(BOZZA) DISPENSE DEL CORSO: SISTEMI ELETTRICI INDUSTRIALI

ANNO ACCADEMICO 2004-2005

CAPITOLO V

DIMENSIONAMENTO DELLE MEMBRATURE

Estratto da: G. Carpinelli, V. Mangoni: ”Sistemi Elettrici per l’Energia”.

CAPITOLO V

DIMENSIONAMENTO DELLE MEMBRATURE Il dimensionamento delle membrature o calcolo elettrico di una linea o di una rete di distribuzione consiste nel determinare le sezioni dei conduttori in modo che risultino soddisfatte alcune condizioni (calcolo preliminare) o che siano verificate queste ultime una volta assegnate le relative sezioni dei conduttori (calcolo di verifica). Le correnti utilizzate per i calcoli, dette correnti di impiego, saranno quelle relative alle condizioni di massimo carico, tenuto conto, nel caso di più carichi, dei relativi fattori di utilizzazione e contemporaneità. V.1 Calcolo delle correnti di impiego

La Norma CEI 64-8 definisce che la corrente di impiego, IB, è la corrente che può fluire in un circuito nel servizio ordinario e dipende da: numero degli utilizzatori, potenza, tensione, cosϕ, rendimento. In regime permanente corrisponde alla più grande corrente trasportata dal circuito in servizio ordinario tenendo conto dei fattori di utilizzazione e di contemporaneità. In regime variabile si considera la corrente termicamente equivalente che, in regime continuo, porterebbe gli elementi del circuito alla stessa temperatura. In generale, per un carico trifase, vale la relazione:

,kcosV3PI uB ηϕ ⋅⋅

= (V.0)

dove: P è la potenza attiva assorbita dai carichi alimentati dalla linea; V è la tensione concatenata; cosϕ è il fattore di potenza; η è il rendimento definito come il rapporto tra la potenza resa e la potenza assorbita; ku è il fattore di utilizzazione definito come il rapporto tra la potenza assorbita e quella nominale. Infine, se una linea alimenta più carichi, la corrente di impiego della linea viene determinata dalla somma delle correnti di impiego dei singoli carichi per il fattore di contemporaneità, kc, definito come il rapporto tra la potenza massima contemporaneamente assorbita diviso somma delle potenze nominali installate. Di seguito, si riporta un estratto della guida CEI 64-50 che propone, nell’appendice F.1, per il calcolo della corrente (massima) IB di un circuito la seguente relazione:

IB = P · a · b · c · d · e dove P è la potenza espressa in kW di ogni apparecchio utilizzatore, e i vari fattori a, b, c, d ed e hanno il significato riportato nelle tabelle seguenti: Fattore a - per apparecchi di illuminazione

Apparecchi illuminazione con lampada ed alimentatori rifasati con cos ϕ≥ 0,9:

Tensione (V)

Potenza (W)

a

Incandescente 230 Tutte 1 Alogena 230 Tutte 1 Fluorescente (ballast/reattore + starter) 230 Da 15 a 58 Da 1,3 a 1,7 Fluorescente HF (ballast elettronici) 230 Da 16 a 50 Da 1,09 a 1,2 Bulbo fluorescente (a vapore di mercurio) 230 Da 50 a 1000 1,38 Fattore a - per apparecchi utilizzatori a motore Potenza motore (kW) a Sino a 0,6 2 Da 1 a 3 2 Da 4 a 40 1,5 Oltre 40 1,2 Il fattore a viene assunto pari a 1 per apparecchiature di riscaldamento con resistenza, mentre per gli apparecchi utilizzatori si deve far riferimento alle indicazioni fornite dai costruttori. Fattore di utilizzazione b Tipo di utilizzatore b Apparecchi di illuminazione 1 Apparecchi utilizzatori a motore 0,75 Apparecchi di riscaldamento 1 Applicazioni industriali 0,3÷0,9 Fattore di contemporaneità c Il fattore di contemporaneità deve essere scelto sulla base delle varie applicazioni; in assenza di indicazioni più precise si possono adottare i valori della precedente tabella. Impianti c Di illuminazione 1 Riscaldamento e condizionamento d’aria 1 Prese a spina 0,1÷0,2 Fattore per “ampliamenti” d Il fattore d tiene conto delle previsioni di estensione dell’impianto: • in genere = 1 • per applicazioni industriali = 1.2 Fattore di conversione e Fattore di conversione delle potenze (espresse in kW) in correnti (espresse in A) Tensione (V) e 230 4,35 400 1,4

