105

CAPITOLUL IV INTEGRALE IMPROPRII (EXTINSE)

4.1. Integrale improprii

Pentru integrala definită ( )∫b

a

dxxf s-a presupus că limitele a şi b sunt

finite, iar funcţia f este mărginită pe intervalul [ ]ba, .

Sunt cazuri când putem da un sens acestei integrale ( )∫b

a

dxxf , chiar

dacă nu sunt îndeplinite condiţiile de mai sus. În cele ce urmează ne vom

ocupa de integrale de forma ( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−∞−

∞

dxxfdxxfdxxfa

a

;; , în care funcţia f

este mărginită pe domeniile respective, sau de integrale de forma ( )∫b

a

dxxf ,

unde există ce puţin un punct [ ]bac ,∈ astfel încât ( ) ±∞=→

xfxx 0

lim .

Cazul când şi intervalul este nemărginit şi funcţia este nemărginită este un caz care nu merită să fie luată în discuţie pentru că integrala este divergentă (nu există). Toate aceste integrale se numesc extinse sau generalizate sau improprii. Cazul I (Interval nemărginit şi funcţie mărginită). Definiţia 1: Fie [ ) R→∞,: af o funcţie integrabilă pe [ ]ta, pentru ( ) at >∀ . Dacă există, este unică şi finită limita:

( )∫∞→=

λ

λa

dxxflim pentru ( ) a>∀ λ ,

atunci spunem că funcţia f este integrabilă în sens generalizat pe [ )∞,a şi avem

( ) ( )∫∫ ∞→

∞

=λ

λaa

dxxfdxxf lim . (1).

Dacă limita nu există sau este infinită, atunci spunem că integrala este divergentă.

106

Exemple.

1. ∫∞

−=0

12

dxxeI x .

2111

21lim

2limlim 2

222

000

=

−−=

−==

∞→

−

∞→

−

∞→

∞− ∫∫ x

xxx

eedxxedxxe

λ

λ

λ

λ

λ.

Deci, integrala este convergentă.

2. ( ) ∞=−=

===

∞→∞→∞→

∞

∫∫ 1limlimlim0

002

λ

λ

λλ

λeedxedxeI x

x

xx .

În acest caz integrala este divergentă. Definiţia 2. Fie ( ] R→∞− af ,: o funcţie integrabilă pe ( ]at, pentru ( ) at <∀ . Dacă există, este unică şi finită limita:

( )∫−∞→=

a

dxxfλ

λlim pentru ( ) a<∀ λ

atunci spunem că funcţia f este integrabilă în sens generalizat pe ( ]a,∞− şi avem

( ) ( )∫ ∫∞−

−∞→=

a a

dxxfdxxfλ

λlim . (2).

Dacă limita nu există sau este infinită, atunci spunem că integrala este divergentă. Definiţia 3. Fie RR →:f o funcţie integrabilă pe [ ]tt,− pentru ( ) 0>∀ t .

Dacă există, este unică şi finită limita ( )∫−

∞→=

λ

λλ

dxxflim pentru ( ) 0>∀ λ , atunci

spunem că funcţia f este integrabilă în sens generalizat pe R şi avem

( ) ( )∫∫−

∞→

∞

∞−

=λ

λλ

dxxfdxxf lim . (3).

Observaţii.

1. Această integrală poate fi descompusă în două integrale în felul următor:

( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=0

0

dxxfdxxfdxxf (4)

107

pentru care se pot aplica definiţiile (1) şi (2). Exemple.

( ) ( )( )

.22

limlim1

lim1 221

πππ

λλλ

λλλ

λ

λλ

=

−−=

=−−==+

=+

=∞→−∞→

−∞→

∞

∞−∫∫ arctgarctgxarctg

xdx

xdxI

Deci, integrala este convergentă.

011lim21

2limlim 22

222

2 =

−−=

−===

∞→−

−

∞→−

−

∞→

∞

∞−

− ∫∫ λλλ

λ

λλ

λ

λλ ee

edxxedxxeIx

xx .

Deci integrala este convergentă. 2.Pentru cele trei tipuri de integrale putem stabili convergenţa lor numai dacă funcţia f admite primitive. În cazul în care funcţia f nu are primitive, atunci convergenţa acestor integrale se poate stabili cu ajutorul criteriului dat de teorema următoare. Teorema 1 (criteriu de stabilire a convergenţei - 1C ). Dacă funcţia [ ) R→+∞,: af este funcţie integrabilă pe intervalul [ ]ta, pentru ( ) at >∀ şi dacă există R∈α astfel încât limita:

( )xfxLx

⋅=∞→

αlim există şi este finită, atunci:

a) Dacă ( )∫∞

⇒>a

dxxf1α este convergentă;

b) Dacă ( )∫∞

⇒≤a

dxxf1α este divergentă.

