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5/24/2018 Capitulo 02.pdf

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I lustracin de una lo omotor de v por del siglo XIX

PITU LO

PRIMER LEY DE L TERMODINMIC

l Fsica b sic a se analizan formas de energa como la potencial gra vitatoria y la cintica ascomo otras formas de ene rga asociadas a los campos elctrico y magntico. l estudio de la energaasociada a las fu zas de enlace atmicas y nucleares tiene gran importancia para el qumico. Elestudio de los principios de la Termodinmica permite relacionar los cambios de stas y otrasforma s de energa dentro de un sistema con las interacciones energticas en las fronteras de unsistema. Una de las leyes ms importantes de la Termodinmica introduce el principio general deconservacin de la energa que lleva al concepto de energa interna de una sustancia. La ley en laque se basa este principio de conservacin es la denominada primera ley de ermodinmica quese presenta en este captulo.


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TERMODIN MIC

2 CONCEPTOS DE TR JO Y ENERG

z Sistema demasa m

Los conceptos de trabajo W y potencia W se introducen generalmente en el esdio de la mecnica. Mediante el estudio del trabajo mecnico necesario pmover un objeto, se desarrollan los conceptos de energa cintica y potencgravitatoria. Puesto que estas ideas son tan importantes en el estudio de la Termdinmica, estos conceptos se revisarn en los siguientes apartados.

Figura 2.1. Esquema de una par tcu lade masa m y vector de posicin+ + -S = xi + yj + zk sobre la que acta la-uerza exterior Fex t

y2 TR JO MECNICO Y POTENCIEl trabajo mecnico se define como el producto de una fuerza F por un desplamiento f1s medidos ambos en la misma direccin colineales). Considresesistema de mi sa n velocidad V y vector de posicin sobre el que actanica fuerza Fex t como se muestra en la Figura 2.1. a expresin general paracantidad diferencial de trabajo mecnico b mec resultado de un desplazamiec iferencial di viene dado por el producto escalar del vector de fuerzas exterioFcx t por el vector desplazamiento di As

bWl ec = F ex t d V = F ex t cos O ds [2donde O es el ngulo que forman los dos vectores F ex t Y El trabajo esmagnitud escalar. Sin embargo, se asocia un signo al trabajo dependiendovalor del ngulo que forman los dos vectores. Si las componentes de la fueexterior y del desplazamiento tienen el mismo sentido, el resultado es positivse realiza trabajo sobre el sis tema. El valor numrico del trabajo transferidonegativo si las componentes de la fuerza exterior y el desplazamiento tienen stidos opuestos.El trabajo mecnico en un desplazamiento finito desde la posicin l aposicin 2 se obtiene integrando la ecuacin anterior, es decir

[2

Tngase en cuenta que, puesto que la fuerza externa puede variar con el tiemplo largo del camino del proceso, el trabajo mecnico suele depender del camseguido por el proceso. Debido a esto, el trabajo mecnico es una funcinproceso y no una propiedad del sistema. As, la diferencial de Wes inexacta yrepresenta simblicamente mediante 6W no dW. Tomando como base la Eccin [1.7], la integracin de una diferencial inexacta b entre los estados lconduce simblicamente a W I2 y no a f1 W Es decir,

2WI 2 = W1

a expresin f1W no es apropiada, ya que slo se habla de trabajo en el contede un proceso. lestudio de las ecuaciones que lo definen muestra que las dimsiones principales del trabajo mecnico en el sistema FLt son [fuerzaI . [lontud]. n termodinmica, las unidades ms utilizadas comnmente para el trabmecnico son newton metro N m), julio 1 y kilojulio kJ . Las unidadessistema USCS ingls) son pie libra fuerra f t-Ib.) y la unidad trmica britca Btu).


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-:

-:

-

b

(a)

IV - ;-

z

g

35

Tngase en cuenta que una interaccintrabajo es una funcin de proceso unafuncin del camino del proceso

Figura 2.2. a Esquema de unapar t cula qu e se mueve en un campogravitator io y sobre la que actauna fuerza de superficie; b diagramadel cuerpo l ibre.

[2.51

[2.3]

[2.6]

12.4]

/ , - -Fex . V dt,,

RIlC . V dtt ,

Wmce = W dt =t ,

-El uso de la definicin de ve locidad V = dsd t en la ex presin anterior lleva denuevo a la Ecuacin [2.2]. E l anlis is de la ec uac in que define la potencia mec nica muestra que las dimensiones de la potencia son [fuerza] . [longitud]/[tiem-po], Las unidades tpicas son N rn/s o lb ft/ s, En el SI, la unidad bsica depotencia es el julio por seg undo Jzs, y I l s se denomina vatio W) . En c lculosde ingeni er a se utiliza con frecuencia el kil ovatio kW) , En el sistema US CS oingls suelen utilizarse tres unidades para la potencia: el caba llo de vapor hp , elpie-libra fue rza por segundo ft . lbzs y la unidad trmica britnica por horaBtu/h . En la Tabla A. l I se encuentran los factores de conversin entre es tas tresltimas cantidades.

donde V representa el mdulo de la ve locidad. La integraci n de la potenciamecnica en un perodo de tiempo determinado conduce tambin al trabajo aso-ciado a un proceso. As

La velocidad a la que se real iza trabajo sobre o por el si stema se define co mola potencia W La potencia, co rno e l trabajo, es una magnitud escalar. En func inde la potencia, e l trabajo di ferencial puede escribirse co mo

donde el trabajo y la potencia tienen el mismo signo. La potencia mecnica sum i-nistrada a U sis tema por lt. .{ l fue rza exterior se define Eo mo e l producto escalardel vector fuerza ex terior Fe por e l vec tor ve loc idad Por tanto

2.1.2. ENERGA CINTICA TRASLACIONAL,y ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA

LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Pa@ s ~ con los c lculos es necesario disponer de informacin explcitasobre R Il y Ve n funcin del tiempo. Esta informacin puede obtene rse aplicandola segunda ley de Newton al sistema.En la Figura 2 h se muestra un esquema de las fuerzas. Puede observarse quelas nica s fuerzas exteriores qu e ac tan sobre el sistema son el mg fuerzavolumtrica debido a la gravedad y la fuerza superficial resultante R ll c t ' Por tanto,

Utilizando como base los conceptos de trabajo y potencia mecnica, se calcularahora el trabajo mecnico necesario para ca mbiar la ve locidad y la posicin de unsistema que se mueve en un campo gravitatorio. Esto conducir al importanteconcepto de la energ a mec n ica.Considrese un sistema qu e se mueve_en un cam po gravitatorio i bajo laacc in de una fue rza supe rfic ia l resultante RIlC (vase Fig. 2.2a . Esta nica fuerza representa la suma de todas las fuerzas que actan sobre el sistema. La aplicacin de la Ecuac in [2. 5] a es te caso pa rticular lleva a


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TERMODIN MIC

L Fe x = R ne m donde ges la aceleracin [ocal de la gravedad. Utilizando eexpresin en la segunda ley de Newton, L F exr = md se obtiene_ _ dVR ne mg = ma =dt [2

donde el trmino a= dV/dt es la aceleracin del sistema. Resolviendo la Eccin [2.7] en RnerYsustituyendo este resultado en la Ecuacin [2.6] se obtieneexpresin del trabajo mecnico realizado sobre el sistema por la fuerza supecial R ne .

/2 /2 dV Wmcc 12 = Rner V dt = . V dtmdt/ I / I [2

/2 dV . V dt - (mg : V dt - W ac Worav-dt1 I /1El anlisis de los trminos de la ltima l nea muest ra que el t rabajo mecnrealizado por la fuerza externa Rnet puede separarse en dos partes: trabajoaceleracin Wac y trabajo gravitatorio Wgrav El trabajo de aceleracin Wac es el t rabajo realizado sobre el s is tema pcambiar su velocidad. Puede escribirse de forma ms til como sigue:

tz dV m . V =t dtI

m V dV =

vVI

mVdV

La integracin posterior ent re los estados 1 y 2 conduce a

l7l [2

La magnitud mV2 2 se define como energa cintica traslacional E de un sima. El valor de E, es independiente del tipo de material que experimenta la acelecin. La energa cintica especfica traslacional se define como ec = E/m = VEl trabajo gravitatorio Wgrav es el trabajo realizado contra la gravedad pcambiar la altura de un sistema. Recurdese que V dt = dv donde, en este casoes la variacin de la distanciavertical di. En consecuencia, tomando como basEcuacin [2.8],- mg . V dt =

Img d: [2. lO

Si se supone que g es uniforme en el espacio entre las posiciones ZI YZ2 entonla integracin resulta[2.1

La magnitud mg z se denomina energa potencial gravitatoria Ep del sistemIgual que Ec Ep es independien te del tipo de materia l del s is tema y la enerpotencial gravitatoria especfica ep se define como ep = E/m = gz. Cuando g nouniforme, es necesario conocer una relacin funcional entre g y z para pointegrar la Ecuacin [2. lOa] .


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LA PRIMERA L Y LA TERMODINAMICA

Anlogamente, la potencia mecnica suministrada por la fuerza superficial resultante para mover un sistema en un campo gravitator io es igual a la variacin conel tiempo de las energas cintica traslacional y potencial del sistema. Es decir,

Tngase en cuenta la diferencia entrepropiedades extrnsecas e intrnsecas y queambas energas, cintica y potencialgravitatoria son propiedades extrnsecas.

[2.12]

[2. 11]

El valor numrico del cambio en cua lquier trmino energtico en un proceso depende slo del conocimiento de los es tados inicial y final. Por tanto, laenergia cint ica traslacional la energa potencial gravitatoria deben serpropied es El valor de las dos formas de energa es independiente de la clase de material sometido al cambio de estado y ambas son, por tanto, propiedades ex/trinsecas El valo r de los dos trminos energticos depende de l tamao de l sistema y

son. por ello, propiedades extens ivas Los valores numricos de E, YEp dependen del sistem de ref erencia en elque se mid an la velocidad V y la altura z.Ahora ya se es t preparado para considerar las consecuencias de las Ecuacio

nes [2.11] y [2. 12J.

Los trminos energticos de las Ecuaciones [2.9 Y [2.10] tienen las mi smasdimensiones primarias que las interacciones de trabajo y. por tanto, las mi smasunidades que el trabajo transferido. Las unidades de la energa en el S I son normalmente julios J o kilojulios k,l. En el USCS las unidades suelen ser pielibra-fuerza f t . lb. o unidades trmicas britnicas Btu .En resumen, se ha demostrado que el trabajo mecnico realizado por la fuerzade superficie resultante para desplazar un sistema en un campo gravitatorio vienedado por

Antes de dejar el es tudio de la energa cintica y potencial gravitatoria, resultatil separar las propiedades en dos clases denominadas magnitudes extr nsecas eintrnsecas En general, para un sistema,

Una propie extrnseca es una magnitud cuyo valor es in ependientede la naturaleza de la sustancia que se encuentra dentro de las fronterasdel s is tema.Una propiedad intrnseca es una magni tud cuyo valor depend e de lanaturaleza de la sustancia que compone el sistema.

