Capitolo 4.:Corrente alternata 4.1.Definizioni sulle grandezze alternate Si definiscono:

Grandezze variabili: modificano nel tempo il loro valore.

Grandezze unidirezionali: in ogni istante le grandezze hanno sempre lo stesso segno.

Grandezze periodiche: sono grandezze variabili che ripetono l’andamento e la successione di valori ad intervalli di tempo costanti. Tale intervallo di tempo viene detto periodo T e si misura in secondi.

Grandezze alternative: sono particolari grandezze variabili, periodiche, la cui somma algebrica dei valori assunti in un periodo è nulla (i valori istantanei positivi formano, con l’asse dei tempi, un’area equivalente a quella analoga di segno opposto formata dai valori negativi: le due aree si compensano esattamente).

Grandezze alternative sinusoidali: sono grandezze alternative variabili con legge sinusoidale, con rappresentazione trigonometrica del tipo La frequenza, che si indica con f, rappresenta quanti periodi sono contenuti nell’unità di tempo, se T si misura in secondi si ha:

[Hz] ][s 1 1- ⇒=T

f

4.2. Generalità sulle correnti alternate. Si chiama corrente alternata ogni corrente che varia nel tempo con legge periodica alternativa. La forma dell’onda che si usa per le correnti alternate è la forma sinusoidale che presenta le due proprietà: 1) che eseguendo la somma di due o più grandezze omogenee di questa forma, si ottenga una grandezza risultante avente ancora la stessa forma;

0 1 2 3 4 5 6 7-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400grandezza 1grandezza 2differenza

2) che applicando a questa forma alternativa l’operazione di derivazione rispetto al tempo, si perviene ancora ad una forma uguale. Una generica grandezza alternata sinusoidale ha quindi una espressione del tipo:

)()( tsenYty M ⋅⋅= ω

Dove con y(t) si indica il valore della grandezza che assume all’istante t, con YM si indica il valore massimo che la grandezza assume mentre con ω si intende la pulsazione la quale non rappresenta altro che la velocità con cui varia la grandezza. Ricordando che la funzione seno rappresenta l’ordinata del raggio vettore che si muove sulla circonferenza trigonometrica e che un giro completo, rappresentato dall’angolo 2π, viene percorso in un periodo T si può scrivere:

fTT

⋅⋅=⋅⋅=⋅

= πππω 2122 [rad/s]

4.3. Valore efficace di una corrente periodica (e in particolare di una grandezza sinusoidale) Nella pratica si usa commisurare l’intensità di una. corrente alternata a quella di una corrente continua termicamente equivalente. Si definisce, quindi, valore efficace di una corrente alternata quel valore che dovrebbe avere un corrente continua, circolante nello stesso circuito, per produrre nel corso di ogni. periodo la stessa quantità di calore. In termini analitici:

∑ Δ⋅⋅=T

tiRW0

2 in corrente alternata

TIRW ⋅⋅= 2 in corrente continua

Uguagliando queste due quantità si ha:

TIRtiRT

⋅⋅=Δ⋅⋅∑ 2

0

2

Da cui si ricava:

T

tiI

T

∑ Δ⋅= 0

2

2

Da cui si deduce:

T

tiI

T

∑ Δ⋅= 0

2

Questo si esprime dicendo che il valore efficace di una corrente alternata corrisponde alla radice quadrata della media aritmetica dei quadrati di tutti i valori istantanei nel corso di un periodo. Per la forma sinusoidale si ha:

)()( tsenIti M ⋅⋅= ω

2)2cos(1)()( 2222 tItsenIti MM

⋅⋅−⋅=⋅⋅=

ωω

)2

2(21

21)( 222 πω −⋅⋅⋅+⋅= tsenIIti MM

Il secondo termine rappresenta un’onda sinusoidale di ampiezza 1/2 IM e di pulsazione 2ω quindi il valore medio è nullo, mentre dal primo termine scompare la dipendenza dal tempo, per cui:

⋅= 22

21

MII e quindi

221 2 M

MI

II ==

La considerazione del valore efficace si estende a tutte le altre grandezze alternative che interessano i circuiti elettrici. Per tutte le grandezze alternative di forma sinusoidale, il valore efficace è sempre uguale al valore massimi diviso radice di 2. Il valore efficace si indica con lettera maiuscola come si indicano, in continua, una tensione o una corrente. E’ noto come RMS value (root mean square or effective value). 4.4. Valor medio, fattore di forma. Poiché non possiamo considerare il valore medio esteso su un periodo ci riferiamo di solito al valore medio

nell’intervallo di un semiperiodo ed è definito dalla relazione:

2/

2/

0

T

tiI

T

m

∑ Δ⋅=

Se l’onda è di forma sinusoidale, si ottiene l’espressione:

Mm II ⋅=π2

Si definisce fattore di forma ( Kf ) il rapporto fra il valore efficace ed il valore medio, ed è caratteristico di ogni forma d’onda, per la forma sinusoidale Kf = 1,11. 4.5.Somma e differenza di grandezze sinusoidali isofrequenziali Per somma di due o più grandezze sinusoidali si intende quella grandezza che ha per valori istantanei la somma algebrica dei valori istantanei contemporanei delle grandezza date. Risulta che se si rappresentano due o più grandezze sinusoidali della stessa frequenza con altrettanti vettori, la somma di queste grandezze rimane definita come quella grandezza sinusoidale che viene rappresentata dal vettore che rappresentano le singole grandezze componenti

0 1 2 3 4 5 6 7-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Pertanto la somma di due o più grandezze sinusoidali di uguale frequenza è ancora una grandezza sinusoidale della stessa frequenza, la quale è rappresentata in ampiezza e fase dal vettore che si ottiene costruendo la

risultante dei vettori rappresentativi delle singole grandezze componenti. La differenza fra due grandezze si riconduce ad eseguire la somma fra la prima di esse ed un’altra uguale in valore e di segno opposto alla seconda.

