CAPITOLUL 2 - ingineriebraila.ugal.ro · AC ION RI HIDRAULICE I PNEUMATICE Dinamica Componentelor i Sistemelor 4 dt dp dt dp E V Q p r p D e = × = b × 2 0 s[m3 / ec] S-a considerat

��

��

�

AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Componentelor �i Sistemelor�

40

CAPITOLUL 2

MODELE MATEMATICE ALE COMPONENTELOR DE AC�IONARE �I ECHIPAMENTELOR HIDRAULICE.

2.1. Componente de ac�ionare hidrostatic�. 2.1.1. Introducere.

Majoritatea echipamentelor hidraulice ale unui S.A.H. au ca elemente componente, elementele precizate la capitolul 1. Pe baza acestor date �i utilizând principiile fundamentale precizate la § 1.2 pentru fiecare echipament se pot stabili modele dinamice (modele matematice) pe baza c�rora se poate studia comportarea în regim nepermanent a componentei respective �i chiar a întregului sistem de ac�ionare. Pentru aceasta se consider� c� anterior acestei faze de studiu S.A.H. a fost dimensionat din punctul de vedere al func�ion�rii în regim permanent. Cu alte cuvinte fiecare component� a sistemului a fost aleas�, i se cunosc parametrii caracteristici �i de asemenea exist� o schem� de ac�ionare conceput� pentru utilajul ce va fi proiectat (sau în curs de proiectare), sau chiar utilaj existent. Studiul pe model dinamic a unei componente din sistem �i a întregului sistem permite evaluarea, înc� din faza de concep�ie, a performan�elor dinamice ale utilajului deservit de sistemul de ac�ionare al acestuia. Aceast� metod� s-a dovedit a fi foarte rentabil� în compara�ie cu modelarea experimental� care presupune existen�a utilajului echipat, a echipamentelor �i montajelor experimentale �i a unei strategii experimentale clare �i corecte. Aceasta, este evident, cost� mult mai mult decât studiul pe model dinamic, ce necesit� costuri mult inferioare, dar necesit� o dotare corespunz�toare cu tehnic� de calcul automat adecvat�. Datele precizate în capitolul 1, permit o evaluare complet� asupra for�elor �i debitelor circulate în componenta sau sistemul respectiv �i în special, prin coeficien�ii preciza�i se face o leg�tur� necesar� între parametrii constructivi ai echipamentului, parametrii mediului hidraulic utilizat �i celelalte caracteristici specifice componentei (alese din cataloagele furnizorului).

��

��

�


41

În prezent se utilizeaz� dou� metode de analiz� �i sintez� în ac�ion�rile �i automatiz�rile hidraulice �i anume: cercetarea analitic� �i cercetarea fenomenologic� experimental�. Cercetarea analitic� urm�re�te cunoa�terea intim� a fenomenelor ce variaz� în timp, a mecanismului acestora �i stabilirea, în final, a unui model matematic care s� reprezinte cât mai fidel comportarea sistemului. Modelul matematic astfel ob�inut, tratat pe un calculator numeric, poate oferi în final o solu�ie pentru comportarea în regim nepermanent a componentei sau sistemului studiat. Ajustarea modelului matematic propus se face în a�a fel încât integrala erorii p�tratice între r�spunsul teoretic �i cel real s� fie minim�. Modelarea dinamic� poate fi realizat� prin ecua�ii diferen�iale, cu rezolvarea lor în domeniul timpului, prin func�ii de transfer, cu rezolvarea modelului în planul Laplace utilizând tehnica schemelor bloc �i apoi determinarea func�iei temporale totale prin transformata invers� Laplace pentru condi�ii ini�iale nule, sau prin caracetristica de frecven��. Cercetarea fenomenologiei experimentale reprezint� cunoa�terea modului de varia�ie în timp real a parametrilor caracteristici, prin observarea comport�rii acestora. Este vorba de r�spunsul sistemului, în urma unor excita�ii tip (treapt�, ramp�, sinusoidal�,etc), ridicând caracteristicile respective (ce vor fi prezentate pe larg în capitolul 3). Pentru a studia sistemele este necesar în prealabil s� se realizeze modelele dinamice ale componentelor (pompe volumice, distribuitoare, aparatur� de reglare, motoare hidraulice, etc.). Pentru elaborarea modelului dinamic al unei componente se pleac� de la ecua�ia de echilibru a debitelor de fluid circulate prin componenta respectiv� �i echilibru for�elor (cuplurilor) specifice componentei. Aceasta se va realiza utilizând datele prezentate la § 1.3 �i § 1.4.

2.1.2. Modelul dinamic al pompelor cu cilindree constant� A�a cum s-a precizat la § 2.1, se presupune c� respectiva component� a fost aleas� pentru sistemul de ac�ionare studiat �i deci se cunosc urm�toarele m�rimi caracteristice:

- cilindreea maxim� a pompei, notat� pV0 , [ ]rotm /3 . (De obicei aceast� caracteristic� este dat� în cataloage în rotcm /3 sau rotlitri / �i deci necesit� transform�rile de rigoare);

- presiunea maxim� a pompei ( )maxp , [ ]PaMPabar ,, ;

��

��

�


42

- tura�ia maxim� a pompei ( )maxn , [ ] [ ]sec/;min/ rotrot , la care corespunde o vitez� unghiular� maxim� a pompei ( )maxω , [ ] [ ]sec/;sec/1 rad ;

- natura agentului hidraulic utilizat sau recomandat pentru pomp�; - fine�ea de filtrare necesar�.

