Teoria da Produo e do CustoTratamento Algbrico

Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a funo de produoF ( K , L)

descrever a maior produo que pode ser obtida com as combinaes destes insumos Produto Marginal do Capital Produto Marginal do TrabalhoPMg K ( K , L ) ! xF ( K , L ) xK PMg K ( K , L ) " 0xPMg K ( K , L) xK 0

PMg L ( K , L) x ( K , L) xL PMg L ( K , L) " 0xPMg L ( K , L) xL 0

Ou seja, iremos supor que ambos insumos possuem produtos marginais positivos e declinantes

Uma empresa competitiva aceita os preos estipulados para o trabalho, w, e o capital, r Problema da minimizao do custoMinimizar C ! wL rK

(1)

sujeito restrio de que um nvel de produo Q0 deve ser atingido( K , L) ! Q0

(2)

Para maximizar uma funo sujeita a uma restrio utilizamos o mtodo dos multiplicadores de Lagrange O lagrangiano do problema J ! wL rW P ? ( K , L) Q0 A

(3)

Efetuando os diferenciais em relao a K, L e P e igualando as derivadas a zero, encontramosxJ xK ! r PPMg K ( K , L ) ! 0 xJ xL ! w PPMg L ( K , L) ! 0 xJ xP ! F ( K , L) Q0 ! 0

(4)

Combinando as duas primeiras equaes acima, obtemos (5) PMg K ( K , L) r ! PMg L ( K , L) w Combinando estas mesmas equaes de outra forma, obtemos o multiplicador de Lagrange (6) P ! r PMg K ( K , L) ! w PMg L ( K , L )

r PMg K ( K , L) w PMg L ( K , L)

Medem o custo do insumo adicional para a produo de uma unidade adicional de produto

Taxa Marginal de Substituio Tcnica

F ( K , L) ! Q* representa uma isoquanta de produo Q* medida que as combinaes de insumos variam ao longo da isoquanta, a variao de produo iguala-se a zero ( dQ ! 0 )PMg K ( K , L)dK PMg L ( K , L)dL ! dQ ! 0

(7)

Reordenando a equao 7, definimos a TMST dK dL ! TMSTLK ! PMg K ( K , L) PMg L ( K , L)

(8)

Reescrevendo a equao 5 comoPMg L ( K , L ) PMg K ( K , L) ! w r

(9)

observamos que a TMST igual a razo entre os preos dos insumos

Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equao 5 (5) PMg K ( K , L) r ! PMg L ( K , L) w que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo unitrio de cada insumo Dualidade na Teoria da Produo e do Custo A deciso da empresa em relao a insumos de natureza dual Escolha da mais baixa linha de isocusto tangente isoquanta de produo Escolha da mais alta isoquanta de produo tangente a uma determinada linha de isocusto

Combinao tima de K e L

J fizemos a minimizao do custo. Agora vamos maximizao da produoMaxi izar ! F(K,L)

sujeito restriowL rK ! C0

(10)

O lagrangiano J ! ( K , L ) Q ( wL rK C0 )

(11)

Efetuando os diferenciais em relao a K, L e Q e igualando as derivadas a zero, encontramosPMg K ( K , L) Qr ! 0 PMg L ( K , L ) Qw ! 0 wL rK C0 ! 0

(12)

Resolvendo as duas primeiras equaes do sistema, obtemos PMg K ( K , L) r ! PMg L ( K , L) w (5) que exatamente a condio de minimizao de custo Funo Cobb-Douglas de Custo e ProduoF ( K , L ) ! AK E LF

ou, em logaritmos,log F ( K , L) ! log A E log K F log L

Supomos que E 1 e F 1 de forma que a empresa tenha produtos marginais decrescentes para trabalho e capital Por exemplo, se o produto marginal do trabalho expresso porPMg L ! x?F ( K , L )A xL ! BAK E LF 1

a PMg L apresenta diminuio medida que L aumenta

Supondo que a funo de produo de uma empresa F ( K , L) ! 10 K 0,6 L0, 4

a produtividade marginal do trabalho serPMg L ! 0,4 10 K 0,6 L0,6

Mantendo o capital fixo em 9 unidadesL 0 1 2 3 4 PMgL 14, 49 9, 25 7,7327 6,5068

podemos verificar que a produtividade marginal do trabalho decrescente

Se E F ! 1 E F "1 E F 1

rendimentos constantes de escala rendimentos crescentes de escala rendimentos decrescentes de escala

Exemplos Empresa Pequena: E ! 0,77 e F ! 0,23 Como E F ! 1 a empresa possui rendimentos constantes de escala Empresa Grande: E ! 0,83 e F ! 0,22 Como E F " 1 a empresa possui rendimentos crescentes de escala

Para minimizar o custo de produo de uma funo CobbDouglas, sujeita a uma restrio, utilizamos o mtodo dos multiplicadores de Lagrange O lagrangiano J ! wL rW P ( AK E LF Q0 )

(13)

Diferenciando em relao a K, L e P e igualando as derivadas a zero, encontramosxJ xL ! w P ( FAK E LF 1 ) ! 0 xJ xK ! r P (EAK E 1LF ) ! 0 xJ xP ! AK E LF Q0 ! 0

(14) (15) (16)

A partir da equao 14, temosP ! w FAK E LF 1

(17)

Substituindo a equao 17 na equao 15, obtemosP ! w FAK E LF 1

(18) (19) (20) (21)A)1 (E F )

ou entoL ! FrK Ew

Utilizando a equao 19 para eliminar L da equao 16AK E F F r F K F E F w F ! Q0

Reescrevendo esta equao, temosK E F ! (Ew Fr ) F Q0 A

Assim, encontramos a quantidade tima de capitalK ! (Ew Fr ) F

?

(E F )

AQ (0

0

(22)

e a quantidade tima de trabalhoL ! ( Fr Ew)E

?

(E F )

AQ (

A)1 (E F )

(23)

Agora vamos determinar a funo de custo da empresa Substituindo as equaes 22 e 23 em C ! wL rKC!wF E F E F 1 E F E E F Q E F E F A F

r

E E F

(24)

Esta funo de custo informa como o custo total da produo aumenta medida que o nvel de produo Q aumenta como o custo varia quando variam os preos dos insumos Quando E F for igual a 1, a equao 24 pode ser simplificada para E F E E 1 C ! w F r E Q F F A

(25)

Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edio