Capitol 4 Curbe

CAPITOLUL 4

CURBE REMARCABILE PE O SUPRAFA

Rezumat. Se definete curbura normal pentru o direcie ( )1 2,du du tangent prin formula

( ) ( )( ) ( )

2 21 1 2 211 12 22

2 21 1 2 211 12 22

2

2n

b du b du du b duk

g du g du du g du

+ +=

+ +. Direciile pentru care nk ia

valori extreme se numesc direcii principale. O curb pe suprafaa S este linie asimptotic (linie de curbur) dac direciile tangente ei sunt asimptotice (principale). Se stabilesc ecuaiile liniilor asimptotice, ale liniilor de curbur i se evideniaz proprieti geometrice ale lor. Se asociaz unei curbe pe S un reper mobil (Darboux - Ribaucour) format din versorul

!" al vectorului tangent, versorul N

!!" al normalei la suprafa i

gN N= !!!" !!" !"

. Variaia acestui reper mobil pe curb este dat de formulele Darboux

Ribaucour: , ,gg gg n g g n gd d N d Nk N k N k N k Nds ds ds= + = + = !" !!" !!"!!" !!" !" !!" !" !!"

. Se

introduc astfel doi noi invariani gk - curbura geodezic, g - torsiunea geodezic. Condiia 0g = caracterizeaz liniile de curbur. Condiia 0gk = introduce curbele numite geodezice pentru care se dau ecuaii i proprieti geometrice. Invarianii

, ,g n gk k sunt legai de invarianii k i prin formulele:

cos , sin ,n g gk k k k= = = + #

, unde ( ,n N = " !!"$ .

1. Curbur normal. Direcii asimptotice. Linii asimptotice. n continuare nu vom mai indica punctul n care se evalueaz formele I-a

i a II-a fundamentale ale suprafeei. El va reiei din context. Amintim: Definiia 1.1. Aplicaia :n Pk T S % , definit prin

(1.1) ( ) ( )( ),

, , 0,n P

b X Xk X X T S X

g X X= ,

se numete curbura normal a suprafeei n punctul P S . Cu i iX X h= !" , valoarea funciei curbur normal n X, numit simplu

curbura normal se scrie

(1.2) ( ) , , 1, 2i j

ijn i j

ij

b X Xk X i j

g X X= = .

Capitolul 4. Curbe remarcabile pe o suprafa 98

Observm c are loc ( ) ( )n nk X k X = pentru orice 0 numr real, adic funcia nk depinde numai de direcia lui X. n particular, putem lua o direcie tangent ( )1 2,du du du= i scrie

(1.3) ( ), , , 1, 2i j

ijn i j

ij

b du duk P du i j

g du du= = .

n notaiile clasice,

(1.3) ( ) ( )( ), ,

, ,, ,n

P du dvk P du dv

P du dv

=

.

Observm c pentru P fixat, curbura normal nk este funcie de direciile tangente la S n P.

Ne vor interesa, n cele ce urmeaz, direciile pentru care curbura normal este nul i cele pentru care ea are valori extreme (minim, maxim).

Definiia 1.2. O direcie ( )1 2,du du du= , tangent n P la S, se numete direcie asimptotic dac ( ), 0nk P du = .

Dup (1.3), direcia ( )1 2,du du du= este direcie asimptotic dac i numai dac

(1.4) ( ) ( )2 21 1 2 211 12 222 0b du b du du b du+ + = . Ecuaia (1.4) se numete ecuaia direciilor asimptotice. Direcia

( )1 2,du du du= este complet definit i de perechea 211, dudu . Cu notaia

2

1

dumdu

= ,

ecuaia (1.4) se scrie (1.4) 2 22 12 112 0m b b m b+ + = .

