Capitulo 1 circuitos magneticos y materiales magneticos

____________ c A PiIllL olL---_l

Circuitos magnéticosy materiales m.agnéticos

El objetivo de este libro es estudiar los dispositivos empleados en la conversión que hayentre la energía eléctrica y la mecánica. Se ha puesto énfasis en la maquinaria de ro-tación electromagnética, por medio de la cual se lleva a cabo la mayoría de esta con-

versión de energía. Sin embargo, las técnicas desarrolladas son generalmente útiles en unaamplia variedad de dispositivos adicionales, que incluyen máquinas lineales, actuadores ysensores.

No obstante que el transformador no es un dispositivo de conversión de energía electro-mecánica, es un componente importante de los procesos generales de conversión de energíaque se estudian en el capítulo 2. Las técnicas desarrolladas para el análisis de los transforma-dores constituyen el fundamento de la discusión relacionada con la maquinaria eléctrica.

La mayoría de los transformadores y maquinaria eléctrica utilizan material ferro-magnéti-co para formar y dirigir campos magnéticos que actúan como medio de tran ferencia y conver-sión de energía. Los materiales de imán permanente también son muy utilizados. Sin estosmateriales la implementación práctica de la mayoría de dispositivos más comunes de conver-sión de energía electromecánica no sería posible. La habilidad para analizar y describir lossistemas de este tipo de materiales es esencial para diseñar y entender los dispositivos deconversión.

En este capítulo se proponen algunas herramientas básicas para el análisis de sistemas decampo magnético y se incluye una breve introducción a las propiedades de los materialesmagnéticos prácticos. En el capítulo 2, estos resultados se aplicarán al análisis de transforma-dores. En capítulos posteriores estos resultados también se emplearán en el análisis de máqui-nas rotativas.

En este libro se supone que el lector posee conocimientos básicos sobre la teoría del cam-po eléctrico y magnético, tales como las nociones de física que se imparten a los estudiantes deingeniería. Algunos lectores quizás hayan tomado cursos sobre la teoría del campo electro-magnético con base en las ecuaciones de Maxwell; no obstante, un entendimiento profundo delas ecuaciones de Maxwell no constituye un requisito previo para el estudio de la obra. Asimis-mo, las técnicas de análisis de circuitos magnéticos que representan aproximaciones algebraicasa las soluciones exactas en la teoría de campos, son de gran utilidad en el estudio de los dispo-sitivos de conversión de energía electromecánica y conforman los fundamentos de la mayorparte de los análisis presentados en esta publicación.

1

2 CAPíTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

1.1 INTRODUCCiÓN A LOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS

) La solución completa y detallada de los problemas de los campos magnéticos en la mayoría delas situaciones que se' presentan en la práctica de la ingeniería, implica la solución de lasecuaciones de Maxwell, además de numerosas relaciones constitutivas que describen las pro-piedades del material. Aunque en la práctica las soluciones exactas con frecuencia soninalcanzables, existen numerosas suposiciones simplificadoras que permiten la obtención desoluciones útiles en ingeniería. 1

Comenzaremos con la suposición de que las frecuencias y magnitudes de los sistemasplanteados en este libro se presentan de tal forma que permiten ignorar el término corriente dedesplazamiento en las ecuaciones de Maxwell. Este término es de gran importancia para loscampos magnéticos que se generan en el espacio mediante campos eléctricos variantes en eltiempo que están asociados con la radiación electromagnética. Ignorar este término da comoresultado un imán cuasiestático que aparece en las principales ecuaciones de Maxwell, lascuales relacionan a los campos magnéticos con las corrientes que los producen.

i Hdl= 1J-da

iB.da=ü

(1.1)

(1.2)

La ecuación 1.1 establece que la integral lineal de la componente tangencial de la intensi-dad deL campo magnético H alrededor de un contorno cerrado e, es igual al total de corrienteque pasa a través de cualquier superficie S y que une dicho contorno. A partir de la ecuación 1.1se puede notar que la fuente de H es la densidad de corriente J. La ecuación 1.2 establece quese conserva la densidad deljlujo magnético B, esto es, que ningún flujo neto entra o sale de unasuperficie cerrada (esto es igual a decir que no existenluentes de carga monopolo de camposmagnéticos). De esta ecuación se advierte que las cantidades de campo magnético se puedendeterminar sólo a partir de los valores instantáneos de las fuentes de corriente, y esas variacio-nes temporales de los campos magnéticos seguidos directamente de las variaciones temporalesde las fuentes.

Una segunda suposición simplificadora involucra el concepto de circuito magnético. Lasolución general para la intensidad del campo magnético H y la densidad del flujo magnéticoB en una estructura de geometría compleja es extremadamente difícil. Sin embargo, un proble-ma de campo tridimensional puede reducirse a un equivalente de circuito unidimensional,proporcionando soluciones de aceptable precisión en ingeniería.

Un circuito magnético es una estructura compuesta en su mayoría de materiales magnéti-cos de alta permeabilidad. El material de alta permeabilidad produce flujo magnético que se

J A pesar de que las soluciones analíticas precisas son inaIcanzables, las soluciones numéricas basadas por compu-tadora (el método del elemento finito y del elemento de frontera conforman los fundamentos de algunos programascomerciales) son bastante comunes y han llegado a convertirse en herramientas indispensables para el análisis y eldiseño. Sin embargo, dichas técnicas se utilizan de manera óptima para refinar los análisis basados en técnicas analí-ticas como las que se presentan en este libro. Su utilización contribuye poco a un entendimiento fundamental de losprincipios y funcionamiento básico de la maquinaria eléctrica, por consiguiente, no se discutirán en este libro.

/

Figura 1.1Circuito magnéticosimple.

1.1 Introducción a los circuitos magnéticos 3

i+ -

Permeabilidadmagnética delnúcleo,u

Longitud mediadel núcleo le

Área de la seccióntransversal Ae

Devanado, conN vueltas

limita a los patrones definidos por la estructura del núcleo, de la misma forma que las corrien-tes se limitan a la estructura de un circuito eléctrico. El uso del concepto circuito magnético seilustra en esta sección y se aplica a numerosas situaciones en este libro.' C

---.~ En la figura 1.1 se muestra un ejemplo simple de circuito magnético; se asume que elnúcleo está compuesto de material magnético cuya permeabilidad es mucho mayor que la delaire circundante (11- » ).El núcleo está formado por una sección transversal uniforme y seexcita por medio de un devanado de N vueltas que posee una corriente de i amperes. Estedevanado produce un campo magnético en el núcleo, lo cual se observa en la figura.

Debido a la alta permeabilidad del núcleo magnético, una solución precisa mostraría queel flujo magnético se concentra casi por completo en el núcleo; así, las líneas de campo siguenla trayectoria definida por el núcleo, y la densidad de flujo es esencialmente uniforme sobre lasección transversal debido a que esta área es también uniforme. El campo magnético puede servisualizado como líneas de flujo que forman lazos cerrados entrelazados con el devanado.

De la forma en que se empleó el circuito magnético de la figura 1.1, la fuente del campomagnético en el núcleo es el producto am ere-vuelta N i. En la terminología de circuitos mag-néticos,_N ies lafuerza magnetomotri: (fmm) Eque actúa sobre el circuito magnético. Aunquela figura 1.1 muestra sólo una bobina, los transformadores y la mayoría de las máquinas rota-tivas poseen al menos dos devanados, y N i deberá reemplazarse por la suma algebraica delnúmero de' arnperes-vueltas de todos los devanados.

El flujo magnético que atraviesa una superficie S, es la integral de la superficie delcomponente normat de B; de esta forma,

(1.3)

En unidades SI, la unidad de </> es el eber (Wb).La ecuación 1.2 establece que el flujo magnético neto que entra o sale de una superficie

cerrada (igual a la integral de superficie B sobre dicha superficie cerrada) es cero. Esto esequivalente a señalar que todo el flujo entrante a una superficie que abarque un volumen,abandonará dicho volumen sobre alguna otra porción de la superficie debido a que las líneasdel flujo magnético forman lazos cerrados.

2 Para una explicación más amplia de los circuitos magnéticos, véase A.E. Fitzgerald, D.E. Higgenbotham y

A. Grabel, Basic Electrical Engineering, 5a. ed., McGraw-Hill, 1981, capítulo 13; también véase E.E. Staff, M.I.T.,Magnetic Circuits and Transformers, M.I.T. Press, 1965, capítulos 1 al 3.


Estos hechos pueden emplearse para justificar la suposición de que la densidad del flujomagnético en la figura 1.1 es uniforme tanto en la sección transversal del circuito magnéticocomo en el núcleo. En este caso la ecuación 1.3 se reduce a una ecuación escalar simple,

qJe= B,Ae / (1.4)

donde qJe = flujo en el núcleoBe = densidad de flujo en el núcleoAe = área de la sección transversal del núcleo

De la ecuación 1.1, la relación entre la frnrn que actúa sobre un circuito magnético y laintensidad del campo magnético en ese circuito es:3

F ::: Ni = f Hdl (1.5)

Las dimensiones del núcleo se encuentran estructuradas de tal forma que la longitud de latrayectoria magnética de cualquier línea de flujo es aproximada a la longitud principal delnúcleo LC' Como consecuencia, la integral lineal de la ecuación 1.5 se convierte en el productoescalar HeLe de la magnitud de H, y la longitud de la trayectoria del flujo Le' De esta manera, larelación entre la frnrn y la intensidad del campo magnético puede representarse en la termino-logía de circuitos magnéticos de la siguiente forma:

~/ (1.6)

donde He es el valor romedio de H ~ el núcleo.La dirección de He en el núcleo puede hallarse por medio de la regLa de Lamano derecha,

la cual se establece de dos maneras equivalentes. 1) Imagine un conductor de corriente soste-nido en la mano derecha con el pulgar indicando la dirección del flujo de corriente; los demásdedos, por lo tanto, señalan la dirección del campo magnético creado por la corriente. 2) Deigual manera, si la bobina que aparece en la figura 1.1 se encuentra sujeta a la mano derecha(hablando en sentido figurado) con los dedos señalando en dirección de la corriente, el pulgarapuntará hacia los campos magnéticos.

La relación entre la intensidad del campo magnético H y la densidad del flujo magnéticoB es una propiedad del material en donde se crea el campo. Es común suponer una relaciónlineal; de esta forma:

B = JLH J (1.7)~

donde JL se conoce como la permeabilidad magnética. En unidades SI, H se mide en unidades_de am eres or metro, B se encuentra bers or m cua - también conocid;;,Eomo tesLas lT) y JL en webers por ampere-vueLta-metro, ~e.,quivalente en henrySJ!.Q.l-.!YI..f1ro. En unidades SI, la permeabilidad del espacio libre es = 4n x 10-7 he or metro.La permeabilidad de los materiales magnéticos lineales puede expresarse en términos de JL"con valor relativo a la permeabilidad del espacio libre, o = JLrlLo. Los valores comunes dese encuentran entre 2 000 Y80 000 para los materiales utilizados en transformadores y máqui-- ---

3 En términos generales, el descenso de la frnm a través de cualquier segmento de un circuito magnético se calculacomo !Hdl sobre dicha porción del circuito magnético.


i+ -

Longitud mediadel núcleo le

-4-- Entrehierro,permeabilidad 110'áreaAg

Figura 1.2 Devanado.Circuito magnético con con N vueltasentrehierro. '-- ...Y

Permeabilidad delnúcleo magnético 11.área A,

nas rotativas. Las características de los materiales ferromagnéticos se describen en la sección1.3 y 1.4. Por ahora se asume que J,Lr es una constante conocida, aunque en realidad es variablede acuerdo con la densidad del flujo magnético.

\Los ,transformadores S! dev ennúcleos c~doslal como se muestra en la figura 1.1.Sin embargo, s dis ositivos de conversión de ener í que incorporan un elemento en movi-miento deben poseer entrehierros en sus circuitos magnéticos. En la figura 1.2 se muestra uncircuito magnético con entrehierro. Cuando la longitud del ~ntrehierro 8.es mucho menor quelas dimensiones de las caras adyacentes del núcleo, el flujo magnético tP seguirá la trayectoriadefinida por el núcleo y el entrehierro, por lo tanto, es posible utilizar las técnicas de análisispara circuitos magnéticos. Si la longitud del entrehierro llega a ser excesivamente grande, elflujo se dispersará en los costados del entrehierro y las técnicas de análisis de circuitos magné-ticos ya no serán estrictamente aplicables.

De esta manera, si la longitud del entrehierro g es suficientemente pequeña, la configura-ción de la figura 1.2 puede analizarse como un circuito magnético con dos componentes enserie: u núcleo magnético de permeabilida lb sección transversal de área Ae, longitud medialeYun entrehierro de permeabilidad }Lo, sección transversal de áreaAg, y longitud g, Es posibleasumir que en el núcleo la densidad de flujo es uniforme, por lo tanto,

(1.8)

y en el entrehierro,

(1.9)

donde tP = flujo en el circuito magnético.L'iaplicación de la ecuación 1.5 para este circuito magnético establece:

(1.10)

Yal utilizar la relación lineal en que B-H aparece en la ecuación 1.7 resulta lo siguiente:

Be s,F= -le + -g

J,L J,Lo (1.11 )

6 CAPiTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

En este caso, la relación F = N i es la frnrn aplicada al circuito magnético. En la ecuación1.10 se observa que se requiere de una parte de la frnrn, F¿ = Hclc para producir un campomagnético en el núcleo, mientras que el resto de la ecuación, Fg = Hgg produce un campomagnético en el entrehierro.

)En la práctica, los materiales magnéticos (como se planteó en las secciones 1.3 y 1.4), B¿y H¿ no se relacionan simplemente por medio de una constante de permeabilidad conocida J-L,de la manera que se describió en la ecuación 1.7. De hecho, con frecuencia B¿ no es lineal, perosí una función polivalente de Hc. Así, aunque la ecuación 1.10 aún es válida, no guía directa-mente a una expresión simple que relacione la fmm y las densidades de flujo, como lo que seplantea en la ecuación 1.11. En su lugar, las especificaciones de relación no lineal Bi-H¿ debe-rán usarse, ya sea de forma gráfica o analítica. Sin embargo, en numerosos casos, el conceptode constante de permeabilidad del material proporciona resultados con una precisión técnica 'aceptable, por ello, este concepto se utiliza con regularidad.~

A partir de las ecuaciones 1.8 y 1.9, es posible reescribir la ecuación 1.11 en lo que serefiere al termino del flui o total ¡P de la siguiente forma:

(1.12)

Los términos que multiplican al flujo en esta ecuación se conocen como reluctancia R~del núcleo y del entrehierro, respectivamente, -

..(1.13)

gRg=--

J-LoAg (1.14)

por lo tanto,

(1.15)

Por último, la ecuación 1.15 puede invertirse para calcular el flujo,

(1.16)

o

(1.17)

En general, para cualquier circuito magnético con reluctancia total Rtot, el flujo se calcula de lasiguiente manera:

F4>=-Rtot

(1.18)

Figura 1.3Comparación entre uncircuito magnético yuno eléctrico.a) Circuito eléctrico.b) Circuito magnético.