Demonstraţie. Să presupunem că ( ) ( ) axxf >∀> 0 , atunci ( ) ( ) 0lim >∀⇔⋅=

∞→εα xfxL

x

( ) 0>∃ εδ a.î. ( ) εα <−⋅ Lxfx pentru ( ) ⇔<−⋅<−⇔+>∀ εεδ αε Lxfxax)(

( ) εε α +<⋅<− LxfxL pentru )(∀ εδ+> ax . Cum L este finit, notăm: εε −=+= LMLM 1, şi εδ+= am , atunci:

( ) MxfxM <⋅< α1 pentru )(∀ mx > (4)

şi rezultă: ( ) αx

Mxf < pentru mx > . (4’).

108

Cum

( ) ( ) ( )∫∫∫∞∞

+=m

m

aa

dxxfdxxfdxxf (5)

şi ( )∫=m

a

dxxfI1 este finită pentru că f este integrabilă, rămâne de evaluat

integrala ( )∫∞

=m

dxxfI 2 .

a)Dacă 1>α , atunci:

( ) ( )

( ).

111lim

1

1limlimlimlim

111

1)'4(

2

∞<⋅−

=

−−

=

=−

==<==

−−−∞→

+−

∞→

−

∞→∞→∞→

∞

∫∫∫∫

αααλ

λα

λ

λα

λ

λ

αλ

λ

λ

αλα

α

mM

mM

xMdxxMdxxMdxxfdxxfI

mmmmm

Deci 2I este convergentă, atunci din (5) rezultă că I este convergentă. b)Dacă 1=α , atunci:

( ) ( ) ( ) ∞=

==>==

∞→∞→∞→∞→

∞

∫∫∫ mMxMdx

xMdxxfdxxfI

mmmm

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

λlnlimlnlimlimlim 11

1)4(

2 .

Deci 2I este divergentă. c)Dacă 1<α , atunci: Error! Bookmark not defined.

( ) ( )

( ) .lim1

1limlimlimlim

111

1

111

)4(

2

∞=−−

=

=

−==>==

−−

∞→

−

∞→

−

∞→∞→∞→

∞

∫∫∫∫

αα

λ

λα

λ

λα

λ

λ

αλ

λ

λ

λα

α

mM

xMdxxMdxxM

dxxfdxxfImmmmm

Deci 2I este divergentă, atunci rezultă că I este divergentă. Dacă ( ) ( ) axxf >∀< 0 , atunci considerăm ( ) ( ) ( ) 00 >∀>−= xxfxg , iar

( ) ( )∫∫∞∞

=−=aa

dxxgdxxfJ ,

căreia îi aplicăm raţionamentul anterior. Exemple:

1) ∫∞

+⋅

=1

2

3

1 1dx

xxxJ .

109

Cum ( ) 2

3

1 xxxxf

+⋅

= , atunci aplicând criteriul 1C avem că

( ) 11

lim1

limlim 2

34

2

31

=+

=+⋅⋅

=⋅=+

∞→∞→∞→ xx

xxxxxxfL

xxx

ααα pentru 1

322

34

<=⇔=+ αα .

Atunci 1J este divergentă.

2) ∫∞

+=

032 1xdxJ .

Cum ( )1

13 +

=x

xf , atunci aplicând criteriul 1C avem că

( ) 11

limlim 3 =+

=⋅=∞→∞→ x

xxxfLxx

αα pentru 13 >=α .

Deci 2J este convergentă. Cazul II (Interval mărginit şi funcţie nemărginită). Fie [ ] R→baf ,: nemărginită ( )∃⇔ cel puţin un punct ( )bax ,0 ∈ astfel încât limita ( ) ±∞==

→xf

xx 0

lim , sau să nu existe.

Să presupunem că există un singur punct 0x în ( )ba, pentru care limita să nu fie finită sau să nu existe, atunci [ ] [ ) [ ]bxxaba ,,, 00 ∪= , iar

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

x

x

a

b

a

dxxfdxxfdxxf0

0

. (6)

Rămâne de studiat cele două integrale. A. Fie ( ] R→baf ,: şi ( ) ( )xfaf

axaxd

>→

= lim nu există.

Definiţia 4. Fie ( ] R→baf ,: nemărginită în a şi integrabilă. Dacă există şi este finită limita

( )∫+

→=

b

a

dxxfLε

ε 0lim ,

atunci spunem că integrala este convergentă şi

( ) ( )∫∫+

→=

b

a

b

a

dxxfdxxfε

ε 0lim . (7)

Spunem în acest caz că f este integrabilă în sens generalizat sau impropriu pe [ ]ba, , adică integrala este convergentă.

110

Dacă limita L este infinită sau nu există, atunci spunem că integrala este divergentă. Exemple.

( )∫=1

01 ln dxxI .

