Capitolo 34 TRASPORTO A SUPERFICIE LIBERA

1 CARATTERISTICHE ENERGETICHE

1.1 CARICO IDRAULICO

Nelle correnti a superficie libera l’acqua scorre in canali aperti o chiusi (figura 1.1), mantenendo una superficie a contatto con l’aria. La sezione bagnata perciò non è completamente determinata dalle pareti dell’alveo, ma varia a seconda che questo sia più o meno occupato dalla corrente.

(a) (b)

Figura 1.1 - Canale a) aperto e b) chiuso

Mentre nelle correnti in pressione ogni portata attraversa una generica sezione con velocità ed altezza cinetica ben determinate, nelle correnti a superficie libera una qualsiasi portata può passare, in linea di principio, con una velocità qualunque. Ad ogni velocità corrisponde una sezione bagnata Ω e, di conseguenza, un'altezza d’acqua h. Ciò rende lo studio delle correnti a superficie libera più complesso di quello delle correnti in pressione. Si consideri la sezione di alveo illustrata nella figura 1.2, in cui si è indicata con zo la quota del fondo rispetto ad un generico piano orizzontale. Se è h l’altezza idrica, la quota piezometrica della corrente risulta: ζ = +z h0

Se è Q la portata, la velocità media è:

( )UQ

h=

Ω

dove Ω(h) è l’area della sezione bagnata, funzione dell’altezza idrica h. Il carico totale è allora:

( )hg2

Qhzg2

Uhzg2

UH 2

2

0

2

0

2

Ωαααζ ++=++=+= (1.1)

e risulta una funzione dell’altezza idrica h.

Figura 1.2 - Grandezze che interessano la generica sezione

1.2 ENERGIA SPECIFICA

Nelle correnti a superficie libera conviene introdurre una nuova grandezza: l’energia specifica E, definita come l’energia meccanica per unità di peso della corrente calcolata rispetto al fondo dell’alveo. Si ha pertanto:

( )

E H z hQ

g h= − = +0

2

22αΩ

(1.2)

L’energia specifica differisce dal carico idraulico per una costante, la quota del fondo, ed è anch’essa funzione di h. Esaminando la (1.2) risulta evidente che, fissata la portata Q: - per h che tende all’infinito anche l’energia specifica E tende all’infinito; - per h che tende a zero E tende ancora all’infinito, perché aumenta oltre ogni limite

l’altezza cinetica, in quanto Ω(h) tende anch’essa a zero.

2

Ciò vuol dire che, se si vuol far passare una portata Q assegnata attraverso una sezione, pure essa assegnata, con una velocità molto forte o con un’altezza d’acqua elevatissima, la corrente deve avere una grande energia meccanica; nel primo caso cinetica, nel secondo caso di quota e di pressione. La funzione h(E) per Q assegnata è illustrata qualitativamente nella figura 1.3.

1.3 CORRENTE CRITICA

Il valore dell’altezza d’acqua per cui l’energia specifica è minima viene chiamato altezza critica hc. All’altezza critica corrisponde una sezione critica Ωc ed una velocità critica Uc. Una corrente che defluisce con altezza critica si dice corrente critica. Nella figura 1.3 è indicata l’altezza critica e con Ec è indicata l’energia minima (o critica).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5E (m)

h(m)

corrente velocecorrente lenta

hc

Figura 1.3 - Altezza idrica di una corrente a superficie libera in funzione dell’energia specifica

Il valore della sezione critica si ricava trovando il minimo della (1.2), ossia uguagliando a zero la derivata dell’energia specifica E rispetto ad h:

dEdh

ddh

ddh

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − =h +Q

2g

Qg

2

2

2

3α α

Ω ΩΩ

1 0

Poiché è ( )ddh

b hΩ

= , larghezza della superficie libera, sostituendo questa espressione nella

precedente e ricavando Ω, si ottiene:

3

( )

ΩccQ b h

g=

α 23 (1.3)

Ricordando che è UQ

cc

=Ω

, dalla (1.3) si può ricavare l’espressione della velocità critica:

( )Ug

b hcc

c=

αΩ

(1.4)

Se l’alveo è rettangolare si ha Ω =bh, con b costante. Dalla (1.3) si può ricavare l’altezza critica:

hQ

gbc =α 2

23 (1.5)

e dalla (1.4) la velocità critica:

Ug

hgQ

bc c= =α

3α

(1.4’)

Analogamente, per un’energia specifica E assegnata, la portata che transita attraverso una sezione dipende dall’altezza d’acqua secondo la relazione ricavata dalla (1.2):

( )( )α

hEhgQ −Ω=

22 (1.6)

È facile verificare che: - per h che tende a E l’altezza cinetica è trascurabile e Q tende a zero; - per h che tende a zero, anche Ω(h) tende a zero e di conseguenza pure la portata Q tende

a zero. La funzione Q(h) per E assegnata è illustrata qualitativamente nella figura 1.4. Il massimo valore Qc di Q si verifica quando h = hc, ossia quando la corrente è critica. In conclusione si può dire che la condizione critica per una corrente è quella in cui una portata assegnata passa con minima energia specifica, oppure in cui con un’energia specifica assegnata transita la massima portata.