+V

El término que multiplica a la frnm se conoce como la ermanencia P es lo inverso de lareluctancia; por ejemplo, la permanencia total de un circuito magnético es:

1Ptot= 'f")

''-tot(1.19)

Observe que las ecuaciones 1.15 y 1.16 son análogas a la relación que hay entre la corrien-te y el voltaje de un circuito eléctaco. Esta analogía se ilustra en la figura 1.3. El inciso a) de lafigura 1.3 presenta un circuito eléctrico donde un voltaje V maneja una corriente 1 a través delas resistencias R¡ y R2• El inciso b) de la misma figura muestra una representación esquemáti-ca y equivalente del circuito magnético que aparece en la figura 1.2. En este caso se observaque la frnm:F (análoga al voltaje dentro del circuito eléctrico) maneja un flujo ti> (análogo a lacorriente del circuito eléctrico) a través de la combinación de la reluctancia del núcleo Re Y delentrehierro Rg. Esta comparación en la solución de circuitos eléctricos y magnéticos se realizacon frecuencia para encontrar soluciones simples para los flujos en circuitos magnéticos decomplejidad considerable.

La fracción de frnm que se requiere para manejar el flujo a través de cada porción delcircuito magnético, comúnmente denominada caída de fmm a través de dicha porción del cir-cuito magnético, varía en proporción a su reluctancia (análogo directamente a la caída devoltaje a través de un elemento resistivo de un circuito eléctrico). De la ecuación 1.13 se hacenotar que la alta permeabilidad de material puede resultar en una baja reluctancia del ~, lacual es posib!Y'reducir más que la reluctancia del entrehierro; por ejemplo, para (J,iAe /le) »(JLoAg /8), Re« RlPpor lo tanto . En este caso se puede ignorar la reluctancia delñUcÍeo y el flujo y por lo tanto Bpuede ser calculada de la ecuación 1.16 en términos de :Fy delas propiedades particulares del entrehierro: ~

/' :F:F JLoAg . /LoAg4J~ - = =N¡--u; g g'/ (1.20)

Como se analizará en la sección 1.3, los materiales magnéticos prácticos poseen permeabilidadesque no son constantes, sino que varían de acuerdo con el nivel de flujo. A partir de las ecuaciones

8

Figura 1.4Campos marginales deentrehierro.

CAPíTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

Líneas de flujo

Camposmarginales

1-+-1-+---+- Entrehierrolli~r++-t++++++H

1.13 a 1.16 se observa que mientras la permeabilidad permanezca suficientemente alta, suvariación no afectará de manera significativa el desempeño del circuito magnético.

En sistemas reales, las líneas del campo magnético bordean externamente al entrehierro,tal como se ilustra en la figura 1.4. En caso de que el efecto marginal no sea excesivo, elconcepto de circuito magnético seguirá siendo aplicable. El efecto de dichos campos margina-les es el incremento del área efectiva de la sección transversal Ag del entrehierro. Por lo tanto,se han elaborado numerosos métodos empíricos que toman en consideración este efecto. Enlos campos marginales que se encuentran en entrehierros pequeños se pueden hacer correccio-nes agregando un espacio intermedio en cada una de las dos dimensiones que forman el área dela sección transversal. En este libro no se toma en cuenta el efecto de los campos marginales.Por lo tanto, sí se ignora el concepto Ag = Ac.

En términos generales, los circuitos magnéticos están compuestos de múltiples elementosubicados en serie y paralelo. Para completar la analogía entre los circuitos magnéticos y loscircuitos eléctricos, es posible generalizar la ecuación 1.5 de la siguiente manera:

(1.21 )

donde F es la frnm (ámpere-vueltas totales) que actúa para producir el flujo a través del lazocerrado del circuito magnético:

(1.22)

y Fk = Hklk es la caída de fmm a través del elemento k-ésimo del lazo. Es posible establecer unacomparación directa con la ley de voltaje de Kirchoff para circuitos eléctricos que consiste enfuentes de voltaje y resistencias:

(1.23)

donde Ves la fuente de voltaje que maneja a la corriente alrededor del lazo y Rkik es la caída devoltaje a través del elemento k-ésimo resistivo de ese lazo.


De manera similar, la analogía con la ley de corriente de Kirchoff es la siguiente:

(1.24)n

la cual establece que la suma de las corrientes en un nodo en un circuito eléctrico equivale acero y es:

(1.25)n

esta ecuación expresa que la suma del flujo en un nodo de un circuito magnético es cero.Hasta ahora se han descrito los principios básicos para la reducción del problema del

campo de imán cuasi estático con geometría simple en un modelo de circuito magnético. Elobjetivo de esta sección es introducir algunos de los conceptos y la terminología que usan losingenieros al resolver problemas de diseño práctico. Es importante destacar que este tipo derazonamiento depende tanto del juicio como de la intuición del ingeniero. Por ejemplo, se haasumido que la permeabilidad de las partes de hierro del circuito magnético es una cantidadconstante conocida, aunque esto no es una verdad en general (véase la sección 1.3), y que elcampo magnético se encuentra confinado únicamente al núcleo y sus entrehierros. Aun cuandoestos conceptos constituyen una suposición aceptable en numerosas circunstancias, también escierto que las corrientes en los devanados producen campos magnéticos fuera del núcleo. Másadelante se planteará que cuando dos o más devanados se colocan en un circuito magnético,como ocurre en el caso de transformadores t máquinas rotativas, a dichos campos fuera delnúcleo se les denomina campos de dispersión, los cuales no deben ignorarse ya que afectan demanera importante el desempeño del dispositivo.

~~----------------~--------El circuito magnético que aparece en la figura 1.2 posee las siguientes dimensiones: Ae = Ag = 9 crrr',g = 0.050 cm, le = 30 cm y N = 500 vueltas. Suponga que el valor !-Lr= 70 000 para el material del núcleo.a) Calcule las reluctancias Re YRg. Para la condición de que el circuito magnético se encuentre operandocon B{ = 1.0 T, encuentre: b) el flujo I/J y e) la corriente i.

• Solución

a) Las reluctancias pueden calcularse por medio de las ecuaciones 1.13 y 1.14:

Re = _I_e _ = 0.3 = 3.79 X 103

!-Lr!-LoAe 70000 (4Jl' X 10-7)(9 X 10-4)

g 5 X 10-4 A . vueltasR = -- = . = 4.42 X 105

g !-LoAg (4Jl' X 10-7)(9 X 10-4) Wb

A· vueltasWb

b) A partir de la ecuación 1.4,

4> == BeAe = 1.0(9 X 10-4) = 9 X 10-4 Wb

e) A partir de las ecuaciones 1.6 y 1.15,

i = !... = 4> (Re + Rg) = 9 x 10-4(4.46 X 105) = 0.80 A

N N 500

10 CAPfTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

~~----~--------------------------Calcule el flujo q>y la corriente del ejemplo 1.1 si a) el número de vueltas se duplica a N = 1 000 vueltasmientras que las dimensiones del circuito permanecen iguales y b) si el número de vueltas es igual a N =500 Y el entrehierro se reduce a 0.040 cm.

Solución

a) q>= 9 x IO-4Wb e i= 0.40 Ab) q> = 9 X 10-4 Wb e i = 0.64 A

~~--------------------------------------La estructura magnética de una máquina sincrónica se muestra esquemáticamente en la figura 1.5. Su-ponga que el hierro del rotor y del estator presentan permeabilidad infinita (¡..t -+ 00), encuentre el flujodel entrehierro q>y la densidad de flujo Bg. Para este ejemplo considere 1 = 10 A, N = 1 000 vueltas, g = 1cm y Ag = 2 000 crrr' .

• Solución

Note que existen dos entrehierros en serie con longitud total de 2g, y que por simetría, la densidad deflujo en cada uno es igual. Dado que en esta ocasión la permeabilidad del hierro se considera infinita, esposible ignorar su reluctancia y utilizar la ecuación 1.20 (con g reemplazada por la longitud total delentrehierro 2g) para calcular el flujo

cjJ= NIJLoAg = looo(1O)(4Jr x 1O-7)(0.2)=0.13Wb<:!!:S 0.02

Figura 1.5Máquina sincrónicasimple.

Líneas de flujomagnético

1.2 Dispersión de flujo, inductancia y energía 11

y

I/J 0.13Bg = - = - = 0.65 T

Ag 0.2

~----------------------------------Para la estructura magnética de la figura 1.5 con las dimensiones citadas en el ejemplo 1.2, se observa quela densidad de flujo en el entrehierro es de Bg = 0.9 T. Determine el flujo del entrehierro I/J y, para labobina de N = 500 vueltas, calcule la corriente requerida para producir este nivel de flujo de entrehierro.

Solución

4J= 0.18 Wb e i = 28.6 A.

1.2 DISPERSiÓN DE FLUJO, INDUCTANCIA y ENERGíADe acuerdo con la ley de Faraday, cuando un campo magnético presenta variación con eltiempo, se produce un campo eléctrico en el espacio.

1E.ds=-~ r B.dale dL. dt I,a ecuación 1.26 establece que la integral lineal de la ~ad del campo eléctrico E alrede-

dor de un contorno cerrado e es igual a la razón temporal del cambio de la dispersión de flujomagnético (por ejemplo, el que pasa a través) de dicho contorno. En estructuras magnéticascon devanados que poseen alta conductividad eléctrica, como el que se muestra en la figura1.2, puede demostrarse que el campo E en el alambre es extremadamente imperceptible, por lotanto, puede igríorarse; como consecuencia, la sección izquierda de la ecuación 1.26 se reduceadquiriendo el signo negativo del voltaje inducido e4 en las terminales del devanado. De mane-ra adicional, el flujo en la secciÓn derecha de la ecuación 1.26 es dominado por el flujo delnúcleo 1/>. Ya que el devanado (y por consecuencia el contorno C) acopla el flujo del núcleo Nveces, la ecuación 1.26 se reduce a la siguiente expresión:

(1.26)

dtp dAe=N- =-

dt dt

donde t.. es la dispersión de flujo del devanado y se define de la siguiente manera:

A = Ne¡; (1.28)

la dispersión de flujo se mide en webers (o el equivalente en webers-vueltas). El símbolo cp seutiliza para indicar el valor instantáneo del flujo variante en el tiempo.

En términos generales, la dispersión de flujo de la bobina es igual a la integral de la super-ficie del componente normal de la densidad de flujo magnético comprendido en cualquiersuperficie que abarque dicha bobina. Note que la dirección del voltaje inducido e se define

(1.27)

4 El término fuerza electromotri: (fem) con frecuencia se utiliza en lugar de voltaje inducido para representar elcomponente del voltaje que se debe a un acoplo inducido variante en el tiempo.


mediante la ecuación 1.26, por lo tanto, si las terminales de devanado sufrieran un corto circui-to, una corriente pasaría' en dirección opuesta al cambio de la dispersión de flujo.

Para un circuito magnético compuesto por material magnético con una permeabilidadmagnética constante o que contenga un entrehierro dominante, la relación entre I/J e iserá linealy podremos definir la inductancia L como:

AL=~

1(1.29)

Sustituyendo las ecuaciones 1.5, 1.18 Y 1.28 en la ecuación 1.29, tenemos la siguiente expre-sión:

(1.30)

En esta expresión se observa que la inductancia del devanado en un circuito magnético esproporcional al cuadrado de las vueltas e inversamente proporcional a la reluctancia del circui-to magnético que se asocia con el devanado.

Por ejemplo, de la ecuación 1.20, si se asume que la reluctancia del núcleo se puedeignorar en comparación con el entrehierro, la inductancia del devanado que se muestra en lafigura l.2 es igual a:

N2L = -,----7"(g / f.LoAg) (1.31)

La inductancia se mide en henrys (H) o vueltas-weber por ampere. La ecuación 1.31muestra la forma dimensional para expresiones relacionadas con la inductancia; así, lainductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas, a la permeabilidad magnéticay al área de la sección transversal, y es inversamente proporcional a la longitud de dicha área.Es importante hacer notar que, en sentido estricto, el concepto de inductancia requiere unarelación lineal entre el flujo y la frnm. De esta manera, no es posible aplicarlo rigurosamenteen circunstancias donde las características no lineales de los materiales magnéticos dominen elfuncionamiento del sistema magnético, como se observó en las secciones 1.3 y lA. Sin embar-go, en diversas situaciones de interés práctico, el entrehierro domina a la reluctancia del siste-ma (que es, por supuesto, lineal) y los efectos no lineales del material magnético pueden notomarse en consideración. En otros casos pudiera ser aceptable suponer un valor promedio dela permeabilidad magnética para el material del núcleo y deducir un promedio de inductanciacorrespondiente que puede emplearse para realizar cálculos con una precisión técnica razona-ble. El ejemplo 1.3 ilustra la situación que se planteó en el primer caso y el ejemplo lA mues-tra los casos donde es posible suponer· un promedio de la permeabilidad magnética y de lainductancia.

~~--------------------------~----------El circuito magnético de la figura 1.6 consiste en un devanado con N número de vueltas sobre el núcleomagnético de permeabilidad infinita con dos entrehierros paralelos con longitudes gl y g2 Ycon áreas AlYA2, respectivamente.

Determine a) la inductancia del devanado y b) la densidad de flujo BI en el entrehierro 1 cuando eldevanado lleva una corriente i. Ignore los efectos marginales en el entrehierro.

Figura 1.6a) Circuitomagnético yb) circuitoequivalentepara el ejemplo 1.3.


i-+0--+--1...+

Ni

N númerode vueltas

a) b)

• Solución

a) El circuito equivalente que se ilustra en la figura 1.6b muestra que la reluctancia total es igual a lacombinación paralela de ambas reluctancias del entrehierro. Por lo tanto,

donde

A partir de la ecuación 1.29,

b) Del circuito equivalente, se puede observar que:

Ni /-LoA INi</11 =- =---

RI gl

y de esta forma

1mmID _En el ejemplo 1.1, se asume que la permeabilidad relativa perteneciente al material del núcleo del circuitomagnético que se presenta en la figura 1.2 será de u;= 70 000 con una densidad de flujo de 1.0 T.

a) Para este valor de lAr' calcule la inductancia del devanado.b) En un dispositivo práctico el núcleo se construye normalmente de acero eléctrico tal como M-5, el

cual se discute en la sección 1.3. Este material es altamente no lineal, y presenta una permeabilidad


relativa (definida para fines de este ejemplo como la razón B/H) que varía desde un valor aproxima-do de J.Lr = 72 300, a una densidad de flujo de B = 1.0 T hasta un valor de J.Lr = 2 900 con unadensidad de flujo incrementada a 1.8 T. (i) Calcule la inductancia asumiendo que la permeabilidadrelativa del núcleo de acero es 72 300 igual a 2 900. (ii) Calcule la inductancia asumiendo que lapermeabilidad relativa es 2 900 .

• Solución

a) De las ecuaciones 1.13 y 1.14 Y con base en las dimensiones presentadas en el ejemplo 1.1,

le 0.3 3 A· vueltasRe = -- = = 3.67 X 10

JLrJLoAe 72 300 (41r X 10-7)(9 X 10-4) Wb

mientras que Rg permanece sin cambios a partir del valor calculado en el ejemplo 1.1 de la siguienteforma: Rg = 4.42 X 105 ampere vueltaJWb.