Cum −∞=>→

xxx

lnlim00

, atunci funcţia ( ) xxf ln= este nemărginită în 0x =0 şi

( ) ( )( ) ( )

.1lim11

1

lim11

lnlim1

ln1limln11ln1limlnlimlnlimln

02

00

00

1

0

1

0

1

01

−=−−=−

−−=−−=

=+−−=−−−⋅=−===

→→→

→→→→ ∫∫

ε

ε

ε

ε

ε

εεεεεε

εεε

εεεεε

εxxxxdxxdxI

Deci 1I este convergentă.

0,1

02 >= ∫ pxI p .

a)Pentru 1>p , atunci ( ) pxxf 1= şi ( ) ∞=0df , iar

+∞=

−

−=

−=== −→

−

→

−

→→ ∫∫ 10

11

0

1

0

1

021

11lim

11

1limlimlim p

pp

p ppxdxx

xdxI

εεε

εε

εε

ε.

Deci 2I este divergentă.

b)Pentru 1=p , atunci ( ) ∞=0df , iar ( ) ∞=−===→→→ ∫ ε

εεεε

εln1lnlimlnlimlim

0

1

0

1

02 xx

dxI .

Deci 2I este divergentă. c)Pentru ( )1,0∈p , atunci ( ) ∞=0df , iar

( )ppp

xdxxxdxI p

pp

p −=−

−=

−=== −

→

−

→

−

→→ ∫∫ 111lim

11

1limlimlim 1

0

11

0

1

0

1

02 εε

εε

εε

εε

(finit). Deci 2I

este convergentă. Observaţie. Pentru acest tip de integrale putem aplica această metodă de stabilire a convergenţei numai dacă funcţia f admite primitive. În cazul în care funcţia f nu admite primitive, atunci putem aplica criteriul dat de teorema 2.

111

Teorema 2 (criteriul de stabilire a convergenţei - 2C ). Fie ( ] R→baf ,: pozitivă, nemărginită în a şi integrabilă pe [ ]ba ,ε+ pentru

0>ε . Dacă există un număr real α astfel încât limita ( ) ( )xfax

axaz

⋅−=>→

αlim

să fie finită în ax = , atunci:

a) Dacă 1<α şi ( )∫=⇒∞≠b

a

dxxfI este convergentă;

b) Dacă 1≥α şi ( )∫=⇒≠b

a

dxxfI0 este divergentă.

Demonstraţie. Procedând analog ca la teorema 1, atunci ( ) ( ) 00 >∃>∀ εδε a.î. ( ) ( ) εα <−− xfax pentru ( ) x∀ astfel încât εδ<− ax , echivalent cu

( ) ( ) ( ) ( )εα δεε +∈∀+<⋅−<− aaxxfax ,, . Notând bamMM <+=+=−= εδεε ;;1 , atunci

( ) ( ) ( ) ( )maMxfaxM ,,1 ∈∀<−< εα sau

( )( )

( )( ) ( )ma

axMxf

axM

,,1 ∈∀−

<<− αα

.

Integrând pe ( )ma, obţinem

( )( )

( )∫∫∫ −<<

−

m

a

m

a

m

a axdxMdxxf

axdxM αα1 . (8)

a)Pentru 1<α , atunci

( ) ( )( )

( )=

−−

=−

<=+

−

→+

→+

→ ∫∫∫m

a

m

a

m

a

m

a

axMax

dxMdxxfdxxfε

α

εε

αεε

ε α1limlimlim

1

000

( )[ ] ∞<−−−

= −−

→

αα

εε

α11

0lim

1amM )'8(

iar:

( ) ( ) ( ) ∞≤+= ∫∫∫+

→

)'8(

0lim

b

m

m

a

b

a

dxxfdxxfdxxfε

ε,

adică ( )∫b

a

dxxf este convergentă.

112

b)Pentru 1=α , atunci

( ) ( ) ( )( )

( )[ ] .lnlnlim

lnlimlimlim

01

01010

∞=−−=

=−=−

>=

→

+→+

→+

→ ∫∫∫ε

ε

εεε

εε

ε

amM

axMax

dxMdxxfdxxf ma

m

a

m

a

m

a

Deci I este divergentă.

c)Pentru 1>α , atunci

( ) ( )( )

( )

( )[ ]( )

.11lim1

lim1

1limlimlim

110111

01

1

01010

∞=

−

−−−=−−

−=

=

−−

=−

>=

−−→

−−

→

+

−

→+

→+

→ ∫∫∫

ααε

αα

ε

ε

α

εε

αεε

ε

εαε

α

α

amM

amM

axMax

dxMdxxfdxxfm

a

m

a

m

a

m

a

Deci I este divergentă. B. Fie [ ) R→baf ,: şi ( ) ( )xfbf

bxbxs

<→

= lim nu există sau este infnit. Acest caz

poate fi redus la cazul A. dacă se ţine cont că:

( ) ( )∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf . (9)

Exemple.

∫=4

031 sin

π

xdxI .

Soluţie. Cum ( )

3 sin1

xxf = , atunci ( ) ∞=0df şi aplicând criteriul 2C , calculăm

L= ( ) 1sin

limlim300

==→→ x

xxfxxx

αα pentru

31

=α (S-a ţinut cont că 1sinlim0

=→ x

xx

).