V.2 Dimensionamento I criteri di dimensionamento generalmente adottati sono quelli: • della massima caduta di tensione nell’impianto di distribuzione (criterio elettrico); • della massima sovratemperatura dei conduttori (criterio termico); • del massimo tornaconto economico (criterio economico). Il criterio elettrico è vincolante nelle reti di distribuzione dove è necessario che al passaggio tra condizioni di carico minimo a condizioni di carico massimo le sezioni dei conduttori siano tali che le cadute di tensione siano contenute entro limiti piuttosto ristretti. In particolare, risulta vincolante nelle linee di distribuzione in BT in cui, in generale, non esistono elementi per la regolazione fra le sbarre della cabina ed i singoli utenti, i quali, come è noto, sono estremamente sensibili alle variazioni della tensione. Per quanto riguarda il criterio termico, è noto che la densità di corrente nei conduttori non deve superare certi limiti in quanto, l’eventuale sovrariscaldamento potrebbe alterare la bontà di trasmissione. Generalmente, il soddisfacimento del criterio elettrico implica anche quello termico, tranne in alcuni casi, come ad esempio il caso delle linee aeree di collegamento molto corte, il caso delle linee in cavo o degli elementi di connessione (sbarre) per le quali il criterio termico diventa vincolanti.

Nelle linee in MT, in cui, in generale, sono disponibili mezzi per la regolazione della tensione, il criterio elettrico può non essere vincolante e pertanto, si può procedere al calcolo della sezione dei conduttori seguendo criteri di natura economica (criterio economico). E’ chiaro che il criterio elettrico verrà utilizzato come criterio di verifica. V.2.1 Criterio elettrico Fissati i carichi, la loro ubicazione e la tensione nominale dell’impianto, si tratta di dimensionare le sezioni dei conduttori di modo che la massima caduta di tensione ∆V nell’impianto non superi un preassegnato valore, detto caduta di tensione ammissibile ∆Vamm. E' noto che le lampade sono sensibili tanto agli aumenti della tensione (diminuzione della vita utile) quanto agli abbassamenti della tensione (diminuzione del flusso luminoso). Così pure i motori asincroni risentono della tensione di alimentazione in termini di variazione della coppia motrice e, a parità di coppia resistente, di incremento dello scorrimento e quindi della corrente assorbita con conseguente aumento delle perdite per effetto Joule. I valori della caduta di tensione ammissibile, espressi in percentuale della tensione nominale dell’impianto, risultano:

in BT ≤ 4 ÷ 6%, in MT ≤ 5 ÷ 7%.

Nel seguito vengono ricavate le relazioni necessarie per il dimensionamento considerando inizialmente, per semplicità di esposizione, il caso in cui i carichi sono puramente resisti vi (cosϕ = 1).

V.2.2.1. Linee e reti con cosϕ = 1 - Linea con carico di estremità (fig. V.1).

I

L

P A

Fig. V.1. Linea con carico di estremità.

La massima caduta di tensione è pari a:

∆V R I K LS

I= ⋅ = ⋅ ⋅ρ

con ρ resistività del materiale conduttore. Il coefficiente K assume i seguenti valori:

Klinea monofase

linea trifase=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2

1

,

.

Ponendo MP = L I ,

definito come momento elettrico della corrente valutato rispetto al punto di alimentazione, P, l'espressione della massima c.d.t. diventa:

∆V KS

PM= ⋅ ⋅ρ .

A questo punto, la sezione si ricava imponendo:

∆ ∆VK M

SVP

amm=⋅ ⋅

≤ρ

. .

- Linea con carichi concentrati lungo il percorso (fig. V.2).