Por lo tanto, la reluctancia total del núcleo y el entrehierro es

5 A· vueltasRtot = Re + Rg = 4.46 X 10 Wb

y como consecuencia de la ecuación 1.30:

N2 5002

L = - = = 0.561 HR,,,, 4.46 X lOS ~

3 Oll(1Tb) A partir de JLr = 2900, la reluctancia del núcleo con valor de 3.79 X 103 vueltas A1Wb se incrementa

hasta alcanzar un valor de

R _ le _ 0.3 _ 4 A . vueltase---- -9.l5xlOJLrJLoAe 2900 (41r X 10-7)(9 X 10-4) Wb

y como resultado, la reluctancia total con valor de 4.46 x lOS A-vueltas/Wb incrementa su valorhasta 5.34 x 105 vueltas A/Wh. Por lo tanto, en la ecuación 1.30 la inductancia disminuye desde0.561 H hasta

N2 5002

L = - = =0468HR,ot 5.34 X 105 .

Este ejemplo ilustra el efecto de linealización debido a un entrehierro dominante en un circuitomagnético. A pesar de una reducción en la permeabilidad del hierro con un factor aproximado de 72 300/2900 = 25, la inductancia disminuye sólo un factor de 0.468/0.561 = 0.83 ya que la reluctancia delentrehierro es significativamente mayor que la existente en el núcleo. En diversas circunstancias es co-mún considerar a la inductancia como una constante con un valor limitado, un valor constante de lapermeabilidad del núcleo (o en muchos casos se asume simplemente que J.Lr ~ (0). Los análisis realiza-dos bajo esta suposición para el inductor, con frecuencia conducirán a resultados de aceptable precisióntécnica y evitarán la enorme complicación asociada con la construcción de modelos no lineales del mate-rial del núcleo.

------------------Repita los cálculos realizados para encontrar el valor de la inductancia del ejemplo 1.4 para una per-meabilidad relativa J.Lr = 30 000.


Solución

L= 0.554H

~~--------------------------------------1! Mediante el empleo de MATLAB, * grafique la inductancia del circuito magnético que se planteó en el

ejemplo 1.1 y se ilustró en la figura 1.2 como una función de la permeabilidad del núcleo entre un rangode 100 ~ J.t, ~ 100 000 .

• Solución

A continuación aparece el programa en MATLAB:

clcclear

% Permeabilidad del espacio libremuO = pi*4.e-7;% Todas las dimensiones expresadas en metrosAc = ge-4; Ag = ge-4; g = 5e-4; lc = 0.3;N = 500;

% Reluctancia del entrehierroRg = g/ (muO*Ag) ;

para n = 1:101mur(n) = 100 + (100000 - 100)* (n - 1)/100;% Reluctancia del núcleoRc(n) = lc/(mur(n)*muO*Ac);Rtot = Rg + Rc (n);% InductanciaL(n) = N~2/Rtot;end

plot (mur,L)x label ('permeabilidad relativa del núcleo')y label ('inductancia [H) ')

La gráfica que resulta de los cálculos mostrados aparece en la figura 1.7. Observe que la figura confirmaclaramente que para el circuito magnético citado en este ejemplo, la permeabilidad relativa no afecta a lainductancia hasta que la permeabilidad relativa desciende a 1 000. Por lo tanto, mientras que la permeabi-lidad relativa del núcleo sea mayor (en este caso mayor que 1 000), cualesquier características no linealesen las' propiedades del material del núcleo tendrán poco efecto sobre las propiedades terminales delinductor.

* MATLAB es una marea registrada de The MathWorks, Ine.


0.7 I I I I I I I I I

0.6 f- -

0.5 f- -

i''";; 0.4 -T¡e~u

0.3::l -"C..5

Figura 1.7 0.2 -Gráfica realizadamediante MATLAB quemuestra la inductancia 0.1 r- -

frente a la permea-bilidad relativa del

O I I I I I I I I

caso citado en el O l 2 3 4 5 6 7 8 9 10ejemplo 1.5. Permeabilidad relativa del núcleo x 104

-------------------Escriba un programa en MATLAB para graficar la inductancia del circuito magnético del ejemplo 1.1,considere JLr = 70 000 como una función de la longitud del entrehierro, si la variación del mismo seencuentra entre 0.01 cm y 0.10 cm.

La figura 1.8 muestra un circuito magnético con un entrehierro y dos devanados. En estecaso note que la frnm que actúa sobre el circuito magnético se calcula mediante el total de losamperes vueltas que actúan sobre el circuito magnético (por ejemplo, el total de amperes vuel-tas de ambos devanados) y que las direcciones de referencia para las corrientes han sido elegi-das para producir un flujo de corriente en la misma dirección. Por lo tanto, la frnm total es

(1.32)

y a partir de la ecuación 1.20, la reluctancia del núcleo despreciada y suponiendo que Ac = Ag,el flujo ifJ del núcleo es

A. (N' N' )lLoAc'Y = 111+ 212--

g (1.33)

En la ecuación 1.33, ifJ es elflujo del núcleo resultante producido por la frnm total de los dosdevanados. Entonces, el ifJ resultante es el factor que determina el punto de operación del ma-terial del núcleo.

Figura 1.8Circuito magnético condos devanados.


r+: ---, fr Entrehierro______ - _1__ -

~ : : i2+ cr----;--+-L -1 1- ..1--1-+--'-0 +

gNúmero Númerode vuel- de vueltas NI tas N2

Permeabilidad delnúcleo magnético zz,longitud media del núcleo le.área de la sección transversal Ae

Si la ecuación 1.33 se desglosa en términos relacionados con las corrientes individuales,las dispersiones de flujo resultantes de la bobina 1 se expresan de la siguiente manera

(1.34)

y puede enunciarse del siguiente modo:

(1.35)

donde

(1.36)

es la autoinductancia de la bobina 1 y LIIi I es la dispersión del flujo de la bobina 1 debido a supropia corriente il. La inductancia mutua entre las bobinas 1 y 2 es

(1.37)

y LI2i2 es la dispersión de flujo de la bobina 1 debido a la corriente i2 en la otra bobina. Demanera similar, la dispersión de flujo de la bobina 2 es

1 N A-. (J-LOAc) . 2 (J-LOAc) .11.2 = 2'1' = N1N2 -g- 11 + N2 -g- 12 (1.38)

o

A,2 = L21il + L22i2.,

donde Lz I= LI2 es la inductancia mutua y

(1.39)

2 J-LoAcL22 = N2 --

g(1.40)

es la autoinductancia de la bobina 2.


Es importante observar que la resolución de la dispersión de flujo resultante dentro de loscomponentes producidos por i¡ e i2 se basa en la superposición de los efectos individuales, porlo tanto, presupone una relación lineal de flujo-fmm (característica de los materiales de per-meabilidad constante).

La sustitución de la ecuación 1.29 en la ecuación 1.27 produce la expresión

de = -(Li)

dt (1.41)

para un circuito magnético con devanado simple. Para un circuito magnético estático, la inductan-cia se fija (suponiendo que las características no lineales del material no causan variación en lainductancia), y esta ecuación se reduce a la expresión habitual de la teoría de circuitos

die=L-

dt (1.42)

Sin embargo, en los dispositivos de conversión energética electromecánica, es frecuente quelas inductancias presenten variación con respecto al tiempo, y por lo tanto, la ecuación 1.41debe enunciarse de la siguiente forma

di dLe=L-+i-

dt dt(1.43)

Observe que en los casos donde existen devanados múltiples, la dispersión de flujo totalde cada devanado deberá emplear la ecuación 1.27 para calcular el voltaje en la terminal dedevanado.

La potencia en las terminales de un devanado en un circuito magnético es la magnitud del ín-dice de energía que fluye dentro del circuito a través de ese devanado en particular. La potencia,p, se determina a partir del producto del voltaje y la corriente, como se muestra a continuación

. . dA.p=ze=z-

dt (1.44)

y sus unidades son los watts (W) o los joules por segundo. De esta forma, el cambio en la energíamagnética acumulada dWen el circuito magnético dentro del intervalo de tiempo ti al tz es

1t2 ¡A2dW = p dt = i dA.

t, A,

En unidades SI, la energía magnética acumulada W se mide enjaules (J).Para un sistema con devanado simple de inductancia constante, el cambio en la energía

magnética acumulada así como el nivel de flujo que se transforma de Al a ~ se puede expresarcomo

(1.45)

¡A2 ¡A2 A. 1dW = i dA.= - dA.= -(A.~ -A.D

A, A, L 2L

La energía magnética total acumulada que considere cualquier valor dado de A se calculaa partir de establecer que Al es igual a cero

(1.46)

W = _1_A.2 = ~i22L 2 (1.47)

1.3 Propiedades de los materiales magnéticos 19

~-------------------Para el circuito magnético que se planteó en el ejemplo 1.1 (figura 1.2), encuentre a) la inductancia L,b) la energía magnética acumulada W para Be = 1.0 T, Y e) el voltaje inducido e para el flujo del núcleocon variación temporal de 60 Hz de la forma Be = 1.0 sen cotT, donde co= (2n)(60) = 377 .

• Solución

a) A partir de las ecuaciones 1.16 y 1.29, así como del ejemplo 1.1 se tiene lo siguiente:

A. N<jJ N2

L=-=-=-:::--=-Rc+Rg

5002

4.46 x 105 = 0.56 H

Observe que la reluctancia del núcleo es mucho menor que la del entrehierro (Re « Rg). Deesta forma, para una correcta aproximación, la reluctancia del entrehierro domina a la inductancia,por ejemplo,

N2

L ~ - =0.57HRg

b) En el ejemplo 1.1 encontramos que cuando Be = 1.0 T, i = 0.80 A. Así, a partir de la ecuación 1.47,

1.2 1 2W = "2L1 = "2(0.56)(0.80) =0.18J

e) De la ecuación 1.27 y el ejemplo 1.1

dA. dtp dBce=-=N-=NAc-dt dt dt

= 500 x (9 X 10-4) x (377 x LOcos (377t))

= 170cos (377t) V

~~-------------------------------Repita el ejemplo 1.6 para Be = 0.8 T, suponiendo que el flujo del núcleo presenta una variación de 50 Hzen vez de 60 Hz.

Solución

a) La inductancia L permanece sin cambios.b) W=0.1l5Je) e = 113 cos (314t) V

1.3 PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOSDentro del contexto de los dispositivos de conversión de energía, se consideran de suma im-portancia a los materiales magnéticos. A través del uso de estos materiales es posible obteneraltas densidades de flujo magnético con relativamente bajos niveles de fuerzas magnetizantes.Ya que las fuerzas magnéticas y la densidad de energía aumentan con el incremento de ladensidad de flujo, este efecto desempeña una parte importante en el funcionamiento de losdispositivos de conversión de energía.


Asimismo, los materiales magnéticos pueden emplearse para forzar y dirigir los camposmagnéticos dentro de patrones bien definidos. Estos materiales se utilizan en un transformadorpara maximizar el acoplamiento entre los devanados, así como para disminuir la corriente deexcitación requerida para operar el transformador. En la maquinaria eléctrica se aplican mate-riales magnéticos para dar forma a los campos magnéticos con el fin de obtener la produccióndeseada de par y las características de las terminales eléctricas. De esta manera, un diseñadorque posee dichos conocimientos puede emplear materiales magnéticos para lograr caracterís-ticas específicas que son convenientes en los dispositivos.

Los materiales ferromagnéticos, generalmente compuestos por hierro y aleaciones de hie-rro con cobalto, tungsteno, níquel, aluminio y otros metales, son por mucho los materiales mag-néticos más comunes. Aunque estos materiales se caracterizan por un amplia variedad de propie-dades, los fenómenos básicos responsables de sus propiedades son comunes en cada uno de ellos.

Los materiales ferro magnéticos están compuestos de una gran cantidad de dominios, porejemplo, las regiones en donde los momentos magnéticos de todos los átomos son paralelos,dando lugar a un momento magnético neto para el dominio. En una muestra de material sin mag-netizar, los momentos de dominio magnético se orientan al azar y el flujo magnético neto resul-tante en el material es cero.

Cuando una fuerza magnetizante externa se aplica a este material, los momentos magnéticosde los dominios tienden a alinearse con el campo magnético aplicado. Lo cual da como resultadoque los momentos magnéticos de los dominios se añadan al campo aplicado, produciendo unvalor mucho mayor que la densidad de flujo con respecto al que existiría debido únicamente a lasfuerzas magnéticas. Así, la permeabilidad efectiva JL, igual a la proporción del flujo magnéticototal de la intensidad del campo magnético aplicado, es mayor en comparación con la permeabi-lidad del espacio libre J.Lo. Al mismo tiempo que se incrementa la fuerza magnetizante, continúaeste comportamiento hasta que todos los momentos magnéticos se alinean con el campo aplicado;en este punto, los materiales no pueden seguir contribuyendo al incremento de la densidad de flujomagnético, entonces se dice que este material se encuentra completamente saturado.

En ausencia de la aplicación de una fuerza magnetizante externa, los momentos magnéti-cos de los dominios se alinean de acuerdo con ciertas direcciones asociadas con la estructuracristalina del dominio, denominadas ejes defácil magnetizacián. De esta forma, si se reduce lafuerza magnetizante aplicada, los momentos magnéticos de los dominios se dirigen hacia lasregiones del fácil magnetismo cercano al campo aplicado. Como consecuencia, cuando sereduce a cero el campo aplicado, aunque los momentos de dominio magnético tiendan a diri-girse a su orientación inicial, los momentos de dipolo magnético ya no tendrán una orientaciónal azar; estos momentos conservarán un componente de magnetización neta que correspondacon la dirección del campo aplicado. Éste es el efecto responsable del fenómeno magnéticoconocido como histéresis magnética.

Debido a este efecto de histéresis, la relación entre B y H para materiales ferro magnéticoses un tanto no lineal y de valores múltiples. En términos generales, las características de losmateriales no pueden describirse de forma analítica. Estos materiales se presentan comúnmen-te de forma gráfica como un conjunto de curvas determinadas empíricamente, que se basan enmuestras de evaluación del material al emplear los métodos establecidos por la American Societyfor Testing Materials (ASTM).5

5 La información numérica de una amplia variedad de materiales magnéticos se encuentra disponible con losfabricantes del material. No obstante, existe un problema debido al uso de diversos sistemas de unidades. Por ejemplo,la magnetización puede expresarse en oersteds o en ampere-vuelta por metro y la densidad de flujo magnético engauss, kilogauss o teslas. En el apéndice E se proporcionan algunos factores de conversión útiles. Asimismo, serecuerda al lector que las ecuaciones que aparecen en esta publicación se encuentran en unidades SI.

Figura 1.9CurvasB-H de aceroeléctrico de granoorientadoM-5 con es-pesorde 0.012. S610se muestran las mita-des superiores de lascurvas. (Armeo Ine.)

1.3 Propiedades de los materiales magnéticos 21

1.8

1.6 .•...-V ----- ------- ~ ':?"

I1/ / ~

1/ II .:r

V I

I ••o;u'"o~IoElEl

I ül

1.4

1.2

"'E 1.0

~cci 0.8

0.6

0.4

0.2

o30 40 50 70 90 110 130 150 170-10 O 10 20

H. A • vueltas/metro

La curva más empleada para describir un material magnético es la curva B-H o lazo dehistéresis. En el primero y el segundo cuadrante de la figura 1.9 (correspondientes a B ~ O) semuestra un conjunto de curvas de histéresis para acero M-S, acero con grano que es orientadoeléctricamente y se utiliza para equipo eléctrico. Estas curvas presentan la relación que existeentre la densidad de flujo magnético B y la fuerza de magnetización H. Cada curva se obtienemientras que hay una variación de forma CÍclica de la fuerza magnetizante aplicada entre losvalores positivos y negativos de magnitud fija. La histéresis ocasiona que estas curvas sean devalores múltiples. Después de varios ciclos, las curvas B-H forman circuitos cerrados tal comose muestra en la figura anterior. Las flechas muestran los patrones que sigue B con el incre-mento y el decremento de H. Observe que con el aumento de la magnitud de H, las curvas senivelan al mismo tiempo que el material tiende hacia la saturación. A una densidad de flujo deaproximadamente 1.7 T, este material se aprecia más saturado.