Deci 131<=α , atunci 1I este convergentă.

∫ −=

2

032 1sin

π

xdxI .

113

Cum ( )3 1sin

1−

=x

xf , atunci ∞=

2π

sf . Aplicăm 2C pentru 2π

=x , atunci

11sin

2lim301 =

−

−

=→ x

xL

x

απ

pentru 131<=α , atunci 1I este convergentă.

Observaţii. Întâlnim cazuri când integrala extinsă conţine atât cazul I cât şi cazul II, atunci împărţim integrala în două integrale corespunzătoare acestor cazuri. Exemplu:

∫∞

+=

021

ln dxxxI .

Funcţia ( ) 21ln

xxxf

+= este nemărginită în 0=x şi este definită de intervalul

nemărginit. Atunci ∫∫∞

++

+=

12

1

02 1

ln1

ln dxxxdx

xxI , unde ∫ +

=1

021 1

ln dxxxI se tratează

cu 2C , iar ∫∞

+=

122 1

ln dxxxI se tratează cu 1C .

Tema 4.1.

1. ( )( )∫ −−

=b

a xbaxdxI1 .

2. ∫−

=3

232 xdxI .

3. ∫=1

03

ln dxxxI .

4. ∫=1

04 ln xdxI .

5. ( )∫

∞

∞− += 225

1 xdxI .

6. ∫∞

=0

6 cos xdxI .

7. ∫∞

+=

127

1 xxdxI .

114

8. ∫− −

=1

13 28

1 xdxI .

4.2. Funcţii Euler 4.2.1 Funcţia Euler de speţa a doua

Definiţie. Se numeşte funcţia lui Euler de speţa a II a sau funcţia gama (funcţia factorială) funcţia definită de integrala:

∫∫λ

−−

∞→λ

∞−− ==Γ

0

1zt

0

1zt dttelimdtte)z( (1)

unde z = x + iy cu Re z = x > 0. Să stabilim dacă integrala ( )zΓ este convergentă.

Cum ( ) dttedttez ztzt 1

1 11

0 −∞ −−− ⋅+⋅=Γ ∫∫ pentru iyxz += şi 0Re >= xz , atunci va

fi studiată convergenţa integralelor 1I şi 2I unde:

dtteI zt 11

0 1−− ⋅= ∫ şi

dtteI zt 1

1 2−∞ − ⋅= ∫ .

Din teoria funcţiilor complexe [1] funcţia 1−zt se defineşte astfel: ( ) ( ) =⋅=== −−+−− tiytxtiyxtzz eeeet lnln)1(ln1ln11

( ) ( )( )tyityt x lnsinlncos1 +⋅= − .

Atunci

( ) ( ) 111 lnsinlncos −−− =+⋅= xxz ttyitytt . (*)

Integralele 1I şi 2I sunt integrale improprii.

Pentru integrala 1I , aplicăm criteriul 2C deoarece funcţia: 1)( −− ⋅= zt tetf

poate fi nemărginită în 00 =t .

Calculăm limita:

115

( ) =⋅⋅=⋅= −−

→→

1

001 limlim zt

tttettft αα

( ) =⋅=⋅= +−+−

→

−+−

→

iyxt

t

zt

ttete 1

0

1

0limlim αα

t

x

t

xt

t ette

1

0

1

0limlim

−+

→

−+−

→=⋅=

αα .

Această limită are valoarea 11 = pentru x−= 1α .

Cum 110 <−=⇒> xx α .

Deci, integrala 1I este convergentă.

Pentru integrala 2I aplicăm criteriul 1C deoarece funcţia:

( ) 1−− ⋅= zt tetf

este definită e interval nemărginit.

Calculăm limita:

( ) =⋅⋅=⋅= −−

∞→∞→

12 limlim zt

tttettft αα

( )(*)

11 limlim =⋅=⋅= −+−

∞→

+−+−

∞→

xt

t

iyxt

ttete αα

0lim1 ∞

∞−+

∞→== t

x

t etα

pentru ( ) 1>∀ α , deoarece .0>x

Deci, 2I este convergentă, iar ( )zΓ este convergentă.

Proprietăţi. P1) Γ (z + 1) = zΓ (z) (∀) z cu Re z > 0. (2)

Γ (z + 1) = ( ) Adtteztedtte ztztzt =

+−= ∫∫ −−−

∞→

∞−

λλ

λ0

10

0

lim unde :

−=⇒=

⋅=⇒=−−

−

tt

1zz

egdtedydttzdftf , atunci

116

A = ( )zzdttez zt Γ⋅=

∫ −−

∞→

λ

λ0

1lim deoarece ( ) 0e

limtelimz

0

zt =λ

=λ∞→λ

λ−

∞→λ(Vezi regula

L’Hospital). Atunci :

Γ (z + 1) = z(z – 1) ... (z – p) Γ (z - p) (proprietate care dă denumirea de funcţie factorial). P2) Γ (1) = 1 . (3)

Γ (1) = 1elimdtedtte0

t

0

t

0

11t =

==

λ−

∞→λ

∞−

∞−− ∫∫ .