4.6.Rappresentazione vettoriale delle grandezze sinusoidali. Associazione di un vettore ad una sinusoide

Accanto alla rappresentazione trigonometrica del tipo

)()( ϕω ±⋅⋅= tsenIti M

è fondamentale, per le applicazioni alla risoluzione dei problemi in corrente alternata sinusoidale, la rappresentazione vettoriale.

Figura 1) La rotazione del vettore alla velocità angolare costante ω (detta pulsazione del vettore elettrico) in senso antiorario origina, con la proiezione sull’asse delle ordinate, la successione dei valori istantanei che appartengono alla sinusoide, il cui asse delle ascisse può essere l’angolo di rotazione o il tempo trascorso. Qui l’angolo è espresso in gradi, anziché in radianti.

In fig.1 un vettore di ampiezza unitaria ruota in senso antiorario con velocità angolare costante ω e inizialmente (istante t=0 con α=0°) si trova sull’asse delle ascisse. Dopo un certo intervallo di tempo t il vettore ha descritto un angolo α=ωt e la sua proiezione sull’asse delle ordinate diventa

Questa proiezione cambia ovviamente da istante a istante.

L’ordinata dell’estremità del vettore di ampiezza unitaria, col trascorrere del tempo e quindi col crescere dell’angolo α descrive dunque una funzione sinusoidale. Sull’asse delle ascisse di fig.1 è riportato l’angolo

descritto dal vettore, contato a partire dalla posizione orizzontale iniziale, secondo il verso positivo dell’ascissa. L’angolo di rotazione che cambia da istante a istante, nella funzione trigonometrica deve essere espresso in radianti, mentre in figura 1) è misurato in gradi.

In fig.2, per un vettore di ampiezza generica YM, anziché unitaria, la proiezione verticale rappresenta la successione dei valori istantanei della grandezza all’aumentare del tempo e la sinusoide ne fornisce l’andamento temporale.

Si può dunque stabilire una corrispondenza :

- tra un vettore rotante e la sinusoide associata, oppure

- tra una grandezza sinusoidale e il vettore rotante univoco da essa definito.

Figura 2) Valore istantaneo della grandezza “y” quando il vettore rotante ha descritto l’angolo α di 30°, contato a partire dall’istante iniziale in cui è α=0.

Se ora si assume l’origine dei tempi in un istante diverso da quello di fig.1 (le considerazioni partivano dall’istante in cui il vettore era sulle ascisse), la grandezza sinusoidale avrà dunque una posizione iniziale diversa da zero: per meglio dire assumerà una fase iniziale non nulla. La costante di fase iniziale, detta comunemente fase e ancor più comunemente indicata con l’angolo φ, rappresenta la frazione di periodo già trascorsa (o l’angolo già descritto) nell’istante in cui si considera t=0. In fig.3 to è l’intervallo di tempo trascorso dall’inizio del periodo (valore iniziale nullo) fino all’istante che è stato assunto come origine dei tempi. La velocità angolare ω del vettore (pulsazione) è espressa dalla (3):

Figura 3) Il vettore rotante Y1M a cui si associa la sinusoide ha la fase φ di +60° nell’istante in cui si considera t=0. La pulsazione è di 314 rad/s, quindi con periodo di 20ms e frequenza 50Hz. La fase viene contata positiva partendo dalle ascisse della figura di sinistra e trovando il vettore con rotazione in senso positivo antiorario. La corrispondente proiezione sulle ordinate è positiva.

Il vettore associato alla sinusoide sarà dunque collocato in anticipo (+φ) o in ritardo (-φ) rispetto all’asse delle ascisse, preso come riferimento (lì si ha φ=0). L’angolo di anticipo o di ritardo può essere riferito anche ad un’altra grandezza sinusoidale, con stessa frequenza.

La rappresentazione della funzione sinusoidale è dunque data dalla (1):

)()( ϕω ±⋅⋅= tsenYty M

La fase è positiva se la proiezione iniziale sulle ordinate è positiva. Negativa con proiezione al di sotto dell’ordinata “0”. L’angolo di anticipo viene valutato partendo dall’ascissa positiva e ruotando in senso positivo antiorario fino alla posizione del vettore.

Al contrario, se per raggiungere il vettore si deve ruotare in senso orario, partendo dall’asse positivo delle ascisse, allora l’angolo deve essere rappresentato con il segno negativo.

I valori istantanei della grandezza generica esaminata vengono rappresentati con la lettera minuscola “y(t)” o più concisamente con “y”. I valori istantanei sono rappresentati dalle proiezioni del vettore rotante sull’asse delle ordinate nel diagramma cartesiano di fig.3.

Il vettore rotante ha ampiezza (o valore massimo) che viene comunemente indicata con lettera maiuscola e accento circonflesso sul “capo”, anche se è diffusa la seconda rappresentazione con il pedice “M”:

MYY =ˆ

In realtà l’associare un vettore ad una tensione o ad una corrente che variano con legge sinusoidale è solo un

utile artificio, comodo per i calcoli e per grandezze con stessa frequenza, ma si sottolinea che, fisicamente, una tensione o una corrente sono grandezze scalari.