2.1.2.1. Ecua�ia de debite Pentru realizarea modelului de comportare dinamic� a unei pompe cu cilindree fix�, este necesar s� se stabileasc� în primul rând ecua�ia debitului momentan al pompei, calculat la priza de refulare a acesteia. Pierderile interne de debit prin neetan�eit��i , transport intern, compresibilitate, se consider� c� au loc între presiunea momentan� a pompei ( )p �i presiunea tancului (considerat� neglijabil� în raport cu presiunea de regim). În concluzie, debitul momentan al pompei va fi dat de rela�ia:

eiIp

p QQV

Q ∆−∆−⋅= ωπ20

�[ ]sec/3m �� unde: - pQ ; [ ]sec/3m - reprezint� debitul momentan al pompei la refulare a acesteia; I

pV ωπ

⋅2

0 ; [ ]sec/3m - reprezint� debitul corespunz�tor cilindreei maxime a pompei , la viteza unghiular� momentan� la axul pompei

Iω ;[ ]sec/rad . iQ∆ [ ]sec/3m - reprezint� pierderile interne de debit propor�ionale cu c�derea de presiune pe pomp�.

În ipoteza c� incinta de joas� presiune are presiunea nul�, pe baza rela�iilor 1.17 �i a tabelului 1.1 se stabile�te, func�ie de construc�ia pompei, c� acest termen are forma:

ppKQ ps

iQii ⋅=⋅��

��

�=∆ �=

α1

�[ ]sec/3m ��

În rela�ia (2.2) s-a notat cu pα , gradientul liniarizat al pierderilor de debit din pomp�, [ ]kgsm /4 ⋅ vezi § 1.3.1.

-ultimul termen al rela�iei (2.1) îl reprezint� debitul de lichid preluat prin

compresibilitatea agentului hidraulic aflat în procesul de compresiune, între suprafe�ele active ale pompei �i priza de refulare a pompei. Acest termen este dat ca structur� de rela�ia (1.39) �i are forma:

��

��

�


43

dtdp

dtdp

E

VQ p

r

pe ⋅=⋅=∆ β2

0�[ ]sec/3m ��

S-a considerat c� volumul de agent hidraulic supus compresibilit��ii este jum�tate din cilindreea maxim� a pompei (ipotez� foarte apropiat� de realitate). În concluzie, din rela�iile (2.1), (2.2), (2.3) rezult� prima ecua�ie a modelului pompei, sub forma:

dtdp

pV

Q ppIp

p ⋅−⋅−⋅= βαωπ20

�[ ]sec/3m �� Rela�ia (2.4) reprezint� prima ecua�ie a modelului pompei cu cilindree constant�, ce reprezint� modul de varia�ie al debitului instantaneu al pompei în func�ie de dou� variabile ale componentei �i anume: viteza unghiular� momentan� , Iω �i presiunea momentan� la refularea pompei, p . În rela�iile (2.1) �i (2.4) au fost neglijate pierderile de debit propor�ionale cu viteza �i pierderile de debit prin transport, acestea fiind neglijabile în raport cu cele evaluate (constatat experimental [ ] [ ] [ ] [ ]22;19;9;6 . 2.1.2.2. Ecua�ia de mi�care Aceast� ecua�ie rezult� aplicând principiul lui d’Alembert (metoda cinetostatic�) pentru organele pompei aflate în mi�care de rota�ie. În principiu aceast� ecua�ie are forma:

21 ffpII

rp MMMMMdtd

J ∆−∆−∆−∆−=⋅ ωω

;[ ]mN ⋅ ; (2.5) �i reprezint� echilibrul momentelor (cuplurilor) la axul pompei. • primul termen al rela�iei (2.5) a fost prezentat în rela�ia (1.55) �i reprezint�

cuplul de iner�ie momentan al pompei, [ ]mN ⋅ ; • IM - reprezint� momentul activ aplicat la axul pompei, moment ce

reprezint� valoarea momentan� de pe caracteristica extern� a motorului (termic sau electric) utilizat ca surs� de energie mecanic� pe utilaj, [ ]mN ⋅ ;

• ωM∆ - reprezint� pierderile de cuplu propor�ionale cu viteza unghiular�. Acestea rezult� din reducerea for�elor dinamice de curgere, prin pomp�, în raport cu axul pompei. (rela�iile (1.52), (1.53), (1,53*)). Se observ� c� acest termen este, în majoritatea situa�iilor de unit��i volumice cu pistoane (axiale sau radiale), neliniar în variabila ω �i ca urmare în majoritatea

��

��

�


44

aplica�iilor[ ] [ ] [ ] [ ]21;19;6;3 acest termen se liniarizeaz� în jurul valorii vitezei unghiulare nominale. În consecin��, termenul ωM∆ poate fi adus prin proceduri de liniarizare la

forma: IpM ωγω ⋅=∆ ;[ ]mN ⋅ ; (2.6)

În rela�ia (2.6), coeficientul pγ - reprezint� gradientul liniarizat al

pierderilor de cuplu propor�ionale cu viteza unghiular�,[ ]radsmN /⋅⋅ ; • pM∆ - reprezint� cuplul redus la axul pompei al for�elor hidrostatice

aplicate pistoanelor pompei (for�e ce au structura descris� de rel. (1.43*)). Prin reducerea acestor for�e în raport cu axul pompei, considerând z nr. de pistoane ale pompei �i considerând cinetostatica acesteia, rezult�:

pV

M pp ⋅=∆ π20 ;[ ]mN ⋅ ; (2.7)

unde: pV0 - cilindreea pompei, [ ]rotm /3 ; p - presiunea momentan�, la refularea pompei, [ ]2/ mN . • 1fM∆ - reprezint� cuplul redus la axul pompei al for�elor de frecare de tip

newtonian (rel. (1.44), (1.45*)). Din rela�iile men�ionate �i considerând cazul, spre exemplu, al unei pompe cu z pistoane axiale sau radiale, se deduce:

Ifpp

f

V

J

VM ωδ

πϕρν

πθ

π⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=∆

28

200

1 � ;[ ]mN ⋅ ; (2.8)

În rela�ia (2.8) s-a notat termenul ρνπθδ ⋅⋅

⋅⋅=Jr

f8

, [ ]sec/2mkg ⋅ ob�inut din rela�ia (1.44), prin opera�ia de reducere a for�elor de frecare �inând cont de rela�ia cilindreei pompei. Semnifica�ia termenului fδ este valabil� pentru pompele cu pistoane axiale (cel mai frecvent întâlnite) iar semnifica�ia termenilor rezult� din (1.45); r - reprezint� raza de dispunere a pistoanelor axiale ale pompei.

Pentru alte construc�ii de pompe (cu ro�i din�ate, palete, etc.), rela�ia (2.8) r�mâne în principiu valabil� cu reconsiderarea structurii termenului fδ .

��

��

�


45

• 2fM∆ - reprezint� cuplul redus la axul pompei al for�elor de frecare de tip coulombian.

Construc�iile moderne de pompe (în special cele cu pistoane axiale) au luate

suficiente m�suri constructive pentru evitarea apari�iei for�elor de frecare coulombiene, for�e ce constituie factorii decisivi ai apari�iei gripajului hidraulic.

Existen�a continu� a filmului de ulei în jocurile dintre pistoane �i corp �i în special p�strarea acestuia în fazele de repaus, conduc la eliminarea (neglijarea) acestui termen, inclusiv în cazul regimului tranzitoriu.

Dac� modelul considerat necesit� totu�i eviden�ierea acestor tipuri de for�e, atunci reducerea lor la axa de rota�ie a pompei conduce la rela�ii de forma:

pV

M fp

f ⋅⋅=∆ επ20

2 ;[ ]mN ⋅ ; (2.9)

unde termenul fε - reprezint� coeficientul de frecare umed� �i este un termen adimensional, ce are valoarea 0,15 ÷ 0,21 pentru o�el pe bronz sau o�el pe o�el frecvent întâlnite în construc�ia pompelor �i motoarelor rotative. Cu cele precizate, dup� ordonarea termenilor, rela�ia (2.5) devine:

( ) IfpIfppIrp MpVV

dtd

J =⋅+⋅+⋅��

��

�⋅++⋅ ε

πωδ

πγω 1

2200

�[ ]mN. �� În concluzie, modelul matematic pentru studiul comport�rii în regim tranzitoriu al pompelor cu cilindree fix� este dat de rela�iile (2.4) �i (2.10), prezentate, sub forma modelului multipolar dinamic reprezentat de tabloul (2.10*). Modelul multipolar eviden�iaz� parametrii de intrare �i de ie�ire din componenta respectiv�, parametrii de condi�ionare,caracteristicile constructive �i de mediu �i constituie o solu�ie foarte sintetic� �i conclusiv� de prezentare a pompei cu cilindree constant�.

��

��

�


46

(2.10*) IM se va lua de pe caracteristica extern� a motorului utilizat în S.A.H. �i poate avea urm�toarea expresie:

- pentru motoare electrice: ( )IsEI KM ωω −⋅= ; [ ]mN ⋅ sau - pentru motoare termice: ( )InMI KM ωω −⋅= ; [ ]mN ⋅ ,

unde: EK �i MK reprezint� pantele caracteristicilor mecanice ale motoarelor utilizate ca surs� de ac�ionare a utilajului; sω �i nω reprezint� vitezele unghiulare de sincronism, respectiv nominal�, ale motoarelor corespunz�toare.(electrice sau termice cu piston). 2.1.3. Modelul dinamic al pompelor cu cilindree variabil� A�a cum s-a precizat la § 2.2 �i în aceast� situa�ie se presupune c� respectiva component� a fost aleas� înaintea realiz�rii calculului dinamic (în regim tranzitoriu). În plus, în aceast� situa�ie se presupune c� este cunoscut�, cel pu�in principial �i legea de varia�ie a cilindreei pompei, în scopul satisfacerii în cele mai bune condi�ii energetice a cerin�elor utilajului ac�ionat. Se consider� important� revenirea asupra rela�iilor de definire a cilindreei pompei pentru câteva construc�ii uzuale de pompe cu cilindree variabil� �i anume: • Pompe hidraulice cu pistoane axiale Schema principial� a pompei este prezentat� în fig. 2.1 pentru cazul pompei cu disc înclinat �i bloc rotativ. Rela�ia cilindreei pompei este:

αsin20 ⋅⋅⋅= rzAV p �[ ]rotvu /.. ��

��

��

�


47

Pentru pompele cu disc fulant �i bloc fix, fig. 2.2, rela�ia cilindreei pompei este:

αtgrzAV p ⋅⋅⋅= 20 �[ ]rotvu /.. ��

Fig. 2.1

Fig. 2.2

S-a notat cu ..vu - unit��i de volum [ ]333 ;; cmdmm .