Aceasta este ecuaie de gradul II n m. Discriminantul ei fiind 212 11 22b b b , rezult: (i) n punctele hiperbolice exist dou direcii asimptotice

distincte, (ii) n punctele parabolice exist o singur direcie asimptotic

(dou confundate), (iii) n punctele eliptice nu exist direcii asimptotice. Definiia 1.3. O curb pe S se numete linie asimptotic sau asimptot

dac vectorul tangent ei are n toate punctele ei direcie asimptotic. Dac ecuaiile unei curbe pe S sunt ( ) ( ), 1, 2, ,i iu u t i t a b= = , vectorul

tangent ei este 2

1

i

ii

du hdt

=

!" i condiia ca acesta s aib direcie asimptotic este


(1.5) 2 21 1 2 2

11 12 222 0du du du dub b bdt dt dt dt

+ + = .

Ecuaia (1.5) este ecuaia diferenial a liniilor asimptotice pe S. Definiia 1.3 corelat cu rezultatele privind existena direciilor

asimptotice ne arat c (i) printr-un punct hiperbolic trec dou linii asimptotice

distincte, (ii) printr-un punct parabolic trece o linie asimptotic, (iii) printr-un punct eliptic nu trece nici o linie asimptotic. Determinarea linilor asimptotice, cnd exist, se face prin rezolvarea

ecuaiei (1.5), cutnd linia asimptotic n forma, de exemplu, ( ) ( )2 2 1 1, ,u u u u c d= .

Ecuaia (1.5) devine

(1.5)22 2

22 12 111 12 0du dub b bdu du

+ + = ,

ecuaie echivalent cu dou (posibil confundate) ecuaii difereniale de ordinul nti,

de forma ( )( )2 1 2 11 ,du f u u udu = , integrabile prin cuadraturi. Pentru a obine caracterizri geometrice ale liniilor asimptotice vom stabili

mai nti expresia vectorului 2

2

d rdt

" n reperul lui Gauss, pentru

( ) ( )( ) ( )1 2, , ,r h u t u t t a b= " " , ecuaia unei curbe pe S. tim c avem 2

1

i

ii

d r duhdt dt

=

= " !"

. Derivm din nou, n raport cu t. Obinem:

2 2 1 2 2

2 2 1 2 2,

i i i i ji i

i i iji i i i j

h hd r d u du du du d u du duh h hdt dt u dt u dt dt dt dt dt

= + + = +

!" !"" !" !" !!".

nlocuim ijh!!"

din formulele lui Gauss i rezult 2 2

2 2, , ,

i i j i jk

i ij k iji i j k i j

d r d u du du du duh h b Ndt dt dt dt dt dt

= + + " !" !!" !!"

,

unde nsumrile se fac dup indicii scrii sub semnul , de la 1 la 2. n prima sum din dreapta schimbm i cu k (i este indice de nsumare), grupm dup kh

!!" i obinem

(1.6) 2 2

2 2, ,

k i j i jkij k ij

k i j i j

d r d u du du du duh b Ndt dt dt dt dt dt

= + + " !!" !!"

.


Observm c spre deosebire de drdt

", vectorul

2d rdt

" nu este, n general,

coninut n spaiul tangent PT S . Acest vector are att component tangenial dat de

(1.6) 2 2 1 2 2

1 21 22 2 2

, ,:

i j i j

ij iji j i j

d r d u du du d u du duh hdt dt dt dt dt dt dt

= + + +

" !" !!"

ct i component normal dat de

(1.6) 2

2,

:i j

iji j

d r du dub Ndt dt dt

=

" !!".

Din (1.6) rezult imediat Propoziia 1.1. O curb C pe S de ecuaie ( ) ( )( ) ( )1 2, , ,r h u t u t t a b= " "

este linie asimptotic dac i numai dac 2

2 0d rdt

=

", adic dac i numai dac

vectorul 2

2

d rdt

" aparine spaiului tangent la S.

Corolar 1.1. Orice dreapt pe o suprafa este linie asimptotic.