P3) Γ (n) = (n – 1)! sau Γ (n + 1) = n! . (4)

Γ (n) 1P

= (n – 1)Γ (n – 1) = (n – 1)(n – 2)Γ (n – 2) = .... (n – 1) ... 2Γ (1) = = (n – 1)(n – 2) ... 3.2.1 = (n – 1)!

P4) Γ

21 = π . (5)

Γ

21 = ∫∫∫

∞−

∞−

=∞ −− π==⋅⋅⋅=0

x

0

xxt

0

21

t dxe2xdxx1e2dtte

222

(integrala lui

Gauss). Rezultat pe care îl vom obţine din proprietăţile altor funcţii.

P5) Γ

+

21n =

−

21n Γ

−

21n =

−

21n

−

23n ....

21Γ

21

4P

=

= π⋅−⋅⋅⋅⋅

n2)1n2(31 .

Observaţie. Din definiţia funcţiei

Γ (z)= ( )∫∫∞

−−=∞

−− ⋅⋅⋅=0

1z2xxt

0

1zt dxx2xedtte2

2

=

= ∫∫∞

−−∞

−− ⋅⋅=⋅⋅⋅0

1z2x

0

2z2x dxxe2dxxxe222

o nouă definiţie a funcţiei Γ (z).

117

4.2.2. Funcţia Euler de speţa a I a (funcţia beta)

Definiţie. Se numeşte funcţia lui Euler de speţa a I a, funcţia definită de relatia :

( )∫ −− −=β1

0

1q1p dxx1x)q,p( cu p,q ∈C (6)

pentru Re p > 0 şi Re q > 0. Altă exprimare : Dacă facem schimbarea de variabile x = cos2ϕ , atunci

pentru :

=ϕ⇒=

π=ϕ⇒=

01x2

0x iar dx = -2cosϕ sinϕdϕ avem

=β )q,p( ϕϕ⋅ϕ⋅ϕ⋅ϕ− ∫π

−− dcossinsincos20

2

2q22p2 (7)

sau =β )q,p( ϕϕ⋅ϕ∫

π

−− dsincos22

0

1q21p2 . (8)

Observaţie.

Pentru p = q = 21 , atunci =

β

21,

21

∫π

ϕ2

0

d2 = π . (9)

Să stabilim dacă integrala ( )q,ρβ este convergentă pentru 21 ippp += şi

21 iqqq += cu 0Re 1 >= pp şi 0Re 1 >= qq .

Cum funcţia

( ) ( ) 11 1 −− −⋅= qp xxxf

poate fi nemărginită în 0=x sau ,1=x atunci împărţim integrala în două

integrale 1I şi 2I astfel:

( ) ( ) dxxxIdxxxI qpqp 11

21

12

21

011

1 1;1 −−−− −=−⋅= ∫∫ .

118

Pentru ambele integrale aplicăm criteriul 2C , deoarece funcţia ( )xf cu

( )1,0∈x poate fi nemărginită în 0=x şi respectiv în 1=x .

Calculăm:

( ) ( ) =−⋅⋅=⋅= −−

→→

11

001 1limlim qp

xxxxxxfx αα ( ) =− −−+

→

110

1lim qpx

xxα

( ) 11110

1lim −−+

→−⋅= qp

xxxα

care are valoarea 11 = pentru 1101 11 <−=⇒=−+ pp αα .

Deci 1I este convergentă.

( ) ( ) ( ) =−⋅=⋅−= −+−

→→

11

112 1lim1lim qp

xxxxxfx αα

( ) 11111

1lim −+−

→−⋅= qp

xxx α

care are valoarea 12 = pentru 1101 11 <−=⇒=−+ qq αα pentru că 01 >q .

Deci, şi 2I este convergentă. Atunci funcţia ( )qp,β este bine definită.

Proprietăţi P6) β (p, q) = β (q, p) (simetrică funcţia β (p, q)). (10) Demonstraţie.

( )∫ −− −=β1

0

1q1p dxx1x)q,p( în care facem schimbarea de variabilă

1 - x = t ⇒

=⇒==⇒=

0t1x1t0x iar dt = -dx ⇒

( ) ( )∫ −−−−=β0

1

1q1p dttt1)q,p( = ( ) ( ) ( )p,qdttt11

0

1q1p β=−∫ −− ⇒ β (p, q) = β (q, p).

P7) β (p, q) = )qp()q()p(

+ΓΓ⋅Γ . (11)

(reprezintă relaţia de legătură între cele două funcţii a lui Euler).

119

Demonstraţie.Γ (p) = ∫∞

−−

0

1p2t dtte2 şi Γ (q) = ∫

∞−−

0

1q2u duue2 .