L1 L2 L3

III1 23

P A

I

L*

iΣ

(a) (b) Fig. V.2. Linea con carichi concentrati lungo il percorso (a), rappresentazione con linea equivalente

(b). Normalmente i diversi tratti della stessa dorsale non si realizzano con sezioni differenti anche se in prima analisi sembrerebbe economicamente più conveniente; si pone quindi:

S S S S1 2 3

= = = . L'espressione della massima c.d.t., calcolata tra P e A, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, è funzione della somma dei momenti delle singole correnti rispetto al punto di alimentazione P:

∆V KS

MPi

= ∑ρ

dove M

Piè il momento elettrico delle singole correnti rispetto al punto di alimentazione P.

Si può porre: M L I

Pi i∑ ∑= ∗ da cui:

∆V KS

L Ii

= ∑ρ * .

In definitiva, ai fini della determinazione della sezione S, la linea della fig. 2 risulta equivalente a quella della fig. 2bis. - Linea con carico uniformemente distribuito (fig. V.3)

i

LI = i L

Fig. V.3. Linea con carico uniformemente distribuito Detta i è la corrente per unità di lunghezza, poiché il carico è uniformemente distribuito, la corrente risultante è I = i L. Assumendo che la sezione della linea sarà unica per l'intera lunghezza, il dimensionamento si può effettuare riconducendo il caso in esame, come appena fatto per il caso

precedente, a quello in cui si ha la corrente risultante concentrata in un punto della linea ad una opportuna distanza, L*, dal punto di alimentazione pari a:

Li dx

i Li x dxi L

i x

iLiLiL

LxoL

oL

o

L

* =⋅

⋅=

⋅ ⋅

⋅=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= =∫ ∫

2

22

2 2 .

- Reti radiali

S S

S

A1

A2A3

P1

3

2

Fig. V.4. Esempio di rete radiale Nel caso della fig. V.4 ogni ramo della rete si dimensiona indipendentemente dagli altri utilizzando le metodologie precedentemente indicate. Se, invece, la rete è alimentata da un tratto di linea principale (fig. V.5), occorre determinare oltre alle sezioni, Si , dei singoli rami anche la sezione, So, del tratto comune.

S S

S

S

A1

A2A3

PO

01

2

3

Fig.V.5. Esempio di rete radiale con un tratto di alimentazione comune.

La massima caduta di tensione tra il punto P e il generico punto Ai è data da:

∆ ∆ ∆V V Vo i

= + (V.1) Per risolvere il problema bisogna calcolare (n+1) sezioni, se n sono i rami derivati, mentre le relazioni del tipo (V.1) linearmente indipendenti sono solo n. Una possibile equazione aggiuntiva e linearmente indipendente dalle altre è la seguente:

S So ii

n=

=∑

1 che risulta essere pratica ed anche economicamente conveniente. A questo punto, per la determinazione delle sezioni incognite si può procedere come indicato qui di seguito. Dalla (V.1), si può scrivere:

∆ ∆ ∆V V V

i o= − (V.2)

con:

∆V KS

Mi

iOi

=ρ ,

ricordando che con MOi si è indicato il momento elettrico della corrente risultante del ramo i-esimo rispetto all’origine del ramo stesso (punto O). Poichè la (V.1) vale per ogni punto Ai, anche per l’(i+1)-esimo punto si può scrivere:

∆ ∆V V KS

Mi i

iO i+

++

= =1

11

ρ

( )( )

pertanto risulta: M

S

M

S COi

i

O i

i

= =+

+

( )

( )

1

1

1

quindi in generale:

S C M

S S C Mi Oi

o i Oii

= ⋅

= = ∑∑

S SM

Mi oOi

Oii

= ⋅∑

. (V.3)

D'altra parte, per il tratto comune a tutte le linee si ha:

∆V KS L I K

SM

oo

o io

P= ⋅ =∑ ⋅

ρ ρ .

Vale allora:

∆ ∆ ∆V V V KS

MS

Mo i

oP

iOi

= + = +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρ ρ .

Sfruttando la (V.3) si può scrivere:

[ ]∆V KS

MM

SKS

M Mo

POi

o oP Oi

= +∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= + ∑ρ ρ1 (V.4)

nella quale l’unica incognita è la S0.

V.2.2.2. Linee e reti con cosϕ< 1 In questo caso la massima c.d.t. è:

∆V = RI cosϕ + XI sinϕ E’ noto che la reattanza di un conduttore dipende poco dal valore della sezione (Fig. V.6).