Demonstraie. Pentru o dreapt pe S avem 2

2 0d rdt

=

", fapt care atrage

2

2 0d rdt

=

" i

2

2 0d rdt

=

". Dup Propoziia 1.1, acea dreapt de pe S este linie

asimptotic. Are loc urmtoarea caracterizare a liniilor asimptotice. Propoziia 1.2. O curb pe S este linie asimptotic dac i numai dac n

fiecare punct al ei planul osculator coincide cu planul tangent suprafeei. Demonstraie. Coincidena despre care este vorba se nelege c are loc n

fiecare punct P al curbei. tim c planul osculator al curbei este determinat de P, drdt

" i

2

2

d rdt

". Fie curba linie asimptotic. Atunci, dup Propoziia 1.1,

2

2

d rdt

" este, de

asemenea, n planul tangent suprafeei, deci planul osculator curbei coincide cu planul tangent la suprafa. Reciproc, dac suntem pe o curb al crei plan osculator

coincide cu planul tangent suprafeei, vectorul 2

2

d rdt

" din planul ei osculator, fiind i

n planul tangent suprafeei, va avea componenta normal zero i, dup Propoziia 1.1, curba este linie asimptotic.


Fie, din nou, o curb pe suprafaa S, reprezentat parametric prin ( ) ( )( ) [ ]1 2, , s 0,r h u s u s L= " " , cu s lungime de arc. ntr-un punct fixat P al ei,

normala principal n"

i normala la suprafa N!!"

sunt n acelai plan, planul normal

curbei n P. Fie ( ),n N = " !!"$ . Avem 2 21cos , ,d rn N Nk ds = ="" !!" !!"

, unde k este

curbura curbei. Dup (1.6), 2

2 2, ,

1,i j

i jij ij

i j i j

d r du duN b b du duds ds ds ds

= =

" !!". Dar

2

,

i jij

i jds g du du= i obinem,

(1.7) 2

2 ,nd rk Nds

=

" !!".

Aadar avem (1.8) cosnk k = .

2. Direcii principale ntr-un punct al unei suprafee. Linii de curbur.

Ne ocupm de direciile tangente unei suprafee S pe care curbura normal

ia valori extreme. Fie o direcie tangent ( )1 2,du du du= . Curbura normal ntr-un punct

P S , fixat, apare ca funcie de variabilele 1du , 2du , funcie dat de (1.3). Definiia 2.1. Direcia tangent la S, ( )1 2,du du , se numete direcie

principal dac ea este punct critic pentru curbura normal, adic

(2.1) ( ) ( )1 20, 0n nk kdu du

= =

.

Valoarea curburii normale pentru o direcie principal se numete curbur principal i se va nota prin .

Prin derivare n (1.3), condiiile (2.1), dup o simplificare cu 2, devin:

(*) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 211 12 11 12

, ,

1 2 1 212 22 12 22

, ,.

i j i jij ij

i j i j

i j i jij ij

i j i j

b du b du g du du g du g du b du du

b du b du g du du g du g du b du du

+ = + + = +


Pentru ( )1 2,du du soluie a acestui sistem, raportul

, ,

i j i jij ij

i j i jb du du g du du

este exact . Cu aceast notaie sistemul (*) ia forma

(2.2) 1 2 1 2

11 12 12 221 2 1 2

11 12 12 22

b du b du b du b dug du g du g du g du

+ +

= =

+ +.

Aadar direciile principale sunt soluii ale ecuaiei dat de prima egalitate din (2.2), care, dup calcule, se dovedete a fi echivalent cu

(2.3) ( )( ) ( ) ( )( )2 21 1 2 211 12 12 11 11 22 22 11 12 22 22 12 0b g b g du b g b g du du b g b g du + + = .

Aceasta este ecuaia direciilor principale. Ea se scrie i n forma, uor de reinut,

(2.3)( ) ( )2 22 1 2 1

11 12 22

11 12 22

0

du du du du

g g gb b b

= .

Exist direcii principale? Trebuie s cercetm dac ecuaia (2.3), ca

ecuaie de gradul 2 n 2

1

dumdu

= , are soluii reale. Pentru a simplifica unele calcule,

s alegem parametrizarea suprafeei nct liniile parametrice 1 .u const= i 2 .u const= s fie ortogonale, echivalent 12 0g = . Discriminantul ecuaiei (2.3) este

( )2 211 22 22 11 12 11 224 0b g b g b g g = + , cu egalitate pentru 12 0b = i 11 2211 22

b bg g

= .