In fig.7 compaiono due vettori e le rispettive sinusoidi associate, in due posizioni diverse, di equazione

)()( 11 ϕω +⋅⋅= tsenYty M )()( 22 ϕω −⋅⋅= tsenYty M

La grandezza y1 è in anticipo di φ1 rispetto all’asse delle ascisse, mentre la seconda, y2, è in ritardo di φ2. Lo sfasamento fra le due grandezze è la loro differenza algebrica

Per sfasamento fra due o più funzioni sinusoidali si intende dunque la differenza tra gli argomenti.

Si distinguono i seguenti casi particolari di sfasamento fra due grandezze:

Δφ=0 grandezze in fase (fig.4)

Δφ=π/2 grandezze in quadratura (fig.5)

Δφ=π grandezze in opposizione di fase

Una grandezza sinusoidale è caratterizzata e univocamente determinata conoscendone ampiezza, fase, pulsazione o frequenza fra loro legate, le ultime due, dalla relazione precedentemente scritta:

Nelle figure successive si rappresentano

- sinusoidi con stessa fase, stessa frequenza, ma di diversa ampiezza (fig.4),

- sinusoidi con stessa ampiezza e frequenza, ma diversamente sfasate (fig.5 con y1 in anticipo su y2 di π/2),

- sinusoidi con stessa ampiezza, stessa fase e pulsazione diversa (fig.6).

Figura 4) Due grandezze sinusoidali di diversa ampiezza YM , ma con stessa fase e stessa pulsazione.

Figura 5)Due grandezze sinusoidali di fase diversa (fra loro sono in quadratura, con y1 in anticipo di 90° oppure con y2 in ritardo di 90°). Ampiezza e pulsazione sono qui identiche.

Figura 6) Due grandezze sinusoidali con diversa pulsazione (y2 ha frequenza e quindi pulsazione doppia rispetto a y1). L’ampiezza è identica. Non si possono qui associare vettori rotanti alle due sinusoidi, poiché le loro velocità angolari diverse non consentono operazioni di somma algebrica, operazioni invece utili per la risoluzione di circuiti in regime alternato sinusoidale.

Se si lavora con grandezze sinusoidali che hanno tutte la medesima pulsazione è sufficiente riferirsi all’ampiezza e alla fase di ognuna.

4.7.Rappresentazione polare di grandezze sinusoidali

Si è visto in precedenza che, assegnata la grandezza sinusoidale

)()( ϕω ±⋅⋅= tsenYty M

ad essa si può associare il vettore di ampiezza nota, rotante in senso antiorario alla velocità angolare costante ω, detta pulsazione. Il vettore forma con l’asse delle ascisse, nell’istante iniziale, un angolo pari alla fase φ, come rappresentato in fig.3.

Nel seguito si sottintenderà dunque che, stabilita la corrispondenza biunivoca tra il vettore rotante e la sinusoide associata, sarà sufficiente riferirsi esclusivamente al vettore posto nel piano cartesiano. Note ampiezza, velocità angolare e fase si immagina, senza disegnarla, la sinusoide che rappresenta. 4.8.Rappresentazione simbolica dei vettori. Ogni grandezza sinusoidale si rappresenta mediante un vettore e che le operazioni di somma fra più grandezze omogenee della stessa frequenza si effettuano mediante somme vettoriali. Inoltre la somma fra più

vettori si risolve sommando algebricamente e separatamente fra loro le rispettive componenti ortogonali. Ne risulta conveniente rappresentare ogni singolo vettore su un piano che metta in evidenza le componenti ortogonali, il piano scelto è il piano di Gauss, fissato un asse di riferimento x si rappresenta con j il vettore unitario normale all’asse x. In questo modo ogni singolo vettore si rappresenta con una espressione simbolica del tipo:

A = a ± j b Variando il valore e il segno delle due componenti si possono definire tutti i vettori del piano. Il modulo del vettore sarà determinato dalla relazione:

22 baA += e l’angolo di fase dalla relazione:

abtg =ϕ

4.9.Lo stato di regime nei circuiti a C.A. Nei circuiti a corrente continua lo stato di regime delle correnti era univocamente determinato note le tensioni applicate e le resistenze elettriche dei conduttori interessati. Nei circuiti in corrente alternata ciò non è più vero perché intervengono i fenomeni di autoinduzione; infatti mentre per i primi circuiti, anche se sono contornati da dei campi magnetici, questi sono in valore costante e quindi non generano delle fe.m. di autoinduzione mentre nei circuiti in C.A le variazioni continue di corrente e quindi di flusso (per la legge di Lenz )generano nei conduttori delle f.e.m indotte che sono sempre presenti e che quindi bisogna sempre considerare. Un qualsiasi tratto di circuito in C.A può essere considerato come se in serie alla resistenza ci sia collegato un generatore avente una f.e.m pari a quella che si autogenera per effetto dell’autoinduzione, di solito il generatore prima considerato viene sostituito da un solenoide ed a questo solenoide gli viene dato il nome di induttanza o coefficiente di autoinduzione L. Espressione della f.e.m. di autoinduzione Si è stabilito che la corrente i varia nel tempo con legge:

)()( tsenIti M ⋅⋅= ω in cui IM è il valore massimo ed ω la pulsazione, la derivata rispetto al tempo della corrente risulta:

)cos()()( tItsenIdtdti

dtd

MM ⋅⋅⋅=⋅⋅= ωωω

da cui moltiplicando per L e mettendo - davanti si ha:

)cos( tILe M ⋅⋅⋅⋅−= ωω

ricordando che risulta - cosωt = sen (ωt - 90°) risulta: e = ω L IM sen (ωt - 90°) Si può osservare che: 1) la f.e.m. di autoinduzione risulta anche essa sinusoidale ma è sfasata rispetto alla corrente di 90° 2) il valore massimo di questa espressione è definito dalla relazione:

EM = ω L IM Usando la rappresentazione simbolica per indicare che un vettore è sfasato di 90° in ritardo rispetto ad un altro, si usa la notazione simbolica - j ; pertanto se I è la corrente la f.e.m. di autonduzione viene espressa dalla semplice relazione:

EM = - j ω L IM Quindi il passaggio di una corrente alternata in un circuito puramente induttivo provoca una caduta di tensione proporzionale alla corrente tramite il coefficiente (-j ω L) questo coefficiente viene chiamato reattanza induttiva e viene indicata con X ed ha le dimensioni di una resistenza (in quanto provoca una c.d.t, si osservi che l’espressione precedente è simile alla legge dì ohm ) in definitiva si ha: XL = -j ω L per cui si può scrivere: E = XL I

4.10. Circuiti puramente capacitivi Funzionamento del condensatore in corrente alternata. Un condensatore collegato ad una sorgente in C.A. si comporta come un circuito chiuso avente una certa resistenza; questo si può spiegare considerando il fenomeno della carica e della scarica di un condensatore. Consideriamo il circuito: e la rappresentazione vettoriale di una grandezza alternata

quando il circuito è chiuso il condensatore è soggetto alla tensione alternata considerata e quindi segue il ciclo di tale grandezza, infatti nel tratto 0-1 la tensione applicata cresce da zero al suo valore massimo positivo e quindi il condensatore si carica, nel secondo tratto 1-2 la tensione decresce dal suo valore massimo a zero e quindi il condensatore, dovendo sempre verificare l’uguaglianza tensione applicata=tensione del condensatore, si scarica. Il fenomeno si ripete analogamente negli altri due tratti ma con polarità opposta. Tutti questi fenomeni avvengono con passaggio di corrente e considerando che a livello industriale la frequenza vale 50 Hz, il fenomeno suddetto si ripete 100 volte in un secondo, quindi l’amperometro misurerà sempre una corrente che circola ciclicamente in versi opposti. Stato di regime del condensatore in CA. Un condensatore sottoposto ad una tensione variabile in un certo intervallo di tempo accumula sulle sue armature una quantità di cariche Δq data dall’espressione: Δq = C ΔV Dividendo questa espressione per il tempo e passando al limite otteniamo:

dttdvCii )()( ⋅=

Che rappresenta il valore della corrente istantanea al variare della tensione istantanea. Ricordando

l’espressione che assume una tensione alternata si ha: )()( tsenVtv M ω=

)cos()( tVdt

tdvM ωω ⋅⋅=

Ricordando che )90()cos( tsent ωω −°= si ottiene )90()( tsenVCti M ωω −°⋅⋅=

Da questa relazione si deduce che la corrente circolante ha la stessa forma dell’onda di tensione, ma che è sfasata di 90° in anticipo rispetto alla tensione; inoltre considerando il valor efficace delle grandezze otteniamo in modulo I = ωCV da cui si può scrivere V = XcV avendo posto Xc l’inverso di ωC. In forma vettoriale possiamo scrivere direttamente:

IjXV c

rr⋅−=

La grandezza Xc prende il nome di reattanza capacitiva del condensatore e rappresenta quel valore fittizio da attribuire al circuito per tener conto della circolazione di corrente che si ha nel circuito stesso.

Circuito ohmico – induttivo Consideriamo un circuito formato da una resistenza e da una reattanza di tipo induttivo, supponiamo che in tale circuito circoli una corrente di modulo I e fase iniziale zero ed analizziamo il comportamento del circuito:

la corrente passando attraverso la resistenza R provoca una caduta di tensione in fase con la corrente data da:

IRVR

rr⋅=

Passando attraverso la reattanza provoca una caduta di tensione sfasata di 90° in anticipo rispetto alla corrente, data da:

IjXV LL

rr⋅=

Quindi la tensione totale agente ai capi del circuito sarà la soma vettoriale delle due c.d.t., quindi si avrà: IjXRIjXIRVVV LLLR

rrrrrr⋅+=⋅+⋅=+= )(

Ponendo ZjXR L&=+ )( si ha: IZIjXRV L

r&

rr⋅=⋅+= )(

L’operatore complesso Z& prende il nome di impedenza. Rappresentando vettorialmente le conclusioni avremo:

il triangolo che ne risulta viene chiamato triangolo delle tensioni e per esso valgono le relazioni:

22LR VVV += e

R

L

VV

tg =ϕ

L’angolo φ rappresenta lo sfasamento che esiste tra la corrente che circola nel circuito e la tensione applicata; osserviamo che i lati del triangolo delle tensioni ad opera della corrente, sono proporzionali alla resistenza, induttanza e impedenza, per cui scalando tale triangolo è possibile ottenere il triangolo delle impedenze in cui sussistono analoghe relazioni per il triangolo delle tensioni:

22LXRZ += e

RXtg L=ϕ

Si conclude che lo sfasamento che si ha tra tensione e corrente in un circuito in CA dipende esclusivamente dalle caratteristiche del circuito stesso. 11b) Circuito ohmico-capacitivo R-C con resistenza e capacità in serie. Impedenza

Figura a) Circuito R-C serie; b) diagramma tensioni-corrente e triangolo delle cadute di tensione; c) triangolo dell’impedenza.

Rispetto al circuito R-L, qui la presenza del condensatore di capacità C che ritarda la propria caduta di tensione di 90°, porta a spostare anche in ritardo la tensione totale rispetto alla corrente (dell’angolo φ, inteso negativo perché contato con verso orario a partire dalla posizione dell’asse reale positivo del piano di Gauss).