Fig. V.6. Resistenza (R) e reattanza di una linea aerea (XL) e in cavo (XC) a 15 kV, in funzione della sezione.

Si può pensare di prefissare il valore di X prima ancora che sia calcolata la S, e ciò solo sulla base di una stima di prima approssimazione della S. In questo caso, per un determinato sinϕ, si ha che la c.d.t. è:

∆V = RI cosϕ + cost.

e quindi:

( ).tcosVcosILkS

−⋅⋅

=∆

ϕρ

Determinata la S in questo modo, si va a verificare che a questo valore della sezione corrisponda un valore di reattanza pari, o inferiore, al valore preassegnato. Se ciò non è, si aggiorna il valore di X sulla base delle informazioni appena ottenute e si ripete il calcolo nello stesso modo.

V.3. Criterio termico I conduttori percorsi da corrente sono sede di dissipazioni di energia per effetto Joule. Questo fenomeno comporta l'innalzamento della temperatura del conduttore, rispetto alla temperatura ambiente. I conduttori risentono in maniera negativa dell'incremento della loro temperatura. Il fenomeno si presenta tanto nelle linee aeree che in quelle in cavo, con conseguenze che sono significativamente differenti. Il valore di temperatura, che finito il transitorio termico, si instaura nel conduttore, dipende, oltre che da parametri caratteristici del conduttore che saranno meglio trattati da qui a poco, anche dalla modalità con cui avviene lo scambio termico tra conduttore ed ambiente. E' ovvio che nelle linee aeree ciò avviene essenzialmente per convezione, mentre nelle linee in cavo avviene per conduzione anche se nella posa si evitano contatti stretti con i diversi componenti. Considerate anche le modalità di scambio termico nelle linee aeree il fenomeno della sovratemperatura comporta problemi di entità contenuta quale la ricottura dei materiali con conseguente aumento della resistività e peggioramento delle caratteristiche meccaniche degli stessi. Nelle linee in cavo il fenomeno è più complesso e l'entità delle conseguenze è più serio. Nel cavo, oltre al conduttore è inevitabilmente presente, a contatto con lo stesso, il materiale isolante la cui "vita utile", t, è legata alla temperatura di esercizio,ϑ . Il decadimento della vita utile di un cavo in funzione della temperatura di esercizio segue la nota legge di Arrenhius:

t Aeb

=−

ϑ

con A e b costanti che dipendono dal tipo di materiale isolante. E' opportuno sottolineare che la temperatura di esercizio dell'isolante va considerata pari a quella del conduttore, essendo egli stesso a stretto contatto. Fissato il tipo di materiale isolante e il valore minimo della durata utile dello stesso, per ogni tipo di isolante, e di conseguenza per ogni tipo di cavo, rimane fissato un valore max della temperatura di esercizio. A partire da questo dato, obiettivo del criterio termico è quello di individuare una sezione S del conduttore tale da garantire, per assegnate condizioni di massimo carico a regime, il non superamento della massima temperatura di esercizio. Con riferimento alla situazione di regime si può ipotizzare che tutta la potenza generata nel conduttore per effetto Joule venga dissipata verso l'ambiente esterno. Per l'analisi del funzionamento è allora sufficiente imporre la seguente equazione di bilancio termico:

( )R I hss o

⋅ = −2 ϑ ϑ = hs∆ϑ

con h coefficiente di scambio termico (per conduzione) e s superficie di scambio termico. Fissata ∆ϑ si può calcolare la max corrente che a regime può circolare nel cavo, detta corrente è la portata del cavo,IZ:

Ihs

Sl

Zs o=

−

⋅

( )ϑ ϑρ

essa è funzione di molti parametri quali la distanza, il tipo di posa, la presenza di altri conduttori, la sezione del conduttore.

Se invece si parte dal presupposto che è nota la corrente di massimo carico, la stessa può essere risolta rispetto ad S per effettuare il dimensionamento. Un modo più semplice di gestire la relazione appena considerata è quella di tabellare, fissato un valore convenzionale per la temperatura ambiente (tipicamente θa=30°C), la portata dei cavi per sezioni commerciali, per tipo di materiale conduttore e per tipo di isolante e per tipo di posa. Si riporta qui di seguito un esempio qualitativo di come può essere strutturata una tale tabella; le portate riportate all'interno della tabella sono espresse in A.