Es importante advertir que H disminuye de su valor máximo a cero; por su parte, la densi-dad de flujo se reduce, pero no a cero. Éste es el resultado de la relajación de la orientación delos momentos magnéticos de los dominios anteriormente descritos. Por lo tanto, permaneceuna magnetizacián remanente cuando H es cero.

Por fortuna, para la mayoría de las aplicaciones técnicas, es suficiente describir el materialmediante una curva con valor simple que se obtiene por medio de graficar la ubicación georné-trica de los valores máximos de B y H en los extremos de las curvas o lazos de histéresis; a estose le denomina curva de magnetizacián de cd o normal. En la figura 1.10 se muestra una curvade magnetización de cd para acero con grano orientado eléctricamente M-S. Observe que en lafigura 1.10 la curva de magnetización de cd no considera la naturaleza de la histéresis delmaterial, y expone claramente sus características de no linealidad.

22

Figura 1.10Curva de magnetiza-ci6n de cd para acerocon grano orientadoeléctricamente M-5 yespesor de 0.012(Armeo Ine.)

CAPiTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

2.4

2.2

2.0

1.8

1.6

N 1.4

~::$ 1.2

<Q 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

O1

--¡,...--

~¡....-

Vi-'

J

/11

-~/100 1000

H, A • vueltas/m10000 10000010

~~------------------------Suponga que el material del núcleo citado en el ejemplo 1.1 es acero electrolítico M-S, que posee la cur-va de magnetización de cd que aparece en la figura 1.10. Calcule la corriente i requerida para producirBe = 1 T.

• Solución

El valor de He para Be = 1 T se lee a partir de la figura 1.10 de la siguiente forma

He = 11 A . vueltas/m

El descenso de la frnm para el patrón del núcleo es

El descenso de la frnm a través del entrehierro es

Bgg 5 X 10-4

:Fg = Hgg = -¡;; = 4rr x 10-7 = 396 A . vueltas

La corriente requerida es

i = :Fe + :Fg = 399 = 0.80 AN 500

1.4 Excitación de corriente alterna 23

----------------------------------Repita el ejemplo 1.7, pero en esta ocasión calcule la corriente i para Be = 1.6 T. ¿Por medio de qué factorla corriente tiene que incrementarse para producir un incremento de 1.6 en la densidad de flujo?

Solución

Puede demostrarse que la corriente ies de 1.302 A. Por lo tanto, la corriente deberá incrementarse con unfactor de 1.302/0.8 = 1.63. Debido a! dominio de la reluctancia del entrehierro, la reluctancia es ligera-mente mayor que el incremento fracciona! en la densidad de flujo a pesar del hecho de que el núcleocomienza a saturarse de manera significativa a una densidad de flujo de 1.6 T.

1.4 EXCITACiÓN DE CORRIENTE ALTERNA

En los sistemas de energía de corriente alterna, las configuraciones de onda de voltaje y flujoson muy aproximadas a las funciones sinusoidales del tiempo. En esta sección se explican lascaracterísticas de la excitación y las pérdidas asociadas con la operación de corriente alterna enestado estacionario o estable de los materiales magnéticos bajo ciertas condiciones de opera-ción. Se utilizará como modelo un circuito magnético de núcleo cerrado, por ejemplo, sinentrehierro, como el que se muestra en la figura 1.1, o el transformador que se ilustra en lafigura 2.4. La Ion itud de la trayectoria magnética se identifica como le' y Ac e.§el área de lasección transversal que se encuentra a lo largo de la Ion itud del núcleo. En esta sección tam-hén se asumirá una ~ación sinusoidal del flujo del núcleo q> (t); de esta forma

q> (t) = tPmáx sen on = Ae Bmáx sen on (1.48)

donde -tPmáx = amplitud del flujo del núcleo q> en webersBmáx = amplitud de la densidad de flujo Be en teslas

ro = frecuencia angular = 27t ff = frecuencia en Hz

A partir de la ecuación 1.27 ,~voltaje inducido en la vuelta N del devanado es

e(t) = roNtPmáx cos (rot) = Emáx cos (rot) (1.49)

donde

(1.50)

En operaciones de corriente alterna del estado estacionario, generalmente se consideracon mayor interés el valor eficaz o valor cuadrático medio o los valores rms de voltajes ycorrientes que los valores máximos o instantáneos. En general, el valor rms de una funciónperiódica de tiempo.j'(r), o periodo Tse define como

(1.51)

24

Figura 1.11Fenómenos de exci-tación. a) Voltaje, flujoy corrientes de excita-ción; b) curvas dehistéresis corres-pondientes.


a) b)

De acuerdo con la ecuación 1.51, es posible demostrar que el valor rms de una onda senoidal eslJ.,[i veces su valor máximo. Por lo tanto, el valor rms del voltaje inducido es

(1.52)

Para producir un flujo magnético en el núcleo se necesita una corriente en el devanado deexcitación denominad~rriente de excitación, irp.6Las propiedades magnéticas no linealesdel núcleo requieren que la configuración de la on a correspondiente a la corriente de excita-ción difiera de la configuración de la onda sinusoidal del flujo. La curva de la corriente deexcitación como función del tiempo puede encontrarse por medios gráficos a partir de lascaracterísticas magnéticas del material del núcleo, como se ilustra en la figura l.lla. Dado queBe YHe se relacionan con ep e irpmediante constantes geométricas conocidas, la curva de his-téresis de corriente alterna que se muestra en la figura l.llb se trazó en términos de ep = Be Aee irp= Hel/N. En la figura l.lla se muestran las ondas senoidales del voltaje inducido, e, yflujo, ep, de acuerdo con las ecuaciones 1.48 y 1.49.

El valor de irp>a cualquier tiempo dado, correspondiente al valor considerado del flujo, secalcula directamente a partir de la curva de histéresis. Por ejemplo, a un tiempo t' el flujo seráqI y la corriente será i~; a un tiempo r'Tos valores correspondientes serán qI' e irp".Observe quecuando la curva de histéresis tiene valores múltiples, es necesario elegir cuidadosamente losvalores del flujo ascendente (en la figura qI) de la porción de flujo ascendente de la curva dehistéresis; de manera similar, la porción descendente del flujo de la curva de histéresis deberáseleccionarse para los valores del flujo descendente (en la figura qI').

Advierta que debido a que la curva de histéresis presenta un aplanamiento debido a losefectos de la saturación, la configuración de la onda de la corriente de excitación forma un pico

6 De forma más generalizada, al considerar un sistema con devanado múltiple, la frnm de excitación es el total deamperes vueltas que actúan para producir un flujo dentro de un circuito magnético.

-- 1. Excitación de corriente alterna 25

afinado. El valor rms de la corriente ¡<p, rms se define mediante la ecuación 1.51, donde T repre-senta el periodo de un ciclo. Este valor se relaciona con el valor rms correspondiente He, rms deHe mediante la ecuación que se muestra a continuación

~_ leHe,rms )

Icp,rms - -N-- (1.53)

Las características de excitación de comen~ que presentan los materiales del nú-cleo se describen con frecuencia en términos de volts amperes rms en vez de una curva demagnetización que relacione B y H. La teoría que sustenta esta representación puede explicar-se al combinar las ecuaciones 1.52 y 1.53. Por lo tanto, a partir de las ecuaciones 1.52 y 1.53,los volts amperes rms que se requieren para excitar el núcleo de la figura 1.1 considerando unadensidad de flujo específica es igual a

r: , leHrmsErms1cp,rms = V Znf N AeBmáx--¡:¡-

= ..fin! BmáxHrms(Aele)(1.54)

En la ecuación 1.54, se observa que el producto Aele es igual al volumen del núcleo y comoconsecuencia, los volts amperes rms de excitación que se requieren para excitar el núcleo conondas de configuración sinusoidal pueden advertirse como proporcionales a la frecuencia deexcitación, al volumen del núcleo, y al producto del máximo valor de la densidad de flujo y alvalor rms de la intensidad del campo magnético. Para un material magnético con ~dad demasa p..Q-lamasa del núcleo será AelePe Ylos volts amperes eficaces de excitación por unidadde masa, Pa' se expresan de la siguiente manera

Erms1cp,rms ..fin!P¿ = = --- Bmáx Hrms

masa Pe(1.55)

Observe que en situaciones normales, los volts amperes de excitación rms pueden obser-varse sólo como una propiedad del material. Asimismo, note que éstos dependen únicamentede la Bmáx debido a que Hrms es una función particular de Bmáx, como se determinó por mediode la configuración de la curva de histéresis del material que considera una frecuencia dada!Como consecuencia, los fabricantes proporcionan con frecuencia los requisitos de excitaciónde corriente alterna para materiales magnéticos en términos de volts amperes rms por unidadde peso, los cuales se determinan mediante pruebas de laboratorio con modelos de núcleocerrado del material. Estos resultados se ilustran en la figura 1.12 para acero eléctrico M-5 degrano orientado.

La corriente de excitación suministra la frnm requerida para producir el flujo del núcleo yla potencia de entrada que se asocian con la energía dentro del campo magnético en el núcleo.El resto se observa como potencia reactiva que se relaciona con el almacén energético delcampo magnético. Esta potencia reactiva no se disipa en el núcleo, sino que la fuente de exci-tación la abastece y absorbe de manera cíclica.

Existen dos mecanismos de pérdida energética que se relacionan con los flujos de varia-ción temporal en materiales magnéticos. El primer mecanismo es el calentamiento óhmico12R, el cual se asocia con las corrientes inducidas (parásitas) en el núcleo del material. A partirde la ley de Faraday (ecuación 1.26) se observa que los campos magnéticos de variación tem-

26

Figura 1.12Volts amperes rms deexcitación por kilo-gramo a 60 Hz paraacero eléctrico M-5con partícula orientaday espesor de 0.012.(Armeo. Ine.)

---./ ~

/I

VV

/v

f..--- ¡....-

CAPiTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

2.2

2.0

1.8

1.6

N1.4

..§1.2.&J

~i 1.0

Q::¡0.8

0.6

0.4

0.2

O0.001 0.01 10 1000.1

PQ' rms VAlkg

poral producen un aumento en los campos eléctricos. En materiales magnéticos dichos camposeléctricos resultan en corrientes inducidas, denominadas comúnmente corrientes eddy, las cualescirculan dentro del material del núcleo y se oponen a los cambios en la densidad de flujo delmaterial. Para contrarrestar el correspondiente efecto desmagnetizante, la corriente en el deva-nado de excitación deberá incrementarse. De esta forma, la curva resultante dinámica B-Hbajo operación de corriente alterna es de alguna manera más pronunciada que la curva dehistéresis para condiciones de variación lenta, además, este efecto aumenta al mismo tiempoque se incrementa la frecuencia de excitación. Es por esta razón que las características de losaceros eléctricos varían con frecuencia, por lo cual, los fabricantes generalmente suministraneste material con características que se encuentran dentro de la categoría de operación mássolicitada de cada tipo de acero en particular. Advierta, por ejemplo, que los volts amperes rmsde excitación que se ilustran en la figura 1.12 se especifican a una frecuencia de 60 Hz.

Para reducir los efectos de las corrientes de eddy, por lo general, las estructuras magnéti-cas se fabrican con láminas delgadas de material magnético. Estas hojas, que se alinean encorrespondencia con las líneas del campo magnético, se aíslan una de la otra por medio de unacapa de óxido sobre sus superficies o mediante una fina capa de barniz o esmalte aislante. Esteproceso reduce en gran medida la magnitud de las corrientes de eddy, ya que las capas deaislante interrumpen la trayectoria de la corriente; entre más delgadas sean las láminas, meno-res serán las pérdidas energéticas. En general, la pérdida de corrientes de eddy tiende a incre-mentarse al cuadrado de la frecuencia de excitación y también al cuadrado del pico de ladensidad de flujo.

El segundo mecanismo de pérdida se debe a la naturaleza de la histéresis de los materialesmagnéticos. En un circuito magnético como el que se ilustra en la figura 1.1 o el transformadorque se muestra en la figura 2.4, una excitación de variación temporal causará que el materialmagnético sufra una alteración cíclica que se describe mediante una curva de histéresis comola que se muestra en la figura 1.13.

Figura 1.13Curva de histéresis; laspérdidas por histéresisson proporcionales alárea de la curva (áreasombreada).


B

H

La ecuación 1.45 se utiliza para calcular la energía de entrada Wal núcleo magnético quese presenta en la figura 1.1 mientras que el material pasa por un ciclo único.

(1.56)

Reconociendo que Aele es el volumen del núcleo y que la integral es el área de la curva dehistéresis de corriente alterna, se observa que cada vez que el material magnético cumple unciclo, existe una entrada de energía neta al material. Esta energía se requiere para trasladar losdipolos magnéticos en el material y se disipa en forma de calor en el mismo. De esta manera,para un nivel de flujo específico, las pérdidas por histéresis correspondientes son proporciona-les al área de la curva de histéresis y al volumen total del material. Al considerar que existepérdida de energía por ciclo, la pérdida de potencia por histéresis es proporcional a la frecuen-cia de la excitación que se aplica.

En términos generales, estas pérdidas dependen de las propiedades metalúrgicas del mate-rial así como de la densidad de flujo y de la frecuencia. De forma habitual, la información delas características de las pérdidas del núcleo se presentan de manera gráfica. Se grafica enwatts por unidad de peso como función de la densidad de flujo; usualmente se produce unafamilia de curvas para diferentes frecuencias. La figura 1.14 muestra las pérdidas del núcleo P;para acero eléctrico M-5 de grano orientado a 60 Hz.

Casi todos los transformadores y determinadas secciones de las máquinas eléctricas utili-zan material de hojas de acero, ya que éstas presentan condiciones favorables de magnetización,lo cual permite que sea menor la pérdida del núcleo y que la permeabilidad alcance altosniveles. Este material se denomina acero de grano orientado. La propiedad de este materialsubyace en la estructura atómica de un cristal formado por la aleación de hierro y silicio, lacual es un cubo centrado en el cuerpo; cada cubo posee un átomo en cada ángulo así como unoen el centro del cubo. Dentro del cubo, el eje de más fácil magnetización por la arista es elborde; un eje transversal que atraviese una cara del mismo, al igual que un eje diagonal presen-tarán más problemas de magnetización. A través de técnicas de fabricación adecuadas, la ma-

28

Figura 1.14Pérdidas en el núcleoa 60 Hz en watts porkilogramo para aceroeléctrico M-S de granoorientado de 0.012 deespesor (Armco Ine.)


2.2

2.0

1.8

1.6

1.4N

E:o 1.2~~ 1.0

<:el0.8

/

//

V

VV

¡...~

0.6

0.4

0.2

O0.0001 0.001 0.01 0.1

r; W/kg\O

yoría de los bordes cristalinos del cubo se alinean a favor de la dirección del laminado parafacilitar la dirección de magnetización. El comportamiento en esta dirección presenta menorespérdidas en el núcleo, así como mayor permeabilidad en comparación con los aceros sin orien-tación de partícula en donde los cristales se orientan al azar para producir un material concaracterísticas uniformes en todas direcciones. Como consecuencia, los aceros eléctricos orien-tados pueden operarse a más altas densidades de flujo que los aceros sin partícula orientada.

