de propiedades, tanto de magnitudes escalares comovectoriales, que se expresan por medio de nuevos conceptos tales como gradiente, divergencia, laplaciana, rota -cional, y sus relaciones con nuevas definiciones tales comoflujo y circulacinde un vector, as como ciertosteoremas y transformaciones de vectores.

7.2-2 Concepto de campo escalar y campo vectorial. Representacin grfica.

En general, se llama campo a una magnitud fsica cuyo valor es funcin del punto del espacio que se con-sidere y del instante en que se mida.

Si la magnitud es funcin solamente el punto del espacio que se considere, y, por tanto, independiente deltiempo, se dice que es un campo estacionario.

Segn la naturaleza de la magnitud fsica puede ser un campo escalar, o un campo vectorial.

Campo escalar

Si se trata de un campo escalar estacionario de una cierta magnitud V, ser, en general, funcin de las

coordenadas de cada punto del espacio.En el desarrollo de la teora de campos es frecuente designar un campo de esta naturaleza, por cualquiera

de las siguientes expresiones:En coordenadas cartesianas:

V= V(x,y,z), f=f(x,y,z), F= F(x,y,z),

En coordenadas cilndricas circulares:

V= V(r,!, z), f=f(r,!, z), F= F(r,!, z),

En coordenadas esfricas:

V= V(r,",! ) f=f(r,",! ), F= F(r,",! ).

Las representaciones grficas ayudan a tener una idea clara de cmo varan ciertas magnitudes fsicas.

Los campos escalares estacionarios suelen representarse por medio de las llamadas superficies de nivel, osuperficies equipotenciales, que se definen como:

Los lugares geomtricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene unmismo valor.

nario es el de las superficies de nivel utilizadas en la confeccin de mapas en los cuales la cota zde cada puntoes funcin de su posicin en el plano de dibujo: z= z(x, y). [Fig. 7.2-1].

Se dibujan las curvas de nivel z(x, y) = cte. a intervalos constantes. Las regiones del mapa donde se apro-ximan las curvas de nivel son aqullas donde la pendiente es mayor.

Campo vectorial

Se denomina campo vectoriala una magnitud fsica de carcter vectorial que es, en general, funcin de cadapunto del espacio y del instante que se considere.

Son ejemplos de campos vectoriales: los campos de fuerzas gravitatorias, electrostticas, magnticas, loscampos de velocidades en el seno de un fluido en movimiento, etc.

Si la magnitud vectorial es solamente funcin de cada punto del espacio, pero no es funcin del tiempo, sedice que es un campo estacionario.

FIG. 7.2-1

En la prctica, se dibujan las superficies de nivel que corresponden a valo-res de la magnitud escalar, que se diferencian en una cantidad constante. Deesta forma se conoce el valor de Ven los diferentes puntos del espacio, y ade-ms, se visualiza rpidamente en qu regiones experimenta Vla mayor rapi-dez de variacin, que son aqullas donde las superficies de nivel se encuentranms prximas unas a otras.

Las superficies de nivel en el espacio forman un sistema de capas envolven-

tes sin ningn punto de contacto, ya que dos superficies de nivel correspon-dientes a valores distintos de la magnitud escalar no pueden cortarse. Si lohicieran, la magnitud Vtendra a la vez dos valores distintos en los puntos deinterseccin, lo cual es absurdo.

Un ejemplo sencillo de representacin grfica de un campo escalar estacio-


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TEMA 7.2

LGEBRA VECTORIAL2

Los campos vectoriales se representan por medio de las llamadas lneas de fuerza, que se obtienen trazan-do, a partir de cada punto del espacio, un pequeo segmento en la direccin del vector correspondiente a dichopunto. El extremo de dicho segmento sirve de origen para trazar otro segmento en la nueva direccin que tengala magnitud vectorial, y as sucesivamente.

De esta forma se obtiene una lnea poligonal.Si se dibuja nuevamente esta lnea poligonal, tomando

los puntos ms prximos entre s, los segmentos que deter-minan sern ms pequeos, y en el lmite, cuando las lon-gitudes de estos segmentos tiendan a cero, la lnea poligo-nal se convertir en una lnea curva, denominada lnea defuerzadel campo vectorial. FIG. 7.2-2

Por la forma en que se ha dibujado, se deduce que la lnea de fuerza tiene la propiedad de ser tangente encada punto al vector campo que existe en dicho punto, y su sentido es el de dicho vector campo.