Le considerazioni precedenti sono quindi influenzate dal segno meno della reattanza capacitiva –jXC , che si calcola, in modulo:

Pertanto, con riferimento alla fig. 2, si scrivono le seguenti relazioni:

in cui l’impedenza totale del circuito ohmico-capacitivo è

I moduli e l’argomento si determinano così:

12_Risoluzione di circuiti in serie – Impedenza totale

Per la risoluzione di carichi collegati in serie, cioè percorsi dalla stessa corrente, si determina l’impedenza totale. Occorre ricordare ancora che i diversi sfasamenti delle impedenze, e di conseguenza delle singole cadute di tensione ai capi, impongono che la loro somma sia vettoriale e non una semplice somma numerica dei singoli moduli.

La somma vettoriale si riferisce sia al calcolo dell’impedenza totale, sia al calcolo della tensione totale, note le singole c.d.t. vettoriali.

Nel seguito si applicherà il teorema di Kennelly-Steimetz:

per la risoluzione dei circuiti in regime sinusoidale le relazioni sono analoghe a quelle adottate per le reti in corrente continua, purché alle grandezze scalari si sostituiscano le grandezze vettoriali, alle resistenze si sostituiscano le impedenze e alle conduttanze le ammettenze). Le operazioni si eseguono, ad esempio, con i numeri complessi.

Si risolve un esempio numerico riferito a due impedenze in serie.

Esempio 1) Il circuito di fig.1a), percorso dalla corrente di 10A in valore efficace, è costituito dalla serie di due impedenze così espresse:

Calcolare

- le cadute di tensione prodotte dalle due impedenze,

- la tensione UAC fornita dal generatore, posto tra i punti A-C,

- l’impedenza totale ZT,

- lo sfasamento totale;

- tracciare il diagramma delle cadute di tensione e il triangolo dell’impedenza totale.

Calcolo dell’impedenza totale

essendo

I moduli delle impedenze e i relativi sfasamenti sono i seguenti:

Calcolo vettoriale delle cadute di tensione:

La tensione totale fra i punti A-C, espressa mediante le relazioni

vale

Si riassumono le grandezze, scrivendole in forma trigonometrica:

Per tracciare il diagramma corrente-tensioni di fig. 1c) è opportuno collocare sull’asse reale la grandezza nota e comune alle due impedenze in serie, che è, in questo esercizio, la corrente.

Figura a) Impedenze in serie; b) triangolo delle impedenze; c) diagramma corrente-tensioni

13_Risoluzione di circuiti in parallelo – Metodo delle conduttanze, suscettanze, ammettenze - Impedenza equivalente

Mentre in serie si determina la impedenza totale sommando vettorialmente le singole impedenze, nei rami in parallelo si sommano vettorialmente le singole ammettenze, per ottenere quella totale.

L’ammettenza viene definita come il reciproco dell’impedenza.

Partendo per ipotesi da una impedenza di tipo ohmico-induttivo e utilizzando il metodo simbolico si ottiene:

essendo la conduttanza, parte reale espressa in ‘siemens’:

e la suscettanza, anch’essa espressa in ‘siemens’ come anche l’ammettenza:

Si noti, perché ciò sarà utile per la convenzione dei segni sul tipo di carico, che l’impedenza e l’ammettenza corrispondente differiscono per il segno del cateto, come si nota in fig.2) per il carico R-L. Per carichi R-C si scambiano ovviamente le considerazioni.

Figura) Differenza fra i segni della parte reattiva nei triangoli dell’impedenza e dell’ammettenza per un carico R-L . Per un carico R-C serie si scambiano i segni in modo duale.

• Per due rami in parallelo si può sempre calcolare l’impedenza equivalente come si faceva, in genere, per le resistenze in parallelo, ma ricordando che qui vale il teorema citato di Kennelly-Steimetz, e quindi vettorialmente:

• In generale, con riferimento a tre rami in parallelo (fig.3a), si opera ad esempio con le seguenti relazioni

ed essendo per definizione

l’ammettenza totale diventa

Essa equivale ai rami in parallelo e, alimentata alla stessa tensione, assorbe la stessa corrente totale erogata dal generatore (figg. 3a-b)

Per ritornare alla rappresentazione della impedenza equivalente, inversamente si ottiene

Per quanto riguarda le correnti, essendo i rami in parallelo sottoposti alla stessa tensione, si applica il primo principio di Kirchhoff :

ed ancora

Il modulo della corrente totale è deducibile dal seguente calcolo:

Figura a) Tre rami in parallelo e circuito equivalente; b) conduttanze e suscettanze dei rami ed ammettenza totale; c) diagramma vettoriale con valori numerici dell’esempio 2 (il ramo 2 è di tipo R-C).

Risonanza

15_Risonanza in serie

Un alimentatore fornisca una tensione sinusoidale di valore efficace costante, ma se ne possa variare la frequenza teoricamente da 0 a ∞. Si alimenti il circuito serie di fig.1a).

Figura a) Circuito serie R-L-C. In risonanza (b), quando XL=XC, si compensano le due cadute di tensione reattive e la tensione totale del generatore coincide con quella ai capi di R. In tali condizioni, se XL=XC>R, si ha una sopraelevazione di tensione ai capi di L e C, come si è ipotizzato in figura.

Poiché al crescere della frequenza cresce la pulsazione ω, anche la reattanza induttiva varierà linearmente da 0 a ∞, in base alla relazione (v. fig.2):

XL = ω · L = 2πf · L

Per quanto riguarda la reattanza capacitiva, essa è invece elevatissima alle basse frequenze e tende al corto circuito con frequenze altissime, secondo l’iperbole equilatera (fig. 2) che risulta dalla relazione

L’impedenza totale, tenendo conto dei segni (+XL e –Xc)

ha come modulo

e la corrente assorbita è

con sfasamento deducibile ad esempio dalla relazione

Sono riportati in fig. 2 anche l’andamento dell’impedenza e della corrente nel circuito, al variare della frequenza del generatore.