Los aceros eléctricos de grano no orientado se emplean en aplicaciones en las que el flujono sigue una trayectoria que puede orientarse de acuerdo con la dirección del laminado, en laque un costo bajo se considera un factor importante. En este tipo de acero las pérdidas son unpoco mayores y la permeabilidad es mucho menor que en los aceros de grano orientado.

~~---------------------------------------El núcleo magnético que se presenta en la figura 1.15 se elaboró a partir de láminas de acero eléctricoM-5 con grano orientado. El devanado alcanza excitación a un voltaje de 60 Hz para producir una densi-dad de flujo en el acero de B = 1.5 sen de (¡) t T, donde to = 2n 60", 377 rad/seg. El acero ocupa 0.94 delárea de la sección transversal del núcleo. La densidad de la masa del acero es de 7.65g1cm3. Calcule a) elvoltaje aplicado, b) la corriente máxima, e) la corriente de excitación rrns y el) las pérdidas en el núcleo .

• Solución

a) A partir de la ecuación 1.27 el voltaje es

drp dBe = N- =NAc-

dt dt

= 200 x 4 in2 x 0.94 x (_I_.0-"m_.2-:;-2)x 1.5 x (377 cos(377t»39.42 In

= 274cos(377t)V

Figura 1.15Núcleode acero lami-nado con devanadopara consideración enel ejemplo 1.8.


1-' ---8 in---' 1

e

10in

2in

+0---+--_

2in

b) La intensidad del campo magnético que corresponde a Bmáx = 1.5 T se obtiene de la figura 1.10Hmáx = 36A vueltas/m. Advierta que, como se esperaba, la permeabilidad relativa J.tr= Bmáx/(J.tolImáx)= 33 000 a un nivel de flujo de 1.5 T es menor que el valor de mr= 72 300 calculado en el ejemplo1.4 y que corresponde a un nivel de flujo de 1.0 T, aún significativamente mayor que el valor de2900 que corresponde a un nivel de flujo de 1.8 T.

(1.0m)le = (6 + 6 + 8 + 8) in -_.- = 0.71 m

39.4 10

La corriente máxima es

_ Hmáxle _ 36(0.71) _ O 31---- - .1 A

N 200

e) La corriente rms se obtiene a partir del valor de P¿ de la figura 1.12 para Bmáx = 1.5 T.

r,= 1.5 VA/kg

El volumen y peso del núcleo son

Ve = (4 in2)(0.94)(28 in) = 105.5 irr'

(2.54cm)3 (7.65 )w, = (105.5 irr') --o - ---g3 = 13.2 kg

1.010 1.0 cm

El total de voltamperes y de la corriente es

Pa = (1.5 VA/kg)(l3.2 kg) = 20 VA

r. 201<p.rTf15 = ErTf15 275(0.707) = 0.10 A


tI) La densidad de pérdidas en el núcleo se obtiene de la figura 1.14 como Pe= 1.2 Wlkg. Por consi-guiente, la pérdida total en el núcleo se representa así

P¿ = (1.2 Wlkg)(13.2 kg) = 16 W

~~---------------------------------Repita el ejemplo 1.8 para un voltaje de 60 Hz con B = 1.0 sen OJ 1T.

Solución

a) V = 185 cos 3771 Vb) I=O.04Ae) Irp=0.061AtI) Pe=6.7W

1.5 IMANES PERMANENTESLa figura 1.16a muestra el segundo cuadrante de la curva de histéresis para Alnico S, materialcaracterístico de imán permanente, mientras que la figura 1.16b muestra el segundo cuadrantede la curva de histéresis para acero M-S? Advierta que las curvas son similares en naturaleza.Sin embargo, la curva de histéresis de Alnico S se caracteriza por un alto valor de la densidaddeflujo residual o magnetización remanente, B; (aproximadamente 1.22 T) así como un valoralto de coercitividad, He (aproximadamente -49kA/m).

La magnetización permanente, Br, corresponde con la densidad de flujo que permaneceríadentro de una estructura magnética cerrada, como la de la figura 1.1, al construirse a partir deeste tipo de material, si la frnrn aplicada, y por consecuencia la intensidad del campo magnéti-co H, se reducen a cero. Sin embargo, a pesar de que el acero eléctrico M-S con grano orienta-do presenta también un valor alto de magnetización remanente (aproximadamente de 1.4 T),presenta un valor bajo de coercitividad (aproximadamente de -6 Alm, menor por un factormayor de 7 SOO).La coercitividad He corresponde con el valor de la intensidad del campomagnético (el cual es proporcional a la frnrn) que se requiere para reducir la densidad de flujodel material a cero.

La importancia de la magnetización remanente reside en que es capaz de producir flujomagnético dentro de un circuito magnético en ausencia de excitación externa (como el caso delas corrientes de devanado). Éste es un fenómeno usual para toda persona que haya colocadoimanes en la puerta de su refrigerador, y también se aplica de manera amplia en dispositivostales como altavoces y motores de imán permanente.

Al observar la figura 1.16, pareciera que tanto el Alnico S como el acero eléctrico M-S sonútiles para producir un flujo dentro de circuitos magnéticos sin excitación, ya que ambos po-seen valores altos de magnetización remanente. Sin embargo, esta apreciación no es real, locual se demostrará con el ejemplo que se presenta a continuación.

7 Para obtener un valor alto de magnetización remanente, las curvas de histéresis que se ilustran en la figura 1.16se obtendrían si los materiales se estimularan con una fmm suficiente para asegurar que se saturaran completamente.Lo anterior se presenta con más detalle en la sección 1.6.

1.5 Imanes permanentes

Punto delproductomáximode energía

Producto energético, kJ/m3

-- _ _ Línea de carga para- - _ el ejemplo 1.9

. ------------H,kA/m -50

a)

-40 -30 -20 -10

B,T1.5

H,Nm -10 -5

b)

1.0, 3.8 X 10-5,,

, Línea de carga para" el ejemplo 1.9,,,rL

Pendiente = "-628 x 10-6 ,. ,Wb/A· m ,,,,

0.5

31

B,T

1.0

0.5

O

B,T

4 X 10-5

2 X 10-5

O H,Nm -6 O

e)

Figura 1.16a) Segundo cuadrante de la curva de histéresis para Alnico 5; b) segundo cuadrante de la curva dehistéresis para acero eléctrico M-5; e) curva de histéresis para acero eléctrico M-5 aumentado pordebajo del valor de B. (Armeo Ine.)


~-------------------

Figura 1.17Circuito magnéticoelaborado para elejemplo 1.9.

Como se ilustra en la figura 1.17, un circuito magnético consiste en un núcleo de alta permeabilidad(1-" ~ 00), un entrehierro con longitud de g = 0.2 cm, y una sección de material magnético con longitudlm = 1.0 cm. El área de la sección transversal del núcleo y del entrehierro es igual a Am = Ag = 4 cm",Calcule la densidad de flujo Bg en el entrehierro si el material magnético es a) Alnico 5 y b) aceroeléctrico M-5 .

• Solución

a) Al considerar la permeabilidad del núcleo como infinita, es posible ignorar H en el núcleo. Reco-nozca que la frnrn que actúa sobre el circuito magnético de la figura 1.17 es cero, y lo puede expresarde la siguiente manera

o

donde Hg YHm son intensidades del campo magnético en el entrehierro y en el material magnético,respectivamente.

Dado que el flujo deberá ser continuo a través del circuito magnético, tenemos la siguienteexpresión

o

donde Bg Y Bm representan las densidades de flujo magnético en el entrehierro y en el materialmagnético, respectivamente.

Estas ecuaciones pueden resolverse para dar lugar a una ecuación lineal para B¿ en términosdeHm

( Ag) (lm) -6B; = -1-"0 Am g H; = -51-"0 Hm = -6.28 x 10 H¿

ÁreaAm Material

T "="",,,-,d..-- magnético

1m Permeabilidad ..•.'--- Tg1. del entrehierro, ,...-- -

#0' ÁreaAg

./

1.5 Imanes permanentes 33

Al resolver la ecuación para Bm es posible reconocer que en el caso de Alnico 5, Bm Y Hmtambién se relacionan mediante la curva de la figura l.16a. De esta manera, esta relación lineal,también denominada línea de carga, se grafica en la figura 1.16a y la solución puede obtenerse pormedios gráficos, la cual da como resultado la siguiente expresión

b) Para obtener la solución para el acero eléctrico M-5 se procede de la misma forrna que en el incisoanterior. La linea de carga también es la misma que la del inciso a) debido a que se determinaúnicamente por medio de la permeabilidad del entrehierro y por las formas geométricas del imán ydel entrehierro. Por lo tanto, a partir de la figura l. l6c surge la siguiente expresión

Bg = 3.8 X 10-5 T = 0.38 gauss

esta ecuación da como resultado un valor mucho menor que el obtenido para el Alnico 5.

El ejemplo 1.9 muestra que existe una enorme diferencia entre los materiales de imánpermanente (con frecuencia denominados materiales magnéticos duros) como el Alnico 5 ylos materiales magnéticos suaves como el acero eléctrico M-S. Esta diferencia se basa princi-palmente en la inmensa diferencia de sus coercitividades He- La coercitividad se ilustra comouna medida de la magnitud de fmm requerida para desmagnetizar el material. Como se obser-vó en el ejemplo 1.9, también es una medida de la capacidad del material para producir un flujodentro de un circuito magnético que incluya al entrehierro. De esta manera, se observa que losmateriales que constituyen buenos imanes permanentes se caracterizan por amplios valore decoercitividad He (considerablemente un valor mayor de 1 kA/m).

Una medida útil de la capacidad de los materiales de imán permanente se denomina pro-ducto energético máximo. Esta medida corresponde al mayor B-H producto (B-H)máx' la cualatañe a un punto en el segundo cuadrante de la curva de histéresis. Como se advierte en laecuación 1.56, el producto de B y H presenta las dimensiones de la densidad de la energía(joules por metro cúbico). A continuación se demuestra que una operación realizada con unmaterial de imán permanente específico en este caso resultaría en un volumen menor del ma-terial que se requiere para producir una densidad de flujo dada en un entrehierro. Como conse-cuencia, elegir el material con el mayor valor disponible del producto energético máximopodría resultar en el menor volumen de imán requerido.

En el ejemplo 1.9, encontramos una expresión para la densidad de flujo en el entrehierrodel circuito magnético de la figura 1.17:

(1.57)

También se puede notar que la razón de la frnm disminuye a lo largo del imán y el entrehierrose iguala a -1:

(1.58)

34 CAPITULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

La ecuación 1.58 se resuelve para Hg, y el resultado se multiplica por J.Io con el fin deobtener Bg = J.IoHg• Al multiplicar por la ecuación 1.57 se obtiene la siguiente expresión

(1.59)

o

(1.60)

donde el término Volmag es el volumen del imán, Volentrehierroes el volumen del entrehierro, y elsigno menos surge debido a que el punto de operación del circuito magnético H en el imán(Hm) es negativo.

La ecuación 1.60 proporciona el resultado óptimo. Esta ecuación indica que para lograruna densidad de flujo favorable en el entrehierro, el volumen requerido del imán puede dismi-nuirse en su operación hasta el punto máximo posible B-H del producto HmBm, es decir, elpunto máximo del producto energético. Además, entre mayor sea el valor de este producto,menor será la dimensión del imán requerido para producir la densidad de flujo esperada. Por lotanto, el producto energético máximo es una unidad útil para medir el funcionamiento de unmaterial magnético, que con frecuencia se ubica en la hoja de datos como unafigura de méritoo cifra para materiales de imán permanente.

Advierta que la ecuación 1.59 indica que es posible alcanzar un valor alto, arbitrario de ladensidad de flujo del entrehierro, simplemente al reducir el volumen del entrehierro. Estehecho es falso en la práctica debido a que en la medida que aumenta la densidad de flujo dentrodel circuito magnético, se alcanzará un punto en el cual el material del núcleo magnéticocomenzará a saturarse y la suposición de permeabilidad infinita no podrá seguir considerándo-se válida, invalidando la ecuación 1.59.

Asimismo, note también que la curva del producto constante B-H es una hipérbola. Unconjunto de dichas hipérbolas que representan diferentes valores del producto B-H se graficaen Ía figura 1.16a. A partir de estas curvas, se observa que el producto energético máximo paraAlnico 5 es 40 kl/rrr' y que esto ocurre a un punto B = 1.0 T YH = -40 k:Nm.

~L- _

El circuito magnético que se ilustra en la figura 1.17 se modifica en tal forma que el área del entrehierrose reduce a Ag = 2.0 cm2, como se muestra en la figura 1.18. Calcule el volumen mínimo del imán que serequiere para lograr una densidad de flujo del entrehierro de 0.8 T.

• Solución

El volumen mínimo del imán se alcanzará por medio de la operación del imán a un punto máximo deproducto energético máximo, como se observa en la figura 1.16a. A este punto de operación, Bm = 1.0 TY Hm = -40 kA/m.

1.6 Aplicación de materiales para imanes permanentes 35

.1.g = 0.2 cm

T

ÁreaAmT ¡""""'...,.-,d,..-A1nico5

i:1

Permeabilidad !lo,del entre hierro,área Ag = 2 cm2

Figura 1.18Circuito magnéticopara el ejemplo 1.10.

Por lo tanto, a partir de la ecuación 1.57

Am = Ag (!:)2 (0.8) 2= 2cm - = 1.6 cm1.0

y de la ecuación 1.58 se obtiene la siguiente expresión

i; = _g ( Hg) = _g (~)n; J.toHm

(0.8 )= -0.2 cm

(47T x 10-7)(-40 x 1(3)

= 3.18 cm

De esta forma, el volumen mínimo para el imán es igual a 1.6 cm2x 3.18 cm = 5.09 crrr',

~~------------------------------Repita el ejemplo 1.10 y asuma que el área del entrehierro se redujo a Ag = 1.8 cm2 y que la densidad deflujo del entrehierro que se espera es de 0.6 T.

Solución

Volumen mínimo para el imán = 2.58 crrr'.

1.6 APLICACiÓN DE MATERIALES PARAIMANES PERMANENTES

Los ejemplos 1.9 y 1.10 consideran la operación de los materiales de imán permanente bajo lasuposición de que el punto de operación se puede determinar simplemente conociendo la geo-metría del circuito magnético así como las propiedades de los diferentes materiales implicados

36

Figura 1.19Curvas de magneti-zación para materialestradicionales de imánpermanente.


If--- Neodimio-hierro-borof-- ........... Alnico 5

-- Samario-cobalto /f---- - - - Alnico 8 /"/- - - Cerámico 7f--- -:

-: .:/./ V V:

-: -: :/-: /'

(-1:

-: ./ V I

./,/ /" ·/" -: I ·, ¡,.'

/' -: L--~' ~/' ./ ,.v, ·

./ V / /' , ·

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.50.4

0.3

0.2

0.1

B,T

-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100H,kNm

O

en el mismo. De hecho, la situación es más compleja.P Esta sección basa su objetivo en ampliardichos conocimientos.