Para que las lneas de fuerza indiquen en cada punto el mdulo, adems de la direccin y sentido del vec-tor campo, se conviene en dibujarlas de la siguiente forma:

En cada punto se toma una pequea superficie de rea dA, perpendicular a la direccin del vector en dichopunto, y se dibujan, a partir de los puntos de dicha superficie un nmero de lneas de fuerza, dN, uniforme-mente distribuidas, igual al producto del mdulo del vector por el rea dA del elemento de superficie.

De esta forma queda determinado el mdulo del vector en dicho punto, por la densidad,

d

N

d

A

De forma que en aquellas regiones en las que las lneas de fuerza estn ms prximas entre s el mdulodel vector campo tendr un mayor valor. Y por el contrario, el mdulo ser menor en aquellas regiones dondelas lneas de fuerza estn ms separadas.

[1]

La derivada direccionalde un campo escalar V, funcin de varias variables, se define comola relacin entre la variacin de dicha funcin escalar y el desplazamiento en una determinada direccin.

La derivada direccional de una funcin escalar se expresa normalmente por:

7.2-3 Derivada direccional de un campo escalar

dV

dl[2]

donde dlrepresenta el mdulo de un desplazamiento vectorial infinitesimal dl en una direccin y sentido deter-minados.

7.2-4 Gradiente de un campo escalar

Consideremos dos superficies de nivel de un campo escalar V, infinitamente prximas, correspondientes alos valores Vy V+dV.

El gradiente de una funcin escalar Ven un punto se define como un vector cuyas caractersticas son:mdulo: es el valor mximo de la derivada direccional en dicho punto.

direccin: la de la mxima derivada direccional en dicho punto.sentido: dirigido hacia los valores crecientes del campo escalar.

VV

+dV

FIG. 7.01-3

dl!"

dln

! "!

grad! "!!!!

VVamos a justificar que la definicin del vector gradiente implica que su

direccin en cada punto del espacio es la de la normal a la superficie denivel que pasa por dicho punto, estando su sentido dirigido hacia los valo-res crecientes del campo escalar.

Si a partir de un punto P, perteneciente a la superficie de nivel V,pasamos a un punto P de la superficie de nivel V+dV, la variacin de Ves, evidentemente, dV.

Esta variacin es la misma cualesquiera que sean dichos puntos; portanto, el numerador de las distintas derivadas direccionales que se puedenconsiderar a partir del punto Pes el mismo para todas ellas.

Por consiguiente, ser mxima la derivada direccional cuyo denominador sea el de menor longitud; en estecaso dl

n.

P

P


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Esta longitud es el mdulo del vector desplazamiento cuya direccin es, evidentemente, la de la normal ala superficie de nivel Ven el punto P.

De la definicin del vector gradientese deduce que su mdulo es, pues,

grad! "!!!

V = dVdl

n

[3]

Si a partir del punto Pse considera un desplazamiento dlque forma con la normal un ngulo !, se verifi-ca que,

dln =dl cos !y sustituyendo en [3],

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3

grad! "!!!

V =dV

dln

=dV

dlcos!

de donde,

dV= grad! "!!!

V dlcos!

que se puede expresar como,

4]

[5]

dV= grad! "!!!

V dl!"

[6]

dV

dl=#V$

dl!"

dl

Con objeto de simplificar la notacin en las relaciones del lgebra vectorial, se define un operador vecto-rial que se representa por el smbolo, #, denominado operador nabla, de forma que:

dV=#V$dl!"

dV

dl= gradV cos!= #V cos!

[7]

[9]

que, a su vez, si se introduce el vector unitariodl!"

dlse puede expresar en la forma,

7.2-5 Operador nabla

La anterior expresin, [7], se puede considerar como la definicin general de #V, ya que es independientedel sistema de coordenadas que se utilice.

Hay que hacer notar que en la mayora de los manuales y textos de campos electromagnticos, la expre-

sin #Vrepresenta el vector gradiente, aunque no aparezca indicado expresamente su carcter vectorial pormedio de la flecha que normalmente se utiliza para indicar esta caracterstica de una magnitud fsica.

A partir de la relacin [5] se puede obtener la siguiente expresin de la derivada direccional:

Una magnitud escalar se modifica, en general, de un punto a otro, y la variacin que experimenta al pasardel punto (x, y, z) al (x+dx, y+dy, z+dz) es

dV=%V

dxdx+

%V

dydy+

%V

dzdz

Esta expresin se puede considerar como el producto de los vectores

%V

dx

"i+

%V

dy

"j+

%V

dz

"k

dl!"