Amintim c 11 0g > i 22 0g > . Reapar cele dou clase de puncte pe S. Definiia 2.2. 1. Punctele pe S n care avem 11 12 22 0b b b= = = , se numesc

puncte planare. 2. Punctele pe S n care are loc

(2.4) 11 12 2211 12 22

1 , 0b b b Rg g g R

= = = ,

se numesc puncte ombilicale. Rezult c n punctele neplanare i neombilicale exist dou direcii

principale reale, distincte. Dup Propoziia 10.2, din Capitolul 3, acestea sunt ortogonale. n punctele planare i n cele ombilicale direciile principale sunt nedeterminate n sensul c orice direcie tangent n P S este direcie principal.


Definiia 2.3. O curb pe S se numete linie de curbur dac n toate punctele curbei direcia tangentei la curb este direcie principal pe suprafaa S.

Din (2.3) rezult c ecuaia diferenial a liniilor de curbur este

(2.5)

2 22 1 2 1

11 12 22

11 12 22

0

du du du dudt dt dt dtg g gb b b

= .

Prin punctele neplanare i neombilicale trec dou linii de curbur, reale i ortogonale. n punctele planare i ombilicale liniile de curbur sunt nedeterminate.

3. Formulele Darboux - Ribaucour. Geodezice.

Fie suprafaa S dat parametric prin (3.1) ( )1 2 1 2, , 0r h u u h h= " " !" !!" " pe U domeniu n 2% .

Fie pe S o curb C de ecuaii (3.2) ( ) [ ] ( ), 0, , 1, 2i iu u s s L i= = ,

nct, dac (3.2) ( ) ( )( ) [ ]1 2, , 0,r h u s u s s L= " " ,

este ecuaia curbei n spaiu, s avem

(3.3) [ ]1, 0,dh s Lds

=

".

Altfel spus, parametrul s este dat de lungimea de arc a curbei C.

Notm ( ) d hsds

="!"

i ( ) ( ) ( ) [ ], 0,gN s N s T s s L= !!" !!" !" . Definiia 3.1. Reperul ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }, , ,gP s T s N s N s!" !!!" !!" se numete reperul

Darboux Ribaucour. Cu s variabil, el este un reper mobil pe C. Studiem variaia acestui reper. n acest scop vom exprima vectorii

, ,gd NdT d N

ds ds ds

!!!"!" !!" n baza ( ), ,gT N N!" !!!" !!" . Observm c aceast baz este ortonormat i

pozitiv orientat. Fie pentru nceput


(3.4)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

,

g

gg

g

dT a T a N a Ndsd N

a T a N a Nds

d N a T a N a Nds

= + += + += + +

!" !" !!!" !!"

!!!"!" !!!" !!"

!!" !" !!!" !!"

unde matricea ( ) , 1, 2,3ija i j = urmeaz a fi determinat. Egalitile

, 0, , 0, , 0

, , 0, , , 0,

, , 0,

gg

g gg g

d NdT d NT N Nds ds ds

d N d NdT d NN T N Nds ds ds ds

d N dTT Nds ds

= = =

+ = + =

+ =

!!!"!" !!"!" !!!" !!"

!!!" !!!"!" !!"!!!" !" !!" !!!"

!!" !"!" !!"

obinute prin derivarea condiiilor de ortonormalitate ale bazei ( ), ,gT N N!" !!!" !!" , n combinaie cu (3.4) ne arat c matricea ( ) , 1, 2,3ija i j = este antisimetric.

nmulind scalar cu N!!"

n prima formul (3.4) obinem 2

13 2, , ndT d ra N N kds ds

= = =

!" "!!" !!", dup (1.7). Aadar avem 11 22 33 0; a a a= = =

13 31 na a k= = . Notm 12 21 ga a k= = i 23 32 ga a = = . Formulele (3.4) devin formulele Darboux Ribaucour:

(3.5)

,

,

.

g g n

gg g

n g g

dT k N k Ndsd N

k T Nds

d N k T Nds

= +

= +

=

!" !!!" !!"