1.4 CORRENTI LENTE E VELOCI

Se l’acqua scorre a superficie libera con un’altezza idrica maggiore ed una velocità minore di quelle critiche, si dice che essa è in corrente lenta. Se invece l’altezza idrica è minore e la velocità maggiore di quelle critiche, si dice che l’acqua è in corrente veloce. Se altezza idrica e velocità sono proprio quelle critiche, l’acqua si dice in corrente critica. Il fatto che la corrente sia lenta o veloce è indicato dal numero di Froude:

4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 5 10 15 20 25 30Q (m3/s)

h(m)

coorenti lentecorrenti veloci

hc

Figura 1.4 - Altezza idrica di una corrente a superficie libera in funzione della portata

Fr Ub

gU

gh= =

α αΩ

(1.7)

dove:

hb

=Ω

(1.8)

è l’altezza media della corrente. Infatti confrontando la (1.7) con la (1.4) si vede che è: - Fr = 1 se la corrente è critica; - Fr < 1 se la corrente è lenta, in quanto Ω > Ωc; - Fr > 1 se la corrente è veloce, in quanto Ω < Ωc.

2 CARATTERISTICHE CINEMATICHE

La distinzione tra correnti lente e correnti veloci è molto importante, perché implica un comportamento completamente differente. Per comprendere questo fatto, si consideri una perturbazione provocata, ad esempio, dalla caduta di un sasso in uno specchio idrico in quiete. Essa genera delle onde, che possono essere considerate delle piccole perturbazioni se la loro altezza δ è trascurabile rispetto alla profondità dell’acqua h. Le onde si allontanano dal punto in cui sono state generate con una celerità c. Il moto delle onde non comporta, però, un trasporto di massa, perché le particelle liquide non si allontanano dalla loro posizione, ma consiste soltanto in una trasmissione di perturbazioni.

5

Si può dimostrare che se in una corrente viene generata una piccola perturbazione, la sua celerità di propagazione è pari alla velocità della corrente se essa è in stato critico, e maggiore della velocità della corrente se essa è lenta ed è minore della velocità della corrente se essa è veloce. Per fissare le idee si consideri una corrente in un alveo rettangolare. Si può agevolmente dimostrare che in questo caso la celerità di propagazione delle piccole perturbazioni rispetto all’acqua vale:

c g= h (1.9)

- se è h = hc, la corrente è critica e U = Uc: allora c ghc= e, a meno del coefficiente α che, com’è noto, è molto prossimo all’unità, la celerità di propagazione è uguale alla velocità della corrente, data dalla (1.4’).

- se è h > hc, la corrente è lenta e U < Uc: in questo caso, per la (1.9), la celerità di propagazione è maggiore di Uc e quindi, a maggior ragione, anche di U.

- se è h < hc, la corrente è veloce e U > Uc: in questo caso, per la (1.9) la celerità di propagazione è minore di Uc e quindi, a maggior ragione, anche di U.

Si considerino ora le perturbazioni che tendono a propagarsi contro corrente: sia C la loro celerità di propagazione rispetto alle sponde del canale, e si assumano positive le celerità e le velocità dirette verso valle. Allora: - se la corrente è lenta si ha: C U c= − < 0 , perché in corrente lenta è c > U: la perturbazione risale effettivamente verso monte; - se la corrente è critica si ha: C U c= − = 0 , perché in corrente critica è c = U: la perturbazione non si muove rispetto alle sponde ed

in particolare non risale verso monte; - se la corrente è veloce si ha: C U c= − > 0 , perché in corrente veloce è c < U: la perturbazione può soltanto scendere rispetto alle

sponde e quindi non risale verso monte. Ne consegue che se in una sezione di una corrente s’introduce una causa di perturbazione del moto, ad esempio un ostacolo o una modifica dell’alveo, la perturbazione può risalire verso monte solo se la corrente è lenta. In questo caso tutto il regime della corrente a monte della causa di perturbazione risente della perturbazione stessa. Nelle correnti veloci e nelle correnti critiche, invece, la perturbazione non risale la corrente, che non si modifica a monte del punto in cui è generata. Ad esempio, quando in una corrente si cala dall’alto una paratoia, si possono verificare due casi: - se la corrente è lenta il livello idrico si innalza a monte fino a grande distanza dalla

paratoia (figura 2.1a);

6

- se la corrente è veloce, a monte si crea una intumescenza in corrente lenta, ma questa non riesce a risalire verso monte oltre un certo limite, al dilà del quale il deflusso resta indisturbato (figura 2.1b).

