Capitolo 4 – Funzione di trasferimentocontrol.disp.uniroma2.it/carnevale/Corsi/CA_1516/Appunti/... · Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni

Fondamenti di controlli automatici 3/ed – P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl

Capitolo 4 – Funzione di trasferimento




Massima sovraelongazione

Valore di regime

Tempo di assestamento (ε%)

Tempo di salita

Tempo di risposta

Periodo delle oscillazioni

Risposta al gradino unitario


P(s) = µτ s+1

, τ > 0

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ

+R2s=

−µ

s+ 1τ

+µs

y(t) = µ 1− e−tτ

"

#$

%

&', y(t) = µ

τe−tτ

Sistemi del primo ordine


P(s) = µ(τ1s+1)(τ 2s+1)

y(0) = lims→∞ s2 µ(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s= 0

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ1

+R2

s+ 1τ 2

+R3s

y(t) = µ 1− 1τ1 −τ 2

e−tτ1 +

1τ1 −τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&'',τ1 > τ 2 > 0

Sistemi del secondo ordine (poli reali)

τ1 = 2,τ 2 =1 (p2 = −1τ 2

< p1 = −1τ1)

p_1 è il polo dominante (modo più lento) y(s) = R1s+ 1

τ1

+R1,2

s+ 1τ1

!

"#

$

%&

2 +R3s, τ1 = τ 2

y(t) = µ 1− e−tτ1 −

tτ1e−tτ1

!

"##

$

%&&

p_1=p_2: poli coincidenti


Sistemi del secondo ordine con uno zero (poli reali)

P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

τ < 0→ Sistema a fase non-minima

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ1

+R2

s+ 1τ 2

+R3s

y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2

e−tτ1 +

τ 2 −ττ1 −τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&'',τ1 > τ 2 > 0,τ < 0

y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1

e−tτ1 −

τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&''t=0

, 1(τ1 −τ 2 )

τ1 −ττ1

−τ 2 −ττ 2

"

#$

%

&'< 0 ∀τ < 0, with τ1 > τ 2

Sottoelongazione o risposta inversa

τ1 = 2,τ 2 =1

Sottoelongazione o risposta inversa



P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

Sistema fase minima: non presenta sottoelongazioni

τ > τ1 > τ 2 > 0

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ1

+R2

s+ 1τ 2

+R3s

y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2

e−tτ1 +

τ 2 −ττ1 −τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&'',τ1 > τ 2 > 0,τ > 0

y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1

e−tτ1 −

τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&''t=0

> 0 ∀τ > 0, with τ1 > τ 2



P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ1

+R2

s+ 1τ 2

+R3s

y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2

e−tτ1 +

τ 2 −ττ1 −τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&'', (4.38)

y(t) ≅ µ 1− e−tτ 2

"

#$$

%

&'', (4.40)

τ ≅ τ1 >> τ 2 > 0

τ1 =1,τ 2 = 0.92(4.38) : τ 2 = 0.05(4.40)

Cancellazione polo-zero: la risposta può essere approssimata assumendo che il residuo del polo

associato a tau_1 (-1/tau_1) sia nullo.


P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

τ1 > τ > τ 2 > 0

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ1

+R2

s+ 1τ 2

+R3s

y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2

e−tτ1 +

τ 2 −ττ1 −τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&'',τ1 > τ 2 > 0,τ > 0

y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1

e−tτ1 −

τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&''t=0

> 0 ∀τ > 0, with τ1 > τ 2


τ1 = 2,τ 2 =1


τ1 = 2,τ 2 =1

P(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

τ1 > τ 2 > τ > 0

y(s) = P(s)u(s) = µ(τ s+1)(τ1s+1)(τ 2s+1)

1s

y(s) = R1s+ 1

τ1

+R2

s+ 1τ 2

+R3s

y(t) = µ 1− τ1 −ττ1 −τ 2

e−tτ1 +

τ 2 −ττ1 −τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&'',τ1 > τ 2 > 0,τ > 0

y(0) = µ τ1 −τ(τ1 −τ 2 )τ1

e−tτ1 −

τ 2 −τ(τ1 −τ 2 )τ 2

e−tτ 2

"

#$$

%

&''t=0

> 0 ∀τ > 0, with τ1 > τ 2



P(s) = µω 2

s2 + 2ξωs+ω 2

0 < ξ <1

y(t) = µ 1− 11−ξ 2

e−ξωnt sin ωnt 1−ξ2 + arccos(ξ )( )

"

#$$

%

&'',

Sistemi del secondo ordine (poli complessi)


ymax = µ(1+ e−ξπ / 1−ξ 2 )

TM =π

ωn 1−ξ 2

Tp =2π

ωn 1−ξ 2

S%=100e−ξπ / 1−ξ2

Sistemi del secondo ordine (poli complessi)







P(s) = (τ s+1)(0.1s+1)(0.002s2 + 0.02s+1)(s2 + 0.1s+1)

(4.50)

Pa(s) = 1(s2 + 0.1s+1)

(4.51)

Pa(s) = 1+ 20s(s2 + 0.1s+1)

(4.52)


P(s) = (τ s+1)(0.1s+1)(0.002s2 + 0.02s+1)(s2 + 0.1s+1)

(4.50)

Pa(s) = 1(s2 + 0.1s+1)

(4.51)

Pa(s) = 1+ 20s(s2 + 0.1s+1)

(4.52)


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