Figura) Grandezze circuitali al variare della frequenza. Alla frequenza fR, in risonanza, l’impedenza Z è minima e coincide con la resistenza R, essendo nulla la reattanza totale XL-XC (curva gialla); la corrente è massima. La curva della corrente è tanto più appuntita e di elevato valore massimo quanto minore è la resistenza R.

Quanto vale la frequenza fR in corrispondenza della quale le due reattanze si uguagliano? Basta ricordare che

A questa frequenza, detta frequenza di risonanza, l’unico ostacolo è costituito dalla resistenza R e, tanto più piccolo sarà il suo valore, tanto maggiore sarà la corrente assorbita dal circuito:

In tale condizione potranno quindi aversi elevati valori delle c.d.t. parziali UL e UC ai capi delle due reattanze, tali da superare il valore della tensione U di alimentazione che viene imposta ai capi del circuito. Ciò accadrà per XL=XC > R .

Il valore di sovratensione può risultare pericoloso per l’isolamento dei componenti circuitali, specie se è imprevisto il fenomeno di risonanza nel circuito di lavoro.

In risonanza la tensione richiesta dal condensatore è esattamente identica alla f.e.m. di autoinduzione della bobina. La tensione ai capi della resistenza coincide invece con quella totale.

In modo analogo a prima si potrebbero determinare il valore di capacità C necessario a conferire la condizione di risonanza, note la frequenza e l’induttanza L della bobina, oppure il valore di L che porta alla risonanza, note la frequenza e la capacità C (basta ricavarne i valori dalla (1)).

Dalla fig.2 si nota che per basse frequenze, fino a valori prossimi a fR il circuito ha un comportamento R-C; alla frequenza fR il circuito è puramente ohmico e per frequenze superiori alla fR il circuito diventa sempre più di tipo induttivo, con corrente in ritardo sulla tensione impressa, fino a tendere a +90° con f → ∞. Quando f → 0 il circuito ha invece uno sfasamento che tende a –90°.

16_Risonanza parallelo (antirisonanza)

16a) Come caso duale della risonanza serie (circuito di fig.1) consideriamo lo schema di fig.4, formato da rami ideali R,L,C in parallelo. Anche qui si possa mantenere costante la tensione in ampiezza e variarne la frequenza.

Figura a) Risonanza parallelo o antirisonanza: è il caso duale della risonanza serie di fig.1a). In b) le correnti corrispondono alla condizione di risonanza e, come in questo caso, quelle reattive, uguali e contrarie, sono superiori alla corrente totale del fattore Q.

Il circuito è antirisonatore quando ad un particolare valore di frequenza (detta di antirisonanza) esso presenta la minima ammettenza, e quindi la massima impedenza equivalente.

Il circuito antirisonante e quello risonante visto sopra sono perfettamente duali.

L’ammettenza generica del circuito di fig.4 è

In risonanza si uguagliano le suscettanze e dall’uguaglianza si deduce la frequenza di risonanza fR:

Alla frequenza suddetta l’ammettenza assume il valore minimo, coincidente con la conduttanza G e anche la corrente totale è minima e in fase con la tensione. Addirittura, nel caso teorico di conduttanza nulla, la corrente totale assorbita dal circuito sarebbe nulla, con correnti nei rami L e C tendenti a infinito.

Figura) Grandezze circuitali al variare della frequenza. Alla frequenza fR, in risonanza, l’impedenza equivalente Z è massima, mentre è minima l’ammettenza totale, proporzionale alla corrente totale. Il caso è duale rispetto a quello serie di fig. 2.

Al di sotto della fR prevale la suscettanze induttiva, con sfasamento negativo dell’ammettenza (ma con sfasamento positivo per l’impedenza, ovvero corrente in ritardo sulla tensione). Al diminuire della frequenza lo sfasamento tende a –90°. Al contrario succede per frequenze superiori alla fR: prevale l’effetto capacitivo e la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. Al crescere della frequenza lo sfasamento tende a 90°.

Come per il circuito serie anche qui si possono ricavare le relazioni che definiscono il fattore Q e la banda passante B

Q è anche detto, sempre per il circuito di fig.4, coefficiente di sovracorrente

La corrente totale, in generale, è data dal prodotto

e in risonanza è in fase con la tensione, con modulo IT = IG =U·G

Le Potenze nei circuiti in corrente alternata monofase

18 Le potenze nei circuiti in corrente alternata monofase

Per questo importante argomento si fa riferimento a quanto riportato nel Modulo 0s2. Di seguito vi sono i collegamenti riferiti ai circuiti in corrente alternata monofase.

- POTENZE - Generalità

1_ Potenza istantanea

_ Potenze attiva, reattiva, apparente e vettoriale

_ Grafici e definizioni (variazione delle potenze al variare dello sfasamento del carico)

_ Valor medio del prodotto di due grandezze sinusoidali

_ Misura con wattmetri

Per l’applicazione del teorema di Boucherot si rimanda al modulo corrispondente

Qui si richiamano unicamente alcune considerazioni e relazioni fondamentali, utilizzate nei calcoli delle potenze riferite ai circuiti monofase (fig.1). Seguiranno alcuni esempi di risoluzione di circuiti utilizzando il metodo delle potenze, con il teorema di Boucherot, fondamentale per le applicazioni numeriche.