=dx"i+dy

"j+ dz

"

k

[10]

[11]

de modo que podemos conocer la variacin de la magnitud escalar en todo el campo si conocemos el vector

definido por la relacin [10].El vector gradientede una magnitud escalar en coordenadas cartesianas es un vector cuyas componentes

son las derivadas de una magnitud escalar respecto a las coordenadas respectivas y se define como

gradV! "!!!!!!

=%V

dx

"i+

%V

dy

"j+

%V

dz

"

k [12]

7.2-6 Gradiente de un magnitud escalar en coordenadas cartesianas

[8]


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TEMA 7.2

LGEBRA VECTORIAL4

#= %

dx

"i+

%

dy

"j+

%

dz

"

k [13]

De modo que el operador nabla en coordenadas cartesianas se representa por:

[14]

que indica una operacin a realizar con la magnitud a la que se aplique. En este caso, indica la derivada par-cial de una magnitud respecto a la coordenada correspondiente

#V= grad! "!!!

V=%V

dx

"i+

%V

dy

"j+

%V

dz

"

k

7.2-7 Flujo de un vector

Se llama flujo de un vector E a travs de un elemento de superficie dsa la expresin

d& ="E.d

"a=

"E.

"n da=Edacos"

siendo da un vector cuyo mdulo es igual al rea del elemento de superficie; su direccin es la de la normal a

dicho elemento y n, un vector unitario asimismo normal al elemento de superficie.El sentido de los vectores da y n es, en principio, arbitrario.Si el elemento pertenece a una superficie que encierra un volumen, dichos vectores se toman en el sentido

de la normal hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie.Si la superficie es finita, el flujo tiene por expresin:

[15]

& = E!"

$da! "!

=' E!"

$n"

da=' E dacos"'Si la superficie es cerrada, es decir, si encierra un determinado volumen:

& = E!"

$da! "!

=S

#' E!"

$n"

da=S

#' E dacos"S

#'

siendo ahora el sentido de los vectores da y nhacia afuera del volumen encerrado por la superficie S.

[16]

[17]

7.2-8 Divergencia de un vector

Se puede hallar una expresin muy til del flujo de un vector a travs de una superficie cerrada Ssi sedivide el volumen encerrado por dicha superficie en paraleleppedos elementales, por medio de tres series deplanos infinitamente prximos y paralelos a los coordenados.

El flujo es igual a la suma de los flujos a travs de la superficie de cada paraleleppedo, pues cualquier carainterior al volumen pertenece a dos paraleleppedos consecutivos, y, en consecuencia, el flujo a travs de ellainterviene dos veces con signos opuestos, ya que uno de ellos es entrante, y el otro, saliente, quedando sola-mente los flujos a travs de las caras que forman la superficie S.

O

X

Y

Z

A B

CD

E F

G

H

FIG. 2-3

Siguiendo el mismo razonamiento, el flujo a travs de la cara opuesta EFGH, es, teniendo en cuenta elcambio de sentido de la normal,

( Ex( 1

2%Exdxdx)

*++

,

-..dydz

Procediendo de la misma forma para los otros dos pares de caras y sumando todas las expresiones, se obtie-ne para el flujo total a travs del paraleleppedo de volumen dv= dx.dy.dz

Si consideramos uno de los paraleleppedos de aristas dx, dy, dz, el flujo,por ejemplo, a travs de la cara ABCDparalela al plano YZes igual al pro-

ducto de la componente Exdel vectorE

por el rea dydzde dicha cara.Si en el centro del paraleleppedo el vector es E, su componente Exen elcentro de la cara ABCDes

E

x+

1

2

%Ex

dxdx

y el flujo a travs de ella

Ex+

1

2

%Ex

dxdx

)

*++

,

-..dydz


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5

[19]

d&1=

%Ex

dx+

%Ey

dy+

%Ez

dz

)

*

++

,

-

.

.dxdydz

La expresin entre corchetes se denomina, divergenciadel vector E y segn [2.5]

divE!"

=%Ex

dx+

%Ey

dy+

%Ez

dz= #E

!"

es decir, su expresin es el producto escalar del operador nablapor el vector.El flujo a travs de la superficie Sser igual la suma de las expresiones [18] extendida a todo el volumen

Vencerrado por dicha superficie:

[18]

& = d&S#' =

%Ex

dx+

%Ey

dy+

%Ez

dz

)

*

++

,

-

.