Atunci :

Γ (p).Γ (q) = 4 ∫∞

−−

0

1p2t dtte2 . ∫

∞−−

0

1q2u duue2 = 4 ( )( )∫ ∫

∞ ∞−−−−

0 0

1q2u1p2t duuedtte22

= 4 ∫ ∫∞ ∞

−−+− ⋅⋅0 0

1q21p2)ut( dtduute22 . (12)

care reprezintă o integrală dublă pe domeniul D = {(t, u) | t ≥ 0, u ≥ 0}.

În (12) facem schimbarea de variabile a

domeniului D în ( )

π

∈ϕ≥ρϕρ=∆2

0, si 0|,

unde

ϕρ=ϕρ=

sinucost cu ρ > 0 ϕ

π

∈2

0, .

Iacobianul este I = ρ , iar t2 + u2 = ρ 2. Atunci : Γ (p).Γ (q) = 4 ∫∫

∆

−−+ρ− ⋅ϕ⋅ρ⋅ 1p21q2p2 cose2

ϕρ⋅⋅ϕ− ddIsin 1q2 =

4 ∫∫∆

−−+ρ− ⋅ϕ⋅ρ⋅ρ⋅ 1p21q2p2 cose2

ϕρ⋅⋅ϕ− ddIsin 1q2 =

4 ∫∫∆

−+ρ−

ρρ⋅ de 1q2p22 . ( )ϕ⋅ϕ⋅ϕ −− dsincos 1q21p2 =

=

ρρ⋅

+Γ

∞−+ρ−∫

)qp(

0

1q2p2 de22 .

ϕ⋅ϕ⋅ϕ

β

∞−−∫

)q,p(

0

1q21p2 dsincos2 ⇒

⇒ Γ (p).Γ (q) = Γ (p+q). β (p, q) ⇒ β (p, q) = )qp()q()p(

+ΓΓ⋅Γ c.c.t.d.

P8) β (s, 1 – s) = ( )ππssin

. (13)

120

Demonstraţie. β (p, q) = ( )∫ −− −⋅1

0

1q1p dxx1x . Facem schimbarea de variabile

x = y1

y+

⇒

∞=⇒==⇒=

y1x0y0x iar dx = 2)y1(

dy+

⇒

β (p, q) = ∫∞

−−

−

+⋅

+01q1p

1p

)y1(1

)y1(y . . =

+ 2)y1(dy ∫

∞

+

−

+0qp

1pdy

)y1(y .

Să alegem pe q şi p astfel încât p + q = 1 ⇔

−==

s1qsp cu s∈(0, 1).

Atunci :β (s, 1 – s) = ∫∞

−

−

+01p

1s

dy)y1(

y = ( )ππssin

.

Observaţii .

1) Integrala ∫∞

−

−

+01p

1s

dy)y1(

y = ssin)y1(y

dy

0)s1( π

π=

+⋅∫∞

− se găseşte în cursul de

“Matematici speciale” (Vol I)[1].

Deci : β (s, 1 – s) = ( )ππssin

. (14)

2) Ţinând cont de relaţia β (p, q) = )qp()q()p(

+ΓΓ⋅Γ şi din faptul că

−==

s1qsp cu

s∈(0, 1), avem :

β (s, 1 - s) = )1(

)s1()s(Γ

−Γ⋅Γ = Γ (s).Γ (1 – s) = ( )ππssin

⇒

Γ (s).Γ (1 – s) = ( )ππssin

. (15)

3) Γ

21 = π relaţie dată (nedemonstrată) la funcţia Euler de speţa a II a

Ţinând cont de relaţia de legătură β (p, q) = )qp()q()p(

+ΓΓ⋅Γ în care facem

p = q = 21 ⇒

β ( )

2

2

21

121

21,

21

Γ=

Γ

Γ

=

.

121

Dar β =

21,

21

π . Atunci rezultă :

π = 2

21

Γ ⇔

Γ

21 = π sau ∫

∞−

0

x dxe2 = .

2π (16)

Aplicaţia 1. Să se calculeze cu ajutorul funcţiilor Euler următoarele integrale generale :

1) I1(a, b, m, n, p) = ∫∞

+0pn

m

dx)bxa(

x cu a > 0, b > 0 şi p > 0n

1m>

+ .

2) I2(a, n) = ∫π

+⋅+⋅

01n

n

)xcosa1(dxxsin cu a∈(0, 1), n > 0.

3) I3(α , β ) = ∫−

γα +⋅−1

1

dx)x1()x1( cu Re α > -1; Re γ > -1.

4) I4(a, b, c) = ∫∞

− ⋅⋅0

bxa dxexc , cu 0

c1a>

+ .

>

+ 0

c1aRe , b > 0.

5) I5(a, b, α , γ ) = ( ) ( )∫ γα −⋅−b

a

dxxbax , cu Re(α+1) > 0, Re( γ+1) > 0.