• Pompe hidraulice cu palete �i cilindree variabil� (fig. 2.3) Rela�ia cilindreei este:

zAeV p ⋅⋅= 20 �[ ]rotvu /.. ��

��

��

�


48

Din analiza rela�iilor (2.11), (2.12), (2.13) rezult� c� varia�ia cilindreei pentru pompele cu pistoane axiale se realizeaz� din varia�ia unghiului α (respectiv a func�iilor αsin sau αtg ), iar pentru pompele cu palete din varia�ia excentricit��ii e . Pentru realizarea func�iei de varia�ie a cilindreei pompei sunt utilizate aparate specializate capabile s� modifice dup� o anumit� lege variabil� (α sau e ), aparate numite regulatoare de debit sau servoregulatoare. Într-o abordare simplist� a problemei reglajului cilindreei unei pompe, se poate considera c� cilindreea momentan� a pompei, notat� pV , este produsul între cilindreea maxim� a pompei pV0 �i o func�ie numeric� pχ , numit� func�ie de comand� a cilindreei pompei. Cu aceasta, rezult� c� cilindreea momentan� a unei pompe, f�r� a �ine cont de caracteristicile dinamice ale regulatorului poate fi scris� sub forma:

ppp VV 0⋅= χ �[ ]rotvu /.. �� unde: pχ este o func�ie numeric� cu valori în intervalul [0,1], [-1,0], sau [-1,1], func�ie ce permite o interpretare formal� a regimului tranzitoriu al unei pompe cu cilindree variabil�. Evident c� un studiu dinamic complet al comport�rii dinamice �ine cont de regimul dinamic al regulatorului pompei �i a tipului de reglaj specific [vezi CAP. 5].

Fig. 2.3

În varianta de abordare definit� anterior, �inând cont de rela�ia (2.14) �i rela�iile (2.10*), modelul dinamic al pompei va fi descris de sistemul de ecua�ii (2.15).

��

��

�


49

(2.15)

Se observ� c� func�ia de comand� a cilindreei pompei, pχ , intervine ca o m�rime de intrare ce caracterizeaz� doar cantitativ modelul, nu �i calitativ. Se observ� din rel. (2.15) c� pentru 1=pχ , se ob�in rela�iile (2.10*) specifice pompelor cu cilindree fix�. În situa�ia în care func�ia de comand� pχ poate fi ob�inut� ca un semnal numeric de ie�ire din sistemul de comand�, se �ine cont de performan�ele dinamice ale sistemului de reglare, aceast� form� de abordare a pompelor cu cilindree variabil�, poate fi folosit� cu succes. 2.1.4. Modelul dinamic al motoarelor hidraulice rotative cu cilindree constant�(fixa).

a) Motoare cu pistoane axiale rapide.

�i în aceast� situa�ie, pentru abordarea dinamic� a componentei se consider� c� acasta a fost aleas� aprioric astfel încât s� satisfac� cerin�ele dinamice ale organului de lucru ac�ionat de motor. În principiu se cunosc urm�toarele caracteristici ale acestuia:

- Cilindreea maxim� a motorului - MV0 [ ]rotm /3 ; - Presiunea maxim� a motorului - maxp [ ]PaMPabar ;; ; - Tura�ia maxim� a motorului - maxn [ ]sec/min;/ rotrot ; - Tura�ia minim� stabil� a motorului - minn [ ]sec/min;/ rotrot ; - Natura agentului hidraulic utilizat sau recomandat de fabricant;

��

��

�


50

- Fine�ea de filtrare, recomandat�. Realizarea modelului matematic al motorului rotativ, pentru studiul regimului dinamic rezult�, ca �i în cazul pompelor, de la ecua�ia de continuitate a curgerii �i echilibrul dinamic al cuplurilor la axul motorului hidraulic.

2.1.4.1. Ecua�ia de debite Debitul calculat, de data aceasta, între priza de intrare în motorul hidraulic �i priza de ie�ire din motor, considerând consumurile interne de debit, este:

EiEM

M QQV

Q ∆+∆+⋅= ωπ2

0 �[ ]sec/3m �� unde: • MQ [ ]sec/3m - reprezint� debitul instantaneu de agent hidraulic, la priza de

intrare în motor;

• EMV ωπ

⋅20 [ ]sec/3m - reprezint� debitul absolut de cilindreea motorului,

corespunz�toare vitezei unghiulare la axul acesteia; iQ∆ [ ]sec/3m - reprezint� pierderile interne de debit propor�ionale cu c�derea de presiune pe motor. Dac� se consider� c� la priza de intrare în motor presiunea momentan� este p , iar la priza de ie�ire (joas� presiune) - 0p , atunci pe baza rela�iilor (1.17) �i a tabelului 1.1, se stabile�te, func�ie de construc�ia motorului, c� acest termen are forma:

( ) ( )001

ppppKQ Ms

iQii −⋅=−⋅��

��

�=∆ �=

α ;[ ]sec/3m ; (2.17)

În rela�ia (2.17), s-a notat cu Mα , gradientul liniarizat al pierderilor de debit din motor, vezi § 1.3.1., liniarizarea se realizeaz� în jurul valorilor de regim permanent ale variabilelor.

• EQ∆ [ ]sec/3m - reprezint� debitul de lichid preluat, prin compresibilitate, între priza de intrare în motor �i suprafe�ele active ale motorului (pistoane, palete, dantur�, etc).

S-a considerat, ca �i la pompe, c� volumul de lichid supus compresibilit��ii este jum�tate din valoarea volumului ce corespunde cilindreei maxime a motorului.