La velocidad macroscpica traslacional de un cuerpo y la velocidad angularde un cuerpo alrededor de su centro de gravedad son ejemp los de propiedadesextrnsecas. Ninguna de estas propiedades requiere informacin de la sustanciaque se encuentra dentro del cuerpo. La presin, temperatura, den sidad y cargaelctrica son propiedades intrnsecas. Estas propiedades estn relacionadas con lasus tancia que se estudia. Como se ha mostrado anteriormente, la energa cinticalineal y la potencial gravitatoria son propiedades extrnsecas.En conj unto, la energa cintica traslacional y la energa potencial gravitatoria se denominan generalmente energa mecnica Estos dos trminos energticos tienen algunas caractersticas comunes:


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8 TERMODINAMICA

2 3 TRABAJO POTENCI Y ENERGUNAINTERPRETACION

Recurdese lo que se ha hecho en los Apartados 2.1.1 y 2.1.2. Primero sedefinido el trabajo mecnico y la potencia mecnica. Despus estas definicionse han utilizado para evaluar el trabajo necesario para acelerar un sistem encampo gravitatorio y obtener las dos magnitudes energticas denominadas enga cintica traslacional y energa potencial gravitatoria. En conjunto estas dformas de energa asociadas a un sis tema se denominan energa mecnicasistema. Finalmente se han desarrollado dos expresiones que relacionan el trajo mecnico la potencia mecnica y la energa mecnica. Por tanto la Ecuaci[2.11] del trabajo mecnico realizado sobre un sistema por una fuerza superficpara acelerar el sistema en un campo gravitatorio puede interpretarse comobalance de energa mecnica para un sistema cerrado

donde el subndice me significa masa de control y aclara que se est habldo de la energa mecnica del sistema cerrado masa de control . Esta ecuaciestablece que la variacin de la energa mecnica del sistema cerrado es igualtrabajo mecnico realizado sobre el sistema. Puesto que el trabajo puede cambla cantidad de energa de un sistema y el trabajo es una interaccin entres is tema y su entorno e trabajo es un mecanismo para transportar energatravs de la frontera de un sis temaAnlogamente. la Ecuacin [2.12] de la potencia mecnica suministrada pl fuerra externa para acelerar n sistema en un campo gravitatorio puede intpretarse como la expresin de balance de energa mecnica referido al tiempara un sistema cerrado:

Esta ecuacin indica que la variacin con el t iempo de la energa mecnica desistema cerrado es igual a la potencia mecnica suministrada al sistema. De nuvo para ser coherentes con la interpretacin del trabajo la potencia es la velodad a la que se transfiere energa a travs de la frontera de wz sistema mediatrabajoCon esta interpretacin del trabajo como un transporte de energa y depotencia como la velocidad e transporte de energa es necesario tener cuidapara uti lizar un convenio de signos coherente cuando se realicen los clculCentrndose en la energa del sistema parece natural que nicamente las interciones que aaden energa al sistema deban ser positivas y las interacciones qdisminuyen la energa de un sistema deban ser negativas. Este es el conveniosignos adoptado en este texto para el trabajo

Al trabajo que entra a un si stema se le asigna un valor positivo > O . Dmismo modo al trabajo que sale de un si stema se le asigna un valor negavo W< O . Para la potencia mecnica se adopta un convenio anlogo: es decirW O entonces se transfiere energa al sistema mediante una interaccitrabajo.

I Esta ecuacin es una forma muy restringida del balance energtico general que se estudposteriormente en este captulo. Slo es vlida bajo las condiciones para las que se han desarrolllas Ecuaciones [2.111 y [2.1 21.


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LA PRIMERA L Y LA T RMODINAMICA 9

.

Es un convenio natural , en el que las cantidades aad idas a un sistema sonpositivas y las cantidades extradas son negativas y puede usarse coherentementepara el transporte de todas las propiedades ex tensivas tale s como masa, energa ,cantidad de movimiento y carga , El signo de este convenio es tambin coherentecon el anlisi s anterior del trabajo mecnico. Como alternativa al convenio designos estndar, puede omitirse el signo en una cantidad de trabajo e indicarse elsentido explcitamente asignando un subndice entra o sale abreviado,ent o sa l ) al smbolo del trabajo. Por ejemplo, si el trabajo extrado de unsistema es 100 kJ, es to podra escribirse como W = - 100 k o W, = 100 kJ.

EJEMPLO 2

Z = 27 mV 2 = lrn s

2

I

Sistemamv g = 400 kg

z, mV = Ims

Datos La vagone ta de una montaa rusa sube por una rampa tirada por una cadena,corno se muestra en la i gura 2.3.Solucin

Una vagoneta de una montaa rusa llega a la parte inferior de la pr imera rampa. All, unacadena engancha la vagoneta y ti ra de e lla subiendo la ram pa de 40 m de longitud a unave locidad constante de 1 m s hasta que alcanza la cima. En la cima de la rampa la alturadel coche ha aumentado en 27 m. La masa de la vagoneta incluyendo sus cuatro pasajeroses de 400 kg. Supnganse despreciables los efectos de friccin. Determnese a el trabajomecnico rea lizado para sub ir la vagone ta a la cima de la rampa en N m, h la fuerzamedia aplicada a la vagoneta por la cade na para subirla por la rampa, en N, y e lapotencia mecnica media suministrada por e l motor para elevar la vagoneta, en

Incgnitas Determnese: el trabajo requerido para sub ir la vagoneta a la cima de larampa, h la fuerza media aplicada por la cadena, y e la potencia mecnica media sumi nistrada a la vagoneta durante la subida.

Anlisis Antes de aplicar el ba lance de energa mecnica es necesario identificar elsistema. La vagoneta y su contenido se toman como sistema, como se muestra mediante lalnea discontinua de la figura.

a El balance de energa mecnica para el sistema es tablece que

odelo Se desprecian los efectos de friccin; = 0, la g ravedad local es constante yvale 9,8 1 m/s . etodologa Puesto que no hay informacin sobre la fuerza , se intenta utili zar lainformacin desarrollada para e l trabajo mecnico y la energa mecnica . Se utili zan entonces las definiciones de trabajo y potencia mecnicos para averigua r la informacin quefa lta.

Figura 2.3. Esquema y datos del Ejemplo 2.1.

2 El lector debe saber que los ingenieros utilizan tambin otro convenio de signos, aquel en el queel trabajo realizado por un sistema es positivo.


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r

TERMODIN MI

Puesto que la velocidad es constante, es necesario considerar nicamente el cambioenerga potencial gravitatoria. Resolviendo para obtener Wmeey utili zando la definicinEp se obtiene

98 1mWmcc = mg Z2 - Z = 400 kg x 2 x 27 - O ms

h Para evaluar la fuerza media aplicada por la cadena a la vagoneta, se utilizadefinicin de trabajo mecnico con una fuerza media constante Fm2 ds = lsm

I

Resolviendo para obtener la fuerza media se obtiene:

F = mcc = 106 x 1 3 N m- - - - - = 2.650 Nm ls 40 me Finalmente, la potencia mecnica media \Ymec m suministrada a la vagoneta pudeterminarse a partir de la relacin entre Wmec y mec es decir,

?- Wmcc dt = Wmec.m ltIEl intervalo de t iempo viene dado por la distancia recorrida dividida por la velociconstante. Esto es

ls 40 m lt =- = =40 sV 1,0 mis

y la potencia mecnica media es = Wmccmee .m lt 106 x 10

3 N m- - - - x = 2.650 l / s40 s Nr m

EJEMPLO

Comentarios 1 Todos los resultados se han redondeado a tres cifras significativcomo ser cos tumbre en este libro. En es te texto, a menos que se proporcione otra informcin, se supondr que toda la informacin dada en un problema tiene una precisin decifras significativas. 2 La potencia mecnica media tambin podra haberse calculado como Wmee. l v Comprubese.3 Si la potencia mecnica media es 2.650 l / s , el motor elctrico ms pequeo pble sera de 2,65 kW 0 3,55 hp.

coche de carreras pequeo kart t iene una masa de 200 libras-masa incluido el piloes t propulsado por un motor de 3 hp. Estmese cunto tiempo tardara el coche en alczar una velocidad de 40 millas por hora en un circuito de carreras horizontal. Esestimacin alta o baja? Supngase que se puede disponer de toda la potencia mecnpara acelerar el coche.SolucinDatos Un coche es propulsado por un pequeo motor y acelera desde el reposo, cose muestra en la Figura 2.4.


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Pero tamb in se sabe que la poten cia y el trabajo pueden relacion arse mediante WOlec SWmcc dt = W olor l t puesto que la po tenc ia motriz es cons tante . El balance de energamecnica puede reescribirse entonces como

= Ibm

SistemaIFigura 2.4. squema y datos deljemplo 2.2.

Proceso 1-2: Wm = 3 hpEstado 1: t = O; V = O


nlisis En es te model o el coche es un sistema cerrado. Aplicando el balance de energa mecnica y desp reci ando las variaciones de energa potencial, se obtiene

Puesto que se supone que toda la potencia se ha invertido en mo ver el coche, sera msrealista deci r que l..trcal > 6 48 s.

Resolviendo para l t y teniendo en cuenta que VI = O se obtiene el res ultadom Vl t = - ; --=--2 W otor

etodolog El cambio de la energa cintica es t relacion ado con el trabajo transferido al sistema . Si puede encontrarse el trabajo necesario y se conoce la veloc idad a la quese realiza la potencia, se podra calcular el tiempo.

Comentarios 1) Ntese el uso corre cto de los factores de conversin. Los clculosnumricos habran sido mucho ms senci llos si en primer lugar se hubiese co nve rt ido lave locidad del coche a ft/s y la po tencia a ft -Ib, antes de sustituirlos en la so lucin simb lica. El saber cundo convert ir las unidades y a qu convert irlas es una habilidad que seadquiere con la experiencia. Aborda rlo median te la fuerza bruta siempre fun ciona, aun-que se necesita mucha so ltura en e l ma nejo de las unidade s.

2) Tngase en cuenta c mo se ha distingu ido cuidadosame nte en tre libra-fuerza ylibra-masa. El co nfundir est os dos trminos conduce siempre a errores mayores. Una forma de evi tar esto es no uti lizar libra sin calificativo.

3) Un mtodo alternativo a es te problema habra sido aplicar la form a der ivada de laecuacin del balance de energa mecnica para ca lcular la v ocidad de cambio de la energa cintica del sistema en funci n de la potencia motri z. Es te mtodo conduc ira a lamisma ecuacin, l t = l..Ec j o or

m 2 2 . V 2 - V = Wo =W otor l t

Sustituyendo los valores numricos

Incgnitas Estima r el tiempo que le lleva al coche pasar del reposo a las 40 mph .Comentar cmo se relaciona la respuesta con la ac t uac in real.

= 6,48 s

Otras dos formas bien conocidas de interacciones trabajo pueden evaluarsetambin utili zando el concepto de trabajo mecnico como una fuerza que se desplaza una cierta di stancia. El trabajo en eje se produce cuando un eje rotatorioatraviesa la frontera de un sistema, y el trabajo elctrico se produce cuando unacorriente elctrica atraviesa la frontera de un sis tema. Estos dos tipos de trabajo,transferencias de energa, se revi sarn en los apartados siguientes.

odelo Puesto que la pista es hor izontal, slo son impor tan tes los ca mb ios en la ener- Es tado 2: t = ? s; V2 = 40 mphga cintica. Toda la potencia se invierte en ca mbiar el movimiento del coche. La potenciadel motor es constante.