Figura 2.1 - Comportamento di a) correnti lente e b) veloci in presenza di un ostacolo

3 MOTO UNIFORME

3.1 SCALA DI DEFLUSSO

Si è visto che nelle correnti a superficie libera la forma dell’alveo non determina completamente la sezione della corrente. Pertanto il fatto che l’alveo abbia una sezione e una pendenza costante è condizione necessaria ma non sufficiente per l’uniformità del moto a superficie libera. Occorre, infatti, che anche la superficie libera sia parallela al fondo, in modo che non cambino l’area e la forma della sezione bagnata. Quindi il moto uniforme a superficie libera implica le seguenti condizioni: - alveo a sezione costante, - alveo a pendenza costante, - pendenza della superficie libera uguale a quella del fondo. Se queste condizioni sono rispettate la velocità non cambia nel senso del moto, e poiché la quota piezometrica coincide con la superficie libera, anche la pendenza piezometrica J coincide con la pendenza i del fondo, ossia:

7

J i= (1.10) Facendo riferimento alla formula di Chezy, al variare della portata Q, non potendo variare la pendenza piezometrica J, che è fissata dalla (1.10), devono variare l’altezza della corrente h da cui dipendono la sezione bagnata Ω, il raggio idraulico R e, di conseguenza, anche il coefficiente di Chezy χ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Q h h h R h i Q h is= =Ω χ (1.10a)

Questa relazione prende il nome di scala di deflusso del canale. Il rapporto tra la portata e la radice quadrata della pendenza del canale:

QQis = (1.11)

è chiamata portata specifica e non dipende dalla pendenza del fondo; essa infatti è una caratteristica della sezione del canale. Il rapporto tra la portata specifica e l’area della sezione bagnata è la velocità specifica:

UQA

QA

iss= = (1.12)

In un canale a sezione trapezia isoscele, come quello illustrato nella figura 3.1, in cui è bo la base, h la profondità dell’acqua e θ l’angolo che le sponde formano con l’orizzontale, l’area della sezione bagnata è:

Ω = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟h b

htgo θ

e il contorno bagnato è:

C bh

sino= +2

θ

da cui risulta il raggio idraulico:

RC

bh

tg

bh

sin

ho

o

= =+

+

Ω θ

θ2

Adottando per χ la formula di Manning, con n indice di scabrezza, la scala di deflusso si esprime:

( ) ih

sinh2b

tghb

tghbh

n1hQ

32

o

o

o

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

θ

θα

Se la sezione del canale è rettangolare, bo = b, larghezza del canale, tgθ → ∞ , sinθ = 1 , e la precedente diventa:

8

( ) ih2b

hbhn1hQ 3

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

Se la sezione è rettangolare infinitamente larga, talché h<<b, si ha e l’espressione della scala di deflusso si riduce alla:

R h≅

( ) in

bhhQ3/5

=

Nella figura 3.1 è illustrata la scala di deflusso di un canale a sezione rettangolare infinitamente larga, con indice di scabrezza n = 0,016, espressa in termini di portata specifica

per unità di larghezza il

Qqs = . A tratteggio è riportato l’andamento della velocità specifica

Us.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120velocità (m/s); portata (m3/s)

alte

zza

(m)

portata unitaria specifica

velocità specifica

Figura 3.1 - Scala di deflusso in termini di portata e velocità specifiche

3.2 ALVEI A DEBOLE E A FORTE PENDENZA

La scala di deflusso stabilisce una relazione biunivoca tra l’altezza d’acqua h e la portata Q in moto uniforme. Pertanto in un alveo assegnato, ad ogni portata Q corrispondono, in moto uniforme, un’altezza d’acqua hu, una sezione bagnata Ωu ed una velocità media Uu ben determinate. Per un’ assegnata portata Q, un alveo si dice: - a debole pendenza, se la corrente uniforme con portata Q è lenta; - a pendenza critica, se la corrente uniforme con portata Q è critica;

9

- a forte pendenza, se la corrente uniforme con portata Q è veloce. Per un canale di forma assegnata, il fatto che un alveo sia a forte o a debole pendenza per una determinata portata Q dipende dalla sola pendenza i. In un alveo rettangolare a sezione molto larga, tale che il raggio idraulico R sia pari all’altezza d’acqua h, la portata Q è legata all’altezza di moto uniforme hu dalla relazione:

Qbh

niu=

5 3/

Inversamente:

hn Qb iu =

3 5 3 5

3 5 3 10

/ /

/ / (1.13)