Ex.1. I1(a, b, m, n, p) = ∫∞

+0pn

m

dx)bxa(

x cu a > 0, b > 0 şi p > 0n

1m>

+ .

Facem schimbarea de variabilă dată de relaţia :

xn = n

n

bxabxt

t1t

ba

+=⇔

−⋅

Noile limite ale integralei sunt : x = 0 ⇒ t = 0 şi x = ∞ ⇒ t = 1

iar x = 2

1n1

n1

n1

n1

)t1(dt

t1t

n1

badx

t1t

ba

−⋅

−⋅⋅

=⇒

−⋅

−

.

Atunci : I1(a, b, m, n, p)= ∫∞

+0pn

m

dx)bxa(

x = ∫−

+−−

++

−⋅

⋅

⋅

1

0

1n

1mp1n

1mn1m

p dt)t1(tba

an1

=

+

−+

β⋅

⋅

⋅

+

n1mp,

n1m

ba

an1 n

1m

p = ( )pn

1mpn

1m

ba

an1 n

1m

p Γ

+

−Γ⋅

+

Γ⋅

⋅

⋅

+

.

122

Ex.2. I2(a, n) = ∫π

+⋅+⋅

01n

n

)xcosa1(dxxsin cu a∈(0, 1), n > 0.

Facem schimbarea de variabilă dată de relaţia :

tg

−+

=⇒⋅−+

=a1a1uarctg2xu

a1a1

2x iar dx = 2

−+

+

−+

a1a1u1

dua1a1

2.

Folosind formulele de exprimare a funcţiilor sinx şi cosx în funcţie de

tg

2x , atunci :

sinx =

−+

+

−+

=+

a1a1u1

a1a1u2

2xtg1

2xtg2

22

cosx =

−+

+

−+

−=

+

−

a1a1u1

a1a1u1

2xtg1

2xtg1

2

2

2

2

iar

1 + a.cosx = 1 + a ( )( )

−+

+

++=

−+

+

−+

−

a1a1u1

u1a1

a1a1u1

a1a1u1

2

2

2

2

.

Din substituţia iniţială se obţine că :

u = a1a1

+− tg

2x iar

∞=⇒π==⇒=

ux0u0x .

Înlocuind în integrala iniţială se obtine :

I2(a, n) = ∫π

+⋅+⋅

01n

n

)xcosa1(dxxsin = ∫

∞

+

++

=+

−+

+ 01n2

n1n1n

)u1(duu

a1a1

1a2

= 1n

2a12

+

− . ∫

∞

+=

+01n2

n

)u1(duu K

1a2 1n

⋅

+

+

unde :

123

K= ∫∞

+=

+01n2

n

)u1(duu I1(1,1, n, 2, n+1)=

++β⋅=

+

−++

β⋅2

1n,2

1n21

21n1n,

21n

21

= 2

2

21n

!n21

)1n(2

1n

21

+

Γ⋅⋅

=+Γ

+

Γ⋅ .

Prin înlocuire rezultă că : I2(a, n) = 21n

2 21n

!n21

a12

+

Γ⋅⋅

⋅

−

+

.

Ex.3. I3(α , γ ) = ∫−

γα +⋅−1

1

dx)x1()x1( cu Re α > -1; Re γ > -1.

Facem schimbarea de variabilă : 1 – x = 2y ⇔ x = 1 – 2y ⇒ dx = -2dy.

Pentru :

=⇒==⇒−=0y1x

1y1x .

Rezultă :

I3(α , γ ) = ( ) ( )∫∫ γα

−

γα −⋅−=+⋅−0

1

1

1

dyy22)y2(2dxx1)x1( =

= 12 +γ+α =−∫ γα1

0

dy)y1(y 12 +γ+α ( )( )∫ −+γ−+α −1

0

111)1( dyy1y = 12 +γ+α ( )1,1 +γ+αβ⋅ .

Ex.4. I4(a, b, c) = ∫∞

− ⋅⋅0

bxa dxexc , cu 0

c1a>

+ .

>

+ 0

c1aRe , b > 0.

Facem schimbarea de variabilă :

t = b.xc ⇔ x = c1

bt

.

Noile limite ale integralei vor fi : pentru

∞=⇒∞==⇒=

tx0t0x

dx = dttb1

c1 1

c1

c1

⋅⋅

⋅

−.

Înlocuind în integrală se obţine :

I4(a, b, c) = ∫∞

− ⋅⋅0

bxa dxexc = ∫

∞−−

++

⋅⋅

⋅

0

t1c

1ac

1a

dtetb1

c1 =

+

Γ

⋅

+

c1a

b1

c1 c

1a

.

124

Ex.5. I5(a, b, α , γ ) = ( ) ( )∫ γα −⋅−b

a

dxxbax , cu Re(α+1) > 0, Re( γ+1) > 0.

Facem schimbarea de variabilă :

x – a = (b – a)u ⇔ u = abax

−− ⇒ dx = (b –a)du.

Pentru :

=⇒==⇒=

1ubx0uax .