!!!"!" !!"

!!" !" !!!"

Acestea se pot scrie simbolic astfel


(3.5)0

0 .0

g n

g g g g

n g

T Tk kd N k Nds

kN N

=

!" !"

!!!" !!!"

!!" !!"

n 1 am vzut c o curb pe S este linie asimptotic dac i numai dac

funcia ( ) [ ], 0,ns k s s L este identic nul. Ne intereseaz ce curbe sunt caracterizate de anularea torsiunii geodezice g i respectiv a curburii geodezice

gk . Vom stabili la nceput o formul de calcul pentru g . Prin nmulire

scalar cu gN!!!"

n ultima formul Darboux Ribaucour, obinem g , gd N Nds

=

!!" !!!"

i deci

(3.6) g , ,d NT Nds

= !!"!" !!"

(produs mixt).

Dar dup (FW), vectorul 2

1 ,,

i ij

i i ji i j

d N du duN A hds ds ds

=

= =

!!" !!" !!" care

substituit n (3.6) conduce la

( )1 22 1 1 2, , , , .i i i ijg i i j i ii j i i i

du du du du du duh A h N A A h h Nds ds ds ds ds ds

= = !" !!" !!" !" !!" !!"

Un calcul simplu arat c ( )1 2, ,h h N = !" !!" !!" . Aadar rezult

(3.7)

1 2

1 2

.g i ii i

i i

du duds ds

du duA Ads ds

=

Dar dup formulele (8.8) din Capitolul 3,

( )( ) ( ) ( )

1 2 11 1 1 11 12

1 2 11 21

2 1 211 12

12 22 22 11 12 21 22 12 12 221 1

i

ii

du du du duA A A g b g bds ds ds ds

du du dug b g b g b g b g b g bds ds ds

= + = + +

+ + = +

i similar,


( ) ( )1 2

211 21 12 11 11 22 12 12

1 1 .i

ii

du du duA g b g b g b g bds ds ds

= +

nlocuind n (3.7) obinem

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2

11 12 12 11 11 22 22 11 12 22 22 121

gdu du du dug b g b g b g b g b g bds ds ds ds

= + +

sau

(3.8)

2 22 1 2 1

11 12 22

11 12 22

1 .g

du du du duds ds ds dsg g gb b b

=

Comparnd (3.8) cu (2.5) obinem Propoziia 3.1. O curb pe suprafaa S este linie de curbur pe S dac i

numai dac n punctele curbei are loc 0g = . n concluzie, anularea invarianilor nk i g caracterizeaz curbele pe S

studiate anterior, linii asimptotice i respectiv linii de curbur. Invariantul gk va fi folosit pentru a introduce o nou clas de curbe numite geodezice pe S.

Definiia 3.2. O curb pe suprafaa S, cu proprietatea c n punctele ei are loc egalitatea 0gk = , se numete geodezic pe S.

Stabilim acum formule de calcul pentru gk .

Prin nmulire scalar cu gN!!!"

n prima formul Darboux Ribaucour

obinem g , , ,gdT dTk N N Tds ds

= =

!" !"!!!" !!" !" sau

(3.9) 2

g 2, ,dr d rk Nds ds

= " " !!"

.

Trecnd la o parametrizare oarecare a curbei, de parametru t, folosind 22 2 2

2 2, dr d r dt d r d r dt d r d tds dt ds ds ds ds dt ds

= = + " " " " "

,

obinem

(3.10) ( )

2

g 32 '

1, ,dr d rk Ndt dt r t

= " " !!"

" .