.

mV 200 lb 40 mi les 2 S280 ft ? h 2-l t - x2W olor 2 3 hp ) h 1 mil 3 600 slb . ft 2 1 s 1 lb r S2 - 114.700 m X X- hp . S2 O ft -Ib 32 ,174 IbOl ft


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4 TERMODINAMICA2 4 TRABAJO EN EJEEl trabajo en eje, llamado algunas veces trabajo mecnico rotatorio, se evalafuncin del par externo transmitido por un eje rotatorio. Considrese el disposivo mostrado en la Figura 2.5. Una fuerza externa F acta con un brazo r y prodce un par r. Si el ngulo entre el brazo y la fuerza externa es 90, entoncesmagnitud del par t es

ds

t Fr o rF= -rF

Figura 2.5. Esquema que muestrala relac in entre el par y eldesplazamiento angular con eltrabajo mecnico rotatorio

La cantidad diferencial de trabajo en eje c5Wejc realizado sobre el sistema porfuerza externa que se desplaza una distancia diferencial ds = r dO donde el nglo se mide en radianes, puede escribirse como T c5W . =F ds =- . r dO = T dle le.

Puesto que el movimiento rotatorio del ej e se suele expresar en funci n del nmro de revoluciones por unidad de t iempo h; a menudo es ms fcil calcularpotencia en eje antes de calcular el trabajo en eje. La poten i en eje Wejc tranmitida en un instante de tiempo es

[2.1

donde w es la velocidad angular o rotatoria d /dt en radianes por unidad de tiempo, n es el nmero de revoluciones por unidad de tiempo y w = ZnnEl trabajo en eje suele depender del camino del proceso. El trabajo en epuede evaluarse a partir de la potencia en eje como / 2Wcjc = Weje dt rw dt/ , / I

si se conoce cmo varan w y r con el tiempo durante el proceso. Si el p rconstante durante el proceso, la integracin de la expresin anterior conduce[2.1

n t Te e .:..J

Figura 2.6. Trabajo en e je rotatoriocomo trabajo de rueda de pa le tas.

Tngase en cuenta que toda la informacin necesaria para calcular el trabajo eeje o potencia) debe evaluarse en la frontera del sistema.El t rabajo en eje y la potencia en eje son modos de trabajo 10 cuasiestticovase Apdo. 2.8.6) si la rotacin del eje y el par externo no pueden relacionarcon propiedades del sistema. Este es el caso, por ejemplo, cuando el eje esunido a una rueda de paletas situada en el interior de un recipiente, comomuestra en la Figura 2.6. En esta situacin el trabajo en eje se suele denomintrabajo de la rueda de pale tas .

2 5 TRABAJO ELCTRICOLa evaluacin del trabajo elctrico realizado sobre un sistema depende igualmente de las medidas rea lizadas en la frontera del sistema. Cuando se mueve unpequea carga jQ, del punto 1 al punto 2 en un campo electrosttico por ejemp


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I

v

Frontera del sistema

MPLO 2.3

4

Figura 2 7 Trabajo elctrico disipadoen una resistencia

Tngase en cuenta que el trabajo en eje y eltrabajo elctrico pueden afectar al estadointrnseco de un sistema

[2.15]

12.16]

El trabajo elctrico es otro ejemplo de interaccin trabajo no cuasiesttico si ladiferencia de potencial y la intens idad no pueden relacionarse con las propiedades del sis tema. Este es el caso en que se suministra potencia elctrica a unaresi stencia dentro de un sistema.

Un depsito rgido contiene un gas, una rueda de paletas conectada a un eje y una resistencia elctrica conectada a una batera. Al eje unido a la rueda de paletas se le aplica un parde 5,0 N m, y la velocidad del eje es 300 rpm. Al mi smo tiempo, se suministra unacorriente de 5,0 A a una resistencia mediante una batera con una di ferencia de potencialde 6,0 V. Determnese la potencia neta, en vatios, y el trabajo neto realizado sobre elsistema, en kilojulios, si el proceso dura I minoSolucinDatos Un gas dentro de un depsito rgido recibe energa en forma de trabajo de ruedade paletas en eje y trabajo elctrico. El sistema y los datos asociados se muestran en laFigura 2.8.Incgnitas la potencia neta, en vatios, y h) el trabajo neto, en julios, si el procesodura I mino

donde la intensidad de la corriente 1 y la diferencia de potencial V se miden en lafrontera del sistema, como se muestra en la Figura 2.7. La potencia elctricao trabajo transferido a un sistema es positivo cuando la corriente circula Izaciael sis tema de mayor potencial. Cuando una corriente de un amper io A pasa atravs de una diferencia de potencial de un voltio V, el trabajo elctrico para elproceso se def ine como un vatio W , o 1 J/sEn general , la intensidad 1 y la diferencia de potencial V pueden depender deltiempo Por ello, el trabajo elctrico, como el trabajo en eje, depende del caminodel proceso y no slo de los estados finales. Cuando la intensid d y la diferencide potencial son constantes el trabajo elctrico puede calcularse como

L PRIMERA LEY L TERMODIN MI

un circuito elctrico , el trabajo mecnico necesario para mover la carga en elcampo se denomina trabajo elctrico c1cc Viene dado por c lcc = V l

donde V por convenio es la diferencia de potencial elctrico entre dos puntosdel campo. La diferencia de potencial elctrico V tiene dimensiones de [energa]/[carga] y la unidad es el voltio en ambos sis temas SI y USCS. Por definicinI voltio = l julio/culombio.La intensid d de la co rriente elc tr ica 1 est relacionada con la cantidad decarga elctrica > l que atraviesa una frontera durante un perodo de tiempo dtmediante la relacin d c = J dt La intensidad de la corriente elctrica 1 tienedim ensiones de [carga]/[tiempo1y se mide en amperios A . Por definicin I A == 1 culombio/s El trabajo diferencial necesario para que pase una corriente deintensidad 1 entre dos puntos en la frontera del sistema con una d ife rencia depotencial Vdurante un perodo de tiempo dt es We1ec = V 1 dt La velocidad a laque se realiza el trabajo elctrico sobre el si stema, la potencia elctrica Wc lcc secalcula mediante

1

i,


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44 TERMODINAMICA

.JModelo La intensidad, la di ferenci a de potencial, la ve locidad y el par se suponconstantes. Sistema cerrado, rgido.Metodologa Evaluar la suma de las potencias e lctrica y en eje . Integrar la potenneta para ob tene r el t rabajo neto.

r ,:> r 7:T ;I

Anlisis El sistema lo compone la mat eria dentro de la lnea de trazos que se muesen la Figura 2.8. La po tenc ia neta en el proceso es la suma de las contribuciones del ejelctrica evaluadas en la frontera del sistema. Esto es W nct = W ejc + W c1cc

Batera

Figur a 2.8. E sq ue ma y datos delEjemplo 2.3.

La energa se suministra al sistema y, por tanto, la potencia en eje y la potencia elctrson positivas. Si se supone que el par apl icado y la velocidad angular son co nstantes,potencia en eje viene dada por

. rad revWejc = 2mh = rr 300 . 5,0 N . m)rev mmN m= 9.425 xmm

I min60 s

1 J1 N m

I W sI J = 157 W

Anlogamente , para la energa elctrica positiva sumini s trada al sistem aWe1cc = 6,0 V 5,0 A = 30 V A I VA = 30 W

Sumando es tos dos resultados se obti ene la entrada de potencia net a como W nc1 = W ejc + W clec = 157 + 30 W = 187 W

Puesto que la potencia neta no camb ia con el tiempo, el trabajo neto transferido es W net = W nel dt = W nc1 = 187 W x l h = 187 Wh

t

l J1 W s

60 sI min

11.220 J = I 1,22 kJComentarios Adv ir tase de nue vo e l uso de los fac tores de convers in pa ratener l as unidades deseadas. 2) La s decisiones ace rca del sentido de la potencia en ej e y la pot encia elctricahan hecho despus de con siderar cu l era el sistema, es decir, la rueda de paletas y

res istencia. Si el sistema hubiese incluido la batera, la potencia elctrica habra s30 W, puesto que la corriente elctrica entra en la batera a menor potencial. Es to pod escribirse Wh alcria = - 30 W o bien W balcr ia.sal = 30 W.

En el apartado anterior se han repasado unos pocos tipos de interacciones trabaEn todos ellos se tratan procesos concretos de transferencia de energa que afetan al estado de un sis tema determinado. Cuando las nicas transferenciasenerga permitidas a travs de la frontera de un sistema son interacciones trabala frontera se denomina frontera adiabtica y el sistema se denomina sistemadiabtico Un proceso adiabtico es aquel en el que slo se identifican interaciones trabajo 3.

Qu t ipo de mater ia les podran utilizarsepara construir una frontera adiabtica?

I LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINMICA

3 En termodinmic a e s ventajoso definir el concepto de trabajo en un sentido amplio que inclla definicin tradicional de trabajo mec n ico. La definicin operacional en termodin mica es: trabes una interaccin entre un sistema y su entorno y se realiza sobre el entorno si el nicocambio en pudiera haber sido un aumento de su encrga potencial gravitatoria.

l


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1

V Batera

Proceso A

Frontera del sistema

b

a)

Proceso B

Fronter a del sistema

Wcjc = kJr

Figura 2 9 Interaccio nes trabajo y laprimera ley

T n ga se e n c ue nt a q ue la variacin de laenerga t ot al d e un sistema se basae n p r ue b as experimentales .

[2.17]1E = l - l W nel,ad


donde W net,ad es el trabajo neto realizado en cualquiera de los procesos adiabticosentre esos dos estados. El balance de energa mecnica desarrollado anteriormenteEc. [2.11] es un caso particular de este resultado ms general. La Ecuacin [2.17]proporciona una definicin operacional de la variacin de energa 1E = l - l deun sistema cerrado. No proporciona ninguna informacin sobre el valor de laenerga en los estados l o 2. Puede darse un valor determinado a l porejemplo,asignando un valor arbitrario pero fijo a un estado de referencia determinado.