Înlocuind în I5 se obţine :

I5(a, b, α , γ ) = ( ) ( )∫ γα −⋅−b

a

dxxbax =

= ( ) ( )∫ −−⋅−⋅⋅− γγαα1

0

du)ab()u1(abuab = ( ) ( )∫ γα+γ+α −⋅−1

0

1 duu1uab =

= ( ) ( )∫ −+γ−+α+γ+α −⋅−1

0

1)1(1)1(1 duu1uab = ( ) )1,1(ab 1 +γ+αβ− +γ+α .

. Aplicaţia 2.

1) I1 = dxxcosxsin2

0

67 ⋅∫π

. 2) I2 = ( ) dxxsin2

0

n2 ⋅∫π

.

3) I3 = ( ) dxxcos2

0

n2 ⋅∫π

. 4) I4 = dxxcosxsin2

0

24 ⋅∫π

.

5) I5 = dxxtg2

0

n ⋅∫π

.

6) I6 = dxx1ln

1

0

n ⋅

∫ cu substituţia tx1ln =

.

7) I7 = dxx1ln

1

0

1n

⋅

∫−

cu substituţia tx1ln =

.

8) I8 = ∫∞

−

0

x dxe2 cu substituţia (xn = t).

9) I9 = ( )( )∫

− +−

1

1 3 2x1x1

dx . 10) I10 = dx)x1(xx1

0

4 3 ⋅−∫ .

125

11) I11 = dxxx1

0

2 ⋅−∫ . 12) I12 = dxx1

x1

04

n

⋅−

∫ (x4 = t).

13) I13 = dxxaxa

0

222 ⋅−⋅∫ (x = at). 14) I14 = ∫∞

+04

2

dxx1

x

+

= 4

4

x1xt .

15) I15 = ∫∞

⋅+03 23 x)x1(

dx

+

= 3

3

x1xt . 16) I16 = ∫

∞

+0nx1

dx

+

= n

n

x1xt .

Ex.1. I1 = dxxcosxsin2

0

67 ⋅∫π

.

Având în vedere (8), atunci

=β )q,p( ϕϕ⋅ϕ∫

π

−− dsincos22

0

1q21p2 ⇒ ϕϕ⋅ϕ∫

π

−− dsincos2

0

1q21p2 = 2

)q,p(β

atunci :

I1 = ( ) ( ) dxxcosxsin2

0

67 ⋅∫π

= ( ) ( ) dxxcosxsin2

0

1272142 ⋅∫

π

−⋅−⋅ =

β

27,4

21 =

= 131137

16

215

27)4(

21

⋅⋅⋅=

Γ

Γ⋅Γ

.

Ex.6. I6 = dxx1ln

1

0

n ⋅

∫ .

Făcând substituţia : tx1ln = ⇔ te

x1= ⇒ x = te− .

Pentru :

=⇒=∞=⇒=0t1x

t0x iar dx = - te− dt, atunci :

I6 = dxx1ln

1

0

n ⋅

∫ = ( )dtet t0

n −

∞

−⋅∫ = ∫∞

−⋅0

tn1

dtet = ∫∞

−−+

⋅0

t1n

1n

dtet =

+

Γn

1n .

126

Ex.10. I10 = dx)x1(xx1

0

4 3 ⋅−∫ .Având în vedere relaţia (6), atunci :

I10 = ( ) dxx1xx 41

431

0

−⋅⋅∫ = ( ) dxx1xx 41

431

0

−⋅⋅∫ = ( ) =−⋅∫ −−1

0

1451

411

dxx1x

( )445

411

45,

411

Γ

Γ⋅

Γ

=

β= .

Ex.15. I15 = ∫∞

⋅+03 23 x)x1(

dx .Făcând schimbarea de variabilă 3

3

x1xt+

= , atunci noile

limite ale integralei sunt :

=⇒∞==⇒=

1tx0t0x .

Din substituţie rezultă : x = 31

t1t

−, iar dx = 2

32

)t1(dt

t1t

31

−⋅

−

−

= dt)t1(

t31

34

32

−

−

.

I15 = ( ) ( )∫ ∫∫∞

−−−−

β=−⋅=−⋅=

+0

1

0

1981

911

0

91

98

32

3 98,

91

31dtt1t

31dtt1t

31

x)x1(

dx =

= ( )198

91

31

Γ

Γ⋅

Γ

.

Observaţie. Integrala I15 poate fi pusă sub forma generală dată de : I1(a, b, m, n, p) de la Aplicaţia 1.

I15 = ∫∞ −

+03

32

dxx1

x = I1(1, 1, -32 , 3, 1) unde

m = 32

− , n = 3, p = 1 şi care satisface condiţiile : a > 0, b > 0, p > n

1m + .

Atunci : n

1m + = 91

3

132

=+−

, p - n

1m + = 1 - 98

91=

iar

=

−=

91,

91

311,3,

32,1,1115 βII .