Vom da o alt form lui gk folosind (1.6). Plecnd cu (3.9) avem: 2 1 2 2

1 21 22 2

,, , ,

i i j

g i iji i j

du d u d u du duk h B h B h b N Nds ds ds ds ds

= + + + +

!" !!" !!" !!"

unde 1 1 2 2, ,

, i j i j

ij iji j i j

du du du duB Bds ds ds ds

= = . Pe baza proprietilor produsului mixt, obinem ( )1 2 2 2 2 12 1 1 22 2 , ,g du d u du d uk B B h h Nds ds ds ds

= + +

!" !!" !!" sau

(3.11)

1 2

2 1 2 21 2

2 2

.g

du duds dsk

d u d uB Bds ds

= + +

Revenim la (3.9) i constatm c avem 0gk = , dac i numai dac vectorii 2

2, ,d r d r Nds ds

" " !!" sunt coplanari, altfel spus

2

2

d rds

" este n planul determinat de punctul

curbei i vectorii si d r Nds

" !!". Dar condiia 1d r

ds=

", adic

2

1d rds

=

", prin derivare

ne d 2

2, 0d r d rds ds

=

" ". Deci

2

2

d rds

" este ortogonal pe dr

ds

", echivalent este coliniar cu

N!!"

. Aadar are loc Propoziia 3.2. O curb pe S, de ecuaie ( ) ( )( ) [ ]1 2, , 0,r r u s u s s L= " " cu

parametru s lungime de arc, este geodezic dac i numai dac vectorul 2

2

d rds

" este

coliniar cu N!!"

de-a lungul curbei. Subliniem c parametrizarea prin lungime de arc n Propoziia 3.2 este

esenial. Proprietatea nu mai are loc n alt parametrizare. Mai exact, dac pe o geodezic ( )0gk = trecem la alt parametrizare dat de un parametru t, curba continu s fie geodezic ( )0gk = dar 22d rdt

" nu este coliniar cu N

!!".

Corolar 3.1. O curb C pe S de ecuaie ( ) [ ], 0, 1, 2i iu u s s L i= = cu s lungime de arc este geodezic dac i numai dac funciile ( ) 1, 2iu i = sunt soluii ale sistemului de ecuaii difereniale de ordinul 2,


(3.12) ( ) ( )( )2 1 22,

, 0, 1, 2.i j k

ijk

j k

d u du duu s u s ids ds ds

+ = = Demonstraie. Scriem formula (1.6) cu parametrul s. Dup Propoziia 3.2,

curba C este geodezic dac i numai dac componenta tangenial a vectorului 2

2

d rds

" este nul. Cum 1h

!" i 2h!!"

sunt vectori liniar independeni, acest fapt este

echivalent cu (3.12). Ecuaiile (3.12) se numesc ecuaiile difereniale ale geodezicilor

suprafeei S. Parametrizarea prin lungime de arc este i aici esenial. La trecerea la un parametru oarecare t, ecuaiile (3.12) se complic prin apariia n membrul drept a unui termen n general diferit de zero. (Exerciiu). Sistemul (3.12) i menine forma numai pentru reparametrizri ale curbei de forma ' , s s c c= + % .

Are loc urmtoarea caracterizare geometric a geodezicilor. Propoziia 3.3. O curb pe S este geodezic dac i numai dac n fiecare

punct al curbei planul ei osculator conine normala la suprafa n acel punct. Demonstraie. Condiia 0gk = este echivalent cu coplanaritatea

vectorilor 2

2, si d r d r Nds ds

" " !!". Cum planul osculator este determinat de

2

2 si d r d rds ds

" "

rezult c aceast condiie este echivalent cu situarea normalei la S n planul osculator al curbei.

Sistemul de ecuaii difereniale (3.12) este neliniar dar coeficienii si sunt funcii difereniabile. Teorema de existen i unicitate pentru sisteme de acest tip justific

Propoziia 3.4. Prin orice punct ( )1 20 0 0,P u u i n orice direcie tangent ( )1 2,a a trece o singur geodezic.