.dxdydz

V' [20]

y teniendo en cuenta [19],

& = d&S#' = divE

!"

dvV' = #E

!"

dvV' [21]

siendodv= dx.dy.dz

el volumen del paraleleppedo elemental.

Si una superficie S es cerrada, la divergencia de un vector E se define como el flujo por unidad de volu-men encerrado por dicha superficie, en el caso lmite de que dicho volumen tienda a cero:

divE!"

= limv/0

1

vE!"

$n"

daS

#'

Conviene resaltar que la divergencia de un vectores una magnitud escalar.

La definicin anterior [22], es independiente del sistema de coordenadas que se utilice y sirve, por tanto,para calcular la expresin del operador divergencia en cualquier sistema de coordenadas sin ms que desarro-llar en cada caso el segundo miembro.

[22]

7.2-10 Operador laplaciana

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una funcin esca-lar V, por medio de la relacin

E!"

= (grad! "!!!

V= (#V [24]

entonces la divergencia del vector en coordenadas cartesianas es,

7.2-9 Teorema de la divergencia

De las relaciones [17] y [21] se obtiene:

"E.d

"a

S

#' = #V

' "Edv [23]

divE!"

= div grad! "!!!

V= #((#V)= (#$#V= ( %

dx

"i+

%

dy

"j+

%

dz

"

k)

*+

,

-.$

%

dx

"i+

%

dy

"j+

%

dz

"

k)

*+

,

-.=

%2V

dx2+

%2V

dy2+

%2V

dz2[25]

La expresin

%2V

dx2+

%2V

dy2+

%2V

dz2

se representa simblicamente introduciendo el operador denominado laplaciana, que indica que hay que cal-cular las derivadas parciales segundas de la magnitud a la que se aplique respecto a la coordenada correspon-

diente.El operador laplaciana se puede aplicar igualmente a un vector y en ese caso representa un vector cuyascomponentes son las laplacianas de las componentes del vector:

[26]

[27]

0E!"

="i0Ex+

"j0E

y+

"

k0Ez


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TEMA 7.2

LGEBRA VECTORIAL6

7.2-11 Circulacin de un vector

Se denomina circulacin elementalde un vector a lo largo de un elemento de longitud dl a la expresin,

dC=E!"

$dl!"

=Edlcos"

Si la longitud esfinita:

C= E!"

$dl!"

=i

f

' Edlcos"i

f

'Si la circulacin se calcula a lo largo de la longitud correspondiente a una curva cerradaque encierra una

superficie S:

C= E!"

$dl!"

L

#' = Edlcos"L

#'

[28]

[29]

[30]

Siguiendo el mismo razonamiento, si el rectngulo estuviera situado en el plano XYo en el XZ las circu-

laciones seran

Vamos a calcular la circulacin de un vector a lo largo de un rectngulo de lados dy, y dz, paralelos a losejes OYy OZ, contenido en el plano YZ, siguiendo el sentido ABCD.

Si en el centro del rectngulo el vector es E, la circulacin es

O

XY

Z

A B

CD

ds!"!

Ey(

%Ey

%z

1

2dz

)

*

++

,

-

.

.dy

a lo largo de BC

Ez(

%Ez

%y

1

2dy

)

*++

,

-..dz

a lo largo de CD

( Ey+

%Ey

%z

1

2dz

)

*

++

,

-

.

.dy

a lo largo de DA

a lo largo de AB

( Ez(

%Ez

%y

1

2dy

)

*++

,

-..dz

La circulacin total es

%Ez

%y(

%Ey

%z

)

*

++

,

-

.

.dydz

%Ey

%x(

%Ex

%y

)

*

++

,

-

.

.dxdy o

%Ex

%z(

%Ez

%x

)

*++

,

-..dxdz

FIG. 2-4

Se define el rotacional de un vector E, como lmite del flujo por unidad de volumen, a travs de una super-ficie cerrada, del producto vectorial n x E, siendo n un vector unitario dirigido hacia afuera del volumenencerrado por la superficies S, cuando dicho volumen tiende a cero.

7.2-12 Rotacional de un vector

rot! "!

E!"

= # 1E!"

= lim0v/0

1

0vn"

1E!"

dsS

#' [31]

Se puede demostrar que la definicin [31] es equivalente a:

n$#1E!"

= limS/0

1

SE!"

$dl!"