Se l’alveo è a pendenza critica, vale anche la (1.5):

h hQ

gbu c= =α 2

23

che eguagliata alla (1.13) permette di ricavare la pendenza critica i = ic:

in g b

Qc =2 10 9 2 9

10 9 2 91/ /

/α / (1.14)

La (1.14), il cui andamento è illustrato qualitativamente nella figura 3.2, mostra che in moto uniforme la pendenza critica ic diminuisce al crescere della portata Q. Ciò vuol dire che un generico alveo a pendenza i assegnata, risulta a debole pendenza per portate minori del valore Qc e a forte pendenza per portate maggiori di Qc.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25Q (m3/s)

i(%)

correnti critiche

alvei a debole pendenza

alvei a forte pendenza

ic

Figura 3.2 - Pendenza critica in funzione della portata

10

4 MOTO PERMANENTE

4.1 PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE

Nelle correnti a superficie libera, come in quelle in pressione, si verificano perdite di carico localizzate, legate soprattutto a rallentamenti locali della corrente che generano un brusco aumento di turbolenza. Questi rallentamenti sono dovuti a più o meno brusche variazioni dell’alveo (variazioni di sezione, curve) o alla formazione di un risalto idraulico.

Variazione di sezione

Le variazioni della sezione dell’alveo introducono una variazione dell’altezza idrica h, per cui la sezione bagnata Ω della corrente cambia in funzione sia dell’alveo sia di h. Inoltre una variazione di sezione è, in linea di principio, sempre accompagnata da un aumento localizzato di turbolenza che comporta una perdita di carico localizzata.

Risalto idraulico

Se un tratto di corrente veloce è seguito da una corrente lenta la transizione tra le due condizioni di moto avviene bruscamente, con una forte turbolenza. Per fissare le idee, si consideri la situazione illustrata nella figura 4.1, in cui una corrente veloce in un alveo a forte pendenza si trasforma in corrente lenta quando l’alveo diventa bruscamente a debole pendenza. Il dislivello tra le due altezze d’acqua di monte e di valle costituisce una perturbazione che tende a risalire verso monte, ma ne è impedita dalla presenza della corrente veloce, che defluisce con velocità maggiore della celerità di propagazione della perturbazione. Si crea allora sul piano verticale un vortice ad asse orizzonale, indicato dalle frecce, che prende il nome di risalto idraulico (o salto di Bidone). Nel risalto idraulico la turbolenza è molto elevata, e la dissipazione di carico elevatissima.

Figura 4.1 - Risalto idraulico

11

Per determinare le caratteristiche del risalto, si fissi l’attenzione su un tronco d’alveo a sezione costante, con il fondo sensibilmente orizzontale, come illustrato nella figura 4.2. Si consideri, quindi, l’elemento di corrente compreso tra due sezioni normali σ1 e σ2 , disposte a monte e a valle del risalto, a una distanza tale per cui si possa considerare smorzato l’eccesso di turbolenza provocato dal risalto stesso, in modo che la corrente risultia sufficientemente lineare, con distribuzione idrostatica delle pressioni. Si applichi a questo elemento l’equazione globale:

r r r r rG I M M− + + − =Π 1 2 0 (1.14a)

Figura 4.2 - Applicazione dell’equazione globale del moto a un risalto idraulico

In moto permanente è rI = 0 ; inoltre, proiettando la (1.14a) nella direzione del moto, la

componente del peso r

G è nulla per la supposta orizzontalità dell’alveo, e la (1.14a) si riduce a: (1.15) Πo M M+ − =1 2 0

dove Πο è la proiezione di nella direzione del moto. Se si trascurano gli sforzi tangenziali alla parete, Π

rΠ

ο vale: Π Π Πo o o= −1 2

dove e sono le spinte sulle sezioni Πo1 Πo2 σ1 e σ2 . Dalla (1.15) si ricava allora:

Π Πo1 oM+ = +1 2 M2 (1.16)

La (1.16) dice che la somma della spinta Πo e del flusso della quantità di moto M è uguale nelle due sezioni σ1 e σ2 a monte e a valle del risalto idraulico.