În consecin�� acest termen va fi:

��

��

�


51

dtdp

dtdp

EV

Q Mr

ME ⋅=⋅=∆ β2

0 ;[ ]sec/3m ; (2.18) Cu cele precizate, rela�ia de debite, la motoarele rotative cu cilindree constant�, devine:

dtdp

ppV

Q MMEM

M ⋅+−⋅+⋅= βαωπ)(

2 00 �[ ]sec/3m ��(2.19)

Scrierea ecua�iei (2.19) s-a realizat în acelea�i ipoteze cu cele precizate la pompe, § 2.2.1. 2.1.4.2. Ecua�ia de mi�care Componentele dinamice ce intr� în ecua�ia de mi�care, scrise la axul motorului hidraulic, sunt în principiu asem�n�toare cu cele de la pompe, �i rezult� din rela�ia:

21 ffEME

rM MMMMMdtd

J ∆−∆−∆−−=⋅ ωω

;[ ]mN ⋅ ; (2.20) unde: • primul termen al rela�iei (2.20) reprezint� (vezi rel.(1.55)) cuplul de iner�ie

momentan al motorului �i organului de lucru ac�ionat de motor,

rMJ - reprezint� momentul de iner�ie al componentelor aflate în mi�care de rota�ie din motor �i a organul de lucru ac�ionat, reduse la axa de rota�ie a motorului. • MM - reprezint� momentul activ la axul motorului �i este dat de rela�ia:

( )002 ppV

M MM −⋅= π;[ ]mN ⋅ ; (2.21)

• EM - reprezint� momentul rezistent la axul motorului, respectiv momentul produs de for�ele rezistente aplicate pe organul de lucru al ma�inii ac�ionate de motor. Acest moment rezistent apare ca urmare a procesului tehnologic realizat de organul ac�ionat �i are un caracter de obicei aleator;

• ωM∆ - reprezint� pierderile de cuplu propor�ionale cu viteza unghiular�. Acestea rezult� din reducerea for�elor dinamice de curgere, prin motor, în raport cu axul motorului (rel.(1.52), (1.53), (1,53*)). �i în aceast� situa�ie acest termen trebuie liniarizat, fiind prin structura lui un termen neliniar. Expresia dup� liniarizare a termenului, devine:

EMM ωγω ⋅=∆ ;[ ]mN ⋅ ; (2.22)

��

��

�


52

În rela�ia (2.22), termenul Mγ - reprezint� gradientul liniarizat al pierderilor de cuplu, propor�ionale cu viteza unghiular� la axul motorului [ ]radsmN /⋅⋅ ; • 1fM∆ - reprezint� cuplul redus la axul motorului al for�elor de frecare de tip

newtonian (rel.(1.44), (1.45*)). Pentru motoarele hidraulice cu pistoane axiale sau radiale, considerând pistoane ce lucreaz� la o rota�ie a motorului, acest termen devine:

EMM

f

VM ωδ

π⋅⋅=∆

20

1 ;[ ]mN ⋅ ; (2.23)

unde: ρνπ

θδ ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=Jr

zM8

, [ ]sec/2mkg ⋅ - cu semnifica�ia descris� la § 2.2.2;Pentru construc�iile de motoare hidraulice rotative cu ro�i din�ate, palete, etc., termenul Mδ - trebuie reconsiderat. • 2fM∆ - reprezint� cuplul redus la axul motorului al for�elor de frecare de tip

coulombian. Cu acelea�i observa�ii ca la pompe, acest termen, în cazul motoarelor rotative devine:

( ) ( )02 2sgn ppV

M foM

Mf −⋅⋅⋅=∆ επω ;[ ]mN ⋅ ; (2.24)

unde: fε - reprezint� coeficientul de frecare uscat�, iar ( )Mωsgn - reprezint� semnul vitezei unghiulare instantanee a axului motorului. Acest semn este necesar pentru evaluarea situa�iilor în care motorul are tendin�a de func�ionare în regim de pomp� (cazul circuitului închis). Cu cele precizate, rela�ia (2.20) devine:

( ) ( ) ( )0000

0

2sgn

2

2

ppV

MppV

Vdt

dJ

MEfM

M

EMM

ME

rM

−⋅=+−⋅⋅⋅+

+⋅��

��

� ⋅++⋅

πεω

π

ωδπ

γω

�[ ]mN ⋅ ��

În concluzie, modelul matematic al motorului rotativ cu cilindree fix�, este dat de rela�iile (2.19) �i (2.25), ce se pot reprezent� în configura�ia de mai jos, ca model multipolar dinamic al motorului rotativ rapid cu cilindree fix�.

��

��

�


53

(2.25*) EM , va reprezenta cuplul maxim rezistent al organului de lucru ac�ionat, redus la axul motorului hidraulic. În situa�ia când este cunoscut� o evolu�ie a acestui cuplu în func�ie de anumi�i parametrii tehnologici ai procesului, sau func�ie de timp, acesta va fi introdus în expresia modelului sub forma unei func�ii matematice, eventual discretizat�. b)Motoare cu pistoane radiale, lente.

Motoarele cu pistoane radiale constituie solu�ii eficiente pentru motoare hidrostatice de joas� tura�ie cunoscute în literatura de specialitate sub denumitea de motoare hidrostatice lente. Tura�iile de regim ale acestor motoare sunt situate la valori de ordinul zecilor de rot/min., spre deosebire de motoarele rapide ale c�ror tura�ii se situeaz� la valori de ordinul miilor de rot/min. O solu�ie întâlnit� frecvent în construc�ia motoarelor lente o constituie motoarele cu came multiperiodice sau motoarele cu excentric. caracteristic acestor motoare este faptul c� acestea se realizeaz� atât cu ax rotativ, la care statorul motorului este inclus în carca� �i este fix, sau cu carcas� rotativ� la care axul motorului este fix �i carcasa rotativ�. Cel de-al doilea caz este utilizat pentru ac�ionarea sistemelor de trac�iune la utilajele mobile, sau ac�ionarea troliilor la ma�inile de ridicat. Solu�ia permite montarea motorului în interiorul ro�ii de trac�iune sau a tobei troliului, asigurând o solu�ie compact� �i foarte simpl�.