En el Apartado 2 se han presentado dos tipos de interacciones trabajo, trabajo en eje y trabajo elctrico. Ahora se pretende estudiar el efecto separado deestas dos interacciones trabajo en un sistema cerrado. ncada caso el s is temaexperimentar el mismo cambio de estado. Para ilustrar este punto, considrese elsistema cerrado de volumen constante que se muest ra en la Figura 2.9. Se realizan experimentalmente dos procesos adiabticos diferentes para llevar a cabo uncambio de estado determinado. El proceso A vase Fig. 2 9a se realiza permitiendo que una rueda de paletas, movida por un sistema polea-peso, gire dentrodel sis tema de volumen constante. En el proceso B vase Fig. 2 9b se ha colocado una resistencia elctrica en el seno del fluido y se conecta a una batera exterior a travs de la frontera del sis tema. Ambos procesos A y B tienen el mismoestado inicial y terminan con el mismo estado final del fluido. Adems, se puedeconsiderar tambin un proceso e en el que se utilicen ambos, trabajo en eje ytrabajo elctrico, para conseguir el cambio de estado requerido. Los experimentos muestran que el trabajo total requer ido es el mismo para los tres procesosadiabticos descritos anteriormente, si los tres comienzan y terminan en los mismos estados de equil ibrio del sistema de volumen constante.Tomando como base resultados experimentales de este tipo, que comenzaroncon el trabajo de Joule a mediados del siglo XI X , es posible establecer una generalizacin. Este postulado, basado en pruebas experimentales y denominado prime-ra ley de la termodinmica, establece lo siguiente:

Cuando un sistema cerrado masa de control) se altera adiab ticamente, eltrabajo neto asociado con el cambio de estado es el mismo p r todos losprocesos posibles entre los dos estados de equilibrio dados.Para enunciarlo de otro modo, el valor del trabajo neto realizado sobre o po r

un sis tema cerrado adiabtico depende nicamente de los estados inicial y finaldel proceso. Este postulado es cierto con independencia del tipo de interaccintrabajo que interviene en el proceso, el tipo de proceso y la naturaleza del sistemacerrado. La primera ley de la termodinmica, junto con las relaciones derivadasde ella, est tan bien establecida que no se cuestiona su validez cuando se aplicaadecuadamente a problemas cientficos y de ingeniera.Se ha postulado que la transferencia neta de trabajo es la misma para todos losprocesos adiabticos entre dos estados de equilibrio en un sistema cerrado. Esteenunciado de la primera ley conduce a una definicin general de la variacin deenerga en un sistema cerrado entre dos estados de equilibrio. Recurdese delApartado 1.3 y del estudio de las propiedades que cualquier magnitud que estfijada por los estados inicial y final para todos los procesos entre esos estados esl na medida del cambio del valor de una propiedad. Puesto que el trabajo adiabtico en un proceso de un sistema cerrado es nicamente una funcin de los estados inicial y final, la magnitud trabajo adiabtico define o mide el cambio de unapropiedad. Esta propiedad se denomina energa E o energa total) del sistema.Cuando un sistema cerrado experimenta un proceso adiabtico que cambia suestado del estado 1 al estado 2, pueden existi r var ios tipos distintos de trabajorealizados sobre o por el sistema. Si se aplica la primera ley de la termodinmicaa este proceso adiabtico ad , puede escribirse

Ii


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46 ,TERMDINAMICAI 2.3. PRIN IPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGAPARA SISTEMAS CERRADOS

La primera ley de la termodinmica proporciona una definicin operacional dvariacin de energa. La variacin de energa de un sistema cerrado entreestados cualesquiera es igual al trabajo realizado sobre o por el sistema duraun proceso adiabtico que conecte los dos estados Sin embargo, la experienha demostrado que es posible cambiar el estado de un sistema mediante proceno adiabticos

2.3.1. TR NSFEREN I DE LOREN SISTEMAS CERRADOSConsidrese el cambio de estado asociado con la agitacin de un fluido dentroun depsito adiabtico y rgido volumen constante Tambin se ha demostrque se conseguira el mismo cambio de estado poniendo el sistema en contacon otro sistema a mayor temperatura. La interaccin entre el sistema y su enno que ha tenido lugar en el ltimo caso se denomina interaccin calor o transrencia de calor Q l calor y el trabajo son los nicos mecanismos mediantecuales se puede transferir energa a travs de la frontera de un sistema cerraConsidrese un sistema cerrado que experimenta un proceso entre el estady el estado 2 durante el cual se producen interacciones calor y trabajo. Pu estose trata de un proceso no adiabtico, la variacin de energa del sistema no sigual al trabajo en el proceso. La diferencia entre el cambio de energa y el trajo neto es una definicin operacional de la interaccin calor que ha tenido luMatemticamente esta relacin se expresa como

o, en forma diferencialjQ d - jW

[2.

[2.Tal y como se ha utilizado en estas ecuaciones, el convenio de signos paracalor transferido y el flujo de calor es el mismo que el utilizado para el trabLa energa transferida al sistema en forma de calor tiene valor positivo y la enga transferida desde el sistema tiene valor negativo.El calor Q es una transferencia de energa a travs de la frontera de un sistedebido a la diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno. El calor tidimensiones de energa y su unidad es el ju lio J en el SI Yel pie libra-fueft lb o unidades trmicas britnicas Btu en el USCS. La experiencia hamostrado que el calor se transfiere de forma espontnea slo en el sentidotemperaturas decrecientes El calor transferido es cero si no existe diferenciatemperatura entre el sistema y su entorno, si el gradiente de temperaturas enfrontera es cero o si la frontera est aislada trmicamente Una superficie ofrontera a travs de la cual no se transfiere calor se denomina superficie adiabca Es difcil construir superficies adiabticas reales; sin embargo, en mucocasiones la transferencia de calor es despreciable y la hiptesis de superfadiabtica es realista.Utilizando como base la Ecuacin [2.18], est claro que la suma de Q y nica en cualquier proceso entre estados dados, puesto que f est determinpor los estados inicial y final. Sin embargo, el valor individual de W I sudepender de la naturaleza del proceso entre los estados dados. En consecuenel valor del calor 2transferido en un proceso generalmente depender tamb


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L PRIMERA LEY L TERMODIN MI

[2.23]

[2.22]

[2.24]

[2.20]

[2.21 ]

Transferencia netade energa alsistema medianteinteraccin trabajo

jQ

+

2

1Q dt =2

Transferencia netade energ a alsistema medianteinteraccin calor

Variacin deenerga delsistema

Como resultado, para un proceso ent re los estados 1 y 2

del camino, Por tanto, el calor es unafuncin de proceso o funcin del camino aligual que el trabajo, Recurdese que la diferencial de una magnitud que dependedel camino del proceso como Q y se designa mediante el smbolo mejorque el smbolo para la diferencial exacta d . Una cantidad diferencial de calor .puede definirse tambin en func in del flujo de calor Q como

El subndice 12se omite con frecuencia cuando el proceso se realiza en una nicaetapa. Para un proceso mul tietapa 1-2-3 se escrib ir a QJ y Q 3 para las dosetapas. Tngase en cuenta otra vez que la integracin de una funcin de procesono conduce al uso del s mbolo ,1. Para magnitudes como calor o trabajo no sehabla del cambio de la magn itud como se hace para la energ a 1E s ino delvalor absoluto para el proceso. Finalmente, no puede dejarse de hacer hincapi enque la transferencia de calor es un t ransporte que tiene lugar a travs de unafrontera. Este efecto es una interaccin que acaba cuando termina el proceso.

La Ecuacin [2.18], utilizada anteriormente para definir la transferencia de calor,contiene toda la informacin necesaria para escribir la ecuacin de conservacinde la energa en un s is tema cerrado . Reordenando la ecuacin de modo que lavariacin de energa quede en el lado izquierdo, se obtiene

2.3.2. CONSERVACIN DE LA ENERGAPARA SISTEMAS CERRADOS

Para un cambio de estado diferencial , la Ecuacin [2.22] se escribe como

Esta ecuacin es la ecuacin de conservacin de la energa para un sistemacerrado La Ecuacin [2.22] se conoce tambin como el balance energtico ge-neral para un sistema cerrado Con palabras

Con frecuencia conviene analizar los sis temas cerrados refer idos a la unidad demasa. Si el calor transferido po r unidad de masa q trabajo por unidad de masa wy energa especfica e se definen como

7


16/53

TERMODINAMICA

entonces el principio de conservacin de la energa para un cambio de estaddiferencial viene dado por[2.25

Para un cambio de estado finito, la integracin de esta ecuacin proporciona~ e = q W [2.26

Por ltimo, la Ecuacin [2.22] puede expresarse referida l tiempo dividiendoecuacin por un intervalo finito de tiempo M. Esto lleva a Q W=M ~ t ~ t

Entonces, en el lmite cuando ~ t tiende a cero, ~ t dE/dt Q M lJQ/dt Q y W ~ t lJW/dt = W. Como resultado, la form referida l tiempo dee u in de la conservacin de la energa para un sistema cerrado es

Con palabras

[2.27

Variacin con respectoal tiempo de la energadel sistemaFlujo neto- de calor transferido al sistema

potencia netatransferidaal sistemaa forma referida al tiempo del balance energtico demuestra claramente cmen cada instante de tiempo, la variacin de energa dentro del sistema cerradoequilibra con el flujo de energa a travs de la frontera. Las Ecuaciones [2.22][2 27] son ecuaciones muy importantes y constituyen los puntos de partida pricipales en la aplicacin del principio de conservacin de la energa a un sistemcerrado. n las dos ecuaciones hay un convenio de signos implcito en el queenerga suministrada a un sistema mediante transferencia de calor o transferencde trabajo tiene un valor numrico positivo y las interacciones que extraen enega de un sistema tienen valores numricos negativos Como se ha hecho constanteriormente, este convenio de signos implcito puede eliminarse utilizando lsubndices entra y sale en Q y en las ecuaciones de la energa.Finalmente considrense las dos aplicaciones de la ecuacin general de coservacin de la energa siguientes.

Advirtase que, como el valor de una interaccin trabajo y una interacin calor es funcin del camino, la evaluacin por separado de la intgral a lo largo de un ciclo de lJW o l Q no es necesariamente cero y s lola integracin cclica de dE Por tanto, para un sistema cerrado que exprimenta un proceso cclico, el principio de conservacin de la energareduce a

lJQ lJW = l Q lJW= O

Las integrales de lJW y l Q deben tener entonces el mismo valor, pesignos opuestos en el ciclo.


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I


2. Cuando un sistema cerrado funciona en rgimen estacionario, el tiempodeja de ser una variable del problema. En el funcionamiento en rgimenestacionario, los flujos de calor y las potencias deben ser independientesdel tiempo. Adems, la cantidad de energa del sistema es tambin independiente del tiempo, de modo que su variacin debe ser cero, es decir,dE/dt = O Por tanto, esto significa que el flujo neto de calor y la potencianeta deben ser iguales en magnitud, pero de signos opuestos.

Dos sistemas cerrados, A y B, experimentan cada uno un proceso durante el cual se comunica trabajo y la energa total de cada sistema aumenta. En el sis tema A, el trabajocomunicado al sistema es 100,0 kJ Y la energa total aumenta en 55 ,0 kl. h En el sistema B. el sistema realiza un trabajo de 77.800 ft -Ib mientras que la energa total aumentaen 55 Btu Encuntrese el calor transferido en el sistema A en kJ y en el sis tema B en Btu.Determnese tambin si se suministra o se ext rae de l sistema.SolucinDatos Una determinada interaccin trabajo produce un determinado cambio de energatotal en los dos sistemas. Los sistemas con los datos de entrada adecuados se muestran enla Figura 2.10.Incgnitas Magnitud y sentido de Q en a el sistema A en kJ, y h el sistema B en Btu.Modelo Sistema cerrado. etodologa Aplicar el balance bsico de energa para sistemas cerrados con el fin deobtener el calor transferido.Anlisis El principio de conservacin de la energa para sistemas cerrados, representado por la Ecuacin [2.22], es Eme = Q W Resolviendo en el calor transferido se obtieneQ = me - W.a Puesto que , por convenio, el t rabajo comunicado a un sistema es positi vo,V = 100,0 kJ YE mc = 55 ,0 kJ. Sustituyendo en la ecuacin de Q se obtiene

Q = t Emc - W =55,0 kJ - 100,0 kJ = - 45,0 kJAdvirtase que la solucin es -45 0 kJ Yno slo 45,0. Las soluciones de los problemas deingeniera tienen unidades y deben expresarse explcitamente. El signo negat ivo es tambin importante, puesto que indica que el calor sa le del sistema. Otra forma de expresar lasolucin es utilizar un subndice explcito: QsaJ= 45 0 kJ . Cuando se utiliza el subndicesale o entra en Q o W , el valor numrico positivo debe concordar con la direccinindicada.b El proceso se muestra grficamente en la Figura 2. lOb. Para el s is tema B, W,al == 77.800 ft -Ib. , puesto que el trabajo sale del sistema, mientras que tJ E = 55 Btu. Aunqueft -Ib , YBtu son ambas unidades de energa, se requieren unidades homogneas para calcular el calor transferido. Para obtener la solucin de Q en Btu, el t rabajo es

l BtuW, = 77.800 ft -Ib, x = 100 Btu. 778 ft -Ib,

donde el factor de conversin de unidades que se encuentra en la Tabla A.I 1 se ha redondeado a tres cifras significativas. Al sustituir los valores de W y tJ E en la Ecuacin [2.19]se obtiene

Q = tJ Eme - W = tJ Eme - - W,ale= 55 - -100 Btu= 155 Btu

EJEMPLO 4

W = 100,0 kJ

?a

W= -77.800ftlbf

?b

Figura 2.10. Esquema y datos delEjemplo 2.4.