• La potenza attiva P si dissipa nella resistenza R,

• la potenza reattiva Q (che non si dissipa ma si scambia continuamente) interessa le reattanze (segno + per le induttive e segno – per quelle capacitive);

• la potenza apparente S riguarda tutta l’impedenza Z ed è legata dal teorema di Pitagora alla P e Q (triangolo delle potenze di fig.1).

Figura) Triangolo delle potenze. La Q positiva è per convenzione attribuita allo scambio con +XL.

19_Il problema del rifasamento nei circuiti monofase

Per la trattazione dell’argomento relativo al rifasamento nei circuiti monofase si veda l’indirizzo:

2a_ Il rifasamento, di cui viene anche qui riportato il riferimento ai circuiti monofase.

Per migliorare il fattore di potenza di un impianto, posto ad esempio all’arrivo di una linea di alimentazione e per portarlo ad un valore cosφ’=0,9 imposto dall’ente distributore o a un valore più elevato, fino al rifasamento totale, occorre inserire in parallelo al carico una batteria di condensatori, che compensi parzialmente o totalmente quella di segno opposto del carico.

Si osserva che, come non si deve scendere al di sotto del valore 0,9 imposto, non si può nemmeno rifasare in anticipo, onde evitare ad esempio problemi legati alla sopraelevazione della tensione di rete.

Figura 2) Diagrammi delle potenze dell'impianto utilizzatore prima e dopo il rifasamento.

Per ridurre lo sfasamento complessivo dell’utenza e quindi per aumentare il fattore di potenza complessivo occorre inserire all’arrivo, in parallelo sul carico, una batteria di condensatori di potenza Qc.

Dalla fig.2 si ottengono le seguenti relazioni:

La potenza reattiva che interessa una batteria di condensatori si può anche determinare dalla relazione (2), essendo la reattanza capacitiva

Dall’uguaglianza fra la (1) e la (2) si ottengono

da cui

Vantaggi del rifasamento: L’aumento del f.d.p. in seguito al rifasamento porta alle considerazioni seguenti:

· diminuisce la potenza apparente dell’utenza (carico + batteria) e quindi · diminuisce la corrente della linea (solo quando i condensatori sono posti all’arrivo, in parallelo

al carico e non in partenza della linea); · diminuiscono le perdite di potenza in linea; · diminuendo la corrente si può progettare la linea con una sezione minore; · diminuiscono le cadute di tensione sulla linea; · aumenta il rendimento della linea.

Se l’utenza, rifasando, richiede minore potenza apparente, l’ente che eroga l’energia può soddisfare più utenze, rispetto a quando non si rifasa. Se un utente preleva dalla rete una potenza P e cosφ=1, mentre un secondo utente preleva la stessa potenza P, ma con cosφ=0,5, la società che distribuisce l’energia deve fornire a quest’ultimo una corrente in ogni istante doppia rispetto a quella fornita al primo cliente, con maggiori perdite joule in linea e nelle macchine generatrici. Si ricorda ancora che la potenza attiva dell’utenza non viene modificata dalla presenza dei condensatori, ritenendo costante la tensione prima e dopo il rifasamento. Come collocazione ideale i condensatori dovrebbero essere posti dove è ubicato ogni singolo carico. Con l’impianto completamente rifasato (a cosφ=1), la linea trasmette al carico la sola potenza reale, mentre quella reattiva si scambia totalmente tra il carico e i condensatori di rifasamento. In pratica però, a volte, si devono fare altre scelte per motivi di organizzazione, di costo, di gestione degli impianti e i condensatori vengono collocati ad esempio per gruppi di utilizzatori e non per ogni singolo carico. Si può anche controllare in tempo reale il fattore di potenza dell’utenza e provvedere di conseguenza al rifasamento, in base alle mutate condizioni, mediante inseritori automatici di condensatori di una batteria rifasante.

Applicazioni numeriche al calcolo delle potenze nei circuiti monofase - Risoluzioni con il metodo delle potenze, in alternativa a quello simbolico.

Esempio 1)

Figura 3)

Del circuito sono noti i seguenti valori:

U3 = 50 V; R3 = 100 Ω; XL3 = 150 Ω; R2 = 80 Ω; Xc = 10 Ω

Determinare la tensione di partenza Up, la corrente totale I, il cosϕT con il metodo delle potenze.

Come verifica ripetere lo svolgimento con il metodo vettoriale.

Per la risoluzione si segue il metodo delle potenze, applicando il teorema di Boucherot. Si calcolano le potenze reali o attive che si dissipano nelle resistenze, le potenze reattive, tenendo conto dei segni convenzionali (+ QL per potenze che interessano le bobine pure, -QC per quelle reattive che interessano i condensatori).

- La potenza attiva totale è la somma di quelle attive parziali,

- la potenza reattiva totale è la somma algebrica di quelle reattive,

- la potenza apparente totale è la somma vettoriale, che viene calcolata, in genere, non con il metodo vettoriale, ma determinandone il modulo dal teorema di Pitagora (fig.1).

Calcolo dei moduli della corrente in R3 e in X3, nota la tensione ai capi del parallelo:

Potenza attiva in R3:

Potenza reattiva in XL3:

Potenza apparente relativa al circuito equivalente parallelo:

E’ ora possibile calcolare la corrente totale e, senza usare il metodo simbolico, se ne può determinare il modulo, ricordando che la potenza apparente è anche il prodotto fra la tensione ai capi del ramo in esame e la corrente che lo percorre, in questo caso quella totale, per cui:

Si passa al calcolo della potenza attiva nella R2 e a quella reattiva capacitiva in Xc:

Calcolo le potenze attive e reattive totali:

All’ingresso la potenza apparente complessiva è:

Da qui si ottiene la tensione in partenza:

Il fattore di potenza “visto” all’ingresso si può calcolare direttamente dal rapporto

Circa la soluzione con il metodo simbolico si fornisce solamente la conclusione: si ottiene una impedenza totale del circuito pari a

Per il tracciamento del diagramma tensioni-correnti può essere utile posizionare la tensione nota U3 sull’asse reale; di conseguenza si collocheranno le correnti e le altre tensioni con questo riferimento iniziale.