Ca �i la motoarele rapide, pentru abordarea dinamic� a componentei se consider� c� acasta a fost aleas� aprioric astfel încât s� satisfac� cerin�ele dinamice ale organului de lucru ac�ionat de motor. Se cunosc urm�toarele caracteristici ale motorului:

- Cilindreea maxim� a motorului - MV0 [ ]rotm /3 ; - Presiunea maxim� a motorului - maxp [ ]PaMPabar ;; ;

��

��

�


54

- Tura�ia maxim� a motorului - maxn [ ]sec/min;/ rotrot ; - Tura�ia minim� stabil� a motorului - minn [ ]sec/min;/ rotrot ; - Natura agentului hidraulic utilizat sau recomandat de fabricant; - Fine�ea de filtrare, recomandat�. Realizarea modelului matematic al motorului rotativ lent, pentru studiul

regimului dinamic, rezult�, ca �i în cazul pompelor �i motoarelor rapide, de la ecua�ia de continuitate a curgerii �i echilibrul dinamic al cuplurilor la axul motorului.

Cercet�ri intreprinse de autori pe motoare lente de fabrica�ie Româneasc� au eviden�iat faptul c� modelul dinamic al acestora difer� de modelul motoarelor rapide.[ ] [ ] [ ].,, Urmând aceia�i pa�i de abordare se determin� în final urm�toarea structur� a modelului dinamic al motorului hidrostatic lent. Acesta este descris de sistemul de ecuatii diferen�iale:

;....2

2**0

dtdp

pkV

Q MMeM

M βαωπ++�

�

��

� −=

( ) =+−��

��

� −+ ESeMOMe

SM MkV

dtd

J 2** ...2

. ωωδπ

ω

= ;..2

*0 pkV M �

�

��

� −π

(2.25**)

unde: coeficien�ii din ecua�ii au semnifica�ii identice cu cele prezentate anterior, iar coeficien�ii specifici construc�iei sunt: k 4/* djzkcπ= , unde d-diametrul pistonului; j-jocul diametral al alezajului piston-cilindru; z-nr. de pistoane ; k-nr de perioade ale camei sinusoidale; c-cursa pistonului; −M*δ coeficient de piederi de cuplu din motor; djbRM /8 0

* ηπδ = ; b-l��imea de etan�are a pistonului; −0R raza medie a camei sinusoidale, (legea camei este-

( );.cos.2/0 ϕkcRR −= −η viscozitatea dinamic� a agentului hidraulic; −M*α coeficient de pierderi de debit în motor;

( ) ;/2.96/ 03* MM gVdzkbdzkj ρπηπα = unde- −ρ densitatea agentului hidraulic; g- accelera�ia gravitational�. Ceilal�i coeficien�i sunt identici ca structur� matematic� �i semnifica�ie fizic� cu cei defini�i la pompe �i motoare rapide.

��

��

�


55

Modelul multipolar al motorului hidrostatic lent cu came multiperiodice este asem�n�tor cu cel prezentat în tabloul (2.25*), dar con�ine ecua�iile diferen�iale (2.25**).

2.1.5. Modelul dinamic al motoarelor hidraulice rotative cu cilindree variabil�.

a) Motoare cu pistoane axiale rapide.

În general motoarele cu cilindree variabil� sunt construite pe principii asem�n�toare celor prezentate la pompe cu cilindree variabil� (§ 2.3). Unele construc�ii de pompe permit func�ionarea în regim de motor, acestea fiind denumite unit��i hidraulice volumice reversibile. În concluzie, pe baza acelora�i rela�ii (2.11), (2.12), (2.13), rezult� c� într-o abordare simplist� a problemei, cilindreea momentan� a motorului hidraulic

MV , poate fi exprimat� ca un produs între cilindreea maxim� a acestuia MV0 �i o func�ie de comand� a cilindreei motorului, notat� Mχ . În consecin��:

MMM VV 0⋅= χ ; [ ]rotvu /.. (2.26) Func�ia Mχ este deci o func�ie cu valori numerice, ce ia valori în intervalul [ ]3,0,1 ≈ . În starea normal� motorul este reglat pe cilindreea maxim�: 1=Mχ �i pe m�sur� ce necesit��ile utilajului ac�ionat o cer, valoarea lui

Mχ scade spre valoarea minim�. Acest lucru este realizat de regulatoare specializate capabile s� realizeze modificarea func�iei Mχ , iar reglajul aferent este denumit reglaj secundar. La fel ca �i în cazul pompelor, o evaluare complet� a comport�rii dinamice a motorului cu cilindree variabil�, implic� considerarea modelului matematic al regulatorului utilizat. În varianta de abordare, considerat�, �inând cont de rela�ia (2.26) �i rela�iile (2.25*), modelul dinamic al motorului rotativ cu cilindree variabil� va fi descris de sistemul de ecua�ii (2.27). Se observ� c� func�ia de comand� a cilindreei motorului Mχ , intervine ca o m�rime de intrare, ce caracterizeaz� doar cantitativ modelul, nu �i calitativ.

��

��

�


56

(2.27)

În cazul sistemelor hidraulice în circuit închis sau a sistemelor recuperative, când pompa sistemului func�ioneaz� �i în regim de motor, este necesar� cuplarea modelelor (2.10*), (2.15) cu modelul (2.25) �i (2.27). În aceste situa�ii motorul S.A.H. devine pomp�, cuplul exterior EM devine activ, energia fiind primit� de la utilajul în mi�care (sau organul de lucru al acestuia) iar pompa S.A.H., devine motor, cuplul rezistent fiind realizat de motorul (termic sau electric) al utilajului (cazul frânei de motor). În aceste situa�ii modelele vor fi reconsiderate corespunz�tor. b)Motoare cu pistoane radiale, lente.