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r50 ,TERMDINAMICA

El resultado positivo indica que durante el proceso es necesario aadir una cantidadenerga de 155 Btu en forma de calor.Comentario Es necesario utilizar el convenio de signos para el calor y el trabajo ebal ance energtico. Si se utiliza una ecuacin que ha desarrollado otra persona partrabajo o calor es necesario conocer el convenio de signos implcito en la ecuacin.

MPLO 2.5 Reconsidrese el Ejemplo 2.3. A un sistema cerrado se le suministra energa medianteresistencia elctrica y una rueda de paletas, 188,5 y W respectivamente. La ecuacdel flujo de ca lor cedido al entorno viene dada por Q = 2 18,5[1 - ex p - 0,03t ], don est en seg undos y Q en vatios. a Determnese la ecuacin de la variacin de energasistema respecto al tiempo dE /dt en funcin del tiempo. b Represntese grficameesta relacin fun ci onal para los 3 primeros mi nu to s de funcionamiento.SolucinDatos A un sistema ce rrado se le suministra potencia elctrica y en eje de forma cotante. Tambin se transfiere un t lujo de calo r dependiente del tiempo. En la Figura 2.se muestra el sistema cerrado con los datos de entrada adecuados.Incgnitas a dli/dt = f t para el sistema. b Ecuacin para la representacin grfModelo Sistema ce rrado, potencias en eje y elctrica constantes.Metodologa Aplicar el balance energtico para sistemas cerrados referido al tiemAnlisis La ecuac in de conservacin de la energa adecuada para el sistema eEcuacin [2.27], es decir

d .- = Qne. + Wne,dtdonde el trmino Wen este caso representa las diversas formas de interacciones trab

a En funcin de informacin conocida y teniendo en cuenta que el flujo de csale del sistema

dE . . .= Qsal + W cjc.ent W eJec,entdt= - 21 8,5[1 - exp -O,03t ]W + 188,5 + 30,0) W= 2 18,5 exp -0,03t W

Q = 218 5[1- exp--O,03t 1

200500o

100

w je= 188,5W

Wcke =3 WBatera

t. en segundosa

Figura 2.11. Esquema y datos del Ejemplo 2.5.h


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LA PRIMERA LEY L TERMDIN MI

[2.28]

[2.29]

[2.30]

N TUR LEZ E L ENERG4

De la fsica clsica puede demostrarse que la energa cintica total de un sistemade partculas puede expresarse como suma de tres trminos.

Por tanto, la var iac i n de la energa E con el tiempo decae exponencialmente con eltiempo.b La representacin grfica de la ecuacin anterior s e mu es tr a e n la F igu ra llb

Despus de 2 00 s la e ne rg a del s is te ma s e h ac e p r ct ic am en te c on st an te c on el t ie mpodE/dt tiende acero . Despus de este perodo transitorio el balance energtico se reduce bsicamente a -Q alc + Wnc1 0, o

En la ecuacin de conservacin de la energa para un sistema cerrado, Ecuacin[ 7] , el trmino fE representa la variacin de la energ a total del sistema. Aestas alturas es importante estudiar los tipos especficos de energa que contribuyen a la energa total. Finalmente, debe deci dir se q u t ipos de energa puedendespreciarse cuando se utiliza la ecuacin de conservacin de la energa paraestablecer el modelo del comportamiento de un sistema de ingeniera.Todos los tipos de energa E pueden clasificarse o como energa cintica EJdebido al movi mi ent o de un cuerpo, o bien como energ a potencial debi da a laposicin de un cuerpo relativa a un campo de fuerzas de otros cuerpos. Adems,los tipos de ener g a pueden clasi ficars e o en ext r ns ecos ext) o en intr nsecosint).Combinando estas dos clasificaciones se obtiene una forma til de examinarla energa total de un sistema. Por tanto,

Comentario Despus de 3 min el valor de dE/dr es slo el 0, 45 por 100 de su v al orinicial.

Este va lor d e 2 18 ,5 W p ue de h al la rse t am bi n h ac ie nd o r t en de r a i nf in it o en la relacindada para Q en funcin de

Los dos primeros trminos son las conocidas energa cintica traslacional y energa cintica rotacional del sistema total relativas a su centro de masas. Estas doscontribuciones son extrnsecas y se miden en funcin de car actersticas macroscpicas del sistema. El tercer trmino es la suma de las energas cinticas de laspartculas individuales del sistema, debidas al movimiento traslacional, rotacional y vibracional de las molculas individuales. Esta forma de energa es intrnseca, pero no puede medirse directamente. Por tanto, dos formas de la energa cintica del si stema son macroscpicas macro) en origen, mientras que la terceraforma se debe al movimiento molecular microscpico micro).La energa potencial total de un sistema pue de expresarse c om o sum a decuatro cantidades separadas .

Una de stas es la conocida energa potencial gravitatoria de un cuerpo respecto ala Tierra. Otras dos formas de energa potencial se deben a la presencia de cargasestticas y mviles y se denominan energas potenciales electrosttica y magne

IiI


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TERMDINAMICA

tosttica. Estas tres formas de energa son mensurables y extrnsecas. La cuartforma es la debida a las fuerzas ejercidas sobre una part cula por el resto de lapartculas que componen el sistema sumadas para todas las partculas. Este tipde energa potencial es intrnseco. El ltimo trmino de la derecha de la Ecuaci[2.30] requiere informacin de las fuerzas que actan entre las partculas de usistema; por tanto no es directamente mensurable.Las energas electrosttica E ~ X \ l e J magnetosttica E ~ x t mag y macroscpicrotacional E ~ : ~ r o t no se consideran en este texto. Despreciando estos trminossustituyendo las Ecuaciones [2.29] y [2.30] en la Ecuacin [2.28] se obtiene

E E cxt E cx int E intEe tras Ep grav macro Ep micro [2.31Los dos ltimos trminos anteriores representan las energas intrnsecas cintica y potencial del sistema y no se pueden medir directamente. La suma de estados contribuciones microscpicas a la energa se define como energa interna Ude la sustancia del sistema. Esto es

int intEc Ep [2.32La funcin energa interna como se ha definido mediante la Ecuacin [2.32] euna propiedad extensiva intrnseca de una sustancia en estado de equilibrio. Eausencia de cambios de fase reacciones qumicas y reacciones nucleares la energa interna U se denomina a veces energa sensible del sistema. Sin embargo eeste texto se har referencia a ella como energa interna del sistema.Tomando como base el estudio anterior la Ecuacin [2.28] de la energtotal de un sistema se convierte en

[2.33

donde se han despreciado las energas electrosttica magnetosttica y rotacionalFinalmente al sustituir la Ecuacin [2.33] en la Ecuacin [2.22] se llega a uprincipio general de conservacin de la energa que considera la energa cintictraslacional y la energa potencial gravitatoria como las nicas formas extrnsecade inters. El resultado para el sistema cerrado es

La forma derivada respecto al tiempo es

[2.34

d 2U mgzdt 2 [2.35Puesto que es una propiedad extensiva = mu donde u es la energa internespecfica. Como se mostrar en el prximo captulo la energa interna especfica es funcin de otras propiedades intrnsecas intensivas mensurables como presin y temperatura. En variables intensivas el principio de conservacin de lenerga para un sistema cerrado es

[2.36donde u puede expresarse por unidad de masa o en base molar.


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x

I 1 Q cond

II

5

IIIIII I

. dTQco, = - kA dr

T

Figura 2 2 ransferencia de calorpo r conduccin en una paredunidimensional

I

[2.38]

[2.37]

L

. dTQ cond = q cnndA = kA dx

donde q puede variar con la posicin en la superficie y la integral se realizasobre toda el rea.La transferencia de calorpor conduccin es la transferencia de energa debi-da a las interacciones entre las partculas en el interior de un material. La transfe-rencia de calor por conduccin est directamente relacionada con los gradientesde temperatura dentro del cuerpo y est gobernada por la ley de Fourier de con uccin del calor. Aplicando el modelo a una pared unidimensional como lamostrada en la Figura 2.12 la ecuacin para el flujo de calor en cualquier posi-cin x de la pared es

Q = q dAA

Como se ha definido anteriormente, la transferencia de calor es un mecanismomediante el que se transfiere energa a travs de la frontera de un sistema debidoa una diferencia de temperatura. La transferencia de calor puede producirse me-diante tres mecanismos distintos: conduccin, radiacin y conveccin. Cada unodeellos se asocia a un mecanismo fsico diferente. En este texto se supone que nose tienen conocimientos previos de estos mecanismos. Sin embargo, es instructi-vo introducir los conceptos bsicos sin realizar clculos de transferencia de calor.Para calcular el flujo de calor a travs de cualquier superficie sin util izar elbalance energtico es necesario tener informacin sobre la densidad de flujo decalor. La densidad de flujo de calor q es el flujo de calor por unidad de rea ytiene dimensiones de [energa]/{Ilongitud]?. [tiempo]}. En el SI las unidades tpi-cas sonW/m2 y en el USCS las unidades tpicas son Btu/tft: h . En el caso en quela densidad de flujo sea uniforme en la superficie de inters la densidad deflujo de calor es q = QA Dependiendo de la si tuacin, la densidad de flujode calor puede no ser uniforme a lo largo de la superficie de inters Entonces, elflujo de calor a travs de cualquier superficie puede calcularse a partir de laden sidad de flujo de calor mediante


5 TRANSFERENCIA DE LOR

donde k es la conductividad trmica del material y A es la seccin transversal enla posicin x El signo menos es necesario, ya que, por convenio, la densidad deflujo de calor se supone positiva cuando la energa se transfiere por conduccinen el sentido de temperaturas decrecientes. Los valores numricos de las conduc-tividades trmicas pueden encontrarse en distintas publicaciones. En rgimen es-tacionario, cuando el tiempo deja de ser una variable, la distribucin de tempera-tura en una pared plana de conductividad trmica uniforme ser una lnea rectacom o se muestra en la Figura 2.12. Bajo estas condiciones, el gradiente de tempe-ratura puede escribirse en funcin de las temperaturas de las dos superficies, TIy T2 Ydel espesor de la pared L siendo el flujo de calor

Este es el flujo de calor en la superficie o n la superficie 2 o en cualquierposicin x dentro de la pared.La transferencia de calor por radiacin es la transferencia de energa me-diante radiacin electromagntica. La energa transferida por radiacin puede