La figura 1.19 muestra las características de magnetización para algunos materiales deimán permanente. Alnico 5 es una aleación ampliamente utilizada, elaborada de acero, níquel,aluminio y cobalto; fue descubierta en 1931. Esta aleación presenta una densidad de flujoresidual relativamente alta, mientras que Alnico 8 posee una densidad de flujo residual baja yuna coercitividad más alta en comparación con el Alnico 5. Por lo tanto, Alnico 8 se encuentramenos sujeto a la desmagnetización que el Alnico 5. Sin embargo, estas aleaciones presentanalgunas desventajas como son su baja coercitividad y su fragilidad mecánica.

Los materiales cerámicos de imán permanente (también denominados imán deferrita) seelaboran a partir de óxido de hierro y material pulverizado de carbonato de estroncio o bario,presentan menor densidad de flujo residual en comparación con los materiales de Alnico, peroposeen mayor coercitividad. Como consecuencia son menos vulnerables a la desmagnetización.En la figura 1.19 se muestra la característica de magnetización casi como una línea recta deuno de estos materiales, llamado Cerámico 7. Los imanes cerámicos poseen buenas propieda-des mecánicas y su fabricación es económica; como consecuencia, su utilización en numero-sas aplicaciones de imán permanente es amplia.

8 Para un mayor esclarecimiento de los materiales de imán permanente y sus aplicaciones, véase P. Campbell,Permanent Magnet Materials and their Application, Cambridge University Press, 1994; R.J. Parker, Advances inPermanent Magnetism, John Wiley & Sons, 1990;A. Bosak, Permanent-Magnet De Linear Motors, Clarendon Press-Oxford, 1996;G.R. Slemon y A. Straughen, Electric Machines, Addison-Wesley, 1980,secciones 1.20-1.25;y T.J.E.Miller, Brushless Permanent-Magnet and Reluctance Motor Drives, Clarendon Press-Oxford, 1989,capítulo 3.


Ti:

Figura1.20 ~Circuito magnético queincluye tanto un imánpermanente como undevanado deexcitación.

/' "Núcleo,,u -+ 00

i---Material e

) Nnúde imán e

) de vupermanente e ----<l

-,

meroeltas

El imán permanente de samario-cobalto representa un importante avance de la tecnologíaencargada de la elaboración de este tipo de material, la cual empezó en la década de los sesentacon el descubrimiento de nuevos materiales de imán permanente de tierras raras. En la figura1.19 podemos observar que dichos materiales presentan una alta densidad de flujo residualparecida a la que muestran los materiales de Alnico, mientras que al mismo tiempo poseen unacoercitividad mucho mayor y un producto energético máximo. El material de imán permanen-te de tierra rara más nuevo es el neodimio-hierro-boro. Este material presenta una densidad deflujo residual y una coercitividad aún mayor, así como un producto energético máximo encomparación con el imán permanente de samario-cobalto.

Observe el circuito magnético de la figura 1.20, éste incluye una sección de material mag-nético duro en un núcleo de material magnético suave y altamente permeable, así como undevanado de excitación de N número de vueltas. Con relación a la figura 1.21, se asume que demanera inicial el material magnético duro no presenta magnetización (correspondiente al pun-to a de la figura), además es necesario considerar lo que ocurre cuando se aplica corriente aldevanado de excitación. Dado que se asume que el núcleo posee una permeabilidad infinita, el

B,T

Figura 1.21Porción de una curvacaracterística B-H, quemuestra un lazosecundario y una líneade desmagnetización.

(d) 1

/1/ 1

/ 1I 1

(e) I 11111

=--:':=~------::::::::=-J (b)

o Hmáx H, kA/m

imáx i,A


eje horizontal que se muestra en la figura 1.21 se considera tanto una medida de la corrienteaplicada i = Hl,jN como una medida de H en el material magnético.

Al incrementarse la corriente i a su máximo valor, la trayectoria B-H aumenta del puntoa de la figura 1.21 hacia su valor máximo referido como el punto b. Para lograr una magne-tización del material, se considera la suposición de que la corriente se incrementó a un valorimáx suficientemente grande como para que el material sea llevado a un punto de saturaciónb. Entonces, cuando la corriente disminuye a cero, la linea característica B-H comenzaráa formar una curva de histéresis, llegando al punto e a un nivel de corriente cero. En el puntoe observe que el material H presenta un valor de cero, pero B se encuentra en su valor rema-nente B;

Al tiempo que la corriente adquiere un valor negativo, la línea característica B-H continúatrazando una curva de histéresis. En la figura 1.21 se observa esta línea como una trayectoriaentre los puntos e y d. Si la corriente se mantiene a un valor de _¡<.tI),el punto de operación delimán será el que se indica en el punto d. Advierta que, de igual modo que en el ejemplo 1.9,este mismo punto de operación se alcanzará si el material comienza a operar en el punto e, conla excitación sostenida a cero y un entrehierro de longitud g = 1m(AglAm)(-J.1olf-tI)/B(tI)) inserta-do en el núcleo.

Si la corriente se hiciera más negativa, la trayectoria continuaría trazando la curva dehistéresis hacia el punto e. Sin embargo, si en vez de esto la corriente regresara a cero, latrayectoria no trazaría de forma general la curva de histéresis hacia el punto e; en su lugarcomenzaría a trazar un ciclo de histéresis menor, alcanzando el punto f cuando la corrientellegara a cero. Si la corriente varía entre cero y _i(tI), la linea característica B-H trazará un lazosecundario tal como se muestra en la figura.

Como se puede observar en la figura 1.21, la trayectoria B-H entre los puntos d y fserepresenta con una línea recta, denominada línea de desmagnetitacián. A la inclinación de estalinea se le conoce como permeabilidad de desmagnetizacián J-tR. Es posible percibir que unavez que este material se ha desmagnetizado hasta el punto d, la magnetización remanenteefectiva del material magnético es la que se indica en el punto f, la cual es menor que lamagnetización remanente B, que se esperaría se basara sobre la curva de histéresis. Observeque la desmagnetización se incrementará más allá del punto d; por ejemplo, hasta el punto e dela figura 1.21 se presentaría un nuevo lazo secundario, con una nueva linea y permeabilidad dedesmagnetización.

Los recién planteados efectos de desmagnetización de la excitación negativa son equiva-lentes a aquellos producidos en un entrehierro de un circuito magnético. Por ejemplo, es claroque el circuito magnético que se muestra en la figura 1.20 podría emplearse como un sistemapara magnetizar materiales magnéticos duros. El proceso sencillamente requeriría que unaexcitación amplia se aplicara al devanado y luego esta excitación se redujera a cero, dejando elmaterial con una magnetización remanente de B,(punto e indicado en la figura 1.21).

Al aplicar este proceso de magnetización, si el material se eliminara del núcleo, seríaequivalente a abrir un entrehierro extenso en el circuito magnético, y el material se desmag-netizaría de manera similar al caso planteado en el ejemplo 1.9. En este punto el imán se hadebilitado, ya que si se insertara de nuevo en el núcleo magnético, seguiría una linea de desmag-netización y volvería a presentar una magnetización remanente algo menor que B; Como con-secuencia, los materiales magnéticos duros, como los materiales de Alnico de la figura 1.19,normalmente no operan de forma estable en circunstancias donde varían la frnm y la geome-tría; además, es frecuente el riesgo de que una manipulación inadecuada logre desmagnetizarlossignificativamente. Los materiales como el Cerámico 7, el samario-cobalto y el neodimio-


hierro-boro muestran una ventaja significativa debido a que presentan una línea característicarecta en el segundo cuadrante (con pendiente aproximada a /Lo), sus líneas de desmagnetizacióncorresponden a su magnetización propia. Como consecuencia, en estos materiales se reducende forma significativa los efectos de desmagnetización y normalmente es posible ignorarlos.

Los materiales magnéticos duros pueden estabilizarse para operar sobre una región espe-cífica a expensas de una reducción en su valor de magnetización remanente. Este procedimien-to, basado en la trayectoria de desmagnetización que se muestra en la figura 1.21, se ejemplificade mejor manera mediante un ejemplo.

mmDII'--- _

Figura 1.22Circuito magnéticopara el ejemplo 1.11.

En la figura 1.22 se expone un circuito magnético que contiene material magnético duro, un núcleo y unémbolo de alta permeabilidad (se asume como infinita), también hay un devanado de monoespira o deuna vuelta, que se empleará para magnetizar material magnético duro. El devanado se eliminará despuésde que se haya magnetizado el sistema. El émbolo se mueve en dirección x como se indica en la figura,con el resultado de que el área del entrehierro puede variar (2 cm2 ~ Ag ~ 4 cnr'). Se toma en cuenta lasuposición de que el material magnético duro es Alnico 5 y que el sistema inicialmente se magnetiza conAg = 2 cm, a) calcule la longitud del imán 1mde manera tal que el sistema opere en una línea de rebote quecorte con el punto de producto máximo de B-H en la curva de magnetización para Alnico 5, b) deduzca unprocedimiento para magnetizar el imán y e) calcule la densidad de flujo Bg en el entrehierro mientras elémbolo se mueve de adelante hacia atrás y el entrehierro varía entre estos límites .

• Solución

a) La figura 1.23a muestra una curva de magnetización para Alnico 5 a dos líneas de carga que corres-ponden a los dos extremos del entrehierro, Ag = 2 cm2 y Ag = 4 cm2• Se observa que el sistemaoperará con la línea de rebote deseada si la línea de carga para Ag = 2 cm2 corta con la línea caracte-rística B-H en el punto máximo de producto energético (indicado como el punto a en la figura 1.23a,Bf:) = 1.0 T YHf:) = -40 kNm.

Área de materialmagnético duro

Am = 2cm2

Núcleo ¡,t ~ 00Entrehierro, g = 0.2 cm2 cm2:5Ag:54cm2

J) .i g/2

Émbolomóvil

Bobina --+-

magnetizantede 100 vueltas


Línea de carga,Ag=4cm2

Línea de carga,Ag = 2 cm2

1.081.0

0.5

Hm,kNm -50 -40 -30

a)

-20 -10 O

La magnetizacióntermina en este Bm

por(a)

IIIII

La línea de cargase mueve a la

izquierda aldisminuir i

IIIIII

Material inicialmenteno magnetizado

b)

Figura 1.23a) Curva de magnetización para Alnico 5 graficada para el ejemplo 1.11: b) serie de líneas de cargapara Ag = 2 cm2 y valores variables de i que muestran el procedimiento de magnetización del ejemplo1.11.


A partir de las ecuaciones 1.57 y 1.58, observamos que la pendiente de la línea de carga reque-rida está dada por

y de esta forma

(A ) ( B(a) )l - ~ m

m - g Ag -¡'¿oH~a)

(2) ( 1.0 )= 0.2 cm - = 3.98 cm2 4JTx 10-7 X 4 X 104

b) La figura 1.23b muestra una serie de líneas de carga para el sistema con Ag = 2 cm2 y con corrienteiaplicada al devanado de excitación. La ecuación general para estas líneas de carga pueden derivar-se de la ecuación 1.5

Ni = Hmlm + Hgg

Y de las ecuaciones 1.3 y 1.7 tenemos la siguiente expresión

De esta manera

De esta ecuación y de la figura 1.23b se observa que para llevar el material magnético a la saturaciónen punto Bmáx - Hmáx, la corriente en el devanado magnetizante deberá incrementarse al valor imáx

donde

imáx =Bmáx + 2.50 X 10-5 Hmáx A

6.28 X 10-2

En este caso, no se presenta una curva completa de histéresis para Alnico 5, por lo tanto, se ten-drá que calcular Bmáx Y Hmáx' Al extrapolar !inealmente la curva B-H con H = O de coercitivi-dad cuatro veces, se obtiene lo siguiente: Hmáx = 4 x 50 = 200 kA/m, lo cual da como resultado unaBmáx = 2.1 T. Este valor indudablemente es extremo y de alguna manera sobreestimará la corrienterequerida. Sin embargo, al emplear Bmáx = 2.1 T Yuna Hmáx = 200 kA/m se produce una imáx = 45.2 A.

De esta forma, con el área del entrehierro fija a 2 cm2, la corriente en aumento a 45.2 A Yluegoal reducirla a cero, se alcanzará la desmagnetización deseada.

e) Debido a que no se posee información específica acerca de la pendiente de la línea de rebote, sedeberá suponer que dicha pendiente es la misma que la que presenta la línea B-H característica alllegar al punto H = O,B = B; De la figura 1.23a, con la línea de rebote trazada con esta pendiente, seobserva que mientras el área del entrehierro varía entre 2 y 4 cm2, la densidad de flujo del imán Bm

también presenta una variación entre 1.00 y 1.08 T. Dado que la densidad de flujo del entrehierroiguala Am lAg veces su valor, la densidad de flujo del entrehierro será igual a (2/2)1.00 = 1.0 T


cuando Ag = 2.0 cm2 y (2/4)1.08 = 0.54 T cuando Ag = 4.0 cm2. Observe en la figura 1.23a que aloperar con estas variaciones del entrehierro, el imán presenta una densidad de flujo residual de 1.17T en lugar de presentar el valor inicial de 1.24 T. Advierta que mientras la variación del entrehierrose encuentre entre los límites citados en este ejemplo, el sistema continuará operando en la denomi-nada línea de rebote que se muestra en la figura 1.23a y podrá considerarse estabilizado al imán.

Como se planteó en este capítulo, los materiales magnéticos duros como el Alnico 5 pue-den estar sujetos a desmagnetización, los materiales de imán permanente como el Alnico 5pueden estar sujetos a desmagnetización y su punto de operación deberá variar ampliamente.Como se demostró en el ejemplo 1.11, estos materiales pueden estabilizarse y presentar algunapérdida de magnetización efectiva remanente. Sin embargo, este procedimiento no garantizaestabilidad absoluta de operación. Por ejemplo, si el material citado en el ejemplo 1.11 presen-tara un área de entrehierro menor a los 2 cm2 o se sometiera a una corriente de desmagnetizaciónexcesiva, se eliminaría el efecto de estabilización y el material operaría en una nueva línea derebote con magnetización reducida.

No obstante, numerosos materiales como el samario-cobalto, el Cerámico 7 y el neodimio-hierro-boro (véase la figura 1.19), los cuales presentan amplios valores de coercitividad, po-seen valores muy bajos de permeabilidad de rebote, y la línea de desmagnetización es tangentea la línea característica B-H para una porción grande de la zona de operación útil. Por ejemplo,este hecho puede observarse en la figura 1.19, la cual ilustra la curva de magnetización decorriente directa para el neodimio-hierro-boro, en la que se observa que este material presentauna magnetización remanente de 1.25 T Y una coercitividad de -940 kA/m. La sección de lacurva que se encuentra entre estos puntos es una línea recta, con una pendiente igual a 1.06 /-Lo,la cual es la misma pendiente que se observa en la línea de rebote. Mientras que estos materia-les se operen sobre esta sección de permeabilidad incremental baja, no requerirán estabiliza-ción, siempre que no sean desmagnetizados excesivamente.

Para estos materiales, es conveniente suponer que su curva de magnetización de corrientedirecta es lineal dentro de su categoría de operación útil y que presenta una pendiente igual a lapermeabilidad equivalente J.LR. Al considerar esta suposición, la curva de desmagnetización decorriente directa para estos materiales se expresan en la siguiente ecuación

(1.61 )

En este caso, H~es la coercitividad aparente asociada con esta ecuación lineal. Como se apre-cia en la figura 1.19, la coercitividad aparente en general es de alguna manera mayor en mag-nitud (por ejemplo, un valor negativo mayor) que el material de coercitividad He debido a quela magnetización de corriente directa característica tiende hacia abajo para valores menores dela densidad de flujo.