Siano h1 e h2 le altezze idriche nelle due sezioni; se l’alveo è rettangolare di larghezza b, si ha:

Πo bh1 121

2= γ Πo bh2 2

212

= γ

e:

12

MQ

bh1

2

1=

ρ M

Qbh2

2

2=

ρ

dove β è il coefficiente di Coriolis per quantità di moto, introdotto per tenere conto del fatto che il flusso delle quantità di moto calcolato con le grandezze medie non è uguale alla media dei flussi calcolati nei singoli punti della sezione. Sostituendo le precedenti nella (1.16) si ha:

( )12

1 101

222

2

1 2γ

ρb h h

Qb h h

− + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = (1.17)

La (1.17) è la relazione che sussiste tra l’altezza idrica a monte e a valle del risalto idraulico: la altezze h1 e h2 che soddisfano la (1.17) si dicono altezze coniugate. In base alla (1.17) si può ricavare facilmente la perdita di carico ΔH, che, essendo il fondo orizzontale, uguaglia la variazione di energia specifica E1 - E2. Si ha1:

( ) ( )ΔH H H E E h h

h hh h

= − = − = −+

−⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥1 2 1 2 2 1

1 22

1 2

14

1 (1.18)

Poiché il vortice causato dal risalto implica localmente velocità molto elevate, in grado di esplicare una forte azione erosiva, ha notevole interesse pratico poter determinare la lunghezza del risalto, vale a dire la distanza tra il punto d’innesco del risalto a monte fino all’estremità di valle del vortice. Questa lunghezza è stata determinata sperimentalmente e dipende dal numero di Froude. Cautelativamente si può assumere tale lunghezza pari a sette volte il livello idrico di valle.

4.2 PROFILI DI CORRENTE

Nel paragrafo 1.1 sono state esaminate le caratteristiche energetiche della corrente in una singola sezione, ma non è stata fatta alcuna considerazione sulle modifiche d’alveo e sulle dissipazioni d’energia che avvengono al passaggio da una sezione alla successiva. Queste

1 Infatti, per definizione di energia specifica è:

E E h hQgb h h

1 2 1 2

2

212

222

1 1− = − + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

che, ricavando dalla (1.17):

( )Qgb

h h h hh h

h h h h2

2 1 212

22

1 21 2 1 2

214

14

=−−

= +

diventa appunto:

( ) ( ) ( )E E h h h h h h h hh h

h h h hh h

h h1 2 1 2 1 2 1 222

12

12

22 1 2 2 1

1 22

1 2

14

14

− = − + +−

− = − + −+

,

da cui si ottiene immediatamente la (1.18).

13

modifiche e dissipazioni condizionano il modo in cui varia la profondità dell’acqua in moto permanente, e quindi la forma che assume il profilo di corrente (o profilo rigurgito), ossia il profilo della superficie libera della corrente. Nello studio dei profili di corrente occorre ricordare che: - quando l’altezza idrica h è uguale a quella di moto uniforme hu la corrente dissipa il

carico con la stessa rapidità con cui il fondo cala nel verso del moto, e l’energia specifica E della corrente rimane costante; infatti, se h hu= :

dHds

dzds

dEds

− = =0 0

- quando l’altezza idrica h è uguale all’altezza critica hc la corrente possiede la minima energia specifica compatibile con la sua portata; più h è lontana da hc più grande è l’energia specifica della corrente.

Nel seguito si prendono in esame separatamente gli alvei a debole pendenza e quelli a forte pendenza. In entrambi i casi si farà riferimento ad una portata Q assegnata e ad un alveo a sezione e a pendenza costante.

Alvei a debole pendenza

Gli alvei a debole pendenza sono quelli in cui la corrente uniforme è lenta. Perciò l’altezza di moto uniforme è maggiore di quella critica: h . Facendo riferimento alla figura 4.3, si considerino le condizioni del moto nella generica sezione σ. L’altezza idrica in σ potrà avere un valore qualsiasi, in dipendenza da circostanze su cui, per ora, non ci si sofferma. In particolare l’effettiva altezza idrica h potrà essere:

hu > c

c

h

c

- maggiore dell’altezza di moto uniforme: h (punto A nella figura 4.3); hu>- compresa tra l’altezza di moto uniforme e quella critica: h h (punto B nella figura

4.3); hu > >

- minore dell’altezza critica: h (punto C nella figura 4.3). c >

Se è (punto A) la corrente è lenta, e più lenta di quella di moto uniforme, per cui dissipa il carico più lentamente di questa, trovandosi progressivamente con energia specifica sempre maggiore. Procedendo verso valle il livello idrico deve allontanarsi dall’altezza critica, in cui l’energia specifica è minima, secondo la legge illustrata nella figura 1.3. Il profilo di rigurgito è la curva A’AA” tracciata nella figura 4.3. Esso scende sempre nel verso del moto e tende:

h hu>

- a monte al profilo di moto uniforme, - a valle al profilo orizzontale, perché man mano che la corrente rallenta, la perdita di

carico diminuisce fino ad annullarsi con acqua ferma. Se è (punto B) la corrente è ancora lenta, ma è meno lenta di quella di moto uniforme. Essa perciò dissipa il carico più rapidamente di questa e si trova progressivamente con energia specifica sempre minore. Il livello idrico deve allora avvicinarsi all’altezza