L

#' [32]


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7

La componente de

# 1E!"

en la direccin del vector unitario

"nes el lmite de la circulacin del vector E

!"

a lo largo de un curva cerrada L, por unidad de superficie encerrada S, cuando dicha superficie tiende acero, siendo el vector unitario, normal a la superficie S.

Es decir:

Las definiciones anteriores del rotacionalde un vector son independientes del sistema de coordenadas quese utilice y sirven, por tanto, para calcular la expresin del rotacional en cualquier sistema de coordenadas.

Consideremos ahora una curva cerrada C[Fig. 2.5], situada en una regin del espacio en el que existe uncampo vectorial.

Imaginemos una superficie cualquiera Slimitada por dicha curva y dividimos esa superficie en rectngu-los infinitesimales por interseccin de dos series de planos infinitamente prximos y perpendiculares entre s.

C

S

FIG. 2-5

La circulacin a lo largo de la curva Ces, evidentemente,la suma de las circulaciones a lo largo de cada uno de los infi-

nitos rectngulos elementales recorridos en el mismo sentidoque la curva C, pues cada lado de cada rectngulo es recorri-do dos veces en sentidos contrarios y queda como resultadode dicha suma la circulacin a lo largo de los lados exterioresque forman la periferia o contorno de la curva C.

Por tanto, segn lo indicado anteriormente,

E!"

$dl!"

C

#' = rot! "!

E!"

$ds!"!

S

' = # 1E!"

$ds!"!

S

' [33]

7.2-13 Teorema de Stokes

relacin que expresa el llamado teorema de Stokes, y segnel cual

La circulacin de un vector a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vectora travs de una superficie cualquiera limitada por la curva.

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una funcin esca-lar V, por medio de la relacin

E!"

= (grad! "!!!

V= (#V [34]

el rotacional del vector es

E!"

$dl!"

#' = rot! "!

E!"

$ds!"!

' = # 1E!"

$ds!"!

'y por consiguiente, una cualquiera de sus componentes, por ejemplo la componente xes

(# 1 #V)x=

%2V

%y%z

(%2V

%z%y

= 0

y otro tanto ocurre con las otras componentes, de modo que,

rot! "!

grad! "!!!

V=# 1 #V= 0 [35]

De forma anloga, es fcil comprobar que

div rot! "!

E!"

=# $ # 1E!"

= 0 [36]

7.2-14 Relaciones importantes de lgebra vectorial

a) Si se aplica el rotacional a un vector, que es a su vez, el rotacional de otro vector, entonces

rot! "!

rot! "!

E!"

= rot! "! 2

E!"

= # 1(# 1E!"

)

y teniendo en cuenta la propiedad del doble producto vectorial

rot! "!

rot! "!

E!"

= rot! "! 2

E!"

=# 1(# 1E!"

)=# $ #E!"

((# $ #)E!"

= grad! "!!!

divE!"

((# $ #)E!"

= grad! "!!!

divE!"

( #2E!"

[37]


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TEMA 7.2

LGEBRA VECTORIAL8

b) Si calculamos la divergencia del producto vectorial de dos vectores

Desarrollando el ltimo trmino

(# $ #)E!"

=%2E

x

dx

2+

%2Ex

dy

2+

%2Ex

dz

2

)

*

++

,

-

.

.

"i+

%2Ey

dx

2+

%2Ey

dy

2+

%2Ey

dz

2

)

*

++

,

-

.

.

"j+

%2Ez

dx

2+

%2Ez

dy

2+

%2Ez

dz

2

)

*

++

,

-

.

.

"

k=0E!"

y sustituyendo en [37] queda

rot! "!

rot! "!

E!"

= rot! "! 2

E!"

= grad! "!!!

divE!"

( 0E!"

[38]

y desarrollando, y ordenando trminos se obtiene

div("a1

"

b )= %

%x(aybz(azby)+

%

%y(azbx(axbz)+

%

%z(axby(aybx)

div(

"

a1

"

b )=bx%a

z

%y(

%ay

%z

)

*

++

,

-

.

.+by%a

x

%z (

%az

%x

)

*++

,

-..+bz

%ay

%x(

%ax

%y

)

*

++

,

-

.

.( ax%b

z

%y(

%by

%z

)

*

++

,

-

.

.+ay%b

x

%z(

%bz

%x

)

*++

,

-..+az

%by

%x(

%bx

%y

)

*

++

,

-

.

.

)

*

++

,

-

.