1.7 RESUMENLos dispositivos electromecánicos que emplean campos magnéticos, con frecuencia utilizanmateriales ferromagnéticos para guiar y concentrar estos campos. Debido a que la permeabili-dad magnética de los materiales ferromagnéticos puede ser alta (hasta diez mil veces el espa-cio que lo rodea), la mayor parte del flujo magnético se limita a patrones bien definidos deter-minados mediante la geometría del material magnético. Además, a menudo las frecuencias de

1.8 Problemas 43

interés son suficientemente bajas para permitir considerar cuasiestáticos a los campos magné-ticos, y como consecuencia poder determinarlos simplemente a partir de un conocimiento de lafmm neta que actúa sobre la estructura magnética.

Por lo tanto, la solución para los campos magnéticos en estas estructuras se obtiene en unaforma regular por medio de las técnicas de análisis de circuitos magnéticos. Estas técnicaspueden emplearse para reducir una solución de campo magnético tridimensional a lo que es enesencia un problema unidimensional. Como en todas las soluciones técnicas, se requiere decierta cantidad de experiencia y juicio, no obstante, la técnica proporciona valiosos resultadosen numerosas circunstancias de interés práctico.

Los materiales ferromagnéticos están disponibles con una gran variedad de característi-cas. En términos generales, su comportamiento no es lineal y su curva característica B-H serepresenta como las formas que se ubican dentro de la familia de las curvas de histéresis (B-H).Las pérdidas, tanto por histéresis como por corrientes parásitas (eddy), son funciones del nivelde flujo y de la frecuencia de operación, así como de la composición del material y del procesode fabricación que se utilizó. Una comprensión básica de la naturaleza de estos fenómenos esmuy útil en la aplicación de estos materiales en los dispositivos. De manera típica, las propie-dades importantes están disponibles en la forma de curvas que son proporcionadas por losfabricantes del material.

Ciertos materiales magnéticos, conocidos normalmente como materiales de imán perma-nente, se caracterizan por amplios valores de magnetización remanente y de coercitividad.Estos materiales producen un importante flujo magnético, aun en los circuitos magnéticos conentrehierros. Con un diseño apropiado, es posible lograr que operen de manera estable ensituaciones donde se expongan a una amplia variedad de fuerzas de desestabilización y defuerzas magnetomotrices. Los imanes permanentes se aplican en numerosos dispositivos pe-queños, que incluyen altavoces, motores de corriente alterna y directa, micrófonos y medidoreseléctricos analógicos.

1.8 PROBLEMAS

Figura 1.24Circuito eléctrico parael problema 1.1.

1.1 En la figura 1.24 se ilustra un circuito magnético con entrehierro simple. Las dimensio-nes del núcleo son:

Área de la sección transversal Ae = 1.8 X 10-3 m2

Longitud del núcleo principal le = 0.6 mLongitud del entrehierro g = 2.3 X 10-3 mN = 83 vueltas

N númerode vueltas

Núcleo:Longitud media le.área.Ae'permeabilidad ¡,t

44

Figura 1.25Circuito magnéticoesquematizado para elproblema 1.6.


Suponga que el núcleo presenta permeabilidad infinita ()1. --7 (0) e ignore los efectos dedispersión magnética en el entrehierro y de acoplamiento de flujo. a) Calcule la reluctanciadel núcleo Re Ydel entrehierro Rg. Si se considera una corriente de i = 1.5 A, determineb) el flujo total é, e) los acoplamientos de flujo de la bobina íl, y el) la inductancia de labobina L.

1.2 Repita el problema 1.1 y considere una permeabilidad finita para el núcleo de IL =2500 J-Lo.

1.3 Considere el circuito magnético que se ilustra en la figura 1.24 y tome en cuenta lasdimensiones que se presentan en el problema 1.1. Suponga una permeabilidad infinitapara el núcleo y calcule a) el número de vueltas que se requieren para lograr unainductancia de 12 mH Yb) la corriente del inductor para obtener una densidad de flujo enel núcleo de 1.0 T.

1.4 Reelabore el problema 1.3 y considere una permeabilidad del núcleo de IL = 1 3 ~OJ-Lo.1.5 El circuito magnético que se presenta en el problema 1.1 posee un material no lineal en

el núcleo cuya permeabilidad es una función de Bm Yse encuentra dada por

( 3499)IL = lLo 1+ VI + O.047(Bm)7.8

donde Bm es la densidad de flujo del material.

a) Mediante el empleo de MATLAB, grafique una curva de magnetización de corrien-te directa para este tipo de material (Bm vs. Hm) en una categoría de O $; Bm $; 2.2 T.

b) Determine la corriente que se requiere para alcanzar una densidad de flujo de 2.2 Ten el núcleo.

e) De nuevo, mediante el uso de MATLAB, grafique los acoplamientos de flujo de labobina como una función de la corriente y considere que la corriente varía de O alvalor que se determinó en el inciso b).

1.6 El circuito magnético que se muestra en la figura 1.25 consiste en un núcleo y un émbolomóvil con un espesor lp, cada uno con una permeabilidad }1. El núcleo posee un área desección transversal Ae Ylongitud media le' El área de superposición de los dos entrehierrosAg es una función de la posición del émbolo x y puede considerarse que tendrá unavariación expresada a continuación

Núcleo:Longitud media le •...!.-. área Ae'

N númerode vueltas

1.8 Problemas 45

Es posible ignorar cualquiera de los campos de dispersión en el entrehierro y emplearaproximaciones consistentes con el análisis del circuito magnético.

a) Al asumir que fL ~ 00, se origina una expresión para obtener la densidad del flujomagnético en el entrehierro Bg como una función de la corriente del devanado 1mientras que la posición del émbolo varía (O:S; x:S; 0.8 Xo). ¿Cuál es la densidad deflujo correspondiente en el núcleo?

b) Repita el inciso a) y considere una permeabilidad finita ¡L.

1.7 El circuito magnético de la figura 1.25 y el problema 1.6 poseen las siguientes dimen-siones:

Ae = 8.2 cm2

lp = 2.8 cmXo = 2.5 cm

le = 23 cmg=0.8 mmN = 430 vueltas

a) Suponga una permeabilidad constante de u. = 2 800 /Lo, calcule la corriente que serequiere para alcanzar una densidad de flujo de 1.3T en el entrehierro cuando elémbolo ha regresado completamente a su posición original (x = O).

b) Repita el cálculo del inciso a) para el caso donde el núcleo y el émbolo estén com-puestos de material no lineal y cuya permeabilidad se encuentre dada por la siguien-te ecuación

(1199)

fL = fLo 1 + VI + 0.05B!

donde Bm es la densidad del flujo magnético del material.e) Para el caso del material no lineal presentado en el inciso b), mediante el empleo de

MATLAB grafique la densidad de flujo del entrehierro como una función de lacorriente del devanado para x = O Y x = 0.5 Xo.

1.8 Un inductor con la forma que se esquematiza en la figura 1.24 presenta las siguientesdimensiones:

Área de la sección transversal Ae = 3.6 cm2

Longitud media del núcleo le = 15 cmN = 75 vueltas

-Tome en consideración una permeabilidad del núcleo de fL = 2 100 /Lo e ignore los efec-tos del acoplamiento de flujo y de la dispersión de los campos, calcule la longitud delentrehierro que se requiere para alcanzar una inductancia de 6.0 mH.El circuito magnético que se presenta en la figura 1.26 consiste en anillos de materialmagnético en una pila de altura h. Los anillos presentan un radio interno R¡ y un radioexterno Ro. Suponga que el hierro presenta permeabilidad infinita (j1 ~ 00) e ignore losefectos del acoplamiento magnético y dispersión. Para:

R¡ = 3.4 cms, =4.0cmh=2cmg =0.2 cm

L 1.9

46


Figura 1.27Inductor para elproblema 1.12.

CAPíTULO 1 Circuitos magnéticos v materiales magnéticos

Calcule:

a) La longitud media del núcleo le Yel área de la sección transversal del núcleo Ae.b) La reluctancia del núcleo Re Y del entrehierro Rg.

Para N = 65 vueltas, calcule:

e) La inductancia L.el) La corriente i que se requiere para operar a una densidad de flujo del entrehierro de

Bg = 1.35 T.e) Los acoplamientos de flujo A, correspondientes a la bobina.

1.10 Repita el problema 1.9 para una permeabilidad del núcleo de IL = 750 J-to.1.11 Mediante MATLAB, grafique la inductancia del inductor que se muestra en el problema

1.9 como una función de la permeabilidad relativa del núcleo, mientras que ésta varía deILr = 100 hasta ILr = 10 000. (Indicación: Grafique la inductancia frente allogaritmo de lapermeabilidad relativa.) ¿Cuál es la mínima permeabilidad relativa del núcleo que serequiere para asegurar que la inductancia se encuentra dentro del 5% del valor calculadoal asumir que la permeabilidad del núcleo es infinita?

1.12 El inductor de la figura 1.27 posee un núcleo con área de la sección transversal circularuniforme de área Ae, longitud media le Y una permeabilidad relativa f.lr, así como undevanado con N número de vueltas. Elabore una expresión para la inductancia L.

1.13 El inductor de la figura 1.27 presenta las siguientes dimensiones:

Ae = 1.0 cm2

le = 15 cmg=0.8 mmN = 480 vueltas

N númerode vueltasde la bobina

,..- ,/ Núcleo:Longitud media le.área Ae'permeabilidad

.i relativa zz,

Tg

Figura 1.28Inductor de núcleoacorazado para elproblema 1.15.

1.8 Problemas 47

+tt--t- Devanado con Nnúmero de vueltas

+

Calcule la inductancia al ignorar el acoplamiento del flujo, los efectos de dispersión ysuponer una J-tr = 1 000.

1.14 El inductor que se presenta en el problema 1.13 se operará a partir de una fuente devoltaje de 60 Hz. a) Al asumir que es posible ignorar la resistencia de la bobina, calculeel voltaje rms del inductor que corresponde al pico de la densidad de flujo del núcleo de1.5 T. b) Bajo estas condiciones de operación, determine la corriente rms y el valor picode la energía acumulada.

1.15 Considere el circuito magnético que se esquematiza en la figura 1.28. Esta estructura,denominada núcleo acorazado, generalmente se fabrica en dos mitades. La bobina de Nnúmero de vueltas está devanada sobre un carrete cilíndrico y se inserta fácilmente sobreel poste central del núcleo a la vez que se ensamblan ambas mitades. Debido a que elentrehierro se encuentra en el interior del núcleo, si el núcleo no se orienta de maneraexcesiva a la saturación, entonces, poco flujo magnético sefugará del núcleo, formandoesta configuración que resulta particularmente atractiva para una gran variedad de apli-caciones, tanto para los inductores, como es el caso del que se ilustra en la figura 1.27,como para los transformadores.

Suponga que la permeabilidad del núcleo es de J-t = 2 500 JLo Y N = 200 vueltas. Seespecifican las siguientes dimensiones:

R¡ = 1.5 cmh=0.75cm

R2 = 4 cm 1= 2.5 cmg=0.5 mm

a) Determine el valor de R3 que logre que la densidad de flujo en la pared externa delnúcleo sea igual a la que posee dentro del cilindro central.

b) Aunque de hecho, la densidad de flujo en las secciones radiales del núcleo (lassecciones del espesor h) disminuye con el radio, suponga que la densidad de flu-jo permanece uniforme. (i) Elabore una expresión para la inductancia de la bobinay (ii) realice una evaluación de esta ecuación para las dimensiones que se espe-cifican.

c) El núcleo se operará a un punto máximo para la densidad de flujo de 0.8 T a unafrecuencia de 60 Hz. Determine (i) el valor rms correspondiente del voltaje induci-do en el devanado, (ii) la corriente rms de la bobina, por último (iii), el punto máxi-mo de energía acumulada.

d) Repita el inciso c) para una frecuencia de 50 Hz.

48

Figura 1.29Inductor para elproblema 1.17.


Bobinacon r--------¡/ Núcleo:N número longitudmedialc'de vueltas áreaAc'

permeabilidad!1.

1.16 Una onda de voltaje cuadrado presenta una frecuencia fundamental de 60 Hz y se apli-can semiciclos positivos y negativos iguales de amplitud E a un devanado de 1 000vueltas que rodean un núcleo cerrado de hierro de 1.25 X 10-3 m2 de la sección transver-sal. Ignore tanto la resistencia del devanado como cualquier efecto del acoplamiento deflujo.

a) Esquematice el voltaje, el acoplamiento de flujo del devanando y el flujo del núcleocomo una función del tiempo.

b) Determine el máximo valor permitido de E si la máxima densidad de flujo no exce-de de 1.15 T.

1.17 Se designará un conductor mediante el uso de un núcleo magnético con la forma que sepresenta en la figura 1.29. El núcleo posee un área de sección transversal uniforme Ae =5.0 cm2 y con longitud media de le = 25 cm.

a) Calcule la longitud g del entrehierro y el número N de vueltas de manera que lainductancia sea de 1.4 mH y que el inductor pueda operar con corrientes máximasde 6 A sin saturarse. Suponga que la saturación ocurre cuando la densidad de flujomáxima en el núcleo excede de 1.7 T Yque, bajo saturación, el núcleo presenta unapermeabilidad de 11 = 3 200 !-ID.

b) Para una corriente del inductor de 6 A, utilice la ecuación 3.21 para calcular (i) laenergía magnética acumulada en el entrehierro y (ii) la energía magnética acumula-da en el núcleo. Demuestre que la energía magnética acumulada total se obtienemediante la ecuación 1.47. '

1.18 Considere el inductor que se presenta en el problema 1.17. Mediante el uso de MATLABescriba un programa de diseño simple en forma de diálogo para calcular el número devueltas y la longitud del entrehierro como una función de la inductancia deseada. Eldiálogo deberá elaborarse de manera que requiera del usuario un valor para la inductancia(en mH), y que entregue como salida a la longitud del entrehierro en mm y al número devueltas.

El inductor se operará con una corriente sinusoidal de 60 Hz, y deberá diseñarse detal forma que la densidad de flujo máxima sea igual a 1.7 T cuando la corriente delinductor alcance los 4.5 A rms. Elabore su programa de manera que pueda eliminarcualquier diseño que presente una longitud de entrehierro ubicada fuera de la categoríade los 0.05 mm a 5.0 mm o que posea un número de vueltas menor a 5.

Usando el programa diseñado, determine a) las inductancias mínima y b) máxima(al valor mH más cercano) que satisfagan las restricciones que se suministraron. Para

Figura 1.30Devanado toroidalpara el problema 1.19.

Figura 1.31Inductor con núcleo dehierro esquematizadopara el problema 1.20.

1.8 Problemas 49

+o-----x~

cada uno de estos valores, calcule la longitud del entrehierro que se requiere y el númerode vueltas, así como el voltaje rms que corresponde al flujo máximo del núcleo.