I

I


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T MODINAMICA

emitirse desde una superficie o desde el interior de fluidos transparentes y sldos, Dado el objetivo de este libro, el texto se concentrar en transferencia dcalor por radiacin desde superficies, A di ferencia de la conduccin y la conveccin), la radiac in es el nico mecanismo de transferenci a de calor que puedproducirse en el vaco. La densidad de flujo de radiacin trmica emitida por unsuperficie se describe mediante la ecuacin de Stefan-Boltzmann:

w Trad - -

/ . ,- . mT

r If T4q rad = [lIT s [2.39Figura 2.13. Trnsferencia de calo rpor radiacin desde un o jetopequeo situ do en el interior de unrecinto.

donde ; es la emisioidad de la superficie, J es la constante de Stefan Boltrmany T es la temperatura absoluta de la superficie. Los valores numricos de lemisividad pueden variar de Oa l dependiendo del tipo de superficie. La constante de Stefan-Boltzmann es una constante fsica igual a 5,67 x 10-8 W/ m2 . K[o 0, 17 14 x lO x tuth f t R4) ] Los clculos de transferencia de calor poradiacin pueden ser muy complejos debido a la dependencia no lineal de lapropiedades con la temperatura de la supe rficie y la capacidad de los materialede absorber, transmitir y em itir radiacin trmica. Considrese un caso particulapero de gran aplicacin: transferencia de calor por radiacin entre un cuerpconvexo pequeo y un gran recinto, como se muestra en la Figura 2.13 . En estacondiciones, el flujo de calor del cuerpo al recinto puede escribirse como

. 4 4)Qr = ;oA T - Treo [2.40donde A es el rea de la superficie de l cuerpo, T es la temperatura de la superficidel cuerpo y Trec es la temperatura del recinto que ve el cuerpo pequeo.La trans rencia de calor por conveccin es la transferencia de energa entrla superficie de un slido y un lquido o un gas debido al movimiento del fluidoEl mecanismo real es una combinacin de conduccin en la entrefase slido-fludo y el movimiento del fluido que se lleva la energa El flujo de calor por conveccin desde una supe rficie a un fluido se calcula utilizando como modelo la lede enfriamiento de Newton:

Q conv = hA T Tamh) [241

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por conveccin A es el rede la superficie, es la temperatura de la superficie y Tamb es la temperatura defl uido. El coeficiente de transferencia de calor depende del fl uido y de su movmi ento sobre la superficie. No es una propiedad del fluido .Los valores numricode los coeficientes de transferencia de calor pueden obtenerse a partir de correlaciones empricas que se encuentran en la literatura.En este texto, el flujo de calo r Q y e l calor transferido Q) se manejarn duno de los cuatro modos siguientes:

Q se supondr o se especificar que sea cero hiptesis de superficie adiabtica). A Q se le asignar un valor basado en los datos del problema. Q se calcular aplicando el bal ance general de energa. Q se calcular utilizando la ley de enfriamiento de Newton cuando se proporcione suficiente informacin.

Los conocimientos previos para realizar clculos detallados de transferencide calor se adquieren en cursos de transferenci a de calor impartidos en muchadisciplinas. Para mayor informacin, consltese un texto clsico de transferencide calor.


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LA PRIMERA LEY E LA TERMODINMICA 5

= Ih l1l h = 6 W/ I l . C)

T= 1l l , - oroamb = \Hierro

EJEMPLO 2.6

Imaginando que se permite que el airesalga de un globo bien lentamente o biepinchando el globo cul de estos do sprocesos podra calificarse como unproceso cuasiesttico?

Figura 2 14 . Esquema y datos delEjemplo 2.6.

I

I

2 - 7 W1m100 cmw= 6 2 (160 cm2 I00 - 25CCm . c

TRABAJO DE EXPANSIN Y COMPRESIN.6.

Anlisis. Escribiendo la ley de enfriamiento de Newton para la transferencia de calorpor conveccin y sustituyendo los valores numricos se obtiene

Losvalores de los trabajos en eje y elctrico se determinaron en el Apartado 2.1 apartir de medidas en la frontera del sistema. No se necesitaba ningn conocimiento de las propiedades de la sustancia dentro del sistema. Sin embargo, hay situaciones en las que, a lo largo del proceso, deben conocerse los va lores de laspropiedades intrnsecas de la sustancia para evaluar ciertas interacciones trabajo.

Modelo. Transferencia de calor util izando como modelo la ley de enfr iamiento deNewton.Incgnitas. Flu jo de ca lor po r conveccin que sale de la base, en vatios.

2.6.1. PROCESOS CUASIESTTICOS

Comentarios. ( 1) Puesto que el calor se transfiere de temperaturas altas a temperaturas ms bajas, debera decirse que e l flujo de ca lo r que sale de la plancha es 7,2 W.2) Tngase en cuenta que . como se ha definido anteriorme nte, todas las ec uacionespara calcular el calor transferido por conduccin, radiacin y convecc in proporcionanvalo res positivos cuando la energa se transfi ere de una temperatura alta a una temperaturabaja. Este sentido hay que recordarlo cuando se aplican estas ec uaciones en el balance, .energeuco.

Datos. Las condiciones de funcionamiento, como se mues tra en el esq uema de la basede la plancha en la Figura 2. 14.

Puesto que las propiedades slo estn definidas en estados de equilibrio, se puedeimaginar un proceso idealizado durante el cual el sistema est, internamente,infinitesimalmente prximo a un estado de equilibrio en todo momento. Un proceso llevado a cabo de esta forma idealizada se denomina proceso en cuasiequili-brio o proceso cuasiest ti o Una consecuencia importante de esta hiptesis esque las propiedades intensivas del sistema son uniformes en el espacio durante unproceso cuasiesttico. Aunque un proceso cuasiesttico es una ideal izacin, muchos procesos reales pueden aproximarse a esa condicin. Esto es verdad, puestoque el tiempo necesario para que muchas sustancias alcancen el equilibrio internoes peque o comparado con el tiempo del cambio del sistema global. As, enanlisis termodinmicos, con frecuencia es necesario y apropiado modelar unproceso real como uno en cuasiequilibrio.

La superficie de la base de una plancha tiene una temperatura de 100 DC y un rea de160 c . El coefic iente de transferencia de calor por conveccin en la superficie es6 m C y la temperatura del aire ambiente es 25ce. Determnese, en vatios, el flujo decalor que sale de la superficie por conveccin.Solucin


24/53

TERMODINMICA

Otra ventaja adicional que se obtiene al modelar un proceso como cuasiesttco es que se hace posible dibujar el camino de un proceso en cuasiequilibrio en udiagrama de propiedades: un diagrama bidimensional en el que las coordenadarepresentan las propiedades termodinmicas. Estos diagramas son extremadamente tiles en el diseo y anlisis de sistemas de ingeniera. Una prctichabitual en los diagramas de propiedades es dibujar un proceso cuasiestticmediante una lnea slida o continua mientras que un proceso no cuasiestticse representa mediante una lnea de trazos entre los estados inicial y final dadoUna lnea de trazos resalta que los valores de las coordenadas termodin micano se conocen entre los estados inicial y final. As el recorrido de la lnede trazos es arbitrario. Sin embargo la lnea slida o continua de un procescuasiesttico representa la relacin funcional entre las coordenadas durante eproceso completo.

Siempre que cambia el volumen de un sistema bien sea cerrado o abierto. stransfiere energa mediante una interaccin trabajo. Este tipo habitual de trabajse denomina trabajo de compresin/expansin o simplemente trabajo PdVpor razones que se mostrarn en breve. Por ejemplo considrese el dispositivcilindro mbolo mostrado en la Figura 2.15. Una pila de pequeas pesas mantiene el gas a la presin inicial. Retirando pesa a pesa la presin del gas bajlentamente mientras que el volumen aumenta. Este proceso se realiza en cuasiequilibrio. Si se retirasen varias pesas simultneamente el mbolo subira rpidamente. La presin del gas no est definida en un proceso de expansien no equilibrio como ste. Sin embargo en condiciones de cuasiequilibriopresin y volumen varan de forma controlada y el mtodo para determinael trabajo de expansin est bien definido.La evaluacin del trabajo dVrequiere considerar el trabajo mecnico realzado en el movimiento de una fuerza en la frontera del sistema. El prototipo dsistema cerrado para este tipo de trabajo es el dispositivo cilindrombolo motrado en la Figura 2.16a. El contenido del dispositivo cilindro mbolo constituyel sistema cerrado como se indica mediante la lnea de trazos. Utilizandomecnica bsica la expresin del trabajo diferencial realizado en ese sistemviene dada otra vez por la Ecuacin [2.1]

una a una .. . Nmero

infinitode pesas

Figura 2.15. I lus tracin de unproceso en cuasiequilibrio o cuasrestatco

6 TRABAJO DE EXPANSION y COMPRESION

-c5W = Fex di =Fex ds [2.1Frontera de lamasa de control

P IAreaA

rI I1 II II II II II J

a

Area= j

Area =SPdV

h

2

v

Figura 2.16. a Trabajo mecnico asociado con el movimiento de la frontera en undispositivo cilindro mbolo; b representacin mediante reas del trabajo deexpansin o compresin en un proceso cuasiesttico.


25/53

Qu es necesario conocer para evaluarm temtic mente la integral de PdV

igura 2 17 lustracin de que eltrabajo en la frontera es funcindel camino mediante diferentesprocesos cuasiestticos entre losmismos estados inicial y final

[2.42]

[2.43]

dVdV

o

donde el subndice comp/exp indica que el trabajo es de compresin/expansin. Esta ecuacin es muy importante y demuestra el poder de la hiptesisde cuasiequilibrio. Suponiendo un proceso cuasiest tico, el trabajo realizadopor una fuerza exterior puede calcularse en funcin de propiedades intrnsecasdel sis tema.

El trabajo total de compresin o expansin en cuasiequilibrio W comp/exp durante un cambio finito de volumen es la suma de los t rminos PdV para cada cambiode volumen diferencial. Matemticamente esto se expresa mediante la relacin

donde w comp/exp es el trabajo por unidad de masa. Tngase en cuenta que cuando elvolumen disminuye, el valor del trabajo es positivo. Esto es coherente con elconvenio de signos adoptado para el trabajo como una transferencia de energa.La presin P debe expresarse en unidades absolutas Advirtase que la integral de W es simplemente W y no Una interaccin trabajo PdV est asociada conun proceso y su valor depende del camino del proceso.La representacin grfica de un proceso cuasiesttico en coordenadas presin-volumen es muy til para describir grficamente el trabajo de expansin ocompresin de un proceso. Utili zando el clculo integral, el rea bajo la curvaque representa el camino de un proceso cuasiesttico es igual a la integral de PdVen el diagrama presin-volumen. En la Figura 2 6b se muestra un diagramatpico para la evaluacin del trabajo en la frontera. El rea diferencial representael trabajo realizado sobre o por el gas del cilindro cuando el volumen vara en unacantidad dV El rea completa bajo la curva desde el punto 1 al punto 2 representael trabajo total realizado cuando el gas se expande del estado I al estado 2. Entreestos dos estados inicial y final se pueden dibujar un nmero infinito de caminoscuasiestticos. En la Figura 2.17 se muestran tres caminos posibles. El rea bajocada uno de estos caminos es diferente. Esto simplemente resalta el hecho de queel trabajo es una funcin del camino o del proceso y, a diferencia del cambio devalor de una propiedad, no depende nicamente de los estados inicial y final delproceso. Slo en el caso particular de los procesos adiabticos, el valor neto delas interacciones trabajo es independiente del camino.