h h hu > >

14

critica, secondo la legge illustrata nella figura 1.3. Il profilo di rigurgito è la curva B’BB” tracciata nella figura 4.3. Esso scende sempre nel verso del moto e tende: - a monte al profilo di moto uniforme, - a valle a traversare verticalmente l’altezza critica, perché in vicinanza di questa l’energia

specifica varia poco al variare dell’altezza d’acqua, come mostra la figura 1.3. Va però notato che quando la pendenza della superficie libera è molto forte rispetto al fondo, vengono meno le condizioni di linearità del moto, supposte valide nella teoria, per cui tutte le considerazioni precedenti e gli sviluppi che seguiranno non possono essere considerati rigorosamente validi.

Se è (punto C) la corrente è veloce e anche in questo caso è più veloce di quella di moto uniforme. Il livello idrico tende ancora ad avvicinarsi all’altezza critica. Il profilo di rigurgito è la curva C’CC” illustrata nella figura 4.3. Esso sale sempre rispetto al fondo nel verso del moto e tende:

hc > h

- a monte ad una pendenza finita sul fondo, - a valle a traversare verticalmente l’altezza critica.

Figura 4.3 - Profili di corrente in alvei a debole pendenza

Alvei a forte pendenza

Gli alvei a forte pendenza sono quelli in cui la corrente uniforme è veloce. Perciò l’altezza critica è maggiore di quella di moto uniforme: h . Facendo riferimento alla figura 4.4, si considerino le condizioni del moto nella generica sezione σ. L’altezza d’acqua in σ potrà essere:

hc > u

u

- maggiore dell’altezza critica: (punto A nella figura 4.4); h hc>- compresa tra l’altezza critica e quella di moto uniforme: h h (punto B nella figura

4.4); hc > >

15

- minore dell’altezza di moto uniforme: (punto C nella figura 4.4). hu > h

u

h

Se è h , a maggior ragione è :la corrente è lenta ed è più lenta di quella di moto uniforme e dissipa meno carico di questa, trovandosi progressivamente con una energia specifica sempre maggiore. Il livello idrico deve allora allontanarsi dall’altezza critica, che è di minima energia, secondo la legge illustrata nella figura 1.3. Il profilo di rigurgito è la curva A’AA” tracciata nella figura 4.4. Esso sale sempre nel verso del moto e tende:

hc> h hu>

- a monte a traversare verticalmente l’altezza critica, - a valle al profilo orizzontale. Se è la corrente è veloce, ma anche in questo caso è meno veloce di quella in moto uniforme e dissipa meno carico di questa, trovandosi progressivamente con energia specifica sempre maggiore. Il livello idrico deve allora allontanarsi dall’altezza critica, secondo la legge illustrata nella figura 1.3. Il profilo di rigurgito è la curva B’BB” tracciata nella figura 4.4. Esso scende sempre nel verso del moto e tende:

h h hc > >

- a monte a traversare verticalmente l’altezza critica, - a valle al profilo di moto uniforme. Se è la corrente è veloce ed è più veloce di quella di moto uniforme e dissipa più carico di questa, trovandosi progressivamente con energia specifica sempre minore. Il livello idrico deve allora avvicinarsi all’altezza critica, secondo la legge illustrata nella figura 1.3. Il profilo di rigurgito è la curva C’CC” illustrata nella figura 4.4. Esso sale sempre rispetto al fondo nel verso del moto e tende:

hu >

- a monte ad una pendenza finita sul fondo, - a valle al profilo di moto uniforme.

Figura 4.4 - Profili di corrente in alvei a forte pendenza

Il discorso può essere formalizzato studiando la variazione nel verso del moto del carico totale H, dato dalla (1.1). Se si deriva la (1.1) rispetto all’ascissa s, si ottiene:

16

( )

dHds

dzds

dhds

Qg

dds h

dzds

dhds

Qg

ddh

dhds

= + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + +0

2

20

2

321

21α α

Ω ΩΩ

Questa, tenendo presente che è ddh

bΩ

= , larghezza dell’alveo in superficie, e − =dzds

i0 ,

pendenza del fondo, si può esprimere:

dHds

idhds

Q bg

= − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

2

3α

Ω (1.19)

Se si fa l’ipotesi che la perdita di carico ripartita in moto permanente, −dHds

, sia la stessa che

si avrebbe in moto uniforme con la medesima altezza idrica, essa può essere messa in relazione alla portata tramite la formula di Chezy, scritta nella forma:

Q RdHds

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ωχ

da cui si ricava:

dHds

QR

=2

2 2Ω χ (1.20)