Tabella 1 Rame

Alluminio

S [mm2] PVC EPR PVC EPR

Posa 1 Posa 2 Posa 1 Posa 2 Posa 1 Posa 2 Posa 1 Posa 2 1.5 8 12 10 14 7 11 9 13 2.5 14 18 16 20 13 17 15 19 4 20 24 22 26 19 23 21 25 6 26 30 28 32 25 29 27 31

Per poter utilizzare le tabelle del tipo appena descritto in condizioni di temperatura ambiente diverse da 30 °C, i costruttori forniscono delle tabelle (come riportato, a titolo di esempio, nel seguito) che contengono i fattori di correzione de introdurre nei calcoli. Dal punto di vista pratico si procede come segue: una volta calcolata la corrente di impiego, IB, del conduttore che deve operare alla temperatura ambiente X °C, per poterne scegliere la sezione con l’ausilio della tabella precedente, occorre “scalare” la corrente in accordo alla seguente relazione:

IB (30 °C) = IB (X °C)/K1,

con K1 , fattore di correzione, della portata con temperatura ambiente diversa da 30 °C.

Tabella 2: correzione K1 per diversi tipi di posa con θa diversa da 30°C per cavi in BT

C’è da osservare, infine, che laddove non fosse presente nella Tabella 2 che si utilizza, il tipo di posa scelto, P2, è possibile introdurre un ulteriore fattore di correzione, K2, i cui valori tabellati sono generalmente forniti dal costruttore. Anche in questo caso, occorre “scalare” la corrente in accordo alla seguente relazione:

IB (P1) = IB (P2)/K2,

dove IB (P1) rappresenta la corrente di inpiego per il tipo di posa, P1, riportato nella Tabella 1.

Tipo di isolam

Tipo di posa Temperature (°C)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

PVC fissa in aria 1,22 1,17 1,12 1,06 1,00 0,94 0,87 0,79 0,71 0,61 0,50 0,35

PVC fissa in terra 1,1 1,05 1,00 0,95 0,89 0,84 0,77 0,71 0,63 0,55 0,45 -

PVC mobil 1,29 1,22 1,15 1,08 1,00 0,91 0,82 - - - - -

elasto- merico fissa in aria 1,15 1,12 1,08 1,04 1,00 0,96 0,91 0,87 0,82 0,76 0,71 0,65

elasto- merico fissa in terra 1,07 1,04 1,00 0,96 0,93 0,89 0,85 0,8 0,76 0,71 0,65 0,6

elasto- merico mobil 1,29 1,22 1,15 1,08 1,00 0,91 0,82 - - - - -

V.4. Criterio del massimo tornaconto economico Nella MT normalmente vengono adottate tecniche per la regolazione della tensione nei nodi della rete. Si intuisce, in tal caso, che il problema della caduta di tensione diviene per questo motivo non vincolante e il dimensionamento delle membrature può essere effettuato anche seguendo criteri di tipo economico. In particolare è evidente l'interesse dell'utente di minimizzare i costi di gestione, pur garantendo le condizioni di funzionamento finora discusse. In pratica si tratta di minimizzare il volume totale del conduttore utilizzato e quindi le diverse sezioni delle linee. Il problema, anche per quanto già menzionato, ha senso soprattutto per le linee aeree ove minimizzare le sezioni vuol dire anche dimensionare diversamente, da un punto di vista meccanico, i componenti della linea quali ad esempio i sostegni. Il problema principale è l'individuazione della funzione obiettivo da minimizzare, che sarà del tipo:

C = C(S)

se S è la sezione e se C è la funzione costo che da studi effettuati risulta del tipo:

C = d + bS

con i coefficienti d e b che vanno di volta in volta determinati in funzione del tipo di impianto. Si intuisce che l'impostazione e la risoluzione di detto problema non è banale per cui va stimato all'inizio se vale la pena affrontarlo in funzione di preventivati risparmi economici che ne conseguirebbero.