\I

i Si el proceso es cuasiesttico, la presin P es uniforme en cualquier lugar dentrodel sistema mientras dure el proceso y P = FejAmbolo En estas condiciones, laexpresin diferencial para el trabajo realizado sobre el sistema por la fuerza exterior en el cambio de volumen del sistema es

Tngase en cuenta que la fu erza exterior acta en la interfaz mbolo-sistema de lafrontera del sistema. Para el objet ivo de este estudio, se supone que el sistema secomprime mediante una fuerzaexterior as el vector desplazamiento tiene lamisma direccin y sentido que F ex, El desplazamiento diferencial ds causado pori la compresin puede escribirse en funcin de un volumen diferencial y de la: seccin transversal del mbolo, puesto que dV = A mbol -ds) , donde el signomenos se debe a la compresin.El trabajo diferencial puede escribirse como

i

7


26/53

TERMODINAMICA

La integracin de la ecuacin del trabajo de compresin o expansin requierel conocimiento de la relacin funcional entre P y Esta se determina a partir dmedidas experimentales de P y V durante un proceso, o bien del conocimiento detipo de proceso particular que tiene lugar. El mtodo general se ilustra a conti. nuacion.EJEMPLO 2.7 Un dispositivo cilindro-mbolo contiene un gas que est inicialmente a 1,0 MPa y ocup

0,020 m : El gas se expande hasta un volumen final de 0,040 rrr en las condiciones a) lpresin permanece constante, y b PV = con stante. Determnese el trabajo obtenido, ekilojulios, para los dos camino s especificados.SolucinDatos Un dispositivo cilindro-mbolo contiene un gas. En la Figura 2.18a se muestrael esquema del problema y los datos de entrada.Incgnitas W , ule en kJ para a) P = e, y b PV = C

Frontera odelo Sistema cerrado; proceso cuasiesttico.

2

I

2

1

nlisis El sistema es el gas que se encuentra dentro de las lneas de trazos de la Figur2. 18a. El trabajo de expansin para un sistema cerrado durante un proceso cuasiesttic

WI2 = - PdV = -1 dV = - P V2 - VI= -1 X 106 N/m 2 x 0,040 - 0,020) m x l kJ/ 103 N rm)= - 20,0 kJ

etodologa Utilizar la definicin de Wcomp/e, p

viene dado por la Ecuacin [2.43], Wcomp/c,p = - PdV. Para evaluar la integral se necesitinformacin referente a P y V

a Si la presin permanece constante proceso isobaro), entonces el trabajo W I 2 parel camino a es

II: \12 = 0,040 m1

a

1,0

Figura 2.18.Ejemplo 2.7.

0,020 0,040 \1, mb

Esquema y datos del

Puesto que W I 2 es negativo, W l2.sale = 20,0 kJ. En la Figura 2 1 8b se muestra el caminentre los estados I y 2b Bajo la condic in de que PV = C, entonces P = . Sustituyendo esta ltim

ecuac in en la ecuacin del W comp/cxp e integrando posteriormente a lo largo del caminohasta el estado final 3

3PdV= -

I3C V- d V = -C In lI V VI

La constante C puede evaluarse en cualquier estado a lo largo del camino. Puesto que tantla presin inicial como el volumen son conocidos se hace C = P V = 2 X 104 N m Ec lculo numrico del trabajo para el camino b es

V3 4 0,040W IJ P V ln --- : =-2x 10 Nr m x ln =-13 .860Nm. V 0,020= 13,86kJ

es decir, W sale.13 = 13 ,86 kJ. En un diagrama PV. una ecuacin del tipo PV = C es unhiprbola, como se muestra mediante el camino 13 en la Figura 2. 18b. El trabajo obteniden la parte b es numricamente slo el 70 por 100 del de la parte a. Esta relacin se vclaramente cuando se comparan las reas bajo las lneas de proceso en los dos casos. Lpresin en el estado 3 es exactamente la mitad que la del estado 2.)

I


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L PRIMERA LEY DE L TERMDIN MI

Comentario Este ejemplo muestra que el valor del t rabajo cuasiestt ico de compresin/expansin 1 depende del camino del proceso, y 2 se ilustra mediante un rea en eldiagrama PV.

l camino de muchos procesos de expansin y compresin puede modelarsecomo unproceso politrpico. En este proceso la presin del sistema y el volumenespecfico estn relacionados mediante la relacin politrpica[2.44]

donde e es una constante y el parmetro n se conoce como constantepolitrpica.Aunque n puede tener cualquier valor, la relacin es especialmente til cuandol n 5/3. La solucin general para el trabajo de compresin o expansincuasiesttica en un proceso politrpico se desarrolla en el ejemplo siguiente. mo vara la presin en un procesopolitrpico en el que n =O?

Dedzcase una expresin para el trabajo de compresin/expansin asociado a un procesopolitrpico en un sistema cerrado.

I EJEMPLO 2.8Solucin p 1

1 n 5/3

IIIIIII f 1 2I II I

Datos En un dispositivo cilindro-mbolo tiene tiene lugar un proceso politrpico. En laFigura 2.19 se muestra el camino del proceso en un diagrama Pv.Incgnitas Una ecuacin para wcomp/cxpModelo Sistema cerrado, proceso en cuasiequilibrio, Pi/ = c.Metodologa Utilizar la relacin politrpica en la integracin de wcomp/exp = JPdv. v

2.6.3. TRABAJO EN UN PROCESO CCLICO CUASIESTTICO

W

Frontera

a

Figura 2.19. amino politrpico deEjemplo 2 8

Figura 2 20. Esquema del Ejemplo2.8politrpicon - 1

2 C V-n+ 1 _ V-n+ 1n d _ =2 1 _CV V = n - 112

W = - Pdv = -1

Anlisis El sistema es el gas que se encuentra dentro del dispositivo cilindro-mbolode la Figura 2.20. En magnitudes intensivas, al sustituir la relacin P = cv n en l a Ecuacin[2 43 ] wcomp/cxp = JPd v se obtiene

La constante e = P1 ~ = P2 v ~ Por tanto,

l trabajo extensivo Wcomp/exp se determina al sustituir en la ecuacin anterior el volumenespecfico v por el volumen total Comentario Esta ecuacin se aplica para todos los valores de n excepto para l Cuando n es la unidad, P = e/v y wcomp/exp = Jcdo] = -cln v2 /v 1 = P1V 1 In v2 /v

Otro modelo comn para sistemas cerrados con trabajo slo de compresin/expansin est relacionado con el de los sistemas en los que se ejecuta un procesocuasiesttico cclico. Considrese de nuevo el sencillo dispositivo cilindro-mbolo que se muestra en la Figura 2.16 En la Figura 2 2 se muestra un posible

dI


28/53

60 TERMODINMICA

Figura 2.21. Representacinmediante un rea del trabajo neto enla frontera durante un proceso cclicocuasiesttico.

p 1 2

34

v

diagrama PV par a el fluido que trabaja dentro del dispositivo. El ca mino deproceso cclico consta de cuatro procesos distintos 1 2 2 3 3 4 Y4-1 que devueve el sistema a su estado inicial. El trabajo en cada proceso puede evaluarse comb

Wcomp exp a h = - PdVa

Pa ra los procesos de expansin 1-2 y 2-3 de la Figur a 2.21, el volume n final emay or q ue el inicial y el trabajo lo r ealiza el s is tema s obr e el entor no. D e f or manloga, el entorno realiza trabajo sobre el sistema en el proceso de compresinlo l ar go del camin o 4-1, pu est o q ue es negativo. D ur an te el pr oces o 3-4 nexiste trabajo, ya que el volumen es constante. El trabajo neto realizado pors ist ema en el ciclo es l a s uma de las int er acci ones tr abajo p ar a cad a pr oces o dciclo. En general, en un ciclo compuesto arbitrariamente por cuatro caminos diferentes

donde el smbolo f significa de nuevo la integracin a lo largo de un camincclico. Para el ciclo especificado en la Figura 2.21 el valor de W34 es cero, comse ha hecho notar anteriormente.El trabajo en cada proceso del ciclo se representa mediante el rea bajo cadlnea de proceso en el diagrama PV El trabajo neto en el proceso cclico es el reencer rada p or el camino c cl ico. En l a F ig ur a 2.21 el camin o s igue el s entido dlas agujas del reloj en el diagrama PV y el trabajo neto se extrae del sistema. Sic iclo se llevase a c abo en el sentido contrario de las agujas del reloj, el trabaneto seguira representado por el rea encerrada. Sin embargo, en este casotrabajo neto sera realizado por el entorno sobre el sistema suministrado). Finamente, tngase en cuenta que, en general, el trabajo neto transferido en un procso cclico de un sistema cerrado debido a cambios de volumen no ser cero Lvariacin de todas las propiedades del sistema ser cero en un ciclo, perotrabajo neto en la frontera ser generalmente finito.

[2.45PdVdV

1

4PdV

4

3-

Wnet.ciclo = W I 2 + W23 + W34 + W42 3PdV - PdV

Demustrese que el trabajo neto en un ciclorealizado en el sentido contrario delas agujas del reloj en el que hay dosprocesos a presin constante a 5 0 y100 p si a y dos procesos a volumenconstante a 1 y 2 ft es 7 200 ft . lb,.

MPLO 2.9 Un gas que inicialmente ocupa 0,020 rrr a 1,0 MPa se expande cuasiestticamente en udispositivo cilindro-mbolo a presin constante hasta que el volumen es 0,040 rrr . A cotinuacin se mantiene a volumen constante y se enfra hasta que la presin es la mitad deinicial. Despus se comprime cuasiestticamente hasta el estado original siguiendo el cmino = constante. Determnese el trabajo neto del ciclo en kilojulios.Solucin

Incgnitas Wnet para el ciclo en kJ.

Datos. Un gas en un dispositivo cilindro-mbolo experimenta un proceso cclico en tretapas, que son: una expansin a presin constante, un enfriamiento a volumen constantefinalmente una compresin hasta el estado inicial segn = constante. En la Figura 2.2se muestran los caminos del proceso cclico y los datos.

2III

0,5 I 3Ce I 1I II I1 I

Modelo Sistema cerrado, procesos cuasiestticos, slo hay trabajo PdV0 040 m,020o . 1 . -OFigura 2.22. Diagrama v delproceso cclico del Ejemplo 2.9. Metodologa Tratar el ciclo como una serie de tres procesos. Evaluar el trabajo den cada proceso.


29/53

1

,

U APLICAcrox DEL TR JO d6 4

roceso 3-1: Puesto que PV = e = VJ = P 3

roceso2-3: Como el volumen es constante, dV = O Por tanto

Wn el.cicJo = W 12 W3 W3J = -20 ,0 O 13,86 kJ = -6 14 kJ

3W21 = - PdV = O2

Comentario El trabajo neto transferido en el ciclo no es cero, aunque los cambiosglobales de presin y volumen en el ciclo sean cero. El trabajo es una funcin de proceso,no una funcin de estado.