.

y teniendo en cuenta la expresin del rotacional de un vector, queda

div("a1

"

b )="

b rot! "!

"a(

"arot

! "! "

b [39]

c) En algunos casos es til transformar una integral del tipo

dl!"

1 grad! "!!!

!

C

#'

extendida a una curva cerrada, siendo ! una funcin que cumple con la condicin 0! = 0, en una integralde superficie.

Para ello, si consideramos la componente xdel producto vectorial del integrando

(dl! "!

1 grad! "!!!

!C

#' )x= %!

%zdy(

%!

%ydz

)

*+

,

-.

C

#' = "a$dl

!"

C

#'

siendo el vector a

"a= 0

"i+

%!

%z

"j(

%!

%y

"

k

haciendo uso del teorema de Stokes

(dl! "!

1 grad! "!!!

!C

#' )x= %!

%zdy(

%!

%ydz

)

*+

,

-.

C

#' = "a$dl

!"

C

#'

y segn la condicin impuesta a la funcin !, queda

(dl! "!

1 grad! "!!!

!C

#' )x= %2!

%x2ds

x+

%2!

%x%yds

y+

%2!

%x%zds

z

)

*++

,

-..

S

' = %

%x(grad

! "!!!

!$ds!"!

S

' )

Para las componentes yy z, se pueden escribir relaciones anlogas, de modo que resulta finalmente

dl!"

1 grad! "!!!

!C

#' = grad! "!!!

(grad! "!!!

!$ds!"!

S

' ) [40]

d) Para concluir este grupo de relaciones vamos a analizar dos transformaciones que se deducen directa-mente del teorema de Green.

Consideremos el vector

"a=V$

"b

siendo Vuna funcin escalar. Si calculamos la divergencia de dicho vector


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9

div "a= div(V$

"

b )=V%b

x

dx+

%by

dy+

%bz

dz

)

*

++

,

-

.

.+b

x

%V

dx+b

y

%V

dy+b

z

%V

dz

y recordando las definiciones de gradiente de una magnitud escalar, y de la divergencia de un vector, resulta

div "a= div(V$

"

b )=Vdiv"

b+"

b grad! "!!!

V

y aplicando el teorema de Green

(V$"

b )S

#' ds!"!

= (Vdiv"

b +"

b grad! "!!!

VV

' )dv= Vdiv"

bV

' dv+"

b grad! "!!!

VV

' dv

(V$"

b )S

#' ds!"!

= Vdiv"

bV

' dv+"

b grad! "!!!

VV

' dv [41]

e) Supongamos un vector definido por la expresin

"

a=Ugrad

! "!!!

Vsiendo Uy Vdos funciones escalares.

Si consideramos el producto escalar

donde

"a$ds

!"!

= (Ugrad! "!!!

V)$ds!"!

=U%V

%nds

%

%nrepresenta la derivada respecto a la normal al elemento de superficie, y calculamos la divergencia

"a

div "a= div(Ugrad

! "!!!

V)=%U

%x

%V

%x+

%U

%y

%V

%y+

%U

%z

%V

%z+U

%2V

%x2+

%2V

%y2+

%2V

%z2

)

*++

,

-..

div "a= div(Ugrad

! "!!!

V)= grad! "!!!

U$ grad! "!!!

V+U0V

que, teniendo en cuenta la definicin de gradiente y el producto escalar de dos vectores, queda

"a$ds

!"!

= (grad! "!!!

U$ grad! "!!!

V+U0VV

'S

#' )dv= (grad! "!!!

U$ grad! "!!!

V dv+U0VV

' + U0VV

' dv

Si ahora aplicamos el teorema de Green [2.10] al vector "a

y si escribimos esta ltima relacin permutando entre s las funciones Uy V, y restamos las dos ecuacionesobtenemos el denominado lema de Green.

(U0VV

' (V0U)dv= (U%V

%n(V

%U

%nS#' )dv [42]


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aletos


TEMA 7.2

LGEBRA VECTORIAL10

7.2-15 Relaciones diferenciales

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciana

#(&+ 2)= #&+ #2 [43]#(& 2)= & #2 + 2 #& [44]

#("F

"

G)= ("F#)

"

G+("

G#)"F+

"F1(# 1

"

G)+"

G1(# 1"F) [45]

#f(&)=df

d& [46]

#("F+

"

G)= #"F+ #

"

G [47]

#(&"F)= &(#

"F)+

"F(# &) [48]

#("F1

"G)=

"G(# 1

"F)(

"F(# 1

"G) [49]