Sostituendo la (1.20) nella (1.19) e ricavando dhds

si ottiene l’espressione della variazione

dell’altezza idrica:

dhds

idHdsQ b

g

iQ

RQ b

g

=+

−

=

−

−1 12

3

2

2 2

2

3α

χα

Ω

Ω

Ω

(1.21)

La (1.21) può essere integrata soltanto in qualche caso particolare. Negli altri casi bisogna ricorrere ad un’integrazione numerica. Se l’alveo è rettangolare molto largo, talché h è trascurabile rispetto a b, si ha R h= e Ω = bh , e la (1.21) diventa:

dhds

iQ

b hQ

gb h

=

−

−

2

2 3 2

2

2 31

χα

(1.21’)

Se si assume χ costante la (1.21’) è integrabile e si ottiene:

17

( )s si

h h hhh

Fhh

Fhhu

c

u u u= + − − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪1 1

3

311

1 (1.22)

dove, avendo posto yhhu

= , la funzione Fh

hu

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ si esprime:

( )( )

F yy y

yarcctg

y=

+ +

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16

1

1

13

2 13

2

2ln

La precedente prende il nome di funzione di Bresse, ed è tabellata in funzione di y. Il numeratore del secondo membro della (1.21) non è altro che la derivata dell’energia specifica E rispetto all’ascissa s:

dEds

idHds

= +

per cui la (1.21) si può scrivere:

dhds

dEds

Q bg

=

−12

3α

Ω

(1.21’’)

Se si ricorda la (1.3):

ΩcQ bg

=α 2

3 (1.3)

da cui si ricava:

α αQ bg

Q bgc c

2

332

3 1Ω Ω

= =

il denominatore del secondo membro della (1.21) può essere scritto:

11 12

3

2

3 3− = −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

α αQ bg

Q bg cΩ Ω Ω

(1.23)

Si vede subito che la (1.23) è negativa se è Ω Ω< c e la corrente è veloce, ed è positiva se è

Ω Ω> c e la corrente è lenta. È facile perciò verificare che nella (1.21’’) dhds

è positivo, e

quindi l’altezza d’acqua aumenta nel senso del moto quando: - la corrente è lenta, e perciò il denominatore è positivo, se è positivo anche il numeratore,

ossia se l’energia specifica cresce nel verso del moto; - la corrente è veloce, e perciò il denominatore è negativo, se è negativo anche il

numeratore, ossia se l’energia specifica decresce nel verso del moto.

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Viceversa l’altezza d’acqua diminuisce quando l’energia specifica decresce in corrente lenta o cresce in corrente veloce. Se la corrente è critica il denominatore del secondo membro della (1.21) si annulla, l’altezza

d’acqua è critica e dhds

tende all’infinito con un profilo verticale. In tal caso anche dhds

= 0 e il

profilo è parallelo al fondo. Si richiama ancora una volta il fatto che il profilo della superficie libera in realtà non diventa mai verticale, perché vengono a mancare le condizioni di linearità del moto assunte come ipotesi per la validità della (1.1) e quindi anche della (1.21).

Se il numeratore tende a zero anche dhds

tende a zero, per cui i profili di rigurgito

raggiungono l’altezza di moto uniforma soltanto asintoticamente. Le conclusioni ricavate dallo studio della (1.21) confermano gli andamenti dei profili di rigurgito illustrati nelle figure 4.3 e 4.4.

4.3 ESEMPI DI PROFILI DI RIGURGITO

In questo paragrafo saranno esaminati alcuni profili di rigurgito in relazione alle cause che hanno provocato la perturbazione della superficie libera, rendendo l’altezza d’acqua diversa da quella di moto uniforme. Come cause di perturbazione si prenderanno in considerazione variazioni dell’alveo od ostacoli disposti lungo la corrente. Verranno considerati separatamente gli alvei a debole pendenza e quelli a forte pendenza.

Alvei a debole pendenza Sbocco in un serbatoio

Il serbatoio può avere livelli diversi (figura 4.5): - livello superiore all’altezza di moto uniforme (profilo aa’, che coincide col profilo

A’AA” della figura 4.3); - con livello inferiore all’altezza di moto uniforme e superiore all’altezza critica (profilo

bb’, che coincide con un tratto del profilo B’BB” della figura 4.3); - con livello inferiore all’altezza critica (profilo cc’, anch’esso coincidente con il profilo

B’BB” della figura 4.3).

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Figura 4.5 - Alveo a debole pendenza che sbocca in un serbatoio

Traversa con altezza superiore a quella di moto uniforme

La traversa fissa un’altezza ho sulla soglia (il profilo coincide con quello A’AA” della figura 4.3) (figura 4.6).