Por tanto, el trabajo neto transferido al s is tema es -6 14 kJ o el trabajo neto que sale delsistema durante el proceso cclico en sentido de las agujas del reloj mostrado en la Figura 2.22, es 6,14 kJ.

El valor del trabajo en el camino 1 3 se ha obtenido en el Ejemplo 2.7 y vale -13 86 kl.Cuando se invierte un camino cuasiesttico en ausencia de friccin , la interaccin trabajotiene el mismo valor, pero signo opuesto. As, en el ciclo, el valor de W3 es 13,86 kl .Ahora, para calcular el trabajo neto del ciclo

El valor de este trabajo se ha calculado en el Ejemplo 2.7 y es -20 0 kJ, es decir,Wl2 = -20 0 kJ.

En muchos dispositivos cotidianos como compresores de aire y motores de combustin interna se prbduce la expansin y la compresin de un gas. Un modelorealista para estos dispositivos es el sencillo dispositivo cilindro-mbolo que semuestra en la Figura 2.23a. La cara del mbolo est en contacto con el gas delcilindro. La parte de atrs del mbolo est unida a un vstago y tambin est encontacto con la atmsfera. Adems, hay friccin entre el mbolo que desliza y lasparedes del cilindro. As, como se muestra en la Figura 2.23b, hay tres fuerzasexteriores actuando sobre el mbolo. Una es la fuerza mvil Fyslago que actasobre el vstago, la segunda es la fuerza de friccin F fric entre la pared del cilindroy el mbolo deslizante. Adems, existe una tercera fuerza Fatm que se debe a lapresin ambiente Palm en el exterior del mbolo. Adems, la fuerza Fgas acta enla parte interior del mbolo.

Al ingeniero le interesa determinar cmo estn relacionados el trabajo W ystagotransmitido por el vstago con el trabajo PdV del gas dentro del dispositivo cilin-

,

2W I = PdV P V V1

Anlisis La ecuacin bsica para el t rabajo de expansin o compresin es

1

LA PRIMERA LEY ELA TERMODIN MI

W - PdV

Proceso 1-2: Puesto que la presin es cons tante

1

,I El sistema es el gas dentro del dispositivo cilindro-mbolo.

,:

I

,,I,


30/53

TERMODINMICA,

r r : Embolo dro-mbolo. Tomando como base el balance de fuerzas sobre el mbolo enproceso de compresin

donde se ha supuesto que para el mbolo el producto de la masa por la acelecin es pequeo. A continuacin se multiplica cada trmino de la ecuacin pordesplazamiento diferencial ds correspondiente al proceso de compresin y setegra. Como resultado se obtiene que los trabajos que aparecen al tomar el mblo como sistema son

Atmsfera

Fvstago

f ~ ~ ~ ~ : ~ ~ ~ ~ ~i

~

a

j

1 GasiI

Resolviendo la ecuacin para obtener el trabajo realizado por la fuerza Fvstagotiene

El trabajo comunicado al gas viene dado por PdVgas Habitualmente se supoque la presin ambiente es constante. Por tanto, el trabajo realizado por la presiambiente sobre el mbolo es

ii 1i 1 -- I F A_ :J aun - atm mbolo

r -1 1l i1iFgas = PAmho]o j , jIi

sh

igur 2.23. a Dispositivo cilindrombolo; b fuerzas externas queequilibran la presin del sistemasobre el mbolo.

[2.4donde L1Vatm = L Vgas Adems, hay que tener en cuenta que la fuerza de friccisiempre se opone al movimiento. As, al sustituir el valor de Wfric se toma siempcomo positivo. Al sustituir estos trminos en la ecuacin del trabajo del vstaWvstago se tiene

2 [2.4 PdVgas r : L1Vgas Wtric1

Tngase en cuenta que la presencia de lafriccin siempre disminuye las actuaciones.

En la ecuacin anterior, la variacin de V es negativa durante la compresinposit iva durante la expansin. As, durante un proceso de expansin el primtrmino de la derecha es negativo, mientras que los otros dos trminos son posvos. De forma contraria, durante un proceso de compresin, el primer y el tertrmino son positivos, mientras que segundo trmino es negativo. En gener efecto de la friccin es reducir el trabajo til obtenido en una expansinincrementar el trabajo suministrado al mbolo durante la compresin.Si el dispositivo simple cilindro-mbolo mostrado en la Figura 2.23a realun ciclo, el trabajo neto suministrado por el vstago se obtiene integrandoEcuacin [2.47] en un ciclo. Teniendo en cuenta que el trabajo suministradodesde la atmsfera es cero, el trabajo suministrado por el vstago se calcula mdiante

Wvstaao net ciclo = - PdV Wfr ic ciclo, [2.4,De nuevo, el efecto de la friccin durante un ciclo es reducir el trabajo nobtenido o incrementar el suministrado para los mismos cambios cuasiesttic

del sistema.


31/53

t f 2 NPa l = 0, 10 MPa

a

b

EJEMPLO 2 1

Pgas= 0,50 MPa = 1,000 cmV2 = 400 cm

---- r--- ;, .

},,,, ,- - - - - -


I

- 200 \.000 - 400) Nr cm I m+ x - - -100 cm? 100 cm

= -60 + 30 0 + 12) N m = 25 2 N m

Reordenando

10 6 N I rrrW slgo = (0, 10 - 0,50 ) 40 0 - 1.000 )M Pacm 3 x 2 x 6 3MPa m 10 cm

2W complexp = - PdV = P V 2 - V = - 0,50 MPa x (400 - \. 000) cnr1

L PRIMERA LEY DE L TERMODIN MI

106 N m= 30 0 MP a cm 3 x xI MP a

Anlisis Para ev aluar el trabajo comunicado po r el mbo lo al g as s e e lige el gas co mosistema. La nica forma de trabajo es tra bajo de comp resin-expans in. Suponiendo unproceso de compresin cuasie st tico

Un gas en un dispositivo c ilindro-mbo lo se comprime a una presin constante de 0,50MPa desde 1.000 hasta 40 0 cm . La fuerza de fr iccin en la int e r faz cilindro-mb olo es de200 N la superficie del mbolo es 100 cm? y la presin at mosfr ic a es 0 10 MP a. Determnese el t rabajo comunicado por el mbolo al gas y el trabajo suministra do mediante el,vstago, en new ton -metro.

Metodologa Identificar el sistema y evalu ar el trabajo en el sistema.Modelo Compresin cuasiesttica; fuerza de friccin y pres in atmosfrica constante.Incgnitas y W \gn en N m.

Datos Se co mp rime un ga s en un d isposi ti vo cilindro-mbolo con friccin en la interfaz cilindro-mb olo . En la Figura 2.24a se muestran los sistemas de inters y los dato sconocidos.

Solucin

Pu esto que el va lor es posit ivo, el trabajo se comunica al sistema .Para ev alua r el trabajo asociado con el vstago, e l sistema es e l mbolo mostrado p or l a

lnea de trazos en la se gunda fig u ra . De la mec n ica, la se gund a ley de Newton establec e- -quemdV/dt = I F. Si el trmino de la izquierda , comnme nte llamado fuerza de inerc ia , sesupone desp reciable, entonces. co mo se muest ra en la Figu ra 2.24

Al sustituir los valores se obtiene el trabajo suministrado por el vstago .

Las tres fuerzas de la der ech a son constan te s y e l mbo lo se de spla za un a d is ta ncia s = - F1Amh As multiplican do cada tr mino el balance de fuerzas por la di stan cia \se integrando se obtiene

El trabajo comunicado a l ga s e s 3 00 N . m, el trabajo ext ra do de la at msfera es -60 N .my el trabajo e friccin es 12 N m.

,,i

\

I

r-o

,,l

o,I\iIlI

II\


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TERMDIN MI

Comentarios 1 El mbolo sumi nis tra un trabajo de 252 N .m, que es positivotratarse de un proceso de compresin.2 Sin friccin seran necesarios slo 240 N m de trabajo de mbo lo para commir el gas . Tngase en cue nta cmo ayuda l trabajo de la atmsfe ra a reducir el trabnecesario de la fuente externa.

I 7 TR JO DE UN MUELLE ELSTICOPara cambiar la longitud de un muelle mediante traccin o compresin es necerio ejercer una fuerza F que produzca un desplazamiento x. En la Figura 2.25amuestra un material sometido a traccin que ha experimentado un desplazamieto x = L - Lodebido a una fuerza F. En un material elstico la fuerza est relacnada linealmente con el desplazamiento del material mediante la ley de Hoo

[2.donde k es la constante del muelle Lo es la longitud natural del muelle ydesplazamiento x es la diferencia entre la longitud natural LoYla longitud realEn la Figura 2.25b se muestra la relacin lineal fuerza-desplazamiento para dmuelles, marcados con A y B, que tienen arbitrariamente el mismo valor dePuesto que las pendientes de las dos lneas son diferentes, los dos muelles tiendistintos valores de k. Tngase en cuenta que F tiene un valor negativo cuandolongitud real es menor que la longitud natural. El trabajo del muelle Wmuelle asocdo con la traccin o compresin del muelle es entonces, segn la Ecuacin [2

Wmuelle = - +Fexl ds = F dx =2

1

Integrando

[2.

donde X2 =L2 - LoYX I =L] - Lo En la Figura 2.25b se representa medianterea el trabajo dado por la Ecuacin [2.50]. Para el material A de la figuraproduce un alargamiento de la longitud L I a la longitud L2 El rea rayada bajolnea A es una medida del trabaj o realizado sobre el material por una fueexterna. Anlogamente, el material B se comprime desde su longitud natural

LF F ;.-I / LI /; /- L - ; B A

a b

+

Figura 2.25. a Un muelle bajo tensin estirado de Lo a L; b la relacin fuerz -desplazamiento para dos materiales elsticos.

.


33/53

65

II

L, =0,40 mF, = -1 00 N

F2 500N = 2 m

MPLO 2.11

2 J O, ,Muelle I,, ,

F

Pared


Tngase en cuenta que el signo de Fdepende de si L < Lo o L > o

Lo = 0 45 m

-500 N = k 0,20 m - Lo

o

y

0,40 m - Lo0,20 = - - - -0,20 m - Lo

- 100 N = k0,40 m - Lo)

Modelo. Es vlida la ley de Hooke; las fuerzas son de compresin.

Un muelle elstico se desplaza desde un estado comprim ido en el que F , = -100 N YL = 0,40 m a un es tado fi nal en el que F2= -500 N Y L 2 = 0 20 m. Determnese a lalongitud natural en metros, h la constante del muelle en N/m, y e el trabajo en elproceso, en newton . metro.

LA PRIMERA LEY DE LA TERMODIN MIC

- 1 0 Nk = = 2.000 N/m0 40 - 0,45) m

SolucinDatos. Se conocen las fue rzas y las longitudes iniciales y finales de un muelle elsticocomprimido , como se muest ra en la Figura 2.26.Incgnitas. a Lo en m, h k en N/m, y e n N m.

hasta una longitud final ms pequea L3 El trabajo suministrado al sistema eneste caso se representa mediante el rea rayada sobre la lnea B de la Figura 2.2 b En ambos casos la solucin numr ica de la Ecuacin [2.50] es positiva,ind icando que es necesario suministrar trabajo. Sin embargo, si el material A pasade la longitud L2 a L]o el material B aumenta su longitud de L3 a Lo el sistemarealiza trabajo y la Ecuac in [2.50] indica que el trab

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