Demonstraie. Sistemul (3.12) admite soluia unic

(3.13) ( )( ) [ )

1 1

2 2 , 0, ,

u u s

u u s s

==

cu 0 > , soluie care pentru 0s = satisface condiiile iniiale

( ) ( )( ) ( )

11 1 1

0

22 2 2

0

0 , 0 ,

0 , 0 .

duu u ads

duu u ads

= =

= =

Ecuaiile (3.13) definesc o geodezic prin S care trece prin ( )1 20 0 0,P u u i are n acel punct direcia tangent ( )1 2,a a .


Revenim la curbe oarecare pe suprafaa S. Pentru o asemenea curb avem invarianii , ,g n gk k precum i invarianii curbur k i torsiune cnd este privit ca o curb n spaiu. n mod necesar primii trei trebuie s se exprime cu k i , i invers. Stabilim asemenea exprimri.

Observm c vectorii , , si gN N n b!!!" !!" " "

sunt n acelai plan, perpendicular pe

T t=!" "

. Notm ( ),n N = " !!"$ i constatm c versorii reperului Darboux Ribaucour se exprim funcie de versorii reperului Frenet astfel

(3.14)

,

sin cos ,

cos sin .g

T t

N n b

N n b

=

=

= +

!" "

!!!" " "

!!" " "

Invers, versorii reperului Frenet se exprim n funcie de versorii reperului Darboux Ribaucour n forma

(3.15)

,

sin cos ,

cos sin .g

g

t T

n N N

b N N

=

= +

= +

" !"

" !!!" !!"

" !!!" !!"

n formula sin cos cos singd N

n n b bds

= + +# ## #

!!!"" " " "

, folosim formulele

lui Frenet, formulele lui Darboux Ribaucour i (15.14) pentru a obine

( ) ( )cos sin sin cos cos sing gk t n b kt b n n b + + = + + + +# #" " " " " " " " , de unde rezult sin , cos cos cos , sin sin sing g gk k = = + = +

# #.

Din ultimele dou ecuaii obinem g = +#

. Procedm similar plecnd

de la d Nds

!!" i obinem cosnk k = . n concluzie au loc formulele

(3.16) cos ,sin ,

.

n

g

g

k kk k

=

=

= +#

Acestea se pot inversa n forma

(3.16) 2 2 , .n g gk k k = + = #


Formulele (3.16) au loc de-a lungul curbei C parametrizat prin lungime de arc. Dac se trece la un parametru oarecare t, primele dou formule rmn

neschimbate iar ultima devine ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )'1

gds t s t s tds r t

= + " .

Teorema lui Bonnet. Fie 1S i 2S dou suprafee care se intersecteaz dup o curb C i fie unghiul fcut de normalele lor n lungul curbei C. Atunci, oricare dou din afirmaiile urmtoare implic pe a treia.

1. C este linie de curbur pe 1S , 2. C este linie de curbur pe 2S , 3. Unghiul este constant. Demonstraie. Fie ( )1 1,n N = " !!"$ i ( )2 2,n N = " !!"$ , unde 1N!!" i 2N!!" sunt

vectorii normali unitari la 1S , respectiv 2S . Fie 1g torsiunea geodezic a curbei C

pe 1S i 2g torsiunea geodezic a curbei C pe 2S . Avem, dup (3.16),

1 221, g g = + = +

# #. Deci ( )2 1 2 1g g d dds ds

= = . Aadar, dac 1 0g = i

2 0g = , atunci const = . Dac 1 0g = i const = ., atunci 2 0g = i n sfrit, dac 2 0g = i const = ., atunci 1 0g = .

Corolar 3.2. O sfer taie o suprafa S sub unghi constant dac i numai dac curba de intersecie este linie de curbur pe S.

Demonstraie. Curba de intersecie este linie de curbur pe sfer. Se aplic teorema lui Bonnet.

Corolar 3.3. Dac dou sfere se intersecteaz, unghiul normalelor n lungul curbei de intersecie este constant.

Demonstraie. Curba de intersecie este linie de curbur pe ambele suprafee. Se aplica teorema lui Bonnet.

Documents

Capitol 4 Curbe