Motoarele hidraulice lente cu pistoane radiale sunt construite astfel încat modificarea continu� a cilindreei este dificil de realizat, cel pu�in la ora actual�. Se construiesc motoare ce realizeaz� de obicei dou� regimuri de viteze, unul lent, specific regimului de trac�iune tehnologic �i unul rapid, specific deplas�rii utilajului pe drumuri publice. Cele dou� regimuri de viteze (tura�ii) se realizeaz� prin modificarea ariei efective a pistoanelor motorului. Rela�ia cilindreei pentru aceste motoare este dat� de V M0 =zkcA p [ ]rotuv / ; unde: z- nr.de pistoane, k-nr de perioade ale camei, c-cursa pistonului, A p -aria pistonului. Dac� aria pistonului pentru regimul lent este A pL ,iar pentru regimul rapid A pR �i între cele dou� arii exist� rela�ia A pL = .λ A pR , atunci �i între cilindreele celor dou� regimuri exist� rela�ia OMLV = .λ MR0V .În concluzie factorul de reglare al cilindreei mororului va fi 1=mχ ,pentru regimul de rota�ie lent �i λχ =M , pentru regimul de rota�ie rapid. Modelul dinamic pentru regimul de lucru lent este

��

��

�


57

descris de sistemul de la § 2.4, respectiv (2.25**), iar pentru regimul de lucru rapid de sistemul:

;....2

. 2**0dtdp

pkV

Q MMeM

MM βαωπχ ++�

�

��

� −=

( ) =+−��

��

� −+ ESeMOMMeSM MkV

dtd

J 2** ...2

.. ωωδπ

χω

= ;..2

. *0 pkV M

M ��

��

� −π

χ (2.27*)

Modelul multipolar al motorului hidrostatic lent cu came multiperiodice �i cilindree variabil� este asem�n�tor cu cel prezentat în tabloul (2.27), dar con�ine ecua�iile diferen�iale (2.27*). 2.1.6. Modelul dinamic al motoarelor hidraulice liniare (cilindri hidraulici) Motoarele hidraulice liniare sau cilindrii hidraulici, ocup� un rol important în construc�ia S.A.H., fiind componentele capabile s� realizeze deplas�ri liniare sau unghiulare ale organelor de lucru ac�ionate. Pentru a acoperi întrega gam� de solu�ii constructive de cilindri hidraulici se consider� modelul din figura 2.4 pe care se pun în eviden�� principalele caracteristici constructive necesare model�rii.

Fig. 2.4 Ca �i la celelalte modele abordate pân� în prezent, este necesar� scrierea

ecua�iei de continuitate �i echilibrul fictiv al for�elor aplicate pe pistonul cilindrului.

��

��

�


58

2.1.6.1. Ecua�ia de debite Debitul de agent hidraulic, calculat între priza de intrare în motor �i cea de ie�ire din motor, �inând cont de consumurile interne de debite, este descris de rela�ia:

EiVM QQQQ ∆+∆+= �[ ]sec/3m ��(2.28) unde: • VQ , [ ]sec/3m - reprezint� debitul instantaneu absorbit de motor în scopul

deplas�rii pistonului cu o vitez� instantanee x� . În conformitate cu cele descrise la § 1.2, acest debit de lichid este dat de rela�ia:

dtdx

AQV ⋅= ; [ ]sec/3m ; (2.29) unde: A - reprezint� aria suprafe�ei active a pistonului, [ ]2m ; x

dtdx

�= -

reprezint� viteza instantanee a pistonului, [ ]sm / ; • iQ∆ , [ ]sec/3m - reprezint� debitul pierdut între incinta de înalt� presiune

(activ�) - p �i incinta de joas� presiune (inactiv�) - 0p prin penetrarea normal� a sistemului de etan�are piston – cilindru. Se men�ioneaz� faptul c� sistemul de etan�are al pistonului, este realizat astfel încât s� asigure permanent o pelicul� de agent hidraulic între c�ma�a cilindrului �i garnitur�, în scopul ungerii ansamblului. Acest termen poate fi evaluat printr-o rela�ie de forma:

( )0ppQ Ci −⋅=∆ α ;[ ]sec/3m ; (2.30) unde: Cα - reprezint� coeficientul de pierderi de debit prin sistemul de etan�are piston – cilindru. • EQ∆ , [ ]sec/3m - reprezint� debitul de agent hidraulic absorbit de camera

activ� a cilindrului în procesul de compresiune. Acest termen are expresia:

dtdp

EVV

Qr

XE ⋅

+=∆ 0 ;[ ]sec/3m ; (2.31)

unde: 0V - volumul ini�ial de agent hidraulic aflat în avalul motorului liniar �i în camera activ� a motorului, supus presiunii p , m�surat în [ ]3m ; xAVX ⋅= - reprezint� aportul momentan de volum la volumul ini�ial, ca urmare a deplas�rii

��

��

�


59

pistonului cu cursa momentan� x , [ ]3m . Deoarece în majoritatea cazurilor volumul 0V con�ine volumul de agent hidraulic aflat între pompa S.A.H. �i motor ( )0VVX < volumul XV poate fi aproximat ca fiind jum�tate din volumul total activ al motorului.