#(# 1

"

F)= 0 [50]#(#&)= #2& = 0& [51]

# 1("F+

"

G)= # 1"F+ # 1

"

G [52]

# 1(&"F)= &(# 1

"F)+(#&)1

"F [53]

# 1("F1

"G)=

"F(#

"G)(

"G(#

"F)+(

"G#)

"F((

"F#)

"G [54]

# 1(# 1"F)= #(#

"F)( #2

"F [55]

# 1(#&)="0 [56]

#2(& 2)= & #22 +2(#&)(#2)+ 2 #2& [57]

#2(&"F)= & #2

"F+2 (#&)#)*

,-

"F+

"F#2& [58]

Relaciones integrales ms usadas

SeaSuna superficie cerradaVel volumen que contieneds

=n

ds un vector normal a la superficie dirigido hacia afueraF un campo vectorial y & un campo escalar

7.2-16 Teorema de la divergencia (Gauss) y relaciones integrales asociadas

F!"

$ds!"!

S#' = F!"

$"nds

S#' = #V' "Fdv [59]

F!"

1ds!"!

S#' = ( #V' 1"Fdv [60]

&ds!"!

S#' = ( #V' & dv [61]F!"

(G!"

ds!"!

)S#' =

"

F(#"

G)dv+ ("

G#)V

' "

FdvV

' [62]


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aletos



11

7.2-17 Identidades de Green que se derivan del teorema de la divergencia

& #22 +(#&)(#2))* ,-V' dv= (& #2)ds!"!

S#' [63]

1 Identidad

2 Identidad

3 Identidad

(& #22 ( 2 #2&)V

' dv= (& # 2 ( 2 # &)ds!"!

S#' [64]

&("r)= (

1

43

#2&("r')

"r(

"r'V

' dv'+1

43

1"r(

"r'

%&

%n'( &

%&

%n'

1"r(

"r'

)

*

++

,

-

.

.d

"s'

S

#' [65]

7.2-18 Teorema de Stokes y relaciones integrales asociadas

SeaCuna trayectoria cerradaSun superficie abierta limitada por Cds= n ds un vector normal a la superficie cuyo sentido es el de la circulacin a lo largo de C.

"Fd

"

lL

#' = (# 1"F)

S

' d"s [66]

"F1d

"

lL

#' = ( (d"s1 #)1

"F)

S

' [67]

&L

#' d"

l= ( (#&)1S

' d"s [68]

7.2-19 Teorema de Helmholtz

El teorema de Helmholtz establece qu informacin se requiere para calcular un campo vectorial.Bsicamente, la respuesta es que

Si se conocen la divergencia y el rotacional de un campo vectorial en todos los puntos de una regin fini-ta, se puede calcular el campo vectorial unvocamente.

&("r)=

1

43

b("r')"r(

"r'

dv'V

' =1

43

#"

F"r(

"r'V

' dv' [69]

"

A("r)=

1

43

c("r')

"r(

"r'

dv'V

' =1

43

# 1"

F"r(

"r'V

' dv' [70]

el teorema indica que se puede encontrar"Fa partir de

"

F="

F("r)= (#&(

"r)+# 1

"

A("r) [71]

Considrese un campo vectorial: F=F(x,y,z)=F(r), y supngase que las funciones #F=b (r) y # 1F=c(r)

estn dadas para todos los puntos de un volumen finito V, es decir, son funciones conocidas de la posicin.Entonces, si se definen las funciones:

En estas expresiones, el punto definido por el vector de posicin r"

, en el que se calcula, F!"

, recibe el nombre depunto

de

campo, mientras que el punto definido por el vector de posicin r

"

', en el que se encuentran las fuentes, recibe elnombre de puntofuente.

dv' es un elemento de volumen en la posicin de unpuntofuente.


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aletos


TEMA 7.2

LGEBRA VECTORIAL12

Dado que F!"

puede hallarse a partir de

Si hay fuentes en el infinito, es decir, si todas ellas no estn contenidas en un volumen finito, este teore-ma no es vlido a menos que se incluyan ciertas integrales de superficie que involucran a F.

Tales situaciones deben resolverse por mtodos especiales.

Al conjunto completo de las ecuaciones fuente de los campos elctrico y magntico se le da el nombre deEcuaciones de Maxwelly constituyen la descripcin fundamental del campo electromagntico.

#F!"

= b(r"

) y # 1F!"