Figura 4.6 - Alveo a debole pendenza sbarrato da una traversa

Paratoia calata dall’alto

La paratoia può lasciare al disotto una luce h1 (figura 4.7): - più alta dell’altezza critica (a): la corrente esce lenta e il profilo di moto uniforme a valle

risale fino alla paratoia; - più bassa dell’altezza critica (b): la corrente esce veloce (profilo che coincide con il

C’CC” della figura 4.3), e il profilo di moto uniforme risale fino al punto in cui la corrente veloce ha altezza h1 coniugata a quella di moto uniforme hu, dove ha luogo il risalto idraulico.

20

Subito a monte della paratoia si ha, in entrambi i casi, l’altezza d’acqua ho necessaria per fare defluire attraverso la luce la portata Q2 (il profilo a monte coincide con quello A’AA” della figura 4.3).

Aumento di pendenza

Aumentando la pendenza l’alveo (figura 4.8) può: - rimanere a debole pendenza (a): il profilo di moto uniforme di valle risale fino al punto D

e a monte si ha un profilo di richiamo (analogo al B’BB” della figura 3.8); - diventare a forte pendenza (b): il profilo di moto uniforme di valle non può risalire perché

la corrente è uniforme. A monte di D monte si ha un profilo di richiamo (analogo al B’BB” della figura 4.3) e a valle di D un altro profilo di richiamo (analogo al B’BB” della figura 4.3).

Figura 4.7 - Alveo a debole pendenza sbarrato da una paratoia calata dall’alto

Figura 4.8 - Alveo a debole pendenza con aumento di pendenza

2 Vedere il paragrafo 1 del capitolo 8 sulle luci a battente.

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Alvei a forte pendenza

Il serbatoio può avere livelli diversi (figura 4.9) - superiore all’altezza critica (profilo ab): dal livello del serbatoio il profilo cala verso

monte (secondo il profilo A’AA” della figura 4.4) risalendo lungo l’alveo fino a raggiungere l’altezza h1 coniugata di hu, dove ha luogo il risalto idraulico;

- inferiore all’altezza critica (profilo ac): il profilo di moto uniforme prosegue verso valle fino al punto D dove l’acqua stramazza nel serbatoio.

Figura 4.9 - Alveo a forte pendenza che sbocca in un serbatoio

Traversa con altezza superiore a quella critica

La traversa fissa un’altezza ho sopra la soglia (figura 4.10): si forma a monte della traversa un tratto di corrente lenta con profilo che cala verso monte (secondo il profilo A’AA” della figura 4.4) risalendo lungo l’alveo fino a raggiungere l’altezza h1 coniugata di hu, dove ha luogo il risalto idraulico.

Figura 4.10 - Alveo a forte pendenza sbarrato da una traversa

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Paratoia calata dall’alto

La paratoia può lasciare al disotto una luce h1 inferiore all’altezza di moto uniforme (figura 4.11): il profilo della vena effluente sale tendendo asintoticamente al profilo di moto uniforme (secondo il profilo C’CC” della figura 4.4); subito a monte della paratoia si ha un’altezza d’acqua ho - necessaria per fare defluire attraverso la luce la portata Q -che deve essere superiore all’altezza critica, perché l’energia specifica della corrente a monte della luce deve essere maggiore, o al limite uguale a quella della vena effluente, e ciò si può ottenere solo con un’altezza h0 superiore a hc. Il profilo a monte della paratoia cala verso monte (secondo il profilo A’AA” della figura 4.4) fino a raggiungere l’altezza h1 coniugata di hu, dove ha luogo il risalto idraulico.

Figura 4.11 - Alveo a forte pendenza sbarrato da una paratoia calata dall’alto

Variazione di pendenza

La pendenza può: - diminuire, con passaggio a alveo a debole pendenza (figura 4.12a): il profilo di moto

uniforme di valle con altezza hu2 risale verso monte fino a D, e di qui cala (secondo un profilo analogo a quello A’AA” della figura 3.9) fino a raggiungere l’altezza h1 coniugata dell’altezza di moto uniforme di monte hu1, dove ha luogo il risalto idraulico;

- aumentare (figura 4.12b): il profilo di moto uniforme di valle è veloce e non può risalire, ma si forma un profilo di moto uniforme di chiamata (analogo al B’BB” della figura 4.4) che parte dal punto D.

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Figura 4.12 - Alveo a forte pendenza con variazione di pendenza

In tutti gli esempi fatti, e in particolare nelle figure 4.7, 4.9, 4.10, 4.12a e 4.12b, si può constatare come la corrente veloce a monte non risenta delle perturbazioni di valle, salvo i tratti in cui è trasformata in corrente lenta. Nelle figure 4.7b, 4.8b, 4.11 e 4.12b si vede, invece, che la corrente veloce risente delle perturbazioni di monte, assumendo un profilo di rigurgito comandato da monte.

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