Astfel:

2maxsAVX

⋅= ; [ ]3m ;

unde: maxs - reprezint� cursa maxim� a cilindrului, [ ]m . În consecin��:

dtdp

EsAV

Qr

E ⋅⋅+

=∆2

2 max0 �[ ]sec/3m ��(2.32) sau:

dtdp

Q MLE ⋅=∆ β �[ ]sec/3m ��(2.32*) unde s-a notat:

rML E

sAV2

2 max0 ⋅+=β , [ ]Nm /5 . Prin aproximarea introdus� de rela�ia (2.32), eroarea introdus� în modelul dinamic este în limitele acceptate (sub 5%) �i poate fi utilizat� în majoritatea situa�iilor obi�nuite de utilizare a motoarelor hidraulice liniare.

În cazul când motorul liniar este utilizat într-un sistem de reglare automat� a pozi�iei, când raportul de volume 0V �i XV se modific�, este necesar� luarea în considera�ia a volumului momentan de agent XV chiar dac� acest termen introduce variabila x în model.

Cu cele precizate anterior, ecua�ia de debite pe motorul liniar devine: ( pentru cazul aliment�rii camerei mari a cilindrului -cazul ( )1,0∈α ).

( )dtdp

ppdtdp

AQ MLCM ⋅+−⋅+⋅= βα 0 �[ ]sec/3m ��(2.33) În cazul aliment�rii camerei mici a cilindrului, ecua�ia de debite va fi:

( )dtdp

ppdtdp

AQ MLCM ⋅+−⋅+⋅⋅= βαα 0 �[ ]sec/3m ��(2.33*)

��

��

�


60

2.1.6.2. Ecua�ia de mi�care. Componentele dinamice ce intr� în ecua�ia de mi�care, reduse la tija cilindrului hidraulic, vor fi date de rela�ia:

fVEHr FFFFdtxd

M ∆−∆−−=⋅2

2

;[ ]N ; (2.34) unde: • Primul termen al rela�iei (2.34) reprezint� for�a de iner�ie momentan� a

pistonului �i masei sistemului ac�ionat, redus� la axul tijei cilindrului; s-a notat cu rM ,[ ]kg , masa redus� la tij� a organului de lucru ac�ionat de cilindru;

• HF - reprezint� rezultanta for�elor hidrostatice active aplicate pistonului. Aceast� for�� este dat� de rela�ia:

( )00 ppApApAFH ⋅−⋅=⋅⋅−⋅= αα ;[ ]N ; (2.35)

• EF -reprezint� for�a rezultant� rezistent�, redus� la tija cilindrului, a for�elor

rezistente aplicate pe organul de lucru al utilajului ac�ionat, m�surat� în [ ]N ; • VF∆ - reprezint� for�a rezistent� propor�ional� cu viteza momentan� de

deplasare a pistonului �i este dat� de rela�ia:

dtdx

F MLV ⋅=∆ γ ;[ ]N ; (2.36) unde: MLγ - reprezint� coeficientul liniarizat al for�elor de frecare de tip

newtonian ce apar între elementele de etan�are ale pistonului �i tijei, aflate în mi�care �i alezajul cilindrului, prin intermediul peliculei de agent hidraulic ce asigur� ungerea componentelor în mi�care relativ�. Aceast� component� este eviden�iat� pentru func�ionarea în regim permanent prin randamentul mecanohidraulic ce cumuleaz� �i efectele componentei fF∆ ;

• fF∆ - reprezint� for�a rezultant� rezistent�, redus� la tija cilindrului, a for�elor de frecare de tip coulombian �i are expresia:

( ) ( )0sgn ppAxF f ⋅−⋅⋅⋅=∆ αε� ;[ ]N ; (2.37) unde: fε - reprezint� coeficientul de frecare uscat� dintre materialul garniturilor

alezajului cilindrului �i tija acestuia [ adim ]; 11.007,0 −=fε pentru teflon pe o�el.

��

��

�


61

Cu rela�iile (2.35), (2.36) �i (2.37), dup� ordonarea termenilor, rela�ia (2.34) devine:

( ) ( )( )0

02

2

sgn

ppA

FppAxdtdx

dtxd

M EfMLr

⋅−⋅=

=+⋅−⋅⋅⋅+⋅+⋅

α

αεγ ��[ ]N ��(2.38)

În concluzie, modelul matematic al motorului hidraulic

liniar,(modelul multipolar dinamic) este dat de rela�iile (2.33*) �i (2.38) �i se poate reprezenta în configura�ia de mai jos:

(2.39)

EF va reprezenta for�a maxim� rezistent� la organul de lucru ac�ionat. În situa�ia când este cunoscut� o evolu�ie a acestei for�e în func�ie de anumi�i parametri tehnologici ai procesului (curs� momentan� x , vitez� momentan� x� , etc.) sau func�ie de timp, for�a poate fi introdus� în expresia modelului sub forma unei expresii matematice, eventual discretizat�.

În cazul cilindrilor hidraulici utiliza�i ca elemente de execu�ie ale regulatoarelor pentru modificarea cilindreei pompelor �i motoarelor (cazul

1=α ), modelul este asem�n�tor cu cel prezentat în rela�ia (2.39). Modelul trebuie completat cu for�a elastic� introdus� de arcurile

elicoidale utilizate pentru pozi�ionarea blocului de cilindri sau a discului fulant, pe pozi�ia neutr�.

Documents

CAPITOLUL 2 - ingineriebraila.ugal.ro · AC ION RI HIDRAULICE I PNEUMATICE Dinamica Componentelor i Sistemelor 4 dt dp dt dp E V Q p r p D e = × = b × 2 0 s[m3 / ec] S-a considerat