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Capítulo 11
Trabalho e energia de deformação
• Trabalho infinitesimal:
• Trabalho ao longo da trajetória :
• Unidade (SI): Joule (J)=Nm
Trabalho de uma força
cossdFsdFW
2
1
2
1
y
y y
x
x x dyFdxFsdFWW
12
F
sd
x
y
Trabalho de aplicação de força sobre corpos de material linear elástico
• Os deslocamentos na direção da força são proporcionais a ela:
2222
2212
2121
1111
ukF
ukF
ukF
ukF
F2F1
u2u1
x
y
Trabalho de aplicação de força sobre corpos de material linear elástico
• Trabalho de aplicação das forças:
11210 110 11 2
12111
uFuduukduFWuu
22220 220 22 2
12122
uFuduukduFWuu
Trabalho de uma força já aplicada
• Trabalho de uma força já aplicada:
F2F1
u2u1
x
y
11010 1*
1
11
uFduuFduFWuu
22020 2*
2
22
uFduuFduFWuu
Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado uniaxial de
tensão
• Trabalho de aplicação:
xx
u+duux
ydx
dy
dxdydz
dudydz
duudydzudydzdW
xx
x
xx
2121
)(21
21
Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado de
cisalhamento puro
• Trabalho de aplicação:
dydxdzdW yxyx21
xy
yxdy
x
ydx
dy
xy
Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado plano de
tensão
• Trabalho de aplicação
xx
u+duux
ydx
dy
v
v+dv
y
y
yx
xy
dVdVdVdW xyxyyyxx 21
21
21
Relação trabalho externo – energia de deformação
• Hipóteses de aplicação da força:– aplicação quase – estática
dos esforços, ou seja, a variação de energia cinética desprezível;
– processo adiabático ;– não há variação de energia
térmica.
• Da 1ª Lei da termodinâmica:
– U é a energia de deformação.– We é o trabalho dos esforços
externos
UWe
Relação trabalho externo – trabalho interno – energia de deformação
• Relação entre os trabalhos externo e interno:
• Relação entre trabalho interno e energia de deformação:
ie WW
iWU
Densidade de energia sobre elemento infinitesimal em estado uniaxial de tensão
• Densidade de energia
• Da lei de Hooke
xx
u+duux
ydx
dy
xxdVdU
u 21
EE
u xx
22
22
Densidade de energia de deformação sobre elemento infinitesimal em estado de
cisalhamento puro
• Densidade de energia
• Da lei de Hooke
xyxyyxyxdVdU
u 21
21
xy
yxdy
x
ydx
dy
xy
G
Gu xyxy
22
22
Densidade de energia de deformação sobre elemento infinitesimal em estado plano de
tensão
• Densidade de energia:
• Da lei de Hooke;
xx
u+duux
ydx
dy
v
v+dv
y
y
yx
xy
xyxyyyxxdVdU
u 21
21
21
GEEEdVdU
u xyyxyx
222
222
Energia de deformação em uma barra axialmente carregada
ALE
dVE
dVuUVV 22
22
P P
L
E, A
Energia de deformação em uma viga sob flexão pura
Lz
L
A
zL
Az
z
V
x
V
dxEIM
U
dxdAyEIM
dAdxyIM
E
dVE
udVU
0
2
0
22
2
0
2
2
2
2)(
21
21
Mz Mz
A
x
y
Mz Mz
L
E, I
Energia de deformação em uma eixo sob torção pura
L
p
L
Ap
L
Ap
V
xy
V
dxGIT
U
dxdAGIT
dAdxIT
G
dVG
udVU
0
2
0
22
2
0
2
2
2
2)(
21
2
L
T
T
x
Trabalho virtual
• Trabalho virtual:
• é o trabalho realizado por uma força já aplicada para um deslocamento compatível qualquer
2
1
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
* ˆˆy
y
x
x
u
u yy
u
u xx udFudFsdFWW
12
F
*sd
u*
v*
Trabalho virtual sobre um elemento infinitesimal
• Trabalho virtual interno:
xx
ûx +dûxûx
x
ydx
dy
ûy
ûy+dûy
y
y
yx
xy
dVdVdVWd xyxyyyxx ˆˆˆˆ
Trabalho virtual sobre um sólido
• Trabalho externo:
• Trabalho interno:
F2
F3
F1
û1 û2
û3
332211 ˆˆˆˆ uFuFuFW
V xyxyV yyV xx
V
dVdVdV
WdW
ˆˆˆ
ˆˆ **
Trabalho virtual sobre um sólido
• Equivalência entre We e Wi
V xyxyV yyV xx dVdVdV
uFuFuF
ˆˆˆ
ˆˆˆ 332211
Trabalho virtual sobre um sólido elástico linear
• Trabalho externo:
• Trabalho interno:
333322221111ˆ vFuFvFuFvFuFW yxyxyx
F2
F3
F1
1 2
3
V xyxy
V yyx
V xyx
V
dVG
dVE
dVE
WdW
ˆ
ˆ)(1
ˆ)(1
ˆˆ
2
2
**
Trabalho virtual sobre um sólido elástico linear
• Equivalência entre We e Wi
333322221111
2
2
ˆˆ)(1
ˆ)(1
vFuFvFuFuFuF
dVGdVE
dVE
yxyxyx
V xyxyV yyx
V xyx
Energia de deformação de um sólido elástico linear
• Energia de deformação para uma deformação qualquer compatível
F2
F3
F1
1 2
3
333322221111
2222 2
)2()1(2
),(
vFuFvFuFvFuF
dVG
dVE
vuU
yxyxyx
V xyV yyxx
Energia de deformação de um sólido elástico linear
• Condição de equilíbrio:
– Chega-se a equação idêntica à obtida pelo trabalho virtual
333322221111
2
222
)(2
))(2)(()1(2
),(
vFuFvFuFvFuF
dVvuG
dVvvuuE
vuU
yxyxyx
V xy
V yyxx
0
UdvUdudU vu
333322221111
2
2
ˆˆ)(1
ˆ)(1
vFuFvFuFuFuF
dVGdVE
dVE
yxyxyx
V xyxyV yyx
V xyx
Método dos elementos finitos
• Representação aproximada
• Representação de e
n
iii
n
iii
yxvyxv
yxuyxu
1
1
),(),(
),(),(
n
iixiiyixy
n
iiyiy
n
iixix
vu
v
u
1
1
1
)(
Método dos elementos finitos
• Fazendo e obtém-se:
– K é matriz de rigidez é a matriz coluna dos
deslocamentos nodais
– F é a matriz coluna das forças nodais
)0,(ˆiui
FKδ
),0(ˆivi