= c (r"

) [72]

estas expresiones reciben el nombre de fuentes de campo.Es decir, aquellos puntos en los que,

#F!"

= b (r"

) 4 0

reciben el nombre de fuentes escalares del campo.

Y aquellos en los que,

# 1F!"

= c (r"

) 4 0

reciben el nombre de fuentes vectoriales del campo

Comentarios

Este teorema establece que se puede conocer un campo vectorial F conociendo solamente su divergencia ysu rotacional. El inters estriba en que habitualmente

#

F

/4

0

,

#

1

F

/4

0

/

slo en unos pocos puntos del espacio y an as se puede obtener F en todo el espacio.La eleccin del potencial escalar & y del vector potencial A no es nica y hay otras soluciones, adems de

la que nos proporcione el teorema, para un campo dado F.

Sera conveniente, no obstante, puntualizar algo ms acerca del significado de las fuentes escalares y vec-

toriales. El trminofuentesugiere, evidentemente, la idea de origen o nacimiento de algo.En consecuencia, las condicines #F = 0 y #1 F = 0 en un cierto volumen puede llevar al razonamiento

falso de que al no haber fuentes, no existir el campo F, o lo que es igual, ser nulo en dicho volumen.

Esto puede constituir un serio contratiempo a la hora de interpretar los resultados de ciertos problemastanto tericos como prcticos.

7.2-20 Coordenadas cartesianas o rectangulares

Gradiente de una magnitud escalar

#V=%V

%x

"ux+

%V

%y

"uy+

%V

%z

"uz

[75]

Laplaciana de una magnitud escalar

#2V =

%2V

%x2 +

%2V

%y2 +

%2V

%z2[76]

Divergencia de un vector

# $"E=

%Ex

%x+

%Ey

%y+

%Ez

%z[77]

Rotacional de un vector

# 1"E=

%Ez

%y(

%Ey

%z

)

*

++

,

-

.

.

"ux+

%Ex

%z(

%Ez

%x

)

*

++

,

-

.

.

"uy+

%Ey

%x(

%Ex

%y

)

*

++

,

-

.

.

"uz

[78]

Laplaciana de un vector

#2 "E=

%2Ex

%x2+

%2Ex

%y2+

%2Ex

%z2

)

*

++

,

-

.

.

"ux+

%2Ey

%x2+

%2Ey

%y2+

%2Ey

%z2

)++

,..

"uy+

%2Ez

%x2+

%2Ez

%y2+

%2Ez

%z2

)

*

++

,

-

.

.

"uz

[79]

[73]

[74]


13/13

aletos



13


#V = %V%r

"ur + 1

r%V%!

"u!+ %V%z

"uz

[80]


#2V =

1

r

%

%r(r%V

%r)+

1

r2%2V

%!2 +

%2V

%z2[81]


# $"E=

1

r

%

%r(r E

r)+

1

r

%E!

%!+

%Ez

%z[82]


# 1"E=

1

r

%Ez

%!(

%E!

%z

)

*

++

,

-

.

.

"ur+

%Er

%z(

%Ez

%r

)

*++

,

-..

"u

!+

1

r

%

%r(r E

!)(

%Er

%!

)

*++

,

-..

"uz

[83]

Laplaciana de un vector

#2 "E= #2E

r(

2

r2

%E!

%!(E

r

r2

)

*

++

,

-

.

.

"ur+ #2E

!+

2

r2

%Er

%!(E

!

r2

)

*

++

,

-

.

.+#2E

z

"uz

[84]

7.2-21 Coordenadas cilndricas o circulares

7.2-22 Coordenadas esfricas


#V =%V

%r

"u

r +

1

r

%V

%"

"u"+

1

rsen"

%V

%!

"u

![85]


#2V =

1

r2%

%r(r2

%V

%r)+

1

r2 sen2"

%2V

%!2 +

1

r2 sen2"

%

%"(sen"

%V

%") [86]


# $"E=

1

r2%

%r(r2 E

r)+

1

rsen"

%

%"(E

"sen")+

1

rsen"

%E!

%![87]


# 1"E=

1

rsen"

%

%"(E

!sen")(

%E"

%!

)

*++

,

-..

"ur+

1

r

1

sen"

%Er

%!(

%

%r(r E

!)

)

*++

,

-..

"u"+

1

r

%

%r(r E

")(

%Er

%"

)

*++

,

-..

"u

![88]

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Capc3adtulo 7 02 Anc3a1lisis Vectorial1