1.19 Se propone un mecanismo de acumulación de energía que consiste en un devanado debobina con N número de vueltas alrededor de una forma no magnética toroidal (J.L = J.Lo)similar a la que se muestra en la figura 1.30. Como se puede observar en la figura, laforma toroidal presenta una sección transversal circular de radio a y un radio toroidal r,dimensionado al centro de la sección cruzada. La geometría de este dispositivo se en-cuentra dispuesta de tal forma que es posible considerar al campo magnético igual a cero

. en cualquier lugar fuera del toroide. Bajo la suposición de que a « r, el campo H dentrogel toroide puede considerarse dirigido alrededor del toroide y de magnitud uniforme

NiH=-

Zn r

Para una bobina con N = 1 000 vueltas, r = 10 m y a = 0.45 m:

a) Calcule la inductancia L de la bobina.b) La bobina se cargará a una densidad de flujo magnético de 1.75 T. Calcule la energía

magnética acumulada total en el toroide cuando se alcanza esta densidad de flujo.e) Si la bobina se carga a una razón uniforme (por ejemplo, dildt = constante), calcule

el voltaje terminal que se requiere para alcanzar la densidad de flujo especificada en30 segundos. Suponga que es posible ignorar la resistencia de la bobina.

1.20 La figura 1.31 ilustra un devanado de inductor sobre un núcleo de hierro laminado desección transversal rectangular. Suponga que la permeabilidad del hierro es infinita.Ignore la fuga magnética y la dispersión del flujo de los dos entrehierros (longitud totaldel entrehierro = g). El devanado con N número de vueltas se compone de alambre decobre aislado cuya resistividad es de p Q . m. Suponga que la fracciónj., del espacio deldevanado está disponible para el cobre; el resto del espacio se utiliza para aislar el ma-terial.

Núcleo:profundidad hdentro de la páginaT

b

lh-----'-l

so CAPíTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos

a) Calcule el área de la sección transversal y el volumen del cobre en el espacio dedevanado.

b) Elabore una expresión para la densidad de flujo B en el inductor en términos de ladensidad de corriente lcu en el devanado de cobre.

e) Elabore una expresión que determine la densidad de corriente del cobre lcu en tér-minos de la corriente de la bobina 1, el número N de vueltas y la geometría de labobina.

d) Realice una expresión para la disipación de la potencia electrica en términos de ladensidad de corriente lcu,

e) Realice una expresión para la energía magnética acumulada en el inductor en térmi-nos de la densidad de corriente aplicada lcu'n A partir de los incisos d) y e) elabore una expresión para la constante de tiempo L/Rdel inductor. Advierta que esta expresión es independiente del número de vueltas enla bobina y no varía, como sucede en el caso de la inductancia y de la resistencia dela bobina que cambian sus valores dependiendo del número de vueltas.

1.21 El inductor que se esquematiza en la figura 1.31 presenta las siguientes dimensiones:

a = h = w = 1.5 cm b = 2 cm g = 0.2

El factor de devanado (por ejemplo, la fracción del área total del devanado quese encuentra ocupada por el conductor) esfw = 0.55. La resistividad del cobre es 1.73 x10-8n.m. Cuando la bobina se opera con un voltaje aplicado de corriente directa cons-tante de 35 V, la densidad de flujo del entrehierro es de 1.4 T. Determine la potenciadisipada en la bobina, la corriente de la bobina, el número de vueltas, la resistencia de labobina, la inductancia, la constante del tiempo y el calibre del cable más aproximado a lamedida estandarizada. (Indicación: El calibre del cable puede determinarse mediante lasiguiente ecuación

AWG = 36 - 4.312 In ( Acable )1.267 X 10-8

donde laAWG es la medida del cable, expresada en términos de la American Wire Gaugey Acable es el área de la sección transversal del conductor, dimensionada en m2).

1.22 El circuito magnético que se presenta en la figura 1.32 presenta dos devanados y dosentrehierros. Se asume que la permeabilidad del núcleo es infinita. Las dimensiones delnúcleo se indican en la figura.

a) Al suponer que la bobina 1 lleva una corriente I1 y la corriente de la bobina 2 escero, calcule (i) la densidad de flujo magnético en cada uno de los entrehierros, (ii)el acoplamiento de flujo del devanado 1, por último (iii) el acoplamiento de flujo deldevanado 2.

b) Repita el inciso a) y suponga que la corriente en el devanado 1 es cero y que unacorriente 12 en el devanado 2.

e) Repita el inciso a) y suponga que la corriente en el devanado 1 es I1 y la corriente enel devanado 2 es h

d) Determine las autoinductancias de los devanados 1 y 2 Yla inductancia mutua entrelos devanados.

1.8 Problemas 51

Núcleo,,u -+ 00

-l 82 f-,-------------------------, ,------,

NI númerode vueltas N2 número

de vueltas

Figura 1.32Circuito magnéticoesquematizado para elproblema 1.22. i2 t

1.23 El circuito magnético simétrico que se ilustra en la figura 1.33 posee tres devanados. Losdevanados A y B presentan N número de vueltas, respectivamente, y se encuentranen ambas columnas inferiores del núcleo. Las dimensiones del núcleo se indican en lafigura.

a) Determine la autoinductancia de cada uno de los devanados.b) Determine las inductancias mutuas entre los tres pares de devanados.e) Determine el voltaje inducido en el devanado 1 mediante corrientes de variación

temporal iA (t) e iB (t) en los devanados A y B. Demuestre que este voltaje puedeemplearse para medir el desequilibrio entre las dos corrientes sinusoidales de lamisma frecuencia.

1.24 El generador oscilante que se ilustra en la figura 1.34 posee un émbolo móvil (posición x)que se encuentra colocado de tal forma que puede deslizarse dentro y fuera del yugo mag-nético mientras mantiene un entrehierro constante de longitud g de cada lado adyacente alyugo. Se considera que la permeabilidad de ambos componentes, el yugo y el émbolo sonvalores infinitos. El movimiento del émbolo se restringe de manera que su posición selimita a O~ x ~ w.

Núcleo:ÁreaAc'

permeabilidad ,u

tA ,.. ~

( t ti__ I

il

Figura 1.33Circuito magnéticosimétrico para elproblema 1.23.

NI númerode vueltas

52

Figura 1.34Generador oscilanteesquematizado para elproblema 1.24.


NI númerode vueltas

x(t) = ~ (1 + E sen wt)

g

Profundidad DlO-s

+ v2 -

En este circuito magnético existen dos devanados. El primero posee NI número devueltas y lleva una corriente directa constante lo. El segundo, que posee N2 número devueltas, es un circuito abierto y puede conectarse a una carga.

a) Ignore los efectos de dispersión, y determine la inductancia mutua entre los devana-dos 1 y 2 como una función del émbolo de posición x.

b) El émbolo se mueve debido a una fuente externa, de modo que su movimiento sedetermina por la siguiente ecuación

w(l + E sen wt)x(t) = 2

Donde E ~ 1. Determine una expresión para el voltaje sinusoidal que se genera apartir de este movimiento.

1.25 La figura 1.35 muestra una configuración que se emplea para medir las característicasmagnéticas del acero eléctrico. Deberá evaluarse si el material se corta o troquela enláminas circulares que se apilan (con aislamiento intercalar para evitar la formación decorrientes de eddy). Se disponen dos devanados en esta pila de láminas: el primero, conNI número de vueltas, se utiliza para excitar un campo magnético en dicha pila de lámi-nas; el segundo, con N2 número de vueltas, se emplea para detectar el flujo magnéticoresultante.

Para la precisión de los resultados se requiere que la densidad del flujo magnéticosea uniforme dentro de las láminas. Este factor se puede lograr si el espesor de las lámi-nas es t = R¿ - R¡ mucho menor que el radio de la lámina y si el devanado de excitaciónse encuentra enrollado de manera uniforme alrededor de la pila de láminas. Para lospropósitos de este análisis, suponga que existen n número de láminas, cada una de espe-sor /)..También considere que el devanado 1 se excita con una corriente il = lo sen wt.

a) Determine la ecuación que relacione la intensidad del campo magnético H en lasláminas y la corriente il en el devanado 1.

b) Determine la ecuación que relaciona el voltaje V2 Yla razón del tiempo del cambiode la densidad de flujo B en las láminas.

e) Determine la ecuación que relaciona el voltaje Vo = G J V2 dt y la densidad deflujo.

Figura 1.35Configuración elabo-rada para medir laspropiedades magné-ticasdel aceroeléctrico.

1.8 Problemas 53

t e: R¡

Pila de n númerode láminas, cadauna de espesor D.

En este problema se muestra que la intensidad del campo magnético H y la densidadde flujo magnético B en las láminas son proporcionales a la corriente iIYal voltaje V2 pormedio de constantes conocidas. De esta forma, es posible medir directamente By H en elacero eléctrico, y también es posible determinar la característica B-H como se planteó enlas secciones 1.3 y 1.4.

1.26 A partir de la curva de magnetización de corriente directa que se presenta en la figura1.10 es posible calcular la permeabilidad relativa u; =Í3c/)J.loHc) para el acero eléctricocomo una función del nivel de flujo Be- Al asumir que el nú leo de la figura 1.2 estáhecho de acero eléctrico M-5 con las dimensiones que se especifican en el ejemplo 1.1,calcule la máxima densidad de flujo para lograr que la reluctancia del núcleo nuncaexceda 5% de la reluctancia del circuito magnético total.

1.27 Con el fin de determinar las propiedades de una muestra de acero eléctrico, un conjunto::.- de láminas con la forma dispuesta en la figura 1.35 se han troquelado en una hoja de

acero eléctrico con un espesor de 3.0 rnm. Los radios de las láminas son los siguientes: R¡= 75 mm y R¿ = 82 rnrn. Se han ensamblado en una pila de 10 láminas (separadas me-diante aislamiento apropiado para eliminar las corrientes de eddy) con el fin de evaluarlas propiedades magnéticas de este material a una frecuencia de 100 Hz.

a) El flujo en la pila de láminas se excitará a partir de una señal de amplitud varia-ble, una fuente de voltaje de 100 Hz cuya amplitud máxima es de 30 V (de pico apico). Calcule el número NI de vueltas para la excitación del devanado que se re-quiere para asegurar que la pila de lámina se excite a una densidad de flujo máximode 2.0 T.

b) Con un devanado secundario de N2 = 20 vueltas y una ganancia del integrador de G= 1 000, se observa que la salida del integrador es de 7.0 V de pico a pico. Calcule(i) el flujo máximo correspondiente en la pila de láminas y (ii) la amplitud corres-pondiente en el voltaje que se aplica al devanado de excitación.

54



A B

1.28 Las bobinas del circuito magnético que se presentan en la figura 1.36 se conectan enserie de tal forma que los patrones de la frnm de A y B tienden a establecer un flujo en lacolumna central e en la misma dirección. Las bobinas están devanadas con el mismonúmero de vueltas, NI = N2 = 100. Las dimensiones son:

Área de la sección transversal de las columnas A y B = 7 cm2

Área de la sección transversal de la columna e = 14 crrr'Longitud de la trayectoria A = 17 cmLongitud de la trayectoria B = 17 cmLongitud de la trayectoria e = 5.5 cmEntrehierro = 0.4 cm

El material es de grado M-5, acero de 0.012, con un factor de apilamiento de 0.94.Ignore el acoplamiento de flujo y la dispersión del flujo.

a) ¿Cuántos amperes se requieren para producir una densidad de flujo de 1.2 T en elentrehierro?

b) Bajo la condición especificada en el inciso a), ¿cuántosjoules de energía se acumu-lan en el campo magnético del entrehierro?

e) Calcule la inductancia.

1.29 La siguiente tabla incluye información de la mitad superior para la curva de histéresissimétrica de 60 Hz para un tipo de acero magnético:

B,T O 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.2 O

H, A . vueltas/m 48 52 58 73 85 103 135 193 80 42 2 -18 -29 -40 -45 -48

Mediante el empleo de MATLAB, a) grafique estos datos, b) calcule el área de la curvade histéresis en joules y e) calcule la pérdida del núcleo correspondiente a 60 Hz enwatts/kg. La densidad del acero M-5 es de 7.65 g/crrr'.

1.30 Suponga que el circuito magnético que se especifica en el problema 1.1 y en la figura1.24 está hecho de acero eléctrico M-5 con las propiedades que se describen en las figu-ras 1.10, 1.12 y 1.14. Considere que el núcleo operará con una densidad de flujo sinusoidalde 60 Hz de la densidad de flujo rms de 1.1 T. Ignore la resistencia del devanado y lainductancia de dispersión. Determine el voltaje del devanado, la corriente rms del deva-nado y la pérdida del núcleo para estas condiciones de operación. La densidad del aceroM-5 es de 7.65 g/cnr'.

Figura 1.37Circuito magnéticopara el altavoz que seespecifica en el pro-blema 1.34 (la bobinade audio no se es-quematiza).

J 1.35-

l

1.8 Problemas 55

1.31 Repita el ejemplo 1.8 tomando en cuenta la suposición de que todas las dimensiones delnúcleo se duplican.Emplee las características de magnetización que se presentan en la figura 1.19 para elsamario cobalto, determine ef punto de producto energético máximo y la densidad deflujo correspondiente, así como la intensidad del campo magnético. Utilice estos valoresy repita el ejemplo 1.10 reemplazando el imán de Alnico 5 por un imán de samariocobalto. ¿Mediante qué factor se reduce el volumen del imán requerido para alcanzar ladensidad de flujo deseada del entrehierro?Por medio de la utilización de las características de magnetización para el neodimio-hierro-boro qu~ se especifican en la figura 1.19, determine el punto del producto energé-tico máximo y la intensidad de flujo magnético. Por medio del empleo de estos valores,repita el ejemplo 1.10 reemplazando el imán de Alnico 5 por un imán de neodimio-hierro-boro. ¿Mediante qué factor se reduce el volumen del imán requerido para alcan-zar la densidad de flujo deseada del entrehierro?La figura 1.37 esquematiza un circuito magnético para un altavoz de imán permanente.La bobina de audio (no ilustrada) se encuentra dispuesta en forma de bobina cilíndricacircular que se ajusta en el entrehierro. Se emplea un imán de samario-cobalto para crearen el entrehierro un campo rpagnético de corriente directa que interactúe con las corrien-tes de la bobina de audio para producir el movimiento de ésta. El diseñador determinóque el entrehierro debería tener un radio de R = 1.8 cm, una longitud g = 0.1 cm y unaaltura h = 0.9 cm.

Al considerar que el yugo y la pieza polar poseen una permeabilidad magnéticainfinita (p.,~ 00), determine la altura del imán hm Yel radio del imán Rm que produciráuna densidad de flujo magnético del entrehierro de 1.2 T Y solicite el menor volumenrequerido del imán.

(Indicación: Remítase al ejemplo 1.10 Y a la figura 1.19 para calcular el punto delproducto energético máximo para el samario cobalto.)Si se desea alcanzar una densidad de flujo magnético con variación temporal en elentrehierro del circuito magnético que se esquematiza en la figura 1.38 a partir de laecuación

1.32

1.33

1.34

Bg = Bo + B, senwt

donde Bo = 0.5 T Y B, = 0.25 T. El campo de corriente directa Bo se crea a partir de unimán de neodimio-hierro-boro, mientras que el campo de variación temporal se produci-rá a partir de una corriente de variación temporal.

CIL

Figura 1.38Circuito magnéticoesquematizado para el tproblema 1.35. iCI)

Área A,

V Entrehierro


Para Ag = 6 cnr', g = 0.4 cm y N = 200 vueltas, calcule;

a) la longitud del imán d y el área del imán Am que logrará producir la densidad desea-da de flujo del entrehierro de corriente directa y minimizar el volumen del imán.

b) los valores mínimo y máximo de la corriente de variación temporal que se requierepara lograr la densidad de flujo del entrehierro con variación temporal. Determinetambién si esta corriente presentará una variación sinusoidal en tiempo.

Documents

Capitulo 1 circuitos magneticos y materiales magneticos