Esempio 2)

Figura 4)

Si conoscono i seguenti valori, relativi al circuito di fig.4:

Uu = 100 V; f = 100Hz; R1 = 8 Ω; L1 = 6mH; R2 = 6 Ω; X2 = 8 Ω;

R = 6Ω; L = 4mH; C = 200 μF

Determinare la tensione di partenza Up, la corrente totale I, il cosϕT, seguendo il metodo delle

potenze.

Come verifica ripetere lo svolgimento con il metodo vettoriale.

Calcolo le singole reattanze alla frequenza di 100Hz data dal problema:

X1 = ω L1 = 2·π·100 ·6·10-3 =3,77Ω

X L= ω L = 2·π·100 ·4·10-3 =2,513Ω

Calcolo i moduli delle impedenze dei rami 1 e 2:

Calcolo le correnti in modulo:

Calcolo le singole potenze:

Si possono determinare le stesse potenze in altro modo, ad esempio conoscendo lo sfasamento relativo all’impedenza, la tensione

totale ai capi e la corrente che la attraversa.

Come esempio, per il ramo 2, si ricava:

Per il teorema di Boucherot i due rami in parallelo equivalgono ad un solo ramo, con i seguenti dati:

La corrente totale è dunque:

Del ramo in serie, con i componenti percorsi dalla corrente totale, si calcolano le singole potenze:

Calcolo le potenze all’ingresso:

Dalla potenza apparente si deduce la tensione d’ingresso:

Il fattore di potenza d’ingresso si può calcolare, dal triangolo delle potenze, con il rapporto

Seguendo invece il metodo simbolico e posizionando sull’asse reale del piano di Gauss la tensione

nota Uu= UBC si ottengono i seguenti risultati (naturalmente identici, nei moduli, a quelli trovati col metodo

delle potenze):

I risultati sono riportati nei diagrammi di fig.5.

Figura 5)

Esempio 3) Linea monofase e rifasamento

Si propone lo schema 6a) da risolvere ancora col metodo delle potenze. Il carico all’arrivo della linea monofase (di cui si trascura la reattanza data la breve lunghezza) necessita di rifasamento, secondo i dati ora forniti.

Figura 6a) Linea monofase che alimenta tre carichi all’arrivo; b) Circuito equivalente e rifasamento.

Una linea monofase alimenta, alla tensione Ua di 230V, f=50Hz, tre carichi di tipo ohmico

induttivo, posti all’arrivo, di cui si conoscono i seguenti dati (riferiti alla tensione di 230V e secondo lo

schema di fig.6a):

P1 = 900 W; cosϕ1= 0,780

S2 = 1500VA; cosϕ2= 0,830

Q3 = 1400var; P3 = 750 W

La linea monofase, di lunghezza limitata, è tale per cui se ne può trascurare la reattanza;

essa presenta però una resistenza Rl=0,4Ω per ogni filo.

Si determinino la corrente in linea, la tensione in partenza, la c.d.t. percentuale e il rendimento

della linea stessa.

In un secondo tempo, dovendo riportare il fattore di potenza all’arrivo al valore cosϕ’=0,9, si

richiede di determinare la potenza reattiva della batteria di condensatori. Si ricalcolino la nuova corrente

e il rendimento della linea dopo il rifasamento.

- Calcolo delle potenze del carico 1:

- Potenze del carico 2:

- Le potenze del carico 3 sono già fornite dal testo, per cui si può determinare ora il carico

complessivo, posto all’arrivo della linea e mediante il teorema di Boucherot calcolarne le potenze, il

fattore di potenza complessivo e la corrente assorbita dal carico equivalente e dalla linea:

- La potenza persa in linea, dovuta ai due fili di linea è

- La perdita percentuale di potenza in linea vale

‐ Poiché è possibile trascurare la reattanza di linea, alla partenza la potenza reattiva coincide con quella dell’utilizzatore equivalente, mentre quella attiva diventa

‐ Si ricava la potenza apparente d’ingresso, da cui si può dedurre la tensione con cui deve essere alimentata la linea:

- Il fattore di potenza d’ingresso è:

- Il rendimento della linea è:

Rifasamento

Dalla (1) si determina la potenza reattiva capacitiva della batteria di condensatori necessaria a

portare il fattore di potenza del carico all’arrivo dal valore attuale (0,699) al valore di 0,9 , a cui corrisponde

la tangente 0,484:

Per ipotesi si ritenga che dopo il rifasamento la tensione ai capi del carico rimanga costante al valore richiesto di 230V.

La capacità totale dei condensatori è, per la (3):

Complessivamente il carico, dopo l’inserzione della batteria, richiederà la nuova corrente I’,

che percorrerà la linea di alimentazione. Essa può ricavarsi determinando la potenza apparente corretta,

e se ne constata la riduzione rispetto a prima:

Alla riduzione della potenza apparente corrisponde, come ci si aspettava, una riduzione della

corrente in linea (da 18A a 14A).

Anche la potenza persa in linea si riduce secondo le relazioni

All’ingresso della linea si ricalcolano:

Il rendimento dopo il rifasamento diventa: